FA KU LTA S M AT E M AT I K A DA N I L M U P E N G E TA H UA N A L A MU N I V E R S I TA S C E N D E R AWA S I H

JAYA P U R A2 0 1 4

PROPOSAL SKRIPSI

OLEHRUTH DIAN FITRIO

010 054 0040

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN DENGAN METODE

KOEFISIEN TAK TENTU

BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG1.2 RUMUSAN MASALAH1.3 BATASAN MASALAH1.4 TUJUAN PENELITIAN1.5 MANFAAT PENELITIAN1.6 METODE PENELITIAN1.7 SISTEMATIKA PENULISAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan diferensial dengan bentuk

dengan seluruh koefisien adalah konstanta, dan merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak homogen.

Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang memuat 2 atau lebih persamaan diferensial tak homogen.

Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat dicari dengan menggunakan suatu metode tertentu.

Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak tentu.

( ) ( 1)0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n

na t y a t y a t y g t

0 1, , ..., na a a ( ) 0g t

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, sistem yang dibahas hanya terdiri dari maksimal tiga persamaan diferensial linear tak homogen orde satu dengan koefisien konstan.

1.4 Tujuan Penelitian

Untuk mengetahui langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

1.5 Manfaat Penelitian

Menambah wawasan tentang sistem persamaan diferensial dan mengetahui cara mencari solusinya.

1.6 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kajian pustaka yaitu dengan mempelajari beberapa referensi yang memuat materi yang berkaitan dengan masalah yang akan dibahas.

1.7 Sistematika Penulisan

BAB I : Pendahuluan. Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : Landasan Teori. Bab ini berisi kajian mengenai materi-materi dasar yang terkait dengan masalah yang akan dibahas.

BAB III : Pembahasan. Bab ini berisi pembahasan tentang solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

BAB IV : Penutup. Bab ini berisi kesimpulan atas hasil yang telah didapatkan.

DAFTAR PUSTAKA

BAB IILANDASAN TEORI

2.1 Fungsi2.2 Turunan2.3 Matriks2.4 Sistem Persamaan Linear2.5 Operasi Baris Elementer2.6 Determinan2.7 Invers Matriks2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen2.9 Persamaan Diferensial2.10 Metode Koefisien Tak Tentu

2.1 Fungsi

Definisi 2.1 (Purcell, 2004)Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang memadankan setiap obyek dalam satu himpunan dengan tepat satu nilai tunggal dari suatu himpunan kedua.Fungsi dari A ke B dapat dituliskan dengan

f

x

( )f x

:f A B

2.2 Turunan

Definisi 2.2 (Degeng, 2007)Misalkan suatu fungsi didefinisikan pada sembarang titik pada interval . Turunan di didefinisikan sebagai:

asalkan limit ini ada.

( )y f x

0x ( , )a b ( )y f x0x x

0 00

0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h

2.3 Matriks

Definisi 2.3 (Anton, 2009)Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Matriks yang mempunyai baris dan kolom dinyatakan dengan

m n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nm n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Baris 2. Matriks Kolom 3. Matriks Bujursangkar4. Matriks Segitiga5. Matriks Diagonal6. Matriks Identitas7. Matriks Nol

2.4 Sistem Persamaan Linear

Definisi 2.4 (Anton dan Rorres, 2004)Suatu sistem sebarang yang terdiri dari persamaan linear dengan variabel yang tak diketahui adalah satu sistem berbentuk

m

n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(2.1)

Sistem (2.1) dapat diubah dalam bentuk matriks tunggal

Jika matriks di atas berturut-turut dilambangkan dan , maka sistem (2.1) dapat dituliskan sebagai

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn m m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

, A X B

AX B

2.5 Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer adalah sebagai berikut :1. Mengalikan sebuah baris dengan

sebuah konstanta tak nol.2. Menukarkan antara dua baris.3. Menambahkan perkalian dari satu

baris ke baris lainnya.

2.6 Determinan

Definisi 2.6 (Anton, 2004)Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali entri bertanda dari A.

det det( )A

2.7 Invers Matriks

1

1

1

Suatu matriks berordo dikatakan memiliki

invers berordo , jika matriks tersebut non

singular atau det 0,dan berlaku

dengan matriks identitas berordo .

n

n

n

A n n

A n n

A

AA I

A A I

I n n

2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.10 (Anton dan Rorres, 2004)Misalkan adalah matriks bujursangkar, maka sebuah vektor tak nol x dalam dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari jika adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:

Dengan adalah skalar. Selanjutnya skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan yang terkait dengan .

A

AnR

AA

A x x

Ax

2.9 Persamaan Diferensial

Persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa fungsi tak diketahui disebut persamaan diferensial. Persamaan diferensial yang hanya memuat satu peubah bebas dinamakan persamaan diferensial biasa.

Tingkat (orde) persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan yang muncul pada persamaan diferensial tersebut.

Bentuk umum persamaan diferensial linear sebagai berikut

dengan dan adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas , serta .Jika , maka persamaan di atas dinamakan persamaan diferensial homogen.

Jika , maka persamaan di atas dinamakan persamaan diferensial tak homogen.

Jika seluruh koefisien adalah konstanta, maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

( ) ( 1)0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n

na t y a t y a t y g t

0 1, , ..., na a a g

t 0 0a

( ) 0g t

( ) 0g t

0 1, , ..., na a a

Sistem persamaan diferensial orde satu adalah suatu sistem yang terdiri dari 2 atau lebih persamaan diferensial linear orde satu.Bentuk umum sistem persamaan diferensial orde satu:a) Sistem yang terdiri dari dua persamaan

diferensial

b) Sistem yang terdiri dari tiga persamaan diferensial

11 12 1

21 22 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dxa t x a t y F t

dtdy

b t x b t y F tdt

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

dxa t x a t y a t z F t

dtdy

b t x b t y b t z F tdtdz

c t x c t y c t z F tdt

2.10 Metode Koefisien Tak Tentu

Diberikan persamaan diferensial tak homogen sebagai berikut

dengan konstanta dan merupakan kombinasi linear dari fungsi dengan tipe yg ada pada tabel di bawah ini.

( ) ( 1)0 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n

na t y a t y a t y g t

0 1, , ..., na a a ( )g t

Suku-suku dalam Pilihan untuk ( )g t py

tke tCe

( 0,1,...)nKt n 11 1 0...n n

n nK t K t K t K

cos sink t atau k t cos sinK t M t

Yang terpenting dari metode ini adalah bagaimana menduga dengan tepat solusi khusus yang serupa dengan pada persamaan di atas, dengan koefisien-koefisien tak diketahui yang akan dicari dengan cara mensubstitusikan pada persamaan awal.

py ( )g t

py

Daftar Pustaka

Anton, Howard dan Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan oleh Refina Indriasari dan Irzam Harmen. Jakarta : Erlangga.

Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa Aksara.

Ayres, Frank. 1985. Seri Buku Schaum, Matriks. Jakarta: Erlangga.Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa

dengan Penerapan Modern. Terjemahan oleh Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.

Gazali, Wikaria. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.

Purcell, Edwin J, Dale Verberg, dan Steven E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1 (Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.

TERIMA KASIH