(4) invers matriks - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · invers matriks agustina...
TRANSCRIPT
Jika A matriks bujursangkar, dan jika dapat
dicari matriks B sehingga
AB = BA = I,
Maka A dikatakan invertible dan B
dinamakan invers (inverse) dari A. [B=A-1]
IAAAA 11
Definisi : INVERS
Jika B & C adalah invers matriks A,
maka B=C.
Bukti
Karena B dan C invers matriks A sehingga
AB = BA = I dan AC = CA = I
Ambil (BA)C maka (BA)C = IC = C……(1)
Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B………...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh B = C ■
Ketunggalan Invers
D
E
F
I
N
I
S
I
Jika A, B matriks-matriks invertible
dan berordo sama, maka
1. AB invertible
2. (AB)-1 = B-1A-1
3. A-1 invertible dan (A-1)-1 = A
4. An invertible & (An)-1=(A-1)n, n= 0,1,2,..
111 A)A( kk
5. Setiap skalar k0, maka kA invertible &
Matriks Invertible
S
I
F
A
T
Bukti 1
Karena A & B matriks invertible, berlaku
AB=BA=I → B=A-1 dan BA=AB =I → A=B-1
AB = B-1 A-1 = BA = A-1 B-1 = I
(AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB)
= B-1(A-1A)B = B-1IB = I
Dari (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I
Maka AB invertible ■
Bukti 2
Karena AB invertible maka
(AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I
Jadi (AB)-1 = B-1A-1 ■
Bukti 3
Karena A invertible, berlaku A A-1 = A-1 A=I
Jadi A-1 invertible & A invers A-1 → (A-1)-1 =A ■
n11n
nnn1n1n
1111
11111
faktorn
111
faktorn
n1n
)(A)(A sehingga
invertible AIA)(A)(AA
IAIAA(I)AA)(AIAA
AA(I)AAAA)(AAAA
)AAA)(AAA()(AA
4 Bukti
111
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
)A(A Jadi
I)A)(A()A)(A( Dari
II1)AA(
A)A(A)A()A)(A(
II1)AA(
A)A(A)A()A)(A(
5 Bukti
k
kk
k
kkk
k
kkk
k
kk
k
kkk
k
kkk
Sebuah matriks bujursangkar A
invertible det(A)≠0
Bukti )
A invertible maka
AA-1=I
det(A)det(A-1)=det(I)=1.
Jadi det(A)0■
T
E
O
R
E
M
A
) Bukti
det(A)0. Ditunjukkan AI
(A matriks elementer → A invertible)
Misal R matriks eselon baris ter-
reduksi dari A, maka dapat dicari
matriks-matriks elementer E1,…,Ek
sehingga
Ek…E1A = R
A = E1-1 … Ek
-1R
det(A)=det(E1-1)…det(Ek
1)det(R)
Karena det(A)0det(R)0,
jadi R tidak mempunyai
barisan bilangan nol, dan
matriks tersebut dapat
direduksi menjadi matriks
identitas shg R=I. Jadi A
invertible■
Suatu matriks invertible
dapat diuraikan atas
matriks-matriks
elementer [dapat
dinyatakan sebagai hasil
ganda matriks-matriks
elementer]
S
I
F
A
T
Bukti :
Misalkan matriks A invertible maka
dengan menggunakan sejumlah
transformasi pada baris dan
kolomnya, matriks A dapat dijadikan
matriks identitas. Hasil dari
transformasi-transformasi itu dapat
dicapai dengan menggandakan A dari
kiri [R] dan menggandakan A dari
kanan [K]
1-
1
1-
2
1
t
1-
s
1-
2
1-
1
1-
1
1-
2
1
tt2112s
1-
s
1-
2
1-
1
1
t21
1
12s
1
t21t2112s
1
12s
t2112s
KKKIRRRKKKKKKARRRRRR
)KK(KI)RR(R)KK(KKKKARRR)RR(R
IKKKARRR
1-
1
1-
2
1
t
1-
1
1-
2
1
t
1-
1
1-
2
1
t
1-
1
1-
2
1
t
1-
1
1-
2
1
t
1-
1
1-
2
1
t
-1
1
-1
2
1
t
1
s
1-
2
1-
1
1
s
1-
2
1-
1
1
s
1-
2
1-
1
1-
111
1-
1
1
s
1-
2
1-
1
1-
111
1-
1
1
s
1-
2
1-
1
1-
1
1-
22112
1-
2
1-
1
1
s
1-
2
1-
1
1-
1
1-
22112
1-
2
1-
1
1
s
-1
2
-1
1
-1
1
-1
2
1
tt2112s
-1
s
-1
2
-1
1
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
IRRRA
IRRRIAI
IRRRKKARR
IRRRKIKARIR
IRRRKKKKARRRR
IRRRKKIKKARRIRR
IRRRKKKKKKARRRRRR
terbukti■
Jadi (1) matriks invertible [A invertible →
AA-1 = A-1A = I → A-1 invertible] dpt
diuraikan atas matriks-matriks elementer &
(2) matriks elementer diperoleh dr operasi
baris elementer tunggal pd I. [definisi]
berakibat (3) matriks invertible dpt direduksi
menjadi matriks identitas I dgn melakukan
operasi elementer pada baris-barisnya.
Untuk mereduksi A menjadi I dan
mendapatkan A-1 dapat dikerjakan
bersama. Sebab R1I adalah hasil jika
operasi ke-1 dikerjakan pada baris-baris I.
Kemudian R2(R1I) adalah hasil jika
operasi ke-2 dikerjakan pada R1I.
Demikian seterusnya.
kk
k
ijij
kii
jiijij
I)(I 3.
I)(I 2.
III 1.
1
11
1
SIFAT Matriks Elementer
Setiap matriks elementer adalah invertible
dan inversnya merupakan matriks
elementer.
3 jenis )(I)(I I)(I)(I
2 jenis )(I)(I I)(I)(I
1 jenis I)I( I)I(I
11
111
11
kkkk
kkk
ijijijij
kiiii
ijijijij
Bukti :
T E O R E M A
CONTOH – 1
Uraikan matriks berikut atas matriks-
matriks elementer
24
13A
Dengan memakai
a. Operasi baris
b. Operasi baris dan satu kolom
c. Operasi baris dan dua kolom
d. Operasi baris dan tiga kolom
e. Operasi kolom
a. Operasi baris
231
12
31
23
2
32
31
21
31
31
1
10
01)(
10
1)(
0
1)4(
24
1)(
24
13
III
II
)()()4()3(24
13
)()()4()(24
13
10
01)( )4( )()(
24
13
24
13 )( )4( )()(
10
01
31
1232
2211
1
31
12
1
23
2
1
21
1
31
1
1
31
12123
231
12
kiri dari
31
12123
231
12
IIII
IIII
IIII
IIII
10
1
0
01
14
01
10
03
24
13 31
32
b. Operasi baris dan satu kolom
231
21
31
23
2
32
31
21
31
31
1
10
01)(
10
1)(
0
1)4(
24
1)(
24
13
III
II
)()()4()3(24
13
)()()4()(24
13
)(10
01)( )4( )(
24
13
)(24
13 )( )4( )(
10
01
31
2132
2211
1
31
21
1
23
2
1
21
1
31
1
1
31
21
1
31
12123
2
kanan dari
31
21
kiri dari
31
12123
2
IIII
IIII
IIII
IIII
10
1
0
01
14
01
10
03
24
1331
32
c. Operasi baris dan dua kolom
223
2
323
121
32
31
21
31
31
1
10
01)(
0
01)(
0
1)4(
24
1)(
24
13
III
II
Uraikan matriks berikut atas matriks-
matriks elementer
24
13A
)()()4()3(24
13
)()()4()(24
13
)()(10
01)( )4(
24
13
)()(24
13 )( )4(
10
01
31
2132
2211
1
31
21
1
23
2
1
21
1
31
1
1
23
231
21
1
31
121
kanan dari
23
231
21
kiri dari
31
121
IIII
IIII
IIII
IIII
10
1
0
01
14
01
10
03
24
1331
32
d. Operasi baris dan tiga kolom
21223
2
323
121
31
31
1
10
01)4(
14
01)(
4
01)(
24
1)(
24
13
III
II
)()()4()3(24
13
)()()4()(24
13
)4()()(10
01)(
24
13
)4()()(24
13 )(
10
01
31
2132
2121
1
31
21
1
23
2
1
12
1
31
1
1
1233
231
21
1
31
1
kanan dari
1223
231
21
kiri dari
31
1
IIII
IIII
IIII
IIII
10
1
0
01
14
01
10
03
24
1331
32
e. Operasi kolom
234
12
342
32
32
3421
343
11
10
01)(
1
01)(
01)1(
2
11)(
24
13
III
II
)3()1()()(24
13
)()1()()(24
13
)()()1()(10
01
24
13
)()()1()(24
13
10
01
12132
234
12
1
31
1
1
21
1
23
2
1
34
12
1
34
1223
22131
1
kanan dari
34
1223
22131
1
IIII
IIII
IIII
IIII
10
03
10
11
0
01
1
01
24
13
32
34
Invers : TRANSFORMASI ELEMENTER
Invers matriks A [invertible], dapat
diperoleh melalui urutan transformasi
elementer yang mereduksi A menjadi
matriks identitas I dan kemudian
melakukan urutan transformasi yang
sama pada I untuk mendapatkan A-1.
1-AIdan IA
1AIbariselementer operasiIA
Cari invers dari
Dengan transformasi elementer
801
352
321
A
100
010
001
801
352
321
IA
CONTOH-2
Jawab
101-
012-
001
520
310
321
Kalikan baris ke-3 dengan-1
Tambahkan –2 kali bariske-1 pada baris ke-2 dan–1 kali baris ke-1 padabaris ke-3
125-
012-
001
100
310
321
Tambahkan 2 kali bariske-2 pada baris ke-3
1-2-5
012-
001
100
310
321
1-2-5
3-5-13
3614-
100
010
021Tambahkan 3 kali kalibaris ke-3 pada baris ke-2 dan –3 kali baris ke-3pada baris ke-1
1-2-5
3-5-13
91640-
100
010
001Tambahkan -2 kali bariske-2 pada baris ke-1
1-2-5
3-5-13
91640-
A 11AI
Jika Anxn sebarang matriks bujursangkar
dan Cij adalah kofaktor aij, maka
matriks
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
22221
11211
dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos matriks ini dinamakan adjoin
A dan dinyatakan dengan adj(A).
Invers : ADJOIN MATRIKS
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
CCC
CCC
CCC
21
22221
11211
21
22212
12111
adj(A)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
A
Pada ekspansi determinan yang
berhubungan dengan adjoin,
berlaku “jika unsur suatu
baris/kolom dikalikan kofaktor
unsur baris/kolom yang lain
diperoleh nilai nol, sedangkan jika
unsur suatu baris/kolom
dikalikan kofaktor unsur
baris/kolom yang sama diperoleh
nilai det(A)(│A│)
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
Aadj(A)
adj(A)A
0000
0000
0000
0000
0000
AA00
A0A0
A00A
1212111
2122121211
2222121
1212111
1221221121
2211
2222221221
1121121111
nnnnn
nn
nnnnn
nnnnn
nn
nnnnnnnn
nn
nn
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AIA
A00
0A0
00A
Aadj(A)adj(A)A
SIFAT ADJOIN 1
1n
n
1n
Aadj(A)
A
A000
00A0
000A
adj(A)A
IAadj(A)A
IAadj(A)A dari
Aadj(A)
SIFAT ADJOIN 2
Dari Sifat Adjoin 1 diperoleh
0AA
adj(A)AA
A
adj(A)I
AIAA
adj(A)AA
IA
adj(A)A
skalar AIAadj(A)A
11
111-
Untuk matriks A invertible berlaku
A
1A1AA
IAA
IAA dari
11
1-
-1
SIFAT ADJOIN 3
A
1A 1
Untuk matriks-matriks A dan B
yang invertible berlaku
SIFAT ADJOIN 4
adj(A)adj(B)adj(AB)
A)adj(B)adj(AAadj(B)adj(AB)
adj(B)AAadj(AB)I
ABBA)AA(BBadj(AB)
ABABAadj(AB)ABB
ABIAB)adj(AB)(AB)(AB)adj(AB
1
1
1111
1111
CONTOH-3
Jawab
132
310
81
315
81
322A
det(A) ekspansi kofaktor sepanjang kolom
kedua dari A.
Cari invers dari
Dengan metode adjoin
801
352
321
A
Matriks kofaktor A
139
2516
51340
125
3513
91640
adj(A)
125
3513
91640
adj(A)A
1A 1
125
3513
91640
A 1
Untuk ukuran matriks lebih besar
dari 3x3, menghitung invers dengan :
(1) Bantuan transformasi elementer
lebih baik tetapi tidak berguna
untuk menelaah sifat-sifat
inversnya.
(2) Bantuan determinan sering
digunakan untuk mendapatkan
sifat-sifat invers.
Matriks bujursangkar A non-singularjika dan hanya jika A mempunyaiinvers
SIFAT
Misal A non-singular maka ada
matriks P dan Q non-singular yang
memenuhi PAQ=I
Bukti ()
QPAQPA
IQPPAQQP11-1
-11-1-1
() Bukti
A punya invers → A-1 ada
A A-1=I mempunyai rank n.
Andaikan A singular → det(A)=0
Padahal det(I)=det(A)det(A-1)=10
Kontradiksi.
Jadi A non-singular