makalah mat

23
TUGAS MAKALAH MATEMATIKA BARISAN DAN DERET & PELUANG DISUSUN OLEH : Dwiky Rizky S. (09) Guru Pembimbing : Arifa Riana Rahmawati S.Pd SMK NEGERI 1 PATI 2013/2014

Upload: masteroopscomingfromdistortionworld

Post on 28-Dec-2015

101 views

Category:

Documents


25 download

TRANSCRIPT

Page 1: Makalah Mat

TUGAS MAKALAH MATEMATIKA

BARISAN DAN DERET

&

PELUANG

DISUSUN OLEH :

Dwiky Rizky S. (09)

Guru Pembimbing :

Arifa Riana Rahmawati S.Pd

SMK NEGERI 1 PATI

2013/2014

Page 2: Makalah Mat

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta

karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang berjudul

Tugas Makalah Matematika Barisan dan Deret & Peluang Alhamdulillah selesai tepat pada

waktunya.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik

dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi

kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan

serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa

meridhai segala usaha kita, Amin.

Pati, 24 November 2013

Penyusun

Page 3: Makalah Mat

Daftar Isi

Kata Pengantar……………………………………………………….................... 1

Daftar Isi……………………………………………………….............................. 2

Bab I Pendahuluan

A. Latar Belakang........................................................................................ 3

B. Rumusan Masalah................................................................................... 3

C. Tujuan Penulisan..................................................................................... 3

Bab II Materi Pembelajaran

A. Barisan dan Deret.................................................................................... 4

1. Barisan Bilangan.................................................................................. 4

2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 7

3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 9

4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga............................. 10

B. Peluang...................................................................................................... 10

1. Permutasi…………………………………………………………….. 10

2. Kombinasi……………………………………………………………. 11

3. Peluang……………………………………………………………….. 12

Daftar Pustaka......................................................................................................... 16

Page 4: Makalah Mat

BAB I

Pendahuluan

A.    LATAR BELAKANG

Dalam materi ini kita akan membahas teori barisan deret aritmatika dan geometri serta

peluang, permuitasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada

waktu SMA namun demikian, materi akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya

sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula memberi wawasan yang luas mengenai

pendefinisikan barisan deret aritmatika dan geometri serta peluang, permutasi dan

kombinasi. Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam modul

ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan

penjumlahan.

B.     RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika

2. Bagaimana mencari suku tengah dan sisipan

3. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret geometri

4.      Bagaimana menghitung nilai-nilai permutasi dan kombinasi suatu peristiwa tertentu?

5.      Bagaimana cara menghitung nilai-nilai peluang suatu peristiwa yang dibentuk oleh

operasi-operasi komplemen, gabungan dan irisan ?

6.      Bagaimana cara menghitung peluang bersyarat ?

C.    TUJUAN PENULISAN

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan :

a.    Memahami dan dapat mengguankan permutasi dalam menyelesaikan persoalan terkait

b.    Memahami dan dapat mengguankan kombinasi dalam menyelesaikan persoalan

terkait

c.    Memahami dan dapat mengguankan peluang dalam menyelesaikan persoalan terkait

memahami pengertian barisan bilangan

d. Menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmetika dan geometri

e. Menjelaskan suku tengah

f. Menjelaskan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika dan geometri

Page 5: Makalah Mat

A. Barisan dan Deret

1. Barisan Bilangan

a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan

Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji

sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh

bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama

adalah sebagai berikut.

Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,........

Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku

pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n

dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan

atau pola tertentu.

Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan

tersebut.

b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan.

Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang

teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah

diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut.

Perhatikan contoh berikut!

1. Manakah suku yang harus diganti dari barisan di bawah ini?

2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,...........

Jawab:

Jika dipandang sekilas tampaknya suku pertama yang harus diganti sebab bukan bilangan

ganjil. Namun, dengan mengganti suku pertama ternyata belum menjadi barisan yang benar

(lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9,dan ke-10). Jadi, manakah yang harus kita ganti? Ternyata

semua bilangan pada barisan di atas adalah bilangan prima, kecuali suku ke-5 sehingga suku

ke-5 itulah yang harus diganti dengan 11.

Page 6: Makalah Mat

1. Jika Un = n 2 -1, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!

Jawab:

Un = n2 - 1

U1 = 12 - 1 = 1-1 = 0

U2 = 22 - 1 = 4-1 = 3

U3 = 32 - 1 = 9-1 = 8

U4 = 42 - 1 = 16-1=15

U5 = 52 - 1 = 25-1=24, dan seterusnya.

Jadi barisan bilangan tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24,..........

Jika bilangan – bilangan diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperoleh

suatu barisan bilangan. Tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut

suku dari barisan itu. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya dari

barisan tersebut dapat ditentukan.

Contoh 1 :1. 2, 6, 10, 14, . . .

+4 +4 +4Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22

2. 1, 2, 5, 10, . . .

+1 +3 +5Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku

berikutnya adalah 17 dan 26

3. 1, 1, 2, 3, 5, ...

Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan

dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13

Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci. Suku ke-n dari suatu

barisan bilangan dapat di tulis Un . Dengan demikian suku ke-1 dapat di tulis U1 dan

suku ke-100 dapat ditulis U100 .

a. Barisan dengan aturan di tambah bilangan yang sama. Jika aturan suatu barisan di

tambah b, maka suku ke-n akan memuat

b x n yaitu U n = b x n + .....atau U n = b x n -....

Page 7: Makalah Mat

Contoh 2:

1) 5, 8, 11, 14,....

Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu

U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama dengan yang

dimaksud

U2 = 8 = 3 x 2 + 2 .

Jadi Un = 3 x n + 2

= 3n + 2

2) 3, 6, 9, 12, . . .

+3 +3 +3

U1 = 3 = 3 x 1 U3 = 9 = 3 x 3

U2 = 6 = 3 x 2 U4 = 12 = 3 x 4

Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n

3) 4, 8, 12 16, . . .

+3 +3 +3U1 = 4 = 4 x 1 U3 = 12 = 4 x 3

U2 = 8 = 4 x 2 U4 = 16 = 4 x 4

Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n

Dari contoh 2 dan 3 di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

(i) jika aturan barisan ditambah dengan 3, maka rumus suku ke-n memuat 3 x n

(ii) jika aturan barisan ditambah dengan 4, maka rumus suku ke-n memuat 4 x n

Contoh 3:

1) 5, 8, 11, 14,...

+3 +3 +3

karena aturannya ditambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu

U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti

Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-nakan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n -

Page 8: Makalah Mat

barisan yang dimaksud

U2 = 8 = 3 x 2 + 2

Jadi, Un = 3 x n + 2

= 3n + 2

Gunakan rumus di atas untuk mengecek suku ke-4, maka:

Un = 3n + 2

U4 = 3 x 4 + 2 = 14 sesuai dengan suku ke-4 pada barisan di atas

b. Barisan dengan aturan dikali atau di pangkatkan

Untuk menentukan suku ke-n barisan seperti ini, maka harus di tentukan hubungan antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat.

Contoh 4:1. 2, 4, 8, 16,....

U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22

, U3 = 8 = 23 , U4 = 16 = 24

Bilangan pokok selalu 2 dan pangkat sesuai dengan urutan suku, maka Un = 2n.

2. Barisan dan Deret Aritmatika

Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika

adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a

+ 2b, a + 3b adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. ⋅⋅⋅

Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan

Sn = n2

(2a + (n − 1)b) = n2

(a + Un)

Contoh 5 :

Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama. ⋅⋅⋅

Solusi : 2, 5, 8, 11, adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. ⋅⋅⋅

Page 9: Makalah Mat

Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) 3 = 29 ⋅

Jumlah 4 suku pertama = 42

(2(2) +(4-1)3) = 26

Contoh 6:

Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n2 − 15n, maka U3

= ⋅⋅⋅⋅

Solusi : Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah

n − 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un.

Jadi, Un = Sn − Sn-1.

Un = (3n2 − 15n) − (3(n − 1)2 − 15(n − 1))

Un = 3n2 − 15n − 3n2 + 6n − 3 + 15n − 15 = 6n − 18

Maka U3 = 6(3) − 18 = 0

Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 − S2.

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka :

Ut = U 1+Un2

dengan n merupakan bilangan ganjil

Contoh 7 :

Diketahui 3, , 13, 15, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

tersebut.

Solusi :

3, , 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U⋅⋅⋅ 1 = a = 3 dan Un = 15.

Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9

Sisipan

Page 10: Makalah Mat

Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan

namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki

perubahan dengan suku pertama tetap.

Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang lama. Hubungan

keduanya adalah

bB = bLk+1

3. Barisan dan Deret Geometri

a. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama

Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki

perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, adalah barisan geometri dengan⋅⋅⋅

suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :

Un = a r⋅ n-1

Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan :

Sn = a(r n−1)r−1

Contoh 9 :

Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama

barisan tersebut.

Solusi :

2, 6, 18, 54,

Suku ke-5, U5 = 2 3⋅ 5-1 = 162

Jumlah 4 suku pertama = 2(34−1)

3−1 = 80

Suku Tengah

Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un

dengan n merupakan bilangan ganjil

Page 11: Makalah Mat

Contoh 11: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, adalah barisan geometri. Tentukan suku ⋅⋅⋅⋅

tengah dari barisan tersebut.

Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162.

Maka suku tengah,

Ut=√2.162= 18

4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga

Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai

contoh adalah arisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, yang merupakan⋅⋅⋅

penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang

ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa contoh rumus deret lainnya : 12 + 22 + 32 + + n⋅⋅⋅ 2 = n (n+1 )(2n+1)

6

13 + 23 + 33 + + n⋅⋅⋅ 3 = ( n (n+1 )

2 )2

B. Peluang

Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh

yang mungkin.

1. Permutasi

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada

permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang

mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k

unsur dari n unsur ditulis atau

.

Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Cara cepat mengerjakan soal permutasi

Page 12: Makalah Mat

dengan penulisan nPk, hitung 10P4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7

jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang

berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan

dengan cara yang berbeda?

Jawab :

Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang

berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada

kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan

bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari

himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan

dengan ,

Contoh :

Diketahui himpunan .

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!

Jawab :

Page 13: Makalah Mat

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1

jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya

20C5=20C15

3C2=3C1

100C97=100C3

melihat polanya?

3. Peluang

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan

disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau

sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:

Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing

memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka,

tentukan S, P (kejadian)!

Jawab :

Page 14: Makalah Mat

S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}

P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan

sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian

A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul

bilangan genap!

Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6

Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:

A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang

peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan

kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka

frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :

Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu

1? Jawab :

Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.

Page 15: Makalah Mat

Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:

A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S,

dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga

:

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi

adalah (1 – P).

Page 16: Makalah Mat

Daftar Pustaka

http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0413%20Mat

%202-5b.htm

http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat

%202-5c.htm

http://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/08/soal-dan-pembahasan-barisan-dan-deret-

geometri-1-5/

http://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/10/soal-dan-pembahasan-permutasi-

kombinasi-dan-peluang-1-6/