DarmawijoyoPersamaan Diferensial BiasaSuatu PengantarFKIP-UNSRIUntuk istriku tercinta Nelly Efrina dananak-anakku tersayang, Yaya, Haris,dan Oji.PendahuluanBuku Persamaan Diferensial Suatu Pengantar ini ditujukan untuk ma-hasiswa yang baru berkenalan dengan Persamaan Diferensial. Karenasifatnya pengantar maka beberapa teorema dan pernyataan dalam bu-ku ini tidak diberikan buktinya. Akan tetapi bagi pembaca yang inginmendalaminya lebih jauh, dapat mempelajarinya dalambuku yang adapada daftar pustaka.Buku ini bukanlah sebuah novel yang dapat dibaca sepintas lalu ke-mudian pembaca dapat mengingat mengerti cerita di dalamnya bahk-an dapat menceritakan ulang kejadian-kejadian dalam buku. Pemba-ca buku ini harus menyiapkan suasana sehingga dapat belajar secarabermakna dengan keseriusan dan konsentrasi. Bacalah denisi, teo-rema, danpernyataansecaradetaildenganmemperhatikancontoh-contoh soal yang mengiringinya. Biasakan memunculkan pertanyaan-pertanyaan seperti apa, bagaimana, dan mengapa setiap langkah pe-nyelesaian, atau setiap pernyataan yang ada. Cobahlah untuk menja-wabsoal-soalyangadadiakhirsetiapbab.Jikamunculrasamalasatau stagnasi dalam mengkaji buku ini, cobalah untuk belajar kelom-pok sebagai wahanah berdiskusi sekaligus untuk menghilangkan rasajenuh.Prasyaratuntukmempelajaribukuini,pembacasudahmengenaldengan baik pelajaran kalkulus, dan kalkulus lanjut khususnya untukbab 6 dan bab 7. Buku ini sangat baik bagi mereka yang akan menda-lami masalah-masalah sistem dinamik. Olehkarenanya, buku ini dapatdigunakan atau dimanfaatkan bagi mahasiswa MIPA, teknik, Kompu-viiviii Pendahuluanter, pertanian, ekonomi, atau mahasiswa yang akan menggeluti kajianlaju perubahan.Struktur bukuini disusunberjenjangyangdiusahkantidakba-nyak menggunakan prasyarat, misalkan dalam sistem persamaan di-ferensial dihindarkan penggunaan matriks. Pada bab 1 diperkenalkanmasalah-masalah yang dapat disusun kedalam masalah persamaan di-ferensial. Pada bab ini pula diperkenalkan pengertian persamaan dife-rensial, pengertian penyelesaian. Pada bab 2 dibahas jenis-jenis per-samaan diferensial orde satu serta teknik penyelesaiannya.Pada Bab 3dibahas aplikasi-aplikasi persamaan diferensial orde satu, khususnyaaplikasi pada bidang geometri bidang. Pada Bab 3 ini pemahaman-pemahaman kalkulus akan banyak membantu dalam mengkaji penye-lesaian. Kajian-kajian persamaan diferensial orde dua dan sistem per-samaandiferensialterdapatpadabab4dan5. Bagipembacayangmerupakan calon sarjana dalam ilmu-ilmu rekayasa, bab 6 akan sa-ngatmembantumendalamikeilmuannyadenganmenggunakanalattransformasi Laplace. Bab 7 akan memberikan ruang yang lebih lebaruntuk menggunakan aplikasi komputer dengan pendekatan numerik.Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih ke-padabeberapaorangyangberperanbesar dalampenyelesaianbu-ku ini. Pertama-tama, ucapan terima kasih kepada mahasiswa pendi-dikan matematika FKIP Unsri yang telah memberikan masukan ten-tang beberapa pernyataan atau soal-soal yang sukar dimengerti. Ke-pada kolega-kolega, Dr. Yusuf Hartono yang telah memberi masukantentang aspek pembelajaran, Jaidan Jauhari, M.T. dan Elly Susanti,M.Pd.yang telah menguji cobahkan buku ini.PenulisinginmenyatakanucapankhususkepadaistrikutercintaNelly Efrina, anakku tersayang, Yaya, Haris, dan Oji yang sering kehi-langan momen untuk bersedahgurau selama proses penyusunan draf.Penulis persembahkan buku ini khususnya untuk kalian semua. Teri-ma kasih atas segala pengorbanannya.Palembang, DarmawijoyoJanuari, 2009Daftar Isi1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Denisi dari suatu persamaan diferensial dan orderdari persamaan diferensial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan Penyelesaianekplisit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial. . . . . . . . . . 41.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaandiferensial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu. . . . . . . . . 152.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah. . . . . . 152.2 Persamaan Diferensial Dengan Koefesien Homogen . . . 182.3 Persamaan Diferensial Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Persamaan Diferensial dengan Koesien Linier . . . . . . . 222.5 Persamaan Diferensial Eksak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Faktor integrasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Menentukan Faktor Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.1 h fungsi hanya dari x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7.2 h fungsi hanya dari y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.3 h fungsi dari xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7.4 h fungsi dari x/y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7.5 h fungsi dari y/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.6 Bentuk Khusus dari P dan Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. . . . . . . . . . . . . 432.8.1 Jastikasi Faktor Integrasi e_ P(x)dx. . . . . . . . . . . . . 47ixx Daftar Isi2.8.2 Persamaan Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8.3 Persamaan Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Masalah-masalah Yang Membentuk PersamaanDiferensial Order Satu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1 Masalah-masalah dari Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Trayektori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Trayektori Isogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Trayektori Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.3 Formula Trayektori Ortogonal dalam KoordinatPolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 Persamaan Diferensial Linier Order Dua. . . . . . . . . . . . . . 734.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier HomogenOrder 2 dengan Koesien Konstan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen. . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Koesien Taktentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Pengunaan Varibel Kompleks untuk MenyelesaikanPersamaan Diferensial Order Dua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Variasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Persamaan Diferensial Linier dengan KoesienTak-konstan Menggunakan Reduksi Order. . . . . . . . . . . . 89Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 Sistem Persamaan Diferensial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.1 Denisi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Sistem Persamaan Diferensial Homogen denganKoesien Konstan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1065.3 SistemPersamaanDiferensialOrderSatuTakhomogen dengan Koesien Konstan. . . . . . . . . . . . . .114Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1186 Transformasi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1236.1 Denisi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1236.2 Fungsi Periodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1256.3 Transformasi Laplace dari derivatif fungsi . . . . . . . . . . .125Daftar Isi xi6.4 Invers Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1276.5 Fungsi Tangga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1316.6 Persamaan Diferensial dengan Suku TakhomogenDiskontinu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135Soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1387 Penyelesaian Persamaan Deferinsial dengan MetodeDeret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1457.1 Deret Pangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1467.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Koesien Variabel 1487.3 Singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1567.4 Metode Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1597.4.1 Akar-akar berbeda dengan selisih bukanbilangan bulat.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1617.4.2 Akar-akar berbeda dengan selisih bilangan bulat. 1637.4.3 Akar-akar sama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166Soal-soal latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173Bab 1Konsep Dasar Persamaan Diferensial1.1 Denisi dari suatu persamaan diferensial dan orderdari persamaan diferensial.Dalam pelajaran , kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macammetode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contohfungsi y = log(x) berturut-turut diberikan olehy/ = 1x, y// = 1x2, y/// =2x3, dsb, (1.1)dimana y/ =dydx, y// =d2ydx2, dan seterusnya. Juga kita telah diperkenalk-an dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua va-riabel atau lebih. Derivatifnya di sebut dan persamaan yang memu-atderivatifepartialdisebutpersamaandiferensialparsial.Misalkanu = x2+3xy e2x+3y, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut di-berikan olehux = 2x +3y 2e2x+3yux = 3x 3e2x+3y. (1.2)Denisi 1.1.1Misalkan f(x) mendenisikan sebuah fungsi dari x pa-da suatu interval I : a x b. Persamaan diferensial adalah suatupersamaan yang memuat derivatif dari f(x).Berikut ini adalah contoh-contoh dari persamaan diferensial:Contoh 1.1.112 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensialdydx +y = 0, y/xy = 0, (1.3)d2ydx2 +y +x2+5 = 0, y//xy/+ex= 0, (1.4)xd3ydx3 +x2+5 = xy, y///x(y/)2+ln(x) = 0. (1.5)Denisi 1.1.2dari suatu persamaan diferensial adalah order terting-gi derivatif yang termuat dalam persamaan itu.Sebagai contoh kita verikasi order persamaan diferensial untuk persamaan-persamaan(1.3)-(1.5). Persamaan(1.3), (1.4), dan(1.5)berturut-turutadalahpersamaandiferensialordersatu,orderdua,danordertiga.1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial danPenyelesaian ekplisit.Marilah kita perhatikan persamaan aljabar berikut inix22x 3 = 0. (1.6)Kita mengatakan x = 3 adalah penyelesaian dari persamaan aljabar(1.6) karena jika kitagantikanx = 3kepersamaan (1.6) persamaanitu menjadi benar atau dengan kata lain x = 3 memenuhi persamaan(1.6). Begitu juga dengan x = 1. Kita juga akan mengatakan fungsiy = f (x) = x2e2xadalah dari persamaan diferensialy/2(y x2+x) = 0. (1.7)Sebab jika disubsitusikan fungsi y =f (x) ke persamaan diferensial(1.7) maka persamaan itu akan benar.Denisi 1.2.1Misalkany=f(x)mendenisikanysebagaifungsida-ri x pada interval I:a 0.4 1 Konsep Dasar Persamaan DiferensialContoh 1.2.3ujilah bahwa fungsi yang didenisikan olehf (x) = tan(x) x, x ,= (2n+1)2, n = 0, 1, 2,, (1.15)adalah penyelesaian dari persamaan diferensialy/ = (x +y)2. (1.16)Catatlah bahwa fungsi (1.15) terdenisi dimana cos(x) ,= 0 atau x ,=(2n +1)2, n = 0, 1, 2, . Derivatif dari (1.15) diberikan olehf/(x) = sec2(x) 1 = tan2(x). Jelaslah dengan mensubstitusikannya(1.15)danderivatifnyake(1.16)bahwapersamaanyangdiperolehadalah persamaan identitas untuk semua x ,= (2n +1)2, n = 0, 1,2, .1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial.Dalam banyak hal, kita menemukan atau dihadapkan dengan g(x, y) =0 yang biasanya tidak mudah bahkan tidak mungkin untuk menyata-kannya dalam bentuk eksplisit y = f (x). Jika fungsi implisit g(x, y) =0 memenuhi suatu persamaan diferensial pada interval I : a < x < b,maka relasi g(x, y) = 0 dinamakan dari persamaan diferensial itu.Denisi 1.3.1Suatu relasi g(x, y) =0 dinamakan penyelesaian impli-sit dari persamaan diferensialF(x, y, y/, c. . . , yn) = 0 (1.17)pada interval I : a < x < b, jikafungsi itu mendenisikan fungsi implisit pada interval I, yaitu, ji-ka ada fungsi f (x) yang didenisikan padaIsedemikian hinggag(x, f (x)) = 0 untuk setiap x dalam I, dan jika f (x) memenuhi (1.17), yaitu, jikaF(x, f (x), f/(x), c. . . , fn(x)) = 0 (1.18)untuk setiap x dalam I.1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial. 5Contoh 1.3.1Ujilah bahwag(x, y) = x2+y225 = 0 (1.19)adalah penyelesaian implisit dari persamaan diferensialF(x, y, y/) = yy/+x = 0 (1.20)pada interval I : 5 < x < 5.Pertama-tamakitatinjaubahwafungsi g(x, y)mendenisikany =f (x) sebagai fungsi implisit dari x pada interval I. Jika dipilih fungsieksplisitnya adalahy = f (x) =_25x2(1.21)maka akan kita peroleh persamaanF(x, f (x), f/(x)) =_25x2_x25x2_+x = 0. (1.22)Karenaruassebelahkiri dari (1.22)nol berarti persamaanini me-rupakan identitas dalam x. Oleh karenya, kedua persyaratan denisi1.3.1. dipenuhi. Dengan ini dapat kita tarik kesimpulan bahwa fung-sig(x, y)dalam (1.19) adalah penyelesaian implisit daripersamaandiferensial (1.20) pada interval I.Contoh 1.3.2Ujilah apakahg(x, y) = x3+y33xy = 0, < x 0 merupakan daerah penyelesaian ? hal ini tergan-tung dengan cabang mana yang kita pilih sebagai penyelesaian. Jikacabang dari grak (1.28) yang diambil adalah cabang diatas sumbux maka jawabannya ya. Akan tetapi jika cabang yang diambil seba-gai penyelesaian adalah cabang dibawah sumbu x maka jawabannyatidak. Untuk rinciannya ditinggalkan sebagai latihan (dengan meng-gambarkan grak persamaan (1.28)).1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 71.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaandiferensial.Sebelumnya kita telah mempelajari apa yang dimaksud dengan penye-lesaian, interval penyelesaian dari suatu persamaan diferensial. Selan-jutnya dalam bagian ini kita akan mengasumsikan semua fungsi yangdibicarakanadalahterdenisi dalamsuatuinterval tertentu. DalammempelajariKalkuluskitatelahberkenalandenganapayangdise-but anti-derivatif yaitu kita mencari dari suatu derivatif. Dalam hal inikita menyelesaiakn persamaan diferensial yang berbentuk y/ =f (x).Sebagai contoh jika kita ingin mencari primitif dari suatu fungsi per-samaany/ = sin(x), (1.29)berarti kita mencari penyelesaian dari persamaan diferensial (1.29).Orang dapat mengujinya bahwa penyelesaian dari persamaan diferen-sial itu diberikan olehy =cos(x) +c, (1.30)dimanacadalahkonstantasebarang. Penyelesaian(1.30)diperolehdengan mengintegralkan persamaan (1.29), yakni,y =_sin(x)dx =cos(x) +c, (1.31)Jika kita mencari primitif dari persamaany// = ex, (1.32)maka kita mengintegralakan persamaan tersebut, yakni,y =_ _exdxdx = ex+c1x +c2, (1.33)dengan c1 dan c2 sebagai konstanta. Tentunya jika kita mencari primi-tif dari suatu persamaan diferensial yang berorder tiga maka kita akanmengintegralkan persamaan itu sebanyak tiga kali. Perlu kita ketahuibahwa primitif dari persamaan diferensial berorder n memuat n buahkonstanta sebarang c1, c2,, cn. Biasanya dalam buku-buku standarpersamaan diferensial primitif yang memuat n buah konstanta disebutkeluarga penyelesaian dari n parameter8 1 Konsep Dasar Persamaan DiferensialDenisi 1.4.1fungsi yang didenisikan olehy = f (x, c1, c2,, cn) (1.34)dari n+1 variabel x,c1, c2,, cn akan dinamakan dari persamaan di-fernsial berorder nF(x, y, y/,, yn) = 0, (1.35)jika untuk setiap pemilihan nilai c1, c2,, cn fungsi f (x) memenuhi(1.35).Contoh 1.4.1Tunjukkanlah bahwa fungsi yang didenisikan olehy = f (x, c1, c2) = 2x +3+c1ex+c2e2x(1.36)adalah keluarga penyelesaian 2 parameter dari persamaan diferensi-alF(x, y, y/, y//) = y//3y/+2y 4x = 0. (1.37)Misalkan a, b nilai kita pilih untuh c1 dan c2 berturut-turut, maka kitaperolehy = 2x +3+aex+be2x,y/ = 2+aex+2be2x, (1.38)y// = aex+4be2x.Denganmensubstitusikan(1.39)kedalam(1.37)makapersamaanyang diperoleh adalahF(x, y, y/, y//) = aex+4be2x63aex6be2x+4x +6+2aex+2be2x4x = 0. (1.39)Kita dapat memeriksa bahwa (1.39) merupakan identitas. Maka kitasimpulkan bahwa fungsi (1.36) adalah keluarga penyelesaian 2 para-meter.Sekarangkitadapat memunculkansebuahpertanyaan, bagaima-namenentukanpersamaandifernsial dari keluargapenyelesaiann-parameter? seperti kita ketahui walaupun penyelesaian persamaan di-ferensial beroder n memuat n buah konstanta akan tetapi persamaan1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 9diferensialnya sendiri tidak memuat konstanta-konstanta ini. Karena-nya untuk menentukan persamaan diferensial order n dari keluarga pe-nyelesaian n-parameter kita harus mengeliminasi konstanta-konstantayg termuat dalam penyelesaian dengan mendiferensialkannya. Karenatidak ada metode standar untuk menyelesaiakn masalah ini, maka me-mecahkan masalah ini sangat bergantung dengan kreatitas atau skilluntuk menciptakan trik-trik penyelesaian, dan biasanya makin seringkita memecahkan masalah ini makin tinggi skil kita menciptakan trik.Contoh 1.4.2Tentukanlah persamaan diferensial yang memiliki ke-luarga penyelesaian 1-parametery = ccos(x) +x. (1.40)Dalam hal ini telah diasumsikan bahwa order persamaan diferensialyang dicari adalah beroder satu. Derivatif dari (1.40) diberikan olehy/ =csin(x) +1. (1.41)Karena persamaan difernsial yang kita cari harus bebas dari konstan-ta sebarang maka konstanta yang terdapat pada y dan y/ harus dieli-minasi. Eliminasikanlah konstanta c di (1.40) kedalam (1.41) untukmendapatkany/ = (x y)tan(x) +1. (1.42)Perlu dicatat bahwa walaupun kita telah mendapatkan persamaan di-ferensial yang dicari, akan tetapi kita harus menentukan di intervalmana(1.42) terdenisi. Jelasahbahwainterval yangdicari adalahI :=x R; x ,=2, 32, .Contoh 1.4.3Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyaiprimitif keluarga penyelesaian 2 parametery = c1ex+c2ex. (1.43)Jelas disini telah diasumsikan bahwa yang dicari adalah persamaandiferensial beroder dua. Diferensialkanlah fungsi (1.43) dua kali untukmendapatkany/ = c1exc2ex, y// = c1ex+c2ex. (1.44)10 1 Konsep Dasar Persamaan DiferensialDengan mengurangkan direvatif kedua dengan fungsinya sendiri di-perolehy//y = 0. (1.45)Persamaan diferensial (1.45) adalah persamaan diferensial order duadan bebas dari konstanta sebarang oleh karenanya persamaan (1.45)inilah yang kita cari.Contoh 1.4.4Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyaiprimitif keluarga penyelesaian 2-parametery = c1sinx +c2cosx +x2. (1.46)Sekali lagi kitamengasumsikanpersamaandiferensial yangdicariberorder dua. Diferensialkanla (1.46) dua kali untuk mendapatkany/ = c1cosx c2sinx +2x, y// =c1sinx c2cosx +2. (1.47)Disini kita dapat mengeliminasi c1dan c2dengan cara biasa untukmendapatkan persamaan diferensial order duay//+y x22 = 0. (1.48)Contoh 1.4.5Tentukanlah persamaan diferensial yang mepunyai pri-mitif keluarga penyelsaian 1 - parameter yang merupakan keluargalingkaran yang berpusat di titik awal.Walaupun keluarga penyelesaian tidak diberikan dalam bentuk persa-maan simbolik, akan tetapi kita mengetahui bahwa keluarga lingkaranyang berpusat di titi awal dengan koordinat (x, y) dapat dinyatakandengan simbolikx2+y2= r2, r > 0, (1.49)dengan r sebagai parameternya. Dengan mendiferensialkan (1.49) di-peroleh persamaan diferensial yang diinginkanx +yy/ = 0. (1.50)1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 11Soal-soal latihan1.1. Tentukanlah order dari persamaan diperensial berikut ini.(a) dy +(xy sin(x))dx = 0.(b) y//+xy//+2y(y/)2+xy = 0.(c)_d2ydx2_(y///)4+xy = 0.(d) ey/+xy//+y = 0.1.2. Buktikanlahbahwafungsi-fungsiyangberadadisebelahkananpersamaan diferensial merupakan penyelesaian dari persamaan dife-rensial yang diberikan. Periksalah diinterval mana mereka terdefenisidan interval penyelesaian.a). y/+y = 0, y = exb). y/ = ex, y = exc). y/ = ex, y = ex.d).d2ydx2 =11x2, y = xarcsin(x) +1x2.e). f/(x) = f//(x), f (x) = ex+10.f). xy/ = 2y, y = x2.g).dydx = y x2, y = ex+x2+2x +2.h).d2ydx2 3dydx +2y = x2, y = 2e2x+ex+ 14(2x2+6x +7).i). cos(x)dydx2ysinx = 0, y = asec2(x).j). y//y = 0, y = ex+3ex.k). x +yy/ = 0, y =16x2.1.3. Tentukanlahfungsiv(x)sedemikianhinggafungsiy = v(x)emxadalah penyelesaian dari persamaan diferensialdydx = my +x2. (1.51)1.4. Tentukanlah m sedemikian hingga fungsi y = emxadalah penye-lesaian dari persamaan diferensial2d3ydx3 + d2ydx2 5dydx +2y = 0. (1.52)12 1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial1.5. Tentukanlah apakah persamaan disebelah kanan mendenisikanfungsi implisit dari x. Kemudian tentukanlah apakah fungsi implisititu merupakan penyelesaian implisit dari persamaan diferensial di se-belah kanan.a). y21(2y +xy)y/ = 0, y21 = (x +2)2.b). exy+eyxdydx = 0, e2y+e2x= 1.c).dydx =yx, x2+y2= 1.1.6. Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan ke-luarga penyelesaian 2 - parameter dari persamaan diferensial disebe-lah kanannya.a). y = c1 +c2ex+ 13x3, y//+y/x22x = 0.b). y = c1e2x+c2ex+2ex, y//+3y/+2y 12ex= 0.c). y = c1x +c2x1+ 12xlnx,x2y//+xy/y x = 0.1.7. Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan ke-luarga penyelesaian 3 - parameter dari persamaan diferensial disebe-lah kanannya.a). y = ex_c1 +c2x +c3x2+ 16x3_, y///3y//+3y/y ex= 0.b). y = c1 +c2ex+c3ex+_112 + 9cos2x7sin2x520_e2x, y///y/e2xsin2x = 0.c). y = c1 +c2ex+c3ex+_112 + 9cos2x7sin2x520_e2x, y///y/e2xsin2x = 0.1.8. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif ke-luarga penyelesaian n-parameter berikut.a). y = cx +c3, b).x2cy +c2= 0.c). y = xtanx +c, d).y = c1cos3x +c2sin3x.e). y = cx +3c24c, f).y =_c1x2+c2.g). y = c1ec2x, h).y = x3+ 1xc.i). y = c1e2x+c2e2x, j).(y c)2= cx.k). y = a(1cos(x)), l). lny = c1x2+c2.1.9. Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif ke-luarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan melaluititik asal.1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. 131.10. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan me-lalui titik asal.1.11. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga lingkaran berpusat di titk (h, k), berjari-jari tetap.1.12. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga lingkaran x2+y22c1x 2c2y +2c3 = 0.1.13. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga parabola dengan vertek pada titik awal dan fokus pada sumbux.1.14. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga parabola dengan fokus pada titik awal dan vertek pada sumbux.1.15. Tentukanlahpersamaandiferensial yangmempunyai primitifkeluarga parabola dengan fokus dan vertek pada sumbu x.Bab 2Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuPersamaan diferensial yang akan kita pelajari dalam bagian ini adalahpersamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentukQ(x, y)dydx +P(x, y) = 0. (2.1)Seperti biasanya variabel y akan dinamakan variabel terikat dan vari-avel x dinamakan variabel bebas. Persamaan (2.1) dalam bentuk laindengan mengalikannya dengan dx di kedua ruas persamaan, mengha-silkanQ(x, y)dy +P(x, y)dx = 0. (2.2)Dalam banyak buku teks suku dy dan dx sering dinamakan diferensi-al. Contoh-contoh persamaan diferensial yang dapat dijadikan keben-tuk (2.1) atau (2.2)1.dydx = 2xy +sinx,2. y/ = ln2xy +tanx,3. (x cosx +y)dx +(2xy +sinx)dy = 0,4. excosydx +2xsinxdy = 0.Selanjutnya dalam pembahasan selanjutnya kita akan sebut keluargapenyelesian n-parameter atau primitif dengan penyelesaian saja.2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah.Jika persamaan (2.2) dapat direduksi ke bentuk1516 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satuf (x)dx +g(y)dy = 0, (2.3)maka variabel-variabel dari persamaan (2.2) dinamakan terpisah danpersamaandiferensialnyadisebut persamaan diferensial dengan.Keluarga penyelesaian 1-parameter dari persamaan diferensialnya di-berikan oleh_f (x)dx +_g(y)dy =C, (2.4)dimana C sebagai parameter (konstanta).Contoh 2.1.1Tentukanlah penyelesaian dari2xdx 9y2dy = 0. (2.5)Dengan mudah kita lihat bahwa persamaan (2.5) adalah persamaandiferensial terpisah. Oleh karenanya, mengintegralkan suku pertamadengan x dan suku kedua dengan y diperoleh penyelesaian persamaandiferensial (2.5)x23y3=C. (2.6)Contoh 2.1.2Tentukanlah penyelesaian dari_1x2dx +_5+ydy = 0, (2.7)dengan 1 x 1, y >5.Tinjaulahbahwapersamaan(2.7) adalahpersamaandalambentuk(2.3). Penyelesaian dari persamaan diferensial ini diberikan oleh12_1x2+ 12 arcsinx + 23(5+y)3/2=C, (2.8)dengan 1 x 1, y >5.Pernyataan 2.1Selayaknya kita catat bahwa pada penyelesaian (2.8)muncul arcsin atau invers sin. Secara implisit suku ini mendenisik-anfungsibernilaibanyak,sedangkantinjauankitadalambukuiniadalahfungsibernilaitunggal,yaituuntukmasing-masingnilaixmenentukan satu dan hanya satu nilai y. Untuk alasan ini, kita harusmenentukan salah satu cabang dari grak fungsi arcsin dan dalamhal ini akan kita pilih cabang utama yaitu cabang yang terletak an-tara /2 dan /2. Dengan pemilihan ini maka fungsi arcsin akanbernilai tunggal. Dari sekarang dan seterusnya jika muncul fungsi iniakan kita artikan fungsi bernilai tunggal.2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah. 17Contoh 2.1.3Tentukanlah penyelesaian darix_1ydx _1x2dy = 0, (2.9)dengan 1 x 1, y 1.Sekarang kita dalam posisi untuk mendapat bentuk (2.3) dari persa-maan (2.9) dengan cara membagi persamaan dengan suku_1y_1x2. (2.10)Akan tetapi kita perlu sedikit hati-hati dengan pembagian ini. Karenainterval denisi dari 1y dan 1x2berturut-turut adalah y 1dan 1 x, 1 maka pembaginya akan menjadi nol saat y bernilai1 dan x bernilai 1, dan nilai ini harus dibuang dalam pembagian.Setelah (2.9) dibagi persamaan berikut akan diperolehx1x2dx 11ydy = 0, (2.11)dengan 1 0, y > 0. Dengan memilih g(u) = 1 +(yx)2ln yx kita sampai kepada kesimpulan, yaitu, fungsi (2.19) homogendengan order 2.Pernyataan 2.3Kitadapatmendenisikanfungsihomogendenganversi lain yang tentunya akan ekivalen dengan yang pertama. Misalk-an M(x, y) fungsi dari x dan y dalam daerah I R2, misalakn pulaa > 0 sebarang konstanta, maka Mdikatakan homogen berorder njikaM(ax, ay) = anM(x, y). (2.21)Kita dapat menunjukan bahwa hasil yang sama akan diperoleh untukcontoh 2.2.1. mengunakan denisi (2.21). Buktikanlah!2.3 Persamaan Diferensial HomogenDenisi 2.3.1Persamaan diferensialP(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0, (2.22)disebut persamaan jika P dan Q masing-masing homogen order n.Misalkan y = ux maka dari kalkulus kita peroleh derivatif total dari ydiberikan olehdy = udx +xdu. (2.23)20 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuJika kita substitusikan y dengan ux dan menggunakan (2.23) akan di-peroleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Kita nyatakanpernyataan ini dengan teorema berikutTeorema 2.4jika koesien-koesien persamaan (2.22) homogen ordern, maka dengan mensubsitusikan y=ux akan menghasilkan persama-an diferensial dengan variabel terpisah.Bukti. Dengan hipotesis P dan Q merupakan fungsi homogen bero-rder n. Perdenisi, dengan u = y/x, masing-masing dapat dinyatakandalam bentukP(x, y) = xng(u), Q(x, y) = xnh(u). (2.24)Dengan substitusi (2.22) menjadixng(u)dx +xnh(u)(xdu+udx) = 0, (2.25)atau secara ekivalen(g(u) +uh(u))dx +xh(u)du = 0. (2.26)Untuk x ,= 0 dan g(u) +uh(u) ,= 0 persamaan terakhir menjadi1xdx +h(u)g(u) +uh(u)du = 0, (2.27)dengan x ,= 0, g(u) +uh(u) ,= 0. Persamaan (2.27) melengkapi buktiteorema di atas. .Contoh 2.3.1Tentukanlah apakah persamaan diferensial(x23y2)dx +2xydy = 0, (2.28)homogen dan tentukanlah penyelesaiannya.Dalam hal ini P(x, y) = x23y2dan Q(x, y) = 2xy. Bagilah fungsi Pdengan x2dan fungsi Q dengan x untuk mendapatkan bentukP(x, y) = x2(13y2x2) = x2g(u) Q(x, y) = 2x2yx = x2h(u). (2.29)2.3 Persamaan Diferensial Homogen 21Perdenisi kitaperolehbahwapersamaandiferensial (2.28)adalahpersamaan diferensial homogen. Substitusikanlah y = ux dan (2.23)ke (2.28) untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabelterpisahx2(1u2)dx +2ux3du = 0. (2.30)Dengan memisahkan variabel dari (2.30) dan mengintegralkannya diperoleh penyelesaianlnx ln1u2= c, (2.31)atau ekivalen denganx3= c(x2y2). (2.32)Contoh 2.3.2Tentukanlah apakah persamaan(_x2y2+y)dx xdy = 0, (2.33)homogen dan tentukanlah penyelesaiannya.Untuk kasus ini P(x, y) = _x2y2+y dan Q(x, y) = x sama-samahomogen berorder satu. Perdenisi kita katakan bahwa persamaan di-ferensial (2.33) adalah homogen. Sebelum menentukan penyelesaianpersamaan diferensial kita perlu memeriksa daerah denisi dari persa-maan itu sendiri. Jelas dari persamaan diferensialnya bahwa itu terde-nisi untuk [ y [[ x [ atau dengan kata lain [yx [1 untuk x ,= 0. Lagidengan mensubstitusikan y = ux dan (2.24) kedalam (2.33) dimana[ u [=[yx [1 dengan x ,= 0 diperoleh(_x2(ux)2+ux)dx x(xdu+udx) = 0. (2.34)Dalam kalkulus kita telah diperkenalkan dengan nilai bilangan riil ku-adrat dalam akar yaitu, x2bernilai x jika x 0 dan bernilai x jikax < 0. Menggunakan aturan ini persamaan (2.34) dapat disederhanak-an menjadi_1u2dx xdu = 0, (2.35)dimana tanda diperoleh berhubungan dengan tanda x dari x2.Jika u ,=1 dan menggunakan kenyataan x ,= 0 maka dapat membagi(2.35) dengan x1u2untuk memperoleh22 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satudxx=11u2du, (2.36)yang merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Pe-nyelesaian persamaan terakhir ini diberikan olehlnx = arcsin yx +c, [ yx [< 1, x > 0,ln(x) = arcsin yx +c, [ yx [< 1, x < 0. (2.37)Pembaca hendaklah meninjau dengan seksama proses yang telah dila-kukan untuk mendapatkan penyelesaian. Untuk melengkapi penyele-saian yang telah diperoleh marilah sedikit kita menganalisis apa yangbelum kita dapatkan. Pertama kita membuang nilai [ u [=[yx [= 1. Halini berarti fungsi y =x telah dikeluarkan dalam proses untuk meng-hindari pembagian dengan nol, dimana fungsi ini tidak mungkin dida-pat dari penyelesaian (2.37). Pembaca dapat mengujinya bahwa fungsiyang kita keluarkan ini juga memenuhi persamaan diferensial (2.33).Fungsi-fungsi y = x ini adalah penyelesaian khusus (2.33) yang ti-dak dapat diperoleh dari penyelesaian (2.37).2.4 Persamaan Diferensial dengan Koesien LinierTinjaulah persamaan diferensial yang berbentuk(a1x +b1y +c1)dx +(a2x +b2y +c2)dy = 0. (2.38)Dalam bagian ini kita akan mengsumsikan bahwa koesien dari dxdandytidakparaleldanc1, c2tidakkeduanyanol.Denganasumsiini maka kita akan memperoleh titik tunggal perpotong dari pasangangaris lurusa1x +b1y +c1 = 0, a2x +b2y +c2 = 0. (2.39)Katakanlah titik potong dari pasangan garis (2.39) adalah (h, k). Sa-saran kita dalam hal ini adalah memindahkan titik potong ini ke titikasal yakni titik (0, 0). Untuk keperluan ini marilah kita transformasivariabel (x, y) ke variabel (X,Y) dengan relasi2.4 Persamaan Diferensial dengan Koesien Linier 23x = h+X, y = k +Y. (2.40)Dengan variabel (X,Y) titik potong akan menjadi (0, 0) yang manadengan mensubstitusikan (2.40) ke (2.38) akan diperoleh(a1X +b1Y +[a1h+b1k +c1])dX = 0, (2.41)(a2X +b2Y +[a2h+b2k +c2])dY = 0. (2.42)Perlu kita catat bahwa suku dalam [] harus sama dengan nol karenatitik (h, k) merupakan titik potong kedua garis (2.39) yang mana titikinimemenuhipersamaankeduagaris.Memperhitungnilaididalam[] sama dengan nol maka persmaan (2.41) menjadi sederhana yaitumenjadi persamaan diferensial homogen(a1X +b1Y)dX = 0, (a2X +b2Y)dY = 0. (2.43)Jadi dengan metode yang telah kita pelajari pada bagian 2.3 persama-an (2.43) dapat kita selesaian.Contoh 2.4.1Tentukanlah penyelesaian dari persamaan diferensialy/ = 4x y +72x +y 1. (2.44)Garis 4x y +7 = 0 dan 2x +y 1 = 0 berpotongan dititik (1, 3),yang dengan menggunakan persamaan (2.43) kita perolehy/ = 4X Y2X +Y . (2.45)Seperti yang kita lakukan pada bagian sebelumnya persamaan (2.45)diselesaikan dengan memisalkan Y= uXdengan dY= udX +Xduuntuk mendapatkan_3u1 +2u+4_du+ 5XdX = 0. (2.46)Mengintegralkan suku pertama terhadap u dan suku kedua terhadap Xdan menggantikan kembali u =Y/X diperoleh(Y X)3(Y +4X)2= c. (2.47)Menggantikan kembali (X,Y) ke (x, y) dari relasi x = X 1 dan y =Y +3 kita dapatkan penyelesaian persamaan diferensial (2.44), yaitu,(y x 4)3(y +4x +1)2= c. (2.48)24 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuContoh 2.4.2Carilah penyelesaian persamaan diferensial(2x y +5)dx +(x +y +3)dy = 0. (2.49)Perpotongankeduagaris2x y + 5 = 0danx + y + 3 = 0adalah(8/3, 1/3). Dengan memisalkan x =8/3+X dan y =1/3+Ydiperoleh persmaan diferensial homogen(2X Y)dx +(X +Y)dy = 0, (2.50)yangtidakterlalusulit denganmemisalkanY= uXdengandY=udX +Xdu untuk memperoleh persamaan diferensial dengan variabelterpisah. Pembaca dengan sedikit membolak-balik pelajaran kalkulusakan menemukan penyelesian persamaan diferensial dengan variabelterpisah yang kita peroleh tadi. Penyelesaiannya diberikan olehln [ X [= c 12 arctanu212 ln [ 2+u2[, X ,= 0. (2.51)Menggantikanlagi (X,Y) dengan(x, y) kitaperolehpenyelesaian(2.49) untuk x ,=13, yaitu,ln[2_3x +13_2+_3y 13_2[ = c 2arctan3y 12(3x +1). (2.52)Cara lain yang dapat kita lakukan untuk mencari penyelesaian per-samaan diferensial dengan yang tidak paralel adalah dengan memis-lakan langsung masing - masing koesien dengan variabel baru ke-mudian kita diferensial untuk mendapatkan relasi diferensial masing-masing. Misalkanlahu = a1x +b1y +c1, v = a2x +b2y +c2. (2.53)Denganmendiferensialkanmasing-masingpemisalanini akankitaperoleh relasi du dengan dx, dy, dv dengan dx, dy, yaitu,du = a1dx +b1dy, dv = a2dx +b2dy. (2.54)Dari (2.54) itu mengikuti bahwadx = b2dub1dva1b2a2b1, dy = a2dua1dva2b1a1b2. (2.55)2.4 Persamaan Diferensial dengan Koesien Linier 25Kita seharusnya mencatat bahwa pembagian pada persamaan (2.55)mempunyai arti karenakeduagaristidakparalel yangberarti pulapembagi dalam persamaan (2.55) tidak sama dengan nol. Subsitusika-nlah persamaan (2.53) dan (2.55) ke dalam (2.38) untuk mendapatkan(b2ua2v)du(b1ua1v)dv = 0. (2.56)Untuk memperoleh persamaan dengan variabel terpisah kita misalk-an lagi u = wv dengan du = vdw+wdv yang dengan cara ini akandiperolehdvv+a2 +b2wa1(a2 +b1)w+b2w2dw = 0, (2.57)yang mana penyelesaian persamaan diferensial terakhir ini diberikanolehln[v[ +_a2 +b2wa1(a2 +b1)w+b2w2dw = c. (2.58)Contoh 2.4.3Tentukanlah penyelsaian dari persamaan diferensial(2x y +1)dx +(x +y)dy = 0. (2.59)Mengunakan (2.58) diperolehln[v[ +_w12+w2dw = c. (2.60)Sekali lagi dengan kemahiran pembaca menggunakan kalkulus akandiperolehln[v2(w2+2)] = c +2arctanw2, v ,= 0. (2.61)Mensubstitusikan balik dariw = uv = 2x y +1x +y, x +y ,= 0, (2.62)didapatkan penyelesaian (2.59) untuk x +y ,= 0, yaituln[(2x y +1)2+2(x +y)2] = c +2arctan 2x y +12(x +y). (2.63)26 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuSekarang muncul pertanyaan bagaimana menangani persamaan dife-rensial dengan koesien linier yang paralel? Tentunya kita tidak bisalagi menggunakan metode pertama yang telah dijelaskan sebelumnya.Akan tetapi, dengan mengamati metode kedua yang kita gunakan un-tuk menangani persamaan dengan koesien linier yang tidak paraleldapat juga dikembangkan untuk menangani persamaan dengan koe-sien yang paralel. Pandanglah lagi persamaan (2.38) dengan meng-sumsikan kedua koesien dari dx dan dy adalah dua buah garis yangparalel. Dalam hal inia1a2= b1b2= r, r ,= 0, (2.64)denganr sebagai perbandingan. Mensubstitusikan(2.64) kedalam(2.38) dengan menggunakan r didapatkan(r(a2x +b2y +c2) +c1rc2)dx +(a2x +b2y +c2)dy = 0, r ,= 0.(2.65)Mengamati persamaan (2.65) pembaca diharapkan dengan mudah un-tuk menyederhanakan persamaan ini. Tentunya kita akan memisalkanu = a2x +b2y +c2dengan menggunakan relasi dy =dua2dxb2untukmendapatkan persamaan yang sederhanadx +u(b2r a2)u+b2(c1rc2)du = 0, u ,=b2(c1rc2)b2r a2, (2.66)yang mempunyai penyelesaianx +_u(b2r a2)u+b2(c1rc2)du = c, u ,=b2(c1rc2)b2r a2. (2.67)Contoh 2.4.4Tentukanlah penyelesaian dari(2x +3y +2)dx +(4x +6y +4)dy = 0, (2.68)dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari pe-nyelesaian 1-parameternya.Dengan memasukan nilai r, a1, b1, a2, b2, c1 dan c2 kedalampersamaan(2.67) dengan u = 4x +6y +4 akan kita peroleh2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 27x u = c, u ,= 0, (2.69)atau ekivalen denganx +2y = c, 4x +6y +4 ,= 0. (2.70)Pembaca dapat mengujinya bahwa garis lurus 4x +6y +4 = 0 jugamemenuhi persamaan diferensial (2.68) yang mana garis ini tidak da-pat diperoleh dari (2.69).Contoh 2.4.5Tentukanlah penyelesaian dari(2x +3y 1)dx +(4x +6y +2)dy = 0, (2.71)dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari pe-nyelesaian 1-parameternya.Disini kita ketahui bahwa r = 1/2. Mensubsitusikan nilai-nilai a1, b1,a2, b2, c1 dan c2 ke persamaan (2.67) kita perolehx u+12ln[u+12[ = c, u ,=12, (2.72)dimana u =4x+6y+2. Persamaan (2.72) ekivalen dengan persamaanx 2y 4+4ln[2x +3y +7[ = c, 2x +3y ,=7. (2.73)Amatilah dengan baik bahwa garis 2x +3y +7 = 0 yang mungkin di-peroleh dari penyelesaian (2.73) juga memenuhi persamaan diferensi-al (2.71). Oleh karenanya garis ini juga penyelesaian dari persamaandiferensial yang tidak diperoleh dari penyelesaian -parameternya.2.5 Persamaan Diferensial Eksak.Kembali kepelajaran kalkulus, misalkan kita mempunyai fungsi duavariabelz = f (x, y) = x2+y23x3y23x2y3+6xy +15. (2.74)Diferensial total dari fungsi (2.74) diberikan oleh28 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satudz = f (x, y)xdx + f (x, y)ydy= (2x 9x2y26xy3+6y)dx+(2y 6x3y 9x2y2+6x)dy. (2.75)Sebaliknya jika kita mulai dari ekspresi(2x 9x2y26xy3+6y)dx +(2y 6x3y 9x2y2+6x)dy (2.76)maka kita mengharapkan sebuah fungsi f (x, y) yang diferensial total-nya diberikan oleh (2.76). Ekspresi yang diberikan oleh (2.76) akandinamakan .Denisi 2.5.1Ekspresi diferensialP(x, y)dx +Q(x, y)dy (2.77)dinamakan diferensial eksak jika (2.77) menyatakan diferensial totaldari fungsi dua variabel f (x, y), yaitu;P(x, y) =x f (x, y) dan Q(x, y) =y f (x, y). (2.78)Sekarang anggaplah kita tidak mengetahui fungsi (2.74) dan kita inginmenguji apakah diferensial (2.76) eksak atau tidak, menggunakan de-nisi (2.78) kita coba untuk mendapatkan fungsi f (x, y), yakni denganmelakukan langkah-langkah berikut; pertama kita integralkan koesi-en dary dx terhadap x dengan y dianggap konstan pada langkah ini.Berarti hasil integral pada langkah pertama harus memunculkan fung-si sebarang dari y katakanlah g(y) sebagai konstanta integral. Langkahkedua hasil integral dari langkah pertama didiferensialkan terhadap y,yang mana menurut denini hasil diferensial ini harus sama dengankoesien dari dy. Dengan bahasa matematika proses ini dilakaukansebagai berikut;f (x, y) =_(2x 9x2y26xy3+6y)dx +g(y)= x23x3y23x2y3+6xy +g(y). (2.79)Fungsi f (x, y) memuat fungsi sebarang g(y) yang harus kita tentuk-anuntukmendapatkaninformasi lengkapmengenai fungsi f (x, y).2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 29Fungsig(y) ini dapat kita tentukan dengan mendiferensialkan (2.79)terhadap yy f (x, y) =6x3y 9x2y2+6x + dg(y)dy= 2y 6x3y 9x2y2+6x.(2.80)Langkah terakhir mengintegralkan (2.79) terhadap y untuk mempero-leh g(y)g(y) =_2ydy = y2+c. (2.81)Persamaan (2.81) melengkapi informasi mengenai fungsi f (x, y), yak-ni,f (x, y) = x2+y23x3y23x2y3+6xy = c, (2.82)sebagai keluarga fungsi 1-parameter.Denisi 2.5.2Persamaan diferensialP(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 (2.83)dinamakan eksak jika ada fungsi f (x, y) sedemikian hingga derivatifparsialnya terhadap x adalah P(x, y) dan derivatif parsialnya terha-dap y adalah Q(x, y).Secara simbolik denisi diatas mengatakan bahwa persamaan (2.83)dinamakan eksak jika ada fungsi f (x, y) sedimikian hingga f (x, y)x= P(x, y), f (x, y)x= Q(x, y). (2.84)Menggunakan persamaan (2.84) maka penyelesaian keluarga 1 - pa-rameter persamaan diferensial (2.83) diberikan olehf (x, y) = c, (2.85)dengan c konstanta sebarang. Setelah kita mengetahui denisi persa-maan diferensial dan penyelesian 1-parameternya, selanjutnya mun-cul pertanyaan, yaitu, bagaimana kita dapat menentukan apakah se-buah persamaan diferensial itu eksak atau tidak? jawaban dapat kitaformulasikan kedalam teorema berikut ini.30 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuTeorema 2.5Persamaan diferensialP(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 (2.86)eksak jika dan hanya jikaP(x, y)y= Q(x, y)x(2.87)dimanafungsiP(x,y),Q(x,y),P(x,y)x, Q(x,y)y,danpersamaan(2.87)terdenisi dan kontinu dalam daerah terhubung sederhana D.Persamaan (2.87) menjamin bahwa persmaan diferensial (2.86) mem-punyai penyelesaian berbentukf (x, y) = c. Selanjutnya, jika (xo, yo)sebuah titik terletak dalam domain D dan persegi panjang yang diben-tuk oleh segmen garis yang menghubungkan titik-titik (xo, yo), (x, yo)dan(xo, yo), (xo, y)terletakseluruhnyadalamDmakapenyelesaianpersamaan diferensial eksak itu diberikan olehf (x, y) =_xxoP(x, y)dx +_yyoQ(xo, y)dy = c, (2.88)atauf (x, y) =_yyoQ(x, y)dy +_xxoP(x, yo)dx = c, (2.89)dimana kedua fungsi (2.88) dan (2.89) akan menghasilkan keluargapenyelesian 1-parameter dari persamaan diferensial eksak (2.86).Contoh 2.5.1Tunjukkanlah bahwa persamaancos(y)dx (xsin(y) y2)dy = 0 (2.90)adalah eksak dan tentukan keluarga 1-parameter penyelesainnya.Menggunakan teorema 2.5.3 dengan P(x, y) = cos(y) dan Q(x, y) =xsin(y) +y2dimanaP(x,y)y= sin(y)danQ(x,y)x= sin(y)ki-ta peroleh bahwa persamaan (2.90) adalah eksak. Karena P(x, y) danQ(x, y) terdenisi untuk semua x, y maka kita dapat memilih xo = 0dan yo =0. Menggunakan pemilihan xo dan yo ini diperoleh Q(xo, y) =Q(0, y) = y2. Akibatnya persamaan (2.88) menjadi2.5 Persamaan Diferensial Eksak. 31_x0cos(y)dx +_y0y2dy = c. (2.91)Mengintegralkansukupertama(2.91) terhadapxdansukukedua(2.91) terhadap y kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameter, ya-ituxcos(y) + y33= c. (2.92)Contoh 2.5.2Tunjukkanlah bahwa persamaan differensial berikut(x 2xy +ey)dx +(y x2+xey)dy = 0. (2.93)eksak dan tentukan penyelesaian khususnya dimana penyelesaian itumemenuhi syarat y(1) = 0.Dalam hal ini P(x, y) =x2xy+eydan Q(x, y) =yx2+xey. BerartiP(x,y)y= 2x +eydanQ(x,y)x= 2x +ey. KarenaP(x,y)y=Q(x,y)xmaka menurut teorema 2.5.3 persamaan (2.93) eksak. Juga dalam halini P dan Q terdenisi untuk semua nilai x dan y dan olehkarenanyakita dapat memilih xo = 0 dan yo = 0. Dengan pemilihan ini meng-akibatkanQ(xo, y) = y. Karenanya persamaan integral berikut akandiperoleh_x0(x 2xy +ey)dx +_y0ydy = c. (2.94)Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.94) terhadap x dan sukukedua terhadap y penyelesaian keluarga 1-parameter diperolehx22 x2y +xey+ y22= c. (2.95)Mensubstitusikan y(1) =0, yaitu y =0 untuk x =1, penyelesaian khu-sus yang diperoleh adalahx22x2y +2xey+y2= 3, (2.96)yaitu c =32.Contoh 2.5.3Tunjuakkanlah bahwa persamaan diferensial(x3+xy2sin(2x) +y2sin2(x))dx +(2xysin2(x))dy = 0, (2.97)eksak dan tentukanlah keluarga penyelesaian 1-parameternya.32 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuDalam hal iniP(x, y)y= 2xysin(2x) +2ysin2(x) (2.98)danQ(x, y)x= 2xysin(2x) +2ysin2(x). (2.99)Berdasarkan informasi ini kita simpulkan persamaan diferensial (2.97)eksak. Sekali lagi kita amati bahwa fungsi P dan Q terdenisi untuksemua nilai x dan y. Untuk itu kita boleh mengambil xo =0 dan yo =0.Akibatnya P(x, yo) =P(x, 0) =x3dan menggunakan persamaan (2.89)persamaan integral berikut diperoleh_y02xysin2(x)dy +_x0x3dx = c. (2.100)Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.100) terhadap y dan su-ku kedua terhadap x kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameterberikut inixy2sin2(x)dy + x44= c. (2.101)2.6 Faktor integrasi.Denisi 2.6.1Sebuah faktor pengali yang menjadikan suatu persa-maan diferential yang tidak eksak menjadi persamaan diferensial ek-sak dinamakan .Sebagai contoh, persamaan diferensial (y2+y)dx xdy = 0 tidak ek-sak. Apabila persamaan itu dikalikan dengan y2persamaan yang di-peroleh adalah (1+ 1y)dxxy2dy =0 dengan y ,=0. Persamaan terakhirini adalah persamaan diferensial eksak (ujilah). Perdenisi faktor pe-ngali y2ini dinamakan faktor integrasi.Contoh 2.6.1Selesaikanlah persamaan diferensial(y2+y)dx xdy = 0. (2.102)2.6 Faktor integrasi. 33Sepertikitakatakandiatasbahwapersamaandiferensialinimem-punyai faktorintegrasi y2.(pembacadimintauntukmembuktikan-nya). Persamaan diferensial yang diperoleh dari mengalikan persama-an (2.102) dengan faktor integrasinya adalah(1+ 1y)dx xy2dy = 0, y ,= 0. (2.103)Sekarang kita dapat menyelesaiankan persamaan diferensial (2.103)denganmetodestandar. Jikakitasusunlagi persamaandiferensial(2.103) dengan cara berikut inidx + ydx xdyy2= 0, y ,= 0, (2.104)maka suku kedua dari persamaan terakhir merupakan bentuk diferen-sial d(x/y). Karenanya dengan mengintegrasikan kedua ruas dipero-leh penyelesaian keluarga 1-parameterx + xy = c, atau y =xc x, y ,= 0. (2.105)Perlu kita perhatikan dengan teliti bahwa garis y = 0 juga penye-lesaian persamaan diferensial (2.102) yang tidak dapat diperoleh daripersamaan (2.105). Olehkarenanya, penyelesaian ini dinamakan pe-nyelesaian khusus untuk (2.102).Contoh 2.6.2Selesaikanlah persamaan diferensialysecxdx +sinxdy = 0, x ,= 2, 32,. (2.106)Marilahkitaperhatikanbahwapersamaandiferensial diatasbukanpersamaan diferensial eksak. Akan tetapi secx adalah sebuah faktorintegrasidaripersamaandiferensialdiatas. Olehkarenanyaapabilapersamaandiferensial(2.106)dikalikandengansecxakanmenjadipersamaan dieferensial eksak (ujilah!). Kalikanlah persamaan (2.106)dengan secx untuk mendapatkan persamaan deferensial eksakysec2xdx +tanxdy = 0, x ,= 2, 32,. (2.107)34 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuUntuk menyelesaiakan persamaan diferensial terakhir ini dengan meng-gunakan metode penyelesaian persamaan diferensial eksak yang telahkita bahas sebelumnya. Akan tetapi dalam hal ini kita akan selesaik-an persamaan ini dengan cara mengenali diferensial ruas sebelah kiri(2.107). Diferensial ruas sebelah kiri (2.107) tidak lain adalah deri-vatif dari fungsi ytanx. Olehkarenanya penyelesaian yang persmaandiferensial (2.106)ytanx = c, atau y = ccot x. (2.108)2.7 Menentukan Faktor IntegrasiKita dapat memberikan catatan terhadap denisi faktor integrasi. Me-tode standar untuk mencari faktor integrasi yang kita bahas sebelum-nya adalah untuk persamaan diferensial tipe-tipe khusus saja. Berikutini kita akan membahas faktor integrasi untuk berbagaimanacam tipepersamaan diferensial yang lebih umum.Kita mulai pembahasan kita dengan meninjau persmaan diferensialberbentukP(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 (2.109)yang manapersamaan ini secara umum tidakeksak. Kita asumsik-an bahwa faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.109) adalahfungsi dari h(x, y). Tujuan dari pembahasan kita kali ini adalah un-tuk menentukan fungsi dari h sedemikian hingga persamaan (2.109)menjadi eksak. Perdenisi persamaan diferensialh(x, y)P(x, y)dx +h(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.110)adalah persamaan diferensial eksak. Olehkarenanya dengan teoremaakita dapatkanyh(x, y)P(x, y) =xh(x, y)Q(x, y). (2.111)Selanjutnya kita akan meninjau tipe-tipe dari fungsi h sendiri.2.7 Menentukan Faktor Integrasi 352.7.1 h fungsi hanya dari xUntuk kasus ini h(x, y) = h(x). Dengan menyelesaiankan diferensial(2.111) kita dapatkanh(x) yP(x, y) = h(x) xQ(x, y) +Q(x, y)dhdx(x). (2.112)persamaan terakhir ini dapat kita tulis dalam bentukdh(x)d(x)=yP(x, y) xQ(x, y)Q(x, y)dx. (2.113)Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.113) ini.Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari x saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari x saja. Sekarang misalkan koesien dari dxadalah F(x), yaituF(x) =yP(x, y) xQ(x, y)Q(x, y). (2.114)Dengan meninjau persamaan (2.113) kita ketahuidh(x)d(x)= F(x) yangdapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi darih(x) = e_ F(x)dx. (2.115)Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dariintegrasi ruas kanan (2.115).Contoh 2.7.1Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial(exsiny)dx +cosydy = 0 (2.116)bukanpersamaandiferensial eksakdankemudiantentukankanlahfaktor integrasinya.Pertama-tama kita nyatakan koesien dari dx dan dy dengan fungsiP(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.116) diperoleh bahwa P(x, y) = exsinydan Q(x, y) = cosy. OlehkarenanyaP(x, y)y=cosy danQ(x, y)x= 0. (2.117)36 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuDalam hal ini persamaan diferensial (2.116) tidak eksak danF(x) = cosycosy=1. (2.118)Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.116) yaituh(x) = e_ dx= ex. (2.119)Contoh 2.7.2Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial(1xy)dx +(xy x2)dy = 0 (2.120)bukanpersamaandiferensial eksakdankemudiantentukankanlahfaktor integrasinya.Langkahpertamanakitanyatakankoesiendaridxdandydenganfungsi P(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.120) diperoleh bahwa P(x, y) =1xy dan Q(x, y) = xy x2. OlehkarenanyaP(x, y)y=x danQ(x, y)x= y 2x. (2.121)Dalam hal ini persamaan diferensial (2.120) tidak eksak danF(x) = x y +2xxy x2=1x. (2.122)Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.120) yaituh(x) = e_ 1xdx= elnx= 1x. (2.123)2.7.2 h fungsi hanya dari yDalam kasus ini, dengan mengalikan persamaan diferensial (2.109)dengan faktor integrasinya h (fungsi hanya dari y) kemudian denganmenggunakan kondisi keeksakan persamaan diferensial yang dipero-leh2.7 Menentukan Faktor Integrasi 37h(y) yP(x, y) +P(x, y)dh(y)dy= h(y) xQ(x, y). (2.124)Persamaan (2.124) dinyatakan dalam bentukdh(y)d(y)=xQ(x, y) yP(x, y)P(x, y)dy. (2.125)Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.125) ini.Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari y saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari y saja. Sekarang misalkan koesien dari dyadalah G(y), yaituG(y) =xQ(x, y) yP(x, y)P(x, y). (2.126)Dengan meninjau persamaan (2.125) kita ketahuidh(y)d(y)= G(y) yangdapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi darih(y) = e_ F(y)dy. (2.127)Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dariintegrasi ruas kanan (2.127).Contoh 2.7.3Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensialxydx +(1+x2)dy = 0 (2.128)bukan persamaan diferensial eksak kemudian tentukanlah faktor inte-grasinya.Denganmemperhatikankoesiendxdandypersmaan(2.128)kitaperolehP(x, y)y= x, danQ(x, y)x= 2x. (2.129)Dari persamaan (2.129) itu juga mengikuti bahwaG(y) = 2x xxy= 1y. (2.130)Persamaan (2.130) membuktikan bahwa persmaan diferensial (2.128)tidak eksak. Selanjutnya mengunakan (2.127) kita peroleh faktor in-tegrasi dari persamaan diferensial (2.128) diberikan olehh(y) = e_ G(y)dy= elny= y. (2.131)38 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu2.7.3 h fungsi dari xyAnggaplah faktor integrasi persamaan diferensial (2.109) adalah h(xy).Misalkan u(x, y) = xy. Dengan menggunakan aturan rantai persmaan(2.111)h(u) yP(x, y) +P(x, yh(u)y= h(u) yQ(x, y) +Q(x, y)h(u)x,(2.132)dimanaxh(u) = h/(u)ux = dh(u)duux(2.133)danyh(u) = h/(u)uy = dh(u)duuy. (2.134)Mengingat u =xy akibatnyaux =y danuy =x dan persamaan (2.134)menjadixh(u) = yh/(u) = ydh(u)du, (2.135)danyh(u) = xh/(u) = xdh(u)du. (2.136)Mensubstitusikan persamaan (2.134), (2.135) dan (2.136) ke dalam(2.132) kita perolehdh(u)h(u)=yP(x, y) xQ(x, y)yQ(x, y) xP(x, y)du. (2.137)Lagi mengingat ruas kiri persamaan (2.137) adalah fungsi dari u makakoesien dari du juga fungsi dari u juga. Sekarang misalkanF(u) =yP(x, y) xQ(x, y)yQ(x, y) xP(x, y), (2.138)makadh(u)h(u)= F(u)du. (2.139)Penyelesaian dari persamaan diferensial (2.139) diberikan olehh(u) = e_ F(u)du. (2.140)2.7 Menentukan Faktor Integrasi 39Contoh 2.7.4Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial(y3+xy2+y)dx +(x3+x2y +x)dy = 0 (2.141)bukan persamaan diferensial eksak dan carilah faktor integrasinya.Pada contoh ini kita ketahui bahwa P(x, y) =y3+xy2+y dan Q(x, y) =x3+x2y +x. Dengan mendiferensialkan P terhadap y dan Q terhadapx diperolehP(x, y)y=3y2+2xy+1) danP(x, y)x=3x2+2xy+1. (2.142)Dari persamaan (2.142) kita perolehP(x, y)yP(x, y)x= 3(y2x2). (2.143)Hal ini menunjukkan bahwa persamaan diferensial (2.141) tidak ek-sak. Selanjutnya akan kita tentukan faktor integrasinya. Menggunakan(2.138) itu mengikuti bahwaF(u) =yP(x, y) xQ(x, y)yQ(x, y) xP(x, y)= 3(x2y2)xy(x2y2)=3u. (2.144)Kemudian menggunakan (2.139) kita peroleh faktor integrasinya, ya-ituh(u) = e_3udu= e3lnu= (xy)3. (2.145)Ujilah bahwa persamaan differensial (2.141) akan menjadi eksak jikapersamaan itu dikalikan dengan (xy)3.2.7.4 h fungsi dari x/yMisalkan u = x/y dan h = h(u) maka, dengan menggunakan aturanrantai, akan diperolehyh(u) = h/(u)uy = xy2dduh(u) (2.146)40 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satudanxh(u) = h/(u)ux = 1ydduh(u). (2.147)menggunakan (2.146) dan (2.147) kedalam (2.132), setelah penyeder-hanaan, akan diperoleh persamaan berikutdh(u)h(u)= y2(Py (x, y) Qx (x, y))xP(x, y) +yQ(x, y)du. (2.148)Dengan memperhatikan ruas kiri dari (2.148) yaitu fungsi hanya dari umaka ruas kanan haruslah fungsi hanya dari u juga. Sekarang misalkanG(u) = y2(Py (x, y) Qx (x, y))xP+yQ(2.149)maka memperhatikan (2.148) dan (2.149) diperolehdh(u)h(u)= G(u). (2.150)Mengintegralkan (2.150) terhadap u diperolehh(u) = eG(u)du. (2.151)Persamaan (2.151) ini adalah faktor integrasi.Contoh 2.7.5Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial3ydx xdy = 0 (2.152)bukan persamaan diferensial eksak. Kemudian tentukanlah faktor in-tegrasinya.Memperhatikanpersamaan(2.109) dan(2.152) kitada[atkanbah-wa P = 3y, Q = x. Olehkarenanya itu mengikuti bahwaPy= 3y,f racQx =1. Menggunakan (2.149) diperolehG(u) = y2(3+1)3xy xy= 2yx = 2u. (2.153)Karena G(u) ,= 0 maka persamaan diferensial (2.152) bukan persa-maandiferensial eksak. Menggunakanpersamaan(2.151)kedalam(2.153) itu mengikuti bahwa2.7 Menentukan Faktor Integrasi 41h(u) = e_2udu= elnu2= u2= x2y2. (2.154)Jadi factor integrasi dari persamaan diferensial (2.152) diberikan olehx2/y2.2.7.5 h fungsi dari y/xDengan mengikuti langkah-langkah yang diberikan dalambagian 2.7.4akan kita dapatkan faktor integrasi yang dberikan olehh(u) = eK(u)du(2.155)dimana u = y/x danK(u) =x2_Qx (x, y) Py (x, y)_xP(x, y) +yQ(x, y). (2.156)Proses (2.155) dan (2.49) sangat bagus untuk latihan.Contoh 2.7.6Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensialydx 3xdy = 0 (2.157)bukan persamaan diferensial eksak. Tentukanlah faktor integrasinya.memperhatikan (2.109) dan (2.157) kita peroleh P = y dan Q =3x,karenanyaPy= 1 danQx=3. Menggunakan (2.156) diperolehK(u) = x2(31)xy 3xy= 2xy = 2u. (2.158)Karena K(u) ,= 0 maka dapat disimpulkan bahwa persamaan diferen-sial (2.157) tidak eksak. Menggunakan (2.158) kedalam (2.155) dipe-rolehh(u) = e_2udu= elnu2= u2= y2x2. (2.159)Dari persamaan (2.159) didapatkan bahwa faktor integrasi dari persa-maan diferensial (2.157) adalahy2x2.42 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu2.7.6 Bentuk Khusus dari P dan Q.Jika persamaan diferensial dapat dijadikan ke dalam bentuk persama-an diferensial berikuty(Axpyq+Bxrys)dx +x(Cxpyq+Dxrys)dy = 0 (2.160)dimana A, B,C, dan D semuanya konstanta, maka persamaan diferen-sial (2.160) mempunyai faktor integrasi fungsi dari xaybdimana a danb dua konstanta yang dipilih sedemikian hingga persamaan diferensialxayb(y(Axpyq+Bxrys)dx +x(Cxpyq+Dxrys)dy) = 0 (2.161)eksak. Bukti dari pernyataan di atas diluar dari tujuan buku ini dan da-pat dengan mudah untuk mendapatkannya dalam buku-buku persama-an diferensial elementer. Untuk mendapatkan pemahaman bagaima-na mendapatkan faktor integrasi dari persamaan diferensial berbentuk(2.160) kita sajikan contoh dibawah ini.Contoh 2.7.7Tunjukkan bahwa persamaan diferensialy(2x2y3+3)dx +x(x2y31)dy = 0 (2.162)bukan eksak. Tentukanlagh faktor integrasinya.memperhatikan persamaan (2.109) dan (2.162) diperolehP = y(2x2y3+3)danQ = x(x2y31). (2.163)BerartiPy = 8x2y3+3 danQx= 3x2y31. Mengikuti Teorema 2.5.3denganPy Qx= 5x2y3+4 (2.164)dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial (2.162) tidak eksak.Dengan mengalikan persamaan diferensial (2.162) dengan faktor in-tegrasinya xaybdiperoleh(2xa+2yb+4+3xayb+1)dx +(xa+3yb+3xa+1yb)dy = 0. (2.165)Karena (2.165) adalah persamaan diferensial eksak maka menurut te-orema 2.5.3 haruslahPy Qx= 0 untuk semua nilai x dan y dalamdomain, yaitu (setelah penyederhanaan)2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 43(2b+8)x2y3+3b+3 = (a+3)x2y3(a+1). (2.166)karena (2.166) berlaku untuk semua x dan y dalam domain, maka ha-ruslah2b+8 = a+3 dan 3b+3 =a1. (2.167)Dengan menyelesaikan system (2.167) diperoleha = 75dan b =95. (2.168)Jadi faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.162) adalah x75y95.2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu.Denisi 2.8.1Persamaan diferensial linier order satu adalah persa-maan diferensialyang dapat ditulis dalam bentukdydx +P(x)y = Q(x), (2.169)dimana P(x) dan Q(x) adalah fungsi kontinu dari x pada interval (da-erah) dimana P dan Q terdenisi.Pada bagian yang lalu kita telah membahas faktor integrasi dari suatupersamaan diferensial. Selanjutnya kita akan perlihatkan bahwa fak-tor integrasi dari persamaan diferensial (2.169) adalah fungsi dari xberbentuke_ P(x)dx, (2.170)dengan konstanta integrasi dipilih nol. Dengan mengalikan kedua ruasdengan (2.169) dengan faktor e_ P(x)dxdx akan diperolehe_ P(x)dxdy +(P(x)y Q(x))e_ P(x)dxdx = 0. (2.171)Koesien dari dx dan dy dalam (2.171) beturut-turut diberikan oleh(P(x)y Q(x))e_ P(x)dxdan e_ P(x)dx. Sekarang kita diferensialkan ko-esien dx terhadap y untuk mendapatkan44 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuP(x)e_ P(x)dx, (2.172)dan koesien dy terhadap x untuk mendapatkanP(x)e_ P(x)dx. (2.173)Memperhatikan (2.172) dan (2.173) dan menggunakan teoreme 2.5.3dapat kita simpulkan bahwa persamaan diferensial (2.171) adalah per-samaan diferensial eksak. Jadi itu mengikuti dari denisi faktor inte-grasi bahwa e_ P(x)dxadalah faktor integrasi dari persamaan diferensial(2.169). Sekarang kita tuliskan persamaan (2.169) dalam bentuke_ P(x)dxdy +P(x)ye_ P(x)dxdx = Q(x)e_ P(x)dxdx. (2.174)Karena (2.171) eksak maka (2.174) juga eksak. Jadi persamaan di-ferensial (2.174) dapat kita selesaikan dengan menggunakan metodepenyelesaian yang telah dibahas pada bagian persamaan diferensialeksak. Akan tetapi kali ini kita akan mencoba untuk menyelesaikanpersamaan(2.174)denganmetodelain.Perhatikanbahwaruaskiridari (2.174) adalah derivatif total dari fungsi e_ P(x)dxy (ingat lagi pe-lajaran kalkulus), yaitud(e_ P(x)dxy) = e_ P(x)dxdy +P(x)ye_ P(x)dxdx. (2.175)Dengan memperhatikan (2.174) dan (2.174) diperolehd(e_ P(x)dxy) = Q(x)e_ P(x)dxdx. (2.176)Dengan mengintegralkan kedua ruas (2.177) didapatkane_ P(x)dxy =_Q(x)e_ P(x)dxdx +c. (2.177)Kemudian dengan mengalikan kedua ruas (2.177) dengan e_ P(x)dxdiperolehy = e_ P(x)dx_Q(x)e_ P(x)dxdx +ce_ P(x)dx, (2.178)dimana c konstanta integrasi.2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 45Contoh 2.8.1Tentukanlah penyelesaian daridydx +3y = e5x, y(0) = 5. (2.179)Membandingkan (2.179) dengan (2.169) diperoleh P(x) =3 dan Q(x) =e5x. Olehkarenanya_P(x)dx =_3dx = 3x (2.180)dan_e_ P(x)dxQ(x)dx =_e3xe5xdx =_e8xdx = 18e8x. (2.181)Menggunakan hasil dari (2.180) dan (2.181) kedalam (2.178) dipero-lehy = e3x18e8x+ce3x= 18e5x+ce3x. (2.182)Dari soal kita ketahui bahwa pada saat x = 0 nilai y = 5 atau y(0) = 5.Olehkarenanya dengan memasukkan nilai x = 0 dan y = 5 kedalam(2.182) akan didapatkan nilai c, yaitu5 = e018e0+ce0= 18 +c. (2.183)Dari (2.183) kita dapatkan penyelesaian khusus (2.179), yakniy = 18e5x+ 398 e3x(2.184)Contoh 2.8.2Carilah penyelesaian persamaan diferensialdxdy2xy = ex2. (2.185)46 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuDalam soal ini kita ketahui bahwa P(x) =2x, Q(x) = ex2. Olehkare-nanya kita dapatkan_P(x)dx =_ 2xdx =x2(2.186)dan_e_ P(x)dxQ(x)dx =_e2xe2xdx = x. (2.187)Menggunakan (2.186) dan (2.187) kedalam (2.178) diperolehy = e2x(x +c). (2.188)Contoh 2.8.3Carilah penyelesaian persamaan diferensialxdxdy +3y = sinxx2, x ,= 0; y(2) = 1. (2.189)Karena x ,= 0 maka (2.189) dapat dibagi dengan x untuk mendapatkandxdy +3yx = sinxx3, x ,= 0; y(2) = 1. (2.190)Dari persamaan (2.190) kita ketahui bahwa P(x) =3x dan Q(x) =sinxx3.Olehkarenanya kita peroleh lagi_P(x)dx =_3xdx = 3lnx = lnx3(2.191)dan_e_ P(x)dxQ(x)dx =_elnx3 sinxx3dx=_x3sinxx3dx=_sinxdx= cosx. (2.192)Menggunnakan (2.191) dan (2.192) ke dalam (2.178) diperolehy = elnx3(cosx) +celnx3= x3cosx +cx3= x3(cosx +c). (2.193)2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 47Penyelesaian umum(2.189) diberikan oleh (2.193). Penyelesaian khu-sus (2.189) yang memenuhi y(/2) = 1, yaitu y = 1 untuk x = /2,diperoleh dengan memasukkan nilai y dan x ini kedalam (2.193) yaitu1 = 23(cos2 +c)= c23. (2.194)Menggunakan nilai c dalam (2.194) kedalam (2.193) diperoleh penye-lesaian khusus (2.189), yaituy = x3(cosx + 23). (2.195)2.8.1 Jastikasi Faktor Integrasi e_ P(x)dx.Kita perhatikan persamaan diferensial (2.169) dalam bentuk persama-an (2.109) yaitu(P(x)y Q(x))dx +dy = 0. (2.196)Misalkan u(x) faktor integrasi persamaan diferensial (2.196). Selan-jutnya kalikan (2.196) dengan u(x) untuk memperolehu(x)(P(x)y Q(x))dx +u(x)dy = 0. (2.197)Perdenisi persamaan diferensial (2.197) adalah eksak. Menggunakanteorema 2.5.3 itu berlakuyu(x)(P(x)y Q(x)) =xu(x). (2.198)MemperhitungkanP(x),Q(x),danu(x)adalahfungsihanyadarixmaka diperoleh dari (2.198) bahwau(x)P(x) =xu(x) = du(x)dx. (2.199)Mengalikan (2.199) dengandxu(x) diperoleh48 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuP(x)dx = du(x)u(x). (2.200)Dengan mengintegralkan (2.200) terhadap x dan dengan memilih kon-stanta integrasi sama dengan n0l diperolehlnu(x) =_P(x)dx, (2.201)atauu(x) = e_ P(x)dx. (2.202)Persamaan terakhir (2.202) membuktikan bahwa faktor integrasi per-samaan diferensial (2.196) diberikan olehe_ P(x)dx. (2.203)2.8.2 Persamaan Bernoulli.Salah satu tipe khusus dari persamaan diferensial order satu adalahpersamaan , matematikiawan Swiss yang bernama lengkap James Ber-noulli (1654-1705). Bentuk umum persamaan Bernoulli adalahdydx +P(x)y = Q(x)yn, (2.204)dengan n bilangan bulat.Jika n = 1 maka persamaan (2.204) direduk-si ke persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Kita perhatikanbahwa untuk n ,= 0 atau 1 maka persamaan diferensial (2.204) me-rupakan persamaan diferensial tidak linier. Jika kita kalikan (2.204)dengan (1n)yndidapatkan(1n)yndydx +(1n)y1nP(x)y = (1n)Q(x). (2.205)Kita perhatikan bahwa suku pertama ruas kiri berasal dari derivatiffungsi y1nyaituddxy1n= (1n)yndydx. (2.206)Karenanya persamaan (2.205) dapat ditulis dalam bentuk2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 49ddxy1n+(1n)y1nP(x)y = (1n)Q(x). (2.207)Dengan memisalkan y1n=Ydiperoleh (2.207) direduksi ke bentukstandar persamaan diferensial linier (2.169) yaituddxY +(1n)YP(x)y = (1n)Q(x), (2.208)denganP(x)diganti dengan(1 n)P(x)danQ(x)diganti dengan(1n)Q(x). Dengan membandingkan (2.208) dengan (2.169) dan de-ngan memperhitungkan bahwa n sebagai konstanta maka dapat kitasimpulkan bahwa penyelesaian (2.208) diberikan olehY = e(1n)_ P(x)dx_(1n)Q(x)e_ P(x)dxdx +ce(1n)_ P(x)dx(2.209)atauy1n= e(1n)_ P(x)dx_(1n)Q(x)e_ P(x)dxdx +ce(1n)_ P(x)dx.(2.210)Contoh 2.8.4Tentukanlah penyelesaiandydx +xy = xy, y ,= 0. (2.211)Dengan mengobservasi persamaan (2.211) dan persamaan (2.204) ki-ta peroleh bahwaP(x) = x,Q(x) = x, dann = 3. Olehkarenanyamenggunakan (2.210) diperolehy4= e4_ xdx_4xe_ xdxdx +ce4_ xdx= e2x2_4xe2x2dx +ce2x2. (2.212)Kita ketahui bahwa integral persamaan terakhir adalah derivatif darie2x2. Berarti penyelesaian dari persmaan (2.211) diberikan olehy4= e2x2e2x2+ce2x2= 1+ce2x2. (2.213)50 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu2.8.3 Persamaan Riccati.Tipe khusus lain dari persamaan diferensial order satu adalah , mate-matikiawan Itali yang bernama lengkap Vicenzo Riccati (1707-1775).Bentuk standar dari persamaan Riccati adalahdydx = P(x)y2+Q(x)y +R(x), P(x) ,= 0. (2.214)Persamaan (2.214) dapat diintegralkan jika penyelesaian khusus dike-tahui. Misalkan y1 adalah penyelesaian khususnya. Dengan mensub-situsikany = y1 + 1v(2.215)kedalam (2.214) kita perolehpersamaan dalam v, yaituy/ v/v2= P(x)(y1 + 1v)2+Q(x)(y1 + 1v) +R(x), P(x) ,= 0= P(x)(y21 +2y11v +1v2 +Q(x)y1 +Q(x)1v +R(x).(2.216)Dengan memperhitungkan y1 adalah penyelesaian (2.214) maka per-samaan (2.216) menjadiv/+(2P(x) +Q(x))v =P(x). (2.217)Persamaan (2.217) adalah tipe persmaan (2.169) yang dapat diselesa-ikan dengan metode standar persamaan diferensial linier.Contoh 2.8.5Selesaikanlah persamaan diferensial2x2y/ = (x 1)(y2x2) +2xy. (2.218)Dari observasi kita dapatkan bahwa y = x adalah penyelesaian khususpersamaan diferensial (2.218). Olehkarenanya untuk menyelesaikan(2.218) dapat kita substitusikany = x + 1v(2.219)kedalam (2.218) untuk mendapatkan persamaan2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 512x2(1 v/v2) = (x 1)__x + 1v_2x2_+2x_x + 1v_. (2.220)Menyelesaikan (2.220) diperoleh bentuk sederhananya2x2(v/+v) = x 1. (2.221)Dengan mengintegralkan (2.221) (menggunakan metode penyelesaik-an persamaan linier, lihat persmaan (2.178)) diperolehv = cxex12x, (2.222)dengan c sebagai konstanta integrasi. Menggunakan (2.219) kedalam(2.222) kita dapatkan penyelesaian (2.218), yaituy = x +2xcxex1 = xcxex+1cxex1. (2.223)52 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order SatuSoal-soal latihan2.1. Selesaikanlah persamaan diferensial berikuta). 4xydx +(x2+1)dy = 0.b). (x3y +yx2)dx +(y3x2+2x2y)dy = 0.c). (ylnx = xdydx.d). 4cos2ydx +cosec2xdy = 0.e).2xydydx = 1.f).dydx = exy.g). (y2+1)dx (x2+1)dy = 0.h).dydx cos(x) y = 1.i). yx2dy y3dx = 2x2dy.j). (y21)dx (2y +xy)dy = 0.k). xlnxdy +_1+y2dx = 0.l). ex+1tanydx +cosydy = 0.m). xcosydx +x2sinydy = a2sinydy, dimanaasebuah konstanta.n). (x 1)cosydy = sxsinydx.o). y/ = ylnycot x.p). xdy +(1+y2)arctanydx = 0.q). dy +x(y +1)dx = 0.r). ey2(x2+2x +1)dx +(xy +y)dy = 0.s). (x +y) +y/ = 0.Bantuan misalkanlahx+y=v.2.2. Tentukanlah penyelesaian khusus yang memenuhi nilai yang di-berikan pada masing-masing soal berikut dibawah ini.a).dydx +y = 0, y(1) = 1.b). sinxcos2ydx +cosxsin2ydy = 0, y(0) = /2.c). (1x)dy = x(y +1)dx, y(0) = 0.d). ydy +xdx = 3xy2dx, y(2) = 1.e). dy = ex+ydx,y(0)=0.2.3. Tentukanlah penyelesaian dari persamaan diferensial berikut ini.a). (2xy +3y2)dx (2xy +x2)dy = 0.b). (x3= y2_x2+y2)dx (xy_x2+y2)dy = 0.c). (3x2+9xy +5y2)dx (6x2+4xy)dy = 0.2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 532.4. Tentukanlah penyelesaian persaman diferensial dibawah ini de-ngan mengasumsikan dalam masing - masing kasus koesien dy ,= 0.a). 2xydx +(x2+y2)dy = 0.b). (x +_y2xy)dy ydx = 0.c). (x +y)dx (x y)dy = 0.d). xy/y xsin yx = 0.e). (2x2y +y3)dx +(xy22x3)dy = 0.f). y2dx +(x_y2x2xy)dy = 0.g).yx cos yxdx _xy sin yx +cos yx_dy = 0.h). ydx +xln yxdy 2xdy = 0.i). 2yex/ydx +(y 2xex/y)dy = 0.j)._xey/xysin yx_dx +xsin yxdy = 0.2.5. Tentukanlah penyelesaian masing-masing persamaan diferensialberikut ini.a). (x +y +1)dx +(2x +3y +2)dy = 0.b). (y +1)dx +(2x 3)dy = 0.c). (3x +4y +1)dx +(2x +2y +1)dy = 0.d). (7y +1)dx +(2x 3)dy = 0.e). (x +2y 4)dx (2x 4y)dy = 0.f). (3x +2y +1)dx (3x +2y 1)dy = 0.g). (x +y +1)dx +(2x +2y +2)dy = 0.h). (2x y +1)dx +(4x 2y +3)dy = 0.i). (x +3y +1)dx +(2x +6y 1)dy = 0.j). (2x +3y +1)dx +(2x +3y +2)dy = 0.k). (x +y +1)dx +(3x +2y +2)dy = 0.l). (x +y)dx +(3x +3y 4)dy = 0, y(1) = 0.m). (3x +2y +3)dx (x +2y 1)dy = 0, y(2) = 1.n). (x +7)dx +(2x +y +3)dy = 0, y(0) = 1.o). (x +y +2)dx (x y 4)dy = 0, y(1) = 0.54 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu2.6. Tunjukkanlah bahwa masing-masing persamaan diferensial beri-kut ini eksak dan tentukanlah keluarga penyelesaian 1-parameternya.a). (3x2y +8xy2)dx +(x3+8x2y +12y2)dy = 0.b). (2x2+3y2)dydx +(3x2+4xy) = 0.c). (hx +by)dydx +(ax +hy) = 0.d)._(a+2h)x2+2(b+2h)xy +3by2_dydx +3ax2+2(a+2h)xy+(b+2h)y2= 0..e). (4x3y +12x2y2+5x2+3x)dydx +6x2y28xy3+10xy +3y = 0.f). (cos(x) xcos(y))dydxsin(y) ysin(x) = 0.g).2xy+1ydx + yxy2dy = 0.h). 2xydx +(x2+y2)dy = 0.i). (exsin(y) +ey)dx (xeyexcos(y))dy = 0.j). cos(y)dx (xsin(y) y2)dy = 0.k). (x 2xy +ey)dx +(y x2+xey)dy = 0.l). (x2x +y2)dx (ey2xy)dy = 0.m). (2x +ycos(x))dx +(2y +sin(x) sin(y))dy = 0.n). (x_x2+y2)dx x2yyx2+y2dy = 0.o). (4x3sin(x) +y3)dx (y2+13xy2)dy = 0.p).x2dyydx+2xln[y[ = 0.q)._x+ay+b_2dydx = 2x+ay+b.r).(1x2)y/+(1y2)(1+xy)2= 0.2.7. Tentukanlah penyelesaian khusus yang memenuhi syarat awal un-tuk masing-masing persamaan diferensial berikut ini.a). ex(y3+xy3+1)dx +3y2(xex6)dy = 0, y(0) = 1.b). sin(x)cos(y)dx +cos(x)sin(y)dy = 0, y(4) =4.c). (y2exy2+4x3)dx +(2xyexy23y2)dy = 0, y(1) = 0.2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. 552.8. Tentukanlah apakah persamaan diferensial yang diberikan eksakatau tidak. Jika jawabannya tidak, tentukanlah faktor integrasinya. Ke-mudian carilah penyelesaian keluarga 1-parameter untuk semua saol.a). (2xy +x2)dx +(x2+y2)dy = 0.b). (x2+ycosx)dx +(y3+sinx)dy = 0.c). (x2+y2+x)dx +(xydy = 0.d). (x 2xy +ey)dx +(y x2+xy)dy = 0.e). (exsiny +ey)dx (xeyexcosy)dy = 0.f). (x2y2y)dx (x2y2x)dy = 0.g). (x4y2y)dx +(x2y4x)dy = 0.h). (y(2x +y3)dx x(2x y3)dy = 0.i)._arctanxy + xy2xy21+x2y2_dx + f racx22x2y1+x2y2dy = 0.j). ex(x +1)dx +(yeyxex)dy = 0.k).xy+1ydx + 2yxy2dy = 0.l). (y23xy 2x2)dx +(xy x2)dy = 0.m). y(y +2x +1)dx x(2y +x 1)dy = 0.n). y(2x y 1)dx +x(2y x 1)dy = 0.o). (y2+12x2y)dx +(2xy +4x3)dy = 0.p). 3(y +x)2dx +x(3y +2x)dy = 0.q). 2xydx +(x2+y2+a)dy = 0.r). (2xy +x2+b)dx +(y2+x2+a)dy = 0.56 2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu2.9. Carilah penyelesaian umum dari persamaan diferensial berikuta). xy/+y = x3.b). y/+ay = b.c). xy/+y = y2lnx.d).dxdy +2yx = ey2.e).drd= (r +e)tan.f).dydx2xyx2+1 = 1.g). y/+y = xy3.h). (1x3)dydx2(1+x)y = y5/2.i). tandrd r = tan2theta.j). Ldidt +Ri = E sinkt.k). y/+2y = 3e2x.l). y/+2y =34e2x.m). y/+2y = sinx.n). y/+ycosx = e2x.o). xy/y(2ylnx 1) = 0.p). x2(x 1)y/y2x(x 2)y = 0.q). y/+ycosx =12 sinx.r). xy/+y = xsinx.s). xy/y = x2sinx.t). xy/+xy2y = 0.2.10. Tentukanlah penyelesaian khusus untuk masing-masing persa-maan diferensial berikut.a). y/y = ex, y(0) = 1.b). y/+ 1xy =y2x , y(1) = 1.c). 2cosxdy = (ysinx y3)dx, y(0) = 1.d). (x siny)dy +tanydx = 0, y(1) =6.2.11. Tentukanlah penyelesian umum dari persamaan diferensial yangdiberikan penyelesaian khususnya berikut ini.a). y/ = x3+ 2xy 1xy2, y1(x) =x2.b). y/ = 2tanxsecx y2sinx, y1(x) = secx.c). y/ =1x2 yxy2, y1(x) =1x.d). y/ = 1+ yxy2x2, y1(x) = x.Bab 3Masalah-masalah Yang Membentuk PersamaanDiferensial Order Satu.3.1 Masalah-masalah dari Geometri.Contoh 3.1.1Tentukanlah yang mempunyai sifat sebagai berikut; se-gmen garis tangen yang menghubungkan titik tangen kurva dengansumbu Ydibagi dua oleh sumbu X.Misalkan titik adalah P(x, y) dan titik potong segmen garis tangen me-lalui P(x, y) dengan sumbu Yadalah titik Q(0, y) (lihat gambar)(x2,0 )Q(0,y)P(x,y)yYX(0,0)Figure 1.Karena jarak dari titik P ke sumbu Xsama dengan jarak titik Q kesumbu X, dimana jarak dari titik P ke sumbu X adalah y, maka jarak5758 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.dari titik Q ke sumbu X haruslah y. Disebabkan titik Q dibawah sum-bu X maka koordinat titik Q adalah (0, y). Segmen garis PQ dibagidua oleh sumbu X berarti jarak dari titik dimana segmen garis PQ me-motong sumbu Xdengan sumbu Yadalah setengah dari jarak titik Pdengan sumbu Y. Olehkarenanya koordinat titik dimana segmen ga-ris PQ memotong sumbu Xdiberikan oleh (x2, 0). Tangen dari kurvadititik P diberikan olehdydx = y/ =yx2= 2yx. (3.1)Persamaan (3.1) adalah persamaan diferensial variabel terpisah danpenyelesaiannya diberikan olehy = cx2, (3.2)dengan c konstanta integrasi. Jadi kita telah menunjukkan bahwa se-mua kurva yang memiliki sifat seperti dalam contoh 3.1.1 haruslahberbentuk kurva yang persamaannya diberikan oleh (3.2). Sebaliknyasetiapkurvayangmempunyaipersamaan(3.2)akanmemilikisifatdalam contoh 3.1.1 (Tunjukkanlah!).Contoh 3.1.2Tentukanlah keluarga kurva dengan sifat luas daerahyang dibatasi oleh sumbu X, garis tangen melalui titik P(x, y) padakurva, dan proyeksi garis tangen searah sumbu X adalah A dengan Akonstan.(lihat gambar)3.1 Masalah-masalah dari Geometri. 59YX(0,0)P(x,y)Q(a,0) R(x,0)yyFigure 2.Misalkan titik potong garis tangen dengan sumbu Xadalah Q(a, 0)dan proyeksi titip P pada sumbu X adalah R(x, 0). Perdenisi kita per-olehy/ =yx a, x ,= a. (3.3)Nilai a dalam (3.3)( dapat ditentukan yaitua = x yy/, x ,= a. (3.4)Jadi jarak OQ (titik asal ke titik Q) adalah x yy/. Akibatnya jarak QRdiberikan olehx a = x (x yy/) =yy/. (3.5)Luas QPR adalahA = 12QR.RP = 12yy/y =y22y/. (3.6)Karenanya dari 3.6) diperolehdydx = y/ =y22A. (3.7)60 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.Persamaan (3.7) adalah persaman diferensial variabel terpisah yangmempunyai penyelesaiany =2A2Ac x, x ,= 2Ac, (3.8)dimana c adalah konstanta integrasi.Contoh 3.1.3Tentukan keluarga kurva sedemikian hingga sudut an-tara garis tangen dan garis normalnya untuk sebarang titik pada ku-rva dibagi dua oleh vektor jari-jari pada titik itu. (lihat gambar)YX(0,0)y P(r,) P(r,)r Garis NormalGaris TangenFigure 3.Penyelesaian soal ini akan lebih mudah dan lebih menguntungkan jikabekerja dalam koordinat polar. Misalkan titik P(r, adalah koordinatpolarpadakurvadanmisalkanpula sudutantaravektorjari-jari(berlawanan arah jarum jam) dengan garis tangen dititik P. Menggu-nakan teorema dalam kalkulus diperoleh bahwatan = rddr . (3.9)Dari hypotesis dikethaui bahwa rmembagi dua sudut anatara garistangen dan . Berdasarkan hypotesis ini maka haruslah = 45oatau= 45o(dalam gambar kita = 45o). Dengan mengambil =3.1 Masalah-masalah dari Geometri. 6145o(untuk = 45oditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan)maka (3.8) menjadi1 = rddr . (3.10)Persamaan (3.10) adalah persamaan diferensial variabel terpisah yangmempunyai penyelesaianr = ce(3.11)Contoh 3.1.4Tentukanlah kurva dengan sifat luas daerah yang di-batasi oleh kurva, sumbu X, garis x = a dan x = x sebanding denganpanjang arc kurva yang dibatasi oleh x = a dan x = x.(lihat gambar)YX(0,0)x=adx x=xABy=f(x)yFigure 4.Dari kalkulus kita ketahui bahwa panjang arc kurva dari titik A ke titikB diberikan olehs =_xa1+ dydx2dx, (3.12)dan luar daerah dibawah kurva (y = f (x)) dari x =a ke x =x diberikanolehL =_xaf (x)dx. (3.13)Karena L sebanding dengan s, dengan konstanta pembandingnya ka-takanlah k, maka62 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu._xaf (x)dx =_xa1+ dydx2dx. (3.14)dengan mendiferensialkan kedua ruas (3.14) diperolehy = f (x) = k1+ dydx2(3.15)atauy2= k2(1+ dydx2). (3.16)Menguraikan (3.16) didapatkan persamaan diferensial variabel terpi-sahdxk=dy_y2k2, y2> k2. (3.17)Mengintegralkan (3.17) diperolehxk = ln(y _y2k2) lnc (3.18)atau bentuk sederhananyacexk = y _y2k2, y2> k2. (3.19)3.2 Trayektori.3.2.1 Trayektori Isogonal.Kita dapat mendenisikan sudut antara dua kurva pada suatu bidangdengan menggunakan garis tangen. Misalkan dua buah kurva berpo-tongan dalam sebuah bidang maka sudut antara dua kurva itu dapatdidenisikandenganmengukurbesarsudut yangdibuat olehgaristangen masing-masing yang melalui titik potong. Akan tetapi sudutyang dibentuk oleh kedua garis tangen ini tidak tunggal. Maka untukitu perlu di spisikasi sudut yang mana yang dimaksudkan.3.2 Trayektori. 63YX(0,0)l1l2c1c2m2m1Figure 6.Dari gambar 6., adalah sudut positif dari kurva c1 dengan garis ta-ngen l1 terhadap kurva c2 dengan garis tangen l2; adalah sudut po-sitif dari kurva c2 tehadap kurva c1. Jika kita namakan m1 kemiringangaris l1 dan m2 kemiringan garis l2 maka dengan menggunakan fomu-la dalam geometri analitik diperolehtan =m2m11+m1m2dan tan =m1m21+m1m2. (3.20)Denisi 3.2.1Sebuah kurva yang memotong setiap anggota keluargakurva 1-parameter yang diberikan dengan sudut yang sama dinamak-an .Misalkan keluarga kurva 1-parameterf (x, a) dengan a parameter dang(x)adalahtrayektori isogonalnya. Kemiringankeluargakurva1-parameter diberikan olehd f (x,a)dxdan kemiringan dari trayektori iso-gonal diberikan olehdg(x)dx. Selanjutnya misalkan sudut perpotong-an keluarga kurvaf (x, a) dengan trayektori isogonal g(x) yang diukurdari garis tangen trayektori yang mempunyai kemiringandg(x)dxterha-dap garis tangen kelurga kurva yang mempunyai kemiringand f (x,a)dx,maka menggunakan persamaan (3.20) diperolehtan =d f (x,a)dxdg(x)dx1+ dg(x)dxd f (x,a)dx(3.21)64 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.Contoh 3.2.1Diberikan keluarga kurva 1-parametery = ax2. (3.22)Tentukanlah trayektori isogonalnya jika sudut perpotongannya ada-lah4Kemiringan trayektori isogonal yang dicari kita namakandg(x)dx. Kemi-ringan keluarga kurva 1-parameter diberikan olehd f (x, a)dx= y/ = 2ax. (3.23)Sekarangkitaeliminasi adari (3.23)denganmemasukkannilai a,yang diperoleh dari (3.22), kedalam (3.23), diperolehd f (x, a)dx= 2yx. (3.24)Menggunakan hypotesis bahwa =4diperoleh tan = tan 4= 1.Menggunakan (3.21) didapatkan1 =2g(x)xdg(x)dx1+ dg(x)dx2g(x)x, (3.25)atau(x 2g(x))dx +(x +2g(x))dg(x) = 0. (3.26)Harus kita perhatikan baik-baik dalam proses perhitungan yang dila-kukan dipersamaan (3.26). Dalam persamaan ini kita telah menggantiy dengan g(x). Hal ini dapat dilakukan karena kemiringan yang di-hitung adalah kemiringan pada titik potong. Menyelesaiakan (3.26)diperolehln_2g(x)2xg(x) +x2+37 arctan 4g(x) x7x= c, x ,= 0. (3.27)Sekali lagi kita tegaskan bahwa (3.27) memuat arctan. Fungsi ini men-denisikan fungsi bernilai banyak. Olehkarena kurva yang dicari ada-lah fungsi bernilai tunggal maka fungsi arctan dalam (3.27) diambilcabang utamanya.3.2 Trayektori. 653.2.2 Trayektori Ortogonal.Denisi 3.2.2Trayektori ortogonal adalahkurvayangmemotongsetiap anggota keluarga kurva 1-parameter dengan sudut 90o.Misalkan f (x, a) adalah keluarga kurva 1-parameter dengan kemiring-an dititik x diberikan olehd f (x,a)dxdan misalkan g(x) adalah dengan ke-miringan dititk x diberikan olehdg(x)dxmaka menurut denisi diperolehd f (x, a)dxdg(x)dx=1,dg(x)dx=1d f (x,a)dx(3.28)Contoh 3.2.2Tentukanlah trayektori ortogonal dari keluarga kurva1-parametery = ax5. (3.29)Dalam contoh ini f (x, a) =y =ax5. Dengan mendiferensialkan (3.29)kita perolehy/ = 5ax4. (3.30)Dari persamaan (3.29) dan (3.30) parameter a dapat direduksi untukmendapatkan relasi berikuty/ = 5yx, x ,= 0. (3.31)Persamaan (3.31) adalah kemiringan keluarga kurva 1-parameter (3.29)dititk(x, y), denganx ,= 0. Karenakemiringantrayektoriortogonalyang dihitung juga dititik (x, y) menggunakan (3.28) diperolehdg(x)dx=x5g(x), x ,= 0, g(x) ,= 0. (3.32)Persamaandiferensial (3.32)adalahpersamaandiferensial variabelterpisah yang mempunyai penyelesaianx2+5y2= k, x ,= 0, g(x) ,= 0, (3.33)yang merupakan berpusat dititik asal . (lihat gamabr 7)66 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.XYx=0c=1c=2c=2c=1c=1 c=2 c=2 c=1Figure 7.3.2.3 Formula Trayektori Ortogonal dalam KoordinatPolar.Misalakan kita namakan titik perpotongan dalam dari dua kurva c1dan c2 dengan P(r, ), dimana r jari-jari yang diukur dari titik asal ketitik P dan sudut antara jari-jari dengan sumbu X. Misalkan pula1, 2berturut-turut menyatakan sudut antara jari-jari dengan garistangen kurva c1 dan garis tangen kurva c2. (lihat gambar 8)3.2 Trayektori. 67O(0,0)rP(r, ) 12cc12Figure 8.Karena kedua garis tangen ortogonal maka jelaslah bahwa1 = 2 + 2. (3.34)Akibatnya diperolehtan1 = tan2 + 2=1tan2. (3.35)Dari relasi trigonometri diketahuitan2 = rddr . (3.36)Dari (3.36) maka (3.35) menjaditan1 =1rddr. (3.37)Contoh 3.2.3Tentukanlah trayektori ortogonal dari keluarga kurva1-parameterr = ksec (3.38)dalam koordinat polar.68 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.Diferensialkanlah (3.38) untuk mendapatkandrd= ksec tan. (3.39)Dari (3.38) dan (3.39) kita dapat mereduksi parameter k untuk mem-perolehdrd= r tan, rddr=1tan. (3.40)Menggunakan (3.37) kita peroleh lagidrrd=1tanatau drr= cot d. (3.41)Persamaan (3.41) adalah persamaan diferensaial variabel terpisah yangmempunayi penyelesaianr sin = c. (3.42)Soal-soal latihan3.1. Misalkan P(x, y) adalah titik pada kurva y =f (x). Pada titik Pditarik garis tangen dan garis normal pada kurva. Kemiringan garistangen diberikan oleh y/ dan kemiringan garis normal diberikan oleh1y/. Buktikan masing-masing soal berikut.(lihat gambar 5)a). x yy/adalah tempat perpotongan garis tangen pada sumbu X.b). y xy/ adalah tempat perpotongan garis tangen pada sumbu Y.c). x +yy/ adalah tempat perpotongan garis normal pada sumbu X.d). y +xy/adalah tempat perpotongan garis normal pada sumbu Ye). [yy/[ adalah panjang proyeksi segmen garis AP pada sumbu X. Pan-jang AC dinamakan subtangen.f). [yy/[ adalah panjang proyeksi segmen gari BP pada sumbu X. Ga-ris CB dinamakan subnormal.g). Panjang segmen tangen AP =y_1(y/)2 +1.h). Panjang segmen tangen DP =x_1+(y/)2.i). Panjang segmen normal PB =y_1+(y/)2.3.2 Trayektori. 69j). Panjang segemen normal PE =x_1(y/)2 +1.YX(0,0)P(x,y)D(0,yxy)A(xy/y,0) CB(x+yy,0)E(0,y+x/y)(X,Y)(yY)/(xX)=yFigure 5.3.2. Gunakanlah koordinat polar untuk menentukan persamaan kelu-arga kurva yang memenuhi sifat-sifat yang ditentukan.a). Kemiringan garis tangen pada masing-masing titik pada kurva sa-ma dengan jumlah koordinat titik tersebut. Tentukan kurva khususmelalui titik asal.b). Subtangen adalah konstan posistif k untuk masing titik pada kurva.(Bantuan lihat 1.e)c). Subnormaladalahkonstanpositifkuntukmasing-masingtitikpada kurva. (Bantuan lihat 1.f)d). Subnormal sebanding dengan kuadrat absis.e). Segmengarisnormalantarakurvadengansumbu Ydibagiduaoleh sumbu X. Tentukan kurva khusus melalui titik (4, 2).f). Tempat perpotongangaristangenpadasumbuXsamadenganordinatnya. (Bantuan lihat 1.a)g). Panjangsegmengaristangendari titikkontaktempat perpoto-ngannya dengan sumbu X adalah konstan. (Bantuan lihat 1.g)h). Panjangsegmengarisnormal dari titikkontaktempat perpoto-ngannya dengan sumbu X adalah konstan. (Bantuan lihat 1.i)70 3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu.i). Luas daerah segitiga yang dibentuk oleh oleh garis tangen, sumbuX dan ordinat titik kontak dari tangen dan kurva mempunyai luarkonstan 8. (Bantuan lihat 1.e)j). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), sumbu X, dan garisx = 2, x = x adalah setengan dari panjang arc kurva antara x =2, x = x.k). kemiringan kurva sama dengan kuadrat absis titik kontak garis ta-ngen degan kurva. Tentukan kurva khusus melalui titik (1, 1).l). Subtangen sama dengan jumlah coordinat titik kontak garis tangendengan kurva. (Bantuan lihat 1.e)m). Panjang segmen tangen dari titik kontak ke perpotongannya degansumbu X sama dengan panjang segmen garis dari titik asal ke titkperpotongan garis tangen dengan sumbu X. (Bantuan lihat 1.g dan1.a)3.3. Tentukanlah trayektori isogonal dari keluarga kurva 1-parameter.a). y2= 4ax, = 45o.b). x2+y2= k2, = 45o.c). y = cx, tan =12.d). y2+2xy x2= c, = 45o.3.4. Misalkan persamaan diferensial dari keluarga kurva 1 - parameteradalah M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0. Tentukanlah persamaan diferensialtrayektori isogonal yang membuat sudut ,=2.3.5. Buktikanlah bahwa persamaan diferensial trayektori isogonal ter-hadap persamaan diferensial keluarga kurva 1-parameter yang bertipehomogen juga homogen.3.6. Tentukanlahtrayektori ortogonal dari masing-masingkeluargakurva dibawah inia). x2+2xy y2= k.b). x2+(y k)2= k2.c). (x k)2+y2= k2.d). x y = kex.e). y2= 4px.f). xy = kx 1.3.2 Trayektori. 71g). x2y = k.h). x2y2= k2.i). y2= kx3.j). excosy = k.k). siny = kex2.3.7. Tentukanlahtrayektori ortogonal dari masing-masingkeluargakurva berikut inia). Keluarga garis luru melalui titik asal.b). Keluarga lingkaran dengan radius variabel, pusat pada sumbu X,dan melalui titik asal.c). Keluarga ellip dengan pusat titik asal dan vertek di titik (1, 0).d). Keluarga hyperbola yang memiliki asymtot koordinat sumbu.e). Keluarga parabola yang berpusat pada titik asal dan focus padasumbu X.3.8. tentukanlah trayektori ortogonal untuk masing-masing keluargakurva dibawah ini dalam koordinat polara). r = kcos.b). r = k.c). r = k(1+sin).d). r = sin +k.e). r = ksin2.f). r2= k(r sin 1).g). r2= kcos2.h). r1= sin2 +k.i). rnsinn = k.j). r = ek.Bab 4Persamaan Diferensial Linier Order Dua.Denisi 4.0.3Persamaan diferensialadalah persamaan yang dapatdituliskan dalam bentukf2(x)y(2)+ f1(x)y/+ f0(x)y = Q(x), (4.1)dimanaf0, f1, f2, dan Q adalah fungsi-fungsi kontinu dalam x yangdidenisikan pada domain I danf2(x) ,0 dalam I.Denisi 4.0.4Jika Q(x) , 0 pada denisi 4.0.3 maka persamaan di-ferensial (4.1) dinamakan persamaan diferensial . Jika Q(x) 0 pa-da I maka persamaan diferensial (4.1) dinamakan persamaan dife-rensial homogen order 2.4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial LinierHomogen Order 2 dengan Koesien Konstan.Dariasumsibahwa f2(x) , 0untuksemuaxdalamdomain, makapersamaan umum (4.1) dapat diubah kebentuk persamaan diferensialberikuty//+a1y/+a0y = 0 (4.2)dengan a1, a0 konstanta-konstanta riil.Seperti halnya dalam penyelesaian persamaan diferensial order sa-tu, penyelesaian persamaan diferensial order dua gagasannya adalahdengan mengintegralkan persamaan diferensial (4.2) dua kali. Dengan7374 4 Persamaan Diferensial Linier Order Dua.gagasaninikitamengharapkanbahwasolusiumumpersamaandi-ferensial order dua mempunyai dua konstanta bebas. Ekspektasi inimemang benar, bahkan secara umum jika kita menyelesaiakan persa-maan diferensial order n maka akan muncul tepat n buah konstantabebas.Dengan menggunakan operator linier diferensial D, maka persama-an (4.2) menjadi(D2+a1(x)D+a0(x))y = 0. (4.3)Misalkan solusi (4.3) mempunyai bentuky = erx. (4.4)Dengan denisi seperti yang diberikan pada bab.1 fungsi (4.4) harusmemenuhi persamaan diferensial (4.2) dalam hal ini persamaan (4.3).Mensubstitusikan (4.4) kedalam persamaan (4.3) menghasilkan(D2+a1D+a0)erx= D2(erx) +a1D(erx) +a0erx= r2erx+a1rerx+a0erx= erx(r2+a1r +a0).Persamaan terakhir ini harus sama dengan nol. Hal ini akan terjadijika dan hanya jikar2+a1r +a0 = 0. (4.5)Persamaan (4.5) dinamakandari persamaan (4.2).Berkenaan dengan (4.5) ada tiga kasus yang harus ditinjau, yaitu;persamaan (4.5) mempunyai dua akar riil berbeda, akar berulang, atauakar kompleks konjugat.Teorema 4.1(Akar riil berbeda). Jika r1 dan r2 dua akar riil ber-beda dari persamaan (4.5), maka solusi umum persamaan diferensial(4.2) diberikan olehy =C1er1x+C2er2x, (4.6)dimana C1 dan C2 konstanta-konstanta sebarang.Contoh 4.1.1Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial y// +9y/+20y = 0.4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Homogen Order 2 dengan Koesien Konstan. 75Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial di atas diberikanolehr2+9r +20 = 0. (4.7)Akar-akar persamaan karakteristik adalah -4 dan -5. Karena e4xdane5xbebas linier maka solusi umum persamaan diferensial menurutteorema diberikan olehy =C1e4x+C2e5x. (4.8)Contoh 4.1.2Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial y//2y/y = 0 yang memenuhi y(0) = 0 dan y/(0) =2.Akar-akarkarakteristikpersamandiferensial di atasdiberikanolehr22r 1 = 0. Dengan menggunakan kuadrat sempurna diperolehakar-akarpersmaankarakteristikini, yakni r1 = 1 +2danr2 =1 2. Denganmenggunakanteorema4.1.1kitadapatkansolusiumum persamaan diferensial di atas yaitu;y =C1e(1+2)x+C2e(12)x. (4.9)Menggunakan kondisi awal yang diberikan kita peroleh nilai C1 danC2, yaitu C1 =12 dan C2 =12.Teorema 4.2(Akarberulang). Jikapersamaankarakteristik(4.5)mempunyai akar berulang, maka solusi umum persamaan diferensial(4.2) diberikan olehy =C1er1x+C2xer1x(4.10)Contoh 4.1.3Selesaikanlah persamaan diferensial y//+8y/+16 = 0yang memenuhi syarat y(0) = 2 dan y/(0) =7.Persamaankarakteristikdaripersamaandiperensialiniadalahr2+8r +16 = 0. Persamaan terakhir ini mempunyai akar berulang yaitur1 = r2 =4. Mengikuti teorema 4.1.2 solusi umum persamaan dife-rensial ini diberikan olehy =C1e4x+C2xe4x. (4.11)Menggunakan syarat awal di atas kita peroleh C1 = 2 dan C2 = 1.76 4 Persamaan Diferensial Linier Order Dua.Teknik lain yang dapat kita gunakan untuk mencari solusi umumjika persamaan karakteristiknya memuat akar berulang adalah reduksiorder. Anggaplah y1(x), tidak eqivalen dengan nol, solusi persamaandiferensial (4.2). Untuk menentukan solusi yang lain dapat kita lakkandengan menggunakan fungsiy = v(x)y1(x). (4.12)Dengan mensubstitusikan fungsi ini ke persamaan (4.2) kita dapatkany1v//+(2y/1 +a1y1)v/+(y//1 +a1y/1 +a0y1)v = 0. (4.13)Karena y1 merupakan solusi (4.2) berartiy1v//+(2y/1 +a1y1)v/ = 0. (4.14)Kalau kita cermati persamaan terakhir ini dapat disimpulkan bahwaordernya adalah satu untuk v, yakni;y1v/+(2y/1 +a1y1)v =C. (4.15)Dengan mengintegralkan sekali persamaan terakhir ini diperoleh so-lusi untuk fungsi (4.12).Kita tinjau lagi contoh 4.1.3. Salah satu solusi yang langsung kitadapatkan adalah y = Ce4x. Satu gagasan untuk menentukan solusilain adalah menggantikan konstanta C dengan fungsi V(x) kemudiankita tentukan fungsi ini. Jadi fungsi yang dicari adalah y = v(x)ex.Dengan mensubstitusikan fungsi terakhir ini ke persamaan diferensialawal diperoleh pernyataan berikut ini;(32v(x) 8v/(x) +v//(x) 32v(x) +8v/(x))e4x= 0. (4.16)Hal ini mengatakan bahwa v//(x) = 0. Solusi untuk v diberikan olehv =C0 +C1x.Teorema 4.3(Akar Kompleks konjugat). Jika persamaan karakte-ristik (4.5) mempunyai i, maka solusi umum persamaan diferen-sial (4.2) diberikan olehy =C1excosx +C2exsinx. (4.17)4.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen 77Contoh 4.1.4Selesaikanlah persamaan diferensial y//4y/+16 =0.Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial di atas diberikanolehr24r +16 = 0 (4.18)Akar-akar karakteristik persamaan (4.18) adalah 22i3. Mengikutiteorema 4.1.3 solusi umum persamaan diferensial diberikan olehy = c1e(2+23i)x+c2e(223i)x(4.19)= e2x_(c1 +c2)cos23x +i(c1c2)sin23x_. (4.20)Denganmemisalkan C1 = c1 +c2dan C2 = i(c1c2)makasolusipersamaan diferensial diberikan olehy = e2x_C1cos23x +C2sin23x_(4.21)4.2 Persamaan Diferensial Tak HomogenKita formulasikan lagi persamaan diferensial takhomogen dalam ben-tuky//+a1y/+a0y = q(x), (4.22)dimana a0 dan a1 merupakan fungsi-fungsi kontinu pada interval bukaI.Misalkan Y1dan Y2duasolusibebaslinierdaripersamaandife-rensial (4.22) maka Y1Y2merupakan solusi persamaan diferensialhomogen yang berpadanan dengan persamaan diferensial (4.22). Se-karang kita dapat menentukan struktur solusi persamaan diferensialtakhomogen (4.22) dari teorema berikut ini.Teorema 4.4Solusi umum persamaan diferensial takhomogen (4.22)dapat ditulis dalam bentuky =C1y1 +C2y2 +Y, (4.23)dimana y1 dan y2 solusi persamaan diferensial homogen yang berpa-danan dengan persamaan diferensial takhomogen (4.22), c1dan c2konstanta sebarang, dan Ysolusi khusus berpadanan dengan persa-maan diferensial (4.22).78 4 Persamaan Diferensial Linier Order Dua.Teorema 4.2.1 mengatakan kepada kita bahwa untuk menyelesaikanpersamaan diferensial takhomogen (4.22) kita harus melakukan tigahal, yakni:1. Tentukan solusi umum persamaan diferensial homogen yang ber-padanan dengan persamaan (4.22). Solusi ini biasan