invers fungsidan komposisi
TRANSCRIPT
![Page 1: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/1.jpg)
Komposisi Fungsi Dan Fungsi Invers
Dibuat Oleh: Ivan Bonardo Pradipta SiahaanWiedya Kristianti Angeline
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f
AB
Fungsi Komposisi
Fungsi Invers
![Page 2: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/2.jpg)
Komposisi Fungsi
Pengertian
Metode
Contoh Soal
Metode I
Awal
![Page 3: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/3.jpg)
Penggabungan operasi
dua fungsisecara
berurutan akan
menghasilkan sebuah
fungsi baru.
Penggabungan tersebut
disebut komposisi fungsi
dan hasilnya disebut
fungsi komposisi.
Apa sih Komposisi Fungsi itu ?Sifat Komposisi adalah:
1. Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f o
g o h
3. Memiliki fungsi identitas:
I(x) = x f o I = I o f = f
![Page 4: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/4.jpg)
x A dipetakan oleh f ke y B ditulis f : x
→ y atau y = f(x)
y B dipetakan oleh g ke z C ditulis g : y
→ z atau z = g(y) / z = g(f(x))
A
x
C
z
B
yf g
g o f
maka fungsi yang memetakanx A ke z C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
![Page 5: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/5.jpg)
f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b) !
A B Ca
b
p
q
123
f g
Contoh Soal
![Page 6: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/6.jpg)
Jawab:
A B Ca
b
p
q
123
f g
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q
(g o f)(a) = ?
![Page 7: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/7.jpg)
A B Ca
b
p
q
123
f g
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
(g o f)(b) = ?
![Page 8: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/8.jpg)
contoh 1
f : R → R dan g : R → R
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan: a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
![Page 9: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/9.jpg)
Jawab:f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g( ) = 2(3x – 1)2 + 5 = 2(9x2 – 6x + 1) + 5 = 18x2 – 12x + 2 + 5 = 18x2 – 12x + 7
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f( ) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif s
3x – 1
3x – 1
2x2 + 5
2x2 + 5
![Page 10: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/10.jpg)
B. Fungsi Invers/Invers Fungsi
![Page 11: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/11.jpg)
DALAM INVERS FUNGSI INI, AKAN DIBAHAS MENGENAI:
1. Pengertian
3. Contoh Soal
Menentukan Rumus Fungsi Invers
Metode Alternatif menentukan fungsi invers
2. Metode2. Metode
Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi Awal
![Page 12: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/12.jpg)
1. PengertianJika ada f sebagai fungsi dari A B, maka f
mempunyai fungsi invers f -1 :B A , jika dan hanya jika f adalah korespondensi 1-1
TEOREMA:f : A B dan f -1 : B A
ket :f : y = f(x)
cara mencari fungsi invers
f -1 : x = f(y) => nyatakan x dalam y
![Page 13: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/13.jpg)
a
b
c
d54
3
2
1ff -1
f : A → B
A = {a, b, c, d}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
f = {(a,1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
f -1 : B → A
A = {a, b, c, d}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
f -1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}
INVERS
![Page 14: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/14.jpg)
Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1
Fungsi f dan g saling invers jika dipenuhi:
( f o g )(x) = x dan ( g o f )(x) = x
![Page 15: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/15.jpg)
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f
A
B
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f -1
A
B
Ket : Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1
Kembali ke menu
![Page 16: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/16.jpg)
MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS:
Menentukan Rumus Fungsi Invers:1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk
x = g(y).2. x menampilkan f -1(y) sehingga
diperoleh f -1(y) = g(y).3. Ganti y dengan x, diperoleh rumus
fungsi invers f -1(x) dalam variable x.
Kembali ke menu
![Page 17: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/17.jpg)
Untuk fungsi yang sederhana, terdapat metode alternatif yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah, yaitu dengan cukup menentukan kebalikan dari tiap operasi aljabar, kemudian membacanya dari belakang.
Metode Alternatif menentukan fungsi invers
![Page 18: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/18.jpg)
FUNGSI ASAL FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c
f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0f-1(x) = (-b+ 4ax+D )/2a; D= b2-4ac
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0
f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0
BENTUK-BENTUK PERMASALAHAN DALAM FUNGSI INVERS:
Ö
Kembali ke menu
![Page 19: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/19.jpg)
Tentukan rumus fungsi invers untuk fungsi f(x)= 3x+2 !
Contoh 1:
![Page 20: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/20.jpg)
1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk x = g(y)
+
y = f(x)
yf(x) 3x 2-3 = - yx
x= 13
y− 23
2. x menunjukkan f -1(y) sehingga diperoleh:
13
y− 23
f -1(y) =x
![Page 21: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/21.jpg)
3. Ganti y dengan x, untuk memperoleh rumus fungsi invers f -1(x) dalam variable x.
13
−23
f -1(y) = y(x) x
![Page 22: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/22.jpg)
y= f (x) = 3x + 4f (x)-1 ...?
Cara menggunakan metode alternatif: f(x) f(x)-1
x 3x kali 3 bagi 3 3x + 4 tambah 4 kurang 4 x
Contoh:
(x -4)3
(x -4)
![Page 23: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 2:Tentukan fungsi invers dari:
ax + bcx + d
f(x) =
Anda dapat menggunakan rumus cepat dalammenyelesaikan bentuk soal seperti ini, yaitu:
Pola: menjadi
a
-a
b
c d
-d b
c
![Page 24: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/24.jpg)
x + bcx
f(x)=f -1(x)d
-da
+- a
Jadi, fungsi invers dari contoh 2 adalah:
x + bcx
=f -1(x)-d
- a
![Page 25: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh 3:
Tuliskan fungsi invers dari:
f(x)2log x3=
Jawab:
f(x)2log x3=
Rumus cepat untuk bentuk soal ini adalah:
f-1(x) =
ax
c
Sehingga penyelesaian soal ini adalah:
f -
1(x)f(x)
2log x= 3= 2x
3
f(x) = a log cx
f-1(x) =
ax
c
![Page 26: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh 4:
Tentukan fungsi invers dari f(x)= x2-2x+1!
Jawab: b=-2;a=1;
f -1(x) = (-b+ 4ax+D ) = (-(-2) + 4(1)x + 0) 2a 2(1) = 2+ 4x = 2+ 2 x 2 2 = 1 + x
Ö Ö
Ö Ö
Ö
Kembali ke menu
![Page 27: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/27.jpg)
Sifat Fungsi Invers Berkaitan dengan Fungsi Komposisi
•Fungsi komposisi f o g dan go f dapat diubah menjadi fungsi invers. Terdapat 2 sifat yaitu:
( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -1 )(x) (g o f ) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)
![Page 28: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh soal :
Tentukanlah ( f o g )-1 (x) dan dari fungsi f(x)= 4x-2 dan g(x)=x + 7.
Jawab: gunakan sifat ( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -
1 )(x)
I. Tentukan f-1 dan g-1 terlebih dahulu
f(x)= 4x-2
g(x)=x + 7
f(x)-1= x+2 4
g(x) -1=x - 7
II. Gunakan sifat sifat ( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -
1 )(x) (f o g) -1 (x) = (g-1 o f-1)(x) = g-1{f-1(x)}
= g-1
* f(x)-1= x+2 4
*g(x) -1=x - 7x+2 4
x+2 4
= 7 x+2 4 - 28
4
= x + 2 – 28 = x - 26 4 4= (f o g)-1(x)=
14
x− 264
Kembali ke menu
![Page 29: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/29.jpg)
Kesimpulan:
Sifat Komposisi adalah:
1. Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas:
I(x) = x f o I = I o f = f
![Page 30: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/30.jpg)
Jika ada f sebagai fungsi dari A B, maka f mempunyai fungsi invers f -1 :B A , jika dan hanya jika f adalah korespondensi 1-1
Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1
Menentukan Rumus Fungsi Invers:1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk
x = g(y).2. x menampilkan f -1(y) sehingga
diperoleh f -1(y) = g(y).3. Ganti y dengan x, diperoleh rumus
fungsi invers f -1(x) dalam variable x.
![Page 31: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/31.jpg)
Metode Alternatif menentukan fungsi invers
yaitu dengan cukup menentukan kebalikan dari tiap operasi aljabar, kemudian membacanya dari belakangFUNGSI ASAL FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c
f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0f-1(x) = (-b+ 4ax+D )/2a; D= b2-4ac
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0
f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0
keluar
![Page 32: Invers Fungsidan komposisi](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022050711/5571f97649795991698fa0e9/html5/thumbnails/32.jpg)