mat limit ringkasan
TRANSCRIPT
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 1/32
MATEMATIK
Limit
LIMIT
I. PENDAHULUAN
1. LIMIT DARI SUATU BARISAN
Suatu barisan diberikan sebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4,
9/5 ..............2 –1/n, ................
Jika n→~ maka 1/n → 0, sehingga 2 ─ (1/n) → 2, dikatakan :
Lim (2 ─ 1/n) = 2
n → ~
2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI
Misalkan suatu fungsi f(x)=x2
jika x→ 2, maka f(x) = x2 → 4, seperti tabel berikut :
x .... 2,1 .... 2,01 ..... 2,001
f(x) = x2
.... 4,41 .... 4,0401 ..... 4,004001
Nampak bahwa jika x → 2, maka f(x) = x2 → 4 ; dikatakan :
II. DEFINISI LIMIT
Jika c ε I dan fungsi f didefinisiksn pada selang terbuka I (mungkin
kecuali di c), Limit fungsi f di c adalah L, ditulis :
Lim f(x) = L
x → c
Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :
2
4lim 2
→
=
x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 2/32
MATEMATIK
Limit
0< x - c < δ → 0< f(x) ─ L < Є
Sb-y
y = f(x)
L + Є
L
f(x)-L Є
L - Є
δ
sb-x
x c
x ─ c
Contoh :
Jika f(x) = 5x – 3, x ε R. Tentukan bahwa Lim f(x) = 17
x → 4
Jawab:Analisa : Untuk setiap Є > 0, kita harus menemukan δ > 0,
sedemikian sehingga :
• 0< (5x – 3) ─ 17 < Є 0< 5x – 20 < Є
0< 5 x – 4 < Є
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 3/32
MATEMATIK
Limit
0< x – 4 < Є/5
• Karena berlaku ” jika dan hanya jika” berarti berlaku pula :
0< x – 4 < δ = Є/5 0< (5x – 3) – 17 < Є
Bukti :
Untuk setiap Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sehingga
0< x – 4 < δ = Є/5 0< (5(x – 4) < Є
0< 5x – 20 < Є
0< (5x – 3) - 17 < Є
Jadi Untuk setiap Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sehingga
0< x – 4 < Є/5 0< (5x – 3) - 17 < Є
Ini berarti Lim (5x – 3) = 17
x → 4
Contoh : Jika Lim (3x + 2) = 14, tentukan δ jika Є = 0,1x → 4
Jawab : Karena diketahui Lim (3x + 2) = 14, maka berlakux → 4
untuk setiap Є > 0 :
0< (3x + 2) ─ 14 < Є 0< 3x – 12 < 0,1
0< 3 x – 4 < 0,1
0< x – 4 < 0,1/3Jadi δ= 0,1/3
Soal :
1. Buktikan Lim (8x – 3) = 13
x → 2
2. Buktikan Lim x2 – 25 = 10
x → 5 x - 5
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 4/32
MATEMATIK
Limit
3. Lim (3x – 4) = 5, tentukan tentukan δ jika Є = 0,2
x → 3
III. SIFAT-SIFAT LIMIT
1. Jika f(x) = c dengan c = konstanta, maka Lim c = c
x → a
Contoh : Lim 3 = 3
x → 2
2. Jika f(x) = x, maka Lim f(x) = Lim x = a
x → a x → a
Contoh : Lim x = 3
x → 3
3. JikaLim f(x) = L dan Lim g(x) = M
x → a x → a
Maka :
• Lim (f(x) ± g(x)) = Lim f(x) ± Lim g(x) = L ± M
x → a x → a x → a• Lim (f(x) . g(x)) = Lim f(x).Lim g(x) = L . M
x → a x → a x → a
• Lim f(x) / g(x) = Lim f(x) / Lim g(x) = L / M,
x → a x → a x → a
dengan M ≠ 0.
• Lim n (f(x) = n Lim f(x) = n L
x → a x → a
Contoh : Tentukan :
1. Lim (5x2 + 2) 3. Lim x2 – x - 6
x → 2 x → 3 x - 3
2. Lim x2 - 4
x → 2 x - 2
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 5/32
MATEMATIK
Limit
Jawab :
1. Lim (5x2 + 2) = 5.22 + 2 = 5.4 + 2 = 22x → 2
2. Lim x2 - 4 = Lim (x – 2)(x + 2) = Lim (x + 2)
x → 2 x – 2 x → 2 x – 2 x → 2
= 2 + 2 = 4
3. Lim x2 – x - 6 = Lim (x – 3)(x + 2)
x → 3 x – 3 x → 3 (x – 3)
= Lim (x + 2) = 3 + 2 = 5
x → 3
IV.LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus-rumus :
1. Lim Sin ax = 1
x → 0 ax
2. Lim tg ax = 1
x → 0 ax
3. Lim Sin x = 1
x → 0 x
4. Lim tg x = 1
x → 0 x
Contoh :
Tentukan :1. Lim Sin 7x
x → 0 x
2. Lim 4x + tg 2x .
x → 0 Sin (5x) – 2x
Jawab :
1. Lim Sin 7x = Lim 7. Sin 7x = 7. Lim Sin 7x
x → 0 x x → 0 7x x → 0 7x
= 7 . 1 = 7
2. Lim 4x + tg 2x = Lim 4 + tg 2x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 6/32
MATEMATIK
Limit
x → 0 Sin (5x) – 2x x → 0 x
Sin (5x) ─ 2x
= Lim 4 + 2. tg 2x
x → 0 2.x
5. Sin (5x) ─ 2
5x
= 4 + 2 . 1 = 6/3 = 2
5.1 - 2
V. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
1. LIMIT KIRI
Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I,
maka Limit Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis :
Lim f(x) = Lx → c ─ c
Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :
0< (c - x) < δ → 0< f(x) ─ L < Є
2. LIMIT KANAN
Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I,
maka Limit Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis :
Lim f(x) = L
x → c+ c
Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :
0< (x - c) < δ → 0< f(x) ─ L < Є
sb-y f(x) ─ L f(x) - L
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 7/32
MATEMATIK
Limit
L Є y =
f(x)
f(x) Є f(x)
L- Є L
δ δ
x c Sb-x c x
(x – c)
Gamb. Grafik Limit Kiri Gamb. Grfik Limit Kanan
3. TEOREMA : Lim f(x) = L Lim f(x) = Lim f(x) = L
x → a x → a+ x → a ─
Contoh :
x + 2 , untuk x > 02
Jika f(x) = 0 , untuk x = 0
1 – x2 . untuk x < 02
Tentukan : (a) Lim f(x) ; (b) Lim f(x) ; (c) Lim f(x)
x → 0+
x → 0 ─ x → 0
Jawab :
(a) Lim f(x) = Lim ( x + 2)/2 = (0 + 2)/2 = 1x → 0+ x → 0+
(b) Lim f(x) = Lim (1 – x2)/2 = (1 – 0)/2 = 1/2x → 0+ x → 0 ─
(c) Lim f(x) = tidak ada .....? Silahkan di carix → 0
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 8/32
MATEMATIK
Limit
Contoh : Tentukan konstanta p dan q agar Lim f(t) = 2, dengant →2
pt2 – qt, untuk t ≤ 2
f(t) =
qt2 + (p – 2)t + 2, untuk t > 2
Jawab :
Diketahui Lim f(t) = 2, berartit →2
Lim f(t) = 2 Lim (pt2
– qt) = 2t →2 ─ t →2 ─
4p – 2q = 2 ...........................(1)
Lim f(t) = 2 Lim (qt + (p – 2)t + 2) = 2t →2+ t →2+
2q + (p – 2)2 + 2 = 2
2p + 2q = 4 ......................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
4p – 2q = 2 untuk p = 1, maka 2p – 2q2p + 2q = 4 + 4p – 2q = 2 4.1 – 2q = 26p = 6 -2q = -2
p = 1 q = 1
jadi p = 1 dan q = 1
VI. LIMIT TAK HINGGA
Konsep dasar Limit Tak Hingga :
(1) Lim ( 1/x ) = ~ (2) Lim ( 1/x ) = ─ ~
x → 0+ x → 0 ─
VII. LIMIT DI TAK HINGGA
Konsep dasar Limit di Tak Hingga :
(1) Lim ( c/x ) = 0
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 9/32
MATEMATIK
Limit
x → ~
Contoh : Tentukan :
(1) Lim 3x2 – 2x + 2 (2) Lim x3 – x + 1x → ~ 4x2 + x – 1 x → ~ 2x2 + x
(3) Lim x + 2 (4) Lim 2x – 2- x x → ~ x2 + 2x – 1 x → ~ 2x + 2-x
Jawab :(1) Lim (3x2 – 2x + 2) = Lim (1/x2)(3x2 – 2x + 2)
x → ~ ( 4x2 + x – 1) x → ~ (1/x2)( 4x2 + x – 1)= Lim 3 – 2/x + 2/x2
x → ~ 4 + 1/x – 1/x2
= 3 – 0 + 0 = 34 + 0 – 0 4
(2) Lim (x3 – x + 1) = Lim (1/x2) (x 3 – x + 1)x → ~ ( 2x2 + x) x → ~ (1/x2) ( 2x2 + x)
= Lim x – 1/x + 1/x2 x → ~ 2 + 1/x
= ~ – 0 + 0 = ~
2 + 0(3) Lim x + 2 = Lim (1/x2) (x + 2)
x → ~ x2 + 2x – 1 x → ~ (1/x2)(x2 + 2x – 1)= Lim 1/x +2/x2 = 0 + 0
x → ~ 1 + 2 / x - 1 / x2
1+0+0= 0
(4) Lim 2x – 2- x = Lim 2x(1 – 2 ─2 x)x → ~ 2x + 2-x x → ~ 2x(1 + 2 ─2x)
= Lim (1 – 2 ─2 x)x → ~ (1 + 2 ─2x)
= 1 – 0 = 1
1 + 0
KONTINUITAS
DEFINISI
Fungsi f kontinu pada x = a jika dan hanya jika memenuhi ketiga
syarat berikut :
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 10/32
MATEMATIK
Limit
(1). f(a) = L (ada atau didefinisikan pada x = a)
(2.) . Lim f(x) = L (ada)
x → a
(3) Lim f(x) = f(a) = Lx → a
Contoh : Selidiki apakah fungsi f kontinu pada x = 2, jika :
x2 – 4 ; untuk x ≠ 2x – 2
f(x) =
4x – 4 ; untuk x = 2
Jawab :
(1) Untuk x = 2, f(2) = 4x – 4 = 4.2 – 4 = 4 (ada), jadi syarat (1)
terpenuhi.
(2) Lim f(x) = Lim x2 – 4 = Lim (x-2)(x+2) = Lim (x + 2) = 2 + 2 = 4x → 2 x→2 (x -2) x →2 (x – 2) x→2
Jadi syarat (2) terpenuhi
(3) Lim f(x) = f(2) = 4, syarat (3) terpenuhix → 2
Jadi ke-3 syarat kontinuitas terpenuhi, berarti f kontinu pada x = 2.
Contoh : Tentukan konstanta a dan b, jika fungsi f kontinu pada t = 3;
dan
at 2 + bt + 5 ; untuk t > 3
f(t) = 4t + 2 ; untuk t = 3
(b+4)t + at - 1 ; untuk t < 3
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 11/32
MATEMATIK
Limit
Jawab :
Fungsi f kontinu pada t = 3, berarti ke-3 syarat terpenuhi, dengan
demikian :
Lim f(t) = f(3).t→3
• f(3) = 4t + 2 = 4.3 + 2 = 14
• Lim f(t) = f(3), berarti :t→3
(a). Lim f(t) =14 Lim (b+4)t + at - 1 = 14t →3 ─ t →3 ─
(b + 4).3 + a.3 – 1 = 14
3a + 3b = 3 .......................... (1)
(b). Lim f(t) =14 Lim (at2 + bt + 5) = 14t →3+ t →3+
a.32 +b.3 + 5 = 14
9a + 3b = 9 ......................... (2)
Dari pers. (1) dan (2) diperoleh :
3a + 3b = 3 untuk a = 1, maka9a + 3b = 9 - 9a + 3b = 9 9.1 + 3b = 9- 6a= -6 3b = 0
a = 1 b = 0
Contoh :
Selidiki apakah arus I kontinu pada t = ½π, Jika arus I dinyatakan
sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb :
e2t . S in 2t ; untuk t ≠ ½πI(t) = Cos t
e2t . Sin 2t ; untuk t = ½π
Jawab :
(1). I(½π) = e2.½π . Sin 2.½π = eπ. Sin π = eπ. 0 = 0 (ada)(2) Lim I(t) = Lim e2t . S in 2t
t → ½π t → ½π Cos t
= Lim e2t . 2 Sin t.Cos t
t → ½π Cos t
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 12/32
MATEMATIK
Limit
= Lim 2.e2t . Sin tt → ½π
= 2.e2. ½π . Sin ½π
= 2.eπ.1
= 2.eπ (ada)
(3) Jelas nampak, Lim I(t) ≠ I(½π)t → ½π
Jadi I diskontinu pada t = ½π
Tes Formatif :
1. Tentukan limit fungsi berikut :
(a) Lim x2 – 4x – 5 (c) Lim x + 3x → 5 x – 5 x →-3 √(x2 + 7) - 4
(b) Lim 5x – tg 3x (d) Lim x5 + 3x2 – 4xx →0 2x + Sin 2x x → – ~
2. Tentukan konstanta p dan q, jika I kontinu pada t = – 4, dan I(t)
didefinisikan :
qt + (p – 4)t – 16 , untuk t > -4I(t) = -4t + 8 , untuk t = -4
pt2 + qt + 20 , untuk t < -4
3. Arus I dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb :
Io + S in 2t ; untuk t ≠ ½πI(t) = Cos t
Io + Cos 2t ; untuk t = ½π
a. Selidiki apakah I kontinu pada t = ½π
b. Jika tidak kontinu, tentukan nilai I(½π) agar kontinu pada t = ½π.
4. Tentukan konstanta c agar fungsi f mempunyai limit di x = -1, dan f
didefinisikan :
f(x) = 3 – cx ; untuk x < -1
x2 – c ; untuk x ≥ -1
5. Carilah :
a. Lim √(1+x) b. Lim (x – π/4).Sec 2x
x →~ 3 x x → π/4
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 13/32
MATEMATIK
Limit
c. Lim √(x2 + x) d. Lim (x2 – 3x) + xx → – ~ 2x – 1 x→ – ~
6. Diberikan f(x) = , tentukan
Jika x > -1/5.h
x f h x f
h
)()(lim
0
−+
→
15 + x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 14/32
MATEMATIK
Limit
2. LIMIT
2.1. DEFENISI LIMIT
2.1.1. LIMIT DARI SUATU BARISAN
Suatu barisan diberikan sebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4,
9/5 ..............2 –1/n, ................
diletakkan pada sebuah garis bilangan, nampak bahwa mereka
semakin menggerombol ke titik 2 sedemikian rupa, sehingga ada
titik dari barisan yang berjarak dari 2, lebih kecil dari sembarang
bilangan positif terkecil, betapapun kecilnya.
Contoh :Titik 2001/1001 dan semua bagian barisan titik-titik yang berjarak
<1/1000 dari titik 2, titik 20 000 001/10 000 001 dan semua bagian
barisan titik-titik yang berjarak kurang dari 1/10 000 000 adri 2,
dan seterusnya. Pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa limit
dari barisan adalah 2 atau
Jika x merupakan variabel pada barisan (1), dikatakan bahwa x
mendekati 2 sebagianlimit dan di tulis x → 2. Barisan (1) tidak
memuat 2, sebagai limitnya.
∼→
=−
n
n 2)/12(lim
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 15/32
MATEMATIK
Limit
2.1.2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI
Misalkan x → 2 pada barisan (1), dimana x = (2 –1/n), kemudian
f(x) = x2 → 4 pada barisan 1, 9/4, 25/9, . .. .. .. .. ., (2 – 1/n)2
.......seperti tabel 2.1 berikut :
n 1 2 3 4 5 ..... n ....x=(2-1/n) 1 3/2 5/3 7/4 9/5 ...... 2-1/n
F(x) = x2 1 9/4 25/9 49/16 81/25 .....
1
(2 - )2
2
....
....
Tabel 2.1.
1Sekarang misalkan : x → 2 pada barisan 2, 1 ; 2,01 ; ...2 + , ...(2)
10n
kemudian x2 → 4 pada barisan : 4, 41 ; 4,0401 ; 4,004001 ; ...........
1
(2 + )2 ; .... seperti tabel berikut :10n
n .... 10 .... 100 ..... 1000 ..... n .....1
x = (2 + )n
.... 2,1 .... 2,01 ..... 2,001 ..... 12+
n
.....
f(x) = x2
.... 4,41 .... 4,0401 ..... 4,004001 ..... .....
Tabel 2.2.
Nampak bahwa f(x) mendekati 4 sebagai limit, meskipun x
mendekati 2 sebagai limit. Dibawah asumsi ini, kita katakan
“limit”, untuk x mendekati 2, dari x2 adalah 4” dan ditulis lim
1.3. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
Untuk x → 2 pada barisan (1), harganya selalu kurang dari 2, kita
katakan bahwa x mendekari 2 dari kiri dan dirulis . Dengan2→ x
a x
x f
→
)(lim
2
)(lim
+
→ x
x f
2
4lim 2
→
=
x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 16/32
2
MATEMATIK
Limit
jalan serupa, untuk x → 2 pada barisan (2), harganya selalu lebih
besar dari 2, kita katakan bahwa x mendekati 2 dari kanan dan ditulis
x → 2+. Jelasnya, pernyataan limit , berarti bahwa kedua
limit kiri : dan limit kanan ................. ada
dan sama.
Tetapi adanya limit kiri (kanan), tidak berarti adanya limir kiri
(kanan). Untuk lebih jelasnya kita gunakan dua symbol untuk perbedaan yang kecil ini (antara f(x) dan 4, serta x dan 2), yaitu ∈
dan δ . Kemudian kita nyatakan bahwa : f(x) – 4 akan menjadi
lebih kecil dari sekarang pengambilan bilangan positif ∈, ketika
x - 2 lebih kecil dari sembarang bilangan positif δ dan x - 2 ≠
0 (untuk x ≠ 2).
Itu penting untuk menyatakan bahwa harga δ tergantung pada
harga ∈. Dengan kata lain, pengambilan sembarang bilangan
positif kita dapat membuat : f(x) - 4 < ∈ dengan mengambil x -
2 cuku kecil, yaitu bahwa ada beberapa bilanga positif cukup
kecil, sedemikian sehingga :f(x) - 4< ∈ untuk 0 < x - 1< δ ...................................................(3)
nampak dari tabel 2.2. diatas bahwa f(x) - 4 = 0,0401 ketika
x - 2 = 0,01 jadi untuk ∈ = 0,0401, δ = 0,01, dan nyatakan
bahwa f(x) - 4<0,0401 dan δ = 0,01.
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 17/32
MATEMATIK
Limit
Karena untuk sembarang ∈ >0, dapat dicari sebuah δ > 0
sedemikian hingga f(x) - 4 < ∈ untuk 0 < x - 2 < ∈, kita
nyatakan bahwa limit dari f(x) untuk x mendekati 2 adalah sama
dengan 4, atau dinyatakan dengan .
Definisi : , dapat ditetapkan dengan mengecek f(x)
untuk x → a pada sebuah bilangan dari barisan. Penemuan f(x) →A dalam setiap kejadian, kemudian disimpulkan bahwa hasil yang
sama akan diperoleh untuk semua barisan lain yang memiliki limit
a. Sekarang untuk x → a pada setiap macam barisan, x harus dapat
terjadi menutup a. Pengertian penting dari konsep limit ialah
bahwa ketika x makin menutup tetapi masih berbeda dari a,
kemudian f(x) mendekati A.
Ini mungkin bisa dinyatakan dalam batasan yang tepat sebagai
berikut :
= A jika untuk sembarang pemilihan bilangan positif
∈, betapapun kecilnya, ada sebuah bilangan positif δ sedemikian
hingga jika 0 < x - a< δ , maka f(x) - A< ∈.
Dua ketetapan interval yang berbeda :
Gambar 2.1
2
4)(lim
→=
x
x f
a x
A x f
→=)(lim
a x
A x f
→=)(lim
Xo X
a - δ a a + δ
F(xo) f(x)
A -∈ A A + ∈
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 18/32
MATEMATIK
Limit
Intisari dari definisi ialah bahwa sesudah ∈ terpilih (interval (ii)
diatas), δ dapat ditentukan (interval (i) dapat ditentukan)
sedemikian jika x ≠ a pada interval (i) katakan pada xo, maka f(x)
pada interval (ii).
Contoh :
1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut :
a) 1/2, 1/4 1/8, 1/16, 1/32, ...................... b) 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ; .............
Penyelesaian :
a) Jelasnya, kita pindahkan barisan tersebut kedalam garis
bilangan
Nampak bahwa mereka makin menggerombol di/ke titik 0, dan
kita katakan bahwa limit dari barisan adalah 0. Dalam bentuk
tabel sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 .... n ....F (n) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 .... 1/2n ....
Sehigga kita dapat menentukan bantuk umu dari barisan
tersebut yaitu ½ n.
b) Dengan menggunakan tabel seperti pada (a), kita dapat
menentukan limit dari barsan (b) sebagai berikut :
0 1 1 1 1 1
64 16 4 2
∴∼→∼→
==nn
nn 0)2/1(lim2/1lim
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 19/32
MATEMATIK
Limit
n 1 2 3 4 5 .... n ....F (n) 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 .... 1-1/10n ....
Nampak bahwa rumus umum barisan tersebut adalah 1 – 1/10n
sehingga :
2. f(x) = 4x – 1, diketahui lim f(x) = 11, tentukan δ untuk untuk
∈ = 0,01.
Penyelesaian :
f(x) - 11= (4x –1) – 11 = 4x - 12= 4x - 3
karena kita inginkan 4x - 3 < - 0,01 untuk 0 < x - 3 < δ
= 0,0025, kita punyai (4x – 1) - 11 < 0,001 dimana 0 < x-
3< 0,0025 sehingga δ = 0,0025.
3. a)
b)
2.2. CONTOH LIMIT GEOMETRI
Rumus limit fungsi trogonometri yang sangat penting
Adapun kejadiannya sebagai berikut :
Sudut α radian (0 < α < Π/2),
di letakkan pada posisi baku.
∼→∼→=−=
nn
n f n 1)10/11(lim)(lim
x →3
2
102.55lim
→
==
x
x
2
314)14(lim2
→
−=+−=+−
x
x x δ
0
1sin
lim
→
=
x
x
x
O Q A Xα
YR
r
P
L
Gambar 2.2.
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 20/32
MATEMATIK
Limit
Lingkaran berjari-jari 1 satuan dan
berpusat di ti tik 0. Lingkaran
tersebut memotong sumbu x di A
dan memotong kaki terminal sudut
α di P. PQ ⊥ sumbu x atau PQ ⊥
OA, demikian juga AR ⊥ OA. Dan
ternyata :Luas ∆ OPA < luas sektor OPA < luas ∆ ORA.
1/2. PQ.OA < α/2 Π.Π. r 2 < ½.AR.OA.
1/2. r 2.sin α. r 2 < ½ . r 2. tg α
sin α < α < tg α
α 11 < < ...........................................................................(1)sin α cos α
αJika pada (1), x → 0, maka mendekati 1, demikian juga
cos α
α sin α sin x, dan juga , sehingga lim = 1
sin α α x → 0 x
tg xDan dengan cara yang sama terdefinisi juga lim = 1
x → 0 x
x x
Selanjutnya, lim = 1 dan juga lim = 1
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 21/32
MATEMATIK
Limit
x → 0 sin x x → 0 tg x
Contoh : Tentukan
1 – cos xlim
x
Penyelesaian :
2 sin2 1/2x sin2 1/2xlim = limx → 0 x x → 0 1/2x
sin 1/2x= lim . sin 1/2x = 1.0 = 0
x → 0 1/2x
sin kx kx
Jadi lim = 1, juga lim = 1,x → 0 kx x → 0 tg kx
Dimana k = adalah suatu konstanta
2.3. SIFAT-SIFAT LIMIT
Ada tiga teori umum tentang sifat-sifat limit, yaitu :
Teorema 1, jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, makax→a x→a
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L + Mx→a x→a x→a
Contoh : lim (x3 + x2) = lim x3 + lim x2 = 27 + 9 = 36x→3 x→3 x→3
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 22/32
MATEMATIK
Limit
Teorema 2, jika limit f(x) = L dan lim g(x) = M, maka :x→a x→a
lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L . M
x→a x→a x→a
Contoh : lim (x3 + x2) = lim x2(x + 1) = lim x2 . lim (x + 1) = 36x→3 x→3 x→3
Teorema 3, j ika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan M ≠ 0.Maka :x→a x→a
lim f(x)f(x) x→a L
lim = =x→a g(x) lim g(x) M
x→a
lim xx x→4 4 4
Contoh : lim = = = -x→4 -7x + 1 lim (-7 + 1) -27 27
x→4
Kita dapat membuktikan teorema 1, teorema 2 dan 3 buktikan
sendiri berdasarkan bukti teorema 1. Kita gunakan defisnisi, yaitu
bahwa untuk sembarang ∈ > 0, harus dibuktikan bahwa ada sebuah
δ > 0 sedemikian hingga :
[f(x) + g(x)] – (L + M)< ∈ dimana 0 <x - a< δ .
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 23/32
MATEMATIK
Limit
Karena lim f(x) = L, dari definisi, bahwa untuk 1/2 ∈ > 0, disana
ada sebuah δ 1 > 0 sedemikian hingga f(x) - L< 1/2 ∈ untuk
mana 0 <x - a< δ 1.
Demikian juga dari, lim g(x) = M, utnuk 1/2 ∈ > 0, ada sebuah δ 2
> 0 sedemikian hinggag(x) - M < 1/2 ∈ , dimana 0 < x - a < δ
2.
Sekarang kita misalkan δ menjadi lebih kecil dari dua bilangan δ1
dan δ2, sehingga f(x) - L<1/2 ∈ untuk 0 <x - a< δ dan g(x) -
M< 1/2 ∈ untuk mana 0 < x - a< δ .
Dari situ kita dapatkan :
[f(x) + g(x)] – (L + M) = (fx) – L + g(x) – M)
≤ f(x) - L+ g(x) - M
< 1/2 ∈ + 1/2 ∈ = ∈
dimana 0 < x - a< δ .
Teorema-teorema :
1. Jika C adalah suatu konstanta, maka untuk sembarang bilangan
a,
2. Jika lim f(x) = L, maka
Amatilah bahwa adalah sebuah bilangan real.
x →a
x →a
a x
C C
→=lim
a xa x
L x f x f nnn
→→== /1])([lim)(lim
x →a
n L
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 24/32
MATEMATIK
Limit
Contoh :
1.
2.
2.4. LIMIT TAK HINGGA
Misalkan daerah variabel x adalah barisan S1, S2, S3, ......, maka :
( i) x dekatkan mendekati posi ti f tak terhingga [x → + ∼ ] jika
ia mendekati benar dan sesudah itu tinggal berjarak lebih
besar dari sembarang bilangan positif, bagaimanapun
besarnya.
Misal : x→ + ∼ pada barisan 1, 2, 3, 4, ........... (1)
(ii) x dekatkan mendekati negatif tak terhigga [x→ - ∼ ], jika ia
mendekati benar dan berjarak kurang dari sembarang
bilangan negatif, betapapun kecilnya.
Misal : x→ - ∼ pada barisan –2, -4, -6, -8, ........... (2)
( ii i) x mendekati tak terhingga [x→∼ ], jika x → + ∼ yaitu,
jika x→ + ∼ atau x → - ∼ .
2222
24.5lim5lim.5lim5lim 222
→→→→=====
x x x x
x x x
444
)17(lim
4
lim
17lim
17lim 3 3
→→→
+−→
=+−
=+−
x x x
x
x
x
x
x
x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 25/32
MATEMATIK
Limit
Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati positif tak terhingga untuk
x →a, [ l im f(x) = + ∼ ], jika x mendekati limitnya a (tanpa
menduga harga a).
f(x) mendekati benar dan berjarak lebih besar dari sembarang
positif, betapapun besarnya.
Sebuah fungsi f(x) dikatakan mendekati negatif tak terhingga
untuk x→a, [lim f(x) = -∼ ]. Jika x mendekati limitnya a (tanpamenduga harga a).
f(x) mendekati benar dan berjarak kurang dari sembarang bilangan
negatif, betapapun kecilnya.
Sebuah fungsi f(x) dikatakan mendekati tak terhingga untuk x→a.
[lim f(x) = ∼ ], jika lim f(x) = + ∼ .
Contoh :
(a) Untuk x→2 pada barisan (1) ; pada barisan
1, 2, 3, 4 . .. .. .secara umum jika , maka
.................dan kita tuliskan:
(b) Untuk x→2 pada barisan (2), pada barisan
–10, -100, -1000, ........ . secara umum jika x → 2+, maka :
dan ditulis
x→a
x→a
x→a x→a
∼+→=x-2
1 f(x)
2→ x
∼+→− x2
1
2lim
2
1
lim
→
∼+=
− x
∼−→−
= x
x f 2
1)(
∼−→− x2
1 ∼−=− x2
1lim
∼+→−
= x
x f 2
1)(
2
2
1lim
→
∼=−
x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 26/32
MATEMATIK
Limit
(c) Untuk x→2 pada (1) dan (2),
Catatan :
Simbol-simbol +∼ , -∼ , ∼ bukan merupakan bilangan-bilangan
baru yang akan dikategorikan sebagai bilangan-bilangan real.
Simbol-simbol itu menunjukkan sebuah type tertentu dari tingkahsebuah ariabel atau sebuah fungsi.
Ketika sebuah variabel atau sebuah fungsi bertambah secara tetap
harganya tetapi tak pernah melampaui suatu bilangan tertentu M,
variabel atau fungsi mendekati M atau beberapa bilangan yang
lebih kecil sebagai limit. Jika tidak ada bilangan M sedemikian
rupa, variabel atau fungsi dikatakan menjadi tak hingga. Dalam
bab terakhir ini, tidak ada limit, notasi limit digunakan hanya
karena mudahnya saja.
TYPE-TYPE LIMIT LAINNYA
Didefinisikan :
B. Lim = ∼ jika untuk sembarang bilangan positif M, betapapun
besarnya, tentu ada sebuah bilangan positif δ sedemikian hingga
jika 0 < x - a< δ , maka f(x)> M. Untuk f(x) <-M,
a x
x f
→)(
a x
x f
→∼+=)(lim
a x
x f
→
∼−=)(lim
∼→ = x
A x f )(lim
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 27/32
MATEMATIK
Limit
C. . Jika untuk sembarang bilangan positif ∈, betapapun
kecilnya, disana ada sebuah bilangan positif M sedemikian hingga
jika x> M maka f(x) -A< ∈.
D. jika untuk sembarang bilangan M, bagaimanapun
besarnya, tentu ada sebuah bilangan positf P sedemikian hingga
ketika x> P, maka f(x)> M.
Jika teorema-teorema tentang limit dari bab ini
berarti benar. Mereka jangan digunakan tetapi, jika
atau ketika sebagai contoh :
PEMECAHAN MASALAH
1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut :
∼→
∼=
x
x f )(lim
→∼∼→ x x
ada x f it dan x g ,)(lim)(lim
a xa x
x g dan x f
→→∼∼= )(lim)(lim
→∼→∼∼=∼=
x x
x g dan x f .)(lim)(lim
1
1
1
21lim
2lim
→
∼=−
∼=− →∼
x
tetapi x
dan x
x
( ) juga Demikan x x x
x
x x.21l
1
1
11 11imlim
2=+=
−− →→
( ) ( ) tetapi xdan x x x
,25 22limlim ∼−=−∼+=+
∼+→∼+→
{ ( ) ( ) } 7725 limlim22 ==−+=+
∼+→∼+→ x x x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 28/32
MATEMATIK
Limit
a) 1, 1/2, 1/3, ¼, 1/5, ..................
b) 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, .............
c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ............
d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ...............
Penyelesaian :
a) Rumus umumnya 1/12. Untuk n merupakan perubahan pada
harga-harga 1, 2, 3, 4 ............., 1/n berkurang tetapi ,asih positif.
Limitnya adalah 0.
b) Rumus umumnya (1/n) 2 ; limitnya 0.
c) Rumus umumnya 3-1/n ; limitnya 3.
d) Rumus umumnya 3 + 2/n ; limitnya 3.
Evaluasikanlah :
a)
b)
c)
d)
e)
7
1
3
1
)4()3(
4
12
4limlimlim
4442
=
+
=
−+
−=
−−
−
→→→ x x x
x
x x
x
x x x
2
9
3
93
)3()3(
)93()3(
9
2722
2
3
limlim33
=
+
++=
+−
++−=
−
−
→→ x
x x
x x
x x x
x
x
x x
xh
hhx
h
xhhx x
h
xh x
hhh2
22)( 222222
limlimlim000
=
+
=
−++
=
−+
→→→
2
2
2
22
4
53()4(
)53()53(
53()4(
53
4limlim
22 x
x x
x x
x x
x
x
xh −
++−
=
+++−
++−
=
+−
−
→→ 6)53( 2lim
2=++
→ x
x
it adaTak x
x
x
x x
x
x x
x x x
lim.1
2
)1(
)2()1(
)1(
2limlimlim
12122
2
∼=
−
+=
−
+−=
−
−+
→→→
9
3
09
03
/79
/23
1
)2()1(
79
23limlimlim =
+
=
+
−=
−
+−=
+
−
→∼→∼∼→ x
x
x
x x
x
x
x x x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 29/32
MATEMATIK
Limit
2. a)
b)
c)
d)
3. Diberikan f(x) = x2 – 3x, tentukan
Untuk f(x) = x2 – 3x, f(x + h) = (x + h)2 – 3(x + h), dan
4.
5.
1006
006
/4/36
/1/26
436
1262
2
2
2
limlim =
−−
++=
+−
++=
+−
++
→∼∼→ x x
x x
x x
x x
x x
04
0
/14
/2/1/1
14
23
32
3
2
limlim ==
−
−+=
−
−+=
→∼∼→ x
x x x
x
x x
x x
∼=
+
=
+
=
→∼∼→32
3
/1/1
2
1
2limlim
x x x
x
x x
h
x f h x f
h
)()(lim
0
−+
→
h x xh xhhx x
h
x f h x
hh
)3()332()()(7 222
limlim00
−−−−++=
−+
→→
32)32(32
limlim00
2
−=−+=−+
=→→
xh xh
hhh
hh
2/1)2/1(
2/1sin2/1sin2cos1 ..2
2
2
2
2 limlimlim000 x
x
x
x
x
x
x x x →→→=
−=
2
1
2/1
2/1sin
2/1
2/1sin
2
1limlim
00. ===
→→ x
x
x
x
x x
33
)cos1(sinlimlim
00 x
xtg
x
x xtg
x x
−=
−=
→→
3
2 2/1sin2.lim
0 x
x xtg
x→=
3
2 2/1sin2.lim0 x
x xtg
x→=
4
1
)2/1(
2/1sin .2
2
lim2lim00 x
x
x
xtg
x x →→==
4
1
2/1
2/1sin
2
1
2/1
2/1sin .. limlim2lim000 x
x
x
x
x
xtg
x x x →→→==
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 30/32
MATEMATIK
Limit
SOAL-SOAL
1. Evaluasikanlah :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2
12
4
1 . ==
)4(2
lim2
x x x
−
→
)432( 23
l im1
−−+
→
x x x
x
3
2
)1()13(lim
1 +
−
→ x x
x
x x
x x
x−
−
+
−
→ 33
33lim
0
1
12lim
2 −
−
→ x
x
x
65
42
2
lim2 +−
−
→ x x
x
x
34
232
2
lim1 ++
++
−→ x x
x x
x
4
22lim
2 −
−
→ x
x
x
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 31/32
MATEMATIK
Limit
h)
i)
j)
k)
l)
2. a)
b)
c)
d)
e)
4
2
2lim2 −
−
→ x
x
x
4
22lim
2 −
−
→ x
x
x
h xh x
h
33
)(lim
0
−+
→
23
1
2lim1 −+
−
→ x
x
x
5432
lim−
+
→ ∼ x x
x
2
2
36
12lim
x x
x
x −+
+
→ ∼
52lim +→ ∼ x
x
x
1
652
lim+
++
→ ∼ x
x x
x
65
32lim
++
+
→ ∼ x x
x
x
x x
x
x
x−
−
+
−
∼+→ 3333
lim
x x
x x
x−
−
+
−
∼−→ 33
33lim
5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 32/32
MATEMATIK
Limit
f)
g)
3 . Evaluasikanlah :
a) b) c)
4. Diberikan f(x) = , tentukan
Jika x > 1/5.
Jawaban :
(a) -4 ; (b) 0 ; (c) 1/2 ; (d) 0 ; (e) 1/3 ; (f) –4 ; (g) 1/2 ; (h) 1/4 ; (i)
0 ; (j) ∼ ; (k) 3x2 ; (l) 2.
(a) 1/2 ; (b) –2/3 ; (c) 0 ; (d) ∼ ; (e) 0 ; (f) 1 ; (g) -1
(a) a ; (b) 2/3 ; (c) 1/2 ; dan
x
ax
x
sinlim
0→
xec xtg
x
3cos2 .lim0→ 2)(
cos1
lim π π −
+
→ x
x
x
15 + x
h
x f h x f
h
)()(lim
0
−+
→
152
5
+ x