bab iv matriks

5/24/2018 Bab IV Matriks

1/25

72

BAB IV

GAUSS-JORDAN, MATRIKS INVERSIDAN GAUSS SEIDEL

A. PENDAHULUANDalam bab ini, kami menerangkan dua metode tambahan untuk

penyelesaian persamaan linear simultan. Metode pertama, Gauss-Jordan,sangat menyerupai eliminasi Gauss. Motivasi pokok kami untuk

memperkenalkan metode ini kepada anda adalah karena teknik Gauss-

Jordan memberikan suatu metode numerik yang sederhana dan

menyenangkan untuk perhitungan matriks inversi. Inversi memiliki

sejumlah aplikasi yang berharga dalam praktik teknik. Ia juga

memberikan suatu cara untuk mengevaluasikan kondisi sistem.

Metode kedua, Gauss-Seidel, mempunyai perbedaan yang mendasar dan

eliminasi Gauss, dan metode Gauss-Jordan dalam hal ini adalah suatu

metode iteratif aproksimasi. Artinya, ia melakukan tebakan-tebakan

awal dan kemudian berulangkali mendapatkan taksiran solusi yang

diperhalus. Metode Gauss-Seidel terutama sangat cocok bagi

persamaan-persamaan dalam jumlah besar. Dalam hal ini, metode

eliminasi dapat mengalami kesalahan-kesalahan pembulatan. Karena

kesalahan dari metode Gauss-Seidel dikontrol oleh banyaknya iterasi,

kesalahan pembulatan bukanlah suatu hal yang terkait dengan metode

ini. Tetapi terdapat keadaan-keadaan di mana teknik Gauss-Seidel tidak

akan konvergen pada jawaban yang tepat. Keadaan ini dan kompromi

lainnya antara metode eliminasi dengan iteratif akan dibahas pada

halaman-halaman berikutnya.

Tujuan Pembelajaran

Selesainya pembelajaran matriks maka diharapkan mahasiswa dapat :

1. Menuliskan algoritma komputer untuk metode Gauss - Jordan


2/25

73

2. Menyelesaikan kasus fisis menggunakan metode matriks gauss-Jordan

3. Membuat diagram alir menentukan algoritma matriks invers4. Menentukan matriks inversi5. Menuliskan algoritma metode Gauss-Seidel6. Menentukan konvergensi untuk metode Gauss seidel7. Menyelesaikan masalah fisis menggunakan metode Gauss-Seidel

B. URAIAN MATERI

4.1. METODE GAUSS-JORDAN

Metode Gauss-Jordan adalah suatu variasi dari eliminasi Gauss.

Perbedaan utama adalah bilamana sebuah yang tidak diketahui

dieliminasikan dalam metode Gauss-Jordan, ia dieliminasikan dari setiap

persamaan lainnya ketimbang hanya dari persamaan berikutnya. Jadi,

Iangkah eliminasi dihasilkan dalam sebuah matriks kesatuan ketimbang

sebuah matriks triangular (Gambar 8.1). Konsekuensinya, tidak perlu

melakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan solusi. Metode

tersebut digambarkan secara baik oleh sebuah contoh.

[ ]

[1 0 00 1 00 0 1

]

= =

=


3/25

74

Gambar. 4.1 Penjelasan grafik metode Gauss Jordan. Bandingkan

dengan sebelumnya untuk melihat letak pebedaan di antara teknik ini

dengan eliminasi Gauss. Tanda asterisk menyatakan bahwa elemen-

elemen dari ruas sebelah kanan vektor telah dimodifikasi beberapa kali.

soIusi: Pertama, nyatakan kembali koefisien-koefisien dari ruas

sebelah kanan sebagai sebuah matriks yang diperluas:

[ 3 0,1 0,20,1 7 0,30,3 0,2 10 7,8519,371,4 ]Ialu normalisasikan baris pertama dengan membaginya dengan

elemenpivot, 3,menjadi:

[ 1 0,0333333 0,06666670,1 7 0,30,3 0,2 10

2,6166719,371,4

]Sukudapat dieliminasikan dari baris kedua dengan mengurangkan 0,Ikali baris pertama dari baris kedua. Dengan cara serupa, mengurangkan0,3 kali baris pertama dari baris ketiga akan mengeliminasikan suku dari baris ketiga:

[1 0,0333333 0,06666670 7,00333 0,293333

0 0,190000 10,0200

2,6166719,5617

70,6150

]

3 0,1 0,2 =7,850,1 + 7 0,3 =19,30,3 0,2 +10 =71,4

CONTOH 4.1

Metode Gauss-Jordan

Pernyataan Masalah: (gunakan teknik Gauss-Jordan untuk

menyelesaikan sistern yang serupa seperti pada Contoh 7.5:


4/25

75

berikutnya, normalisasikan baris kedua dengan membaginya dengan

7,00333:

[1 0,0333333 0,06666670 1 0,04188480 0,190000 10,0200 2,616672,7932070,6150 ]Reduksi suku dari persamaan pertama dan ketiga memberikan:

[1 0 0,06806290 1 0,04188480 0 10,0120 2,523562,7932070,0843 ]

Baris ketiga kemudian dinormalisasikan dengan membaginya dengan10,0120:

[1 0 0,06806290 1 0,04188480 0 1 2,523562,793207,00003 ]

Akhirnya, sukudapat direduksi dari persamaan pertama dan kedua,memberikan:

[1 0 00 1 00 0 1 3,000002,500017,00003]Jadi, seperti dijelaskan dalam Gambar 8.1, matriks koefisien telah

ditransformasikan menjadi matriks kesatuan, dan solusi diperoleh pada

vektor di ruas kanan. Perhatikanlah bahwa substitusi ke belakang tidak

diperlukan untuk memperoleh solusi.

Semua materi dalam Bab 7 tentang jebakan dan perbaikan dalameliminasi Gauss juga diterapkan terhadap metode Gauss-Jordan.

Misalnya, suatu strategi pivoting yang serupa dapat dipakai untuk

mencegah pembagian dengan nol dan mereduksi (mengurangi)

kesalahan pembulatan.

Walaupun teknik Gauss-Jordan dan eliminasi Gauss kelihatannya hampir

identik, yang pertama memerlukan kirakira 50% pengoperasian Iebih

banyak. Karenanya, eliminasi Gauss adalah metode sederhana yang

disukai guna memperoleh solusi yang eksak dari persamaan linear


5/25

76

simultan. Salah satu alasan utama kami memperkenalkan Gauss-Jordan

adalah bahwa ia memberikan cara yang gamblang untuk memperoleh

matniks inversi, seperti dijelaskan dalam Pasal 8.2.

4.1 .1 Algoritma Komputer untuk Metode Gauss-Jordan

Suatu diagram alir untuk rnetode Gauss-Jordan tanpa pivoting parsial

terlihat pada Gambar 4.2. Sebuah skema pivoting, serupa dengan skema

yang ditunjukkan pada Gambar 7.10, dapat disertakan dalam algoritma

ini.

4.2 MATRIKS INVERSI

Dalam pengantar tentang pengoperasian matriks (Pasal III.2.2), kami

telah memperkenalkan catatan bahwa jika sebuah matriks [A] adalah

bujur sangkar, terdapat matriks Iainnya ;, yang disebut matriksinversi dari [A], untuk [Persamaan (III.3)]:; = ; = Kami telah menunjukkan juga bagaimana inversi dapat digunakan untuk

menyelesaikan sekumpulan persamaan simultan, seperti pada

[Persamaan (III.6)]:

= ; (4.1)


6/25

77

Suatu aplikasi dan inversi terjadi bila diperlukan untuk menyelesaikan

beberapa sistem persamaan dalam bentuk:

=

hanya dibedakan oleh vektor di ruas kanan [C]. Ketimbang

menyelesaikan setiap sistem secara individu, suatu pendekatan alternatif

akan menentukan inversi dari matriks koefisien. Lalu, Persamaan (8.1)

dapat digunakan untuk mendapatkan setiap solusi secara mudah dengan

mengalikan ;dengan vektor [C] di ruas kanan tertentu. Karenaperkalian matriks lebih cepat daripada inversi, kita hanya rnelakukan

langkah yang memakan tempo sekali, lalu diperoleh solusi tambahan

dalam sebuah bentuk yang efisien. Seperti telah diperluas juga dalamPasal 8.2.1, elemen-elemen inversi sangat berguna sekali.

[

1 0 00 1 00 0 1]

1 0 00 1 00 0 1; ; ;; ; ;; ; ;

;GAMBAR 4.3 . Penjelasan grafik dan metode Gauss-Jordan, dengan

matriks inversi.

Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan

menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk melakukan ini, matriks

koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan (Gambar 8.3).

Kemudian metode Gauss-Jordan diterapkan agar mengurangi matriks

koefisien menjadi sebuah matriks kesatuan. Jika ini telah selesai, ruas

kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi. Teknik tersebut

diilustrasikan dalam contoh berikut ini.


7/25

78

Solusi: Perluas matriks koefisien dengan sebuah matriks kesatuan

= [ 3 0,1 0,20,1 7 0,3

0,3 0,2 10

1 0 00 1 0

0 0 1

]Gunakan sebagai elemen pivot, normalisasikan baris pertama dangunakan untuk mengelinasi dan baris-baris lainnya:

[1 0,0333333 0,06666670 7,03333 0,2933330 0,190000 10,0200 0,333333 0 00,0333333 1 00,0999999 0 1]

beriikutnya, dapat digunakan sebagai elemen pivot dandieliminasikan dari baris-baris lainnya :

[1 0 0,0680570 1 0,04170610 0 10,0121 0,333175 0,004739329 00,00473933 0,142180 00,10090 0,0270142 1]Akhirnya, digunakan sebagai elemen pivot dan

dieliminasikan dari baris-baris Iainnya :

[1 0 10 1 00 0 1

0,332489 0,00492297 0,006798130,0051644 0,142293 0,004183460,0100779 0,00269816 0,0998801 ]

CONTOH 4.2

Penggunaan Metode Gauss-Jordan untuk Menghitung

Matriks inversi

Pernyataan Masalah: Tentukan matriks inversi dari sistem

yang telah diselesaikan sebelumnya dalam Contoh 7.5.

Dapatkan solusi dengan mengalikan ;dengan vektordi ruas kanan:

= [7,85 19,3 71 ,4]. Tambahan pula, dapatkan solusiuntuk sebuah vektor yang berlainan di ruas kanan:

=20 50 15


8/25

79

Karenanya, inversi adalah:

; = [0,332489 0,00492297 0,00679813

0,0051644 0,142293 0,004183460,0100779 0,00269816 0,0998801 ]

Sekarang, inversi dapat dikalikan dengan vektor di ruas kanan

pertama untuk menentukan solusi:

=7,850,332489 19,30,00492297 + 71,40,00679813= 3,00041181

=7,850,0051644 19,30,142293 +71,40,00418346 =2,48809640 = 785,010779 19,30,00269816+ 71,40,0998801 =7,00025314Solusi kedua dengan mudah diperoleh dengan melakukan perkalian

Iainnya seperti dalam:

= 200,332489 + 500,00492297 + 150,00679813=6,99790045 = 20( , 0051644) + 500,142293 +150,00418346 = 7,0741139 = 200,0100779 + 500,00269816 + 150,0998801= 1,43155150

4.2.1 Komputasi RangsanganTanggapan

Seperti telah dibahas dalam Pasal III.1.2, kebanyakan sistem persamaan

linear yang dihadapkan dalam praktik teknik diturunkan dari hukum-

hukum kekekalan. Pernyataan matematika dan hukum-hukum ini adalah

beberapa bentuk dari persamaan keseimbangan untuk meyakinkan

bahwa suatu perilaku tertentumassa, gaya, momentum, atau lainnya

adalah kekal. Untuk keseimbangan gaya dalam sebuah struktur, perilaku

dapat berupa komponen-komponen horizontal atau vertikal dari gaya-


9/25

80

gaya yang bekerja pada setiap simpul dari struktur (lihat Studi Kasus

9.3). Untuk keseimbangan massa, perilaku dapat berupa massa dalam

setiap reaktor dari sebuah proses kimia. Bidang-bidang teknik lainnya

mengandung contoh-contoh yang serupa.

Sebuah persamaan keseimbangan tunggal dapat ditulis untuk setiap

bagian sistem, menghasilkan sekumpulan persamaan yang

mendefinisikan tingkah perilaku keseluruhan sistem. Persamaan-

persamaan ini saling berhubungan, atau bergandengan, dalam hal bahwa

setiap persamaan meliputi satu atau lebih variabel dari persamaan-

persamaan Iainnya. Untuk banyak kasus, sistem-sistem ini adalah linear

dan karenanya, bentuk eksak ditangani dalam bab ini.

= (4.2)Sekarang, untuk persamaan keseimbangan, suku-suku dan Persamaan

(4.2) mempunyai interpretasi fisis tertentu. Misalnya, elemen-elemen

dari [X] adalah besaran sebuah struktur, mereka menunjukkan gaya-gaya

horizontal dan vertikal dalam setiap anggota. Untuk keseimbangan

massa, mereka adalah massa dari bahan kimia dalam setiap reaktor.

Dalam kasus Iainnya, mereka menyatakan keadaan atau tanggapansistem yang sedang kita coba untuk menentukannya.

Vektor [C] di ruas kanan mengandung elemen-elemen dari

keseimbangan yang tidak tergantung dari perilaku sistemartinya,

semua adaIah konstanta. Karenanya, ia seringkali menyatakan gaya-

gaya luar atau rangsangan yang menggerakkan sistem.

Akhirnya, matriks koefisien [A] biasanya mengandung parameter-

parameter yang menyatakan bagaimana setiap bagian sistem berinteraksiatau digandengkan. Konsekuensinya, Persamaan (8.2) boleh dinyatakan

kembali sebagai:

[Interaksi] [Tanggapan] = [Rangsanganj

Sekarang, seperti telah kita ketahui dari bab ini, terdapat pelbagai cara

untuk menyelesaikan Persamaan (8.2). Tetapi dengan menggunakan

matriks inversi akan mengandung hasil tertentu yang menarik. Solusi

formal [Persamaan (8.1)] dapat dinyatakan sebagai:


10/25

81

= ;atau (ingat definisi kita tentang perkalian matriks dalam Kotak III.2):

= ; + ; + ; = ; + ; + ; = ; + ; + ;

Jadi, kita menemukan bahwa matriks yang diinversikan itu sendiri,

selain memberikan sebuah solusi, memiliki perilaku yang sangat

berguna. Artinya, setiap elemennya menyatakan tanggapan sebuah

bagian tunggal dari sistem terhadap sebuah satuan rangsangan darisembarang bagian sistem.

Perhatikan bahwa formulasi ini adalah linear dan karenanya, superposisi

dan proporsionalitas dipegang. Superposisi berarti jika sebuah sistem

dikenai oleh beberapa rangsangan yang berbeda (harga-harga c),

tanggapan dapat dihitung secara individu dan hasilnya dijumlahkan

untuk memperoleh suatu tanggapan total. Proporsionalitas

(kesebandingan) berarti bahwa perkalian rangsangan dengan suatu hasilbesaran menghasilkan jawaban terhadap rangsangan yang sedang

dikalikan oleh besaran yang sama. Jadi, koefisien ; adalah suatukonstanta kesebandingan yang memberikan harga dikarenakan satusatuan tingkat . Hasil ini tidak bergantung kepada efek dan terhadap , yang masing-masing ditimbulkan oleh koefisien ; dan;. Karenanya, kita dapat menarik kesimpulan bahwa elemen ;darimatriks inversi menyatakan harga dan

disebabkan satu satuan besaran

dari . Dengan menggunakan contoh struktur, elemen ; dari matriksinversi menyatakan gaya pada anggota i disebabkan satu satuan gayaluar pada simpul j. Bahkan untuk sistem-sistem yang kecil, perilaku

interaksi dari rangsangan-tanggapan tentunya tidak akan terjadi secara

intuitif. Dengan demikian, matriks inversi memberikan suatu teknik

yang berdayaguna untuk mengartikan hubungan bagian-bagian

komponen dari sistem yang rumit. Kemampuan ini akan ditunjukkan

pada Studi Kasus 9.3.


11/25

82

4.2.2 Enversi dan Kondisi Timpang (Dur-Kondisi)

Di samping pemakaiannya dalam teknik, inversi juga memberikan suatu

cara untuk melihat apakah sistem adalah kondisi-timpang. Tiga cara

kisedia untuk keperluan ini:

1. Skalakan matriks koefisien, [A], sedemikian agar elemenyang terbesar pada setiap kolom adalah 1. Jika terdapat

elemen dari ;yang beberapa orde lebih besar darielemen-elemen matriks semuIa, kelihatannya sistem adalah

kondisi-timpang.

2. Kalikan inversi dengan matriks koefisien semula dan periksaapakah hasilnya mendekati matriks satuan. Jika tidak, iamenunjukkan kondisi-timpang.

3. Inversikan matriks inversi dan periksa apakah hasilnya cukupmen

1. dekati matriks koefisien semula. Jika tidak, ia kembalimenunjukkan bahwa sistem adalah kondisi-timpang.

4.2.3 Algonitma Komputer untuk Matriks Inversi

AIgoritrna komputer dari Gambar 8.2 dapat dimodifikasikan untuk

menghitung matriks inversi. Ini meliputi perluasan matriks koefisien

dengan sebuah matriks satuan pada awal pemrograman. Ditambahkan,

beberapa dan indeks loop harus dilipatduakan supaya komputasi

dilakukan untuk semua kolom dari matriks koefisien yang diperluas.

Jika pivoting parsial diikut sertakan ke dalam algoritma Gauss-Jordan,

diperlukan modifikasi yang lebih banyak. Ini disebabkan oleh kenyataan

bahwa setiap kali sebuah baris dari matriks koefisien dipivotkan, kolomdari matriks inversi harus digeser dengan cara yang serupa.

Gambar 8.4 menggambarkan fenomena ini. Misalnya, kalau baris ketiga

di-pivot-kan atau digeser di antara baris 1 dan 2, arti atau

interpretasi mengenai kolom 2 dari matriks yang diinversikan

berubah. Ketimbang menunjukkan pengaruh dari satu satuan peubahan terhadap setiap harga x, ia akan menunjukkan pengaruh dari satusatuan perubahan

terhadap setiap harga x.


12/25

83

Tambahan terhadap ciri di atas, program komputer harus didesain guna

mencari solusi untuk sembarang jumlah vektor di ruas kanan, seperti

telah dibicarakan pada awal Pasal 8.2. Ini dengan mudah dapat

dilakukan dengan sebuah loop yang ditempatkan setelah komputasimatriks invensi. Loop ini segera memberitahu pemakai untuk sebuah

vektor di ruas kanan yang kemudian dapat dikalikan dengan ;untukmendapatkan solusi. Proses tersebut dapat di!anjutkan sampai pemakai

menanggapi bahwa solusi sudah tidak diperlukan lebih lama lagi.

GAMBAR 4.4 Penjelasan grafik tentang bagaimana menggerakkan

sebuah baris dan matriks koefisien (yaitu pivoting parsial)

mempunyai dampak pada interpretasi mengenai elemen-elemen

matriks inversi yang dihasilkan.

4.3 METODE GAUSS-SEIDEL

Metode eliminasi eksak yang telah dibahas sebelumnya dapat digunakan

untuk menyelesaikan kira-kira 25 sampai 50 persamaan linear simu!tan.

Jumlah ini seringkali dapat diperluas dan jika sistem berkondisi baik,

strategi pivot dilakukan, persamaan kesalahan digunakan, atau matriks

adalah sparsi. Tetapi karena kesalahan pembulatan, metode eliminasi

seringkali membuktikan kurang pantas untuk sistem-sistem yang besar.

Untuk jenis masalah ini, metode iteratif atau aproksimasi sering

menguntungkan untuk dipergunakan.

Kita telah mempergunakan jenis teknik yang serupa untuk mendapatkan

akar dari sebuah persamaan tunggal dalam Bab 5. Pendekatan itu terdiri

dari penebakan suatu harga kemudian menggunakan sebuah metode


13/25

84

sistematis untuk mendapatkan suatu taksiran akar yang diperhalus.

Karena bagian buku ini menangani suatu masalah yang serupa

mendapatkan harga-harga secara simultan yang memenuhi sekumpulan

persamaan kita dapat menduga bahwa metode aproksimasi demikianakan berguna dalam konteks ini.

Alasan bahwa metode iteratif berguna untuk kemudahan sistem

pembulatan adalah bahwa suatu metode aproksimasi dapat diteruskan

sampai ia konvergen dalam toleransi kesalahan praspesifikasi. Jadi,

pembulatan merupakan hal yang tidak lebih lama, karena anda

mengontrol tingkat kesalahan yang dapat diterima.

Metode Gauss-Seidel adalah metode yang paling sering memakai caraiteratif. Anggaplah bahwa kita diberi sekumpulan n persamaan:

= Jika semua elemen diagonal tidak nol, persamaan pertama dapat

diselesaikan untuk x, persamaan kedua untuk , dan seterusnyamenurut:

= ;;; ; (8.3a) = ;;; ; (8.3b) = ;;; ;

(4.3c)

=;;; ;,

(4.3d)

Sekarang kita dapat memulai proses solusi dengan menggunakan

tebakan untuk setiap harga x. Cara yang mudah untuk mendapatkan

tebakan-tebakan awal ialah dengan menganggap bahwa harga semuanya

adalah nol. Harga-harga nol ini dapat dimasukkan ke dalam Persamaan

(4.3a) agar dapat dipergunakan untuk menghitung harga baru =/

. Kemudian kita memasukkan harga baru

ini bersama-sama

dengan tebakan-tebakan nol sebelumnya bagi , ..., , ke dalam


14/25

85

Persamaan (4.3b) untuk menghitung suatu harga baru bagi . Prosestersebut diulangi untuk setiap persamaan, sehingga kita memakai

Persamaan (4.3d) untuk menghitung taksiran baru untuk

. Lalu kita

kembali pada persamaan pertama dan mengulangi prosedur keseluruhansampai solusi kita konvergen dan cukup dekat dengan harga yang

sebenarnya. Konvergensi itu dapat dicek dengan menggunakan kriteria

[ingat Persamaan (3.5)]:

, = ; 1 0 0 % < (8.4)

untuk semua i, di mana j dan j 1 adalah iterasi-iterasi sekarang dansebelumnya.

Solusi: Pertama, selesaikan tiap persamaan untuk yang tidak

diketahui pada diagonal :

= , : ,: , [C8.3.l]

3 0,1 0,2 = 7,850,1 + 7 0,3 =19,30,3 0,2 + 1 = 71,4

CONTOH

Metode Gauss-Seidel

Pernyataan Masalah: Gunakan metode Gauss-Seidel untuk

mendapatkan solusi dan sistem yang sama dengan Contoh 7.5 dan

8.1:

Ingatlah bahwa solusi yang sebenarnya adalah = 3, = 2,5dan

= 7


15/25

86

= ;, ; ,: , [C8.3.2]

= , ; ,: , [C4.3.3]Dengan menganggap bahwa dan adalah nol, Persamaan(C4.3.1)

dapat dipakai untuk menghitung:

= 7,853 =2,616666667Harga ini, bersama dengan harga anggapan dari = 0, dapatdimasukkan ke dalam Persamaan (C8.3.2) untuk menghitung:

= 19,3 0, 12,616666667 + 07 =2,794523810

Iterasi pertama diselesaikan dengan memasukkan harga-harga yang

dikalkulasikan untuk dan ke dalam Persamaan (C8.3.3) agarmemenuhi: = 71,4 0, 32,616666667 + 0,2 2,79452381010=7,005609524

untuk iterasi kedua, proses yang sama diulangi untuk menghitung:

= 7,85 + 0,12,794523810 + 0,27,0056095243 =2,990556508 || =0,31%

= 19,3 0,12,990556508 + 0,37,0056095247 =2,499624684 || =0,015%


16/25

87

= 71,4 0, 32,990556508 + 0,2 2,499624684

10

=7,00029081 || =0,0042%Karenanya, metode adalah konvergen pada solusi yang sebenarnya.

Iterasi tambahan dapat diterapkan untuk memperbaiki jawaban. Tetapi,

dalam masalah sebenarnya, kita sebelumnya tidak akan mengetahui

jawaban yang sesungguhnya. Konsekuensinya, Persamaan (8.4)

memberikan suatu cara untuk menaksir kesalahan:

, = 2,990556508 2,6166666672,990556508 100%=12,5%, = 2,499624684 2,7945238102,499624684 100%= 11,8%, = 7,000290811 7,005609524

7,000290811 100% = 0,076%

Perhatikan, seperti halnya ketika menentukan akar-akar dari sebuah

persamaan tunggal, formulasi sebagai Persamaan (4.4) biasanya

memberikan suatu harapan konservatif dan konvergensi. Jadi, bila

ditemukan, ia meyakinkan bahwa hasil tersebut diketahui sekurang-

kurangnya dalam batas toleransi yang dispesifikasikan oleh .Perhatikan bahwa untuk metode Gauss-Seidel, jika setiap harga x yang

baru dihitung, ia segera dipakai untuk persamaan berikutnya guna

menentukan harga x yang lainnya. Jadi, kalau solusinya konvergen,taksiran tersedia yang terbaik akan dikerjakan. Sebuah pendekatan

alternatif, dinamakan iterasi Jacobi, memanfaatkan beberapa taktik yang

berbeda. Ketimbang menggunakan setiap harga x terakhir yang tersedia,

teknik ini menggunakan Persamaan (4.3) untuk menghitung sekumpulan

tiap harga x yang baru berdasarkan sekumpulan harga x yang lama. Jadi,

jika harga yang baru dihasilkan, ia tidak segera dipakai, tetapi agak

ditahan untuk iterasi berikutnya.


17/25

88

Perbedaan antara metode Gauss-Seidel dan iterasi Jacobi dijelaskan

dalam Gambar 4.5. Walaupun terdapat sejumlah kasus dimana metode

Jacobi konvergen lebih cepat, pemanfaatan dari taksiran yang terbaik

biasanya membuat metode Gauss-Seidel disukai.

GAMBAR 4.5 Penjelasan grafik dan perbedaan antara metode (a)

Gauss-Seidel dan (b) metode iterasi Jacobi untuk menyelesaikan

persamaan aijabar linear sitmultan.

4.3.1 Kriteria Konvergensi untuk Metode Gauss-Seidel

Catat bahwa metode Gauss-Seidel mempunyai maksud yang serupa

dengan teknik iterasi satu titik sederhana yang dipakai dalam Pasal 5.1

untuk menyelesaikan akar-akar suatu persamaan tunggal. Ingatlah

bahwa iterasi satu titik sederhana memiliki dua masalah yang mendasar:

(1) ia seringkali tidak konvergen, dan (2) kalaupun konvergen, sering

melakukannya secara perlahan. Metode Gauss-Seidel dapat juga

memperlihatkan kelemahan-kelemahan ini.

Suatu kondisi untuk konvergensi adalah bahwa koefisien diagonal pada

setiap persamaan lebih besar daripada jumlah koefisien lainnya dalam

persamaan. Suatu pernyataan kuantitatif dari kriteria ini adalah:


18/25

89

, > , [4.5]dimana sumasinya diambil dari j = 1 sampai n, tidak termasuk j = i.

Persamaan (4.5) adalah suatu kriteria yang memadai, tetapi tidak perlusuatu kriteria konvergensi. Artinya, walaupun metode tersebut kadang-

kadang bisa bekerja jika Persamaan (4.5) tidak dipenuhi, konvergensi

dijamin kalau kondisi tersebut dipenuhi. Sistem di mana Persamaan

(4.5) dipegang, disebut dominan secara diagonal. Untunglah, banyak

masalah praktis teknik yang memenuhi persyaratan.

8.3.2 Perhaikan Konvergensi Menggunakan Relaksasi

Relaksasi memperlihatkan sedikit modifikasi pada metode Gauss-Seideldan didesain guna memperbaiki konvergensi. Setelah setiap harga yang

haru dari x dicari dengan menggunakan Persamaan (8.3), harga tersebut

diubah oleh suatu rata-rata yang diboboti dari hasil sebelumnya dan

iterasi yang sekarang:

= + 1 [4.6]dimana

adalah suatu faktor bobot yang diberi harga antara 0 dan 2.

Jika = 1, 1 adalah nol dan hasil itu tidak dimodifikasikan.Tetapi jika diberi harga antara 0 dan 1, hasil tersebut adalah suatu rata-rata yang diboboti dan hasil yang sekarang dan yang terdahulu. Jenis

modifikasi ini disebut under-relaksasi.Pilihan jenis ini dilakukan untuk

membuat konvergensi suatu sistem yang tidak konvergen.

Untuk harga-harga dari 1 sampai 2, bobot ekstra ditempatkan padaharga yang sekarang. Dalam hal ini, terdapat suatu anggapan implisit

bahwa harga baru bergerak ke arah yang betul menuju solusi yang

sesungguhnya, tetapi pada kelajuan yang terlalu perlahan. Jadi, bobot

yang ditambahkan pada diharapkan guna memperbaiki estimasidengan mendorongnya Iebih dekat pada yang sebenarnya. Jadi, jenis

modifikasi yang demikian, dinamakan over-relaksasi, didesain untuk

mempercepat konvergensi dari suatu sistem yang telah konvergen.

Pemilihan dan suatu harga yang baik untuk

merupakan masalah

spesifik yang tinggi dan seringkali ditentukan melalui uji-coba (trial and


19/25

90

error). Untuk suatu solusi tunggal dari sekumpulan pertama, ia

seringkali tidak diperlukan. Tetapi jika sistem yang tengah dipelajari

akan diselesaikan secara berulangkali, efisiensi yang diperkenalkan oleh

suatu pemilihan yang bijaksana dari sangat penting sekali. Contoh-contoh yang baik adalah sistem yang sangat besar dari persamaandiferensial parsial yang sering muncul waktu memodelkan variasi

variabel yang kontinu (ingatlah sistem berskala mikro yang dijelaskan

pada Gambar (III.1b). Studi kasus kedua dalam Bab 9 memberikan suatu

contoh mengenai perlakuan relaksasi dalam suatu konteks masalah

teknik.

4.3.3 Algoritma Komputer untuk Metode Gauss-Seidel

Suatu algoritma komputer untuk metode Gauss-Seidel, dengan relaksasi,

diperlihatkan pada Gambar 8.6. Catatlah, algoritma ini tidak dijamin

akan mengandung suatu hasil yang layak jika persamaan tidak

dimasukkan ke dalam suatu bentuk yang dominan secara diagonal.

Suatu cara untuk memodifikasikan algoritma tersebut supaya

memperhitungkan sebagian dari kelemahan ini adalah dengan cara

mencari koefisien-koefisien setiap persamaan selama iterasi agarmenandai koefisien yang terbesar. Persamaan yang ditanyakan lalu dapat

diselesaikan untuk harga-harga x yang bersesuaian dengan koefisien ini.

Untuk komputasi yang berikutnya, koefisien-koefisien dari harga x

sisanya akan dicari untuk menandai koefisien yang terbesar. Persamaan

tersebut akan dapat diselesaikan untuk harga x yang sesuai.

Dengan mengikuti bentuk ini, kita sekurang-kurangnya akan

memaksimalkan kesempatan kita memperoleh dominansi diagonal.

Tetapi rencana tersebut tidak akan menjadikan trivial terhadap program.


20/25

91

Gambar. 4.6 Diagram alir untuk metode Gauss-Seidel

8.3.4 Konteks Masalah untuk Metode Gauss-Seidel

Di samping mengatasi dilema pembulatan, teknik Gauss-Seidel memiliki

sejumlah keuntungan lain yang terutama membuatnya menarik dalam

konteks masalah teknik tertentu. Misalnya, kalau matriks yang

ditanyakan sangat besar dan sangat sparsi atau jarang (artinya:

kebanyakan elemen-elemennya adalah nol), metode eliminasi

menghabiskan sejumlah besar memori komputer yang mengandung nol.

Dalam Kotak 7.2, kita melihat bagaimana kelemahan ini dapat diatasi,

jika koefisien matriks tersebut berpita (banded). Untuk sistem yang tidak

berpita tidak terdapat cara yang sederhana guna mencegah kebutuhan

memori yang besar jika menggunakan metode eliminasi. Karena setiap

komputer memiliki sejumlah memori yang terhingga, ketidakefisienan


21/25

92

ini dapat menempatkan suatu kendala yang riil pada ukuran sistem,

dimana untuk metode eliminasi adalah praktis.

Meskipun suatu algoritma yang umum semacam algoritma yang terdapat

pada Gambar 8.6 cenderung pada kendala yang serupa, struktur

persamaan Gauss-Seidel [Persamaan (8.3)] memberi suatu program yang

jelas untuk dikembangkan bagi sistem tertentu. Karena banyak koefisien

yang tidak nol dibutuhkan dan dimasukkan ke dalam Persamaan (8.3),

penghematan memori komputer yang sangat besar memang

memungkinkan. Walaupun keperluan ini diutamakan sekali dalam

investasi pengembangan piranti lunak, keuntungan jangka panjang

adalah mutlak jika berhadapan dengan sistem yang besar, dimana

banyak simulasi yang dilakukan. Kedua sistem variabel makro dan

variabel mikro dapat menghasilkan matriks yang besar dan sparsi,

dimana untuk metode Gauss-Seidel memang menarik. Dalam Studi

Kasus 9.2, kita sedikit akan lebih memperluas hal-hal ini.

C.PENUTUP

Rangkuman

Metode Gauss-Jordan adalah suatu variasi dari eliminasi Gauss.

Perbedaan utama adalah bilamana sebuah yang tidak diketahui

dieliminasikan dalam metode Gauss-Jordan, ia dieliminasikan dari setiap

persamaan lainnya ketimbang hanya dari persamaan berikutnya. Jadi,

Iangkah eliminasi dihasilkan dalam sebuah matriks kesatuan ketimbang

sebuah matriks triangular (Gambar 8.1). Konsekuensinya, tidak perlu

melakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan solusi.

Matriks inversi : Telah diperkenalkan catatan bahwa jika sebuah

matriks [A] adalah bujur sangkar, terdapat matriks Iainnya ;, yangdisebut matriks inversi dari [A], untuk [Persamaan (III.3)]:

; = ; = Juga telah ditunjukkan bagaimana inversi dapat digunakan untuk

menyelesaikan sekumpulan persamaan simultan


22/25

93

Algoritrna komputer dari Gambar 4.2 dapat dimodifikasikan untuk

menghitung matriks inversi. Ini meliputi perluasan matriks koefisien

dengan sebuah matriks satuan pada awal pemrograman. Ditambahkan,

beberapa dan indeks loop harus dilipatduakan supaya komputasidilakukan untuk semua kolom dari matriks koefisien yang diperluas.

Metode Gauss-Seidel. Metode eliminasi eksak yang telah dibahas

sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan kira-kira 25 sampai

50 persamaan linear simu!tan. Jumlah ini seringkali dapat diperluas dan

jika sistem berkondisi baik, strategi pivot dilakukan, persamaan

kesalahan digunakan, atau matriks adalah sparsi. Tetapi karena

kesalahan pembulatan, metode eliminasi seringkali membuktikan kurang

pantas untuk sistem-sistem yang besar. Untuk jenis masalah ini, metode

iteratif atau aproksimasi sering menguntungkan untuk dipergunakan.

Evaluasi

Kalkulasi Tangan

4.1 Gunakan metode Gauss-Jordan untuk menyelesaikan Soal 7.6.

4.2 Tentukan matriks inversi untuk Soal 7.6. Periksa hasil-hasil anda

dengan mengalikan [A] dengan; agar memberikan matriksidentitas.

4.3 Gunakan metode Gauss-Jordan, dan ulangi Soal 7.9.

SOAL-SOAL

4.4 Tentukan matriks inversi untuk Soal 7.9. Periksa hasil-hasil anda

dengan mengubah ; =1 Jangan menggunakan strategipivoting.

4.5 Gunakan metode Gauss-Jordan dengan pivoting parsial, hitunglah

matriks inversi untuk Soal 7.10. Atur kembali, inversikan sedemikian

sehingga baris dan kolom memastikan urutan dari matriks semula


23/25

94

sebelum dipivot-kan (lihat Gambar 8.4 dan pembahasan pada Pasal

4.2.3).

4.6 Gunakan metode Gauss Jordan untuk menyelesaikan

10 3 + 6 = 24,51 + 8 2 = 92 + 4 9 =50

4.7 Tentukan matriks inversi untuk Soal 8.6. Gunakan inversi untuk

menyelesaikan masalah semula maupun untuk menyelesaikan kasus

tambahan dimana vektor sisi ruas kanan adalah =110 55 105.4.8 Selesaikan Soal 8.6 dengan menggunakan metode Gauss-Seidel,

dengan suatu kriteria berhenti =10%4.9 Selesaikan Soal 7.8 dengan menggunakan metode Gauss - Seidel

dengan suatu kriteria berhenti =10%4.10 Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menyelesaikan =0,90 = 5% + 7 3 =51

4 4 + 9 = 6112 3 = 8

4.11 Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menyelesaikan

=0,90 = 5% 6 + = 604 = 2

6 8 = 444.12 Diberikan sekumpulan persamaan yang berikut:


24/25

95

4 2 = 39 6 + 2 =28 3 +12 =86

Selesaikan dengan menggunakan (a) eliminasi Gauss, (b) metode

Gauss-Jordan, dan (c) metode Gauss-Seidel = 5%4.13 Diberikan sekumpulan persamaan berikut:

3 +12 = 105 12 + 2 =33 14 =103

Selesaikan dengan menggunakan (a) eliminasi Gauss, (b) metode

Gauss-Jordan, dan (c) metode Gauss-Seidel = 5%Soal-soal yang Berhubungan dengan Komputer

4.14 Kembangkan suatu program akrab-pemakai untuk metode Gauss-

Jordan, berdasarkan Gambar 4.2. Sertakan suatu rencana serupa

dengan yang dilukiskan pada Gambar 7.10, sehingga pivoting

parsial digunakan.

4.15 Uji program yang dikembangkan dalam Soal 4.14 dengan cara

mengulangi komputasi dari Contoh 4.1.

4.16 Ulangi Soal 7.6 dan 7.8 sampai 7.11, dengan menggunakan piranti

luoak yang dibuat dalam Soal 4.14.

4.17 Kembangkan sebuah program akrab-pemakai untuk metode Gauss-

Jordan dengan matriks inversi dan pivoting parsial. Masukkan segi-

segi yang disarankan dalam Pasal 4.2.3 ke dalam program anda.

4.18 Ulangi Soal 4.5 dan 4.7 dengan menggunakan piranti lunak yang

telah dibuat pada Soal 4.17.

4.19 Kembangkan sebuah program komputer yang akrab-pemakai untuk

metode Gauss-Seidel berdasarkan Gambar 4.6 . Jalankan program


25/25

96

itu Untuk mengecek kriteria konvergensi yang dinyatakan oleh

Persamaan (8.5), Tambahan piila, masukkan relaksasi seperti pada

Persamaan (8,6).

4.20 Uji program yang telah dibuat pada Soal 8419 dengan

menggunakannya untuk mengulangi Contoh 4.3.

4.21 Gunakan piranti lunak yang dibuat dalam Soal 8.19, dan ulangi

Soal 4.8 sampai 4.11.

Literatur

Alan R. Pascal , 1992. Program for sciences and engineers.Sybex Inc.

Burden and Faires, 1989. Numerical analysis, PWS-KENT Publishing

Company

Marry.L Boas,1996. Mathematical Methods in the physical sciences.Jhon

Wiley and Sons

R.Soegeng. 2002. Dasar-dasar Visualisasi 2D menggunakan Pascal turbo

dan delphi. Salemba Teknika

Steven.C and Raymond.P. 1991. Numerical methods for engineers.Mc Graw-Hill Book Company.

Suarga,M. 2007. Fisika komputasi Solusi Problema Fisika dengan

MatlaB.Andi Jogyakarta

Steven.K. 1986. Computational Physics, Addison Wesley publishing

Company,Inc.

bab iv matriks

Documents