bab i - pendidikan matematika smk bk 5 boyolali | web view · 2009-02-17dengan...

BAB III

MATRIKS

Standar Kompetensi : Menggunakan matriks daalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar : 1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk

menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan

invers dari matriks persegi lain

2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian

sistem persamaan linier dua variabel

Jika kita masuk ke kebun binatang, maka tiket masuk dibedakan menjadi beberapa

kelompok. Tiket masuk kelompok dewasa dan kelompok anak-anak, yang masing-

masing dibedakan menjadi dua yaitu tiket masukpada hari libur dan tiket masuk pada

hari- hari biasa. Untuk menyajikan informasi tersebut secara efektif dan menarik maka

1

digunakan matriks. Dalam perkembangannya matriks berperan penting seperti dalam

penyelesaian sistem persamaan linear.

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari beberapa konsep-konsep mengenai matriks,

seperti pada peta konsep berikut.

2

Operasi Aljabar pada matriks

Determinan dan invers matriks

Pengertian matriks

Jenis-jenis matriks

Kesamaan matriks

Transpuse matriks

Penjumlahan matriks

Perkalian matriks dengan bilangan

Perkalian matriksdengan matriks

Determinan matriks

Invers matriks

Matriks dan Determinan

Pengertian Notasi dan Ordo suatu matriks

Pengurangan matriks

Penerapan matriks dalam sistem persamaan linier

Info Tokoh

Sumber: www.id.wikipedia.org

Matriks merupakan cabang matematika sebagai alat yang cukup penting untuk

memecahkan permasalahan tersebut. Pengenalan dan pengembangan notasi matriks dan

aljabar linier disertai dengan pengembangan determinan yang diawali dari kajian

koefisien dari sistem persamaan linier.

Salah satu penemu kalkulus yaitu Leibniz menggunakan determinan pada tahun

1693. Leibniz yang bernama asli Gottfried Wilhem Leibniz atau kadangkala dieja

sebagai Leibnitz atau Von Leibniz lahir di kota Leipzig, Sachsen pada tahun 1646 (1

Juli 1646 – 14 November 1716). Ia adalah seorang filsuf Jerman keturunan Sorbia dan

berasal dari Sachsen. Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan,

diplomat, ahli fisika, sejarawan dan doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia

dianggap sebagai Jiwa Universalis zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang

paling berpengaruh pada abad ke-17 dan ke-18.

3.1. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks

3.2.1 Pengertian dan Notasi Matriks

1. Pengertian Matriks

3

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering

menjumpai permasalahan yang apabila kita

cermati ternyata merupakan masalah matematika.

Dengan mengubah bahasa sehari-hari menjadi

bahasa matematika, maka permasalahan itu akan

lebih mudah diselesaikan. Sering perseoalan

tersebut merupakan dua persamaan atau lebih, dan

mengandung beberapa variabel sehingga cukup

sulit untuk mencari hubungan antara variabel-

variabel tersebut.

http://id.wikipedia.org/wiki/Sachsen

http://id.wikipedia.org/wiki/1716

http://id.wikipedia.org/wiki/14_November

http://id.wikipedia.org/wiki/1646

http://id.wikipedia.org/wiki/1_Juli

http://id.wikipedia.org/wiki/1_Juli

http://id.wikipedia.org/wiki/Sachsen

http://id.wikipedia.org/wiki/Leipzig

http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai informasi yang disajikan

dalam bentuk tabel atau daftar yang berisi angka-angka, disusun menurut baris

dan kolom.

Sebagai contoh adalah harga tiket masuk kebun binatang yang disajikan dalam

tabel berikut ini

Tarif tiket

Dewasa Anak-anak

Hari Biasa

Hari Libur

4000

5000

3000

4500

Kalau informasi tersebut hanya kita tuliskan bilangannya saja maka akan

diperoleh kelompok bilangan sebagai berikut :

4000 3000

5000 4500

jika kita perhatikan kelompok bilangan tersebut memiliki beberapa keteraturan

yaitu disusun dalam bentuk persegi panjang dan disusun dalam baris dan kolom.

Agar tampak ada batas-batasnya, maka bagian tepi dari kelompok bilangan itu

diberi tanda kurang (kurang biasa atau kurang siku), sehingga diperoleh:

4000 3000 baris 1

5000 4500 baris 2

Kolom 1 Kolom 2

Bentuk diatas dinamakan dengan matriks

Dari uraian diatas dapat disimpulkan :

Pada matriks di atas, 4.000 adalah elemen / unsur matriks pada baris pertama

dan kolom pertama ditulis a11 = 4.000, elemen-elemen yang lain ditulis a12 =

4

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun menjadi suatu jajaran persegi panjang yang terdiri atas baris atau kolom dan

terletak diantara dua tanda kurung.

3.000, a21 = 5.000, dan a22 = 4.500. Sehingga diperoleh bentuk matriks A yang

mempunyai 2 baris dan 2 kolom adalah:

A =

2. Notasi matriks

Sebuah matriks dapat diberi nama dan nama itu biasanya dinyatakan dengan

memakai huruf besar (kapital), seperti A, B, C, …. dan seterusnya.

Contoh :

(i) Dengan menandai kurung biasa

A = dan B =

(ii) Dengan menandai kurung siku

A = dan B =

3. Pengertian baris, kolom dan elemen suatu matriks

Telah kita ketahui bahwa sebuah matriks terdiri dari sekelompok bilangan yang

disusun dalam bentuk baris-baris dan kolom-kolom. Bilangan-bilangan yang

terdapat dalam matriks dinamakan unsur-unsur atau elemen-elemen.

Contoh :

C =

Susunan mendatar dari bilangan-bilangan pada matriks dinamakan baris

matriks.

4 5 1 adalah baris pertama

8 9 6 adalah baris kedua

Susunan bilangan-bilangan yang tegak pada matriks dinamakan kolom matriks.

5

4 5 1

8 9 6

kolom pertama kolom kedua kolom ketiga

Sedangkan :

4 merupakan elemen matriks baris ke 1 kolom ke 1



4. Pengertian ordo suatu matriks

Suatu matriks A seperti pada pembahasan terdahulu, yang terdiri dari m baris

dan n kolom, maka matriks A berordo m x n dan ditulis dengan lambang Am x n.

Sedangkan banyaknya elemen (unsur) matriks A sama dengan m x n buah.

Dengan demikian matriks A yang berordo m x n dapat disajikan sebagai

berikut :

Am x n =

Contoh 1.

A 2 x 2 = adalah matriks berordo 2 x 2

B2 x 3 = adalah matriks berordo 2 x 3

Contoh 2.

Diketahui matriks:

C =

Tentukan:

6

Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-m

Kolom ke-1 Kolom ke-n

a. elemen-elemen pada baris ke-1

b. elemen-elemen pada kolom ke-2

c. elemen pada baris 2 kolom 2

d. ordo matriks C

Penyelesaian :

a. elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 2 dan 5

b. elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah 5, 7, dan -3

c. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-2 adalah a22 = 7

d. C berordo 3 x 2

3.2.2 Macam-macam Matriks

Jika diperhatikan dari banyaknya baris dan banyaknya kolom serta jenis elemen-

elemennya, maka matriks dibedakan menjadi beberapa macam yaitu:

1. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang

berordo (1 x n) dengan n > 1

Contoh : A1 x 3 = (3 5 1)

B1 x 4 = (2 3 7 -6)

2. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolaom atau matriks

yang berordo (m x 1) dengan m > 1

Contoh :

A3 x 1 = B4 x 1 = C5 x 1 =

3. Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya

kolom. Matriks Am x n disebut matriks persegi jika m = n, sehingga sering ditulis

Am x n = An.

Pada matriks persegi elemen-elemen

a11, a22, a33, …, ann disebut elemen-elemen diagonal utama

7

an1, …, a1n disebut elemen-elemen diagonal samping

Hasil penjumlahan dari elemen-elemen pada diagonal utama dari matriks

persergi disebut: trace A

Trace A = a11 + a22 + … + ann

Contoh :

A3x3 = A3 =

Elemen diagonal utamanya adalah 2, -1, 8

Elemen diagonal samping adaaalah 3, -1, 7

Trace A = (2) + (-1) + (8)

= 9

4. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol,

kecuali elemen diagonal utama.

Contoh :

A2 = B3 = C3 =

5. Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah

diagonal utamanya adalah nol.

Contoh :

D2 = E3 =

6. Matriks segitiga bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas

diagonal utamanya adalah nol.

Contoh :

8

F2 = G3 =

7. Matriks identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemen-elemen pada

diagonal utamanya sama dengan satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks

identitas disebut juga matriks satuan yang dilambangkan dengan “I”.

Contoh :

I2x2 = I3x3 =

8. Matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya bernilai nol. Matriks nol

dinyatakan dengan lambang “O”

Contoh :

O2x3 = O2x2 = O3x2 =

9. Lawan Suatu Matriks

Lawan suatu matriks adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan

dari elemen-elemen matriks tersebut. Lawan matriks A dinotasikan dengan –A.

Contoh :

Lawan matriks A = adalah -A =

LATIHAN 1

1. Diketahui matriks

9

A =

Tentukan : a. Ordo matriks A

a. Sebutkan elemen-elemen pada baris ketiga

b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ketiga

c. Sebutkan elemen pada baris ketiga kolom kedua

d. a23, a42, a31

2. Tentukan banyak elemen dari matriks-matriks berikut:

e. A2x3 b. B1x4 c. C5x2 d. D4x4

3. Berikanlah contoh matriks dengan elemen-elemen

bilangan real yang terdiri atas :

f. 2 baris dan 3 kolom c. 4 baris dan 2 kolom

g. 3 baris dan 3 kolom d. 3 baris dan 4 kolom

4. Untuk tiap sistem persamaan linier berikut ini, tentukanlah matriks-matriks

koefisiennya.

a. 2x + 3y = 5 c. 2x – y + 4z = 12

-x + 2y = 4 x + 5y + 6z = 17

x + 2y – 5z = 10

b. 3x +2y = 1 d. 2x + y + z = -4

x – 4y = 5 4y – 3z = 12

3x + 5y = 21

5. Berikan contoh matriks persegi ordo 3 dari matriks berikut!

a. Matriks segitiga atas

b. Matriks segitiga bawah

3.2.3 Kesamaan Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama dan ditulis A=B apabila keduanya

berordo sama dan semua unsur-unsur yang terkandung didalamnya sama.

Contoh 1:

10

A= B= C=

Maka A=B, tetapi AC dan BC

Contoh 2:

Jika A= dan B=

Tentukan nilai x dan y apabila A=B!

Jawab :

A=B maka x + y = 5

x – y = 1 +

2x = 6

x = 3

y = 2

3.2.4 Transpose Matriks

Transpose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah

setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matriks transposenya, atau

sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan At atau A’.

Contoh :

A = maka A1 = At =

B = maka B1 = Bt =

LATIHAN 2

1. Diantara matriks-matriks berikut ini, manakah yang sama

11

A = B = C =

D = E = F =

2. Tentukan transpose dari matriks-matriks berikut ini:

A = ; B =

3. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut

a. = d. =

b. = e. =

c. =

4. Tentukan nilai P jika At = B

a. A = dan B =

b. A = dan B =


A = dan B =

a. Tentukan At

b. Carilah nilai-nialai a, b, c, d, dan f jika At = B

12

3.2 OPERASI ALJABAR MATRIKS

Pada pembahasan di atas, kita telah mempelajari pengertian matriks, notasi,

ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks dan transpose matriks, maka

pada sub bahasan ini kita akan membahas operasi (pengerjaan) antar matriks,

diantaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks dengan

bilangan real (scalar) dan perkalian matriks dengan matriks.

3.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Untuk memahami penjumlahan matriks, maka perhatikan tabel di bawah ini.

Bulan 1 Bulan 2 Jumlah

Dewasa Anak-anak Dewasa Anak-anak Dewasa Anak-anak

Hari Biasa

Hari Libur

80

50

75

40

100

100

80

60

180

150

155

100

Tabel di atas menunjukkan daftar pendapatan dari tiket masuk Kebun binatang

pada bulan pertama dan bulan kedua yang terbagi dalam 2 kelompok, yaitu

dewasa dan anak-anak, pada hari biasa dan hari libur. Jika data dia atas disajikan

dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

A + B = C

Terlihat bahwa matriks A dan B adalah matriks yang berordo sama, elemen-

elemen matriks dari A dan B yang dijumlahkan adalah yang seletak. Sehingga

diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Jadi, jika diketahui :

13

Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, maka jumlah

matriks A dan matriks B (ditulis A+B) adalah sebuah matriks baru yang

didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan

elemen-elemen matriks B yang seletak.

A(2x3) = dan B(2x3) =

Maka : (A + B)(2x3) =

Contoh :

Jika : A = ; B = ; C =

Tentukan : a). A + B

b). B + C

Jawab :

a) A + B = +

= =

b) B + C = +

=

dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat penjumlahan matriks

adalah:

2. Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dinyatakan dalam penjumlahan matriks, berdasar

pada pemahaman tentang lawan suatu matriks. Jika A dan B adalah dua matriks

yang berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan B dapat dinyatakan

sebagai berikut:

A – B = A + (– B)

Jadi jika diketahui :

14

1. Sifat Komutatif : A + B = B + A

2. Sifat Assosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)

A(2x3) = dan B(2x3) =

Maka : (A-B)(2x3) = A+ (– B) =

Contoh :

Jika A = dan B =

Tentukan (A – B)!

Jawab:

A – B = -

=

=

LATIHAN 31. Diketahui :

A = ; B = dan C =

Tentukan :

a. A + B c. B + C e. A + B + C

b. A – B d. B – C f. A – B – C

2. Diketahui :

A = ; B = dan C =

Tentukan :

a. A + Bt + Ct c. B – At + C

b. B – C + At d. A – Bt + Ct

3. Tentukan nilai x dan y dari ;

15

a. = -

b. + + =

4. Tentukan matriks A jika :

a. A + = c. A + =

b. - A = d. A - - =

5. Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan berikut ini!

a. + =

b. + =

3.2.2 Perkalian Matriks dengan Bilangan

Jika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks maka kA adalah sebuah

matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.

Misalnya :

A =

Maka kA =

Contoh :

A = maka 3A =

=

16

Sifat perkalian matriks dengan skalar :

Jika matriks A dan B berordo sama dan k, l R (bilangan real)

Maka : a. (k + l) A = kA + lA

b. k (A + B) = kA + kB

c. k (lA) = (kl) A

d. 1 x A = A x 1 = A

e. (-1) A = A (-1) = – A

TUGAS INDIVIDUBuktikan bahwa jika A dan B matriks berordo sama dan k,l R maka berlaku:

a. . (k + l) A = kA + lA

b. k (A + B) = kA + kB

c. k (lA) = (kl) A

d. 1 x A = A x 1 = A

e. (-1) A = A (-1) = – A

Contoh :

Diketahui matriks-matriks :

17

Catatan :

i. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut skalar.

ii. Operasi perkalian bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian

skalar

iii. Perkalian matriks dengan skalar k berarti melakukan penjumlahan

matriks sejenis sebanyak k kali

A = dan B =

Tentukan matriks C berordo 2x2 yang memenuhi persamaan 2C + 2B = 4A

Jawab :

4A = 4 =

2B = 2 =

Dari persamaan 2C + 2B = 4A diperoleh

2C = 4A – 2B

2C = -

=

Jadi C = (2C) =

=

LATIHAN 4

1. Diketahui A = ; tentukan hasil kali dari:

a. 3A c. 3At

e. A

b. –3A d. –3At

f. 3 (A + At)

2. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan berikut ini!

a. = 3 c. =

b. 2 = d. 3 + =

18

3. Diketahui matriks-matriks :

A = B =

Tentukanlah :

a. A + B

b. 3A dan 3 B

c. 8B dan 4 (2B)

d. 3 (A + B) kemudian tunjukkan bahwa 3 (A + B) = (3A + 3B)

4. Nyatakan tiap bentuk dibawah ini dalam matriks tunggal.

a. 5 + 2 c. 3 - 2

b. + 2 d. -

5. Jika X adalah matriks (2x2). Tentukan X dari persamaan

berikut ini!

a. 2X =

b. - X =

3.2.3 Perkalian Matriks dengan Matriks

Perhatikan tabel di bawah ini. Data berikut merupakan data mengenai

banyaknya buah jeruk dan duku yang dibeli Ana dan Ani. Sedangkan tabel 3

menunjukkan harga jeruk dan duku.

Jeruk Duku

Ana

Ani

2

3

1

2

Harga per kg

Jeruk

Duku

Rp 5.000,-

Rp 8.000,-

19

Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Ana dan Ani?

Untuk menjawab itu, maka kita melakukan perhitungan sebagai berikut.

Jumlah uang yang harus dibayarkan Ana adalah 2 x Rp 5.000,00 + 1 x

Rp 8.000,00 = Rp 18.000,00

Jumlah uang yang harus dibayarkan Ani adalah 3 x Rp 5.000,00 + 2 x

Rp 8.000,00 = Rp 31.000,00

Permasalahan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Operasi di atas dinamakan perkalian matriks yaitu dengan mengalikan tiap

elemen pada baris matriks pertama dengan elemen pada kolom matriks kedua

dan hasilnya dijumlahkan. Jadi diperoleh:

Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks

yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil

kali dua buah matriks Amxn dengan Bnxp adalah sebuah matriks baru Cmxp.

Missal A = ; B = maka:

AB = =

Contoh :

Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:

A = ; B =

Jawab :

A(2x3) . B(3x2) = C(2x2)

A.B =

=

20

Amxn x Bnxp = Cmxp

=

Contoh:

Diketahui Matriks

A =

a) Tentukanlah :

i. A2 ii. A3 iii. A4

b) Tentukanlah A3 – 3A2 + 2A – 4I (dengan I matriks satuan).

Jawab :

a) i. A2 = A . A

= =

ii. A3 = =

iii. A4 = =

b) A3 – 3A2 + 2A – 4I

21

Memo:Pengertian Pemangkatan Matriks

Dalam pemangkatan bilangan real, untuk an dengan a R dan n A maka: an = a x a x a x a x … x a

Sebanyak n kaliMissal : a2 = a x a

a2 = a x a2

= a x a x aBentuk pemangkatan tersebut berlaku pada pemangkatan matriks persegi.Jadi kalau A suatu matriks persegi maka :A . A = A2

A . A . A = A . A2 = A3

A . A . A . A = A . A3 = A4

……………………A . A . A. …. . A = A . An-1 = An

= - 3 + 2 - 4

= - + +

=

Contoh:

Jika : A = ; B = dan C =

Tentukanlah :

a) (AB) C dan A (BC)

b) A (B + C) dan AB + AC

c) (B + C) A dan BA + CA

Jawab :

a) (AB) C =

= =

A (BC) =

= =

Tampak bahwa : (AB) C = A (BC)

b) A (B + C) =

= =

AB + AC = +

= + =

Tampak bahwa : A (B + C) = AB + AC

22

c) (B + C) A =

= =

BA + CA = +

= = =

Tampak bahwa : (B + C) A = BA + CA

Contoh:

Diketahui matriks A = ; I =

Tentukan : a. AI b. IA

Jawab:

a. AI = =

b. IA = =

Tampak bahwa IA = AI = A

LATIHAN 5

23

Dari uraian diatas diperoleh sifat-sifat matriks. Untuk setiap matriks A, B dan C

(yang dapat dijumlah/dikalikan) dipenuhi:

1. (AB) C = A (BC).................................Sifat Asosiatif

2. A (B + C) = AB + AC..........................Sifat Distributif Kiri

3. (B + C) A = BA + CA..........................Sifat Distributif Kanan

4. k (AB) = (kA) B = A (kB)...................Perkalian Skalar

5. AI = IA = A Sifat Identitas

6. A0 = 0A = 0 Sifat Matriks Nol

7. AB BA Tidak Berlaku Sifat Kumulatif

1. Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini:

a. c.

b.

2. Manakah yang bisa dikalikan dan tentukan hasilnya:

a. c.

b. d.

3. Diketahui matriks A = tentukan matriks A x A

4. tentukan p, q, r, s, jika

5. Selesaikan perkalian matriks berikut ini!

a. c.

b. d.

6. Diketahui matriks :

A = B = dan C =

Tentukan :

a. AB d. At . C g. Ct . B

b. AC e. Bt .C

c. BC f. Ct . A

7. Diketahui Matriks :

24

A = B = dan C =

Tentukan :

a. A (B + C) c. (B + C) A

b. AB + AC d. BA + CA

8. Diketahui Matriks :

A = dan B =

Tentukan :

a. 3A + 2Bt b. 2A – 3Bt c. B + At d. At - B

9. Jika A = dan B =

Tentukan :

a. A2 c. (AB)2 e. A3 g. Apakah (AB)2 = (BA)2 ?

b. B2 d. (BA)2 f. B3

10. Diketahui A = = ; tunjukkan bahwa A2 – 5I = O

3.3 DETERMINAN DAN INVERS

MATRIKS

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari cara menentukan determinan dan

invers matriks, khususnya matriks ordo 2x2 dan penggunaannya untuk

menyelesaikan sistem persamaan linier.

3.3.1. Determinan Matriks

Jika diketahui matriks A = , maka hasil kali antara 3 dan 5 dikurangi hasil

kali 6 dan 2 yaitu 15 – 12 = 3 dinamakan determinan.

Penulisan dterminan adalah dengan garis lurus, yaitu:

25

A = maka determinan matriks A

det A =A =

1. Memahami determinan matriks ordo 2x2

Khusus untuk matriks ordo 2x2. Nilai determinannya dapat ditentukan

dengan cara : hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali

elemen-elemen pada diagonal samping.

Jika A = maka determinan matriks A didefinisikan :

det A = A = = ad – bc

Contoh:

1) Diketahui matriks A =

Hitunglah determinan matriks A!

Jawab :

det A = A = = 3.5 – 2.2 = 15 – 4 = 11

2) Diketahui matrikls C = ; jika det C = 0 tentukan nilai x

Jawab :

det C = 0

= 0

(x)(-3x) – (x)(-6) = 0

-3x2 + 6x = 0

-x2 + 2x = 0

26

x (-x + 2) = 0

x1 = 0 atau –x + 2 = 0

x2 = 2

Jadi x = 0 atau x = 2

2. Memahami determinan matriks ordo 3x3(pengayaan)

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3, digunakan suatu cara yaitu

dengan meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan kedua disebelah

kanan kolom ketiga. Perhatikan berikut ini.

Jika A = maka determinan matriks A:

det A = A = =

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a31 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

contoh :

Diketahui matriks B =

Hitunglah determinan matriks B!

Jawab :

Det B = A=

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

= (2)(5)(2) + (-1)(1)(1) + (2)(-3)(4) – (2)(5)(1) – (2)(1)(4) – (-1)(-3)(2)

= 20 – 1 – 24 – 10 – 8 – 6

= 20 – 49

= -29

27

Memo;. Matriks yang

determinannya nol (0) disebut matriks singular dan tidak mempunyai invers

Matriks yang determinannya tidak nol (0) disebut matriks non singular dan mempunyai invers.

LATIHAN 6

1. Tentukan determinan dari matriks berikut:

a. A = b. B = c. C =

2. Diketahui matriks A = , jika det A = 0

Hitunglah nilai x!

3. Tentukan nilai x dari persamaan berikut ini!

a. = 0 c. = x + 4

b. = 9 d. = 6

4. Tentukan nilai p jika persamaannya berikut ini!

a. = 1 b. = 0

5. Diketahui A = dan B =

Jika det A = det B, tentukan nilai x!

6. Jika A = dan B mempunyai determinan yang sama, tentukan

nilai p!

7. Hitunglah determinan dari matriks-matriks beriktu ini!

a. P = c. R =

b. Q = d. S =

8. Tentukanlah nilai p dari persamaan berikut ini!

28

a. = 0 c. = 4

b. = 0 d. = 50

3.3.2. Invers Matriks

Dalam perkalian bilangan real diketahui bahwa a x 1 = 1 x a = a, a R.

Dalam hal ini 1 adalah elemen identitas. Selain itu diketahui bahwa x = 1,

dengan a,b R. dan dikatakan saling invers.

1. Dua Matriks Saling Invers

Jika A dan B masing-masing merupakan matriks persegi atau bujursangkar

berordo sama dan berlaku AB = BA = I maka B adalah invers A (B = A-1) atau

A adalah invers B (A = B-1). Berarti A dan B saling invers.

Contoh :

Jika diketahui A = dan B =

Apakah A merupakan invers dari B?

Jawab :

AB = = = = I

BA = = = = I

Jadi AB = BA = I, sehingga A merupakan invers B atau B merupakan invers

dari A.

2. Menentukan invers matriks persegi ordo 2x2

Misalkan matriks persegi berordo 2 yang akan kita cari inversnya adalah.

A = dan inversnya A-1 = maka:

A.A-1 = I

29

=

=

didapat sistem persamaan linier dan variabel

(i) diperoleh p =

r =

(ii) diperoleh q =

s =

Sehingga :

A-1 = r =

=

=

Dengan demikian diperoleh :

Jika A = maka A-1 =

A-1 =

dengan : ad – bc 0

Contoh :

Tentukan invers dari matriks A =

Jawab :

30

A-1 =

=

A-1 =

Contoh:

Jika X matriks ordo 2x2, tentukanlah X dari persamaan berikut ini!

X =

Jawab :

Untuk mencari X, kedua ruas dikalikan dengan invers disebelah

kanan.

Sehingga :

X =

X . = .

X =

X =

X =

31

X =

3. Invers matriks ordo 3(pngayaan)

Untuk menentukan invers ordo 3 maka diperlukan pemahaman mengenai minor,

kofakor dan adjoin.

a. Pengertian Minor, Kofaktor dan Adjoin

Misalkan matriks = A =

Kalau elemen-elemen pada baris ke i, kolom ke j dari matriks A dihapus maka

akan diperoleh matriks persegi berordo 2.

Determinan dari matriks persegi ordo 2 itu adalah merupakan minor matriks A

dan ditulis dengan lambang Mijdisebut minor aij.

Untuk matriks ordo 3 , memiliki minor sebanyak 9 buah.

i. Jika baris pertama dan kolom pertama dihapus, maka

di dapat

Sehingga minor a11 adalah M11 =

ii. Jika baris pertama kolom kedua dihapus, maka:

di dapat


iii. Jika baris pertama kolom ketiga dihapus, maka:

di dapat

32


Demikian dan seterusnya sampai ke-9 atau M33

b. Pengertian Kofaktor:

Jika Mij adalah minor aij dari matriks A maka bentuk (-1)i+j Mijdisebut

kofaktor dari aij, sehingga:

Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1 M11 = + M11

Kofaktor a12 adalah C12 = (-1)1+2 M12 = - M12








Jadi kofaktor dari matriks A

=

Pengertian Adjoin:

Jika Cij adalah kofaktor dari aij pada matriks A, maka Adjoin matriks A

(disingkat Adj A) ditentukan oleh:

Adj A =

Atau

33

memo:Adjoin adalah merupakan transpos dari kofaktor

Adj A =

Contoh :

Tentukan minor, kofaktor dan adjoin dari matriks A =

Jawab :

1. Minor :

Minor a11 = M11 = = (0)(6) – (-5)(-2) = 0 – 10 = -10

Minor a12 = M12 = = -18 + 20 = 2

Minor a13 = M13 = = 6 – 0 = 6

Minor a21 = M21 = = 6 – 0 = 6

Minor a22 = M22 = = 6 – 0 = 6

Minor a23 = M23 = = -2 – 4 = -6

Minor a31 = M31 = = -5 – 0 = -5

Minor a32 = M32 = = -5 – 0 = -5

Minor a33 = M33 = = 0 +3 = 3

2. Kofaktor

Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1 M11 = + (-10) = -10

C12 = (-1)1+2 M12 = - (2) = -2

C13 = M13 = (6) = 6

C21 = - M21 = - (6) = -6

34

C22 = M22 = (12) = 6

C23 = - M23 = - (6) = -6

C31 = M31 = (-5) = -5

C32 = - M32 = - (-5) = 5

C33 = M33 = (3) = 3

3. Adjoin

Adj A = =

c.Invers matriks ordo 3x3

Jika : A = dan det A 0 maka

Invers A adalah

A-1 = . Adj A atau A-1 =

Contoh :

Carilah invers dari A =

Jawab :

det (A) =

= (1.0.6) + (1.-5.4) + (0.-3.-2) – (0.0.4) – (1.-5.-2) – (1.-3.6)

= 0 – 20 + 0 – 0 – 10 + 18

= -12

A-1 = . Adj A

35

= -

=

LATIHAN 7

1. Tentukan invers dari matriks dibawah ini!

a. A = b. B = c. C =

2. Jika X adalah matriks ordo 2x2, tentukanlah matriks X berikut ini.

a. X = d. X =

b. X = e. X =

3. Diketahui matriks A = dan B =

Tentukan berikut ini!

a. AB c. A-1 e. A-1B-1 g. (AB)-1

b. BA d. B-1 f. B-1A-1 h (BA)-1

4. Hitunglah minor dan kofaktor dari matriks:

a. M12 c. M32 e. C22 g. C21

b. M22 d. C12 f. C32 h. C33

5. Tentukanlah adjoin dan invers dari matriks-matriks berikut.

36

a. A = b. B =

3.4 Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Telah kita ketahui bahwa untuk menyelesaikan system persamaan linier sering

kita gunakan metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi mmaupun

campuran. Pada sub bab ini akan kita pelajari cara lain untuk menyelesaikan system

persamaan linier dua variabel.

Bentuk umum system persamaan linier dua perubah.

a1x + b1y = c1 bentuk ini dapat dirubah dalam matriks

a2x + b2y = c2

=

Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan

invers matriks.

=

, jika A = maka

A =

A-1.A = A-1 dikalikan A-1 dari kiri

I = A-1

Jadi diperoleh:

= A-1

Contoh :

Dengan menggunakan invers matriks, carilah himpunan penyelesaian dari :

5x + 3y = 14

37

2x + y = 5

jawab :

persamaan matriks :

=

Misal A = maka

A-1 =

=

=

Sehingga :

=

Jadi penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 3

TUGAS KELOMPOK1. Cari penggunaan matriks dari

Koran, guntinglah dan kumpulkan!2. Cari contoh kasus yang model

matematikanya berbentuk sistem persamaan linear dua peubah.3. Buat model matematikanya dan

selesaikan dengan invers4. Cari contoh kasus yang model

matematikanya berbentuk sistem persamaan linear tiga peubah5. Buat model matematikanya dan

selesaikan dengan invers.

38

Memo:

Bentuk = dapat diselesaikan dengan determinan,

dimana x = , y = dengan Dx = ; Dy = ; D =

LATIHAN 81. Dengan menggunakan metode matriks (invers matriks), tentukan penyelesaian dari

sistem persamaan berikut ini.

a. 2x + y = 5 b. 5x – y = 9 c. x – y = 9

x + 2y = 4 7x – 6y = 9 3x + 2y = 2

2. Dengan cara determinan, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini!

a. x - 3y = 4 b. 7x = 4y + 1 c. 2x – y + 7 = 0

3x +6y = 7 6x = -5y + 43 5x – 6y + 18 = 0

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut!

a. x + y = -1 b. (x +2) – (3y – 6) = 1

x + y = 9 (3x – 3) + (2y – 2) = 4

4. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan penyelesaian sistem persamaan

berikut!

a. x + y – z = 4 b. 2x + y + 3z = -2

x - y + z = 6 x + 5y = 7

x + y + z = 2 3y – 4z = -5

5. Dengan menggunakan determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem

persamaan berikut ini!

a. 2x + 5y – 2z = 3 b. 5x – y + 4z = 8 c. 7x + 5y – 3z = 26

x + y + z + 4 7x – 2 y + 6 z = 11 3x + 3y – 2z = 13

x + 7y – 7 z = 5 2x + 3y + 5z = 10 6x + 2y – 5z = 13

RANGKUMAN

39

1. Jika A = , maka transpose matriks A adalah A’ =

2. Dua buah matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang bersesuaian nilainya sama.

3. Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut sama. Cara menjumlahkan adalah dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

4. Perkalian matriks dengan bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan elemen-elemen matriks.

5. Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Misalnya:

=

6. Determinan ordo 2; det A = A = = ad – bc

7 invers matriks ordo 2, A-1 =

40

UJI KOMPETENSI

Kerjakan dengan benar.!

1. Jika : + =

Maka Tentukan nilai a!

2. Jika : + = 2

Tentukan nilai x!

3. Diketahui matriks A = , B = dan C = .

Jika A x B = C, maka nilai p = …

a. 5 c. 9 e. 20

b. 8 d. 16

4. Diketahui matriks A = , B = dan C =

Tentukan:

a. A+ 3 BC c. 3A’ + 2(BC)’

b. 2B’- AC d. (AC- 4 B)’

5. Jika diketahui : .X = maka tentukan matriks X!

6. Jika = maka tentukan nilai a dan b!…

41

7. Diketahui matriks A =

Tentukan matriks B yang memenuhi AB = I dengan I matriks satuan.


A = dan B =

Apabila A = 2 Bt maka tentukan nilai a+b!


A = , B = dan C =

Jika A + B = C, maka tentukan nilai p, q dan r!

10. Tentukan invers dari matriks B = !

11. Jika matriks A = adalah matriks singuar, maka tentukan nilai x

12. Diketahui A = . Tentukan nilai k yang memenuhi k. det (At) = det A-1

13. Diketahui matriks : A = dan B =

Apabila det (A) = det (B), maka tentukan nilai x !

14. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

4x – 2y – 5 = 0

2x + 6y + 1 = 0

a. Dengan invers matriks

b. Dengan determinan matriks

15. Diketahui : = maka tentukan nilai x, y dan z!

***** 000 *****

42

Glosarium.Matriks: sekumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang

yang terdiri dari baris dan kolomOrdo matriks : ukuran matriks yang menyatakan banyaknya baris dan

banyaknya kolom.Matriks identitas : matriks satuan, merupakan matriks persegi yang semua

elemen-elemen diagonal utamanya satu dan selain itu sama dengan nol.

Matriks nol(O) : matriks yang semua elemennya nol.Determinan matriks: Nilai tunggal yang diperoleh dari mengalikan elemen

pada diagonal utama dikurangi hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua.

43

kooperatif

1. Diketahui matriks:

A = dan B =

Tentukan :

a. At dan Bt d. At . Bt g. Apakah (AB)t = Bt . At ?

b. (AB)2 e. Bt . At

c. (BA)t f. Apakah (AB)t = Bt . At ?

2. Jika P = dan Q =

Tentukan :

a. P + Q c. (P + Q) (P – Q) e. Apakah (P + Q) (P – Q) = P2 - Q2?

b. P – Q d. P2 – Q2


A = dan B =

Tentukan :

a. (A + B)2 d. 2 AB g. Apakah (A + B)2 = A2 + 2 AB + B2?

b. (A – B)2 e. A2 + 2 AB + B2 h. Apakah (A – B)2 = A2 - 2 AB + B2?

c. AB f. A2 - 2 AB + B2?

4. Diketahui fungsi f (x) = x2 + 4x – 3I

Tentukan f (A) jika A =

5. Diketahui f (x,y) = x2 + 2xy + y2

Jika : A = dan B

44

Tentukan :

d. f (A,B)

e. f (B,A)

f. Apakah f (A,B) = f (B,A)?

kooperatif

6. Diketahui matriks:

A = dan B =

Tentukan :

g. At dan Bt d. At . Bt g. Apakah (AB)t = Bt . At ?

h. (AB)2 e. Bt . At

i. (BA)t f. Apakah (AB)t = Bt . At ?

7. Jika P = dan Q =

Tentukan :

j. P + Q c. (P + Q) (P – Q) e. Apakah (P + Q) (P – Q) = P2 - Q2?

k. P – Q d. P2 – Q2


A = dan B =

Tentukan :

l. (A + B)2 d. 2 AB g. Apakah (A + B)2 = A2 + 2 AB + B2?

m. (A – B)2 e. A2 + 2 AB + B2 h. Apakah (A – B)2 = A2 - 2 AB + B2?

n. AB f. A2 - 2 AB + B2?

9. Diketahui fungsi f (x) = x2 + 4x – 3I

Tentukan f (A) jika A =

10. Diketahui f (x,y) = x2 + 2xy + y2

Jika : A = dan B

45

Tentukan :

o. f (A,B)

p. f (B,A)

q. Apakah f (A,B) = f (B,A)?

LATIHAN 3


a. Berapa banyak elemennya?

b. Elemen-elemen pada baris

pertama adalah …

c. Elemen-elemen pada baris

kedua adalah …

d. Elemen-elemen pada kolom

kedua adalah …

e. Elemen-elemen pada kolom

ketiga adalah …

f. Elemen baris pertama

kolom kedua adalah … , a12 = …

g. Elemen baris pertama

kolom ketiga adalah … , a13 = …

h. Elemen baris kedua kolom

pertama adalah … , ditulis a21 = …

3. Tulislah contoh matriks berordo:

a. 3 × 3 d. 1 × 4

b. 2 × 2 e. 3 × 1

c. 5 × 3 f. 4 × 2

4. Matriks-matriks berikut ini

manakah yang sama?

46

A = F =

B = G =

C = H =

D = I =

E = J =

5. Tulislah transpos dari masing-

masing matriks berikut ini kemudian tulis ordonya!

a. A2 × 2 = d. D....×... =

b. B....×... = e. E....×... =

c. C....×... =

1. Pengertian “dikalikan dari kiri” dan “dikalikan dari kanan”.

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks

yang pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks yang kedua.

Contoh 1:

A = dan B =

Tentukan :

a) Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B

b) Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B

Jawab :

a) A dikalikan dari kiri oleh B = B.A

B.A =

=

47

b) A dikalikan dari kanan oleh B = AB

A.B =

=

Dari hasil pengoperasian di atas tampak bahwa ABBA (tidak berkalu sifat

kumulatif).

Contoh 2:

Diketahui: A = dan B =

b) Tentukan AB dan BA

c) Apakah AB = BA =A?

Jawab :

a) AB = = =

BA = = =

b) Dari jawaban a) terlihat bahwa AB = BA = A

Matriks B = dinamakan matriks satuan berordo 2. Matrik satuan

dilambangkan dengan I (Identitas) dan untuk setiap matriks A berlaku

hubungan :

A.I = I.A = A

Contoh :

Diketahui matriks A =

Tentukanlah :

a. det (A) b. Adj A c. Invers A (A-1)

Jawab :

48

a. det (A) =

= (4.4.3) + (-6.0.3) + (1.-2.-1) – (1.4.3) – (4.0.1) – 9-6.-2.3)

= 48 = 0 = 2 – 12 – 0 – 36

= 2

b. Adjoin A

Adj =

=

c. A-1 = .

= .

=

b. X = f. X =

49

bab i - pendidikan matematika smk bk 5 boyolali | web view · 2009-02-17dengan...

Documents