MatriksWeek 05

W. Rofianto, ST, MSi

Bentuk Umum

A =

n

n

aaa

aaa

...

...

22221

11211

Matrix is a rectangular array of elements [Budnick]

MATRIKS

A =

mnmm aaa ...

............

21

m x n

� Vektor

� Matriks Bujur Sangkar (Square Matrix)

� Matriks Identitas (Identity Matrix)

� Matriks Transpose

Matriks Khusus

KAIDAH OPERASI MATRIKS

Penjumlahan/Pengurangan

Syarat : dimensinya sama

cij = aij ± bij

Contoh :

−=

24

31A

−=

40

23B

−+

−=+

40

23

24

31BA

−=

+−+

+−+=

24

52

4204

23)3(1

KAIDAH OPERASI MATRIKS

Perkalian Matriks Dengan Skalar

bij = λ aij

Contoh :

− 532

−

−=

428

532A 3=λ

×−××

×−××=

−

−=

43)2(383

53)3(323

428

5323Aλ

−

−=

12624

1596

Perkalian Antarmatrik

A . B = C

(mA x nA) (mB x nB) (mA x nB)

KAIDAH OPERASI MATRIKS

nA=mB

Contoh :

A . B = C

(2 x 2) (2 x 1) (2 x 1)

=

13

42A

−=

2

4B

−=

+−

+−=•

10

0

)2(1)4(3

)2(4)4(2BA

nA=mB

=

LATIHAN

A = B = C = D =

1. AD = ?

2. ADT + 2BC = ?

− 403

035

402

−−

224

152

431

02

31

20

013

201

DETERMINAN

Determinan adalah sebuah nilai hasil kombinasi elemen-elemen matrikbujur sangkar.

Determinan A ditulis sebagai

=

2221

1211

aa

aaA

2221

1211

aa

aaA =

Determinan Matriks (1 X 1)

Jika A = (5), maka |A| = 5

Jika A = (-10), maka |A| = -10

DETERMINAN

Determinan Matriks (2 X 2)

Jika A = , maka |A| = a11a22 – a21a12

Contoh :

2221

1211

aa

aa

S

A =

Maka :

|A| = P - S

= (1)(4) – (3)(-2)

= 4 + 6 = 10

−

43

21

P

S

DETERMINAN

Determinan Matriks (3 X 3)

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

S1 S2 S3

|A| = P1 + P2 + P3 - S1 - S2 - S3

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

P1 P2 P3

MINOR, KOFAKTOR & ADJOINT

|A| = MINOR Mij adalah |A| yang ditutup baris ke-idan kolom ke-j nya

M11 = = a22a33 – a32a23 , M22 = = a11a33 – a31a13

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

232221

131211

aaa

aaa

232221

131211

aaa

aaa

aaa

a’ij adalah KOFAKTOR dari aij ���� a’ij= (-1)i+j(Mij)

a’11 = (-1)1+1(M11) = M11

ADJOINT merupakan tranpose dari Matrik Kofaktor

adj. A = [ a’ij]t

333231 aaa 333231 aaa

INVERS

Matriks Inverse adalah suatu matriks yang apabila dikalikan denganMatriks aslinya menghasilkan Matriks Identitas.

Hal-hal penting berkenaan dengan invers :

1. Agar memiliki invers, suatu matriks harus berbentuk bujur sangkar

2. Invers memiliki dimensi yang sama dengan matriks aslinya

3. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers3. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers

A A-1 = A-1 A = I

Matriks Invers dapat dicari dengan :

A-1 = , dengan demikian A-1 ada jika |A| ≠ 0 AadjA

.||

1

EKSPANSI LAPLACE

|A| = Jumlah perkalian elemen dengan kofaktornya pada salah

satu baris atau kolom yang dipilih

Contoh :

|A| =

987

654

321

M11 = = -3 � a’11 = (-1)2(-3) = -3

M12 = = -6 � a’12 = (-1)3(-6) = 6

M13 = = -3 � a’13 = (-1)4(-3) = -3

|A| = a11a’11 + a12a’12 + a13a’13 = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = 0

98

65

97

64

87

54

LATIHAN

Hitunglah determinan berikut :

|A| =

3012

0242

0020

5031

3012

ATURAN CRAMER

i = 1, 2, ……… , n

Contoh :

x1 + x2 – x3 = 6

3x1 - 4x2 + 2x3 = -2 �

2x1 + 5x2 + x3 = 0

A

xx

i

i =

−=

−

−

0

2

6

152

243

111

3

2

1

x

x

x

A · X = C

2x1 + 5x2 + x3 = 0

Maka :

|A| = , |x1| = , |x2| = , |x3| =

|A| = -36 |x1| = -72 |x2| = 0 |x3| = 144

152

243

111

−

−

150

242

116

−−

−

102

223

161

−

−

052

243

611

−−

236

721

1 =−

−==

A

xx 0

36

02

2 =−

−==

A

xx 4

36

1443

3 −=−

==A

xx

3