makalah ukuran pemusatan data

7/22/2019 Makalah Ukuran Pemusatan Data

1/17

UKURAN PEMUSATAN

MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAHDasar-dasar Biostatistik Deskriptif

Yang dibina oleh

Bapak Dr. Saichudin, M.Kes

Ibu dr. Anindya, S.Ked

Oleh :

Derada Imanadani 130612607847/2013

Dwi Rakhmatun Laili 130612607849/2013

Lia Kurniawati 130612607898/2013

M. Dwi Hidayatullah 130612607888/2013

Salsabila A Putri 130612607/2013

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS ILMU KEOLAHRAGAAN

JURUSAN ILMU KESEHATAN MASYARAKAT


2/17

SEPTEMBER 2013

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada awal zaman Masehi, bangsa-bangsa mengumpulkan data statistic untuk

mendapatkan informasi deskriptif mengenai banyak hal, misalnya pajak, perang, hasil pertanian,

dan bahkan pertandingan atletik. Pada masa kini, dengan berkembangnya teori peluang, kita

dapat menggunakan berbagai metode statistic yang memungkinkan kita meneropong jauh di luar

data yang kita kumpulkan dan masuk ke dalam wilayah pengambilan keputusan melalui

generalisasi dan peramalan.

Sering kali kita menghadapi masalah menyajikan sejumlah besar data statistic dalam

bentuk yang ringkas dan kompak. Ukuran-ukuran tersebut tidak dapat mengidentifikasi semua

ciri yang penting. Sejumlah informasi dapat diperoleh kembali bila data asal yang banyak

tersebut diringkaskan dan disajikan delam bentuk tabel, diagram, dan grafik yang layak.


3/17

BAB II

LANDASAN TEORI

A. PENGERTIAN UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data,

yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar

sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk

membandingkan dua (populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-

masing anggota dari masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat

sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

B. MACAM-MACAM UKURAN PEMUSATAN DATA

1. Mean

Mean (Rata-rata)adalah jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.

Mean Data Tunggal

Dapat dicari dengan menggunakan rumus :

RUMUS BIASA

x

x = simbol rata-rata (mean)

n = banyaknya observasi

x i = nilai observasi ke-isampai ke- n

contoh :

Data berat badan (kg) dari 10 orang ibu hamil adalah sebagai berikut 65,61,54,53,62,40,54,63,

dan 60. Mean dari data tersebut adalah :

x

x

RUMUS GUESS MEAN

x x

d= beda x dengan x (mean dugaan atau guess mean dengan nilai observasi ke-i)

contoh
http://id.wikipedia.org/wiki/Populasi_%28statistika%29http://id.wikipedia.org/wiki/Populasi_%28statistika%29


4/17

dengan menggunakan data yang sama seperti pada contoh diatas . Dalam mencari mean dengan

rumus guess mean harus dibuat tabel data sebagai berikut.

Contoh soal mencari nilai mean dengan rumus guess mean

Berat Badan (kg) Guess Mean d (selisih xi dan x )

6561

54

5353

62

40

5463

60

6140

-7

-8-8

1

-20

-72

-1

-45

Pada contoh soal di atas digunakan guess mean pada nilai observasi berat badan 61 kg. Nilai

Mean adalah :

x x

= 61+1/10(-45)

=56,5 kg

Mean Data Berkelompok

Cara menghitung nilai mean untuk data berkelompok dapat menggunakan rumus metode

biasa (cara panjang) dan metode sederhana (cara pendek) :

1. Cara Panjang

x

x Fmp =frekuensi x mid point (nilai tengah)

n =jumlah observasi

2. Cara Pendek

Mencari nilai mean data berkelompok dengan cara pendek. Cara ini terbagi dalam dua

rumus, yaitu rumus guess mean dan guess mean dengan working unit.

2. Median

Median adalah ukuran nilai tengah dari sejumlah nilai-nilai pengamatan yang diatur dan

disusun berdasarkan urutan data.

Median data tunggal :


5/17

Urutkan data, tentukan titik tengahnya ( jika data ganjil maka median tepat pada satu

data, jika data genap maka median terletak antara dua data dan untuk menentukannya

jumlahkan kedua data tersebut dan bagi dua)

Contoh:

Diketahui data sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 ( n= 14)

Titik tengah terletak antara data ke7 dan data ke 8 (angka 6 dan 7) maka:

Me =

Data : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,11, 12 ( n = 15) median terletak pada data ke 8

sehingga Me = 7

Median data berkelompok:

b = batas bawah kelas median

p = panjang kelas median

n = banyaknya data

F = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh tabel distribusi ( n = 40)

Nilai Fi

3140 2

4150 4

5160 10

6170 15

7180 6

8190 3


6/17

Karena n = 40 maka kelas median terletak antara data ke 20 dan data ke 21 atau terletak

pada kelas dengan interval 6170, sehingga diperoleh komponen-komponen:

b = 60.5; p = 10; n = 40; F = 16 dan f = 15

3. Modus

Modusmerupakan nilai yang memiliki frekuensi terbesar dari suatu himpunan data dan juga

merupakan ukuran yang digunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi

ataupaling sering muncul.

a. Modus data tunggalUntuk data kualitatif (data dengan tingkat pengukuran sekurang-kurangnya nominal)

modus sering dipakai sebagai pengganti rata-rata. Sedangkan untuk data kuantitatif,modus diperoleh dengan jalan menentukanfrekuensi terbesardi antara serangkaian data.Serangkaian data mungkin memiliki satu modus (unimodal), dua modus (bimodal) atau

lebih dari dua (multimodal).

- Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar (optional)

- Tentukan nilai yang paling banyak muncul

- Nilai modus mungkin lebih dari satu.

Contoh :

Berapa modus dari data berikut : 2,3,5,3,6,9,3,9,5,6,5,1,5 ?

Jawab :

Modus dari data tersebut adalah 3 dan 5

b. Modus data berkelompok:

b = batas bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar)

p = panjang kelas interval

b1= frekuensi kelas modusfrekuensi kelas interval sebelum kelas modus

b2= frekuensi kelas modusfrekuensi kelas interval setelah kelas modus

Contoh tabel distribusi sbb:

Nilai Fi

3140 2


7/17

4150 4

5160 10

6170 15

7180 6

81 - 90 3

b = 60.5; p = 10; b1= 1510 = 5 dan b2 = 156 = 9 maka

mo = 60.5 + 10(

= 61,6

C. HUBUNGAN MEAN, MEDIAN DAN MODUS

Nilai rata-rata, modus, dan median memiliki hubungan keterkaitan erat dari suatu

distribusi frekuensi data. Ketiga nilai ini dapat membantu menafsirkan kesimetrisan data dan

kemencengan data. Hubungan mean, median, dan modus adalah sebagai berikut :

Pada distribusi simetris, ketiga nilai(mean, median, dan modus)

Nilai median selalu terletak antara mean dan modus pada distribusi yang menceng

Jika nilai mean lebih besar daripada nilai median dan modus, maka dikatakan distribusi

menceng kanan.

Bila nilai mean lebih kecil daripada nilai median dan modus, maka distribusi menceng ke

kiri.

Adapun ukuran penyebaran data yang biasa dihitung adalah range (rentang), standar

deviasi (simpangan baku), kurtosis (keruncingan), skewness (kemiringan).

1. Rentang data menunjukkan selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil dalam suatu

himpunan data.

2. Simpanganbakuadalah jumlah mutlak selisih setiap nilai pengamatan terhadap nilai rata-rata

dibagi dengan banyaknya pengamatan.

3. Kurtosis merupakan ukuran untuk menentukan bentuk distribusi yang biasanya dibandingan

dengan kurva distribusi normal. Bentuk kurtosis bisa berupa leptokurtik (berpuncak tinggi dan

ekor landai), platikurtik (berpuncak rendah dan berekor pendek), dan mesokurtik (disebut juga

distribusi normal, berpuncak tidak begitu tinggi dan tidak terlalu landai).

4. Skewnessadalah ukuran untuk menentukan kemiringan dari suatu kurva distribusi. Penafsiran

skewness dapat dilakukan secara visual, melalui koefisien kemencengan, atau koefisien moment

ketiga.

D. NILAI PEMUSATAN DATA YANG SERING DIGUNAKAN

1. Mean (Rataan)


8/17

Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan

singkat tentang sekumpulan data. Rataan merupakan wakil dari sekumpulan data atau dianggap

suatu nilai yang paling dekat dengan hasil pengukuran yang sebenarnya. Jenis rataan antara lain:

a. Rataan hitung

Tunggal

Jika nilai n banyak data yang terdiri dari x1, x2, x3, xn, rata-rata hitung data tersebut dapat

didefinisikan sebagai berikut :

n = banyak data

x = nilai data ke-i

n = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data ke-n)

Contoh Soal :

Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung

nilai siswa tersebut adalah .

Pembahasan Soal :

Diket :

Data = 8, 5, 7,10, 5

n (banyak data) = 5

jumlah data = 8 + 5 + 7 + 10 + 5 = 35

Ditanya : rata-rata

Jawab :

35:5 = 7

Berbobot

Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, xn, dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3,

fn, nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut :

= Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya

fi = Frekuensi data ke-i

x i = Data ke-i

fi = n = banyak data

Contoh Soal :


9/17

Tabel

penju

alan

10

buah

kios

pakaia

n

pada

mingg

u

perta

ma

bulan

Desember

2008

rata-

rata

pakaia

n

yang

terjual

pada

tabeldi

bawah

adalah

Ditan

ya :

Rumu

s rata-

rata

Jawab:

=

=

84

Pembahasan :

Pakaian terjual

(xi)

Banyak Kios

(fi)

fi . xi

Pakaian terjual

(xi)

Banyak Kios

(fi)

70 2

80 3

90 4

100 1


10/17

70 2 140

80 3 240

90 4 360

100 1 100

10 840

Kelompok

Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok.

1.

Ket.

, xi = Titik tengah

= . (batas bawah + batas atas)

ci = Kode titik tengah

I = Interval kelas = Panjang kelas

=

x0 = Titik tengah pada frekuensi

terbesar

di= xix0

dengan rumus sigma

2. dengan rumus coding

3. dengan rata-rata duga

Contoh Soal :

Rata-rata pendapatan harian pedagang kaki lima pada tabel di samping adalah Rp

Tabel pendapatan 50 Pedagang kaki lima pada tanggal 1

Januari 2009

NO Pendapatan (dalam puluhan

ribu rupiah)

fi

1 15 6


11/17

2 610 20

3 1115 10

4 16 - 20 9

5 21 - 25 5

b. Rataan ukur

Misalkan diberikan sekumpulan data x1, x2, x3, , xn. Rataan ukur yang disimbolkan dengan U

didefinisikan dengan:

Dengan,

U= rataan ukur

n = banyaknya data

x1= data ke-i

c. Rataan harmonis

Misalkan diberikan sekumpulan data X1, X2, X3, , Xn. Rataan harmonis yang disimbolkan

dengan H didefinisikan dengan:

Dengan:

H = rataan harmonis

n = banyaknya data

x1= data ke-i

2. Median

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data,yaitu, jika segugus data diurutkan dari yang

terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila

jumlah datanya ganjil, ataurata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila datanya genap.

Rumus Median:

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai

yang terbesar.

Contoh 1:

Nilai Tengah

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79.Tentukan median populasi ini.

Jawab:

Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh 79 82 86 92 93 Oleh

karena itu mediannya adalah 86
http://id.wikipedia.org/wiki/Ukuran_pemusatan_datahttp://id.wikipedia.org/wiki/Rata-ratahttp://id.wikipedia.org/wiki/Rata-ratahttp://id.wikipedia.org/wiki/Ukuran_pemusatan_data


12/17

Contoh 2:

Kadar nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3 ,

2.7 , 2.5 , 2.9 , 3.1 , dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.

Jawab:

Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5

2.7 2.9 3.1

Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7 yaitu

b) Rumus Data yang Dikelompokkan

Ket.: = Kuartil ke-j

j = 1, 2, 3

i = Interval kelas

= Tepi bawah kelas

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas

f = Frekuensi kelas

n = Banyak data

3. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari

suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila

digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal.

Sedangkan data ordinal adalah data kategorik yang bisa diurutkan.

Misalnya,

Kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur,

Dengan pilihan jawaban:

a. Selalu

b. Sering

c. Kadang-kadang

d. Jarang

e. Tidak pernah

Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu jawaban

yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang

yang ditanyakan, menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur.

Rumus Modus:

1. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi.

Modus dilambangkan

Contoh:


13/17

Sumbangan dari warga Weleri pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp

9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp

11.000. Berapakah nilai Modusnya?

Jawab:

Modus yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling sering muncul, adalah Rp 9.000.

2. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Ket. : = Modus

L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus)

i = Interval kelas

b1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

b2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

Contoh:

Nilai Titik tengah

xi

Frekuensi

fi

5559 57 6

6064 62 8

6569 67 16

7074 72 10

7579 77 6

8084 82 4

Dari Tabel diatas, tentukan nilai Modusnya.

Jawab:

Dari Tabel diatas dapat ditetapkan:

Kelas modusnya 6569 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya

L= 64,5 dan tepi atasnya U=69,5 sehingga panjang kelas,

i = U

L

i = 69,564,5

i= 5

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,


14/17

b1 = 168

b1 = 8

Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya,

b2= 1610

b2 = 6

Jadi modusnya adalah

= 64,5 + 5 (

)

=67,35 (teliti sampai dua tempat desimal).

E. RUMUS

1. Rumus Modus

a. Rumus Modus Untuk Data Tunggal

Rumus statistika modus. untuk mencari modus dari data tunggal cukup dengan mencari nilai

yang banyak keluar.

Contoh:

Ada sebuah data tunggal sebagai berikut 2,3,5,7,3,4,7,8,4,6,4,5,4 dari data tunggal di atas maka

modusnya adalah 4 (keluar 4 kali)

b. Rumus Modus Untuk data Kelompok

keterangan

Mo =modus

c = panjang kelas (interval kelas)

Lo = batas bawah dari kelas modus,

fo = frekuensi kelas modus,

f1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus,

f2 = frekuensi dari kelas setelah kelas modus

contoh sederhana

Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya?

Batas Kelas Frekuensi

19,5-24,5 100

24,5-30,5 120
http://en.wikipedia.org/wiki/Modushttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-modus-data-kelompok.gifhttp://en.wikipedia.org/wiki/Modushttp://blog.ub.ac.id/adiarsa/2012/03/14/mean-median-modus-dan-standar-deviasi/attachment/141/


15/17

30,5-35,5 70

35,5-40,5 150

40,5-45,5 90

45,5-50,5 80

50,5-55,5 30

Interval Kelas (c) = 5

Batas Bawah Kelas modus = 35,5

fo = 150

f1 = 70

f2 = 90

jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36

2. Rumus Rata-rata/Rataan/Mean

a. Rumus Rataan Data Tunggal

contoh sederhana : kita punya data tunggal 4,5,6 maka ratanya = (4+5+6)/3 =5,

b. Rumus Rata-rata/Rataan/Mead Data Kelompok

fi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian

xi= rata-rata kelas

3. Rumus Median /Nilai Tengah

a. Rumus Median Data Tunggal

b. Rumus Median Data Kelompok
http://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-median-data-tunggal.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-rata-rata-data-kelompok.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-mencari-rata-rata-data-tunggal.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-median-data-tunggal.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-rata-rata-data-kelompok.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-mencari-rata-rata-data-tunggal.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-median-data-tunggal.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-rata-rata-data-kelompok.jpghttp://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-mencari-rata-rata-data-tunggal.jpg


16/17

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung medianMe = nilai median

n= banyaknya data

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median

f0= frekuensi kelas yang memuat median

c = panjang intreval kelas

Contoh Soal

Kelas FrekuensiF

Kumulatif

15-19 5 5

20-24 7 12

25-29 10 22

30-34 15 37

35-39 13 50

40-44 8 58

45-49 3 60

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan suku ke 30

dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi

Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16

Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16

F. PENGGUNAAN UKURAN PEMUSATAN

Ukuran pemusatan digunakan untuk memudahkan penyajian atau penjelasan data. Data

yang terdiri dari banyak observasi dapat dinyatakan dengan satu nilai. Data berat badan dari

ratusan orang bahkan ribuan orang dapat dinyatakan dengan satuan nilai saja yaitu nilai rata-rata.

Kadar gula darah pasien di suatu rumah sakit yang jumlahnya ratusan dapat dikemukakan

dengan satu nilai rata-rata hitung atau mean.

Ketika melakukan observasi kepada seseorang kepala puskesmas dan ditanyakan rata-rata

jumlah kunjungan dalam satu hari, jika ia dapat menjawab segera tanpa melihat catatan jumlah

kunjungan, maka ada dua kemungkinan dari jawaban itu. Pertama, ia akan mengemukakan rata-rata tengah, dan kedua, mungkin juga ia akan mengemukakan jumlah kunjungan yang sering

terjadi. Nilai yang terakhir ini disebut dengan rata-rata terbanyak atau modus. Dalam kehidupan

sehari-hari sering kita dengar orang mengatakan bahwa rata-rata penduduk Indonesia beragama

Islam, artinya paling banyak penduduk Indonesia beragama Islam.
http://rumushitung.com/wp-content/uploads/2013/01/rumus-median-data-kelompok1.gif


17/17

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

a. Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai

pusat data pengamatan.

b. Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu:

Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)

Median

Modus

c. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi

dengan banyaknya data.

d. Median dari npengukuran atau pengamatan x1, x2,, xnadalah nilai pengamatan yang

terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan.

e. Modus adalah data yang paling sering muncul/terjadi.

makalah ukuran pemusatan data

Documents