bab matriks - mtksmancir.files.wordpress.com · 2.1 pengertian, notasi, dan ordo matriks $ ˇ ˆ ˝
TRANSCRIPT
������� ��� ������� 33
MATRIKS��
BAB
Tujuan Pembelajaran
Pengantar
�������������� ����� �� ���� ������������� ������������
�� ������������������������������ ������ ���������������������������������� ���
�� ������ ������� ���� ���� ���� ������ ����� ���� �����
!� �������������� ��������� ���� ���� ����
"� ����������� ���� ����� ���� ���� �� �� ���� ����� �� ���������� �����
�� ������ ����� � ���� �� ������
������ ��������������������
#����������� ����������� ����� �������������������������������������������
���������� ��������� ������ ������������ �������� ���������������� ���� ���
���� ���������������������������������� �����������������$������ ���������������������
��%� �� �������� ����������%���&������������ �� ����������������� ��������������
������� ������� ������� �������������������� �������������� ����
���� ������������������
����������������������������� ����34
�������������� �� ���� ������������� ����������������������� �����������
������� ������� ������ �������������������� ���� ���� ������ ����� ���������
�� ���������� ������ �� ������ ����� �� ��������� �� ������ ������� ���������
�� ��������� ������� ��� ��� �� ���������������� �����'������������� �
���������������� ���������������� �������������������������� ��������������������
����������� ��������� �������� ������ ����� ������� �����������������������
������������� �����������
'�����������������%������� ���������� ������������������ ���� �����������
�� �� ����� �������� ������� ����� ���������� ����� �������������� ����� � �������
�� ����� ��� ���� ������ � ������� ����� ���� ������� ����� ���� ���� ����� ���
��������� ���������� ��������� �������� ������ ����� �
2.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks$���������������� ��� ���� ���������������������� ���� ������ �� ���� �
�������������������������� ��������� �������� �������������������������� ����
���������(� ������������� ����%��������������������
����� �� �
$��������������� ������������������� ������������ ��������������������������� ��
����������� �������� �����
�
����� �� ��
(���� ������ ���� �� �� �������� ����������� ����� )��� ���� �� ����� ����������� �������
������������������� ��*����� ������)��� ���
�
����� �� ��
+� ����� %����������� ��������������������
�
���� ����� ����� ������������
����� ���*! �����" ��������*,
������ ���** ������ ��������*,
-��� ���*, �����. ��������*,
/��� ���*" �����! ��������*,
#��� ���*, �����. ��������*,
����� ���** ������ ��������*,
���� ����������� ������ ������ ���� ����
0����� �����������1 ��������! �����* ������ ���*.
2�� ��� �����������1 ��������� �����" �����" ���"3
� ����� �����������1 ��������. �����, �����! ���",
4����'����� �����������3 ��������5 �����3 �����! ���".
���������� �����������
�������!"#$ ����������!"#$
��������� ������!�... ��������!�,..
$����� ������"�... ��������*�...
������� ��� ������� 35
4������� ��������%��������� �������� ����������� �������������������������
��������� ��� ��� ��� ���� ����������� �������0�����!���"�� ������������ ���� ����
��������� ���������������������������������������� �����
!�...����������!�,..
"�...����������*�...
������������������� ��������� ����� ������� ������������� ���� ������ ��������������
�������� �������� ����� ���� ��������� ���� ���� ���� �� ���������������� �������
�� �����
!... !,..
"... *...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������
!... !,..
"... *...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
��%� ����������� ������� ���������������������������� �����
%�&������ ��
������'�������������������������������������� ��������� �������� ������
������������������� ��������������(�������������������������������� �����
�����������'������������������������������� ����
����� �� �(
������������������ ����� ������ �������� ����
!
� " .
"
! * 1 �
1
� . 3
,
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
����6����7"���.8��658
���� ��������������������0�����!���*���� �������� �������%����� ����� ����
)������!����$��� ������������������������ ���������� ��� ��������������� ��� �
����'� ��������������� ������ �������#������������ �������� ��������������
������'*���������������������������!����$� ��� ���� ���� �� �����������������9 ����������� ������������� ���������4�� ������ ���������0�����!���*����� ��
� ���"��"���� �������!����� ���� ���*������� �������"����� ���� ������"������� ���� ������ ��� ����� ���� ���������'������� ����� ���������� ���������������������������� �����#������� ����658����������������������5������
:����� ������������� �������������������� ������� ����������������� �
������������������������� �����%������������%����
��;�
" . 3
� ! *
* , �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
���������� �;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� � !
" � #
$� ���� ���������� �������� ���������� ���������������� �����
+ 9 ����� ������������"��"��� �������� ���"��� �������"������
+ 2������������������ ��������������"��.������3�
+ 2������������������ ������!����������!������*�
+ 2������������������ ������"�������7*��,��������
����������������������������� ����36
+ 2��������������������������������"����������*�
+ 2������������������������!�������.��!������,�
+ 2������������������������"�������3��*��������
$� ���� ���� ����� �������� ���������� ���������������� �����
+ 9 ����� ���� �������!��"��� �������� ���!��� �������"������
+ 2������������������ ������������������������!�
+ 2������������������ ������!�������"���������#�
+ 2��������������������������������������"�
+ 2������������������������!���������������
+ 2������������������������"�������!�����#�
�
�� (���������� ������ �� ���� ���������� ������ ���������������� �������� ���������
������������������ ����� ���� ���� ����������� ����
�� &������� ������������������������ ������������������� ���������
�� &������� ������� ������������������������������������� ���� �������������������
������ ���������(�����)����������4��������������(�����)��� ���
%� &������� ����������������� ��� ����� ������������������������������� #���� ��
<�� �� �������4� �������������������� ��
Latihan 2.1
= . � ! " *
. . � ! " *
� � ! " * .
! ! " * . �
" " * . � !
* * . � ! "
�����������������'�� ������������������
����,���� �)-��� ,���� )-���
���� ��������>. �����5, ����>. ���1,
(����� )�������� ��������5, �����>. ����5. ���5,
4�������� ��������>. �����5, ����1. ���1,
(����� )��� �� ��������1, �����5, ����5, ���5.
����.���-����
������� /��� ������������������/�����
���!"#$ �!"#$ �������!"#$
#���� � "�... *�,.. ������3�,..
<�� �� � !�1,. *�".. ������3�!,.
4� �� !�5.. *�!,. ������3�*..
�����
������� ��� ������� 37
!� 0� �������� ������������� ��������������� ����������������� ������� �����������
������� ������ ���������� �������� ������� ����� ��� ���� ��� (� ������ � ����� �
�� ���� ����������� ���?
"� $��� ������� ����
��;�
5 . ! ! �
�
" , * ,
!
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &��������� ����� ������
�� &��������������������������� ����� ����
%� &�������������������������������������
�� &��������������������� �������������������������
�� &��������������������� ����� �������������������
*� (����������� ����������������� �������������������������������������������
�� ��� ����������������� ����� ���� ����������� ����
2.2 Kesamaan Dua Matriks$��������� ����������� ��������������'�������������;� �� ������������� ���
�� ���������� ���� ��� ���� �������������������� ������ ��������� 6�������8
����
����� ����
&���������� ������ ���� �� �����
��;�
" �
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� �;�
� �
. "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��$�;�
! � �
. " "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������%�;�
� �
! ! >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
@��������� ����� ����������� ����� ���� � ���� ����� ������������ �� ����
������������������������������ �����������������������≠� ���/� ����� ����� ���
�������������������� ����� ����$��������≠�$��9 ����� ���� ������������� ��
�� ����%����������������� ���� ���������� ���������� ���� ���� ����� ��������
�;�%�
�
����� �����
$���������� �������;�
.
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������ �;�
! .
"
�
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����#������;� ������������������������� �
����������!�
A�� ���������
$� ����;� ����� ������������
.
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��0�
! .
"
�
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(� ���� ���������������������������� ��������� ����
���������;�!�� ���7��;�!� ���;�"!
$� ���� �������� ������ ��������� ����
�������!�;�7�������;�"!�;�"6��8�;�7"������������;�!��;�!67"8�;��3
�
����������������������������� ����38
����� �����
$���������� �������;�
%�� ���
��� %��
α αα α
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� �;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���#������;� �����������������α�
A�� ���������
/� ������;� ������%���α�;�����������α�;�.��$� ����������%���α�;�������� ���������α�;�.�=�!�π���$� ��������������α�;�.������ ����α�;�.�=��π���#�����α�;�.�=�!�π�
�
�� $��������� ����� ���������������������� ����� ���� �������&��'��#������;� ����� ������������������������������������ ��������&������'?
!� #����� ����� ���� ������������������ ����� ���� ����������;� ?�#����������������
��� ����������������� ������������� �����%����� ��
"� #������ ������������������� ���� ��������� ����� ������������������ ����� ��
?��(� ����������������
*� #������ ������������ ���� ����� ���� ��������������;� ������ ����������������������������������� ���������?
,� &��������������(�����)�����������������
! "
* ,
( )
( )
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
�;�
�,
1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
3� &��������������(�����)�����������������
" * !
, ,
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�0�
�� !
, 5
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
1� ����������������(�����)�����������������
.
� !
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�0�
" �
� .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
?
5� $���������� ������;�
%�� ���
��� %��
α αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �;�
� �
"
! !
� �
"
! !
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��#������;� �����������������α�
2.3 Jenis-Jenis Matriks(� ����� �������� ����� �������������� ���� �������� ��� ������������������
�� �������.������
#���� �������� �������� ������ ����� ��� �������������� ��������
������ ��������������������'������#��������#������� ��� ���� ���������� ���
�� �������������������� ���� �� ���������������� ������ ������ �������� ������ �������������� ������ ������ �����
Latihan 2.2
������� ��� ������� 39
(� ������������� ��������� ����%������� ������ �����
��;�
� *
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������ ������ ������ ���!
�;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����� ������ ������ ���"
�� �������%�������
#�������� ������� ������ ����
���*��
� � ! "
� # � �
� � � �
� � � &
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������������+�#+��������&��������������������� ������ �������������������
������� ��������������� ������ ��������������'�������������������������
��������� ��� ��������������������������(� ����� �������� ��������� ����%����
�� �������������
��;�
! .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
� . .
. � .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
$�;�
* . . .
. ! . .
. . " .
. . . ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������� ������������'������ ������������� ����� ������������������������
�������������������������(� ������������� ����%������� ������������������
,�;��
" �
. !
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-��;��
, . !
. � "
. . *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������� ������������'������ �������������� ����� �������������� ����� �����
�������������������������(� ������������� ����%������� ������������������
���;��
! . .
* � .
" . ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.��;��
* . . .
1 ! . .
5 . � .
! " . ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1� ������� �������
�������� ����������������������'�������������������'������������
����� ���������������������������������� ���� ������������� �� ��������������
4�� ���� ���������� �� ���� ������������ ������� ���� ��������������������
� ����� ���� ���� ���������� �� �������4�� ���� ���������� ����� �� ���������������
��������������
����������������������������� ����40
(� ����� �������� �����%������� ���� ����������
�!��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�"��;��
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ������� ��
�������� ��������������'������������������������������ ���� ������ �����
�����������4�� ���������� �������������������������(� ������������� ��������� ���
%������� ��������
. .
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�*���
. . .
. . .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�*���
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�*��������� ( )0 0 0 0
�� ������������
�������� ���� ������ ������ ��� ������� �����������'������������
(� ����� �������� ����%������� ������ ���
6����!��"8� 67���*��1��58� ��� 6>��.��5��7,��1��3��*8
& � �����������'
�������� ���� ������ ������ ���������������������'����������'�
(� ������������� ����%������� ���������
!
.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����
�
�
.
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�
3
"
1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �������� ���������������� ��������� ������ ����?
!� �������� ���� ������������������ ��������� ������ ����?
"� �������� ���������������������� ������ ����?
*� �������� ��������� ��������� ������������?
,� �������� ���� ����������� ��������� ������������?
3� �������� ���������� ������ ��������� ������������?
Latihan 2.3
������� ��� ������� 41
1� (� �����%������� �������� ���������� ��������� ������ ��?
5� (� �����������%������� �������� ����������� ���������
>� �������� ���� ��������������� ��������� ������ �������������� ��������?
�.� �������� ���� ����������� ��������� ���� �������������?
��� �������� ���� ����������� ��������� ���� �������������?
�!� ������������ ���� ����� ��������� ���������������������������� ������ ������
�� ���� �������������?
�"� �������� �������� ������ ����������� ��������� �����������������?
2.4 Transpose Matriks
& ���������� ���������������������������������� ���� ���������������� �
���� ������ ���������������� ����������������������������������� �������
�� ���� ������������������������������� ���� ����������������������������
������� ��������������������� ���������� ���� ���������#������� ��������� ���
�� ������ ������������ ������� ������� ������ ����� � ������ ������� ��������� ���
�� � ��������������� �������� ��������� ������ � ���������(� ������������� ����
%� ������������ � �������� �������� ����
����� ��(�
#�������� ������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� �;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� ��� $�;�
. �
� .
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� � ���������� ���� ������ ���� �� ������ ������
���;�
� !
. "
1 *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� ��;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� �����������$��;�
. �
� .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
$��������� ���������������� � ���������� ������� ����������������������
������ ���������� �������� ���������6��8��;������������� ����������� ���� ���
���� ��� ��������� ;��� ��������'������ ��'������ ���������� �������� ���� ���
���� ��� ���������;�7����������'������ ����2��'�������������7���������� ���
������� ����� �� ������������������ �� ��� ����� ���� ������
����������������������������� ����42
�� &�������� � ���������� ���� ������ ������ �����
��;�
! . .
* � .
" . ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
, . !
. � "
. . *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
� $�;�
�
3
"
1
⎛ ⎞⎜⎜⎜ −⎜⎜ −⎝ ⎠
�
%�;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
� /�;�
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� 0��;��67���*��1��58�
�;�
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� 1�;�
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
!� (� ��������� ����%������� ���� ���������������������6��8��;���
"� (� ��������� ���� %������� ���� ���� ���
*� (� ��������� ���� %������� ���� ��������� ���
,� �������� ���� ����������� ��������� ���� ���� ��?
3� �������� �������� ������ ������ ��������� �������� ��?
1� ������67��8�;�62�8
�?�(� ��������� ����%�����
5� �������� ���� ���� ���� ���� ��������� ������ ����?
>� �������� ���� ��������� ���� ���� ��������� ������ ����?
�.� �������� ���� ���� ��� ���� ������������ ���� ��������� ��?� #���� ���� �� ����
%����� ��
2.5 Operasi Aljabar Dua Matriks'�������������������� ������� ���� ������� ������ �� �������� ����
������� ���� ������������ B������������ ���C� ������������ �������������
�� ���������� ������������ ������� ������� ����� ���������� ����������� ������
������ ����
��3� .��-�'����� ���� .�����������%���������
(� ������������� ���������� ����� ������������ ��������������� �������
������������������������� �������� ������ �������� ������� ��� �6��� ���
�� ��(�������������8������������#���� ������������<�� �� ��
Latihan 2.4
������� ��� ������� 43
$���� �A��� �����(� ����(�����#���� �
$���� �A��� �����(� ����(�����<�� �� �
$� �� ��������� � ���� ������� ���� �� ������� ������� ����������������
���� ����� �� ���� ������ ���� ������ �� �� ����� ��� ��� � �� ������� �������
���� ��������� ����� ������� �������������� �����
$���� �A��� �����(� ����(�����#���� ������<�� �� �
A� ����������������������������� ���������������������������
��������������� �������������� ���������� ���������������������$� ���� ������
�� ��������%��� ���� ���������������� ���� ������ ����� (� ����� ���
���� ���������������������������������� ���� �������� ���� �������
'����������� ���� �������� ���� ����� ���������������������������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������.. ������,. �!,
D��� ����������,. ������1, �3.
4�� �� ����������1, ������,. �5.
�'��������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������1, ������.. �..
D��� ����������1, ������,. �,.
4�� �� ����������.. ������5. �1,
�'��������
.�������
���������'�� �������� ���
(� �� ����������1, �����!,. !!,
D��� ����������!, ������!, !�.
4�� �� ����������1, ������". �,,
�'��������
����������������������������� ����44
%�&������ ���
#���������� ����������� ���������� ���� �������� ���� �������
���� ����������� ������=� ��������� ���� �������� ����������
��������� �� �������� ������������ ���� �� ��������� �� �
�������� ���� �� ������
����� ��3�
#��������������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��������$�;�
� ! .
! " �
. � ,
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
���
��=� �;�
� , . * 1 "
! . " 1 * 6 �8
+ + − +⎛ ⎞⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠
�;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������=�$����� �=�$� ����������������������������������������������
�� ������ ����������$� �� ����� ���� �����$� ���������� ���� ��� ���
����
#���� �� ����������� ������ ���������7 ��������� ���� ����������
������ ������������������ ���������������� ���� � ��������������������
%����� ����
��;��
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
7 ��;��
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
%�&������ ���
#���������� ����������� ���������� ���� �������� ���� �������
���� ����������������� ������� 7� � �������� ���� ����� ������
������� ���� ����������67 8������������7� �;���=�67 8�
����� ��3��
#��������������� ������ ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 45
���
������7� ���;����=�67 8
�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
, * "
. 1 �
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
* * �.
! �. ,
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
A� ������� ������� 7� ������� ���� ���� ��%� �� ��������� ������
���� ������������������� ��� ���������������� ������������
(� ����� �������� �������������������� ������������������������ ����
,����'�� ��
#������� �� ����$�� ��������� ������ ������������ ��� ���� ����
������ �����
�� ��=� �;� �=�� 6��������������� �� ��������������8
�� ��=�6 �=�$8�;�6��=� 8�=�$ 6������ ���������� �� ��������������8
%� &� �������� ��������3�����������
��=�3�;�3�=���;��
�� &� �������� ����67�8�����������
��=�67�8�;�67�8�=���;�3
(� ������������� �����%�������������� ��������� ����� ����� �����������
����� ��3��
#�������� ������� ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
��=� �;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
���������
�=���;�
, * "
. 1 �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������;�
3 * *
! * "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$� ��%�����������������������=� �;� �=���
�
A� �� ��������� ����������������������������������� ���� �����������
��� ����� %�����%�����
����������������������������� ����46
�� A� ������� B���� A �����C����� ��� ���� ����� %������ �� �������� ����� B���
A ������)C�����B����A ������))C������������������ ���� �������������������.�
����4��(�� ��� ��� ������� ������������#���� ���<�� �� �������4� �����������������
�������� �����
�� : ������������ ��� ��� ��� ������� ����� %�������� ������� B���� A ������ )C
���������� ������
�� : ������������ ��� ��� ��� ������� ����� %�������� ������� B����A ������ ))C
���������� ���� �
%� (� ����� ����� ������������ ����� ����� ���� ?
�� : ���������������������� ��������� ����� �������������������� ����
!� (� ����� ������ %�������� ����������� ����������� ������ ������� ��������������
���� ����� ���������������� ����
"� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� $�;�
, !
" .
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
�%�;�
! . *
� , "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� /�;�
! �. 3
5 , �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ ������������������������ ������������������������������
�� ��=� �� ��7�$
�� ��=�$ �� %�7�/
%� �=�$ � $�7��
�� �=�� �� /�7�%
�� ��=�/ �� %�7��
�� %�=�/ �� /�=�6�/8
�� 67�8 E� 6��=� 8�=�$
� 67 8 � ��=�6 �=�$8
�� ��7� �� 6��=�$8�=�
�� �7�$ �� ��=�6$�=� 8
Latihan 2.5.1
����.�������� ����.��������� ����.������
��� ���� ����� �� ��� ���� � ��� �����
#���� � !.. �,. ��1,���������!,. �.. ��,.����������*,. !,. ��!!,
<�� �� � �.. �1, ��!,����������.. �.. ��1,����������!.. �1, ��!..
4� �� �,. �!, ��..����������!, �,. ��!,���������!1, !1, ��!!,
�����
������� ��� ������� 47
*� $��� ������� ������ ����
,�;�
" * .
� 3 �
! . "
, ! 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� ����3�;�
. . .
. . .
. . .
. . .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� 67,8 �� 3�=�,
�� ,�=�67,8 �� 3�7�,
%� 67,8�=�, �� ,�7�3
�� ,�=�3
,� &��������������(��)������5���������������
!
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=�
,
*
5
(
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
� "
)⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3� &������������������������!���������������
� �
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��=��
.
� �
!
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;��
�. 3
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1� �������� ����������������������!� ������������ �������� �����
� � �
� � .
� ! � � � !
� � !
+ + −⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! " !
" ! �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5� &���������� ������������ ���� ������������������� �����
��
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�=���;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��
5 �
, .
1 *
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�7� �;�
! ,
* "
3 .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
>� #��������������� ����
��;�
! . *
� , "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! �. 3
5 , �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �������������
�� 6��=� 8��;��
��=�
�
�� 6��7� 8��;��
��7�
�
�.� �� (���������������������� �������� ���6���;��8�������� ����6��=��
�8�������� ���
���� ���
�� (������������������ ��� ������������� ���6���;���8�������� ����6 �7�
�8� ����
��������� ���
����������������������������� ����48
��3�� .��������� ������� �������������
#����!������������ � ����� ��������������� ����������� ���������������
�� �������������������������������� ������ ������� !�� �����������������
���������� �����
%�&������ ��(
#�������������� ��������!������������ ����������������!���������� ���
���� ���� ���� ����������������������������� ������ �� ���
�������!�
����� ��3�(
#�������� ������� ���
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
���
!��;�
! . �*
* 3 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�������������7"��;�
" . !�
3 > �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�
(� ������������� ��������� ������������ ������������ ���������� ����
,����'�� ���
$���������������� ����� ��� ������� ���� ���������� �� ����
�� ����������������� ������ ����� ������� ����� ��� ������� �����
�� 6��8� ;���6��8 6������������ ��������� 8
�� 6��=��8� ;�����=��� 6������������ ��������� 8
%� �6��=� 8 ;�����=�� 6������ ��������� 8
�� �� ;���
�� .� ;��3 63��� �������8
������� ��� ������� 49
�� $���������� ������ ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� $�;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
%�;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� /�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
� 0�;��
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ������ ���� �� ����� ������������ ���� �� ����� ����������� ����� �����
�������
�� ,� �� .0
�� !$ �� ,6!�8
%� 7"% � �.�
�� 7,0 �� "6��=� 8
�� *��=�" �� "��=�"
�� , �=�!$ �� !6$�7�%8
�� 3$�=�!% E� 6*�=�,80
� "/�=�0 � >0
�� !��7�" �� �/
�� 1$�7�*%
!� $���������� ������ ����
��;�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" !
� "
�� �;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
* �
. ,�� $�;�
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 3
* �
��������� �����;�!�����;�7"�
$����������������� ������ ������ ������ ���������������
�� 6��=���8$�;��$�=��$ �� �6�$8�;�6��8$
�� 6��7��8$�;��$�7��$ �� ���;��
%� �6 �=�$8�;�� �=��$ �� .��;�3
"� &��������������(��)������5�������� �������� ������ ��������� �
"
!
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�7�!
,
*
5
(
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
� ��
)⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
*� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������(�;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� �������������
�� 6,�8��;�,�
�
�� 6"��7�! 8��;�"�
��7�!
�
Latihan 2.5.2
����������������������������� ����50
,� #�������������
��;�
� !
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
�
� 6
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ����������� ����������� ��������� �� ���������������
�� 6��8��;���
�
�� 6���=�� 8��;���
��=��
�
��3�� .���������%���������
$��������������������� ����������������������� ����������� �������
��������� �����A� ��� ������ ����� ���������������������������� ������
���� ������������ ���?�$��������� �����������������������������
������ ���������%������� ������� ���������� ���� �������� ��������
�� ����������������� ������������������ ���������� ������� ��� ����� �� ���
���������&���������������������� � ������������������� ������������� ������������
(� ������������� ��������� ��� ����������������������������������� ������
���� ������ ����� A� ������� ���� ���� ����� � �� ������ $���� � �� ���
���������������� ��������������� ����������������������������������F���
�����������#���� ������������<�� �� ���$���� ������������������� �������
�� ���������������#���� ������<�� �� ��
$���� �A� ��� $���� �/����
$� ������� �������������� �������� ���������
�� '���� ����������� �������������������
".��-�*�,..�..�=�!.��-�*�...�..�;�-�!�,�...�..!� '���� ����������� ��������F���������
,.��-�*�,..�..�=�*.��-�*�...�..�;�-�"5,�...�..
#������ �������� �� ������������������������������ ��������� ����������
���������� �����
". !.
,. *.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
*�,..
*�...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
". *�,.. !. *�...
,. *�,.. *. *�...
× + ×⎛ ⎞⎜ ⎟× + ×⎝ ⎠
�;�
!�,�...
"5,�...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� ������������ ������� �������� ��� ����� 6�� ��� ����� ������� ��� ���!8��� �
�� ������ ��������������������������������������������� ����������
������������������������������������� ���� ������ ��
$��������� ��������� �������� �� ������� �� �������������
���������������� ��������� �������������� �����
#���� � <�� �� �
)������ ���".��� ����!.���
)���F��� ���,.��� ����*.���
������+� ��
#���� � ��-�*�,..�..
<�� �� � ��-�*�...�..
������� ��� ������� 51
%�&������ ��3
#�������������� ������ � ������������ ��������� ������ � ����������������������� ��������� ������ � �������� ���������������� �
��������������������� ������2������������ ������������������������ �
�� ����� � ���� �������������������������� ����� �����������
�� ���������� ���� ������������������������������������� ���� �
'�������� ������������������ �������� ��������� ����� %������� ������
���������� ����
����� ��3�3
$��� ��������������� ����
��;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
!
�
*
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ������� ��������� ������ � ���!��"����� ��� ������ � ���"��������
�� ��������������� ��������� ������ � ���!�����'��������������������
������� ����� ��������������� ������ ��� �����������������������������
�������� ����� ������ ���� ������ �������������������������� ���
�� ���� �������������� ���
�6!8�=�.6�8�=�67186*8�;�!�=�.�7�!5�;�7!3
'���������������������������� �������������������� ������ ��� ������
������������������������������ ����������� ���� �������������������
������������� ������ ���� �������������� ����
!6!8�=�67"86�8�=�*6*8�;�*�7�"�=��3�;��1
#������� ��������������� ������
� ��;��
!3
�1
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ������ ���� ����� ���� ���"���������� ���������� ���� ���!��"��� ���� ���������������������������� ��������� ���� ���������� ���������
����� ��3�4
$��� ��������������� ����
��;�
� "
! ,
. �
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������� �;�
! . 1 *
� " ! .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
/� ������� ��������� ������ � ���"��!����� ��� ������ � ���!��*�������
� ��������� ���� �� � ��� "� � *�� 2������������� ���� ����� � �����
����������� ���������� �����
��2������� ����� ��������������� ����������
�6!8�=�67"86�8�;�!�7�"�;�7�
��2������� ����� �������������������������
�6.8�=�67"867"8�;�.�=�>�;�>
��2������� ����� ��������������������������
�618�=�67"86!8�;�1�7�3�;��
����������������������������� ����52
��2������� ����� ��������������������������
�6*8�=�67"86.8�;�*�=�.�;�*
��2������� �������������������� ����������
!6!8�=�,6�8�;�*�=�,�;�>
��2������� ������������������������������
!6.8�=�,67"8�;�.�7��,�;�7�,
��2������� �������������������������������
!618�=�,6!8�;��*�=��.�;�!*
��2������� �������������������������������
!6*8�=�,6.8�;�5�=�.�;�5
��2������� ��������������������� ����������
.6!8�=�67�86�8�;�.�7���;�7�
��2������� �������������������������������
.6.8�=�67�867"8�;�.�=�"�;�"
��2������� ��������������������������������
.618�=�67�86!8�;�.�7�!�;�7!
��2������� ��������������������������������
.6*8�=�67�86.8�;�.�=�.�;�.
#������� ����� �������
� �;�
� > � *
> �, !* 5
� " ! .
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
$������������� ���������������%������������ ��������� ��������� ���
���������� ������������
����� ��3�5
$���������� ����
��;�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ����� ������� ���� ��
A�� ���������
/� ������ �������� � ���!��"������� ���� ��� � ���"��!������� �����
�� � ���!��!�������������� ���� ���� � ���"��"�$�������� ������������ ���%������������ ������� ����
� �;�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
3 . . �. . �! 3 !
" * . , 5 !. 1 1
+ + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���
��;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
! . "
� * ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
3 , . !. > !, �� !. "*
! ! . 5 " �. * 5 �"
. * . �3 . !. * �3 !.
+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
&����������� ������������������ ��
�
������� ��� ������� 53
����� ��3�6
$����������;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&���������� ����� �
A�� ���������
� �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
!
, "
( )
( )
+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
�
�����7
�� $���������� ��������� ���������� ��� � �������������� ��� �
������� ������ ����������������� ��� ���� ����� ����(�������
������������� ����� �
������� �����*�� ����
#����� � ��� �� ������ ���������������������� ������ ��������� �����
������ �� ���������
!� &����� ���� ��� �� ������� ����� ��������� ���� ���� �� ����� �����
���������� �� ��������� ���� �������� ������ ���������� ����������
���� ������ ���������� ��� ������������������������� ���&� �����
������������������ ����� �������������������� ���� ��
� ��'��������� ���4�� ����� � �� ���������� ������������ ���� �
������ �� ���������� �������� %����� ������� ������ �� ��� ���"�� !���� ��� ��� ���!��*�������� ����� ��� ��� ���"��*������������ ���� ���������� ���������
� ��'��������� ����4�� ����� ������� ���� �� �� ���������� ������
���� ��� ��� ��� 6� ��8� ���� �� ������ �������� %����� ����
�� �������� ��� ���"��!����� ��� ��� ���!��"�������� �����
�� ��� ���"��"������������� ���� ���� ��� ���!��!�� ��'��������� ����� �4�� ����� � ������ ���� �� �� ������������
���� ������ ���6� ��8� ������������������������������ �
�� ����� �����(���� ������ (� ����� ���� ������ %����� ���
������� ������� ����
$��� ������� ���������� �
��;�
� .
! "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$������������������������ ������ ����������� ����
� �;�
� !
�� *
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� ��;�
" 3
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ �≠� ��
����������������������������� ����54
(� ����� �������� ������������������� ����������������� ����
,����'�� ���
$������������������������ ������� ������ ��������� ������� ���������
������� ������ ����� ��������� ������ ������� �����
�� �6� 8 ;��6��8 �������6������ ��������� 8
�� �6 $8 ;��6� 8$ �������6������������������ ������� ������8
%� �6 �=�$8 ;��� �=��$ �������6���������� ������������8
�� 6 �=�$8� ;�� ��=�$� �������6���������� ��������� �8
�� ����;���� ;��� �������6���� �������������8
�� �3�;�3� ;��3 �������63��� �������8
A� �� ��������� ��������%�������������� ���� ���� ������ ��� ����
���������� �����%��������� ������ ���� ������ ����������
�� $���������� ����
��;�
! " �
* � !
" ! ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" . *
! , ,
* ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&��������
�� �� ����� ������ ����� �� ������������� �����
�� �� ����� ������ ���� � �� ������������� ���� �
%� �� ������������ ����� �� �� ������������ ������
�� �� ������������ ���� � � �������������� ����
!� $���������� ������ ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������������������������ �;�
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� $�;�
3 * .
� ! "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��
%�;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�����������������������/�;�
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �0�;�
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
&���������� ������ ���� �� ����� ������������ ���� �� ����� ����������� ����� �����
�������
�� � �� �!
�� � �� $%
%� �$ �� /0
�� $� � 0/
Latihan 2.5.3
������� ��� ������� 55
�� �6 $8 � ,6� 8
�� 6� 8$ �� 6,�8
�� 6��=� 8$ �� �6%�=�/8
�� �$�=� $ �� �%�=��/
"� $���������� ������ ����
������������;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ��;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 3�;�
. .
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� �� %� �3
�� �� �� 3�
*� 0� ������ �������(������0������������������� �������� ������ ��������� �
�� "
! �
, "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=���;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� !
� . 1
! " *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�7�" �;�
! . ,
� " *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� ,$�=�"
" ,
� !
. *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
! ,
* "
3 .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,� $���������� ������ ����
����������;�
! " �
* � !
" ! ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
(
)
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ���������������������������$�;�
�
!
"
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &���������� ����� �
�� #����� �;�$��� ��������� �������� ������ ���������������������� ����������� �
3� : ������� �������� ������ ����� ��� ����� ���������� �������� ����
��
! " 5
, �.
( )
( )
+ =⎧⎨ − =⎩
��
, !
! , 3
( )
( )
+ = −⎧⎨ − =⎩
%�
! " ,
! , 5
" * , �.
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
����������������������������� ����56
1� $��� ������� ����
��;�
, �!
5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A� �������������
�� 6� 8��;�
��
�
�� 6 �8��;��
� �
5� (������������������ �� ��������� �������� ���6 ��;� 8������
�������� ������
�� ���� ���� ���
��3�( .��#��������������
���� ������ ������������� ������������������������ �����������������
�������� ��� ���� �� �����������/� ������ ����������� ������� ��� ���
�� ������� ���������������������������������������� ���������� � � ��
������������������ ��������� ����� ������������������� ������ ����������
�������� ��� ��������� ������ ����� ����������������� ��� ���� ��
�� �����������$��������� ������������� ������ ����������������� ���
������� �������� ��������������� �� ���������� � ��� �������� ����
��� ��� ���� ����������������� ��� ��������)����� � ������������������
��� ������ ������������� ��� ��� ���� ��������� ������ �����
'������� ������ ���������� ������������ ���������������������������
�� �����
�����
�
�
� ��� �= ������
'�������;�.�����������������.�;���������������������� ��������������
����� ��3�8
$���������� ������;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�� &���������!�
�� #����#6(8�;�"(!�=�,(�7�!�����������#6�8�
A�� ���������
�� �!;����
;��
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠
� � ! " � ! ! .
" � . " " ! . .
;�
1 !
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 57
�� #6�7���;��"�!�=�,��7�!�
����������;��"
1 !
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=�,
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�7�!
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
!� 3
> �5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�=�
, �.
�, .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�7�
! .
. !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
!* �3
!* �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�����7
$������������������������ �������������#8(7�;��(!�=��(�=�!�������������!
��������� ������������������� ������ ������ ��������� �����
��������#8�7�;���!�=���
!�=�!��
����������� ���������������������� ��������������� ����� ����
�� $���������� ����
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+��������
�� �!
�� �"
%� �!�=�!��=��
!� $���������� ����
�;�
! " �
� � !
" ! �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� . .
. � .
. . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+��������
�� !
%� #8 7�������#8(7�;�(!�=�!(�=�"
�� "
�� �8 7��������8(7�;�("�7�(
!�=�(�7��
"� #�������������
��;�
! "
. ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������������������������� �������!�;����=����
Latihan 2.5.4
����������������������������� ����58
*� (������������� ����
� �;�
� "
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� ������������������������������� ������ ��;�
� "
. �
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
,� #������� ��������� ������ ������������������������������������������������ �����
6��8��;�6�
�8�?��������� � �������� ��������������� ��������� ������ ������������ ���
�� ����?
2.6 Determinan Matriks/��������������%��������������������#8(7�;�(�=�!���8(7�;�(
!�7�,(�=�3�����������
������ ������������������ ������������������������ ����(����������������� ����#8(7�
<������������������������������� ������ ������ ���������� ������ �����$�������������
����� ����� ������������� ��������� ������ ������ �� �������� �������� ����� )��� �� � ��
�������� �������6"�����8� ������� ���������������������� ������ ��������
��� �� ������ 6��"�����7� ������� �� ������ ������� ��������� ����� <������ ���
��������� ���������������"����������
(� ������������� ������������������ ������� ������ ������ ���!��!�
%�&������ ��4
#������� ��������� ������ ������ ���!��!����������
��;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ����������������������� ������� ���� ��������������� ���� ���
������������������������6�8�;��"�7��!�
'���������������������� �������� ������� ����� ���!��!���� ��������������� �����
-�������� ������� ����������6�8����� �������������������������������������
����� �������� ������������������� ������������ ����� ����������������
����� �������� ������� ��
$��� ������� �������� �������������������������6�8������G�G���#�������6�8�;�.�
������ ��������������'����������������������������6�8�≠�.�������� �������������
'������������������
'����������������������� �������� ����� �������� ��������� ���� %����
������������������� ����� �������� ����
����� ����
�����!� �"�
6�8� � ������6=8
������� ��� ������� 59
����� ��4�
&������������ ������� ���� ������ ������ �����
�� ��;�
" �
* !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� $�;�
1 ,
. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� ���6�8�;�6"8�⋅�67!8�7�6�8�⋅�6*8�;�73�7�*�;�7�.��� ���6 8�;�6��7��86��7�"8�7�6!86*8�;��
!�7�*��=�"�7�5�;��
!�7�*��7�,�
%� ���6$8�;�6186.8�7�6,86.8�;�.�7�.�;�.�
�
����� ��4��
&����������������������������������������6�8�;�.����������;�
� !
� *
�
�
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
A�� ���������
���6�8�;�. ��⇔��6��7��86��7�*8�7�67!86�8�;�.
⇔ ��!�7�,��=�*�=�!�;�.
⇔ ��!�7�,��=�3�;�.
⇔ �6��7�"86��7�!8�;�. ⇔ ��7�"�;�.����������7�!�;�. ⇔ ���;�"����������;�!
�
���� ����������� ������������������ ������� ������ ������� � ���"��"�
%�&������ ��5
#������� ��������� ������ ������ ���"��"����������
��;
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� � �
� � �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ����������������������� ������� �����������������������6�8�������
��������� ���� �������������������������
���6�8�;����
⋅�!!
⋅�""�=��
�!⋅�
!"⋅�
"��=��
�"⋅�
!�⋅�
"!����
�"⋅�
!!⋅�
"�����
��⋅�
!"⋅�
"!����
�!⋅�
!�⋅�
""�
����������������������������� ����60
'���������������������� �������� ������� ����� ���"��"���� ��������������� �����
H�������� ����������� ������������ ����������������������������������������
����� ��������������� ���� �������� ��� ��������������� ����������H�����������
��������������� ����� ���������������������� �������� ��������������
���� ������������ ����� ��������������������������� �������� ������� ��
+����� �� ���������������� ����� ������������
����� ��4��
&������������ ������� ������ ������ �����
�� ��;�
� ! "
* , 3
1 5 >
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� . "
* . ,
" . >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� ���6�8 ;��
� ! " � !
* , 3 * ,
1 5 > 1 5
− −− −
;��6�86,86>8�=�6!8638618�=�6"867*86758�7�6"86,8618�7�6�86386758�7�6!867*86>8
;��*,�=�5*�=�>3�7��.,�=�*5�=�1!
;��!*.
�� ���6 8 ;��
� . " � .
* . , * .
" . > " .
;��6�86.86>8�=�6.86,86"8�=�6"86*86.8�7�6"86.86"8�7�6�86,86.8�7�6.86*86>8
;��.�=�.�=�.�7�.�7�.�7�.
;��.
�
���� ��!� ��"� ���� ��!�
�!�� �!!� �!"� �!�� �!!�
�"�� �"!� �""� �"�� �"!�
6�8�������6�8�����������6�8������������6= 8����������6= 8���������6=8�
������� ��� ������� 61
�� +������������ ������� ���� ������ ����� ���!��!��� ���������
�� ��;�
� !
� "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� %�;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
3 !
" *
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� /�;�
! *
3 ,
�
�
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
%� $�;�
, �.
" 3
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
!� &�����������������������������������6�8�;�.�������
��;�
" !
5 ,
�
�
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
"� &�����������������������������������6�8�;�,�������
��;�
� !
* "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
*� +������������ ������� ����� ���"��"��� ���������
�� ��;�
� " �
! ! �
* . "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
%� $�;�
* . �
! ! �
" * ,
�
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� 5 3
* . �
! . "
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,� &�����������������������������������6�8�;�.�������
��;�
3 . .
. �
. * !
�
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
3� (�������������������� �������� � ���!��!����� ����� ��� ���������������� �
���������������������6�8�;�.�
1� (�������������������� �������� � ���"��"����� �������� ���������������� �
���������������������6�8�;�.�
5� (������������� ������� ������ �� � ���!�� !����� ����� ��������� ����������
������ ������������� ����� ������������6�8�;�.�
>� $��������� �����%������������������������6�8�;����6��8�
�.� $��������� ����� %������ ��������������� ������� ������ �� � ��� !�� !�����
���6��8�;��!����6�8�
Latihan 2.6
����������������������������� ����62
2.7 Invers Matriks$���� ��� �� ���������� ������������� ����� ���������� 6���� �8� ��������� !
�� ������� ������� ��������������
�
!
��������6!8�
!
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;����$����������������������6���� �8
���������
"
,
�������
,
"
��������
"
,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,
"
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �;�������� ����������������� ����������� �
�� �� �������� ������ �����
%�&������ ��6
4�� ����������������9����'��������������� ������ �;� ��;�������������� ������
�� ���� ����������
�����7
�� )��� ���� ���� ������������������� ���
!� #������� ����������� ���� ���� ���������������������� ���;���
"� #���������� ���� ���� ������ ������� ����������� ���� ������
*� A������������ ���� ������ ������������������ ������ ���������������
������������� ���� ���� ������������ �����
����� ��5�
#�������������
��;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������������������ ����������� ���� ���� �
A�� ���������
����������������������� �;� ��;���
A� ������������
� ��;��
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
��;��
3 , " "
�. �. , 3
− − +⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 63
���
� ��;��
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;��
3 , ! !
�, �, , 3
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
��;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������� ������������ �;� ��;����)����� � ����������� ����������� ���� ���� ����
�������� �� �� ����������� ���� ������
�
A� ��� ������ ����� ���������������������� ���� �� �������� ������ ����?
(� ������������� �������� ��� ���������������������������������������� �������
�� ������ � ����!��!�
,����'�� ��(
#������;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�����������"�7��!�≠�.�
��������7
���������������������������;��
����;���
A� ������������
����
;��
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
������;��
�
�" �!− �
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
" �
! �
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
�
�" �!− �
�" �! �� ��
!" "! �! "�
− − +⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
;��
�
�" �!− �
.
.
�" �!
�" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������������� ����64
���
���� ;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
�
�" �!−"� �! "� �"
!� �! !� �"
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
;��
�
�" �!−.
.
�" �!
�" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
;��
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
/� ��������� ;��
���� ;� ������� �� �������� ������
���� ������� ���� ���� �
�� ������
�
�����7
�� )��������������������������B�"�7��!�B����������� ������� �����������
���6�8�;��"�7�!���������;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
!� $� ��&�� ���!�*�� �������� ��������� �������������� � ��������6�8�≠� .��������� ���� ������������������������� ������� ��������� �����������
��������6�8�;�.���������� ���� ����������������
����� ��5��
&�������� ���� ���� ������ ������ ����� 6��������8�
�� ��;�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
" �
3 !
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� $�;�
%�� ���
��� %��
α αα α
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 65
A�� ���������
�� /� �������6�8�;�6,86"8�7�6!8618�;��,�7��*�;���≠�.���������� ���� ����������
$����������������� ������������%� ������ ������� ����
����;�
" !�
1 ,�, �*
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� /� �������6 8�;�6"867!8�7�67�8638�;�73�=�3�;�.�������� ���������������� ������� ��
%� /� �������������� ����������α���� ��������6$8�;�%��!�α�=����!�α�;���≠�.���������� �
�� ����$������$����������������� ������������%� ������ ������� ����
���������������������$�����;�
! !
%�� ����
��� %��%�� ���
α αα αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠�;�
%�� ���
��� %��
α αα α
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
����� ��5��
&���������� ������������ ���� � ������������ �������� ������ �����
��
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� �
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;��
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A�� ���������
�� A� ��������� �������� ����
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������6�8
#��������������,�;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������,���;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
������� ���������� ������6�8������������� ���� ����������,������������ ����
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������������������������������������������⇔��������������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
5 1
!! �>
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
����������������������������������������������⇔������������������������������;�
5 1
!! �>
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� A� ��������� �������� ����
�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������6��8
����������������������������� ����66
#��������������-�;�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������-���;�
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
������� ���������� ������6��8������������� ����������������-������������ ����
�
, !
1 "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
" !
1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔���������������� �
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
�, ��
!! �3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔�������������������������� ���;��
�, ��
!! �3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
,����'�� ��3
#������ ���������� ����� ��� ���� ��������� ����� � ��������� ��
���� �����
6� 8���;�
���
��
��������7
+� ��������������������6� 86� ���
��8�;�6
���
��86� 8�;���
A� ������������
6� 86� ���
��8�;��6
��8�
���;����
���;���
���;��
���
6� ���
��86� 8��;�
��6�
���8 ;�
��� ;�
�� ;��
#������� �����������6� 8���;�
���
���
�
����� ��5�(
#�������������
��;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�
���������
�� �� �����
�� ���� ���� ����� ������6� 8��
%� �� �������
�� �� ���� ��
�� �� ������� ��
�� �� ���� ���
��
A�� ���������
�� � �;�
" �
, !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
! !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�;�
! "
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� ��� ������� 67
�� 6� 8���;�
* "�
! !5 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
"
!
!
� �
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
%� ����;�
! ��
, "3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� ���;�
" !�
* !3 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
�;�
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ��� ���;�
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
, "
!1
5
!
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ���
���;�
"
�
!
! �
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
! �
, "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
"
!
!
� �
$� ��%��������������������6� 8���;�
���
��������6� 8
���≠����
���
�
�� 0� ���� ���� ���� ���� ������ ������ ����� 6��������8�
�� ��;�
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� %�;�
! "
� *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� /�;�
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
! !
�
�
"
%� $�;�
� "
! 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 0�;�
%�� ���
��� %��
( (
( (
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
!� &���������������������������������� ������ ������ �������� ������ ��
�� ��;�!
! !
�
�
� �
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
%� $�;�
!
" !
!
� �
� �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �;�
� ,
� "
�
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
6)������������������ ������� ������ ������������ ����� ����������������������8�
Latihan 2.7
����������������������������� ����68
"� $���������� ������ ����
��;�
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
" ,
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� ���
�� ��
�� ��
�� 6��8��
%� � �� 6���8�
�� 6� 8��
�� !�
�� ��� ��
� 6!�8��
�� ���
���� 6��=� 8
�� ���� �� 6��=� 8
��
� ����
�� ����=�
��
*� $����������������������������� ��:���"�� ���������� ��� ������ ���������
�� �������6� 8���;��
�� ��?
�� �������6� 8���;�
���
��?
%� ������������;���
����;��?
�� �������6��8���;�6�
��8�?
�� �������6!�8���;�!�
��?
�� ������6��=� 8���;��
���=�
��?
,� &���������� ������ ������������������ �������� �������� ������ ��������� �
��
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��;�
!
,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
%�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
��;�
� "
! 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� �
" ,
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�;� ( )� "− �� �
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
! "
� *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
3� �� �������� ��������638��� � ���!��!����� ������� �?
�� �������� ���� ���������� 6�8� �� � ���!�� !����� ��� ���� �?� #���� ��� ��������
���� �� ��
1� $��������
��;�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������������� �;�
, *
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&���������� ������ ������ �����
�� ���
��
�
"
����
�� 6���8��
�� 6��=� 8
%� "� � 6��=� 8�6��=� 8
�� 6"�8��
�� ���=�!� �=�
�� "����
�� ����=�� �=� ��=�
������� ��� ������� 69
5� $��������
��;�
! �
" !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &����������������� ������������������������� �������7������� ������� ��
�� &����������������� ������������������������� �������7������������� ������� ��
>� &������������������� �����$�� ����������� ���� ���� ������������ �;�$�
�.� &�������������������� �;� �������6��=� 8!�;��
!�=�!� �=�
!����������
!�;����
2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear)��� ���� ���������������������������� ������������������ ����������� �
$�������������� ���� ��������������������� ���� ���� ������������ ��������� �����
�� ����������� �������������� ���������������� ������
A� ������� �������� ������ ����� �������������� ���������������� �����
�� ����� ����
�(�=��)�;��
�(�=�")�;�#�
/������������ ��������������� ����������� �������������� �������� �����������
�� �����
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������������������������������������������������������������6I8
4��������
��;�
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� �;�
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#�������6�8�;��"�7��!�≠�.�������� ���������� ������� ���������� �� ��������
����;�
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
#������ �������� ����6I8����������������� ���� ����������� ����
�������
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
� �
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �����
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
� " �
! ��" �!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
#
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#�������������6�8�≠�.�������������� ����������� ������������� ������ ���������
����������������������������� ����70
�����7
�� #������������ �������� ���������� ����������� ��������������������
������ ������������������ ������������ ����� ���� ������ ����� ���
!� #������ ���������� ����������� ��� ����������������"�7��!�≠�.������� ����
�� ��� �� ��� �� ������� ��������� ����������� ����� ������� )��� �� � ���� �����
�� ������ ����� � �� ���������� ��� ������ �������� ���������
(�������� ���������������"� 7��!� ;�.?�(� ��������� ����%����������������� �������
���� ������������������������������ �������6.�������7�#����� ������� �������
�� ������ �� �������� ������ �� � ��� �������� ������ ����� � �� ���������� ��
��� ��������� ������� ��� ����������������������������� ������� ���������� �����
����� ��� ������������������� �������������� ����������� ��� ���������������� ��
��� ��������8�
(� ������������� �����%�����%� ���� ������������������ ����������� �������
����������� ���� ���� ����
����� ��6�
$����������������� ���� ���� ����� ������������������� ����������� �� �����
�� ������ ����� ��� �����
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
A� ������������ �������� ������ ����� �
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
������������������������������ �������� ����
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
5
�,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������ ������;�
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������6�8�;�6"86"8�7�6!86*8�;�>�7�5�;����������� ����� �����
���� ��� ���� ���������
Tugas Kelompok
������� ��� ������� 71
����;�
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ �������� ���������������������������� ���� ���������������� ����
����
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
" !
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
" !
* "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
5
�,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ��������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
!* ".
"! *,
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔ ����������������������
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;��
3
�"
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ ��(�;�73�������������)�;��"
#��������������� ����������������� ����������� ���������������J673��"8K�
�
����� ��6��
$���������������� ����������� �
, "
3 *
( ) �
( ) �
+ =⎧⎨ + =⎩
: ���������� ���������������(�����)��������������
A�� ���������
�������� ������ ����� ���� ����������������������������������� �������� ���
���������� �����
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�;�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#������;�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������;�
�
!. �5−
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�;�
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
#������ �������� ���������������������������� ���� ����������� ����
��������������
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
, "
3 *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�
�
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ �������
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
� �
� �
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔ ���������������������
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
;���
�
!
* "
3 ,
� �
� �
−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
#�������� ����������������� ����������� ���������������
(�;�
�
!
6*��7�"�8���������)�;�
�
!
673��=�,�8
����������������������������� ����72
�� $����������������� ���� ���� ����� ������������������� ����������� �� �����
�� ������ ����� ��� �����
��
" ! ,
!
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
, 3 �,
! " 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
! * �
! " !
( )
( )
+ =⎧⎨ + = −⎩
��
! " .
� .
( )
( )
+ + =⎧⎨ − − =⎩
%�
! *
, !
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
* , �, .
" 5 .
( )
( )
+ − =⎧⎨ + + =⎩
!� �� #�������;� ���������
��;�
, >
! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �;�
*
!
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������������������� ��(�����)�
�� #�������;� ���������
��;�
, "
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����;�
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �;�
�
!
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
����������������������� ��(�����)�
"� $��������������������� ���� ������������������������ ����������� ��� �����
" ! 5
3 * �3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
�� �������������� ����������� ��������������������������������������� ���� ���?
�� D��� ���������������� �� ������ ����� � ��� ����� ����� ������ ��� �����
0� ������?
%� $���������� ������� ����������� ������ ������ �� ������ ����� � �� �����
���� ������ ��������?�#��������������������� ��������� ��
*� $��������������������� ���� ������������������������ ����������� ��� �����
! "
! * ,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
�� �������������� ����������� ��������������������������������������� ���� ���?
�� D��� ���������������� �� ������ ����� � ��� ����� ����� ������ ��� �����
0� ������?
%� $���������� ������� ����������� ������ ������ �� ������ ����� � �� �����
���� ������ ��������?�#��������������������� ��������� ��
Latihan 2.8
������� ��� ������� 73
,� $� ���������� ����������� ��� ������������������������������� ����������� � ���
���� ��� �������������� ���������� ���������� ������ ������������������ ��
��� ��������� ������� ��� ������������
��
! "
! *
( )
( )
+ =⎧⎨ − =⎩
��
"
" " >
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
%�
*
, , �,
( )
( )
− =⎧⎨ − =⎩
2.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan$�������(����4���������/�����L���������������� ����������������� �����
����� ������� ����������������� ������������������������%� ������������A����������
������������������� ����������������� ����������� ������� ����������������� �����
�������%� ������ �����
��8� ����'�.����'����:������ �������%���;�������
����������������������� %� ������ ������ ����������� ��� �������
������ �������� ��� ��������� ������ �� ������ ����� � ���� �� ������ ������
�����������%� ������������'����������� �������%������� �����
����� ��8�
$�����������������%� ������������������������������� ����������� ��� �����
" ! 5
* " �,
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
$� ���������� ����������� �������������� ����
"(�=�!)�;�5 ��G�×�"�G ⇒ >(�=�3)��;�!*
*(�=�")�;��, ��G�×�!�G ⇒ 5(�=�3)��;�".��M
��( ;�73
$� ��(�;�73�����"(�=�!)�;�5������ ����
6"86738�=�!)��;�5 ⇔ !)��;�5�=��5
⇔ !)��;�!3
⇔ ��)��;��"
#�������� ����������������� ����������� ���������������(�;�73�����)�;��"�
�
����������������������������� ����74
���� ������ ������������������������� ����������� �����������
�� ������ �� �����
�( �) �
!( ") �
+ =⎧⎨ + =⎩
$�����������������%� ���������������� �������������� �����
�(�=��)�;�����G�×�!�9 ⇒ �!(�=��!)�;��!
!(�=�")�;����G�×���9 ⇒ �!(�=��")�;�����M
6�!�7��"8)�;��!�7���
#�����!�2��"�≠ �.���������� ����
�)�;�
�! �� �� !�
�! �" �" �!
− −=− −
���
�(�=��)�;�� G�×�"�9 ⇒ �"(�=��")�;��"
!(�=�")�;�� G�×���9 ⇒ �!(�=��")�;�����M
6�"�7��!8(�;��"�7���
��������������(�;�
�" ��
�" �!
−−
#�������� ���������������������������� ����������� �������������� �����
������
(�;�
�" ��
�" �!
−− ���������)�;�
�� !�
�" �!
−−
���� ����������������%� ����� ����������������������� �����������
������ ������������� %� ������ ������A� ������� ����� ���������������
�� ������ ����� �������������� �������� �����
�( �) �
!( ") �
+ =⎧⎨ + =⎩
#��������������
�;�� �
! "
�;��"�7��!���ΔN;�
� �
� "
�;��"�7����������Δ �;�
� �
! ��;����7�!�
������� ����������������� ����������� ���������������
(�;�
�" ��
�" �!
−− �;�
(ΔΔ ���������)�;�
�� !�
�" �!
−− �;�
)ΔΔ
0� ����� ��������� ���� �� ��� � ���� ���������������������� ��������� %� �
���� �����
������� ��� ������� 75
����� ��8��
$����������������� %� �� ���� ������ ��������� ��� ��������� �����
�� ������ ����� ��� �����
3 1 >
" * 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
/���������������������
Δ�;�3 1
" *�;�!*�7�!��;�"
ΔN�;�
> 1
3 *�;�"3�7�*!�;�73
Δ �;�
3 >
" 3
�;�"3�7�!1�;�>
��������
(�;�(
ΔΔ �;�7!���������)�;�
)ΔΔ
�;�"
�
�����7
�� #����������������� ����������� �����������������Δ�≠�.�����������
�� ������ ����� � �� ������ ���� ��� ��� ��������� ���
��� ��������� �� ��������
!� #����������������� ����������� ������������������;�.�������� �����
����������������������������� ���� �������� ������ �����
�� ������ ���������� ��� ��� �����������������������������
���� ������ ��������� ������� ��� �� ����������
�� (� ����� ����������� ����� ������� ������ ������ �� ������ ����� ���� ;� ��� � ������
� �
�
! "
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠��
(
�
)
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠��
�
�
�
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠�� ���� ���6�8� ;� .�� ������� ����������� ������ � ���
���������������� ��
!� (� ��������� ������������������ ��������������������:�����
Tugas Mandiri
����������������������������� ����76
'�������� ����������������%���������������� �������%������� ����
����
����� ��8��
&������������������ ����������� �� �������� ������ ����� ��� ����� 6����
���8�
��
! " �
* 3 !
( )
( )
+ = −⎧⎨ + = −⎩
��
* 3 �.
! " 3
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ���������
�� ���������������� � ����� 6(+)8� ������������ ������!(� =� ")� ;� 7�
������������������� ������*(�=�3)�;�7!��)����� � ��������������
��� ����������� �� �������� ������ ����� � �� ������������
1,�;�J6(+)8�G�!(�=�")�;���K�
/� ���� ��� ��� ����������� 6(+)8� ���������� �� ������ �� �����
��� ��� ������������������������� ���������� ������ ��������� ���
��� ��� �� �����������A� ������������������ �������� ������ �����
�������� �����;�6!8638�7�6"86*8�;��!�7��!�;�.��� #������ ������*(�=�3)�;��.��������������������� �����!(�=�")�;�,��A�������
6(+)8� ���������� �� ������ !(� =� ")� ;� ,� ���� ���������� �� �����
!(� =� ")�;� 3� ����������� )��� �� � ���� �������� ������ ����� � �� ������ �����
���� ������ ����������A� �������������������������� �����������
�������� �����;�6*86"8�7�6386!8�;��!�7��!�;�.��
$������������������� ��� ����� ������������������� ������� ���
�������������� ���� ������������ ����������� ��(� �����������%����
���������������
����� ��8�(
��� ���������������������������������� ���#�������������"���������"���
� ������� ���� ������ � �-�1�,..�..�� ���������� ����� ��������� !����
����*����� ������� ���� ������ � �-�5�...�..��(� ������� ��������
������������������ �?
A�� ���������
4�������� � �������������������(� ����
� ������������� ��������)� ����
$� ������ ���� �������� ���������������������������� ������������������
"(�=�")�;�1�,..
!(�=�*)�;�5�...
��������
Δ�;�" "
! *
�;��!�7�3�;�3
������� ��� ������� 77
Δ(�;�
1�,.. "
5�... *�;�".�...�7�!*�...�;�3�...
Δ)�;�
" 1�,..
! 5�...
�;�!*�...7��,�...�;�>�...
������� ��
(�;�(
ΔΔ �;���...�������)�;�
)ΔΔ
�;���,..
#����� � ��� ���������� ������-���...�..������ ��� ������ ��� � �������
-���,..�..�
�
��8�� ����'�.����'����:������ �������,����;�������
/������������������������������ ������� ������ ������ ���"��"�����
���;�
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� � �
� � �
� � �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� ������� ������������������� ���� ������������������������
���6�8�;����
⋅�!!
⋅�""�=��
�!⋅�
!"⋅�
"��=��
�"⋅�
!�⋅�
"!����
�"⋅�
!!⋅�
"�����
��⋅�
!"⋅�
"!����
�!⋅�
!�⋅�
""�
'�������������� �������� ������� ����� ���"�� "� ����� ������ ���������������� �����
$����������������� �������� ������� ����� ���"��"������������� ������������������ ����������� ��������������� ���������
������� �������(����������� ���������� ����������� �����������
�� �! �"
!� !! !"
"� "! ""
� ( � ) � 5 &
� ( � ) � 5 '
� ( � ) � 5 �
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
#��������������
�;��� �! �" �� �!
!� !! !" !� !!
"� "! "" "� "!
� � � � �
� � � � �
� � � � �
���� ��!� ��"� ���� ��!�
�!�� �!!� �!"� �!�� �!!�
�"�� �"!� �""� �"�� �"!�
678���������678����������678��������6=8�����������6=8������6=8�
����������������������������� ����78
Δ(�;�
�! �" �!
!! !" !!
"! "" "!
& � � & �
' � � ' �
� � � � �
Δ)�;�
�� �" ��
!� !" !�
"� "" "�
� & � � &
� ' � � '
� � � � �
Δ5�;�
�� �! �� �!
!� !! !� !!
"� "! "� "!
� � & � �
� � ' � �
� � � � �
������� ����������������� ����������� ��������������� ���������
������� ��������������������
(�;�(
ΔΔ ����)�;�
)ΔΔ
����������5�;�(
ΔΔ
0� ����� ��������� �������� ������ ����� ��������%� �����������������
��� ��������� %� �� ���� ����� ����� �� ���� �������� ����� %� �� ��� ��
0 �� �
����� ��8�3
$����������������� %� ������ ������ ����������� �������� �����
����� ��� �����
! ! �
" *
" ! "
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
A�� ���������
/���������������������
�;�� ! ! � !
� " � � "
� " ! � "
�;�3�=�!�=�3�7�3�7�"�7�*�;��
Δ(�;�
� ! ! � !
* " � * "
" " ! " "
− −�;�73�=�3�=�!*�7��5�=�"�7��3�;�71
Δ)�;�
� � ! � �
� * � � *
� " ! � "
− −�;�5�7���=�3�7�5�7"�=�!�;�*
������� ��� ������� 79
Δ5�;�
� ! � � !
� " * � "
� " " � "
−�;�>�=�5�7�"�=�"�7��!�7�3�;�7�
#�������� ����������� ���������� ����������� ���������������
(�;�(
ΔΔ �;�71����)�;�
)ΔΔ
�;�*����������5�;�(
ΔΔ �;��
�
����� ��8�4
��� ���� ����� ������������ ���� �� ���� ������ ����������� #���� ���
������ !� �� ���� "� ������ ���� ������������� ���� � ������ �
-�5�,..�..��#������������������ ����*�����������!����������������� ��
��� � �-����...�..���������������������������"��� ����!�����������!
���������������� ������ � �-��.�...�..�
�� (���������������������������� ���������� ����������������
�������� ������ ����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� �����
����� � ������������� ����
%� (� ������� ����������� �������������������������������?
A�� ���������
�� 4�������� � �������������� ���������(� �����
� �����������������������)� ���������
� ������������������������5� �����
$� �� ���� ��������������������������� ������������������ ���
�� ���� ������ �� ������ ����� � ������� ����� �� ������ ���� ����
�� ������� ���������� �����
!(�=�")�=���5�;���5�,..
��(�=�*)�=�!5�;����...
"(�=�!)�=�!5�;��.�...
�� $�����������������%� ������ �������������� ����������� ����
����������������������������� �����
$� ���������� ����������� � �������� ��������������
����;��! " � ! "
� * ! � *
" ! ! " !
�������;���3�=�5�=�!�7��!�7�5�7�3
�������;���.
ΔN��;��
5�,.. " � 5�,.. "
���... * ! ���... *
�.�... ! ! �.�... !
�������;��35�...�=�3.�...�=�!!�...�7�*.�...�7�"*�...�7�33�...
�������;���.�...
����������������������������� ����80
Δ ��;�
! 5�,.. � ! 5�,..
� ���... ! � ���...
" �.�... ! " �.�...
������;��**�...�=�,��...�=��.�...�7�""�...�7�*.�...�7��1�...
������;��,�...
ΔO��;�
! " 5�,.. ! "
� * ���... � *
" ! �.�... " !
������;�5.�...�=�>>�...�=��1�...�7��.!�...�7�**�...�7�".�...
������;�!.�...
#�������� ����������� ���������� ����������� ����������������
(�;�(
ΔΔ �;���...����)�;�
)ΔΔ
�;���,..����������5�;�(
ΔΔ �;�!�...
%� #���� � ������������ �� ���������-���...�..�
� �����������������������-���,..�..�����
� ������������������������-�!�...�..�
�
�� $�����������������%� ������ ������������������ ����������������� �����������
�� �����
��
! "
" �
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
, " �5
! " >
( )
( )
+ =⎧⎨− − =⎩
��
! * �
" !
( )
( )
− = −⎧⎨ + = −⎩
��
" ! �* .
! 1 .
( )
( )
+ + =⎧⎨ − − =⎩
%�
! 3
! 3 �.
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
* , �! .
" , 5 .
( )
( )
+ − =⎧⎨ + + =⎩
!� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� ��� �����
��
! "
�
" !
( )
)(
− =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
��
5
* "
"
! ,
)(
)(
⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
Latihan 2.9
������� ��� ������� 81
%�
3 .
" ,
" .
* ,
)(
)(
⎧ − − =⎪⎪⎨⎪ + − =⎪⎩
��
!�
! .
" ,
�"
� .
! ,
)(
)(
+−⎧ + + =⎪⎪⎨ −+⎪ + + =⎪⎩
��
� .
! >
! .
! "
)(
)(
⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
��
!�
� .
" *
!!
� .
! !
)(
)(
−+⎧ + + =⎪⎪⎨ −−⎪ + − =⎪⎩
"� &������������������ ����������������� ����������� ��� �����6�����������8����
�� ����������������������������������
��
! "
" 3 >
( )
( )
+ =⎧⎨ + =⎩
��
! �
* ! .
( )
( )
− = −⎧⎨ − =⎩
�
*� #��������������������������� "1�� ���������� ������������������������ �� �����
�������"�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ������������������������ �� �����?
,� ��� �������� ������������������ ���������� ���� �������������������� ���
��������� ����#������������� ������"�����������������!���������� ������������ ��
��� � �-��",�...�..��������� ��������������������������� ������*������������
����"���������� ������������ ������ � �-��>.�...�..�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ����������������������������������� ���������� �?
3� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� ������������
�� ���������� ������� �������� ����� ����
��
! " 3
" * "
! " , 1
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− + =⎧⎪− + + =⎨⎪ + − =⎩
%�
, " �! .
! " " �. .
" " 3 �, .
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− + − =⎧⎪ + − + =⎨⎪ − − − =⎩
��
! * " ,
, ! * 5
! 3 , �!
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
��
, ! * �, .
* " ! 5 .
! " " �! .
( ) 5
( ) 5
( ) 5
− − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − − =⎩
����������������������������� ����82
Rangkuman
1� �������������� ����������� ��� ��������� ������ ��������?�(� ������������ ��
��
3
! ! ! �!
" " " �5
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
��
,
! ! ! 5
! ! , �.
( ) 5
( ) 5
( ) 5
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
5� (�����+������������������������������������������� #���� ��������������������
�� ������������-���...�...�..��#�������������(��������+�����������-�,..�...�..�
������������������������+��������������������-�5..�...�..�
�� (���������������������������� ������� ���������������� �������� �����
����� �
�� $����������������� %� ������ ������ ����������� �������� ������ ����� � ���
��������� ����
%� (� ���������������������������(�����+��������������?
�� A���� ���������9 ���4�� ���
�� A���� ������� ���
4�� ���� ������ �������� �� �� ������������������ ���� �� ������� �� ����
�������������������������������� �� ��� ���� ������ ��������� ���� ���
�������������������� ������� �6�������8�
�� 9 ����� ���
4�� �������������������� ���� ����������� �����P ����������� ��������
��� ������� ������������������������� ���� ������������ �����P �������������
���������N��
!� #�����������4�� ���
�� (� ���� ������� ��� ���� ��������������� ����� �
�8 4�� ������ ���� ������� ���� �������� ��� ������� ��� �����
!8 4�� ���������� ������� ���� �������� ������������������
"8 4�� ������� ������ ������� ���� �������� ������ ����� �������������
��� ��� �������
�� (� ���� ������������������� ����� �
�8 4�� ��������� ������� ���� ������������ �� ������
!8 4�� ���� ����������� ������� ������ ����� ���� �������� ���������������
����� ���� ��������������� �� ����������� ����������
"8 4�� �������������� ������� ���� ���� ��� ����� ����� ��� ��������������
�� ����������
������� ��� ������� 83
*8 4�� ���� ��������� ������ ������� ���� ���� ��� ����� �� ��� �������������
������� ����������
,8 4�� ���� ��������� ������ ������� ���� ���� ��� ����� �� ��� �������������
������� ����������
"� & ��������4�� ���
& ���������������� �������������� ������ �� �������� ����������������
�� ������������������������� ����������� ��� ���������� ���������������
*� /�������$�������4�� ���
4�� ����������������������������� ���� �������� ����� ������������������ ��
�� ���� �������� ����� �� ������������������ ������
,� 9�� ���������� ������4�� ���
�� A����������� ���
#������ ������;�6���8������� ���� �;�6�
��8����������������� ���� ������ � ��
�����P �������������������� �������������������������=� ������������
�� ������ ��$�;�6!��8�������� �����P ����������!
���;��
���=��
������������������������
�� A���� �������� ���
#������ ������;�6���8������� ���� �;�6�
��8����������������� ���� ������ � ��
�����P ��������� ���������� ������� ���� ����������������������7� ������
�������� ������ ��$�;�6!��8�������� �����P ���������!
���;��
���7��
����������������������
��
%� A� ��������� ���
$��������� ��������������������� ����� ��� ��� ��������� ������ ���
�������������� ��� ���� ����� �����������#������ ������;�6���8��� ������P �
������ ���� �;�6���8��� � ����P '�������� ����$�;�� ��������� ������ � ��
�P'��������
!���;��
������=��
� � ��=��
�:�:��=�����=��
�����
���������������������
3� )��� ��4�� ���
4�� �������������������� ������� ���������� �������� ���� ����������������
� �;���;� ���#�������� ������ � ���! P !��������
� �
�
! "
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠���������� ���� �����
�������������������������������
� � " �
�
! ��" �!
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
�
1� ���������4�� ���������������A� ������H����
�������������� ����������� ���������������������� �������� ������ ������
���;� ����������� ��������� ���������� ������� �������������� ��������������
�� ����������� � ����������� ����������������;���� �
����������������������������� ����84
Math Info
������������� ������� ����� ����� ������� ���
�� �����������������>� ������ ������� ��)��� ����)�����
���-�%������� � ��)��� �����������������3��������
�5!���$�� ����������������� ������� ������� �� �����
�� ���� ������������ ��� ���� ���� ��� $�� ����
�� ���������� ���� ������ ����������� �������
�������� �������� ���� ���������� ��� ���������
&��������������������������������� ���� ������� ��
���� ����������������������� ��������������������
�������� ��������� �� ��� �� �� �������� ��
�� ��������� ���� %����������� �������� ��
���������������� �������������
������ � ���������$�)��)
������;��������&�"������
������� ��� ������� 85
� ��� ��������������������������������������������������� ��������� ���
������������!�"������������ � �� �������!
�� (�� ��� ��������� ���� ����
���;��
� ! " �
. , * !
" 1 ! *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�� ���� $� ���
(� ���� 2� ���������
0� ���������
!� 2����� ���� �� ����������� �� ��� ���"� ��������!� ������� ������ ��� ����
�����������
�� * $� 1
(� � 2� ,
0� 3
"� $���������� ������ ����
��;�
� � !
. " �
� . �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
��������� �;�
� !
. �
� !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
#������ ����$�;�� +������� ����$��� �����������������
��
� ,
! .
� �
−⎛ ⎞⎜⎜⎜ −⎝ ⎠
�$�
! .
� ,
� �
⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠
(�
� ,
� �
! .
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2�
� �
� ,
! .
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�0�
−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜⎝ ⎠
� ,
� �
! �
*� $���������� ������ ����
0�;�
*
,
(
)
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
������;�
"(
5 �
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
�����������1�;�
,
� !
)
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#����!0�;��=�1�������������� ��(��)��5�������������������������������
�� *��*��1������7* $� *��7*��1������*
(� *��*��71������7* 2� *��7*��71������7*
0� *��7*��1������7*
Uji Kompetensi
����������������������������� ����86
,� 4��������
��;�
" ! 1
3 , *
. * >
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� �;�
3 ! *
. � "
1 1 ,
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2�� ����� ���� ������������ ���� ����� ������������
�� .��!5������*, $� 3"��31������,1
(� 1�����������* 2� 31��3"������,1
0� 3"��,1������31
3� $���������� �������� ����
5 �
1 3" ! *
� � � !
" ! � "
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠
:�����������!������"��� ���� �������� �����������������������
�� ,��7"��7*������7� $� ,��7"��*������7�
(� ,��7"��*������� 2� ,��"��*�������
0� ,��7"��*�������
1� #�����,�;�
� .
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������-�;�
! *
, 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���������� ����,,�7�!-������������
��
� 5
. "
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
$�
� 5
. "
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
(�
� 5
. "
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
2�
� 5
. "
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
� 5
. "
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5� 4���������� ���� � �������� ���� �� ��� ��� !� P � !� ���������������
���� ������� ����������
����A� � �������� ������� ���������� ����# ���������
�� 6� 8��;�
���
�$� � �;� �
(� 6� 8���;�
���
��2� 6�
��8���;��
0� 6��8���;�
−��
�
�
>� #����������������� ���� ���� ������������
− ⎛ ⎞= ⎜
⎝ ⎠�
! �
" !
�
������ ����� �;�*�������������
��
5 *
�! 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$�
5 *
�! 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
(�
5 *
�! 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2�
5 *
�! 5
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
0�
5 *
�! 5
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
������� ��� ������� 87
�.� $���������� �������� �����
� ,
! ! �
( ( (
( ( (
+ −=
−
:�����(� ������������ �������������������������
�� (��;�7���������(
!�;�" $� (
��;����������(
!�;�7"
(� (��;�7���������(
!�;�7" 2� (
��;����������(
!�;�"
0� (��;�7!��������(
!�;�"
��� �$���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� ������
������(��)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
�!� $���������� ������;�
"
,
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
��#������;� ��������������(�����)
�����������������������
�� *�����7! $� 7!�����*
(� "�����, 2� 7*�����7*
0� *�����*
�"� $���������������� ����������� �
(�=�)�;�5
!(�7�)�;��
:�����(�����)��� ���������� ����������� ��������������������
�� ,�����" $� 7,�����7"
(� "�����, 2� 7"�����7,
0� 7"�����,
�*� $���������� �������� �������!(�7�)�7�,�;�.������
!��"(�7�)�7�1�;�.���/������� ��
�� �������� �����������������������
�� 6!��8 $� 67!�7�8
(� 67!��8 2� 6!�"8
0� 6!�7�8
�,� :���������� ��� ������;�
! !
� "
�
� �
+⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� ��������� ����������� ������������
�� 7!������" $� 7�������*
(� !������7" 2� �������7*
0� �������*
{
����������������������������� ����88
� ��� ��������������$���������������������%&�������������������������'
�������� ���� �����!
�3� �� (� �����%������� ���������� ��� ��� ���!� P �!���������
6��=� 8!�≠��!
�=�!� �=� !
�� (� ������ � ���������� ���������� ������������������� �����
6��=� 8!�;��
!�=�!� �=�
!
�1� $���������������� ����������� �
!(�=�")�;�"
"(�=�,)�;�*
�� : ��������������� ������ ����� � ������������������ �������� ����
�� ������������� �������� ���� �������������������� ���� ���� ����
�5� $���������� ������;�
3 !
" "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&��������
�� � %� ����
��
�� 6� 8��
�� ����
��
�>� @���������F����������!�������������� ����������������������@����������
,����������������!���������������������F����������"���������������
"�����������4� ������������������� � �-�"3.�...�..�����-�!1.�...�..�
�� ���������������� ������ ����� ��� ���� ���������������
�� : ��������������� ����������� � �������� ������������������ ���
������ ����
%� &��������� ����� ������������������������������
!.� �����(������������������������ ������������ #���� ��������������������
�� ������������-�".�...�..��#���������������������(�������� �������������
���� ������-��,�...�..�� ���������� ����� ������������� �������� � �����
-�!��,..�..�
�� (���������������������������� �����������
�� $�����������������%� ������ ������������������������� �����������
������������� ������ ����
%� (� ���������� ������������������������ �������(������������?
�� ��� �����������������������������!.���������� ����".��������������!,���
����������������,������������ ���#����� ����� ������ �� ����� ���-�1�...�..�
-��.�...�..�� -�"�...�..�� ���� -��,..�..�� ����������� ��������� ���� �����
��� �������������� ����� ������� � ����������������������� ������
!� ��������������� ������������� ����������������.�...��� �����������������
�� ��������������������������� ������������������� � ��������������� ���
������������������������������������"��������� %���������������������������
������ ��� ���-�!.�...�..��������Q)A� ��� ���-�,.�...�..������������ ���� �Q)A
��� ���-��..�...�..��(� ������ %��� ������ ��������������������������������
���� �������������-�",.�...�...�..?
{
Soal Analisis
������� ��� ������� 89
���9���
:�� ����������������������������������������������������� &������ ������������������������������������������������������������
/���� ���L)) 4��� ��A���� ���4�� ���
/������ ����������������������������������������������������� ������ �����6����8
/������� ����� ����������������������������� ������� �������
&����� ���4���������� � ������������������� ������� �������
�� ���������������������������
�� ����� ����� "� $���� � �����
!� (���� %������ *� /����� �������� ���
�� ����� ���-�
�� (�������������� ������ �� ���� ��*������,�������
!� ������������������������������������������ ���������������� ��������
������ ��������
"� H������������%� ����������������� �������� ��������������������������
���� �������� ���� ��� � ��������0���������������%� �������������������
����������������������� ������������������ ������
*� #������� ���� �������� ������ � ������ ������� ������ �� 6���������� ���
�� �����8������� ��������������&�������� � ���������� ������������� �����
� ����������6��������8��/��������������������������� ��������� �����
�� ��������
�� 4�������� (� ������ ����� ������ ���������� ���� )� ������ ����� �����
�� �������������������������������� ������� ����������� ����
!� : ������������ ����������� �������������������� ����4���������������
�� �������� �������������� ��&��������(�����)����������������������� �
�� ����
"� &�������� � ���������������� �������������������������������� ������������
������������� �
Aktivitas Proyek
:�'���������-��
�������:���2���� ������.���'#���
/������
/�����
<�'��
����������������������������� ����90
�����"������ �������������������������
4������������� ������..1����� ��������� ����B����C�� ���������� ������������
�� � �����)����� ����� ��������� �����������H��������!��"��������!3�������� ���
� ������ ��$��������<��� �� ����� ���6������������ ������8����������� ���� �������
�� �������B����C���������>��>������3��/��������>��>����������3��������������������
�� ����
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
��'������������ ����� ���� �������������� ����� ������� ���
���������������
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
�������� ������ ������������������������� ����������
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� !
" *�
+����� ��
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�> >
� �3
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� !
" *
�;�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
*3 1*
*> 33
�
/� ����*3�� 1*�� *>������33� ������ �� ��������� ���� ����� ���� ������� ��� �������
�� ��������������� ���� ������� �������!3������� �����*3��1*��*>������33�����������
����������!3� �������� ����� ���������������� ������ �� !3�� ������� �����������
����� ��������������*3��1*��*>������33������������!.��!!��!"�������*��/����!.��!!��!"�
�����*��������������������� ����������.�=>�
#���������� ������..1������� ��������6�� �����8�C.�=>C� ����� ��� ��C����C��A� ��
�������������� ����� ���������������� ���� ���������������������� ������
� ����� ��������������������������������� ��
���� ����%���������������� �������� �������C����C�
Teka-Teki Matematika
?�������4�������4������������� 91
� ��� �����������������������������������(&�������������� ��������� ����������
�����!�"������������ � � � �������!
�� A� �������� ��� �����������������6.��.8�����65�.8������������
�� *)�;�,(�=�*. $� ,)�;�*(�7�*.
(� *)�;�7,(�=�*. 2� ,)�;�7*(�=�*.
0� *)�;�,(�7�*.
!� &�������������� ���"(�7�*)�;��.�����(�=�)�;�5������������
�� 63�!8 $� 6!�38
(� 673�!8 2� 673�7!8
0� 67!�38
"� (���������� � ����������� ������� ����������� ���������� ���������������� �
"(�=�!)�≤�".��!(�=�")�≤�".��(�≥�.������)�≥�.��� �������������� � ������ $� ������� ������������
(� ��������� 2� ��������
0� ��������
*� (�� ��� ���� ����� ���� ����
��;�
� ! " �
, , * !
" 1 ! *
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������
�� ���� $� ���
(� ���� 2� ���������
0� ���������
,� 2����� ������ ������������� ������"���������!�������� �������������������������
�� * $� 1
(� � 2� ,
0� 3
3� #��������������� ������;�
� !
" .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����#8(7�;�"(!�=�,(�7�!������#8�7������������
��
!� 3
> �5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
$�
!* !*
�3 �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(�
3 !.
*. !
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
2�
3 !.
*. .
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
!* �3
!* �3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Latihan Ulangan Umum Semester 1
����������������������������� ����92
1� ��� ������������������������!� �������������� ����������������������� ��������
�������� ��������������������� ���������� )���������� ))��'������������
���������� ����������������)������ ���!����������������))������ ���.�!,��
'������������� ������ ��� ���������������� )� ����� �������������������� ))
����� ���.�,���/���������)��� ������".����������������))��� �������!���#���
�������������� ���������������������� ������ ��� ������������ �
�� �, $� ".
(� !* 2� *5
0� !3
5� 4�� ���� ����������� �� ������������� ������ ����� �� �������� ����,� ���������
������������������������ �;�,���,��#���������� �� ��������� ������ ���� ���
�� ����������� � �������� ��������� ����# ���������
�� �������
���� ���
(� ��������������������������� ������� ��������������
0� #���������� ����������������������������
����� ���
$� 4�� ������������������� ����
2� #�������� ����������� ����� ��� �����������$���������� �����������$
>� #�������� ������ ��� ���" P "��������6�8�;�,�������������� �����66!�8��8�������������
�� �. $�
�
*,
(� *. 2�
�
*.
0� *,
�.� $���������� ������;�
� .
! �
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� �;�
� .
� *
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
����������������� ������ � ���! P !��(���
���;� �������� �����������������
��
� �
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
$�
� .
� *
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(�
� �
! !
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2�
� �
! !
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0�
� �
! !
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
?�������4�������4������������� 93
��� $�� �� ������� �� � ����� ���� ��0� ������� ��� ����� ����� ���������� �
��� ����������������� ��������������� �
�� ��(�=���)�≤�* $� ��(�=���)�≥�*��(�=�!)�≥�* ��(�=�!)�≥�*��(�7�!)�≤�7* ��(�7�!)�≤�7*!(�7���)�≥�* !(�7���)�≤�*
(� ��(�=���)�≤�* 2� ��(�=���)�≤�*��(�=�!)�≥�* ��(�=�!)�≥�*��(�7�!)�≥�* ��(�7�!)�≥�7*!(�7���)�≤�* !(�7���)�≤�*
0� ��(�=���)�≤�*��(�=�!)�≤�*��(�7�!)�≤�7*!(�7���)�≤�*
�!� #��������������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! �
1
5 ) (
( )
− +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��� �����;�! ������
������5�������������
�� �. $� "
(� 5 2� !
0� ,
�"� :����������������������������#8(+)7�;�!(�=�,)���������������� ��������������
�� ���������������� ��(�=�)�≤��!��(�=�!)�≤��3��(�≥�.������)�≥�.�������������� �! $� *.
(� !* 2� ,!
0� "3
�*� �#��������������� ������;�
,
, "
� �
�
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �;�
>
1 *
�−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ������6�8�;����6 8�����������
�������������
�� "������* $� 7*������,
(� 7"������* 2� "������7,
0� "������7*
@
�
*
!
. ! �������*
6*�*8
����������������������������� ����94
�,� #�������� �������� ���6���;��8�������� � �������� ��������� ����# ���������
�� ������������ �� $� 7����������� ��
(� 6��=���8���������� �� 2� ������ ������� �
0� 6��7���8���������� ��
�3� :�����(�����)� �������������� ������� �������� #8(+)7� ;� ,(� =� *)��������� �
���������� ����������������� ������������"(�=�)�≤��,��(�=� �)�≤�>�� �(�≥�.�����)�≥�.�������������� "5 $� "3
(� *, 2� !,
0� 3.
�1� :����� ����� ������� #8(+)7� ;� 5(� =� 3)� ����� ��� �� ��� ��������� �����
�� ���������������� ��!(�=�)�≥�".��(�=�!)�≥�!*��(�≥�.������)�≥�.�������������� �>! $� �"!
(� �5. 2� 1!
0� �*!
�5� $���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� �������������(�
)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
�>� $����������;�
"
,
(
)
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" *
* ,
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� #������;� ��������������(�����)�������
�����������������
�� *�����7! $� 7!�����*
(� "�����, 2� 7*�����7*
0� *�����*
!.� $���������������� ����������� �
(�=�)�;��5
!(�7�)�;��
:�����(�����)��� ���������� ����������� ��������������������
�� ,�����" $� 7,�����7"
(� "�����, 2� 7"�����7,
0� 7"�����,
!�� $���������� �������� �������!(�7�)�7�,�;�.������
!��"(�7�)�7�1�;�.��/������� ����� �����
�� �����������������������
�� 6!��8 $� 67!�7�8
(� 67!��8 2� 6!�"8
0� 6!�7�8
{
?�������4�������4������������� 95
!!� :���������� ��� ������;�
! !
� "
�
� �
+⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
�� ��������� ����������� ������������
�� 7!������" $� 7�������*
(� !������7" 2� �������7*
0� �������*
!"� #������ ����
� ! "
* , 3
1 5 >
�
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
���������6!�8�;������
�� !*. $� 1!.
(� *5. 2� ��>!.
0� 7!*.
!*� :���������� ��� �������� ������ ��������� ����������� ������������
3 . .
. �
. * !
�
� �
�
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
�� !������3 $� 7!������73
(� 7!������3 2� 7!��!�������3
0� !������73
!,� $���������� �������� �����
� ,
! ! �
( ( (
( ( (
+ −=
−
:�����N� ������������ �������������������������
�� (��;�7���������(
!�;�" $� (
��;����������(
!�;�7"
(� (��;�7���������(
!�;�7" 2� (
��;����������(
!�;�"
0� (��;�7!��������(
!�;�"
!3� $���������� ������;�
*
! "
(
) 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
! " ! *
1
) 5 (
( )
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
��#����!��;� �������������(�
)������5������������������������
�� !��,������5 $� 5��,������!
(� ,��!������5 2� 5��!������,
0� ,��5������!
!1� A� �������B(����A� ����C��� ������� !� ����������� ����� ������������ ������ �
�������������� ���������������� ���������� )���������� ))��'���������
���������� �����������)������ ���!�����������������))������ ���.�!,���'����
����� ������ ��� ����������� )� ����� ����� ���������������� ))� ����� ���.�,
��������(���� )� �� ������".� ���������������� ))� �� �������!� �������� #���������
����� ���������������������� ������ ��� �������� ���� �
�� �, $� ".
(� !* 2� !3
0� !5
����������������������������� ����96
!5� ������������������ ������������������������� ��������������O�������
���������������� ������ ��".������������������ ��������� ������ ��!*���������'����
��������������� �� ������ �� ������ !��%�� �������������� �����������
��������������
!��4��������������
������������������������!��������O�������������
������!��������O�������������� ��4��������������!�����������������������!�������
O�������� �������������� �������O�������� ������ ��+� ���������� ��������� �����
-�5�...�..��� ��������� �����������������!�������-�,�...�..��� �����(��� � �
��� �������� ����� ���������� ����� ���� �� ������ ��� ����������O��� ����
�� �������� �����������������
�� -�3.�...�.. $� -�>3�...�..
(� -�1,�...�.. 2� -�>"�...�..
0� -��!.�...�..
!>� ����������������� ������ ���������������������������� ��"..����������
���������������������� ���������� ������������� ������� ������������
3.�������������������������������������������� �����������!.�����A����������
�� ��������������������� ������ ������� �� �!�...�����(���� ������������ ������
��������� ������ ���������� -�5..�...�..� ���� ������ ������ ������ ������
-�,..�...�..������ ��� ��� ����������������������� ������ �� ������ ���
���� �������������������� ������ ��� �������� ���� �
�� -��>,�...�...�.. $� -�!*.�...�...�..
(� -��3.�...�...�.. 2� -�"..�...�...�..
0� -��,.�...�...�..
".� $���������������� ����������� �������������� ������
, "
3 *
( ) &
( ) '
+ =⎧⎨ + =⎩
A�� ����������� ���������� ����������� ����������������
���
6 * " 8
!
( & '= − + �����
�
6 3 , 8
!
) & '= − +
(��
6* " 8
!
( & '= − ������
6 3 , 8
!
) & '= − +
0�
�
6* " 8
!
( & '= − �����
�
63 , 8
!
) & '= +
$��
6* " 8
!
( & '= + �����
�
6 3 , 8
!
) & '= − +
2��
6* " 8
!
( & '= + ������
63 , 8
!
) & '= +
?�������4�������4������������� 97
� ��� �������������(�����������������������)&�������������������������'�������
���� �����!
"�� #���� #8(+)7� ;� "(� =� *)������8(+)7� ;� *(� =� ")� �� ���(��)� ������������������������ ���
�������������������������������������������������� ���������#�����������
������������ �������� ����������� ����� ��� �����
�� !(�=�")�≤��!��(�=�3)�≤��!��(�≥�.��)�≥�.�� ,(�=�!)�≤��.��!(�=�,)�≤�!.��(�≥�.��)�≥�.
"!� $���������������� ����������� �
"(�=�,)�;�"
!(�=�*)�;�*
�� : ������� �������� ������ ����� � ������������������ �������� ����
�� ������������� �������� ���� �������������������� ���� ���� ����
""� $���������� �������;�
, *
* "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����� �;�
" ,
* ,
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��&��������
�� � �� ����
��
�� 6� 8�
�� ����
��
%� ���
�
"*� H������� ���� �� � �������..�!��H���� ���� ���������� ����������� �.�
!����
����������������!.�!��$�� ���� �� ��� �������������������������������� �
5������ �����#������ ����� �� ��������������������������������������-�"�...�..
����-�,�...�..������������� ��� ���������������������������� ����� ��
��� � ���� ���� ��������������������� ��������� ����������������
�� ������
",� ��� ������������������������������ ���������� �� ����������� ����������� �
�� �������� ������������������ ������� ������� �������� ������������������
�����������4��A������=����������������������������!*��!!������"3������������
������� �������$���������������,�����-����� ������������������� ��������������
������������,��������������� ������������4��A������=�������������������
!���������������������������������������������������-��������������� �����������
4��A������=������������������� �����������!���������+� �����������������������,
����-�������������������-�5�...�..������-�3�...�..��&����������� ������
����������� �������������� ����������� ���� %�����
"3� �������-�OE�������:������� �������� ����� #�������� ���������������� �� �����
������1,�� #�������� ��������������-�OE������ ��������� ����:�����������*,�
������������������� ��������������:�����������,.�
�� (���������������������������� �����������
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ������ ����
%� (� ����������������������� �����������-�OE�������:����?
{
����������������������������� ����98
"1� ��� ������������������������������������������������#��������������!�������"
�������������������������������� ������ � �-����...�..�� #�������������� �
������*��������������!������������������ ������ � �-��!�,..�..�� ���������
����� ���������� "� ������ !� �������� ���� !� ������������� ���� � ������ �
-��,�,..�..�
�� (�������������������� ������ �� ������� ��� ����� ����� ������� �����
�� ������ ����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ����
%� (� ������� ����������������������������������������������?
"5� �����������������2�� ������������������ ������������ #���� ���������������
����� �� ������ ������-�!�...�...�..�� #���� ������������������������ �����
-���,..�...�..�������������������������������������2�� ��������-���...�...�..�
�� (���������������������������� ������������������������������� �����
����� �
�� $�����������������%� ������ ������������������������� ����������� � ���
��������� ����
%� (� ��������������������������������������������2�� �?
">� $��������
��;�
" *
! "
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����������;�
� .
. �
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� &����������������� ������������������������� �������7������� ������� ��
�� &����������������� ������ ������������������ ������� 7��� ���������� ��
���� ��
*.� &��������������(�����)� ����������������������������� #8(+)7�;�,(�=�*)�����
��� ������������ ����������������� ������������"(�=�)�≤��,���(�=��)�≤�>��(�≥�.�����)�≥�.�