momen kemiringan dan keruncingan

8/18/2019 Momen Kemiringan Dan Keruncingan

1/16

Momen, Kemiringan, dan Keruncingan Page 1

BAB 7

MOMEN, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN

A.

MomenMisalkan diberikan variable dengan harga- harga : 1 ,2 ,….,. Jika A = sebuah

bilangan tetap dan r = 0, 1, 2…, n maka momen ke-r sekitar A, disingkat ′,didefinisikan oleh hubungan :

′ = ∑ … … … … … … . 1 Menurut Gasperz (1989:87)

∗ = ∑

=1 = ∑

Dimana d = X - AMenurut Amudi Pasaribu (1975:123),

ℎ = 1 ℎ

= Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r (momen

sekitar titik asal):

= ∑ … … … … … . . 2 Menurut Gasperz (1989:87)

= 1 + 2 + ⋯ + = ∑ =1 = ∑

௰

Menurut Amudi Pasaribu (1975:122),

ℎ = 1

ℎ

=

Dari rumus (2) maka untuk r =1 didapat rata-rata . Jika A = kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan . Jadi didapat :

= ∑ … … … … … … . 3 Menurut Gasperz (1989:87)

= ∑ =1 = ∑


2/16



ℎ = 1

ℎ

=

Untuk r =2, rumus (3) memberikan varians 2.Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau populasi maka dipakai simbol:

dan ′ untuk momen sampel dan µ µ′ untuk momen populasi .jika ′ adalah statistik sedangkan µ µ ′ adalah parameter. Jika data telah disusun dalam dalam bentuk distribusi frekuensi, maka rumus-

rumus diatas berturut-turut berbentuk :

′ = ∑ … … … … … … . 4 Menurut Gasperz (1989:91),

∗ = ∑ =1 = ∑


ℎ = 1

ℎ

=

= ∑ 㐳 … … … … … . . 5 Menurut Gasperz (1989:91)

= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = ∑ =1 = ∑


ℎ = 1 ℎ

=

= ∑ … … … … … … . 6 = ∑ , = = Menurut Gasperz (1989:91)

= ∑

〱 =1 =

∑


3/16


Menurut Pasaribu (1975:123),

ℎ = 1

ℎ

=

Dengan menggunakan cara sandi, rumus empat menjadi :

′ = ∑ … … … … … … . 7 Dengan p = panjang kelas interval, = variable sandi.Menurut Gasperz (1989:91)

∗ = ∑ =1

Dari ′ , harga-harga untuk beberapa r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan :2 = 2′ 1′ 2 3 = 3′ 31′ 2′ +21′ 3 4 = 4′ 41′ 3′ +61′ 22′ +31′ 4 Menurut Gasperz (1989:96)

1 = 0

2 = 2∗ 1∗2 3 = 3∗ 31∗2∗ + 21∗3 4 = 4∗ 41∗2∗ + 61∗22∗ 31∗4 Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar

distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut.

DATA

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 – 74

5

18

42

27

8

-2

-1

0

1

2

-10

-18

0

27

16

20

18

0

27

32

-40

-18

0

27

64

80

18

0

27

128

jumlah 100 0 15 97 33 253


4/16


Dengan menggunakan rumus (7) maka :

1′ = 1 ∑ 1 = 3 15100 = 0,45

2′ = 2 ∑ 2

= 32 97100 = 8,73 3′ = 3 ∑ 3 = 33 33100 = 8,91 4′ = 4 ∑ 4 = 34 253100 = 204,93

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas :

2 = 2′ 1′ 2 = 8,73 0,452 = 8,53

3 = 3′ 31′ 2′ +21′ 3

= 8,91 30,458,73 + 20,453 = 2,69

4 = 4′ 41′ 3′ +61′ 22′ +31′ 4= 204,93 4 0,458,93 + 60,4528,73 + 30,454 = 199,38 Dari hasil ini didapat varians 2 = 2 = 8,53

B. Kemiringan (Kemencengan)

Hasan (2009:125) menyatakan kemencengan atau kecondongan ( skewness) adalah

tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Menurut Somantri

(2006:147), ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk

menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Menurut Gasperz (1989:98), ukuran

kemenjuluran atau kemencengan ( skewness) merupakan suatu ukuran yang menunjukkan

sejauh mana pergeseran dari bentuk yang simetri untuk suatu sebaran atau distribusi.

Sedangkan menurut Herrhyanto dan Hamid (2008 : 6.2), ukuran kemiringan adalah

ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu.

Jadi ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untukmenentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi dibandingkan dengan bentuk yang

simetri.

C. Keruncingan atau Kurtosis

Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang

biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. (Hasan, 2009:137).

Menurut Gasperz (1989: 104), kurtosis adalah suatu ukuran tentang keruncingan darisebuah sebaran, yang biasanya dibandingkan dengan sebaran normal. Menurut Somantri


5/16


(2006:151), kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya

dibandingkan dengan distribusi normal”. Sedangkan menurut Herrhyanto dan Hamid

(2008 : 6.12), kurtosis adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil

relatif terhadap distribusi normal.

Jadi keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi, yang biasanya

dibandingkan dengan distribusi normal.

D. Koefisien Momen Kemiringan

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau

menceng ke k iri, dapat digunakan metode-metode berikut :

1. Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan

modus dibagi simpangan baku. (Hasan, 2009:126). Koefisien Kemencengan

Pearson dirumuskan sebagai berikut:

= Keterangan :

sk = koefisien kemencengan Pearson

s = simpangan baku = modusApabila secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai :

= 3 Maka rumus kemencengan diatas dapat diubah menjadi:

= 3 2. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil

(Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. (Hasan, 2009:125). Begitu pula menurut

Gasperz (1989:101) bahwa “Bowley (A.L Bowley) mendasarkan rumusnya pada

nilai-nilai kuartil dari suatu sebaran (distribution)”.

Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

= 3 2 2 13 2 + 2 1


6/16


= 2 + − Keterangan : sk B = koefisien kemencengan Bowley;

Q = kuartil

3.

Koefisien Kemencengan Persentil

Gasperz (1989:102) mengatakan “Ukuran Kelly merupakan suatu ukuran

moderat antara ukuran Pearson yang didasarkan pada semua bagian data dan ukuran

Bowley yang didasarkan pada 50% dari bagian data. Kelly mendasarkan pada

sebaran antara persentil 90 (90 dan persentil 10 . Jadi KoefisienKemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90, P50 dan

P10) dari sebuah distribusi (Hasan, 2009:132).

Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :

= 90 50 50 1090 50 + 50 10 = 2 + −

sk P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Koefisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemencengan momen

dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga

kemencengan relatif. (Hasan, 2009:133)

Menurut Gasperz (1989:103), kemenjuluran relatif α3 digunakan sebagai

pengukuran kemenjuluran sekitar rata-rata sebaran teorit is (distribusi teoritis).

Menurut Somantri (2006:149), koefisien alpha ketiga merupakan rata-rata

penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, dibagi dengan simpangan

baku pangkat tiga. Jadi koefisien kemencengan momen adalah nilai perbandingan

momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku.

Untuk mencari nilai α3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan sebagai:

á3 = 33 = 1

∑

33

á3= koefisien kemecengan momen


7/16


Menurut Gasperz (1989:103),

捦 3 = 33 3 = 3√ 23 Menurut Pasaribu (1975:128),

á3 = 33 = 13 3=1 b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan

α3 = 〱3s3 = 1n ∑x x3f s3

atau α = C

s = ∑ fu

n 3 ∑ fu

n ∑ fun + 2 ∑ fun


á3 = 33 = 13 3

=1 atau α = Cs = ∑ fu

n 3 ∑ fu

n ∑ fun + 2 ∑ fun

dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.

E. Koefisien Momen Keruncingan

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan

adalah koefisien kurtosis persentil.

1. Koefisien keruncingan

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4).

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan

data kelompok.

a. Untuk data tunggal

α4 = 1n ∑x x4s4 Menurut Gasperz (1989:103),

4 = 44 4 = 422 Menurut Pasaribu (1975:131),


8/16


á4 = 44 = 14 4

=1 b. Untuk data kelompok

α4 = 1n ∑x x4f s4 atau α = Cn = ∑ fu

n 4 ∑ fu

n ∑ fun + 6 ∑ fu

n ∑ fun

3 ∑ fun


á4 = 44 = 14 4

=1

2.

Koefisien kurtosis persentilKoefisien kurtosis persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi

normal, nilai K=0,263 . Koefisien kurtosis persentil, dirumuskan :

K = 12 Q QP P

F. Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Kemiringan Dan Koefisien

Momen Keruncingan.1. Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Kemiringan

Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median dan

modus yang tidak sama besarnya ( ≠ ≠ . Sehingga distribusi akanterkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke

kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :

a. = 0 kurva memiliki bentuk simetrisb. ˃ 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak disebelah

kanan ) sehingga kurva memiliiki ekor memanjang ke kanan, kurva mencengke kanan atau menceng positif.


9/16


c. ˂ 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak disebelah kiri ) sehingga kurva memiliiki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiriatau menceng negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Mo

Mo

(a) (b)

Gambar 1

Keterangan : Kemencengan Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri

a. Koefisien Kemencengan Pearson

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas

Nilai Ujian Frekuensi

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

4

3

5

8

11

7

2

Jumlah 40

Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !


10/16


Penyelesaian:

Nilai X F U u

F

f

31 –

4041 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

35,545,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

4

3

5

8

11

7

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

16 9

4

1

0

1

4

-16

-9

-10

-8

0

7

4

64

27

20

8

0

7

8

Jumlah 40 -32 134

= + ∑ ∑ = 75,5 + 103240 = 75,5 8 = 67,5

= ∑ ∑ = 10 13440 3240 = 101,646 = 16,46

= + 12 (∑ 2) . = 60,5 +12 40 128 . 10 = 60,5 + 10 = 70,5

= + 11 + 2

. = 70,5 + 33 + 4

= 70,5 + 4,29 = 74,34 = = 67,5 74,3416,46 = 0,42 Dengan menggunakan cara lain :

= 3 = 367,5 70,516,46 = 0,5

Oleh karena nilai sk -nya negatif (-0,42) maka kurvanya menceng ke kiri atau

menceng negatif.


11/16


b. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien.

Kemencengan.Apabila nilai sk B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

a.

Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka sk B = 0 dan distribusidatanya simetri

b. Jika Q1 = Q2 maka sk B = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan

c. Jika Q2 = Q3 maka sk B = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri

d. sk B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk B>

0,30 menggambarkan kurva yang menceng ber ar t i.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut : Nilai UjianMatematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997


20,00 – 29,99

30,00 – 39,99

40,00 – 49,99

50,00 –

59,9960,00 – 69,99

70,00 – 79,99

4

9

25

40

28

5

Jumla

111

Penyelesaian:

Kelas 1 = 3

1 = 1 + 14 (∑ 1) 1 . = 39,995 + 27,751325 . 10 = 45,895 Kelas 2 = 4

2 = 2 +12 (∑ 2) 2 . = 49,995 + 55,53840 . 10 = 54,37

Kelas 3 = 5

3 = 3 + 34 (∑ 3) 3 . = 59,995 + 83,257828 . 10 = 61,87


12/16


= 3 22 + 13 1 = 61,87 254,37 +45,89561,8745,895 = 0,06 Karena negative (0,06) maka kurva maka kurva menceng ke kiri.

c. Koefisien Kemencengan Persentil

Contoh Soal:

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut: Nilai Ujian

Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997


20,00 – 29,99

30,00 – 39,99

40,00 – 49,99

50,00 – 59,99

60,00 – 69,99

70,00 – 79,99

4

9

25

40

28

5

Jumlah 111

Penyelesaian:

Kelas 10 = 2 10 = + 110(∑ 1) 1 . = 29,995 + 11,149 .10 =37,885

Kelas 50 = 450 = + 12 (∑ 1) 1 . = 49,995 + 55,5389 . 10 = 69,44

Kelas 90 = 590 = + 910 (∑ 1) 1 . = 59,995 + 99,9789 . 10 = 84,33 = 90250 + 109010 = 84,33 269,44 +37,88584,3337,885 = 0,36

Karena negative (0,36) maka kurva maka kurva menceng ke kiri.


13/16


d. Koefisien Kemencengan Momen

Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

a. Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,

b. Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,c. Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,

d. Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3 > ± 0,50 adalah

distribusi yang sangat menceng

e. Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi

yang menceng.

2.

Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Keruncingan

Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga

macam, yaitu sebagai berikut :

a. Leptokurtik : Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif t inggi.

b. Platikurtik : Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

c. Mesokurtik : Merupakan d istribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan

tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtikdianggap sebagai distribusi normal. Dari hasil koefisien kurtosis, ada tiga kriteria

untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu koefisien keruncingan

atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan

koefisien keruncingan diperoleh :

1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik

3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik


14/16


leptokurtik

mesokurtik

platikurtik

Gambar 2. Kurva Keruncingan

a) Koefisien keruncingan

Contoh soal : tentukan keruncingan kurva dari data 2,3,6,8,11!

Penyelesaian :

= 6 = 3,67 X 4 2

36

8

11

-4

-30

2

5

256

810

16

625

Jumlah 0 978

α4 = 1n

∑x x4s4 =

15

9783,674 = 195,6181,4 = 1,08

Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi

platikurtik.

b) Koefisien kurtosis persentil

Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :

a) Nilai lebih kurang dari 0,263, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

b)

Nilai lebih lebih dari 0,263, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtikc) Nilai yang sama dengan 0,263, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik


15/16


Contoh soal :

Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa

universitas XYZ.

a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !

b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !

Tinggi (inci) frekuensi (f)

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 – 74

5

18

42

27

8

Jumlah 100

Penyelesaian :

Kelas Q1 = kelas ke 3

Q1 = B1 +14

n ∑ f 1of Q1 . C = 65,5 + 252342 .3 = 65,64

Kelas Q3 = kelas ke 4 Q3 = B3 +

34 n ∑ f 3of Q3 . C = 68,5+ 75 6527 .3 = 69,61 Kelas P10 = kelas ke 2

P10 = B10 + 10100 n ∑ f 10of P10 . C = 62,5 + 1 0 518 .3 = 63,33 Kelas P90 = kelas ke 4 P90 = B90 + 90100 n ∑ f 90of P90 . C = 68,5 + 906527 .3 = 71,28 Koefisien kurtosis persentil (K) adalah :

K = 12 Q QP P = 12 69,6165,6471,2863,33 = 0,25

Karena nilai K = 0,25 ( K < 0,263) maka distribusinya bukan distribusi normal.


16/16

Momen Kemiringan dan Keruncingan Page 16

DAFTAR PUSTAKA

Akbar, Purnomo Setiady dan Husaini Usman. 2006. Pengantar Statistika Edisi Kedua.

Jakarta : PT Bumi Aksara

Akdon dan Riduwan .2013. Rumus dan Data dalam Analisis Statistika. Bandung : Alfabeta.

Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Jakarta : LP3ES .

Furqon. 1999. Statistika Terapan Untuk Penelitian. AFABETA:Bandung

Gaspersz, Vincent. 1989. Statistika. Armico:Bandung

Hamid, H.M. Akib dan Nar Herrhyanto. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas

Terbuka.

Harinaldi, 2005. “ Prinsip- prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains”. Jakarta : Erlangga.

Hasan, M. Iqbal. 2011. Pokok – Pokok Materi Statistika 1 ( Statistik Deskriptif ). Jakarta :

PT Bumi Aksara

Herrhyanto, Nar. 2008. Statistika Dasar . Jakarta: Universitas Terbuka.

Mangkuatmodjo, Soegyarto. 2004. Statistika Lanjutan. Jakarta: PT Rineka Cipta.

Pasaribu, Amudi. 1975. Pengantar Statistik . Gahlia Indonesia : Jakarta

Rachman,Maman dan Muchsin . 1996. Konsep dan Analisis Statistik . Semarang : CV.

IKIP Semarang Press

Riduwan . 2010. Dasar-dasar Statistika . Bandung : Alfabeta.

Saleh,Samsubar. 1998. STATISTIK DESKRIPTIP . Yogyakarta : UPP AMP YKPN.

Siregar,Syofian. 2010. Statistika Deskriptif untuk Penelitian Dilengkapi Perhitungan Manual

dan Aplikasi SPSS Versi 17 . Jakarta : Rajawali Pers.

Somantri, Ating dan Sambas Ali Muhidin. 2006. Aplikasi statistika dalam Penelitian. pustaka

ceria : Bandung

Subana,dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Pustaka Setia:Bandung

Sudijono, Anas. 2008. Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada.Jakarta

Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada.

Sudijono, Anas. 1987. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada.

Sudjana, M.A., M.SC.2005. METODE STATISTIKA. Bandung: Tarsito

Sugiyono. 2014. Statistika untuk Penelitian. Bandung : Alfabeta.

Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Jakarta : Erlangga.

Usman, Husaini & Setiady Akbar, Purnomo.2006. PENGANTAR STATISTIKA. Yogyakarta:

BUMI AKSARA.

Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. Jakarta : PT Gramedia.

momen kemiringan dan keruncingan

Documents