Download - Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 1/15
Disusun oleh : Kelompok 3
Anggota :
1. Herdiana Harnum
2.
Omi Liyana3. Reni Septiana
4. Suri Margi Rahayu
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI)
BANDAR LAMPUNG 2012
KATA PENGANTAR
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 2/15
Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT karena atas limpahan Rahmat Taufiq
dan Hidayah-Nya sehingga usaha penyusunan makalah tentang INVERS ; ATURAN
ARITMETIKA MATRIKS telah dapat diselesaikan.
Makalah sederhana ini disusun dalam rangka membantu dan member
kemudahan kepada mahasiswa/i dalam mengikuti mata kuliah ALJABAR LINEAR di
STKIP PGRI Bandar Lampung. Makalah ini diharapkan dapat menjadi tambahan
referensi perkuliahan. Meskipun dalam penyusunan makalah ini masih terdapat
kelemahan dan kekurangan, maka untuk itu penyusun mengharapkan saran dan
tanggapan dalam upaya perbaikan.
Akhirnya sebagai ungkapan syukur, penyusun mengucapkan terimakasih
kepada semua pihak yang telah membantu dan berpartisipasi dalam penyelesaian
penyusunan makalah ini, dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Amin.
Bandar Lampung, Maret 2012
Tim Penyusun
DAFTAR ISI
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 3/15
Kata Pengantar . .................................................................................... iDaftar Isi . ............................................................................................. ii
Pembahasan . ...................................................................................... iii
1. Sifat-sifat Operasi Matriks . ......................................................... 1
2. Matriks-matriks Nol .................................................................... 3
3. Matriks-matriks Identitas .......................................................... .5
4. Invers Dari Sebuah Matriks ....................................................... .6
5. Sifat-sifat Matriks ...................................................................... .7
6. Pangkat Suatu Matriks . .............................................................. 9
7. Matriks – matriks Yang Melibatkan Ungkapan Polinom . ........ 10
8. Sifat-sifat Transpos . ................................................................... 11
9. Keterbalikan Suatu Transpos . ................................................... 12
Latihan Soal . ....................................................................................... 13
Daftar Pustaka . ................................................................................... 15
SIFAT – SIFAT OPERASI MATRIKS
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 4/15
Untuk bilangan real dan , kita selalu mendapati , yang disebut hokum
komutatif perkalian. Akan tetapi, untuk matriks, dan tidak harus sama . Kesamaan
tidak berlaku karena tiga alasan. Misalnya bias saja terdefinisikan tetapi tidak
terdefinisi. Ini terjadi jika
adalah suatu matriks 2 × 3 dan
adalah suatu matriks 3 × 4.
Juga hal tersebut bias terjadi sehingga dan keduanya terdefinisi tetapimempunyai ukuran yang berbeda. Hal ini terjadi jika adalah suatu matriks 2 × 3 dan B
adalah suatu matriks 3 × 2.
Contoh
mungkin saja , jika dan keduanya terdefenisi dan mempunyai
ukuran yang sama
Perkalian memberikan
Jadi Dengan menganggap bahwa ukuran matriks – matriks di bawah ini adalah sedemikian
sehingga operasi yang ditunjukkan bias dilakukan, maka aturan – aturan aritmatika
berikut ini adalah sahih.
a. b. c. d. e. f. – – g. – – h. i.
– –
j. k. – – l. m.
Bukti d. kita harus menunjukkan bahwa dan mempunyai
ukuran yang sama dan bahwa anggota – anggotanya yang berpadanan sama. Untuk
membentuk matriks – matriks dan harus mempunyai ukuran yang sama,
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 5/15
katakanlah , dan kemudian matriks A harus mempunyai m kolom, sehingga
ukurannya haruslah . Hal ini membuat menjadi suatu matriks .
Menyusul hal tersebut, juga merupakan matriks dan, akibatnya,
dan
mempunyai ukuran yang sama.
Anggap = [] = [] = [] Kita ingin menunjukkan bahwa anggota– anggota dari dan yang berpadan adalah sama, yaitu
=
Untuk semua nilai dan . Tetapi dari definisi penjumlahan matriks dan perkalian matriks
kita dapatkan.
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( )
= []
Contoh
maka
= dan =
Jadi,
=
Dan
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 6/15
=
Jadi
), seperti yang dijamin oleh Teorema 1.4.1.c
MATRIKS – MATRIKS NOL
Sebuah matriks, yang sama anggotanya nol, seperti
Matriks disebut matriks identitas terhadap penjumlahan jika untuk sembarang matriks, berlaku
Dan itu hanya dipenuhi apabila matriks adalah matriks nol, yaitu suatu matriks
yang semua elemennya bernilai nol.
Sebuah matriks nol akan dinyatakan dengan
, jika ukurannya merupakan sesuatu
yang penting ditekankan, kita akan menuliskan untuk matriks nol .
Jika adalah sebarang matriks dan adalah matriks nol dengan ukuran yang sama, jelas
bahwa
Karena kita sudah tahu bahwa beberapa aturan aritmatika untuk bilangan real tidak
berlaku untuk aritmatika matriks.
Jika dan , maka (ini disebut hokum pembatalan)
Jika , maka paling tidak salah satu factor di ruas kiri adalah .
Sebagaimana yang ditunjukkan oleh contoh berikut ini, hasil – hasil yang berpedanan
pada umumnya tidak benar dalam aritmetika matriks.
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 7/15
Contoh
Di sini
Meskipun , adalah tidak benar menghilangkan dari kedua ruas persamaan dan menuliskan B = C. Jadi, hokum pembatalan gagal berlaku untuk matriks.
Juga, , walaupun Sifat – sifat yang kita kenal dari bilangan real
yang berlaku untuk matriks – matriks nol.
Beberapa yang lebih penting diringkaskan dalam teorema berikut ini.
Dengan menganggap ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi yang
ditunjukkan bias dilakukan, aturan – aturan aritmetika matriks berikut ini adalah
sahih.
a. b. – c.
–
d.
MATRIKS – MATRIKS IDENTITAS
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 8/15
Matriks yang diminati secara khusus adalah matriks – matriks bujur sangkar
dengan 1 pada diagonal utamanya dan 0 untuk anggota selain diagonal utamanya,
sedemikian sehingga.
dan seterusnya
Sebuah matriks berbentuk seperti ini disebut matriks identitas dan dinyatakan
dengan . Jika penting untuk menekankan ukuran, kita akan menuliskan untuk matriks
identitas Jika adalah suatu matriks , maka, sebagaimana yang diilustrasikan pada contoh
berikutnya,
= dan
Jadi, sebuah matriks identitas memainkan peran yang sama dalam arimetika matriks
seperti bilangan I berperan dalam hubungan numeric
Contoh
=
Selanjutnya
Dan
Jika adalah sebuah dari matriks berbentuk baris eselon tereduksi, maka
mempunyai sebuah baris nol atau merupakan matriks identitas
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 9/15
Bukti Anggap bentuk baris eselon tereduksi dari adalah
Baik baris terakhir dalam matriks ini seluruhnya terdiri dari nol atau tidak. Jika
tidak matriks tersebut tidak mempunyai baris – baris nol, dan akibatnya masing – masing
baris tersebut mempunyai sebuah anggota utama 1. Karena utama – utama 1 ini terletak
makin kekanan ketika kita nergerak turun dalam matriks tersebut, setiap 1 ini harus
terdapat pada diagonal utama. Karena anggota – anggota lainnya dalam kolom yang
sama dengan kolom tersebut adalah nol, maka pastilah Jadi, mempunyai sebuah
baris nol atau =
INVERS DARI SEBUAH MATRIKS
Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian
yang dilambangkan dengan
Jika adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks yang
berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga , dimana
adalah matriks identitas maka
disebut invers dari
dan
invers dari
Karena invers matriks dilambangkan dengan maka berlaku
Dimana adalah matrik identitas
Contoh :
Matriks adalah invers dari
Karena
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 10/15
= = = dan
= = =
Jadi, matriks dan matriks adalah dua matriks yang saling invers.
1. Determinan Matriks Persegi Berordo 2
= | | Nilai dari determinan matriks ditentukan oleh = | | = –
(i) Jika , matriks tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular
(ii) Jika , matriks mempunyai invers dan disebut matriks non-singular
2. Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2
Algoritma : Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2 yang Determinannya = 1
(i) Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan
(ii) Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya
SIFAT-SIFAT MATRIKS
Jika dan keduanya adalah Invers matriks , maka
Bukti : Karena adalah invers dari , maka . Mengalikan kedua ruas pada sisi
kanan dengan memberikan . Tetapi ,
sehingga Jika bisa dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan symbol . Jadi,
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 11/15
dan
Invers Matriks persegi berordo 2 yang determinannya
1
Jika Matriks = dengan – , maka invers dari matriks
ditentukan oleh =
Jika dan adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka :
(a)
dapat dibalik
(b) ( =
Contoh :
Matriks
Dengan menerapkan sifat matriks pada nomor 2, diperoleh
Atau,
= =
Oleh karena itu,
PANGKAT SUATU MATRIKS
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 12/15
Pangkat suatu matriks terdiri atas dua yaitu matriks pangkat bulat positif dan
matriks pangkat bulat negatif.
1. Matriks pangkat bulat positif
Jika A merupakan suatu matriks bujur sangkar yang berpangkat bulat positif n bentukpenuyelesaiannya,
An = AAA . . .A ; dengan n > 0,
Contoh :
maka A3 =
Perkalian dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama dan memiliki pangkat
bilangan bulat positif yang berbeda maka untuk penyelesaiannya berlaku sifat berikut
dan
2. Matriks pangkat bulat negatif
Matriks pangkat bulat negatif merupakan kebalikan dari matriks pangkat bulat positif
sehingga jika suatu matriks An dibalik akan menjadi matriks pangkat bulat negatif A-n,begitu sebaliknya matriks pangkat negatif jika dibalik akan menjadi matriks pangkat
positif.
A-n = ( A-1 )n = A-1 A-1. . . A-n ; dengan n > 0
Contoh
A-3 = ( A-1 )3 = =
Untuk pangkat negatif dari perkalian matriks( A ) dengan sebarang sklar tak nol ( k )
berlaku sifat berikut ;
( kA )-1 =
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 13/15
MATRIKS – MATRIKS YANG MELIBATKAN UNGKAPAN
POLINOM
Polinom adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlah perkalian
pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinom dalam satu
variabel dengan koefisien konstan memilikibentuk seperti berikut; .
Jika A merupakan suatu matriks bujur sangkar yang berukuran m x m , dan
Jika merupakan sebarang polinom,
maka dapat didefinisikan
dengan adalah matriks identitas m x m . dengan adalah matriks m x m yang
dihasilakan ketika A disubstitusikan untuk dan digantikan oleh .
Contoh :
Suatu sebarang polinom berbentuk persamaan
Maka penyelesaiannya
SIFAT-SIFAT TRANSPOS
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 14/15
a. =A
b. = + dan = -
c.
ᵀ =
dengan k adalah skalar
d. ᵀ =
Penjelasaan bagian
a. Menyatakan bahwa baris-baris dan kolom-kolom yang dipertukarkan dua kali
membuat suatu matriks tidak berubah.
b. Menyatakan bahwa menambahkan dan kemudian mempertukarkan baris-baris dan
kolom-kolom memberikan hasil yang sama dengan pertama-tama mempertukarkan
baris-baris dan kolom-kolom,kemudian menjumlahkan.
c. Menyatakan bahwa mengalikan dengan skalar dan kemudian menukarkan baris-baris
dan kolom-komberikan hasil yang sama dengan pertama-tama mempertukarkanbaris-baris dan kolom-kolom,kemudian mengalikannya dengan skalar.
d. Kita anggap
A= []m x r dan B= []r x n
Sehingga hasil kali AB dan keduanya bisa dibentuk. Untuk menguji bahwa dan mempunyai ukuran sama,yaitu n x m. Jadi tinggal menunjukan bahwa anggota-
anggota yang padanan dari
dan
adalah sama
( )ij = ij
Dengan menerapkan rumus 8, kita peroleh
( )ij= ji= ++...+
Menghitung ruas kanan dari(2) akan menjadi lebih mudah dengan menganggap
masing-masing menyatakan anggota keij dari dan sehingga
= dan =
Dari hubungan ini dandefinisi perkalian matriks kita peroleh
5/14/2018 Aturan Invers Matriks-kelompok 3 MAT IV C - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-invers-matriks-kelompok-3-mat-iv-c 15/15
ij = ++...+
= ++...+
= ++...+
Transpos dari hasil kali beberapa matriks sama dengan hasil kali transpos-transposnyadalam urutan yang terbalik.
KETERBALIKAN SUATU TRANSPOS
Jika A sebuah matriks yang dapat dibalik,maka juga dapat dibalik dan
ˉ¹ =
ᵀ
Bukti: = = A
Tinjauan matriks
=
Menerapkan teorema 1.4.5 menghasilkan
= =
ᵀ = ˉ¹=
Seperti yang dijamin oleh teorema 1.4.10, matriks-matriks ini memenuhi.