OLEH:

Dwi Ranti Dhea Karima (06081281419064)

Ria Depti Nurharinda (06081181419066)

Merisa Januarti (06081181419068)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

UKURAN KEMIRINGAN DAN UKURAN

KERUNCINGAN

UKURAN KEMIRINGAN

Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan

sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan

tertentu. Apabila diketahui besarnya nilai ukuran ini

maka dapat diketahui pula bagaimana model

distribusinya, apakah distribusi itu simetrik, positif,

atau negatif.

Kurva Kemiringan Distribusi Data

Kurva Simetris

Mo

Md X

Kurva Condong Positif

Kurva Condong Negatif

x = Md = Mo I

I

MENURUT KARL PERSON

Koefisien

kemiringan

(Median)

Koefisien

kemiringan

(Modus)

Menggunakan

nilai

kuartil

Skewness / Kemiringan distribusi data

Kurva Simetris

Mo

Md X

Kurva Condong Positif

Kurva Condong Negatif

x = Md = Mo I

I

KOEFISIEN KEMIRINGAN (MODUS)

Koefisien kemiringan = 𝑥 −𝑀𝑜

𝑠

Keterangan:

𝑥 = rata – rata hitung

Mo = modus

S = simpangan baku

Contoh 1

Dari suatu sebaran data diketahui nilai rata-

ratanya 𝑥 = 45,2, modus 43,5 dab S = 19,59.

Tentukan koefisien kemiringannya!

Jawab:

Koefisien kemiringan = 𝑥 −𝑀𝑜

𝑠 =

45,2−43,5

19,59 = 0,08

Hasil koefisien kemiringan adalah 0,08 (positif)

berarti sebaran datanya miring ke kanan, seperti

tampak pada kabar di bawah ini.

Mo

Md X

Kurva Condong Positif

KOEFISIEN KEMIRINGAN (MEDIAN)

Koefisien kemiringan =3(𝑥−𝑀𝑒)

𝑠

Keterangan:

𝑥 = rata – rata hitung

𝑀𝑒= median

S = simpangan baku

Contoh 2

Diketahui data nilai tugas akhir

statistika dasar 40 mahasiswa

Universitas Sriwijaya. Tentukan

koefisien kemiringan data di

samping!

Nilai Frekuensi

60-62 5

63- 65 6

66- 68 3

69- 71 11

72- 74 15

Jawab:

Nilai 𝒇 𝒙𝒊 𝒇. 𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒙

𝒊 − 𝒙 )2 𝒇. (𝒙

𝒊 − 𝒙 )2

60-62 5 61 305 -7,875 60,02 300,1

63- 65 6 64 384 -4,875 23,77 142,62

66- 68 3 67 201 -1,875 3,52 10,56

69- 71 11 70 770 1,125 1,27 13,97

72- 74 15 73 1095 4,125 17,02 255,3

Jumlah 40 2755 722,55

𝒙 = Σ𝒇.𝒙𝒊

Σ𝒇 =

2755

40 = 68,875

𝑠2= Σ𝒇 𝒙𝒊− 𝑥

2

𝑛 =

722,55

40= 18,06

S = 4,25

Me= Tb+P

1

2𝑛−𝐹𝑘𝑜𝑚

𝑓

= 68,5 + 3

1

240−14

11

= 68,5 + 3(0,55)

= 70,15

Koefisien kemiringan =3 (𝑥 − 𝑀𝑒)

𝑠

=3 (68,875 − 70,15)

4,27

=3 (−1,275)

4,25

= −0,9

Karena koefisien kemiringannya negatif

mendekati nol, maka kurva condong ke kiri.

Kurva Condong Negatif

KOEFISIEN KEMIRINGAN DENGAN NILAI

KUARTIL

Koefisien kemiringannya = 𝑄3+𝑄1−2𝑄2

𝑄3−𝑄1

Keterangan:

𝑄1 = kuartil ke satu

𝑄2 = kuartil ke dua

𝑄3 = kuartil ke tiga

Menurut Pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas, ada tiga kriteria untuk

mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data berkelompok maupun

data tidak berkelompok), yaitu :

Jika koefisien kemiringan < 0, maka bentuk distribusinya negatif

Jika koefisien kemiringan = 0, maka bentuk distribusinya simetrik

Jika koefisien kemiringan > 0, maka bentuk distribusinya Positif

Contoh 3

Misalkan berat badan bayi (dicatat

dalam Kg) yang baru lahir dirumah

sakit bersalin “Bunda” dapat dilihat

dalam tabel di samping.

Hitung koefisien kemiringannya

dengan menggunakan nilai

Kuartil !

Berat badan (kg) f

2,5 – 26

2,7 – 2,8

2,9 – 30

3,1 – 3,2

3,3 – 3,4

3,5 – 3,6

2

3

5

7

6

5

Jumlah 28 Jawab:

Berat badan

(kg)

f 𝑓𝑘 Ket.

2,5 – 26

2,7 – 2,8

2,9 – 30

3,1 – 3,2

3,3 – 3,4

3,5 – 3,6

2

3

5

7

6

5

2

5

10

17

23

28

𝑄1

𝑄2

𝑄3

Jumlah 28

Koefisien kemiringannya = 𝑄3+𝑄1−2𝑄2

𝑄3−𝑄1

𝑄1 = ………… ?

𝑄1=1

4 (n)

𝑄1 = 1

4 (28)

𝑄1 = 7 (kelas interval ke 3)

Maka 𝑄1 = Tb + p

1

4𝑛−𝑓𝑘𝑢𝑚

𝑓

` ` = 2,85 + 0,27−5

5

= 2,85 + 0,08

= 2,93

𝑄2 = ………… ?

𝑄2= 2

4(n)

𝑄2 =2

4 (28)

𝑄2 = 14 (kelas interval ke 4)

Maka 𝑄2 = Tb + p

2

4𝑛−𝑓𝑘𝑢𝑚

𝑓

` ` = 3,05 + 0,2 14−10

7

= 3,05 + 0,11

= 3,16

𝑄3 = ………… ?

𝑄3= 3

4(n)

𝑄3 =3

4 (28)

𝑄3 = 21 (kelas interval ke 5)

Maka 𝑄2 = Tb + p

2

4𝑛−𝑓𝑘𝑢𝑚

𝑓

` ` = 3,25 + 0,2 21−17

0

= 3,25 + 0,13

= 3,38

Sehingga koefisien

kemiringannya

= 𝑄3+𝑄1−2𝑄2

𝑄3−𝑄1

= 3,38+2,93−2(3,16)

3,38−2,93

= 𝑄3+𝑄1−2𝑄2

𝑄3−𝑄1

= −0.022

Untuk data tunggal

∝3= (𝑥 − 𝑥 )3

𝑛𝑆3

Untuk data kelompok

∝3= (𝑥−𝑥 )3

𝑛𝑆3 ∝3=

𝑐3

𝑠3 𝑓 𝑈3

𝑛− 3

𝑓𝑈2

𝑛

𝑓𝑈

𝑛+ 2

𝑓 𝑈

𝑛

3

Jika ∝3 < 0 maka bentuk distribusinya negatif

Jika ∝3 = 0 maka bentuk distribusinya simetrik

Jika ∝3 > 0 maka bentuk distribusinya positif

RUMUS MOMEN

RUMUS BOYLE

∝= Q3+ Q1− Q2

𝑄3− 𝑄1

Koefisien:

∝= Koefisien Kemiringan,

Q1= kuartil pertama,

Q2= kuartil kedua

Q3= kuartil ketiga

Jika Q3- Q2= Q3+ Q1- 2Q2=0 maka

∝=0 dan distribusi datanya simetri

Jika Q1 = Q2 maka nilai ∝=1 dan

distribusi datanya miring ke kanan

Jika Q2 = Q3 dan nilai ∝=-1 maka

distribusi datanya miring ke kiri.

Menggunakan nilai persentil

∝=P90 − 2P50 + P10

𝑃90 − 𝑃10

Keterangan:

𝑃10= persentil ke 10

𝑃50= persentil ke 50,

𝑃90= persentil ke 90

UKURAN KERUNCINGAN

Ukuran keruncingan adalah kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil

relatif terhadap distribusi normal. Sebuah distribusi yang mempunyai puncak

relatif tinggi dinamakan leptokurtik, sebuah distribusi mempunyai puncak

mendatar dinamakan platikurtik, distribusi normal yang puncaknya tidak terlalu

tinggi atau tidak mendatar dinamakan mesokurtik.

Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga criteria untuk mengetahui model

distribusi dari sekumpulan data, yaitu :

• Jika koefisien kurtosisnya < 0,263 maka distribusinya adalah platikurtik

• Jika koefisien kurtosisnya = 0,263 maka distribusinya adalah mesokurtik

• Jika koefisien kurtosisnya > 0,263 maka distribusinya adalah leptokurtik

Derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara transformasi, yaitu ;

Jika α4 > 3, leptokurtis

Jika α4 = 3, mesokurtis

Jika α4 < 3, platikurtis

f

Leptokurtis

Platikurtis Mesokurtis

SIMETRIS

MEAN = MEDIAN = MODUS

K =

1

2 𝑄3− 𝑄1

𝑃90− 𝑃10

Dengan :

Q1 = kuartil kesatu

Q3 = kuartil ketiga

P10 = Persentil ke 10

P90 = Persentil ke 90

Rumus Quartile Coefficient of kurtosis

Rumus Moment Coefficient of kurtosis

Data tidak berkelompok:

∝4=1

𝑛

(𝑥𝑖 − 𝑥 )4

𝑆4

𝑛

𝑖=1

Data berkelompok:

∝4=

1𝑛 𝑓

𝑖𝑥𝑖 − 𝑥 4𝑛

𝑖=1

𝑆4

atau

∝4= 𝑃4

𝑠4 𝑓

𝑖𝑐𝑖4𝑘

𝑖=1

𝑛− 4

𝑓𝑖𝑐𝑖3𝑘

𝑖=1

𝑛 𝑓

𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛

+ 6 𝑓

𝑖𝑐𝑖2𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛

2

− 3 𝑓

𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛

4

Keterangan :

∝4 = koefisien kurtosis

𝑥𝑖 = nilai data ke-i

𝑥 = nilai rata-rata

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i

n = banyak data

S = simpangan standar

𝑐𝑖 = skala c untuk kelas ke-i

Derajat keruncingan lebih mudah dihitung dengan memakai cara

transformasi, yaitu ;

Jika α4 > 3, leptokurtis

Jika α4 = 3, mesokurtis

Jika α4 < 3, platikurtis

Contoh 4

Pengadaan Buku Pelajaran Matematika (dalam satuan buah)

dari 40 sekolah di Kecamatan Kalidoni sebagai berikut:

138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

(data buatan)

Berdasarkan data berkelompok diatas,

hitunglah tingkat keruncingan grafik dengan menggunakan

rumus Moment coefficient of Kurtosis !

Jawab:

Pengadaan buku matematika dari 40 sekolah di kecamatan Kalidoni

Kelas 𝒇𝒊 𝒄𝒊 𝒄𝒊

2 𝒇𝒊𝒄𝒊 𝒇

𝒊𝒄𝒊

2 𝒇𝒊𝒄𝒊

𝟑 𝒇𝒊𝒄𝒊

𝟒

118-126 3 -3 9 -9 27 -81 243

127-135 5 -2 4 -10 20 -40 80

136-144 9 -1 1 -9 9 -9 9

145-153 12 0 0 0 0 0 0

154-162 5 1 1 5 5 5 5

163-171 4 2 4 8 16 32 64

172-180 2 3 9 6 18 54 162

Jumlah 40 0 32 -9 95 -39 563

𝑆 = 𝑃

𝑛 𝑓

𝑖𝑐𝑖

2 − ( 𝑓𝑖𝑐𝑖)2𝑘

𝑖=1

𝑆 = 9

40 40(95) − (9)2

S = 0,225 . 60,98 = 13,72

∝4= 𝑃4

𝑠4 𝑓

𝑖𝑐𝑖4𝑘

𝑖=1

𝑛− 4

𝑓𝑖𝑐𝑖3𝑘

𝑖=1

𝑛 𝑓

𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛+ 6

𝑓𝑖𝑐𝑖2𝑘

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛

2

− 3 𝑓

𝑖𝑐𝑖

𝑘𝑖=1

𝑛

4

∝4 = 94

13,724 563

40− 4

−39

40

−9

40+ 6

95

40(−9

40)2− 3 (

−9

40)4

∝4 = 6.561

35.433,68 14,075 − 4 −0,975 −0,225 + 6 2,375 −0,225 −0,225 − 3(0,0020)

∝4= 0,185 (14,075 – 0,876 +0,72 – 0,0078)

∝4= 2,57

Nilai koefisien keruncingan ∝4= 2,57 ; ∝4< 3,maka kurvanya agak datar atau platikurtis

Terima Kasih