• Persamaan linear adalah persamaan dimanapeubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinyasendiri.sendiri.

• Secara umum persamaan linear untuk n peubahx1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.

1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + =

Persamaan Linear

• x + 2y = 5000

• 3x + y = 10000

• 2x - 3y + 5z = 30

Bukan Persamaan Linear

• x2 – 2y = 3

• sinx + 2 cos y = 0

• 3e2x – sin (x+y) = 10• 2x - 3y + 5z = 30

• x1 + x2 + x3 + x4 = 0

• 3e2x – sin (x+y) = 10

• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan

linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem

persamaan liniear

• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m

persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui

dapat dituliskan dalam bentuk:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

M M M M

• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam

bentuk :

11 11 1

11 11 2

n

n

a a a

a a a

L

L

M M O M

1

2

b

b

= M

1

2

x

x

M

• atau

AX = B

dimana: A dinamakan matriks koefisien

X dinamakan matriks peubah

B dinamakan matriks konstanta

1 1m m mna a a

M M O M

Lm

b

=

M

nx

M

• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam

bentuk matriks yang diperbesar (augmented

matrix) sebagai berikut:

11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b+ + + = 11 12 1 1... na a a b

• Contoh

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

+ + + =

M M M M

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

M M M M

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + =

− + =

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

− − −

• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah

himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan

pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai

kebenaran SPL tersebut.

• Contoh:

x – 2y = 7

2x + 3y = 7

{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut

• Kemungkinan solusi dari sebuah sistempersamaan linear (SPL) adalah:

– SPL mempunyai solusi tunggal

– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak

– SPL tidak mempunyai solusi

y = x

y = 2x - 2(2, 2) merupakan titik potong dua garis

tersebut

Tidak titik potong yang lain selain titik

tersebut

y

2

Artinya : SPL 2x – y = 2

x – y = 0

Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

tersebut

(2, 2)x

1 2

2

Perhatikan SPL

x – y = 0

2x – 2y = 0

Jika digambar dalam kartesius x – y = 0

2x – 2y = 0y

� Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit

� Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut

� Artinya:

SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

x

Perhatikan SPL

x – y = 0

2x – 2y = 2

Jika digambar dalam kartesius

yy = x y = x – 1

� Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar

� Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu

� Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

x1

• Eliminasi Gauss merupakan prosedur

sistematik yang digunakan untuk

memecahkan sistem persamaan linear.

• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk

mereduksi matriks yang diperbesar

(augmented marrix) menjadi bentuk yang

sederhana

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya

dari nol, maka bilangan taknol

pertama dalam baris tersebut

adalah 1. (kita namakan ini 1

utama)

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

− −

utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya

terdiri dari nol, maka kelompokkan

baris seperti ini di bawah matriks.

1 1 2 9

2 4 3 1

0 0 0 0

−

3. Dalam sembarang dua baris yang

berurutan yang seluruhnya tidak

terdiri dari nol, maka 1 utama dalam

baris yang lebih rendah terdapat

lebih jauh ke kanan dari satu utama

1 1 2 9

2 1 3 1

3 6 5 0

− −

lebih jauh ke kanan dari satu utama

dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang

mengandung satu utama

mempunyai nol di bawah satu

utamanya.

1 4 3 7

0 1 6 2

0 0 1 5

5. Masing-masing kolom yang

mengandung satu utama mempunyai

nol di atas satu utamanya

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4

dikatakan berada dalam bentuk eselon baris

(Eliminasi Gauss).

• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka

dikatakan berada dalam bentuk eselon baris

tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)

• Pecahkanlah sistem persamaan linear

berikut dengan menggunakan eliminasi

Gaus-Jordan

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + =

− + =

1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 37

− + − +b b b b

1 2

2

1 3

1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8

1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93

3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14

+ − − − − − − − +

− − − − − − −

b bb

b b

2 1 3 1

3

2 3 3 2

1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371

0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 110 552

0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2

− + − + − − − − − + +

− −

b b b bb

b b b b

Jadi solusi dari SPL x = 3

y = 1

z = 2

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + =

− + =

Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1

x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3

2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 12x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1

3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1

-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1

x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1

Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

n

n

aaa

aaa

MOMM

L

L

21111

11111

x

x

M

2

1

=b

b

M

2

1

Jika determinan A tidak sama dengan nol

maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah

ke-i, xi)

nnnn aaa L11

nx

nb

• Hitung determinan A (|A|)

• Tentukan Ai � matriks A dimana kolom ke-i

diganti oleh Matriks B.

Contoh : a b aContoh :

• Hitung |Ai|

• Solusi SPL untuk peubah xi adalah

1 12 1

2 21 21

2

n

n

n n nn

b a a

b a aA

b a a

=

L

L

M M O M

L

11 1 1

11 2 22

1

n

n

n n nn

a b a

a b aA

a b a

=

L

L

M M O M

L

det( )

det( )i

i

Ax

A=

• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut

dengan menggunakan aturan cramer

2 8

2 3 1

x y z

x y z

+ + =

− − + =

• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

− − + =

− + =

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

x

y

z

− − = −

• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)

8

1

10

B

=

1 1 2

1 2 3

3 7 4

= − − −

A

x

X y

z

=

• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)

2 3 1 3 1 21 1 27 4 3 4 3 7

1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)

13 13 26 52

− − − −= − +

− −

= − + − − − + +

= + + =

A

1

8 1 2

1 2 3

10 7 4

= − −

A 1

2 3 1 3 1 28 1 27 4 10 4 10 7

8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)

8(13) 26 26 156

− −= − +

− −

= − + − − + − +

= + + =

A

2

1 8 2

1 1 3

= − A

2

1 3 1 3 1 11 8 210 4 3 4 3 10

− −= − +A

2 1 1 3

3 10 4

= −

A 1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)

26) 104 26 52

= − − − − + − −

= − + − =

3

2 1 1 1 1 21 1 87 10 3 10 3 7

1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)

13 13 104 104

− − − −= − +

− −

= − + − − − + +

= − + + =

A

3

1 1 8

1 2 1

3 7 10

= − − −

A

= = =

= = =

1

2

det( ) 1563

det( ) 52

det( ) 521

det( ) 52

Ax

A

Ay

A

Solusi dari SPL

x = 3

y = 1

2 8

2 3 1

x y z

x y z

+ + =

− − + =

= = =3

det( ) 52

det( ) 1042

det( ) 52

A

Az

A

z = 23 7 4 10x y z− + =

Bentuk umum:11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

+ + + =

+ + + =

+ + + =

L

L

M M M M

L

• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,

� selalu mempunyai solusi.

• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah

• Jika tidak demikian,

SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.

(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)

1 1 2 2 0m m mn n

a x a x a x+ + + =L

Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!

1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1

x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3

2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 12x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1

3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1

-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1

x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1