mat limit ringkasan

32
 MATEMATIK Limit LIMIT I. PENDAHULUAN 1. LIMIT DARI SUATU BARISAN Suatu barisan diberikan s ebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5 .............. 2 –1/n, ................ Jika n ~ maka 1/n 0, sehingga 2 (1/n) 2, dikatakan : Lim (2 1/n) = 2 n ~ 2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI Misalkan suatu fungsi f(x) =x 2   jika x2, maka f(x) = x 2 4, seperti tabel berikut :  x . ... 2,1 . ... 2, 01 ..... 2, 001 f(x) = x 2 . ... 4, 41 .... 4, 0401 ..... 4, 004001  Nampak bahwa jika x 2, maka f(x) = x 2 4 ; dikatakan : II. DEFINISI LIMIT Jika c ε I dan fungsi f didefinisiksn pada selang terbuka I (mungkin kecuali di c), Limit fungsi f di c adalah L, ditulis : Lim f(x) = L x c Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga : 2 4 l i m 2 =  x  x

Upload: mamaus

Post on 17-Jul-2015

186 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 1/32

MATEMATIK 

Limit

LIMIT

I. PENDAHULUAN

1. LIMIT DARI SUATU BARISAN

Suatu barisan diberikan sebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4,

9/5 ..............2 –1/n, ................

Jika n→~ maka 1/n → 0, sehingga 2 ─ (1/n) → 2, dikatakan :

Lim (2 ─ 1/n) = 2

n → ~ 

2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI

Misalkan suatu fungsi f(x)=x2 

  jika x→ 2, maka f(x) = x2 → 4, seperti tabel berikut :

 x .... 2,1 .... 2,01 ..... 2,001

f(x) = x2

.... 4,41 .... 4,0401 ..... 4,004001

 Nampak bahwa jika x → 2, maka f(x) = x2 → 4 ; dikatakan :

II. DEFINISI LIMIT

Jika c ε I dan fungsi f didefinisiksn pada selang terbuka I (mungkin

kecuali di c), Limit fungsi f di c adalah L, ditulis :

Lim f(x) = L

x → c

Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :

2

4lim 2

=

 x

 x

Page 2: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 2/32

MATEMATIK 

Limit

0< x - c < δ → 0< f(x) ─ L < Є

Sb-y

y = f(x)

L + Є

L

f(x)-L Є

L - Є

  δ

sb-x

x c

x ─ c

Contoh :

Jika f(x) = 5x – 3, x ε R. Tentukan bahwa Lim f(x) = 17

x → 4

Jawab:Analisa : Untuk setiap Є > 0, kita harus menemukan δ > 0,

sedemikian sehingga :

• 0< (5x – 3) ─ 17 < Є 0< 5x – 20 < Є

0< 5 x – 4 < Є

Page 3: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 3/32

MATEMATIK 

Limit

0< x – 4 < Є/5

• Karena berlaku ” jika dan hanya jika” berarti berlaku pula :

0< x – 4 < δ = Є/5 0< (5x – 3) – 17 < Є

Bukti :

Untuk setiap Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sehingga

0< x – 4 < δ = Є/5 0< (5(x – 4) < Є

0< 5x – 20 < Є

0< (5x – 3) - 17 < Є

Jadi Untuk setiap Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sehingga

0< x – 4 < Є/5 0< (5x – 3) - 17 < Є

Ini berarti Lim (5x – 3) = 17

x → 4

Contoh : Jika Lim (3x + 2) = 14, tentukan δ jika Є = 0,1x → 4

Jawab : Karena diketahui Lim (3x + 2) = 14, maka berlakux → 4

untuk setiap Є > 0 :

0< (3x + 2) ─ 14 < Є 0< 3x – 12 < 0,1

0< 3 x – 4 < 0,1

0< x – 4 < 0,1/3Jadi δ= 0,1/3

Soal :

1. Buktikan Lim (8x – 3) = 13

x → 2

2. Buktikan Lim x2 – 25 = 10

x → 5 x - 5

Page 4: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 4/32

MATEMATIK 

Limit

3. Lim (3x – 4) = 5, tentukan tentukan δ jika Є = 0,2

x → 3

III. SIFAT-SIFAT LIMIT

1. Jika f(x) = c dengan c = konstanta, maka Lim c = c

x → a

Contoh : Lim 3 = 3

x → 2

2. Jika f(x) = x, maka Lim f(x) = Lim x = a

x → a x → a

Contoh : Lim x = 3

x → 3

3. JikaLim f(x) = L dan Lim g(x) = M

x → a x → a

Maka :

• Lim (f(x) ± g(x)) = Lim f(x) ± Lim g(x) = L ± M

x → a x → a x → a• Lim (f(x) . g(x)) = Lim f(x).Lim g(x) = L . M

x → a x → a x → a

• Lim f(x) / g(x) = Lim f(x) / Lim g(x) = L / M,

x → a x → a x → a

dengan M ≠ 0.

• Lim n (f(x) = n Lim f(x) = n L

x → a x → a

Contoh : Tentukan :

1. Lim (5x2 + 2) 3. Lim x2 – x - 6

x → 2 x → 3 x - 3

2. Lim x2 - 4

x → 2 x - 2

Page 5: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 5/32

MATEMATIK 

Limit

Jawab :

1. Lim (5x2 + 2) = 5.22 + 2 = 5.4 + 2 = 22x → 2

2. Lim x2 - 4 = Lim (x – 2)(x + 2) = Lim (x + 2)

x → 2 x – 2 x → 2 x – 2 x → 2

= 2 + 2 = 4

3. Lim x2 – x - 6 = Lim (x – 3)(x + 2)

x → 3 x – 3 x → 3 (x – 3)

= Lim (x + 2) = 3 + 2 = 5

x → 3

IV.LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus-rumus :

1. Lim Sin ax = 1

x → 0 ax

2. Lim tg ax = 1

x → 0 ax

3. Lim Sin x = 1

x → 0 x

4. Lim tg x = 1

x → 0 x

Contoh :

Tentukan :1. Lim Sin 7x

x → 0 x

2. Lim 4x + tg 2x .

x → 0 Sin (5x) – 2x

Jawab :

1. Lim Sin 7x = Lim 7. Sin 7x = 7. Lim Sin 7x

x → 0 x x → 0 7x x → 0 7x

= 7 . 1 = 7

2. Lim 4x + tg 2x = Lim 4 + tg 2x

Page 6: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 6/32

MATEMATIK 

Limit

x → 0 Sin (5x) – 2x x → 0 x

Sin (5x) ─ 2x

= Lim 4 + 2. tg 2x

x → 0 2.x

5. Sin (5x) ─ 2

5x

= 4 + 2 . 1 = 6/3 = 2

5.1 - 2

V. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

1. LIMIT KIRI

Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I,

maka Limit Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis :

Lim f(x) = Lx → c ─  c

Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :

0< (c - x) < δ → 0< f(x) ─ L < Є

2. LIMIT KANAN

Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I,

maka Limit Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis :

Lim f(x) = L

x → c+ c

Jika untuk setiap Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :

0< (x - c) < δ → 0< f(x) ─ L < Є

sb-y f(x) ─ L f(x) - L

Page 7: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 7/32

MATEMATIK 

Limit

L Є y =

f(x)

f(x) Є f(x)

L- Є L

δ δ

x c Sb-x c x 

(x – c)

Gamb. Grafik Limit Kiri Gamb. Grfik Limit Kanan

3. TEOREMA : Lim f(x) = L Lim f(x) = Lim f(x) = L

x → a x → a+  x → a ─  

Contoh :

x + 2 , untuk x > 02

Jika f(x) = 0 , untuk x = 0

1 – x2 . untuk x < 02

Tentukan : (a) Lim f(x) ; (b) Lim f(x) ; (c) Lim f(x)

x → 0+

x → 0 ─    x → 0

Jawab :

(a) Lim f(x) = Lim ( x + 2)/2 = (0 + 2)/2 = 1x → 0+ x → 0+

(b) Lim f(x) = Lim (1 – x2)/2 = (1 – 0)/2 = 1/2x → 0+ x → 0 ─ 

(c)   Lim f(x) = tidak ada .....? Silahkan di carix → 0

Page 8: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 8/32

MATEMATIK 

Limit

Contoh : Tentukan konstanta p dan q agar Lim f(t) = 2, dengant →2

 pt2 – qt, untuk t ≤ 2

f(t) =

qt2 + (p – 2)t + 2, untuk t > 2

Jawab :

Diketahui Lim f(t) = 2, berartit →2

Lim f(t) = 2 Lim (pt2

– qt) = 2t →2 ─  t →2 ─ 

4p – 2q = 2 ...........................(1)

Lim f(t) = 2 Lim (qt + (p – 2)t + 2) = 2t →2+ t →2+

2q + (p – 2)2 + 2 = 2

2p + 2q = 4 ......................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :

4p – 2q = 2 untuk p = 1, maka 2p – 2q2p + 2q = 4 + 4p – 2q = 2 4.1 – 2q = 26p = 6 -2q = -2

 p = 1 q = 1

 jadi p = 1 dan q = 1

VI. LIMIT TAK HINGGA

Konsep dasar Limit Tak Hingga :

(1) Lim ( 1/x ) = ~  (2) Lim ( 1/x ) = ─ ~ 

x → 0+ x → 0 ─ 

VII. LIMIT DI TAK HINGGA

Konsep dasar Limit di Tak Hingga :

(1) Lim ( c/x ) = 0 

Page 9: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 9/32

MATEMATIK 

Limit

x → ~  

Contoh : Tentukan :

(1) Lim 3x2 – 2x + 2 (2) Lim x3 – x + 1x → ~  4x2 + x – 1 x → ~  2x2 + x

(3) Lim x + 2 (4) Lim 2x – 2- x x → ~  x2 + 2x – 1 x → ~  2x + 2-x

Jawab :(1) Lim (3x2 – 2x + 2) = Lim (1/x2)(3x2 – 2x + 2)

x → ~  ( 4x2 + x – 1) x → ~  (1/x2)( 4x2 + x – 1)= Lim 3 – 2/x + 2/x2 

x → ~  4 + 1/x – 1/x2

= 3 – 0 + 0 = 34 + 0 – 0 4

(2) Lim (x3 – x + 1) = Lim (1/x2) (x 3 – x + 1)x → ~  ( 2x2 + x) x → ~  (1/x2) ( 2x2 + x)

= Lim x – 1/x + 1/x2 x → ~  2 + 1/x

= ~ – 0 + 0 = ~ 

2 + 0(3) Lim x + 2 = Lim (1/x2) (x + 2)

x → ~  x2 + 2x – 1 x → ~  (1/x2)(x2 + 2x – 1)= Lim 1/x +2/x2 = 0 + 0

x → ~  1 + 2 / x - 1 / x2

1+0+0= 0

(4) Lim 2x – 2- x = Lim 2x(1 – 2 ─2  x)x → ~  2x + 2-x x → ~  2x(1 + 2 ─2x)

= Lim (1 – 2 ─2  x)x → ~  (1 + 2 ─2x)

= 1 – 0 = 1

1 + 0

KONTINUITAS

DEFINISI

Fungsi f kontinu pada x = a jika dan hanya jika memenuhi ketiga

syarat berikut :

Page 10: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 10/32

MATEMATIK 

Limit

(1). f(a) = L (ada atau didefinisikan pada x = a)

(2.) . Lim f(x) = L (ada)

x → a

(3) Lim f(x) = f(a) = Lx → a

Contoh : Selidiki apakah fungsi f kontinu pada x = 2, jika :

x2 – 4 ; untuk x ≠ 2x – 2

f(x) =

4x – 4 ; untuk x = 2

Jawab :

(1) Untuk x = 2, f(2) = 4x – 4 = 4.2 – 4 = 4 (ada), jadi syarat (1)

terpenuhi.

(2) Lim f(x) = Lim x2 – 4 = Lim (x-2)(x+2) = Lim (x + 2) = 2 + 2 = 4x → 2 x→2 (x -2) x →2 (x – 2) x→2

Jadi syarat (2) terpenuhi

(3) Lim f(x) = f(2) = 4, syarat (3) terpenuhix → 2

Jadi ke-3 syarat kontinuitas terpenuhi, berarti f kontinu pada x = 2.

Contoh : Tentukan konstanta a dan b, jika fungsi f kontinu pada t = 3;

dan

at 2 + bt + 5 ; untuk t > 3

f(t) = 4t + 2 ; untuk t = 3

(b+4)t + at - 1 ; untuk t < 3

Page 11: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 11/32

MATEMATIK 

Limit

Jawab :

Fungsi f kontinu pada t = 3, berarti ke-3 syarat terpenuhi, dengan

demikian :

Lim f(t) = f(3).t→3

• f(3) = 4t + 2 = 4.3 + 2 = 14

• Lim f(t) = f(3), berarti :t→3

(a). Lim f(t) =14 Lim (b+4)t + at - 1 = 14t →3 ─  t →3 ─ 

(b + 4).3 + a.3 – 1 = 14

3a + 3b = 3 .......................... (1)

(b). Lim f(t) =14 Lim (at2 + bt + 5) = 14t →3+ t →3+

a.32 +b.3 + 5 = 14

9a + 3b = 9 ......................... (2)

Dari pers. (1) dan (2) diperoleh :

3a + 3b = 3 untuk a = 1, maka9a + 3b = 9 - 9a + 3b = 9 9.1 + 3b = 9- 6a= -6 3b = 0

a = 1 b = 0

Contoh :

Selidiki apakah arus I kontinu pada t = ½π, Jika arus I dinyatakan

sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb :

e2t . S in 2t ; untuk t ≠ ½πI(t) = Cos t

e2t . Sin 2t ; untuk t = ½π

Jawab :

(1). I(½π) = e2.½π . Sin 2.½π = eπ. Sin π = eπ. 0 = 0 (ada)(2) Lim I(t) = Lim e2t . S in 2t

t → ½π t → ½π Cos t

= Lim e2t . 2 Sin t.Cos t

t → ½π Cos t

Page 12: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 12/32

MATEMATIK 

Limit

= Lim 2.e2t . Sin tt → ½π

= 2.e2.  ½π . Sin ½π

= 2.eπ.1

= 2.eπ  (ada)

(3) Jelas nampak, Lim I(t) ≠ I(½π)t → ½π

Jadi I diskontinu pada t = ½π

Tes Formatif :

1. Tentukan limit fungsi berikut :

(a) Lim x2  – 4x – 5 (c) Lim x + 3x → 5 x – 5 x →-3 √(x2 + 7) - 4

(b) Lim 5x – tg 3x (d) Lim x5 + 3x2 – 4xx →0 2x + Sin 2x x → –  ~ 

2. Tentukan konstanta p dan q,   jika I kontinu pada t = – 4, dan I(t)

didefinisikan :

qt + (p – 4)t – 16 , untuk t > -4I(t) = -4t + 8 , untuk t = -4

 pt2 + qt + 20 , untuk t < -4

3. Arus I dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb :

Io + S in 2t ; untuk t ≠ ½πI(t) = Cos t

Io + Cos 2t ; untuk t = ½π

a. Selidiki apakah I kontinu pada t = ½π

 b. Jika tidak kontinu, tentukan nilai I(½π) agar kontinu pada t = ½π.

4. Tentukan konstanta c agar fungsi f mempunyai limit di x = -1, dan f 

didefinisikan :

f(x) = 3 – cx ; untuk x < -1

x2 – c ; untuk x ≥ -1

5. Carilah :

a. Lim √(1+x) b. Lim (x – π/4).Sec 2x

x →~  3 x x → π/4

Page 13: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 13/32

MATEMATIK 

Limit

c. Lim √(x2 + x) d. Lim (x2 – 3x) + xx → – ~  2x – 1  x→ – ~ 

6. Diberikan f(x) = , tentukan

Jika x > -1/5.h

 x f h x f 

h

)()(lim

0

−+

15 + x

Page 14: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 14/32

MATEMATIK 

Limit

2. LIMIT

2.1. DEFENISI LIMIT

2.1.1. LIMIT DARI SUATU BARISAN

Suatu barisan diberikan sebagai berikut : 1, 3/2, 5/3, 7/4,

9/5 ..............2 –1/n, ................

diletakkan pada sebuah garis bilangan, nampak bahwa mereka

semakin menggerombol ke titik 2 sedemikian rupa, sehingga ada

titik dari barisan yang berjarak dari 2, lebih kecil dari sembarang

 bilangan positif terkecil, betapapun kecilnya.

Contoh :Titik 2001/1001 dan semua bagian barisan titik-titik yang berjarak

<1/1000 dari titik 2, titik 20 000 001/10 000 001 dan semua bagian

 barisan titik-titik yang berjarak kurang dari 1/10 000 000 adri 2,

dan seterusnya. Pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa limit

dari barisan adalah 2 atau

Jika x merupakan variabel pada barisan (1), dikatakan bahwa x

mendekati 2 sebagianlimit dan di tulis x → 2. Barisan (1) tidak

memuat 2, sebagai limitnya.

∼→

=−

n

n 2)/12(lim

Page 15: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 15/32

MATEMATIK 

Limit

2.1.2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI

Misalkan x → 2 pada barisan (1), dimana x = (2 –1/n), kemudian

f(x) = x2  → 4 pada barisan 1, 9/4, 25/9, . .. .. .. .. ., (2 – 1/n)2

.......seperti tabel 2.1 berikut :

n 1 2 3 4 5 ..... n ....x=(2-1/n) 1 3/2 5/3 7/4 9/5 ...... 2-1/n

F(x) = x2 1 9/4 25/9 49/16 81/25 .....

1

(2 - )2

2

....

....

Tabel 2.1.

1Sekarang misalkan : x → 2 pada barisan 2, 1 ; 2,01 ; ...2 + , ...(2)

10n

kemudian x2 → 4 pada barisan : 4, 41 ; 4,0401 ; 4,004001 ; ...........

1

(2 + )2 ; .... seperti tabel berikut :10n

n .... 10 .... 100 ..... 1000 ..... n .....1

x = (2 + )n

.... 2,1 .... 2,01 ..... 2,001 ..... 12+

n

.....

f(x) = x2

.... 4,41 .... 4,0401 ..... 4,004001 ..... .....

Tabel 2.2.

  Nampak bahwa f(x) mendekati 4 sebagai limit, meskipun x

mendekati 2 sebagai limit. Dibawah asumsi ini, kita katakan

“limit”, untuk x mendekati 2, dari x2 adalah 4” dan ditulis lim

1.3. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

Untuk x → 2 pada barisan (1), harganya selalu kurang dari 2, kita

katakan bahwa x mendekari 2 dari kiri dan dirulis . Dengan2→ x

a x

 x  f  

)(lim

2

)(lim

+

→ x

 x  f   

2

4lim 2

=

 x

 x

Page 16: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 16/32

2

MATEMATIK 

Limit

  jalan serupa, untuk x → 2 pada barisan (2), harganya selalu lebih

 besar dari 2, kita katakan bahwa x mendekati 2 dari kanan dan ditulis

x → 2+. Jelasnya, pernyataan limit , berarti bahwa kedua

limit kiri : dan limit kanan ................. ada

dan sama.

Tetapi adanya limit kiri (kanan), tidak berarti adanya limir kiri

(kanan). Untuk lebih jelasnya kita gunakan dua symbol untuk perbedaan yang kecil ini (antara f(x) dan 4, serta x dan 2), yaitu ∈

dan δ . Kemudian kita nyatakan bahwa : f(x) – 4 akan menjadi

lebih kecil dari sekarang pengambilan bilangan positif  ∈, ketika

x - 2 lebih kecil dari sembarang bilangan positif δ dan x - 2 ≠

0 (untuk x ≠ 2).

Itu penting untuk menyatakan bahwa harga δ tergantung pada

harga ∈. Dengan kata lain, pengambilan sembarang bilangan

 positif kita dapat membuat : f(x) - 4 < ∈ dengan mengambil x -

2 cuku kecil, yaitu bahwa ada beberapa bilanga positif cukup

kecil, sedemikian sehingga :f(x) - 4< ∈ untuk 0 < x - 1< δ ...................................................(3)

nampak dari tabel 2.2. diatas bahwa f(x) - 4 = 0,0401 ketika

x - 2 = 0,01 jadi untuk ∈ = 0,0401, δ = 0,01, dan nyatakan

 bahwa f(x) - 4<0,0401 dan δ = 0,01.

Page 17: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 17/32

MATEMATIK 

Limit

Karena untuk sembarang ∈ >0, dapat dicari sebuah δ > 0

sedemikian hingga f(x) - 4 < ∈ untuk 0 < x - 2 < ∈, kita

nyatakan bahwa limit dari f(x) untuk x mendekati 2 adalah sama

dengan 4, atau dinyatakan dengan .

Definisi : , dapat ditetapkan dengan mengecek f(x)

untuk x → a pada sebuah bilangan dari barisan. Penemuan f(x) →A dalam setiap kejadian, kemudian disimpulkan bahwa hasil yang

sama akan diperoleh untuk semua barisan lain yang memiliki limit

a. Sekarang untuk x → a pada setiap macam barisan, x harus dapat

terjadi menutup a. Pengertian penting dari konsep limit ialah

  bahwa ketika x makin menutup tetapi masih berbeda dari a,

kemudian f(x) mendekati A.

Ini mungkin bisa dinyatakan dalam batasan yang tepat sebagai

 berikut :

= A jika untuk sembarang pemilihan bilangan positif 

∈, betapapun kecilnya, ada sebuah bilangan positif  δ sedemikian

hingga jika 0 < x - a< δ , maka f(x) - A< ∈.

Dua ketetapan interval yang berbeda :

Gambar 2.1

2

4)(lim

→=

 x

 x f  

a x

 A x f  

→=)(lim

a x

 A x f  

→=)(lim

Xo X

a - δ a a + δ

F(xo) f(x)

A -∈ A A + ∈

Page 18: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 18/32

MATEMATIK 

Limit

Intisari dari definisi ialah bahwa sesudah ∈ terpilih (interval (ii)

diatas), δ dapat ditentukan (interval (i) dapat ditentukan)

sedemikian jika x ≠ a pada interval (i) katakan pada xo, maka f(x)

 pada interval (ii).

Contoh :

1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut :

a) 1/2, 1/4 1/8, 1/16, 1/32, ...................... b) 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ; .............

Penyelesaian :

a) Jelasnya, kita pindahkan barisan tersebut kedalam garis

 bilangan

 Nampak bahwa mereka makin menggerombol di/ke titik 0, dan

kita katakan bahwa limit dari barisan adalah 0. Dalam bentuk

tabel sebagai berikut :

n 1 2 3 4 5 6 .... n ....F (n) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 .... 1/2n ....

Sehigga kita dapat menentukan bantuk umu dari barisan

tersebut yaitu ½ n.

 

  b) Dengan menggunakan tabel seperti pada (a), kita dapat

menentukan limit dari barsan (b) sebagai berikut :

0 1 1 1 1 1

64 16 4 2

∴∼→∼→

==nn

nn 0)2/1(lim2/1lim

Page 19: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 19/32

MATEMATIK 

Limit

n 1 2 3 4 5 .... n ....F (n) 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 .... 1-1/10n ....

 Nampak bahwa rumus umum barisan tersebut adalah 1 – 1/10n

sehingga :

2. f(x) = 4x – 1, diketahui lim f(x) = 11, tentukan δ untuk untuk

∈ = 0,01.

Penyelesaian :

f(x) - 11= (4x –1) – 11 = 4x - 12= 4x - 3

karena kita inginkan 4x - 3 < - 0,01 untuk 0 < x - 3 < δ

= 0,0025, kita punyai (4x – 1) - 11 < 0,001 dimana 0 < x-

3< 0,0025 sehingga δ = 0,0025.

3. a)

 b)

2.2. CONTOH LIMIT GEOMETRI

Rumus limit fungsi trogonometri yang sangat penting

Adapun kejadiannya sebagai berikut :

Sudut α radian (0 < α < Π/2),

di letakkan pada posisi baku.

∼→∼→=−=

nn

n f   n 1)10/11(lim)(lim

x →3

2

102.55lim

==

 x

 x

2

314)14(lim2

−=+−=+−

 x

 x x δ 

0

1sin

lim

=

 x

 x

 x

O Q A Xα

YR 

P

L

Gambar 2.2.

Page 20: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 20/32

MATEMATIK 

Limit

Lingkaran berjari-jari 1 satuan dan

  berpusat di ti tik 0. Lingkaran

tersebut memotong sumbu x di A

dan memotong kaki terminal sudut

α di P. PQ ⊥ sumbu x atau PQ ⊥

OA, demikian juga AR  ⊥ OA. Dan

ternyata :Luas ∆ OPA < luas sektor OPA < luas ∆ ORA.

1/2. PQ.OA < α/2 Π.Π. r 2 < ½.AR.OA.

1/2. r 2.sin α. r 2 < ½ . r 2. tg α

sin α < α < tg α

  α 11 < < ...........................................................................(1)sin α cos α

 

αJika pada (1), x → 0, maka mendekati 1, demikian juga

cos α 

α sin α sin x, dan juga , sehingga lim = 1

sin α α x → 0 x

tg xDan dengan cara yang sama terdefinisi juga lim = 1

x → 0 x

x x

Selanjutnya, lim = 1 dan juga lim = 1

Page 21: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 21/32

MATEMATIK 

Limit

x → 0 sin x x → 0 tg x

Contoh : Tentukan

1 – cos xlim

x

Penyelesaian :

2 sin2 1/2x sin2 1/2xlim = limx → 0 x x → 0 1/2x

sin 1/2x= lim . sin 1/2x = 1.0 = 0

x → 0 1/2x

sin kx kx

Jadi lim = 1, juga lim = 1,x → 0 kx x → 0 tg kx

Dimana k = adalah suatu konstanta

2.3. SIFAT-SIFAT LIMIT

Ada tiga teori umum tentang sifat-sifat limit, yaitu :

Teorema 1, jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, makax→a x→a

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L + Mx→a x→a x→a

Contoh : lim (x3 + x2) = lim x3 + lim x2 = 27 + 9 = 36x→3 x→3 x→3

Page 22: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 22/32

MATEMATIK 

Limit

Teorema 2, jika limit f(x) = L dan lim g(x) = M, maka :x→a x→a

lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L . M

x→a x→a x→a

Contoh : lim (x3 + x2) = lim x2(x + 1) = lim x2 . lim (x + 1) = 36x→3 x→3 x→3

Teorema 3, j ika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan M ≠ 0.Maka :x→a x→a

lim f(x)f(x) x→a L

lim = =x→a g(x) lim g(x) M

x→a

lim xx x→4 4 4

Contoh : lim = = = -x→4 -7x + 1 lim (-7 + 1) -27 27

x→4

Kita dapat membuktikan teorema 1, teorema 2 dan 3 buktikan

sendiri berdasarkan bukti teorema 1. Kita gunakan defisnisi, yaitu

 bahwa untuk sembarang ∈ > 0, harus dibuktikan bahwa ada sebuah

δ > 0 sedemikian hingga :

[f(x) + g(x)] – (L + M)< ∈ dimana 0 <x - a< δ .

Page 23: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 23/32

MATEMATIK 

Limit

Karena lim f(x) = L, dari definisi, bahwa untuk 1/2 ∈ > 0, disana

ada sebuah δ 1 > 0 sedemikian hingga f(x) - L< 1/2 ∈ untuk

mana 0 <x - a< δ 1.

Demikian juga dari, lim g(x) = M, utnuk 1/2 ∈ > 0, ada sebuah δ 2

> 0 sedemikian hinggag(x) - M < 1/2 ∈ , dimana 0 < x - a < δ

2.

Sekarang kita misalkan δ menjadi lebih kecil dari dua bilangan δ1

dan δ2, sehingga f(x) - L<1/2 ∈ untuk 0 <x - a< δ dan g(x) -

M< 1/2 ∈ untuk mana 0 < x - a< δ .

Dari situ kita dapatkan :

[f(x) + g(x)] – (L + M) = (fx) – L + g(x) – M)

≤ f(x) - L+ g(x) - M

< 1/2 ∈ + 1/2 ∈ = ∈

dimana 0 < x - a< δ .

Teorema-teorema :

1. Jika C adalah suatu konstanta, maka untuk sembarang bilangan

a,

2. Jika lim f(x) = L, maka

Amatilah bahwa adalah sebuah bilangan real.

x →a

x →a

a x

C C 

→=lim

a xa x

 L x f   x f   nnn

→→== /1])([lim)(lim

x →a

n L

Page 24: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 24/32

MATEMATIK 

Limit

Contoh :

1.

2.

2.4. LIMIT TAK HINGGA

Misalkan daerah variabel x adalah barisan S1, S2, S3, ......, maka :

( i) x dekatkan mendekati posi ti f tak terhingga [x → + ∼ ] jika

ia mendekati benar dan sesudah itu tinggal berjarak lebih

  besar dari sembarang bilangan positif, bagaimanapun

 besarnya.

Misal : x→ + ∼ pada barisan 1, 2, 3, 4, ........... (1)

(ii) x dekatkan mendekati negatif tak terhigga [x→ - ∼ ], jika ia

mendekati benar dan berjarak kurang dari sembarang

 bilangan negatif, betapapun kecilnya.

Misal : x→ - ∼ pada barisan –2, -4, -6, -8, ........... (2)

( ii i) x mendekati tak terhingga [x→∼ ], jika x  → + ∼ yaitu,

 jika x→ + ∼ atau x → - ∼ .

2222

24.5lim5lim.5lim5lim 222

→→→→=====

 x x x x

 x x x

444

)17(lim

4

lim

17lim

17lim 3 3

→→→

+−→

=+−

=+−

 x x x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

Page 25: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 25/32

MATEMATIK 

Limit

Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati positif tak terhingga untuk

x →a, [ l im f(x) = + ∼ ], jika x mendekati limitnya a (tanpa

menduga harga a).

f(x) mendekati benar dan berjarak lebih besar dari sembarang

 positif, betapapun besarnya.

Sebuah fungsi f(x) dikatakan mendekati negatif tak terhingga

untuk x→a, [lim f(x) = -∼ ]. Jika x mendekati limitnya a (tanpamenduga harga a).

f(x) mendekati benar dan berjarak kurang dari sembarang bilangan

negatif, betapapun kecilnya.

Sebuah fungsi f(x) dikatakan mendekati tak terhingga untuk x→a.

[lim f(x) = ∼ ], jika lim f(x) = + ∼ .

Contoh :

(a) Untuk x→2 pada barisan (1) ; pada barisan

1, 2, 3, 4 . .. .. .secara umum jika , maka

.................dan kita tuliskan:

(b) Untuk x→2 pada barisan (2), pada barisan

 –10, -100, -1000, ........ . secara umum jika x → 2+, maka :

dan ditulis

x→a

x→a

x→a x→a

∼+→=x-2

1 f(x)

2→ x

∼+→− x2

1

2lim

2

1

lim

∼+=

− x

∼−→−

= x

 x f  2

1)(

∼−→− x2

1 ∼−=− x2

1lim

∼+→−

= x

 x f  2

1)(

2

2

1lim

∼=−

 x

 x

Page 26: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 26/32

MATEMATIK 

Limit

(c) Untuk x→2 pada (1) dan (2),

Catatan :

Simbol-simbol +∼ , -∼ , ∼ bukan merupakan bilangan-bilangan

  baru yang akan dikategorikan sebagai bilangan-bilangan real.

Simbol-simbol itu menunjukkan sebuah type tertentu dari tingkahsebuah ariabel atau sebuah fungsi.

Ketika sebuah variabel atau sebuah fungsi bertambah secara tetap

harganya tetapi tak pernah melampaui suatu bilangan tertentu M,

variabel atau fungsi mendekati M atau beberapa bilangan yang

lebih kecil sebagai limit. Jika tidak ada bilangan M sedemikian

rupa, variabel atau fungsi dikatakan menjadi tak hingga. Dalam

  bab terakhir ini, tidak ada limit, notasi limit digunakan hanya

karena mudahnya saja.

TYPE-TYPE LIMIT LAINNYA

Didefinisikan :

B. Lim = ∼ jika untuk sembarang bilangan positif M, betapapun

  besarnya, tentu ada sebuah bilangan positif  δ sedemikian hingga

 jika 0 < x - a< δ , maka f(x)> M. Untuk f(x) <-M,

a x

 x f  

→)(

a x

 x f  

→∼+=)(lim

a x

 x f  

∼−=)(lim

∼→ = x

 A x f   )(lim

Page 27: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 27/32

MATEMATIK 

Limit

C. . Jika untuk sembarang bilangan positif ∈, betapapun

kecilnya, disana ada sebuah bilangan positif M sedemikian hingga

 jika x> M maka f(x) -A< ∈.

D. jika untuk sembarang bilangan M, bagaimanapun

  besarnya, tentu ada sebuah bilangan positf P sedemikian hingga

ketika x> P, maka f(x)> M.

Jika teorema-teorema tentang limit dari bab ini

  berarti benar. Mereka jangan digunakan tetapi, jika

atau ketika sebagai contoh :

PEMECAHAN MASALAH

1. Tentukan limit dari setiap barisan berikut :

∼→

∼=

 x

 x f   )(lim

→∼∼→ x x

ada x f  it dan x g  ,)(lim)(lim

a xa x

 x g dan x f  

→→∼∼= )(lim)(lim

→∼→∼∼=∼=

 x x

 x g dan x f   .)(lim)(lim

1

1

1

21lim

2lim

∼=−

∼=− →∼

 x

tetapi x

dan x

 x

( ) juga Demikan x x x

 x

 x x.21l

1

1

11 11imlim

2=+=  

 

  

 −− →→

( ) ( ) tetapi xdan x x x

,25 22limlim ∼−=−∼+=+

∼+→∼+→

{ ( ) ( ) } 7725 limlim22 ==−+=+

∼+→∼+→ x x x

 x

Page 28: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 28/32

MATEMATIK 

Limit

a) 1, 1/2, 1/3, ¼, 1/5, ..................

 b) 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, .............

c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ............

d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ...............

Penyelesaian :

a) Rumus umumnya 1/12. Untuk n merupakan perubahan pada

harga-harga 1, 2, 3, 4 ............., 1/n berkurang tetapi ,asih positif.

Limitnya adalah 0.

 b) Rumus umumnya (1/n) 2 ; limitnya 0.

c) Rumus umumnya 3-1/n ; limitnya 3.

d) Rumus umumnya 3 + 2/n ; limitnya 3.

Evaluasikanlah :

a)

 b)

c)

d)

e)

7

1

3

1

)4()3(

4

12

4limlimlim

4442

=

+

=

−+

−=

−−

→→→ x x x

 x

 x x

 x

 x x x

2

9

3

93

)3()3(

)93()3(

9

2722

2

3

limlim33

=

+

++=

+−

++−=

→→ x

 x x

 x x

 x x x

 x

 x

 x x

 xh

hhx

h

 xhhx x

h

 xh x

hhh2

22)( 222222

limlimlim000

=

+

=

−++

=

−+

→→→

2

2

2

22

4

53()4(

)53()53(

53()4(

53

4limlim

22 x

 x x

 x x

 x x

 x

 x

 xh −

++−

=

+++−

++−

=

+−

→→ 6)53( 2lim

2=++

→ x

 x

it adaTak  x

 x

 x

 x x

 x

 x x

 x x x

lim.1

2

)1(

)2()1(

)1(

2limlimlim

12122

2

∼=

+=

+−=

−+

→→→

9

3

09

03

/79

/23

1

)2()1(

79

23limlimlim =

+

=

+

−=

+−=

+

→∼→∼∼→ x

 x

 x

 x x

 x

 x

 x x x

Page 29: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 29/32

MATEMATIK 

Limit

2. a)

 b)

c)

d)

3. Diberikan f(x) = x2 – 3x, tentukan

Untuk f(x) = x2 – 3x, f(x + h) = (x + h)2 – 3(x + h), dan

4.

5.

1006

006

/4/36

/1/26

436

1262

2

2

2

limlim =

−−

++=

+−

++=

+−

++

→∼∼→ x x

 x x

 x x

 x x

 x x

04

0

/14

/2/1/1

14

23

32

3

2

limlim ==

−+=

−+=

→∼∼→ x

 x x x

 x

 x x

 x x

∼=

+

=

+

=

→∼∼→32

3

/1/1

2

1

2limlim

 x x x

 x

 x x

h

 x f  h x f  

h

)()(lim

0

−+

h x xh xhhx x

h

 x f  h x

hh

)3()332()()(7 222

limlim00

−−−−++=

−+

→→

32)32(32

limlim00

2

−=−+=−+

=→→

 xh xh

hhh

hh

2/1)2/1(

2/1sin2/1sin2cos1 ..2

2

2

2

2 limlimlim000 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x x x →→→=

−=

2

1

2/1

2/1sin

2/1

2/1sin

2

1limlim

00. ===

→→ x

 x

 x

 x

 x x

33

)cos1(sinlimlim

00 x

 xtg 

 x

 x xtg 

 x x

−=

−=

→→

3

2 2/1sin2.lim

0 x

 x xtg 

 x→=

3

2 2/1sin2.lim0 x

 x xtg 

 x→=

4

1

)2/1(

2/1sin .2

2

lim2lim00 x

 x

 x

 xtg 

 x x →→==

4

1

2/1

2/1sin

2

1

2/1

2/1sin .. limlim2lim000 x

 x

 x

 x

 x

 xtg 

 x x x →→→==

Page 30: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 30/32

MATEMATIK 

Limit

SOAL-SOAL

1. Evaluasikanlah :

a)

 b)

c)

d)

e)

f)

g)

2

12

4

1 . ==

)4(2

lim2

 x x x

)432( 23

l im1

−−+

 x x x

 x

3

2

)1()13(lim

1 +

→ x x

 x

 x x

 x x

 x−

+

→ 33

33lim

0

1

12lim

2 −

→ x

 x

 x

65

42

2

lim2 +−

→ x x

 x

 x

34

232

2

lim1 ++

++

−→ x x

 x x

 x

4

22lim

2 −

→ x

 x

 x

Page 31: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 31/32

MATEMATIK 

Limit

h)

i)

 j)

k)

l)

2. a)

 b)

c)

d)

e)

4

2

2lim2 −

→ x

 x

 x

4

22lim

2 −

→ x

 x

 x

h xh x

h

33

)(lim

0

−+

23

1

2lim1 −+

→ x

 x

 x

5432

lim−

+

→ ∼ x x

 x

2

2

36

12lim

 x x

 x

 x −+

+

→ ∼

52lim +→ ∼ x

 x

 x

1

652

lim+

++

→ ∼ x

 x x

 x

65

32lim

++

+

→ ∼ x x

 x

 x

 x x

 x

 x

 x−

+

∼+→ 3333

lim

 x x

 x x

 x−

+

∼−→ 33

33lim

Page 32: Mat Limit Ringkasan

5/14/2018 Mat Limit Ringkasan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat-limit-ringkasan 32/32

MATEMATIK 

Limit

f)

g)

3 . Evaluasikanlah :

a) b) c)

4. Diberikan f(x) = , tentukan

Jika x > 1/5.

Jawaban :

(a) -4 ; (b) 0 ; (c) 1/2 ; (d) 0 ; (e) 1/3 ; (f) –4 ; (g) 1/2 ; (h) 1/4 ; (i)

0 ; (j) ∼ ; (k) 3x2 ; (l) 2.

(a) 1/2 ; (b) –2/3 ; (c) 0 ; (d) ∼ ; (e) 0 ; (f) 1 ; (g) -1

(a) a ; (b) 2/3 ; (c) 1/2 ; dan

 x

ax

 x

sinlim

0→

 xec xtg 

 x

3cos2 .lim0→ 2)(

cos1

lim π π  −

+

→ x

 x

 x

15 + x

h

 x f h x f 

h

)()(lim

0

−+

152

5

+ x