persamaan diferensial biasa -...
TRANSCRIPT
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASAPersamaan Diferensian Biasa Orde n Koefisien Konstan
Resmawan
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
November 2018
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 1 / 30
4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi
4.1 Pengertian dan Klasifikasi
4.1 Pengertian dan Klasifikasi
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 2 / 30
4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi
4.1 Pengertian dan Klasifikasi
DefinitionPersamaan Diferensial linear biasa orde n adalah persamaan diferensialyang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui
y (n) =dnydxn
yang secara umum dapat ditulis dalam bentuk
an (x) y (n)+ an−1 (x) y (n−1)+ · · ·+ a2 (x) y ′′+ a1 (x) y ′+ a0 (x) y = r (x)(1)
dimana an, an−1, · · · , a1, a0 dengan an 6= 0 dan r adalah fungsi dari x .
PD ini dikatakan linear karena pangkat tertinggi dari fungsi danturunan-turunannya, y (n), y (n−1), · · · , y ′′, y ′, dan y yang takdiketahui berderajat satu.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 3 / 30
4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi
4.1 Pengertian dan Klasifikasi
Berdasarkan nilai koefisien pada persamaan (1) , Persamaan DiferensialLinear diklasifikasikan sebagai berikut:
1 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Konstan, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 adalah konstan dan r (x) = 0.
any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = 0
2 Persamaan Diferensial Homogen Koefisien Variabel, jika koefisienan, an−1, ..., a1, a0 merupakan fungsi-fungsi x , an 6= 0, dan r (x) = 0.Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy homogen orde ke−n
anxny (n) + an−1xn−1y (n−1) + · · ·+ a2x2y ′′ + a1xy ′ + a0y = 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 4 / 30
4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasifikasi
4.1 Pengertian dan Klasifikasi
3. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Konstan, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 adalah konstan, an 6= 0, dan r (x) 6= 0.
any (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a2y ′′ + a1y ′ + a0y = r (x)
4. Persamaan Diferensial Non Homogen Koefisien Variabel, jikakoefisien an, an−1, ..., a1, a0 merupakan fungsi-fungsi x , an 6= 0, danr (x) 6= 0. Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy nonhomogen orde ke−n
anxny (n) + an−1xn−1y (n−1) + · · ·+ a2x2y ′′ + a1xy ′ + a0y = r (x)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 5 / 30
4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 6 / 30
4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
Misal PD Linear Orde Dua Koefisien Konstan
ay ′′ + by ′ + cy = r(x) (2)
Persamaan (2) disebut linear karena pangkat tertinggi dari y ′′, y ′, dany adalah satu.Jika r (x) = 0, maka persamaan (2) disebut PD homogen denganbentuk
ay ′′ + by ′ + cy = 0 (3)
dengan a, b, c konstanta.Solusi umum dari PD homogen (3) berbentuk
y = c1y1 + c2y2
dimana c1, c2 konstan dan y1, y2 fungsi-fungsi dari x , yang disebutbasis penyelesaian y . Andaikan basis penyelesaian berbentuk
y = eλx (4)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 7 / 30
4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
makay ′ = λeλx dan y ′′ = λ2eλx (5)
Jika persamaan (4) dan (5) disubtitusi ke persamaan (3) , maka(aλ2 + bλ+ c
)eλx = 0
Karena eλx 6= 0, maka
aλ2 + bλ+ c = 0 (6)
Persamaan (6) disebut Persamaan Karakteristik yang akar-akarnyadiberikan oleh
λ12 =−b±
√b2 − 4ac2a
(7)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 8 / 30
4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koefisien Konstan
Selanjutnya, solusi umum persamaan diferensial homogen akanbergantung pada akar-akar persamaan karakteristik (7) yang terdiriatas 3 kasus:
1 λ1 dan λ2 merupakan dua akar real berbeda.Kasus ini terjadi jika
D = b2 − 4ac > 02 λ1 dan λ2 merupakan dua akar real kembar.Kasus ini terjadi jika
D = b2 − 4ac = 03 λ1 dan λ2 merupakan dua akar kompleks.Kasus ini terjadi jika
D = b2 − 4ac < 0
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 9 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 10 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
Jika diskriminan persamaan karakteristik lebih besar dari nol
D = b2 − 4ac > 0
Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real berbeda,yaitu
λ1 =−b+
√b2 − 4ac2a
; λ2 =−b−
√b2 − 4ac2a
Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh
y1 = eλ1x dan y2 = eλ2x
Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3)diberikan oleh
y (x) = c1eλ1x + c2eλ2x (8)
dimana c1 dan c2 konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 11 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
Examples
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1 y ′′ + 4y ′ − 12y = 02 y ′′ − 4y ′ + 3y = 03 2y ′′ − 5y ′ + 3y = 0; y (0) = 6, y ′ (0) = 13
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 12 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
Solution1 Persamaan karakteristik yang bersesuaian
λ2 + 4λ− 12 = 0 λ1 = 2(λ− 2) (λ+ 6) = 0 λ2 = −6
sehingga solusi umum PD adalah
y = c1e2x + c2e−6x
2 Dengan cara sama
λ2 − 4λ+ 3 = 0 λ1 = 1(λ− 1) (λ− 3) = 0 λ2 = 3
sehingga diperoleh solusi y = c1ex + c2e3x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 13 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
Solution3. Persamaan karakteristik yang bersesuaian
2λ2 − 5λ+ 3 = 0 λ1 =32
(2λ− 3) (λ− 1) = 0 λ2 = 1
sehingga solusi umum PD adalah
y = c1e32 x + c2ex
y ′ =32c1e
32 x + c2ex
Dengan nilai awal y (0) = 6, y ′ (0) = 13 diperoleh
6 = c1 + c226 = 3c1 + 2c2
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 14 / 30
4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda
4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda
Solution3. Dengan demikian,
26 = c1 + 2c226 = 3c1 + 2 (6− c1)c1 = 14
c2 = −8
sehingga solusi kuhusus PD adalah
y = 14e32 x − 8ex
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 15 / 30
4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar
4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar
4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 16 / 30
4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar
4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar
Jika diskriminan persamaan karakteristik sama dengan nol
D = b2 − 4ac = 0
Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real kembar,yaitu
λ12 =−b2a
Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh
y1 = eλx dan y2 = xeλx
Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3)diberikan oleh
y = (c1 + xc2) eλx (9)
dimana c1 dan c2 konstanta.
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 17 / 30
4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar
4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar
Examples
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1 y ′′ − 8y ′ + 16y = 02 y ′′ − 4y ′ + 4y = 0; y (0) = 4, y ′ (0) = 3
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 18 / 30
4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar
4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar
Solution1 Diketahui persamaan karakteristik
λ2 − 8λ+ 16 = 0
(λ− 4) (λ− 4) = 0
λ12 = 4
Maka solusi umum PD adalah
y = (c1 + xc2) e4x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 19 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 20 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Jika diskriminan persamaan karakteristik kurang dari nol
D = b2 − 4ac < 0Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar kompleks, yaitu
λ1 = α+ βi dan λ2 = α− βi
dimana
α =−b2a; β =
√b2 − 4ac2a
Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh
y1 = e(α+βi )x dan y2 = e(α−βi )x
Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen (3)diberikan oleh
y = (c1 cos βx + c2 sin βx) eαx (10)
dimana c1 dan c2 [email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 21 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Problem
Buktikan kebenaran persamaan (10)
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 22 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Examples
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1 y ′′ − 6y ′ + 13y = 02 4y ′′ − 4y ′ + 5y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 11
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 23 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Solution1 Persamaan karakteristik
λ2 − 6λ+ 13 = 0
λ12 =−b±
√b2 − 4ac2a
=6±√−162
= 3± 2i
sehingga solusi umum adalah
y = (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e3x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 24 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Solution2. Persamaan karakteristik
4λ2 − 4λ+ 5 = 0
λ12 =−b±
√b2 − 4ac2a
λ12 =4±√−648
=12± i
sehingga solusi umum adalah
y = (c1 cos x + c2 sin x) e12 x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 25 / 30
4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks
4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks
Solution
2. Dengan nilai awal y (0) = 2, y ′ (0) = 11 dan selanjutnya
y ′ =12e12 x (c1 cos x + c2 sin x) + (−c1 sin x + c2 cos x) e
12 x
Maka
2 = (c1 cos 0+ c2 sin 0) e0 ⇔ c1 = 2
11 =12c1 + c2 ⇐⇒ c2 = 10
Solusi Khusus PDy = (2 cos x + 10 sin x) e
12 x
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 26 / 30
4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 7
* Soal-Soal Latihan 7
ProblemCarilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1 y ′′ − 4y ′ + 3y = 02 y ′′ − 2y ′ + 10y = 03 2y ′′ + 7y ′ − 4y = 04 4y ′′ − 4y ′ + y = 0Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensialdengan nilai awal berikut
5 y ′′ + 2y ′ − 3y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 86 y ′′ − 6y ′ + 25y = 0; y (0) = 6, y ′ (0) = 87 y ′′ + 4y ′ − 5y = 0; y (0) = 3, y ′ (0) = 28 y ′′ + 4y ′ + 4y = 0; y (0) = 2, y ′ (0) = 5
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 27 / 30
3. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
[email protected] (MathUNG) PDB Orde n Koefisien Konstan November 2018 30 / 30