UKURAN KERUNCINGAN

Disusun Oleh :

1. Fatria Anggita (06081181520005)

2. Lorent Agustina Arissanti (06081181520004)

3. Putri Maya Sari (06081181520026)

4. Robiatul Bangka Wiyah (06081281520069)

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

2016

UKURAN KEMIRINGAN

A. PENGERTIAN UKURAN KEMIRINGAN

Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model

distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu (Putri, 2012). Apabila

diketahui besarnya nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana

model distribusinya, apakah distribusi itu simetrik, positif, atau negatif.

B. BENTUK-BENTUK KURVA KEMIRINGAN

Jika kita melihat sebuah kurva frekuensi, kita dapat melihat letak

kecenderungan berkumpulnya nilai-nilai data dengan jelas.

Jika nilai-nilai data tersebar secara merata sebelah kiri maupun di

sebelah kanan rata-rata,kurvanya akan berbentuk simetris.

Jika nilai-nilai data tidak tersebar merata antara sisi-sisi kiri dan

kanan rata-ratanya, kurva akan condong ke kiri atau ke kanan.

Untuk mengetahui apakah data mengikuti kurva simetris, kurva

negatif atau kurva positif, kita dapat melihatnya berdasarkan nilai

koefisien kemiringannya, yaitu dengan cara berikut ini.

a. Koefisien kemiringan pertama dari Karl Person

Keterangan:

SK = Koefisien Kemiringan

Mo = Modus

S = Simpangan Standar

𝑋 ̅ = Rata-rata

b. Koefisien kemiringan kedua dari Karl Person

Keterangan: SK = Koefisien Kemiringan

Mo = Modus

S = Simpangan Standar

𝑋 ̅ = Rata-rata

c. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil

Koefisien kemiringannya =

dimana : K1 = kuartil ke satu, K2 = kuartil ke dua, K3 = kuartil ke tiga

Contoh 1:

Dari suatu sebaran data diketahui nilai rata-ratanya 𝑋 ̅ = 45,2 , Mo =

43,7 dan S = 19,59. Tentukan koefisien kemiringannya!

Jawab :

𝑆𝐾 = 𝑋 ̅ − 𝑀𝑜

𝑆

𝑆𝐾 = 𝑋 ̅ − 𝑀𝑒

𝑆

𝐾3 − 2𝐾2 + 𝐾1

𝐾3𝐾1

𝑆𝐾 = 𝑋 ̅ − 𝑀𝑜

𝑆 =

45,2− 43 ,7

19,59= 0,08

Hasil SK = 0,08 (positif) berarti sebaran datanya miring ke kanan, seperti tampak

pada gambar di bawah.

Contoh 2 :

Tentukan koefisien kemiringan dari data berikut ini !

Nilai f

31-40 1

41-50 2

51-60 5

61-70 15

71-80 25

81-90 20

91-100 12

Jumlah 80

Jawab :

Nilai f xi fixi xi - �̅� (xi - �̅�)2 fi(xi - �̅�)2

31-40 1 35,5 35,5 -41,1 1682,219 16881,21

41-50 2 45,5 91,0 -31,1 967,21 1934,42

51-60 5 55,5 275,5 -21,1 445,21 2226,05

61-70 15 65,5 982,5 -10,1 102,01 1530,15

71-80 25 75,5 1887,5 -1,1 1,21 30,25

81-90 20 85,5 1710,0 -8,9 79,21 1584,20

91-100 12 95,5 1146,0 -10,9 357,21 4502,52

80 6128 13489,80

�̅� =∑ 𝑓𝑖 −𝑥𝑖

∑ 𝑓𝑖=

6128

80= 76,6

𝑆 2 =1

𝑛∑ 𝑓𝑖(𝑓𝑖 − �̅�)2

𝑆 2 =13489,80

80= 168,6

𝑆 = 12,98

Median 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 (1

2𝑛−𝐹

𝑓)

= 70,5+10(1

280−23

25)

= 70,5 + 10(17

25)

= 70,5 + 6,8 = 77,3

Jadi, SK = 3(𝑥̅−𝑀𝑒)

𝑆

SK = 3(76,6−77,3)

12 ,98= −0,16

Karena koefisien kemiringannya negatif dan mendekati nol, model kurvanya

sedikit ke kiri, seperti pada gambar di bawah :

UKURAN KERUNCINGAN

A. PENGERTIAN UKURAN KERUNCINGAN

Ukuran kerucingan adalah kepuncakan dari suatu distribusi,

biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal (Putri, 2012)

B. DERAJAT KERUNCINGAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat

digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu :

1. Kurva Leptokurtik

Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing dan

nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata (Subana,

2000). Perhatikan gambar di bawah :

Gambar Kurva Leptokurtik

2. Kurva Mesokurtik

Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan

merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal (Subana;102).

Perhatikan gambar di bawah :

Gambar Kurva Mesokurtik

3. Kurva Platikurtik

Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar dan nilai-

nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya

(Subana;103). Perhatikan gambar di bawah :

Gambar Kurva Platikurtik

Untuk mengetahui apakah suatu kurva distribusi merupakan leptokurtik,

mesokurtik, atau platikurtik, kita dapat menggunakan suatu ukuran keruncingan

atau koefisien kurtosis. Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva

dipergunakan rumus 𝛼4 yang di rumuskan berikut ini :

1. Data Tidak Berkelompok

𝛼4 =𝑚4

𝑆 4=

1

𝑛∑

(𝑥𝑖 − �̅�)4

𝑆 4

𝑛

𝑖=1

Keterangan :

𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠

𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖

�̅� = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎

𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎

𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

2. Data Kelompok

𝛼4 =𝑚4

𝑆 4=

1𝑛

∑ (𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)4)𝑛𝑖=1

𝑆 4

Keterangan :

𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠

𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖

�̅� = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎

𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖

𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎

𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

Berdasarkan koefisien kurtosisnya, jenis kurvanya dikategorikan sebagai

berikut :

1. Jika 𝛼4 > 3, kurvanya runcing (liptokurtik)

2. Jika 𝛼4 = 3, kurvanya distribusi normal (mesokurtik)

3. Jika 𝛼4 < 3, kurvanya agak datar (platikurtik)

Contoh :

Diketahui data kunjungan ke Perpustakaan MAN Muara Enim selama 100 hari

adalah sebagia berikut

Kelas Frekuensi

1-5 1

6-10 7

11-15 12

16-20 20

21-25 24

26-30 16

31-35 11

36-40 6

41-45 3

Jumlah 100

Hitunglah koefisien keruncingan dan tentukan jenis kurvanya !

Jawab :

Kelas xi ci fi cifi

1-5 3 -4 1 -4

6-10 8 -3 7 -21

11-15 13 -2 12 -24

16-20 18 -1 20 -20

21-25 23 0 24 0

26-30 28 1 16 16

31-35 33 2 11 22

36-40 38 3 6 18

41-45 43 4 3 12

Jumlah 100 -1

Pertama tentukan rata-rata data tersebut

𝒙𝟎 = 𝟐𝟑

P= 5

�̅� =∑ 𝒄𝒊𝒇𝒊

∑ 𝒇𝒊

�̅� =−𝟏

𝟏𝟎𝟎= −𝟎, 𝟎𝟏

�̅� = 𝒙𝟎 + 𝑷�̅�

�̅� = 𝟐𝟑 + 𝟓 (– 𝟎,𝟎𝟏)

= 𝟐𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟓

= 𝟐𝟐,𝟗𝟓 (𝒅𝒊𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕𝒌𝒂𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒋𝒂𝒅𝒊 𝟐𝟑)

Kelas xi (𝒙𝒊 − �̅�) (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐 fi (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐𝐟𝐢

1-5 3 -20 400 1 400

6-10 8 -15 225 7 1575

11-15 13 -10 100 12 1200

16-20 18 -5 25 20 500

21-25 23 0 0 24 0

26-30 28 5 25 16 400

31-35 33 10 100 11 1100

36-40 38 15 225 6 1350

41-45 43 20 400 3 1200

Jumlah 100 7725

𝑺 = √𝟏

𝒏∑(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐𝐟𝒊

𝑺 = √𝟏

𝟏𝟎𝟎(𝟕𝟕𝟐𝟓) = √𝟕𝟕,𝟐𝟓 = 𝟖, 𝟖

Kelas xi (𝒙𝒊 − �̅�) fi (𝒙𝒊 − �̅�)𝟒 (𝒙𝒊 − �̅�)𝟒𝐟𝐢

1-5 3 -20 1 160000 160000

6-10 8 -15 7 50625 354357

11-15 13 -10 12 10000 120000

16-20 18 -5 20 625 12500

21-25 23 0 24 0 0

26-30 28 5 16 625 10000

31-35 33 10 11 10000 110000

36-40 38 15 6 50625 303750

41-45 43 20 3 160000 480000

Jumlah 100 1550607

𝛼4 =𝑚4

𝑆 4=

1𝑛

∑ (𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)4)𝑛𝑖=1

𝑆 4

𝛼4 =

1100 155060607

(8,8)4

𝛼4 =1550606,07

5996,9536

𝛼4 = 2,585 = 2,6

𝛼4 < 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑔𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖𝑘𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 (𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑘𝑢𝑟𝑡𝑖𝑘).

Kesimpulan

Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model

distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Apabila diketahui besarnya nilai

ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya, apakah

distribusi itu simetrik, positif, atau negatif.

Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah kepuncakan dari suatu distribusi,

biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Dilihat dari segi

keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat digolongkan menjadi tiga

golongan, yaitu : Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing

dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. Kurva mesokurtik

adalah kurva yang kemiringannya sedang dan merupakan penggambaran dari

suatu distribusi normal. Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar

dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya.

Daftar Pustaka

Putri, R. I. (2012). Ukuran Kemiringan dan Ukuran Keruncingan. hal. 15.

Subana. (2000). Statistik Pendidikan. Bandung: Pustaka Setia.