BAB V

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A. Momen

Misal diketahui variabel X dengan harga X1, X2, X3 . . . . Xn. Jika A

sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3, maka momen di sekitar A disingkat m’r

didefinisikan oleh

Dengan

n = , Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.

Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:

m’r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.

Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m2 = m2’ – (m1’)2

m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3

m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)

45

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi

frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE 5.1: Table pembantu untuk mencari mData f1 Ci f1Ci f1C1

2 f1C13 f1C1

4

60 – 6364 – 6768 – 7172 – 7576 – 70

51842278

-2-1012

-10-1802716

201803742

-40-1802764

8018027128

Jumlah 100 15 97 35 253

Dapat dihitung:

m1 =

m2 =

m3 =

m4 =

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:

m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16

m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456

m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........

= 40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6 2x15,52 – 3x0,42

= 60,9424

Jadi Varian S2 = m2 = 15,16

B. Kemiringan

46

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan

mesokurtik,

kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut

platikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan

dengan rumus a4 = (m4/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

a) a4 = 3 Distribusi normal

b) a4 > 3 Distribusi yagn leptokurtik

c) a4 < 3 Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai

koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

κ =

SK = rentang semi antar kuartilK3 = kuartik ketigaK1 = kuartil keduaP10 = persentil kesepuluhP90 = persentil ke 90Untuk distribusi normal, harga κ = 0,263

Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga

besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari

3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.

Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien

kurtosis persentil besarnya:

κ =

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

47

No Nilai Ujian Fi1234567

31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 100

35101624175

Jumlah 80

Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat

dihitung P10 dan P90.

P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b

= 40,5, P = 10; F = 3 f = 5

P10 = 40,5 + 10 = 50,5

P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam,

sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17

P90 = 80,5 + 10 = 81,32

48

BAB VI

TEORI PELUANG

A. Definisi Peluang

Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur

udara tiap hari dari termometer, menghitung banyak barang rusak yang dihasilkan

tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam,

mencatat banyaknya mahasiswa yang absen dan sebagainya, merupakan eksperimen

yang dapat diulangi. Hasil eksperimen tersebut dapat dicatat. Segala bagian yang

mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa. Contoh:

Catat banyaknya kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya bisa

terdapat 0,1,2,3,4,5….buah kendaraan setiap jam yang melalui tikungan tersebut.

Beberapa peristiwa yang didapat misalnya tidak ada kendaraan yang melalui tikungan

selama satu jam, lebih dari lima kendaraan, lebih dari sepuluh kendaraan yang

melalui tikungan selama satu jam dan sebagainya.

Untuk menyatakan peristiwa akan digunakan huruf-huruf besar A, B, C. misalnya A

berarti tidak kendaraan, B berarti ada lebih dari lima kendaraan. C berarti ada lebih

dari sepuluh kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, dan sebagainya.

Definisi: Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif jika terjadi peristiwa

yang satu mencegah terjadinya yang lain:

Contoh:

1. E berarti barang yang dihasilkan rusak dan E berarti barang yang dihasilkan tidak

rusak. Dua peristiwa ini saling ekslusif.

2. Pada waktu menempuh EBTA, murid-murid mempunyai dua kemungkinan, lulus

dan tidak lulus

Maka peristiwa lulus dan tidak lulus merupakan dua peristiwa yang saling

ekslusif.

49

Definisi Klasik untuk Peluang

Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang

saling ekslusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama.

Maka pelunag peristiwa E terjadi dan disingkat dengan P (E) =

Contoh:

Sebuah kotak berisi 50 kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 16 kelereng

berwarna biru. 12 berwarna hijau 14 berwarna merah dan sisanya berwarna kuning.

Kelereng dalam kotak diaduk baik-baik, lalu diambil dengan mata ditutup. Peluang

mengambil kelereng berwarna:

Biru =

Merah =

Hijau =

Kuning =

Definisi klasik tersebut bersifat samar-sama karena adanya perkataan masing-masing

terjadi dengan kesempatan yang sama, yang namapknya sinonim dengan pengertian

peluang yang sama. Karena definisi peluang empirik sering digunakan. Definisi:

Kita perhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah

pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila

jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga. Contoh: Mata uang logam

mempunyai dua muka yang berlainan yaitu G (gambar) dan A (angka). Lalukan

lemparan mata uang logam homogen itu 1000 kali, misal di dapat muka A sebanyal

520 kali. Frekuensi relatif muka A = 0,520. Diulang dengan 200 kali, di dapat muka

A sebanyak 1011 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5055. Diulang dengan 400 kali,

didapat muka A sebanyak 2018 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5045. jika

eksperimen tersebut dilanjutkan, nilai frekuensi relatif lambat laun makin dekat pada

sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka A. Dalam hal ini bilangan

tesebut adalah 0,5.

Atas dasar definisi di atas, dituliskan P (a) = ½

B. Beberapa Aturan Peluang

50

Dari definisi diperoleh P (E) = . Paling kecil n = 0, yakni peristiwa E tidak ada,

paling besar n = N, yakni semua yang terjadi merupakan peristiwa E.

0 < P (B) < 1

Jika N menyatakan bukan peristiwa E, maka di dapat:

P ( ) = 1 – P (E)

P (E) + P( ) = 1

Peristiwa-peristiwa E dan dikatakan saling berkomplemen.

Contoh:

Kalau seorang anak bermain-main dilapangan pada waktu turun hujan lebat, peluang

menjadi sakit = 0,08, maka peluang tetap sehat = 0,20.

Peristiwa E dan merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif, terjadinya E

menghindari terjadinya dan sebaliknya.

Jika k buah peristiwa E1, E2,…..Ek saling ekslusif, maka peluang terjadinya E1 atau

E2 atau …….Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa.

P (E1 atau E2 atau ……atau Ek)

P (E1) + P (E2) + ……+ P (Ek)

Contoh:

1) Waktu melakukan undian dengan sebuah mata uang, maka muka G yang nampak

di atas atau muka A yang nampak di atas. Kedua peristiwa ini saling ekslusif.

Karenanya:

P (muka G atau muka A) = P (G atau A)

= P (G) + P (A) = 1

Berarti adalah pasti salah satu muka nampak di atas ketika melakukan undian

dengan sebuah mata uang.

2) 100 lembar undian berhadiah akan diundi, dan disediakan hadiah untuk hadiah

pertama sebuah:

Hadiah kedua 5 buah

Hadiah ketiga 10 buah, sisanya tidak berhadiah

Seorang membelinya selembar. Beberapa peluang orang itu akan memenangkan

hadiah pertama atau hadiah kedua:

51

Jawab: Ada 4 peristiwa yang saling ekslusif yaitu A = hadiah pertama, B =

hadiah kedua, C = hadiah ketiga dan D = tidak berhadiah;

P (A) = 0,01

P (B) = 0,05

P (C) = 0,10

P (D) = 0,84

P (A atau B) = P (A) + P (B)

= 0,01 + 0,05 = 0,06

Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu

menjadi peristiwa yang lain.

Ditulis A|B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya

peristiwa B. peluangnya ditulis P (A|B) dan disebut peluang bersyarat.

Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak mempengaruhi peristiwa A,

maka A dan B disebut peristiwa-peristiwa bebas atau independen.

Ditulis A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua

terjadi :

P (A dan B) = P (B) . P(A|B)

Jika A dan B independen maka

P (A|B) = P (A)

Dan akibatnya

P (A dan B) = P (A) . P (B)

Rumus ini dapat diperluas untuk k buah peristiwa E1, E2, ….Ek yang independen.

P (E1 dan E2 dan …..dan Ek) = P (E1) . P (E2) …..P (Ek)

Contoh :

1. Undian dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil A = nampak muka G

pada undian pertama dan B = nampak muka G pada undian kedua. Jelas A dan B dua

peristiwa yang independen. Maka didapat : (P (Adan B) = P (A).P (B) = ½.½ = ¼

2. Sebuah kotak berisi 12 kelereng merah., 18 kelereng berwarna hijau dan 29 kelereng

berwarna kuning. Kecuali warna, semua kelereng itu identik. Dari kotak diambil

kelereng 2 kali, tiap kali sebuah kelereng. Kelereng yang diambil pertama kali tidak

52

dikembalikan lagi ke dalam kotak. Misalkan E = kelereng yang pertama diambil

berwarna merah, F = kelereng yang diambil kedua kali berwarna hijau.

Peristiwa-peristiwa E dan F tidak independen.

P (E) = merupakan peluang kelereng warna merah pada

pengambilan pertama.

P (F | E) = merupakan peluang kelereng warna hijau pada

pengembalian kedua, apabila kelereng pada pengembilan pertama berwarna merah.

P ( Edan F) = P(E) . P (F | E) = (0,21)(0,38) = 0,0798

Merupakan peluang kelereng warna merah pada pengambilan pertama dan kelereng

warna hijau pada pengambilan kedua.

Untuk dua peristiwa A dan B yang mempunyai hubunganinklusif, berlaku hubungan :

atau A dan B atau kedua-duanya terjadi.

Rumus : ( P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

A dan B diartikan hubungan inklusi antara peristiwa A dan peristiwa B

Contoh :

Tumpukan kartu Bridge ada 52 kartu terdiri dari atas 4 macam ialah:Spade, heart,

diamond dan clup. Tiap macam terdiri dari atas 13 kartu bernomor 2, 3, ……. 10, J,

Q, K dan A. Peluang menarik Spade, Heart, Diamond dan Club, dari tumpukkan kartu

adalah 0,25.

Misalkan E= menarik kartu A dari tumpukan itu dan F= menarik kartu Spade. Jelas E

dan F dua peristiwa yang tidak saling eksklusif karena kita dapat menerik selembar

kartu A dari Spade. Peluang menarik sebuah kartu A atau sebuah Spade adalah :

P(E+F) = P(E) + P(F) – P(E dan F)

=

C. Ekspektasi (Harapan)

53

Misalkan suatu eksperimen yang dapat menghasilkan k buah peristiwa dapat

terjadi. Peluang dapat terjadinya tiap peristiwa masing-masing P1, P2… Pk dan untuk

tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2,…. Dk. Satuan-

satuan ini bisa nol, positif ataupun negatif dan tentulah P1 + P2, …. + Pk = 1

Ekspektasi disingkat E, didefinisikan sebagai berikut:

E = P1 . d1 + P2D2 + …..+ PkDk

= P1d1

Contoh :

Si Bagio dan Si Kasino bersepakat bertaruh dengan melakukan undian

menggunakan sebuah mata uang logam, bila nampak muka G, Bagio membayar Rp.

1.000,- kepada Kasino, dan Kasino membayar Rp. 1000,- jika nampak A (angka).

Dari permainan ini Si Bagio mempunyai peluang untuk menang ½ dan

peluang untuk kalah adalah ½, sehingga ; E(untuk A) = ½ (Rp. 1000) + ½ (-Rp1000)

= Rp. 0,-

Demikian juga untuk Kasino

Berarti untuk jangka waktu yang cukup lama, dalam permainan ini Bagio dan

Kasino masing-masing menang nol rupiah.

BAB VII

54

DISTRIBUSI PELUANG

A. Distribusi Binomial

Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan

bukan A (ditulis ), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan

percobaan sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan

peristiwa A dan sisannya (N-X) peristiwa .

Jika + P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),

maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:

P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x

Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut

merupakan koefisienbinomial

Rumus : = N

σ =

dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.

contoh :

1. Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah

mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah :

P (x=7) = ( (1/2)4

= 0,2050

2. Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali,

ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)

Jawab : =1/2, X = 5

P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)

P9X=0) = ( ) (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312

P(X=1) = ( ) (1/2) 1(1/2)4

= 0,1562

P(X=2) = ( ) (1/2) 2 (1/2)5

= 0,3125P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993

55

B. Distribusi Poisson

Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil

Rumus : P(X) = P (X=x) =

Dimana : x = 0, 2, ………. = banyaknya suksese = 2,7183λ = bilangan tetap = n πn = banyaknya ulangan yang dilakukan

distribusi poisson mempunyai parameter :μ = λσ =

contoh :

Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade akibat terik matahari

adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000 pengunjung parade tersebut,

trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik matahari.

Jawab : π = 0,005 n = 3000

λ = n π = 3000 (0,005) = 15

x = 18

P(X) = P (X=x) = = = 0,0706

C. Distribusi Normal

56

Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan

merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut

sebagai distribusi Gauss.

Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan

persamaan :

F(x) =

Dimana :π = 3,1416e = 2,7183μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusiσ = parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi

nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.Apabila = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.

Fungsi identitasnya :

F(z) =

Untuk Z ; - < Z <

Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh

dengan menggunakan transforamsi:

Z = ;

Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar

Untuk = 0 dan = 1

Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:

57

1. bentuknya simetrik terhadap sumbu x =

2. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

3. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = - 3

kekanan sampai + 3

4. mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = sebesar

5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang

kelima dengan rumus:

f (x) = , adalah:

. Untuk menentukan peluang harga X antara a

dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:

P (a < X < b) = dk, untuk penggunaan rumus ini tak

perlu dipakai, karena telah ada daftar yang dimaksudkan.

Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal

umum dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan.

Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari.

Caranya adalah:

1. hitung Z hingga dua desimal

2. gambarkan kurvanya

3. letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong

kurva.

4. luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis

tegak dititik nol.

5. dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu

desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.

6. dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka

didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.

58

Bilangan yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh

luas = 1 dan kurva simetrik terhadap = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol

kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.

Contoh:

Penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah:

1. antara z = 0 dan z = 2,26

Di baah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan

di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu

ke kanan dan dari 6 menurut didapat

4881 luas daerah yang dicari 0,4881

2. antara z = 0 dan z = -2,26

Di bawah Z pada kolom kiri cari 2,2

dan diatas sekali angka 6. dari 2,2

maju ke kanan dan dari 6 menurun di

dapat 4881 luas daerah yang dicari

0,4881

3. anara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik

terlihat kita perlu mencari luas daerah

dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara

seperti no. 1

untuk z = 1,5 didapat 0,4332

untuk z = 1,26 didapat 0,3962

jumlah = luas yang dicari = 0,8294

4. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325

gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:

a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua

ada 10.0000 bayi?

c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika

semuanya ada 10.000 bayi

59

d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?

Penyelesaian:

Dengan X = berat bayi dalam gram, =rerata berat bayi dalam gram, = 3750

gram, = 325 gram, maka:

a. untuk X = 4500

Z =

gram, pada grafiknya ada di sebelah

kanan z = 2,31 luasnya

0,4896 , luas daerah lebih besar 2,31

luas daerah ini

= 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada

1.04% dari bayi yang beratnya lebih

dari 4500 gram

b. dengan X = 3500 dan 4500 gram di

dapat Z = dan Z =

2,31

Luas daerah yang dibatasi anara --0,77

sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794

dengan 0,4896 = 0,7690.

Banyaknya bayi yang beratnya antara

3500 gram sampai 4500 gram adalah =

0,7690 x 10000 =7690

c. Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya

harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi

yang lebih kecil atau sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206

banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000 = 2,206

d. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5 gram dan 4250,5 gram.

Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5 didapat:

60

Z =

Z =

Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012

Banyaknya bayi = 0.0012 x 5000 = 6

D. Distribusi Student

61

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal,

ialah distribusi student atau distribusi t.

Rumus : t =

Dimana: = Rata-rata sampel

= rata-rata populasi = simpang baku, populasi

Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:

f (t) =

dimana:

K = merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu unit.

(n – 1) = = derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk

Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga

sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya > 30,

distribusi t mendekati distribusi normal.

Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam daftar.

Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran “student”

Contoh:

Untuk n = 20, tentukan t supaya luas

daerah antara t dengan t = 0,9.

Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas

ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 =

0,10

Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri

luasnya = 1-0,05 = 0,95.

Jadi untuk = n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73

Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90

62

E. Distribusi Chi Kuadrat (χ2)

Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.

Simbul yang dipakai ialah χ2.

apabila besar sampel n dan varians 2, maka : χ2 = dan didapat distribusi

sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat

kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah

di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183.

Grafik distribusi x2 umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin

berkurang kemiringannya jika v makin besar.

Contoh: Gambar di bawah distribusi x2 dengan n = 10

a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak

= 0,025, hitung X12

b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri =

0,05, hitung X12

Jawab:

a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 =

0,975, dicari pada tabel di dapat X21 =

19,0

b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 =

0,95 dicari pada tabel didapat X12

Catatan :

Karena distribusi X22 tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila

diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah ujung

kanan harganya dapat berbeda-beda.

Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan

yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.

F. Distribusi F

63

Jika S12 dan S2

2 adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen

dengan besar berturut-turut n1 dan n2 yang berasal dari populasi-populasi

normal dengan varians-varians 12 dan 2

2, maka distribusi sampling harga S12/

S22 berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1 = v1 = n1 – 1; dk2; v2 =

n2 – 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.

Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:

f (F) = K

dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya

bergantung pada v1 dan v2, sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.

Kurva distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.

Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk

peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah

ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2

pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.

Daftar berisikan harga-harga F dengan

kedua luas daerah ini (0,01 atau 0,05).

Untuk tiap dk = v2, daftar terdiri atas dua

baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan

yang bawah untuk P = 0,01.

Contoh:

Untuk pasangan dk, v1 = 8 dan v2 = 29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29), maka untuk P =

0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi

sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 digunakan

hubungan:

F(1-P) (v1, v2) =

Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2)

menjadi (v1, v2)

64

Contoh:

Telah didapat F0,05(8,29) = 2,28

Maka F0,095 (8,29) =

Telah didapat F0,01 (29,8) = 3,20

Maka F0,099(29,8) =

65