statistik dipersi kemiringan dan keruncingan
DESCRIPTION
Statistik :Ilmu tentang bagaimana cara mengolah data dan pengambilan kesimpulan. Data primer : Data yang diambil oleh orang berkepentingan. Data sekunder : Data yang tidak diambil oleh dirisendiri. Populasi : Seluruh objek diambil. Sampel : Bagian dari populasi.TRANSCRIPT
STATISTIK
Statistik :Ilmu tentang bagaimana cara mengolah data dan pengambilan
kesimpulan.
Data primer : Data yang diambil oleh orang berkepentingan.
Data sekunder : Data yang tidak diambil oleh dirisendiri.
Populasi : Seluruh objek diambil.
Sampel : Bagian dari populasi.
TABEL DAN GRAFIK
Tabel : Kumpulan angka yang disusun menurut kategori-kategori sehingga
memudahkan untuk menganalisa data.
Bentuktabel:
1. Tabel satu arah : Pendidikan masa kerja, jenis, merk, harga
2. Tabel dua arah : pendidikan, masa kerja, umur.
3. Tabel tiga arah :
Contoh tabel satu arah
Jenis BanyaknyaContoh Tabel dua arah
Grafik
1. Grafik Garis Tunggal
- Hanya mempunyai garis satu
2. Grafik Garis Ganda
- Mempunyai garis lebih dari satu
3. Grafik Garis Komponen Berganda
- Berwarna
Grafik batang (Histogram)
Grafik lingkaran
Cara mencari persen
75200
× 100% = 37 ,5%50200
× 100% = 25%
Cara mencari derajat
37,4% x 360 = 135
37 ,4100
× 360 °= 135 °
Data hasil akhirbagian statistika dari 60 orang mahasiswa:
23, 60, 79, 32, 57, 74, 52, 70, 82, 36, 80, 77, 81, 95, 41, 65,92, 85, 55, 76, 52, 10,
64, 75, 78, 25, 80, 98, 81, 67, 41, 71, 83, 54, 64, 72, 88, 62, 74, 43, 60, 78, 89, 76,
84, 48, 84, 90, 15, 79, 34, 67, 17, 82, 69, 74, 63, 80, 85, 61.
Urutkan data:
1. 10
2. Range (r) maks-min
r = 98 − 10= 88
3. k = 1 + 3,3 log (60)
= 1 + 3,3 (1,77 )= 1 + 5,841= 6,841= 7 (genap )
4.C = r
k
= 886 ,841
= 12 ,57 = 13
TabelDistribusiFrekuensi (Tabel Yang Didalamnya Ada Interval, Limit)
Kelebihan : Dapat mengetahui gambaran secara menyeluruh.
Kekurangan : Rincian data informasi awal menjadi hilang.
Contoh tabel distribusi frekuensi
Interval Frekuensi151 – 153 20154 – 156 12
- Limit kelasbawah : Nilai terkecil dari tabel diatas
Ex: 151
- Limit kelasatas: Nilai terbesar dari nilai tabel diatas
Ex: 153
- Batas kelas :
- Lebarkelas : (interval) jarak antar kelas atas/bawah
Ex: (151 – 153)
Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi
1. Urutkan data
2. Menentukan range Mak – Min
3. Menentukan banyaknya interval kelas (k) rumus: k = 1 + 3,3 log (n )
4. Lebarkelas (c) rumus: C = r
k
Interval Frekuensi Batas Kelas Frek. relatif10 – 22 3 9,5 – 22,5 3
60× (100) = 5 %
23 – 35 4 22,5 – 35,5 6%36 – 48 5 35,5 – 48,5 8%49 – 61 8 48,5 – 61,5 13%62 – 74 14 61,5 – 74,5 23%75 – 87 20 74,5 – 87,5 33%88 – 100 6 87,5 – 100,55 10%
Latihan
1. 19, 23, 18, 43, 30, 20, 37, 42, 30, 26, 40, 16, 27, 56, 17, 27, 26, 27, 37, 28, 38, 26,
33, 45 50, 22, 28, 38, 31, 39, 31, 30, 31, 41, 62, 37, 51, 42, 25, 42, 42, 41, 27, 26,
19, 42, 63, 16, 18, 55.
r = 63 − 16= 47
k = 1 + 3,3 log (50)
= 1 + 3,3 (1,69 )= 1 + 5,577= 6,577= 7
C = rk
= 476 ,577
= 7
Lebarkelasselisih antara kelas atasdengan limit kelas atas (interval)
Membuat tabel frekuensi distribusi
1. Urutkan data
2. Menentukan range Mak – Min
3. Menentukanbanyaknya interval kelas (k) rumus: k = 1 + 3,3 log (n )
4. Lebarkelas (c) rumus: C = r
k
Ex:
Data hasil statistic hasil ujian akhir dari 60 mahasiswa
23, 60, 79, 32, 57, 74, 52, 70, 82, 36, 80, 77, 81, 95, 41, 65, 92, 85, 55, 76, 52, 10,
64, 75, 78, 25, 80, 98, 81, 67, 41, 71, 83, 54, 64, 72, 88, 62, 74, 43, 60, 78, 89, 76,
84, 48, 84, 90, 15, 79, 34, 67, 17, 82, 69, 74, 63, 80, 85, 61.
10 (terkecil)
98 (terbesar)
Jawab:
1. 10 (terkecil) 98 ( terbesar)
2. Range (r) Maks- Min
r = 98 − 10= 88
3. k = 1 + 3,3 log (60)
= 1 + 3,3 (1,77 )= 1 + 5,841= 6,841= 7
4.C = r
k
= 886 ,841
= 12 ,57 = 13
UkuranPemusatan Data
yang dimaksud dengan ukuran pemusatan suatu data adalah
- Rata-rata
- Median
- Modus
Rata-rata hitungadalah:
X =x1 + x2 + .. . + xn
n
Modus = Bmodus + P { b1
b1 + b2}
Bmod= batas bawah kelas modus yaitu kelas dengan frekuensi terbanyak.
p = panjan gkelas modus.
b1= selisih frekuensi kelas modus
Median (Data paling tengah)
Median = Bmodus + P { n
2−F
f mod us } X ( n + 12 ) = (21 + 1
2 )= 222
= X II = 7
X ( n + 12 ) = (82 + 1
2 )= 832
= 41,5 = 71,1 − 78,0
Interval Frekuensi Batas Kelas Frek. relatif16 – 22 9 15,5 – 22,5 9
50× (100 )= 18 %
23 – 29 12 22,5 – 29,5 24%30 – 36 7 29,5 – 36,5 14%37 – 43 15 36,5 – 43,5 30%44 – 50 2 43,5 – 50,5 4%51 – 57 3 50,5 – 57,5 6%58 – 64 2 57,5 – 64,5 4%
∑ = 50
Batas Bawah Frek. Kumulatif<
Frek. Kumulatif> Persen Kun <
>< 15,5 0 50 0>< 22,5 9 48 9
50× (100 )= 18%
>< 29,5 21 45>< 36,5 28 43>< 43,5 43 28>< 50,5 43 21>< 57,5 48 9>< 64,5 50 0
Ex:
Interval Frekuensi Nilai Tengah (X)16 – 22 9 1923 – 29 12 2630 – 36 7 3337 – 43 15 4044 – 50 2 4751 – 57 3 5458 – 64 2 61
X1 =15 ,5 + 22 ,52
= 382
= 19
Rata-rata =
19(9 ) + 26(12 ) + 33(7 ) + 40(15) + 47 (2) + 54 (3) + 61(2)50
= 171 + 312 + 231 + 600 + 94 + 162 + 12250
= 33 ,84
Modus = 26 + P ( b1
b1 + b2)
= 36 ,5 + 7 ( 88 + 13 )
= 36 ,5 + 7 (821 )= 36 ,5 + 56
21= 39 ,1
Median
= 29 ,5 + 7 ( 502
− 21
7 )Bmodus + P
{ n2
−f
f mod us }= 29 ,5 + 7 (4
7 )= 29 ,5 + 3 ,98 = 33 ,48
Pengukuran dipersi kemiringan dan keruncingan
Dipersi : sejauh mana data-data itu menyebar
1. Jangkauan : selisih data yang tinggi dengan rendah
2. Simpangan rata-rata
3. Variasi atau ragam
4. Standar deviasi
5. Simpangan kuartil
Kemiringan data
A. Persen
1. Jangkauan
R = nilai maximum –nilai minimum
“ semakin kecl nilai r maka kualitas data semakin baik”
2. Simpangan rata-rata
“ jumlah mulai mutlak dari selesih semua nilai-nilai
Data tidak berkelompok se=
∑|x −x|π
Data berkelompok sr=
∑ f |x −x|
∑ f
Mencari simpangan rata-rata
SR =
30,40,50,60,70
1 = data ke
N = jumlah data 5
=
|30−50|+ |40−50|+|50−50|+|60−50|+|70−50|5
=
20 +10 +0 +10 +205
= 605
= 12
Simpangan rata-rata
1 = data yang kesatu
= 3|15−65 ,9|+4|28−65 ,9|+…+ 6 |93−65 ,9|= 15,76+159,76+ ...+162,48
=
998 ,7660
= 16 ,69
NB= 65,9 adalah X (X bar)
Variansi
Data tidak berkelompok
s2 =∑ ( x−x )2
n−1 atau s2 =
n ∑ x2 − (∑ X )2
n (n−1 )
Data berkelompok
s2 =∑ f (x−x )2
∑ f−1 atau s2 =
n ∑ 1 x2 (∑ fX )2
n (n−1 )
n =∑ f
Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai rata-rata terhadap nilai rata-rata hitung
Ex: 30,40,50,60,70,= s2 ∑
i−1
n
(x i−x )2
(30−50 )2 + ( 40−50 )2 + (50 −50 )2 (60 −50 )2 + (70−50 )5−1 = banyak data dikurang rumus
2
400 +100 +0 +100 +4004
− 1004
=250
Kemiringan distribusi data
Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data
Ada 3 rumus
1. Pearson
2. Momon
3. Bowley
Rumus pearson
a = x − mods
atau a = 3 ( x− mods )
A = drajat kemiringan pearson
x = rata-rata
s =
bila
1. a = 0, maka distribusi datanya simetri
2. a < 0, maka distribusi datanya miring kekiri
3. a > 0, maka distribusi datanya simetri miring kanan
1. Rumus momen
data tidak berkelompok
q3 =∑ (X− X )ns2
Bila dipakai 1 rumus saja
Data berkelompok
q3 =∑ f ( x −x )2
Med =
l0 + |n−f2F
|
=
60 ,5 + 13 |60−192
12
|
= 60 ,5 + 13 (11
12)=71,49
Rumus momen
a3 =∑ ( X − Xn s3 )
2
∂ =∑ f ( x −X )3
∑ f s3
F = frekuensi
X : nilai tengah
∑ f = 60
S = 21,04
S3 = 21,04 x 21,54 x 2,04
(X − X ) F (X x )9
-50,9
-37,9
-24,9
-11,9
1,08
14,08
27,08
-132028
-545262
-15475,5
-169367
1,25971
2791,31
1985,5
3
4
4
6
12
23
6
-396083
-218105
-61901,9
-135494
15,1165
642001
119151
-506273
Keruncingan Distribusi data
Derajat atau ukuran tinggi rendahnya uncak suatu distribusi data terhadap
distribusi normal datanya.
Disebut juga kurtosis
Ada 3 jenis
1. Leptokurtis puncaknya relatif tinggi
2. Tesokurtis puncaknya relatif normal
3. Platikurtis puncaknya relatif rendah
Keruncingan distribusi data
a 4 =∑ (X − X )4
ns4
a4 -3 = mesokurtis
a4 >3 = leptokurtis
a4 <3 = platikurtis
→ ∑ f ( x −x )3−506273558841
uji satu sampel
menguji apakah satu sampel sama/berbeda dengan rata-rata populasinya
Hitung rata-rata dan standar deviansinya
df π −1
tingkat singnifikan (a = 0,025 atau, 0,05
pengujian apakah menggunakan 1ekor atau 2 ekor
diperoleh t hitung lalu dibandingkan dengan ttabel jika thitung > + tabel H0
ditolak
H0 = P1 – P2
Diperoleh rata-rata 17,26 standar deviasi : 7,6 : df : 89 thitung = 11,55, berdasarkan
tabel df 89 dan alfa 0,05 diperoleh ttabel : 1,987
Rumusnya
X− uys/√n
thitung :
17 ,26−07,6√90
=
17 ,267,6/√90
=11 ,55
ttabel = 0,05 = 1,987
t hitung > ttabel sehingga H0 ditolak
rata-rata yang di perlukan mahasiswa untuk daftar ulang pada awal semester di
suatu universitas pada semester yang lalu adalah 45 menit dan standar deviasinya
8 menit suatu pendaftaran baru dengan memakai komputer diharapkan dapat
mengurangi waktu pendaftaran bagi mahasiswa di bandingkan dengan cara yang
lama diambil sample sebanyak 10 orang mahasiswa dan ternyata waktu
pendaftaran yang dignunakan adalah 35 menit dengan standar deviasi 9,5 menit
pertanyaan : apakah anda percaya dengan harapan tersebut berdasarkan hasil
pengujian hipotesis pada taraf ditanya 1 %
N = 45
Standar deviasi 8
X = 35Standar 9,5 , n =10
∂ (alfa) 1 % = 0,01
Df = n - 1 = 9
ttabel = 3,25
thitung =
X = 24s /√n
35 −459,5/√10
-10 =-3,26
thitung (3,26)
ttabel (3,25)
thitung < ttabel → , H0 diterima
pengelola pasar perbelanjaan akan melakukan reposisi jika ada perubahan pada
target marketnya untuk itu dilakukan pengujian apakah penyaluran rata-rata
pengunjung lebih besar dari pada Rp. 400.000-, setiap kali kunjungan seperti
yang diharapkan dalam melakukan pengkajian yang diharapkan dalam melakukan
pengkajian tersebut diambil sampel acak sebesar 20 pengunjung dan besar nya
pengeluaran tiap pengunjung sebagai berikut :
450, 300, 480, 500, 370, 290, 410, 360, 405, 520, 360, 380, 420, 470, 400, 350,
310, 370, 390, 425
Lakukan pengujian apakah benar besarnya uang rata-rata yang dibelanjakan tiap
pengunjung setiap kali kunjungan lebih besar dari 400.000 dengan (∂ ) alfanya 5
%.
s2
∑ (X1 − X
n−1
tabel = 0,05 19 = 209
t hitung =
X − ϕϕ
mencari X (x bar )
X = 450 + 300+ 390 +…+42520
Setalah itu dicari s √ s2 =dilakukan
S2 =(450 −416 ,5 )2 + (300 − 416 ,5 )2 + …+ (425 + 4 ,6520 −1
=(−33 ,5 )2 + (−116 ,5 )2 + (300 − 416 ,5 )2 + …+ (425 + 4 ,65 )20 −1
S2 =
∑ ( x 1 − x2 )2
n −1→ mencari skuadrat
Pemeriksaan kenormalan
1) urutan data
x1 < x2 < x3 < x4 x5 <.... x12
2) Beri indeks data
3) Hitung :
P=1−1
2n
4) Menentukan nilai peluang P yaitu nilai P2 tabel 2 0 λ
5) Plot data x1 dengan nilai peluang pada tabel > jika plot mendakti garis lurus
maka data berdistribusi normal.
Contoh
Beri indeks data
X1 Indeks P1 2x
15171819
12345678
0,050,150,250,350,450,550,65
-0,25-021-0,12
910
(1-0,05 = 095 ( hasil ditabel 2)
Cara mencari Pi
Caranya :
P=1−1
2n
P=1−1
210
Rebresi
4 = β0 + β1 X + t eror
regresi
Untuk mentukan besarnya pendapatan atau pengeluaran
Caranya :
β i =∑ Xy − (∑ x ) (∑ y )
n
∑ X2 −(∑ X )2
n
β0 = y − β1 X
y = β0+β1x+e →eror (y1- y ) y sebenarnya y dugaan
r = 0,62
β1 =−0 ,45
β0 =−35 ,825
y = β0+β1x+e
y = 35 ,825 −0 ,45 x + e (pendapatan)
Jika x = 25 tentukan nilai y (pengeluaran)
y = 30 . 825 − 0 ,45 (25)
= 24,57
Korelasi product moment→Hubungan antara x & y X =besar biaya pendapatY =besarnya pengeluaranKoefisen korelasi (r)→-1 ¿ r<¿
- 1 ¿ r<¿ - 0,8 ¿ r<¿= kuat
- 0,8¿ r<¿ -0,5 atau 0,5 ¿ r<¿ 8 → cukup kuat
- 0,5¿ r atau 0,5 ¿ r → lemah
R=0 → tidak ada hubunganx y15 25
30 2829 2740 12
Koef korelasi (r) n∑× y
N √N∑ X ×2−(∑❑×2 ){ⁿ∑ y2−¿ R =4 (375+840+783+480)-(144.92)√¿= 9912 – 10488 =-576 = -576√14264-12996).(9128-8464) √1268.664 914
=0,633. uji t⤍ jika 2 sample berpasangan.T hitung :d-do
So/√n
d= ∑d =∑ (× 𝐀 -× 𝐛 ) n nsd2 =n∑d2-(∑ 𝐃 )2
N N (ⁿ-1)
Ho : ϻ1 = ϻ2 ⤍D :ϻ1 = ϻ2
Hi : ϻ1 ≠ ϻ2 D:ϻ1 = ϻ2 = 0
Nama Xa sebelum Xb (sesudah) dRomi 65 70 5Ani 70 68 2Ana 90 80 10Andi 85 95 10dedi 65 70 5
d=¿ ∑𝐃 = 32 = 6,4 𝗇 5Sd2 =n∑n2−¿ ¿(∑d ¿¿2 T tabel = n-1 = 4 = 2,78 N (n-1)= 5 (254) – (1024) 5 (5-1)=1270-1024 =√12,3=3,50 20= d-Do = 6,4-0 = 6,4 So/√𝗇 3,5/√5 3,5 / 2,23= 6,4 = 4,1 ¿ 2,78 ⤍ TERIMA HO 1,56
Jadi cukup kuat hubungan antara besar nya pendapat dengan besarnya pengeluaran .
KP : R2 x 100 % 0,632 X 100 % =0,384 X100 % = 38,4 %
- Satu arah (berarah) - 2 arah (tidak berarah)
Ho: ϻ1 = ϻ2
Hi : ϻ1 ≠ ϻ2
x y
40 3560 7595 6075 8580 9835 50
2. Menguji apakah rata-rata dua kelompok yang tidak berhubungan sama agar garis miring berbeda
T hitung = x -y =-7,369. T tabel .S x -y
S y = √(∑x2+∑y2) (inx+
iny
(ⁿ×=ⁿ 𝒚 - 𝟤 ) Ho : pengahsilan guru s1 = penghasilan guru s3
T hitung = -7,369 ¿ t tabel – 1,994Ho: nilai x = nilai yHi nilai x ≠ nilai yX = 5 % T 𝛼(0,05),df : 6-1=5 ⤍2,75T hitung = x -y =64,16-67,16
S x -y
S x -y = √(∑x2+∑xy2(1nx
+1ny
)
n×+ⁿ𝒚-2
= (2745 +29779 ) (16+ 1
6) (
16+ 1
6)
6+6-2
√57254 x26
❑
=√19084 ,6= 0,068
10 10
T hitung ¿ t tabel⤍ terimahoT hitung ¿ t tabel : terimahoT hitung >t tabel: tolak : ho