Persamaan Differensial Parsial Solusi Eksak
Semua persamaan diferensial yang telah kita pelajari ini mempunyai penyelesaian
yang mengandung beberapa konstanta integrasi yang tidak diketahui seperti A, B, C
dan seterusnya. Nilai dari konstanta-konstanta ini selama ini diperoleh dengan
menerapkan syarat-syarat batas pada penyelesaiannya, suatu prosedur yang seringkali
sangat membosankan. Untungnya, untuk satu tipe persamaan diferensial tertentu ada
sebuah metode pencarian pemecahan di mana konstanta-konstanta integrasi yang
tidak diketahui ini dihitung selama proses penyelesaian. Selain itu, daripada
menggunakan integrasi sebgai cara menyelesaikan persamaan diferensial, kita bsa
mneggunakan perhitungan aljabar yang lebih sederhana.
Persamaan-persamaan diferensial parsial
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk
an f (n) (x) + an-1 f(n-1)
(x) + ... + a2 f“ (x) + a1 f’ (x) + a0 f (x) = g (x)
dimana an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta yang telah diketahui, g (x) adalah
pernyataan dalam x yang diketahui dan nilai dari f (x) dan turunanya diketahui pada
x=0. persamaan jenis ini disebut sebagai persamaan diferensial dan nilai-nilai dari f
(x) dan turunannya pada x = 0 disebut sebagai syarat batas.
Metodenya bergantung sari paa yang kita sebut sebagai Transformasi Laplace
(Laplace transform). Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk
x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L {f(x)}, didefinisan
sebagai :
∞
L{f(x)} = ∫ x=0 e-3x f(x) dx
Dimana s adalah suatu variabel yang nilai-nilinya dipilih sedemikian rupa agar
integaral semi infinitinya selalu konvergen. Contoh :
L {2} = 2/s asalkan s > 0
Karena :
∞
L{f(x)} = ∫ x=0 e-3x f(x) dx
∞
L{2} = ∫ x=0 e-3x 2 dx
∞ = 2 [e-3x/ -s] x=0
= 2 (0 – (-1/s))
= 2/s
Perhatikan bahwa s > 0 diisyaratkan karene jika s < 0 maka e-3x→ ∞ ketik x → ∞ dan
jika s = 0 maka L {2} tidak tedefinisi sehingga
L{2} = 2/s asalakan s > 0
Dengan alasn yang sama jika k adalah semcan konstanta yang maka,
L{k} = k/s asalkan s > 0
Contoh :
Tentukan peneyelesaian dari :
f“ (x) + 3 f’ (x) + 2f (x) = 4x dimana f (0) = f’ (0) = 0
a. Carilah transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan
L {f”(x)} + 3L {f’(x)} + 2L {f(x)} = 4L {x}
Yang menghasilkan {s2F (s) – sf (0) – f’ (0)} + 3 {s F(s) – f (0) + 2 F (s) = 4/s2
b. Cari pernyataan F (s) = L {f(x)} dalam bentuk pecahan aljabar
Substitusikan nila f (0) dan f’ (0) yang menghasilkan
(s2 + 3s + 2) F (s) = 4/s2
Sehingga
F (s) = 4
s2(s + 1)(s +2)
c. Pisahkan F (s) ke dalam pecahan – pecahan parsialnya
4 = A + B + C + D
s2(s +1)(s + 2) s s2 s + 1 s + 2
Dengan menjumlahkan semua pecahan parsial di sisi kanan kemudian menyamakan
pembilang sisi kiri dengan pembilang sisi-kanan akan didapat :
4 =As(s +1) (s+2) + B ( s+1) + Cs2 ( s + 2) + Ds2 ( s+ 1)
Jika s = 0 4 = 2B sehingga B = 2
s = -1 4 = C (-1)2(-1 + 2) = C
s = -2 4 = D(-2)2(-2 + 1) = -4D sehingga D = -1
Samakan koefisien-koefisien dari s :
0 = 2A + 3B = 2A + 6 sehingga A = -3
Sehingga didapat
F(s) = -3 + 2 + 4 + 1
s s2 s + 1 s + 2
d. gunakan tabel-tabel yang ada untuk mencari transformasi Laplace invers L-1 {F(s)}
dan juga tentukan penyelesaian f (x) dari persamaan diferensialnya
f(x) = -3 + 2 + 4e-x – e-2
Rangkuman
1. Jika F (s) adalh transformasi Laplace dari f(x) maka :
L {f”(x)} = s2F(s) – sf(0) – f’(0)
Dan L {f”’(x) = s3F(s) – s2f(0) – sf’(0) – f”(0)
2. Persamaan-persamaan dalam bentuk
an f (n) (x) + an-1 f(n-1)
(x) + ... + a2 f“ (x) + a1 f’ (x) + a0 f (x) = g (x)
dimana an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta-konstanta disebut persamaan
diferensial linier, koefisien-konstan,nonhomogen
3. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial parsiel dengan syarat an, an-1, ... , a2, a1, a0 adalah konstanta yang
sudah diketahui, g(x) adalah pernyataan dalam x yang sudah diketahui, dan
nilai-nilai dari f (x) dan turunanya diketahui pada x = 0.
4. Prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde ke 2 atau orde yang lebih
tinggi ini sama dengan prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde-
pertama yaitu
a. Cari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan diferensialnya
b. Cari bentuk F (s) = L {f(x)} dalam pecahan aljabar
c. PisahkanF(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya
d. Cari transformasi Laplace infers L-1{f(s)} untuk mencari penyelesaian
f(x0 dari persamaan diferensial tersebut