invers drazin dari representasi blok matriks bipartit
TRANSCRIPT
INVERS DRAZIN DARI REPRESENTASI BLOK MATRIKS
BIPARTIT
TUGAS AKHIR
Diajukan Sebagai Salah Satu Syaratuntuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
pada Jurusan Matematika
Oleh :
ISE PUTRA10854002824
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU
PEKANBARU
2013
vii
INVERS DRAZIN DARI REPRESENTASI BLOK MATRIKSBIPARTIT
ISE PUTRA10854002824
Tanggal sidang : 31 Mei 2013Tanggal wisuda :
Jurusan MatematikaFakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim RiauJl. HR. Soebrantas No.155 Pekanbaru
ABSTRAK
Tugas akhir ini membahas tentang menentukan invers Drazin dari matriks bipartit. Matriks bipartitmerupakan matriks yang dibentuk dari graf bipartit. Graf bipartit adalah graf yang himpunansimpulnya dapat dikelompokan menjadi dua himpunan bagian dan , sedemikian sehinggasetiap sisi didalam menghubungkan simpul di ke sebuah simpul di . Berdasarkan hasilpenelitian ini, maka diperoleh bahwa invers Drazin dari sebuah matriks A adalah tunggal yangdilambangkan dengan yang memenuhi persamaan = , = , dan = dengan adalah indeks dari .Katakunci : Invers Drazin, Matriks Bipartit.
x
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin, puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah
SWT. atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir dengan judul “Invers Drazin dari Representasi Blok
Matriks Bipartit ”. Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi
salah satu syarat dalam rangka menyelesaikan studi Stata 1 (S1) di UIN Suska
Riau. Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW,
mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa’at dan dalam lindungan Allah
SWT amin.
Dalam penyusunan dan penyelesaian tugas akhir ini, penulis tidak terlepas
dari bantuan berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu
penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua
tercinta Bapak dan ibu yang tidak pernah lelah dalam mencurahkan kasih sayang,
perhatian, do’a, dan dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Selanjutnya
ucapan terimakasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan
Syarif Kasim Riau.
2. Ibu Dra. Hj. Yenita Morena, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
3. Ibu Sri Basriati, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau dan selaku
Penguji II yang telah banyak membantu, mendukung dan memberikan saran
dalam penulisan tugas akhir ini.
4. Ibu Fitri Aryani, M.Sc selaku Pembimbing yang telah banyak membantu,
mengarahkan, mendukung, dan membimbing penulis dengan penuh
kesabaran dalam penulisan tugas akhir ini.
5. Ibu Yuslenita Muda, M.Sc selaku Penguji I yang telah banyak membantu,
memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir
ini.
x
6. Semua dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan dukungan
serta saran dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
7. Sahabat-sahabatku (Andri Fikos, Eko Mulyanto, Dedi Haryadi, Gustri
Ningsi, Rahmawati , Irawati, Rusmita, Sutika Dewi, Ifka Ria Aida, Bustam,
Yespi endri, Edi Setiawan, Lili wisdarni) yang selalu memberi support.
8. Semua teman-teman Jurusan Matematika Sains khususnya angkatan 2008.
9. Seluruh pihak yang telah memberikan motivasi kepada penulis dalam proses
penulisan tugas akhir ini sampai selesai.
Dalam penyusunan tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal
mungkin. Walaupun demikian tidak tertutup kemungkinan adanya kesalahan dan
kekurangan baik dalam penulisan maupun dalam penyajian materi. Untuk itu
penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan
tugas akhir ini.
Pekanbaru, 31 Mei 2013
Penulis
xii
DAFTAR ISI
HalamanLEMBAR PERSETUJUAN................................................................. ii
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................. iii
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL.................... iv
LEMBAR PERNYATAAN................................................................. v
LEMBAR PERSEMBAHAN .............................................................. vi
ABSTRAK ........................................................................................... vii
ABSTRACT ........................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ......................................................................... ix
DAFTAR ISI........................................................................................ xi
DAFTAR LAMBANG ....................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ............................................... I-1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................ I-2
1.3 Batasan Masalah........................................................... I-2
1.4 Tujuan Penulisan.......................................................... I-2
1.5 Manfaat Penulisan........................................................ I-2
1.6 Sistematika Penulisan .................................................. I-3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Matriks ......................................................................... II-1
2.2 Operasi Matriks............................................................ II-1
2.2.1 Penjumlahan Matriks .......................................... II-1
2.2.2 Perkalian Matriks ................................................ II-2
2..3 Perpangkatan Matriks............................................ II-3
2.3 Partisi Matriks .............................................................. II-4
2.4 Invers Matriks .............................................................. II-5
2.5 Rank Matriks................................................................ II-6
xii
2.6 Matriks Bipartit ............................................................ II-7
BAB III METODOLOGI PENELITIAN............................................ III-1
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Invers Drazin................................................................ IV-1
4.2 Invers Drazin dari Representasi Blok Matriks Bipartit . IV-4
4.3 Indeks pada Matriks A dari Indeks BC........................ IV-8
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan .................................................................. V-1
5.2 Saran............................................................................. V-1
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
I-1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf merupakan suatu topik yang banyak mendapatkan perhatian saat ini,
karena model–model yang ada pada teori graf berguna untuk aplikasi yang luas.
Secara matematis, graf didefenisikan (Rinalni Munir, 2007) sebagai pasangan
himpunan ( , ) ditulis dengan notasi = ( , ) yang dalam hal ini adalah
himpunan tidak kosong dari simpul–simpul dan adalah himpunan sisi yang
menghubungkan sepasang simpul.
Secara umum graf dapat dikelompokan menjadi dua yaitu graf sederhana
dan graf tidak sederhana. Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung
gelang atau sisi ganda sedangkan graf tidak sederhana adalah graf yang
mengandung gelang atau sisi ganda. Ada beberapa graf sederhana khusus yang
dijumpai pada berbagai aplikasi, beberapa diantaranya adalah graf lengkap, graf
lingkaran, graf teratur, dan graf bipartit. Selanjutnya graf yang akan dibahas
dalam tugas akhir ini adalah graf bipartit.
Graf bipartit merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong dan
dan setiap garis dalam menghubungkan suatu titik dalam dengan titik dalam
. Dari graf bipartit tersebut dapat kita buat suatu matriks yang disebut dengan
matriks bipartit. Dari matriks bipartit tersebut kita dapat menentukan inversnya.
Invers dari matriks bipartit dapat ditentukan dengan aturan dari invers Drazin.
Invers Drazin pertama kali dikenalkan oleh Michael P Drazin pada tahun
1958. Invers Drazin dari matriks bipartit adalah tunggal yang dinotasikan
dengan . Invers Drazin telah banyak dibahas oleh beberapa peneliti sebelumnya
seperti penelitian yang dilakukan oleh Lisnawati Khasanah dan Bambang
Irawanto tahun 2011, yang membahas mengenai bagaimana menentukan Invers
Drazin dari matriks singular yang dinotasikan sebagai dengan menggunakan
matriks bentuk konomik jordan. Selanjutnya penelitian yang dilakukan oleh
I-2
Changjiang Bu dan Kuise Zhang tahun 2010 yang membahas mengenanai invers
Drazin dari blok matriks kompleks beserta sifat-sifat dari invers Drazin.
Berdasarkan latar belakang tersebut maka penulis tertarik untuk mengulas
sebuah jurnal yang berjudul.”Block Repsentations of the Drazin Inverse of a
Bipartite Matriks” yang diteliti oleh Catral, D.D. Olesky and Van Den Driessche,
yang membahas tentang bagaimana menentukan Invers Drazin dari matriks
bipartit yang diblok kedalam matriks 2 × 2, maka penulis mengambil judul
“Invers Drazin dari Representasi Blok Matriks Bipartit”
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarakan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka rumusan
masalah pada penelitian ini adalah bagaimana menentukan invers Drazin dari
Representasi blok matriks bipartit 2 × 2.1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah mengemukakan langkah-langkah
dalam menentukan invers Drazin dari Representasi blok matriks bipartit 2 × 2.1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk mendapatkan invers Drazin dari
Representasi blok matriks bipartit 2 × 2.1.5 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut
a. Penulis dapat mengetahui lebih banyak tentang materi matriks.
b. Untuk memperdalam ilmu pengetahuan tentang invers Drazin dari matriks
bipartit
c. Memberikan informasi kepada pembaca bagaimana cara menentukan Invers
Drazin dari matriks bipartit.
I-3
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan terdiri dari lima bab yaitu:
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisikan latar belakang masalah, Perumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan
sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Landasan teori berisikan tentang hal-hal yang dijadikan sebagai
dasar teori untuk pengembangan tugas akhir.
BAB III Metode Penelitian
Bab ini berisikan metode yang penulis gunakan dalam
penyelesaian tugas akhir.
BAB IV Pembahasan
Bab ini berisikan pemaparan cara-cara secara teoritis dalam
mendapatkan hasil penelitian.
BAB V Penutup
Bab ini berisi tentang saran-saran dan kesimpulan dari
pembahasan.
II-1
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
Matriks merupakan kumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam
bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur
sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung. Objek matriks dapat berupa
bilangan real, bilangan komplek, ataupun fungsi. Setiap bilangan yang terdapat
dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur
horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertikal disebut
kolom.
Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi , dengan menyatakan
baris menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen
dinyatakan sebagai berikut :
=
⋯ ⋯⋮⋮ ⋮⋮ ⋯⋯⋯⋮⋮⋯⋯⋯
⋮⋮Matriks juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
= dengan : = elemen atau unsur matriks = 1,2,3,···, , indeks baris = 1,2,3,···, , Indeks kolom
2.2 Operasi Matriks
Adapun macam- macam operasi matriks diantaranya sebagai berikut:
2.2.1 Penjumlahan Matriks
Penjumlahan dua matriks atau dapat dilakukan jika ukuran-ukuran
matriksnya sama. Misalkan = dan = adalah dua matriks yang
II-2
ukurannya sama, misalnya × . Jumlah dan ditulis + , adalah matriks
yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesusaian dari dan yaitu:
+ =
+ + … ++…++…+
…… +…+Contoh 2.1:
Tentukan penjumlahan matriks dibawah ini:
Misalkan = 1 − 2 30 4 5= 4 6 81 − 3 − 7Penyelesaian:
Karena dan mempunyai ukuran yang sama maka jumlah + adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut. Maka hasil penjumlahan dari matriks tersebut
adalah sebagai berikut:+ = 1 − 2 30 4 5 + 4 6 81 − 3 − 7= 5 4 111 1 − 2
2.2.2 Perkalian Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap yang lain jika banyaknya
kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris kedua. Misalkan adalah
matriks yang berukuran × dan adalah matriks × maka hasil kali
adalah matriks yang berukuran × .
II-3
Contoh 2.2:
Tentukan jika:
= 4 7 62 3 1 dan = 859Penyelesaian:
Karena banyaknya kolom pada matriks sama dengan banyak baris pada
matriks maka dapat diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut:
= 4 7 62 3 1 859= 12140
2.2.3 Perpangkatan Matriks
Sifat perpangkatan pada matriks sama halnya seperti sifat perpangkatan
pada bilangan-bilangan, misalkan adalah matriks bujur sangkar maka pangkat
dari didefenisikan sebagai berikut: = , = ⋮= = =
Contoh 2.3:
Diketahui matriks = 1 23 − 4Tentukan dan .
II-4
Penyelesaian:
Perpangkatan dari matriks sama hal seperti perpangkatan yang dilakukan
pada bilangan-bilangan, maka perhitungan dari perpangkatan dapat dilakukan
sebagai berikut:
=1 23 − 4 1 23 − 4
=7 − 6− 9 22
=7 − 6− 9 22 1 23 − 4
=− 11 3857 − 106
2.3 Partisi Matriks
Partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang
ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara
matriks dan kolom matriks. Matriks-Matriks yang ukurannya kecil hasil partisi
matriks disebut submatriks.
Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya
besar menjadi matriks kecil sehingga lebih muda di operasikan untuk tujuan
tertentu, misalnya mencari invers matriks. Setiap submatriks hasil partisi selalu,
yaitu:
= ⇔ ⇔Matriks , , , dan disebut sub matriks dari matriks .= , = , = , =
II-5
2.4 Invers Matriks
Definisi 2.1 (Howard Anton, 2000) : Jika adalah sebuah matriks bujur sangkar,
dan jika kita dapat mencari matriks sehingga = = , maka dikatakan
dapat dibalik (invertible) dan dinamakan invers (inverse) dari .
Invers suatu matriks dapat ditentukan dengan beberapa metode yaitu
subsitusi, partisi matriks, matriks adjoint, eliminasi gauss, eliminasi gauss-jordan,
perkalian matriks invers elementer, dan dekomposisi matriks LU.
Contoh 2.4 :
Tentukan invers matriks di bawah ini:A = 1 2 − 121 23 4− 3Penyelesaian :
Dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mendapatkan
maka hal ini dapat dirampungkan dengan operasi-operasi baris pada kedua ruas
sehingga ruas kiri terreduksi pada , sehingga matriks akhir akan mempunyai
bentuk | . Maka perhitungannya dapat dilakukan sebagai berikut:1 2 − 12 2 41 3 − 3 1 0 00 1 00 0 1 − 2 1 2 − 10 − 2 61 3 − 3 1 0 0− 2 1 00 0 1 − b 1 2 − 10 − 2 60 1 − 2 1 0 0− 2 1 0− 1 0 1 b × (− 1 2)1 2 − 10 1 − 30 1 − 2 1 0 01 − 1/2 0− 1 0 1 b − b1 2 − 10 1 − 30 0 1 1 0 01 − 1/2 0− 2 1/2 1 +1 2 00 1 − 30 0 1 − 1 1/2 11 − 1/2 0− 2 1/2 1 + 3
II-6
1 2 00 1 00 0 1 − 1 1/2 1− 5 1 3− 2 1/2 1 − 21 0 00 1 00 0 1 9 − 3/2 − 5− 5 1 3− 2 1/2 1
Jadi :
= 9 − 3/2 5− 5− 2 11/2 312.5 Rank Matriks
dari suatu matriks berukuran × adalah jumlah maksimum dari
vektor baris (kolom) yang bebas linear (independen linear). Rank dari suatu
matriks merupakan dimensi dari vektor baris (kolom) non-zero pada matriks
tersebut.
Matriks bujur sangkar , jika vektor baris dan kolom yang bebas linear
mempunyai dimensi yang sama maka dimensi tersebut merupakan rank matriks.
Misalnya diketahui matriks berukuran × : = ⋯⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋮
Vektors baris dari matriks A adalah: = ( , , ···, ) = ( , , ···, ) = ( , , ···, )Vektor kolom dari matriks A adalah :
= ⋮ = ⋮ , · · · , = ⋮dari matriks dinyatakan oleh ( ) atau ( ) notasi rank suatu
matriks adalah: ⇔ ( )
II-7
matriks dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu matriks itu
singular atau nonsingular. Jika matriks bujur sangkar dengan dimensi × ,
maka matriks adalah nonsingular apabilah = dan jika <
maka matriks merupakan matriks singular.
Contoh 2.5:
Tentukan dari matriks dibawah ini: = 1 2 323 3 45 7Penyelesaian :
Dengan menggunakan operasi baris elementer kita dapat menentukan
dari matriks dengan cara melihat banyaknya baris tak nol pada matriks
Elementer yang didapat. Maka perhitungannya dapat dilakukan sebagai berikut: = 1 2 323 3 45 7 − 2=
1 2 303 − 1 − 25 7 - 3=
1 2 300 − 1 − 2− 1 − 2 -
=1 2 300 − 1 − 20 0
Jadi rank dari matriks A=2
2.6 Matriks Bipartit
Matriks bipartit adalah matriks yang dibentuk oleh suatu graf yaitu graf
bipartit.
Definisi 2.2 (Rinalni Munir, 2007) : Graf G yang himpunan simpulnya dapat
dikelompokan menjadi dua himpunan bagian dan , sedemikian sehingga
II-8
setiap sisi didalam G menghubungkan simpul di ke sebuah simpul di di
sebut graf bipartit.
Adapun cara untuk menentukan matriks dari suatu graf bipartit adalah
apabila simpul yang satu berhubungan dengan simpul yang lain maka mempunyai
nilai dan sebaliknya apabila simpulnya tidak ada berhubungan maka tidak
mempunyai nilai atau sama dengan nol untuk lebih jelas perhatikan contoh
dibawah ini.
Contoh 2.6 :
Berikut merupakan gambar graf bipartit.
Gambar 2.1 Graf bipartit
Gambar diatas jelas bahwa titik-titik grafnya terbagi menjadi 2 bagian, yaitu
= , , dan = , . Setiap titik dalam dihubungkan dengan
setiap titik dalam sehingga graf merupakan graf bipartit. Gambar diatas dapat
dituliskan dalam bentuk matriks seperti dibawah ini:0 0 0 1 100110011
00111100
1100Matriks yang terbentuk dari graf bipartit disebut matriks bipartit. Kemudian
matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks blok bipartit yang berukuran2 2 seperti dibawah ini:
II-9
0 0 0 1 100110011
00111100
1100 =0 0 •
Contoh 2.7 :
Berikut merupakan gambar graf bipartit
Gambar 2.2 Graf bipartit
Gambar diatas jelas bahwa titik–titik grafnya terbagi atas menjadi 2 bagian,
yaitu , dan , . Setiap titik dalam dihubungkan dengan
setiap titik dalam sehingga graf merupakan graf bipartit. Gambar diatas dapat
dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
0 0 1 1011 011 100 100Kemudian matriks di atas diblok menjadi matriks blok bipartit yang
berukuran 2 2 seperti dibawah ini:
0 0 1 1011 011 100 100 =0 0 •
III-1
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian yang digunakan adalah situdi literatur dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Diberikan suatu matriks bipartit dengan ukuran × .
2. Membuat graf bipartit dari matriks bipartit yang diberikan
3. Kemudian matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks yang berukuran2 × 2yang berbentuk:
= 04. Mengalikan matriks blok dengan matriks blok
5. Menentukan dari matriks
6. Setelah didapatkan , akan ditentukan indeks dengan mengambil
pangkat terkecil dari nilai rank yang sama.
7. Kemudian menentukan invers Drazin dari
8. Selanjutnya akan ditentukan invers Drazin dari dengan menggunakan
persamaan berikut:
=0 ( )( ) 0
III-2
Langkah – langkah diatas dapat digambarkan dalam flowchart sebagai
berikut :
Gambar 3.1 Flowchart Metode Penelitian
Mulai
Matriks
Membuat graf bipartit dari matriks
Menentukan blok matriks bipartit
Mengalikan matriks blok dengan Matriks blok
Menentukan invers Drazin dengan menggunakan persamaan berikut:
=0 ( )( ) 0
Selesai
Menentukan rank dari matriks
Menentukan indeks dengan mengambil pangkat terkecildari nilai rank yang sama
Kemudian menentukan invers Drazin dari
Hasil
IV-1
BAB IV
PEMBAHASAN
Berdasarkan landasan teori, maka pada bab IV akan dibahas mengenai
bagaimana langkah-langkah dalam menentukan invers Drazin pada matriks
bipartit berukuran ×4.1 Invers Drazin
Invers Drazin pertama kali dikenalkan oleh Micheal P Drazin pada
Tahun 1958 dengan Definisi sebagai berikut:
Definisi 4.1 (M.Catral, D.D Olesky and P. Van Den Driessche]: Jika
matriks × bilangan real atau komplek maka indeks dari adalah bilangan
bulat ( ) sedemikian hingga = maka invers Drazin dari
matriks adalah matriks tunggal yaitu yang memenuhi syarat:
1. = (1)
2. = (2)
3. = (3)
dengan adalah indeks dari . Jika indeks = 0 maka adalah nonsingular
dan = dan jika indeks = 1 maka = #, yaitu group invers dari. Adapun langkah-langkah untuk menentukan invers Drazin dari matriks
adalah sebagai berikut:
1. Menentukan dari matriks
2. Menentukan Indeks dari matriks disimbolkan dengan dengan
mengambil pangkat terkecil dari nilai yang sama.
3. Selanjutnya tentukan invers Drazin dari matriks dengan cara jika = 0maka = ,jika = 1 maka = # dan jika > 1 maka=
IV-2
Contoh 4.1:
Tentukan invers Drazin matriks dibawah ini:= 2 2 2− 20 − 20 − 41Penyelesaian:
1. Menentukan dari perpangkatan sampai dijumpai nilai yang
sama.
a. = 2 2 2− 20 − 20 − 41 − = 2 2 2− 20 − 20 − 40
Maka didapat = 2
b. =
2 2 2− 20 − 20 − 41 2 2 2− 20 − 20 − 41= 0 0 − 200 00 01
Rank =0 0 − 200 00 01 +
=0 0 − 200 00 00
Maka didapat = 1, sebab ≠ maka perlu
dilanjukan dari .
c. =2 2 2− 20 − 20 − 41 2 2 2− 20 − 20 − 41 2 2 2− 20 − 20 − 41
IV-3
=0 0 − 200 00 01 2 2 2− 20 − 20 − 41
=0 0 − 200 00 01
Rank =0 0 − 200 00 01 +
=0 0 − 200 00 00
Maka didapat = 1, sebab = maka pencariandari perpangkatan dihentikan.
2. Indeks dari matriks karena didapat =2 dan = =1 maka dapat disimpulkan indeks =2, hal ini berdasarkan
Definisi invers Drazin atau Definisi 4.1
3. Menentukan invers Drazin dari matriks
Karena = dengan adalah indeks dari matriks disini ditunjukan
indeks dari matriks = 2 maka didapat invers Drazin dari matriks
adalah sebagai berikut:
= 2 2 2− 20 − 20 − 41 2 2 2− 20 − 20 − 41= 0 0 − 200 00 01
Jadi : = 0 0 − 200 00 01Bukti: Akan ditunjukan yang berlaku tiga sifat yaitu:
1. ==
2 2 2− 20 − 20 − 41 0 0 − 200 00 01
IV-4
=0 0 − 200 00 01
=0 0 − 200 00 01 2 2 2− 20 − 20 − 41
= 0 0 − 200 00 01 Terbukti ∎2. = = 0 0 − 200 00 01 2 2 2− 20 − 20 − 41 0 0 − 200 00 01
=0 0 − 200 00 01 0 0 − 200 00 01
=0 0 − 200 00 01
= Terbukti ∎3. =
= =0 0 − 200 00 01 0 0 − 200 00 01
=0 0 − 200 00 01
= = Terbukti ∎4.2 Invers Drazin dari Representasi Blok Matriks Bipartit
Teorema 4.1 jika A adalah adalah matriks bipartit maka invers Drazin dari
matriks A adalah:= 0 0
IV-5
Bukti :
Akan ditunjukan bahwa persamaan di atas akan memenuhi persamaan-
persamaan yang terdapat pada invers Drazin sebagai berikut:
1. = =0 0 0 0
= 0 ∎ = 0 0 0 0
= 0 ∎Karena = maka = dengan adalah invers Drazin
( ).
2. = = 0 0 0 0 0 0= 0 0 0= 0 0= 0 0
IV-6
= ∎Jadi dari persamaan di atas terbukti bahwa = dengan
adalah invers Drazin ( )3. =
=00 0 0
=0 0
=0 ( )( ) ( ) 0
= 0 ( )( ) 0= ∎
Dari ketiga persamaan di atas maka terbukti bahwa adalah invers
Drazin dari .
Selanjutnya akan diberikan tiga Lemma yang digunakan untuk melihat
sifat-sifat invers Drazin.
Lemma 4.1 Jika U adalah matriks × , maka = Bukti:
Misalkan adalah sebuah matriks yang berukuran × maka
adalah Invers Drazin dari jika adalah indeks dari maka berlaku rank
= rank . karena = maka berlaku =
Sehingga dari penyelesaian di atas maka berarti invers Drazin sama dengan
invers Drazin dikuadratkan. Terbukti bahwa = ∎
IV-7
Lemma 4.2 Jika V adalah matriks × dan W adalah × , maka = Bukti :
Diketahui: = ×= ×Akan ditentukan: = = = = Maka berdasarkan Persamaan (2) diperoleh: = ∎Lemma 4.3 Jika adalah × − dan adalah − × , maka = Bukti:
Diketahui: = × − = − ×Akan ditentukan: = Berdasarkan Lemma 4.3.1 dan Lemma 4.3.2 maka diperoleh: = [ ]
= [ ]Menggunakan Persamaan (1) dan Persamaan (2) maka diperoleh:=
= = = ∎
Berdasarkan Lemma 4.2.3 menunjukan bahwa = dan
dengan demikian dari Teorema 4.2.1 memberikan empat pernyataan berikut
untuk invers Drazin dari matriks bipartit yaitu sebagai berikut:
IV-8
= 0 0 = 0 0=
0 0 = 0 04.3 Indeks pada Matriks dari Indeks
Pada sub bagian ini di jelaskan tentang menentukan indeks dari
(matriks bipartit) yang berukuran × yang dalam hal ini digunakan dan
indeks .
Jika adalah matriks bipartit maka di dapat dua persamaan sebagai
berikut:
=00
dan
=0 0
=0 0
dengan = 0, 1, 2, 3,···nMaka dari persamaan diatas didapat bahwa : = + dan (4) = + (5)
Selanjutnya akan diberikan sebuah Teorema mengenai indeks namun
sebelumnya diberikan Lemma dibawah ini sebagai bahan pembuktian Teorema
tersebut:
Lemma 4.4 (Frobenius Inequality) jika = × , = × , dan = × , maka berlaku
IV-9
+ ≤ + Bukti :
Diketahui : = ×= ×= ×Akan ditentukan : + ≤ + Misalkan = 3 × 4, = 4 × 3. dan = 3 × 2. Maka = 3 × 3= 4 × 2, dan = 3 × 2. Maka didapat ≤ 4, ≤ 3, ≤ 4 dan = 3, maka dari penyelesaian diatas maka
berlaku + ≤ + . Terbukti bahwa + ≤ + ∎Teorema 4.2 Jika adalah matriks bipartit dan indeks = ≥ 1 maka
indeks = 2 − 1, 2s atau 2s + 1.
Bukti :
Diketahui : = ≥ 1dan menurut Lemma 4.3.1 maka diperoleh: + ≤ + < + Karena indeks = jadi dengan menggunakan Persamaan (4) dan (5) maka
diperoleh < Dalam hal ini diambil indeks > 2 − 2Karena itu di dapat indeks = 2 − 1, 2 2 + 1 ∎
Selanjutnya diberikan beberapa contoh menentukan invers Drazindari matriks bipartit:
IV-10
Contoh 4.2:
Diberikan matriks bipartit sebagai berikut:
=
0 0 0 1 00011 0011 0012 1− 100 − 2100Tentukan invers Drazin dari matriks bipartit diatas:
Penyelesaian :
Adapun langkah–langkah dalam menentukan Invers Drazin dari matriks
bipartit tersebut adalah sebagai berikut:
1. Matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks blok 2 × 2 =
0 0 0 1 00011 0011 0012 1− 100 − 2100 =0 0
2. Selanjutnya Matriks blok dikalikan dengan matriks blok .= 1 01− 1 − 21 × 1 1 11 1 2= 1 1 1− 10 − 10 − 31
3. Kemudian menentukan rank matriks dan ambil nilai rank yang yang
sama dari pangkat terkecil, dari nilai rank yang sama tersebut didapat
indeks .
a. = 1 1 1− 10 − 10 − 31 + = 1 1 100 00 − 21 + = 1 1 100 00 − 20
Maka didapat = 2
IV-11
b. ( ) ( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 − =
0 0 − 100 00 01 + =
0 0 − 100 00 00Maka didapat = 1,sebab ≠ maka
perlu di lanjutkan dari
c. ( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 − = 0 0 − 100 00 01 + = 0 0 − 100 00 00
Maka didapat = 1, sebab = maka
pencarian dari perpangkatan dihentikan.
IV-12
Karena = = 1 maka dapat disimpulkan indeks = 2 = , hal ini berdasarkan Definisi invers Drazin atau Definisi 4.1
Berdasarkan teorema 4.3.1 maka indeks dari = 2 − 1, 2 , atau2 + 1 disini ditunjukan indeks = 3 = 2 − 1.
4. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari
Karena = dengan adalah indeks dari disini ditunjukan
indeks = 2 maka invers Drazin dari adalah sebagai berikut:
( ) = ( ) = 0 0 − 100 00 − 115. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks dengan
menggunakan persamaan berikut := 0 0Sebelum kita masukan kedalam persamaan di atas maka terlebih dahulu
kita kalikan dengan masing – masing blok.
= 0 0 − 100 00 − 11 1 01− 1 − 21= 1 − 11− 1 − 11 = 1 1 11 1 2 0 0 − 100 00 − 11=
0 0 − 10 0 0Berdasarkan persamaan di atas maka didapat invers Drazin dari matriks
tersebut adalah sebagai berikut:=
0 0 0 1 − 10000 0000 00− 10 1− 100 − 1100 ∎
IV-13
Selanjutnya jika diberikan matriks bipartit yang berbentuk= 0 0dimana adalah matriks singular yang berukuran × , dengan indeks= ≥ 1, dan = dimana adalah matriks identitas maka indeks = dan ≤ . Dengan demikian maka diperoleh indeks= 2 dalam hal ini maka invers Drazin dari matriks bipartit tersebut adalah
sebagai berikut: = 0 0Contoh 4.3
Diberikan suatu Matriks bipartit sebagai berikut:
= 0 0 0 1 1 100100 00010 00001 − 10000− 10000
− 31000Tentukan invers Drazin dari matriks bipartit tersebut
Penyelesaian:
Adapun langkah–langkah dalam menentukan invers Drazin dari matriks
bipartit tersebut adalah sebagai berikut:
1. Matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks blok 2 × 2.
= 0 0 0 1 1 100100 00010 00001 − 10000− 10000
− 310002. Matriks blok dikalikan dengan matriks blok .
=1 1 1− 10 − 10 − 31 .
1 0 000 10 01
IV-14
=1 1 1− 10 − 10 − 31
3. Kemudian menentukan rank matriks dan ambil nilai rank yang sama
dari pangkat terkecil, dari nilai rank yang sama tersebut didapat indeks
.
a. = 1 1 1− 10 − 10 − 31 + = 1 1 100 00 − 21 + = 1 1 100 00 − 20
Maka didapat = 2
b. ( ) ( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 − =
0 0 − 100 00 01 + =
0 0 − 100 00 00Maka didapat = 1,sebab ≠ maka
perlu di lanjutkan dari
c. ( )( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31
IV-15
=0 0 − 100 00 − 11 1 1 1− 10 − 10 − 31
=0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 −
=0 0 − 100 00 01 +
= 0 0 − 100 00 00Maka didapat = 1, sebab = = 1 maka
pencarian dari perpangkatan dihentikan.
Karena = = 1 maka dapat disimpulkan indeks = 2 = , hal ini berdasarkan Definisi invers Drazin atau Definisi 4.1
Berdasarkan Teorema 4.3.1 maka indeks dari = 2 − 1, 2 , atau2 + 1 disini ditunjukan indeks = 4 = 2 .
4. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari
Karena = dengan adalah indeks dari disini ditunjukan
indeks = 2 maka invers Drazin dari adalah sebagai berikut:
( ) = ( ) = 0 0 − 100 00 − 115. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks dengan
menggunakan persamaan berikut= 0 0Berdasarkan pepersamaan di atas maka didapat invers Drazin dari
matriks adalah sebagai berikut:
IV-16
= 0 0 0 0 0 − 10000000000 00− 1− 11 00000
00000− 11000 ∎
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa invers Drazin dari matriks di atas
sama dengan invers Drazin dengan menggunakan persamaan dibawah ini.= 0 0Berikut akan dibuktikan bahwa invers Drazin dari matriks sama
dengan invers Drazin dengan menggunakan persamaan di atas.
Bukti :
= 0 0 0 1 1 100100 00010 00001 − 10000− 10000
− 31000Adapun langkah-langkah dalam menentukan invers Drazin dari matriks
bipartit tersebut adalah sebagai berikut:
1. Matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks blok 2 × 2.
= 0 0 0 1 1 100100 00010 00001 − 10000− 10000
− 310002. Kemudian menentukan rank matriks dan ambil nilai rank yang yang
sama dari pangkat terkecil, dari nilai rank yang sama tersebut didapat
indeks .
a. = 1 1 1− 10 − 10 − 31 +
IV-17
= 1 1 100 00 − 21 + = 1 1 100 00 − 20
Maka didapat = 2
b. ( ) ( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 − =
0 0 − 100 00 01 + =
0 0 − 100 00 00Maka didapat = 1,sebab ≠ maka perlu di
lanjutkan dari
d. ( )( ) = 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11 1 1 1− 10 − 10 − 31=
0 0 − 100 00 − 11( ) = 0 0 − 100 00 − 11 −
IV-18
=0 0 − 100 00 01 +
=0 0 − 100 00 00
Maka didapat = 1, sebab = = 1 maka
pencarian dari perpangkatan dihentikan.
Karena = = 1 maka dapat disimpulkan indeks =2,
hal ini berdasarkan Definisi invers Drazin atau Definisi 4.1
3. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks
Karena = dengan q adalah indeks dari disini ditunjukan indeks
= 2 maka invers Drazin dari adalah sebagai berikut:
( ) = ( ) = 0 0 − 100 00 − 114. Selanjutnya akan ditentuka invers Drazin dari matriks dengan
menggunakan persamaan berikut = 0 0Berdasarkan persamaan di atas maka didapat invers Drazin dari matriks
tersebut adalah sebagai berikut:
= 0 0 0 0 0 − 10000000000
00− 1− 1100000
00000− 11000
Terbukti ∎
IV-19
Contoh 4.4
Diberikan matriks bipartit sebagai berikut:
=0 0 0 − 1 0 0 1001001
001− 1000001− 10
100000110000
010000000000
Tentukan invers Drazin dari matriks bipartit diatas:
Penyelesaian:
Adapun langkah-langkah dalam menentukan invers Drazin dari matriks
bipartit tersebut adalah sebagai berikut:
1. Matriks bipartit tersebut diblok menjadi matriks blok 2 × 2=
0 0 0 − 1 0 0 1001001001− 100
0001− 10100000
110000010000
0000002. Selanjutnya matriks blok dikalikan dengan matriks blok .
= − 1 0 0 110 11 01 00 × 1 1 0001 − 1 10 − 10 0=
0 − 1 010 0− 1 103. Kemudian menentukan rank matriks dan ambil nilai rank yang yang
sama dari pangkat terkecil, dari nilai rank yang sama tersebut didapat
indeks .
a. = 0 − 1 010 0− 1 10 −
IV-20
= 0 − 1 010 00 10Maka didapat = 2
b. ( ) = 0 − 1 010 0− 1 10 0 − 1 010 0− 1 10=
− 1 0 − 10− 1 − 20 0− 1 = − 1 0 − 10− 1 − 20 0− 1 − = − 1 0 − 100 − 20 00
Maka didapat = 2, sebab = = 2 maka
pencarian dari perpangkatan dihentikan.
Karena = = 2, maka dapat disimpulkan indeks = 1 = , hal ini berdasarkan Definisi invers Drazin atau Definisi 4.1
Berdasarkan Teorema 4.3.1 maka indeks = 2 − 1, 2 , atau 2 + 1,
disini ditunjukan indeks = 3 = 2 + 1.
4. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari
karena indeks = 1 maka ( ) = # = ( ) sehingga
didapat group invers ebagai berikut:
# = 0 1 0− 10 01 − 105. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks dengan
menggunakan persamaan berikut:= 0 ## 0
IV-21
Berdasarkan persamaan di atas maka didapat invers Drazin dari matriks
yaitu sebagai berikut:
= −0 0 0 1 1 0 0001100
0011− 1100− 1100
110000− 110000
− 100000− 100000
∎
V-1
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab IV dapat diperoleh beberapa kesimpulan
sebagai berikut:
1. Invers Drazin dari suatu matriks bujur sangkar yang ditulis dengan
merupakan sebuah invers yang memenuhi persamaan berikut:= == dengan adalah indeks dari . Jika indeks = 0 maka adalah
nonsingular dan = dan jika indeks = 1 maka = #, yaitu
Group invers dari .
2. Adapun langkah-langkah untuk menentukan blok invers drazin dari matriks
bipartit adalah sebagai berikut:
a. Diketahui matriks bipartit berukuran × , matriks bipartit tersebut
diblok menjadi matriks yang berukuran 2 × 2 yang berbentuk0 0
b. Kemudian matriks blok dikalikan dengan matriks blok dan tentukan
rank dari matriks kemudian diambil pangkat terkecil dari niali rank
yang sama untuk mendapatkan indeksnya.
c. Kemudian menentukan invers Drazin dari
d. Menentukan invers Drazin dari dengan Menggunakan persamaan
berikut= 0 0
V-2
5.2 Saran
Tugas akhir ini, penulis menentukan invers drazin dengan menggunakan
matrikks bipartit, diharapkan bagi pembaca yang berminat untuk melanjutkan
tugas akhir untuk menggunakan matriks yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. Aljabar Linier Elementer. Edisi ketujuh. Jakarta.2000
Catral, M. DD, Olesky and Van Den Den Driessche P. Blok Representations ofThe Drazin Inverse Of A Bipartite Matriks. Electronik journal of linearalgebra. Vol 18, pp, (98-107).2009.
Catral, M. DD. Olesky and. Van Den Den Driessche P. Group Inverses OfMatrices With Path Graph. Electronik journal of linear algebra, Vol 18,pp, (219-233) 2008.
Chang Jiang bu, and Kuize Zhang. The Expilit Representation Of The DrazinInvers Of A Class Of Block Matrices. Elektronik journal of linear algebraISSN 1081-3810, Vol 20,pp,(406-418) 2010
Dragana. Cvetkovic-Ilic S. A note on the representation for the Drazin Invers of2 × 2 block matrick. Supported by Grant No.1440 of the Ministry ofScience, Teknology and Development, Republik of Serbia.
Jong jek siang. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada ilmu komputer. AndiYogyakarta, 2009
Khasanah, Lisnalwati. dan Bambang Irawanto. Menentukan invers drazin darimatriks singular. Jurnal Matematika Vol. 14; No. 3, (137-142), 2011
Rinaldi, munir. Matematika Distrit. Informatika Bandung, 2007
Ruminta. Matriks Persamaan Linear Dan Pemograman Linear. Rekayasa Sains,Bandung 2009
Santosa, Gunawan R . Aljabar linear dasar. Andi Yogyakarta.2009
Setiadi. Aljabar Linear. Edisi Pertama-Yogyakarta, Garaha Ilmu, 2008