luas pada geometri hiperbolik menggunakan … · i luas pada geometri hiperbolik menggunakan model...

i

LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

MENGGUNAKAN MODEL SETENGAH BIDANG ATAS ℍ

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

DEDY LUCKY

121414121

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SKRIPSI



Oleh :

Dedy Lucky

NIM : 121414121

Telah disetujui oleh :

Dosen Pembimbing,

Beni Utomo, M.Sc. Kamis, 18 Agustus 2016


iii

SKRIPSI



Dipersiapkan dan ditulis oleh :

Dedy Lucky

NIM : 121414121

Telah dipertahankan di depan panitia penguji

pada tanggal 31 Agustus 2016

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ...................................

Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si. ...................................

Anggota : 1. Beni Utomo, M.Sc. ...................................

2. Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. ...................................

3. Febi Sanjaya, M.Sc ...................................

Yogyakarta, 31 Agustus 2016

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

Rohandi, Ph.D.


iv

PERSEMBAHAN

“ Berbagai hal ada di luar sana,

hanya menunggu untuk

ditemukan... ” (Anonymous)

Untuk Tuhan, Keluarga, Para Pendidik, Teman, Ilmu Pengetahuan, Pembaca & Almamaterku


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,

Dedy Lucky


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Dedy Lucky

NIM : 121414121

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma sebuah karya ilmiah yang berjudul :



Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma untuk menyimpannya, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikan di internet atau media lain demi kepentingan akademis tanpa

meminta jin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.


Yang menyatakan,

Dedy Lucky


vii

ABSTRAK

Dedy Lucky, 2016. Luas pada Geometri Hiperbolik Menggunakan Model

Setengah Bidang Atas ℍ. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika,

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Geometri hiperbolik dibangun dari postulat kesejajaran yang menyatakan

bahwa “Diberikan suatu garis hiperbolik ℓ dan titik p di luar garis ℓ, maka terdapat

minimal dua garis hiperbolik yang melalui p dan sejajar ℓ”. Model setengah bidang

atas ℍ adalah model yang dapat merepresentasikan objek-objek pada bidang

hiperbolik ke bidang datar.

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan objek-objek geometri

hiperbolik serta luas geometri hiperbolik pada model bidang setengah atas ℍ. Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka dari beberapa bahasan seperti

Geometri Euclides, Geometri Hiperbolik, dan Transformasi M��bius.

Titik dan sudut hiperbolik di ℍ didefinisikan sama dengan titik dan sudut pada

geometri Euclides. Titik ideal adalah titik di tak hingga, atau titik pada sumbu real.

Garis hiperbolik di ℍ berupa garis Euclides tegak lurus sumbu real atau busur

lingkaran dengan pusat di sumbu real. Poligon hiperbolik dibatasi oleh segmen

garis hiperbolik, sinar garis hiperbolik, atau garis hiperbolik. Terdapat empat jenis

segitiga hiperbolik yang ditentukan berdasarkan letak titik sudutnya.

Panjang hiperbolik di ℍ ditentukan oleh elemen panjang busur yaitu 1

𝐼𝑚(𝑧) |𝑑𝑧|.

Luas hiperbolik suatu daerah 𝑋 di ℍ didefinisikan sebagai hasil integral dari

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑋) = ∫1

(𝐼𝑚(𝑧))2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

.

Luas segitiga hiperbolik ditentukan oleh defeknya, dengan defek segitiga hiperbolik

adalah selisih antara 𝜋 dengan jumlah sudut segitiga hiperbolik. Luas poligon

hiperbolik P konvek (sudut dalam poligon tak lebih dari 𝜋) dengan besar sudut

𝛼1, … , 𝛼𝑛 dapat diperoleh dari

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = (𝑛 − 2)𝜋 − ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

.

Kata kunci : Luas Hiperbolik, Setengah Bidang Atas, Segitiga Hiperbolik, Poligon

Hiperbolik


viii

ABSTRACT

Dedy Lucky, 2016. Hyperbolic Geometry Area with Upper Half Plane Model ℍ.

Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science

Education Deparment, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

Hyperbolic geometry built from parallel postulate states that "Given a

hyperbolic line ℓ and a point 𝑝 outside the line ℓ, then there is a minimum of two

hyperbolic lines through 𝑝 and parallel ℓ". The upper half plane ℍ is a model that

can represent the objects in the field of hyperbolic onto a flat surface.

This study aimed to describe the objects of hyperbolic geometry and the area

of hyperbolic geometry on the upper half plane ℍ. This research was conducted by

literature study of some discussion as Euclidean Geometry, Hyperbolic Geometry,

and Transformation M��bius.

Hyperbolic point and angle in ℍ defined with the point and angle in Euclidean

geometry. Ideal point is the point at infinity, or points on the real axis. Hyperbolic

lines in ℍ is a Euclides line perpendicular to the real axis or arc of a circle with its

center at the real axis. Hyperbolic polygons bounded by hyperbolic line segments,

rays hyperbolic lines, or lines hyperbolic. There are four types of hyperbolic

triangle defined by the location of the vertex.

Hyperbolic length in ℍ determained by element of arc length 1

𝐼𝑚(𝑧) |𝑑𝑧|.

Hyperbolic area of a region 𝑋 in ℍ is given by integrating


(𝐼𝑚(𝑧))2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

.

Hyperbolic triangle area defined by the defect, the defect hyperbolic triangle is the

difference between 𝜋 by the sum of angle hyperbolic triangles. 𝑃 is hyperbolic

convex polygon (angles in polygons less than π) with interior angles 𝛼1, … , 𝛼𝑛, then

area of P is

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = (𝑛 − 2)𝜋 − ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

.

Keywords: Hyperbolic Area, Upper Half Plane, Hyperbolic Triangle, Hyperbolic

Polygons


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala

berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Luas

Geometri Hiperbolik Menggunakan Model Setengah Bidang Atas ℍ” ini dengan

baik.

Banyak masalah dan hambatan yang penulis temui selama dinamika

penyusunan skripsi ini. Namun, dengan dukungan, bantuan, dan doa dari berbagai

pihak telah memberikan motivasi berlebih kepada penulis untuk terus bersemangat

dalam menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan kali ini, tak lupa penulis

mengucapkan terima kasih dengan sepenuh hati kepada beberapa pihak, di

antaranya:

1. Pemerintahan Kabupaten Kutai Barat yang telah memberikan penulis

kesempatan untuk berkuliah di Universitas Sanata Dharma.

2. Dinas Pendidikan Kabupaten Kutai Barat yang telah membiayai

perkuliahan, dan akomodasi penulis selama ini.

3. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika, Universitas Sanata Dharma.

5. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku dosen pembimbing dan wali penulis di

prodi Pendidikan Matematika yang telah banyak memberikan masukan dan


x

nasihat kepada penulis selama menyusun skripsi maupun selama penulis

berkuliah.

6. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku dosen pembimbing akademik yang

telah banyak membimbing dan memberikan nasihat kepada penulis.

7. Bapak Febi Sanjaya, M.Sc. yang sering menjadi tempat bertanya masalah-

masalah seputar matematika dan selalu bisa meluangkan waktu untuk

membantu penulis.

8. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama

penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma.

9. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif, dan

Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan

kesekretariatan selama ini.

10. Bapak, Ibu, Kakak, dan Keluarga yang selalu mendukung, memberi

semangat, dan berdoa untuk penulis.

11. Teman-teman seperjuangan Dennis, Anton, Yopek, Edith, Winda, Grace,

Riris, Sasi, Selly, Dian, Asri, Selpa, Tya, dan Yosep yang selama ini

memberi dukungan, semangat, motivasi, serta hal-hal luar biasa lainnya

yang akan selalu diingat penulis.

12. Teman-teman Pendidikan Matematika Kelas C yang sudah berproses,

berbagi suka dan duka bersama selama empat tahun ini.

13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2012 yang sudah berproses

bersama selama empat tahun ini.


xi

14. Teman mencari Pokemon, Devi, Rian, Santo, dan Ocha yang selama ini

membantu mengurangi kejenuhan penulis.

15. Teman-teman Kos Kantil yang telah menjadi teman main, ngumpul, dan

mengomentari hal-hal yang kurang penting bersama.

16. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu persatu.

Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan kepada setiap

pembaca.


Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.................................................................................................i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.......................................................ii

HALAMAN PENGESAHAN.................................................................................iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ........................................................................ v

HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .......................... vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ........................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiv

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 6

C. Pembatasan Masalah ................................................................................... 6

D. Batasan Istilah ............................................................................................. 7

E. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 8

F. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 8

G. Metode Penelitian ........................................................................................ 9

H. Sistematika Penulisan ................................................................................ 10

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 11

A. Dasar-Dasar Geometri Euclides ................................................................ 11


xiii

B. Bidang Kompleks ℂ................................................................................... 14

C. Garis dan lingkaran Euclides dalam bidang kompleks ℂ .......................... 19

D. Elemen Panjang dalam bidang kompleks ℂ .............................................. 20

E. Sudut pada Bidang Kompleks ℂ ................................................................ 22

F. Transformasi Konformal pada Bidang Kompleks ℂ ................................. 28

G. Riemann Sphere ℂ ..................................................................................... 31

H. Inversi ........................................................................................................ 32

I. Transformasi M𝒐bius dan Cross Rasio ..................................................... 38

BAB III MODEL BIDANG HIPERBOLIK ......................................................... 42

A. Setengah Bidang Atas (ℍ)......................................................................... 42

B. Hubungan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik .......................... 44

C. Kesejajaran dalam geometri hiperbolik ..................................................... 49

D. Jarak Hiperbolik ........................................................................................ 54

E. Transformasi M𝒐bius di ℍ ........................................................................ 58

BAB IV LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

MENGGUNAKAN MODEL SETENGAH BIDANG ATAS H .......................... 64

A. Definisi Konvek pada Geometri Hiperbolik ............................................. 64

B. Segitiga Hiperbolik dan Poligon Hiperbolik ............................................. 68

C. Definisi Luas Hiperbolik ........................................................................... 84

D. Luas Poligon Hiperbolik ........................................................................... 90

BAB V PENUTUP .............................................................................................. 102

A. Kesimpulan .............................................................................................. 102

B. Saran ........................................................................................................ 104

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 105


xiv

DAFTAR SIMBOL

ℝ : Himpunan semua bilangan real.

ℂ : Himpunan semua bilangan kompleks.

~ : pendekatan atau aprokmasi.

∞ : notasi tak hingga.

𝑅𝑒(𝑧) : 𝑥, bagian real dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

𝐼𝑚(𝑧) : 𝑦, bagian imajiner dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

𝑧 : 𝑥 − 𝑖𝑦, konjugat dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

|𝑧| : √(𝑅𝑒(𝑧))2

+ (𝐼𝑚(𝑦))2, modulus dari bilangan kompleks z.

ℍ : {𝑧 ∈ ℂ| 𝐼𝑚(𝑧) > 0}, setengah bidang atas di ℂ.

ℂ : ℂ ∪ {∞}, Riemann sphere.

ℝ3 : {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3|𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}, ruang dimensi tiga.

𝕊2 : Bola satuan di ℝ3.

ℝ : ℝ ∪ {∞}, sumbu real yang diperpanjang.

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ(𝑓) : panjang lintasan f.

|𝑑𝑧| : √(𝑥′(𝑡))2

+ (𝑦′(𝑡))2

𝑑𝑡, elemen panjang busur pada ℂ.


xv

𝑧, 𝑣, 𝑐, 𝑑, … : titik-titik pada bidang kompleks ℂ.

𝑇, 𝑋, 𝐿, … : garis-garis Euclides pada bidang kompleks ℂ.

ℓ, 𝓂, 𝓀, … : garis-garis hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ.

𝑇𝑧1𝑧2 : segmen garis Euclides dengan pangkal di 𝑧1 dan ujung di 𝑧2.

𝑇𝑧1 : sinar garis Euclides dengan pangkal di 𝑧1.

ℓ𝑧1𝑧2 : segmen garis hiperbolik dengan pangkal di 𝑧1 dan ujung di 𝑧2.

ℓ𝑧1 : sinar garis hiperbolik dengan pangkal di 𝑧1.

∠(𝐶1, 𝐶2) : sudut antara kurva 𝐶1 dan 𝐶2.

∠𝑧1𝑧2𝑧3 : sudut 𝑧1𝑧2𝑧3.

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎℍ(𝑓) : panjang hiperbolik lintasan f di setengah bidang atas ℍ.

𝑑(𝑧1, 𝑧2) : jarak Euclides dari titik 𝑧1 ke 𝑧2.

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) : jarak hiperbolik dari titik 𝑧1 ke 𝑧2 di setengah bidang atas ℍ.

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑋) : luas hiperbolik dari himpunan 𝑋 di ℍ.

Φ : defek segitiga.

QED : Quod Erat Demonstrandum, artinya “sudah terbukti”.


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tablet Babilonia, Plimpton 322...........................................................1

Gambar 2.1 Ilustrasi Proposisi 2.1........................................................................12



Gambar 2.4 Representasi Bilangan Kompleks ke Titik pada Bidang Kompleks...17

Gambar 2.5 Bilangan Kompleks z dalam Koordinat Polar....................................18

Gambar 2.6 Ilustrasi Definisi 2.4...........................................................................22


Gambar 2.8 Ilustrasi Sudut Tipe I..........................................................................26

Gambar 2.9 Ilustrasi Sudut Tipe II........................................................................27

Gambar 2.10 Ilustrasi Sudut Tipe III.....................................................................28

Gambar 2.11 Proyeksi Stereografi........................................................................32

Gambar 3.1 Model Bidang pada Geometri Hiperbolik..........................................42

Gambar 3.2 Garis Hiperbolik di ℍ........................................................................46

Gambar 3.3 Garis Hiperbolik melalui Dua Titik Berbeda.....................................47

Gambar 3.4 Sudut antara Dua Garis Hiperbolik....................................................48

Gambar 3.5 Dua Garis Sejajar pada Geometri Euclides........................................49

Gambar 3.6 Garis-garis Hiperbolik yang Sejajar melalui Sebarang Titik..............51

Gambar 3.7 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Pertama................................................52

Gambar 3.8 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Kedua...................................................53

Gambar 3.9 Jarak Hiperbolik dari Dua Titik Berbeda...........................................57


xvii

Gambar 4.1 Segmen-segmen Garis pada X di ℍ....................................................65

Gambar 4.2 (a) Garis Hiperbolik di ℍ, (b) Sinar Garis Hiperbolik di ℍ, dan

(c) Segmen Garis Hiperbolik di ℍ.....................................................66

Gambar 4.3 (a) Contoh Poligon Hiperbolik Konkaf; (b) Contoh Poligon

Hiperbolik Konvek ...........................................................................67

Gambar 4.4 Jenis-jenis Segitiga Hiperbolik di ℍ..................................................68

Gambar 4.5 (a) Segitiga Hiperbolik pada Posisi Standar; (b) Ilustrasi Segitiga

Hiperbolik Kasus I Proposisi 4.4; (c) Ilustrasi Segitiga Hiperbolik

Kasus II Proposisi 4.4; (d) Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus III

Proposisi 4.4......................................................................................70

Gambar 4.6 Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Siku-siku di i........................................74

Gambar 4.7 Tinggi dari Sembarang Segitiga Hiperbolik.......................................76

Gambar 4.8 Ilustrasi dari Teorema 4.7..................................................................78

Gambar 4.9 Ilustrasi Poligon Hiperbolik Berdasarkan Definisi............................84

Gambar 4.10 Ilustrasi Contoh 4.1..........................................................................89

Gambar 4.11 Segitiga Hiperbolik dengan 𝑣1 di ∞................................................91

Gambar 4.12 Ilustrasi Teorema 4.12.....................................................................93

Gambar 4.13 Segitiga Hiperbolik P pada Contoh 4.3............................................95

Gambar 4.14 Ilustrasi Teorema 4.13.....................................................................97

Gambar 4.15 Poligon Hiperbolik pada Contoh 4.4................................................99


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Ilmu pengetahuan adalah salah satu cipta manusia dalam rangka

memahami, mengolah, mengeksplorasi, dan memprediksi segala fenomena

yang terjadi di alam semesta. Perkembangan ilmu pengetahuan terus

berlangsung dari awal peradaban manusia sampai kelak berakhirnya

peradaban itu sendiri. Sebagai bentuk nyata dari perkembangan ilmu

pengetahuan adalah dengan munculnya berbagai macam disiplin ilmu, mulai

dari ilmu tentang manusia, gejala fenomena alam, sampai ilmu tentang

galaksi dan alam semesta. Salah satu cabang ilmu tertua yang dipelajari

manusia adalah matematika, hal ini terbukti dengan ditemukannya tulisan

matematika tertua berupa tablet tanah liat yang disebut Plimpton 322

(Gambar 1.1) sekitar 1900 SM di Babilonia (Burton, 2011: 74).

Pada masa silam matematika sering digunakan untuk mengatasi

persoalan-persoalan sehari-hari, seperti yang dilakukan oleh bangsa Mesir

dalam menentukan batas-batas tanah yang hilang tersapu banjir sungai Nil.

Gambar 1.1 Tablet Babilonia, Plimpton 322


2

Bangsa Mesir menggunakan teknik-teknik tertentu dalam menentukan batas

bidang tanah yang terhapus. Salah satu cabang ilmu matematika yang mampu

menjawab permasalahan ini adalah geometri. Kata “geometri” berasal dari

kata Yunani yaitu “geometrien” (geo berarti bumi, dan metrein berarti

ukuran) yang memiliki arti ilmu ukur bumi (Burton, 2011: 53).

Euclides (325-265 SM), seorang matematikawan bangsa Yunani yang

dianggap sebagai pelopor pembentuk geometri aksiomatis membawa

perubahan besar terhadap bidang kajian geometri. Buku yang berjudul The

Elements adalah salah satu buku karya Euclides yang paling fenomenal

karena telah berhasil menyusun dasar-dasar geometri secara sistematis dan

tetap digunakan sebagai acuan hingga saat ini. Buku tersebut memuat 23

definisi, 5 aksioma, dan 5 postulat. Euclides menggunakan istilah postulat

yang merupakan aksioma khusus digunakan pada bidang geometri. Lima

postulat Euclides yang telah dinyatakan dengan arti yang sama oleh Kline

(1972) dalam buku Hyperbolic Geometry karya James W. Cannon sebagai

berikut.

1. Each pair of points can be joined by one and only one straight line

segment.

2. Any straight line segment can be indefinitely extended in either

direction.

3. There is exactly one circle of any given radius with any given center.

4. All right angles are congruent to one another.


3

5. If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles

on the same side less than two right angles, the two straight lines, if

extended indefinitely, meet on that side on which the angles are less

than two right angles.

Diterjemahkan dalam bahasa Indonesia dengan makna kurang lebih sebagai

berikut.

1. Sepasang titik dapat dihubungkan dengan tepat satu segmen garis lurus.

2. Setiap segmen garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas pada kedua

arah.

3. Terdapat tepat satu lingkaran dari sebarang jari-jari yang diberikan

dengan sebarang titik pusat yang diberikan.

4. Semua sudut siku-siku memiliki besar sudut yang sama.

5. Jika sebuah garis lurus memotong dua garis yang lain, maka akan

terbentuk sudut dalam pada sisi-sisinya besarnya kurang dari dua sudut

siku-siku, kedua garis lurus tersebut jika diteruskan sampai tak hingga

akan bertemu pada sisi yang sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku.

Kelima postulat tersebut adalah fondasi dari berbagai teorema dalam

geometri Euclides. Dari kelima postulat tersebut, postulat kelima adalah yang

paling rumit dan tidak wajar. Postulat tersebut sebenarnya ekuivalen dengan

postulat kesejajaran yaitu “ Diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar

garis, ada tepat satu garis yang melalui titik tersebut dan sejajar dengan

garis yang diberikan”. Para matematikawan memandang bahwa postulat

kelima Euclides bukanlah suatu postulat melainkan teorema yang dapat


4

dibuktikan. Selama dua ribu tahun banyak matematikawan mencoba untuk

membuktikan postulat tersebut namun tidak dapatkan hasil yang memuaskan.

“Out of nothing I have created a strange new universe”, merupakan

potongan kalimat yang diambil dari salah satu surat János Bolyai (1802-1860)

untuk ayahnya ketika ia mencoba memecahkan pembuktian postulat kelima

Euclides (Greenberg, M.J. 1980: 140). “Alam semesta baru yang aneh” yang

dimaksudkan oleh János Bolyai merupakan cabang ilmu geometri baru yang

sering disebut Geometri non-Euclid atau Geometri Hiperbolik. Salah satu

dasar utama geometri hiperbolik adalah negasi dari postulat kesejajaran

beserta keempat postulat Euclides sebelumnya. Tokoh lain dari munculnya

geometri hiperbolik adalah Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dan Nikolai

Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). Dilihat dari kemunculannya, geometri

hiperbolik merupakan kajian ilmu yang relatif baru dan terus berkembang

hingga saat ini. Selain geometri hiperbolik, ada beberapa cabang geometri

lainnya seperti geometri netral, geometri eliptik, hingga geometri fraktal yang

dikembangkan dengan merubah maupun membentuk postulat-postulat baru

dari geometri Euclides.

Henri Poincaré (1854-1912) adalah salah satu tokoh dalam

perkembangan geometri hiperbolik yang berkontribusi menemukan model

bidang hiperbolik yang disebut Model Poincaré (Greenberg, 1980: 187).

Model Poincaré digunakan untuk merepresentasikan objek-objek geometri

seperti titik, sudut, garis, dan bentuk-bentuk poligon. Selain model Poincaré,

ada model lain dalam merepresentasikan objek-objek geometri yaitu model


5

setengah bidang atas, dan model Beltrami-Klein. Model-model tersebut

memiliki sifat, definisi, dan teorema-teorema yang berbeda serta memiliki

kekhasannya masing-masing.

Wicaksono (2015) telah membedah secara teoritis mengenai geometri

hiperbolik terutama pada bagian luas hiperbolik. Teori yang digunakan

beracu pada postulat-postulat pada geometri Euclides dan postulat

kesejajaran untuk geometri hiperbolik. Pada tugas akhir ini telah dijelaskan

tentang bangun-bangun datar pada geometri hiperbolik seperti jumlah sudut

dalam segitiga kurang dari 𝜋 serta luas segitiga yang ternyata diperoleh dari

selisih 𝜋 dengan jumlah sudut dalam segitiga hiperbolik. Hal-hal yang belum

dibahas pada tugas akhir ini adalah belum ditampilkannya bentuk-bentuk

objek geometri hiperbolik di suatu bidang datar sehingga teori tersebut dapat

didukung dengan lebih mendalam. Belum adanya bidang yang

mempresentasikan bangun datar pada geometri hiperbolik juga berdampak

pada sukarnya abstraksi atau penghitungan dalam aplikasi langsung, seperti

menghitung luas sembarang segitiga hiperbolik, mengukur sudut di antara

dua garis hiperbolik berpotongan, menghitung jarak dua titik berbeda, dan

adakah transformasi dalam geometri hiperbolik. Kekurangan ini dapat

dilengkapi dengan menambahkan suatu model bidang hiperbolik yang sesuai

untuk model tersebut serta menyajikan proposisi-proposisi yang berlaku pada

model tersebut untuk memahami konsep luas pada geometri hiperbolik lebih

mendalam.


6

Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas, peneliti meyakini bahwa

geometri terus berkembang dan layak untuk dipelajari. Salah satunya adalah

mengenai geometri hiperbolik yang merupakan dunia baru dalam geometri.

Dengan berbagai bentuk model berbeda dalam merepresentasikan objek

geometri pada geometri hiperbolik, akan menjadi menarik untuk mengetahui

bentuk-bentuk poligon pada suatu model bidang hiperbolik. Area atau luas

dari setiap bentuk poligon pada geometri hiperbolik juga merupakan hal yang

menarik untuk diteliti. Selain itu, juga dapat melengkapi konsep pada luas

hiperbolik jika disajikan dalam bidang hiperbolik. Oleh karena itu, peneliti

ingin melakukan penelitian mengenai luas pada geometri hiperbolik

menggunakan model setengah bidang atas.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana objek-objek geometri hiperbolik direpresentasikan pada

model setengah bidang atas ℍ?

2. Bagaimana konsep-konsep dasar seperti panjang, jarak, dan sudut

hiperbolik yang disajikan pada model setengah bidang atas ℍ?

3. Bagaimana luas pada geometri hiperbolik dan luas hiperbolik untuk

poligon hiperbolik yang disajikan pada model setengah bidang atas ℍ?

C. Pembatasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada model setengah bidang atas ℍ dan hanya

membahas mengenai objek-objek bidang datar untuk geometri hiperbolik.


7

D. Batasan Istilah

Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman dalam

memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah sebagai

berikut.

1. Aksioma adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya mutlak

sebagai suatu kejelasan ataupun asumsi.

2. Postulat adalah aksioma khusus pada bidang geometri.

3. Teorema adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya masih perlu

untuk dibuktikan.

4. Proposisi adalah suatu pernyataan yang diturunkan langsung dari suatu

aksioma atau postulat dan nilai kebenarannya masih perlu untuk

dibuktikan.

5. Geometri Euclides adalah ranah kajian matematika yang berkaitan

dengan studi geometri berdasarkan definisi dan aksioma yang ditetapkan

dalam buku Euclides “The Element”.

6. Geometri hiperbolik adalah ranah kajian matematika yang berkaitan

dengan studi geometri berdasarkan definisi, postulat Euclides dan

postulat kesejajaran hiperbolik.

7. Setengah bidang atas adalah bagian dari bidang kompleks yang

memenuhi 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) > 0.

8. Tititk ideal adalah titik di tak hingga yang terdapat pada sumbu real

dalam setengah bidang atas.


8

9. Panjang hiperbolik adalah ukuran panjang yang digunakan untuk

mengukur panjang suatu kurva pada setengah bidang atas ℍ.

10. Jarak hiperbolik adalah jarak antara dua titik pada setengah bidang atas

ℍ.

11. Sudut hiperbolik adalah ukuran sudut antara dua kurva pada setengah

bidang atas ℍ.

12. Luas hiperbolik adalah luas suatu daerah pada setengah bidang atas ℍ.

13. Poligon hiperbolik adalah bangun segi banyak yang terdapat pada

setengah bidang atas ℍ.

E. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mendeskripsikan objek-objek geometri hiperbolik yang

direpresentasikan pada model setengah bidang atas ℍ.

2. Mendeskripsikan konsep-konsep dasar seperti panjang, jarak, dan sudut

hiperbolik yang disajikan pada model setengah bidang atas ℍ.

3. Menentukan luas pada geometri hiperbolik dan luas hiperbolik untuk

poligon hiperbolik yang disajikan pada model setengah bidang atas ℍ.

F. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah:

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat menambah pengetahuan tentang model bidang hiperbolik

dan luas poligon hiperbolik pada geometri hiperbolik.


9

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan tentang model bidang hiperbolik

dan luas poligon hiperbolik pada geometri hiperbolik.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri.

G. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi mengenai geometri

hiperbolik. Pembahasan dalam skripsi ini banyak mengacu pada buku

Hyperbolic Geometry Second Edition, karangan James W. Anderson (2005)

dan buku A Gateway to Modern Geometry: The Poincare Half-Plane,

karangan Saul Stahl (1993).

Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah

1. Membaca berbagai referensi mengenai topik geometri hiperbolik dan

model bidang hiperbolik.

2. Menyajikan kembali definisi, proposisi, postulat, dan teorema yang

menjadi dasar dalam merepresentasikan geometri hiperbolik ke dalam

model bidang hiperbolik, khususnya model setengah bidang atas ℍ

dengan bahasan luas hiperbolik.

3. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar

memudahkan pembaca dalam memahaminya.


10

H. Sistematika Penulisan

Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar

belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, batasan istilah, tujuan,

manfaat, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

Bab dua berisi tentang dasar-dasar yang akan digunakan dalam

membahas model bidang hiperbolik dan luas hiperbolik seperti: dasar-dasar

geometri Euclides, bidang kompleks ℂ, garis dan lingkaran dalam bidang

kompleks ℂ, elemen panjang dalam bidang kompleks ℂ, sudut pada bidang

kompleks ℂ, transformasi konformal, Riemann sphere, inversi, transformasi

M��bius, dan cross ratio.

Bab tiga membahas tentang model bidang hiperbolik, yaitu setengah

bidang atas ℍ. Selanjutnya dibahas mengenai hubungan geometri Euclides

dan geometri hiperbolik berdasarkan objek-objek dasarnya (titik, garis, dan

sudut). Pada bab ini juga dibahas mengenai postulat kesejajaran dalam

geometri hiperbolik, jarak hiperbolik, dan transformasi M��bius pada

setengah bidang atas ℍ.

Bab empat membahas tentang kekonvekan, segitiga hiperbolik dan

poligon hiperbolik, definisi luas hiperbolik, serta luas poligon hiperbolik.

Materi yang dibahas mengenai definisi, teorema, dan sifat-sifat terkait

kekonvekan, poligon hiperbolik, dan luas hiperbolik di setengah bidang atas

ℍ, serta dilengkapi contoh soal untuk memperjelas materi yang dibahas.

Bab lima membahas tentang kesimpulan terkait pembahasan pada bab

sebelumnya dan saran kepada pembaca tentang keberlanjutan penelitian.


11

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Dasar-Dasar Geometri Euclides

Pada skripsi ini akan mengacu pada beberapa teori yang terdapat pada

geometri Euclides antara lain sebagai berikut.

1. Common Notions (Pengertian Umum)

Euclides mengasumsikan Common Notions (Pengertian Umum)

sebagai dasar atau syarat tak tertulis dari berbagai objek geometris seperti

panjang, luas, volume, dan ukuran sudut (Stahl, 1993: 8). Euclides

menuangkan Common Notions pada buku pertama The Elements sebagai

berikut.

a. Benda-benda (ukuran-ukuran) sama terhadap benda (ukuran) yang

sama adalah sama antara yang satu terhadap yang lain.

b. Jika benda-benda (ukuran-ukuran) sama, ditambah dengan benda-

benda (ukuran-ukuran) sama, semuanya adalah sama.

c. Jika benda-benda (ukuran-ukuran) sama, dikurangi benda-benda

(ukuran-ukuran) sama, semua sisanya adalah sama.

d. Benda-benda (ukuran-ukuran) yang serupa satu sama lain adalah

sama antara yang satu terhadap yang lain.

e. Keseluruhan lebih besar daripada bagian.


12

2. Kekongruenan segitiga

Kekongruenan segitiga yang dikemukakan Euclides dalam buku

pertama The Elements digunakan sebagai dasar acuan untuk menentukan

kekongruenan segitiga hiperbolik. Syarat kekongruenan segitiga terbagi

dalam beberapa Proposisi sebagai berikut.

Proposisi 2.1 (Stahl, 1993: 13)

Jika dua segitiga mempunyai dua sisi yang bersesuaian sama panjang, dan

sudut yang diapit sisi tersebut sama besar, maka sisi bersesuaian yang

tersisa sama panjang dan sudut-sudut lain yang lain bersesuaian sama

besar sehingga dua segitiga tersebut sama.

Proposisi 2.1 lebih dikenal sebagai syarat kekongruenan segitiga yang

mengacu pada sisi-sudut-sisi (SS, SD, SS).

Gambar 2.1 Ilustrasi Proposisi 2.1


Jika dua segitiga mempunyai tiga sisi yang bersesuaian sama panjang,

sehingga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka segitiga tersebut

sama.


mengacu pada sisi-sisi-sisi (SS, SS, SS).


13



Jika dua segitiga mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar, dan

sebuah sisi yang diapit dua sudut tersebut sama panjang, maka panjang

sisi-sisi yang bersesuaiannya sama panjang, maka segitiga tersebut sama.


mengacu pada sudut-sisi-sudut (SD, SS, SD).


Dasar teori yang diambil dari geometri Euclides akan digunakan untuk

membuktikan proposisi-proposisi pada geometri hiperbolik dalam model

bidang hiperbolik. Sebelum membahas model bidang untuk geometri


14

hiperbolik akan terlebih dahulu akan dibahas mengenai model bidang untuk

geometri Euclides.

B. Bidang Kompleks ℂ

Brown dan Churchill (1990) menyatakan bilangan kompleks 𝑧

didefinisikan sebagai

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (2.1)

atau dapat pula didefinisikan sebagai pasangan bilangan real yaitu

𝑧 = (𝑥, 𝑦) (2.2)

dengan x dan y adalah bilangan real, dan 𝑖 adalah bilangan imajiner murni

(√−1). Pada persamaan (2.1) dan persamaan (2.2), x dan y berturut-turut

disebut bagian real dan imajiner dari z, dan dapat dituliskan sebagai

𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥, dan 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦.

Sifat aljabar pada bilangan kompleks sama dengan sifat aljabar pada

bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan beberapa sifat aljabar pada

bilangan kompleks sebagai berikut (Brown dan Churchill, 1990: 2):

1. Sifat komutatif

Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1, 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2

a. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1

b. 𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1

2. Sifat asosiatif

Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1, 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, dan 𝑧3 = 𝑥3 + 𝑖𝑦3, diperoleh

a. (𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)


15

b. (𝑧1𝑧2) 𝑧3 = 𝑧1(𝑧2𝑧3)

3. Sifat distributif

Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1, 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, dan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka

𝑧(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2

4. Sifat identitas

Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 0 ∈ ℝ merupakan unsur identitas pada

penjumlahan, dan 1 ∈ ℝ adalah unsur identitas pada perkalian maka

a. 𝑧 + 0 = 𝑧

b. 𝑧. 1 = 𝑧

Pada bilangan kompleks terdapat beberapa konsep yang tidak terdapat

pada bilangan real yaitu modulus dan konjugat kompleks (Brown, 1990: 7).

Definisi modulus atau disebut sebagai nilai mutlak pada bilangan kompleks

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah bilangan real tak negatif √𝑥2 + 𝑦2 dengan notasi |𝑧|

sehingga

|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 ; (2.3)

Sedangkan konjugat kompleks atau disebut konjugat dari bilangan kompleks

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah bilangan kompleks 𝑥 − 𝑖𝑦 dengan notasi 𝑧 sehingga

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. (2.4)

Berdasarkan persamaan (2.3) dan persamaan (2.4) diperoleh bahwa |𝑧| = |𝑧|

dan 𝑧 = 𝑧 untuk setiap z. Jika 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 maka

𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1) + (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)

= (𝑥1 + 𝑥2) − 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)


16

= (𝑥1 − 𝑖𝑦1) + (𝑥2 − 𝑖𝑦2)

= 𝑧1 + 𝑧2

sehingga konjugat dari penjumlahan sama dengan jumlahan konjugat.

Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa untuk 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 =

𝑥2 + 𝑖𝑦2 maka

a. 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1) + (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = (𝑥1 − 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 − 𝑦2)

= (𝑥1 − 𝑥2) − 𝑖(𝑦1 − 𝑦2)

= (𝑥1 − 𝑖𝑦1) − (𝑥2 − 𝑖𝑦2)

= 𝑧1 − 𝑧2

b. 𝑧1𝑧2 = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)

= (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1)

= (𝑥1 − 𝑖𝑦1)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)

= 𝑧1𝑧2

c. Untuk 𝑧2 ≠ 0 maka dapat diperoleh

(𝑧1

𝑧2)

= (

𝑥1 + 𝑖𝑦1

𝑥2 + 𝑖𝑦2)

= (

(𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)

(𝑥2 + 𝑖𝑦2)(𝑥2 − 𝑖𝑦2))

= ((𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑖(−𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1))

𝑥22 + 𝑦2

2 )

= ((𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 − 𝑖(−𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1))

𝑥22 + 𝑦2

2 )

=(𝑥1 − 𝑖𝑦1)(𝑥2 + 𝑖𝑦2)

(𝑥2 + 𝑖𝑦2)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)=

𝑧1

𝑧2.

Salah satu relasi penting antara konjugat bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

dengan modulusnya adalah


17

𝑧𝑧 = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥2 − 𝑖2𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 = |𝑧|2.

Selain itu juga terdapat sifat yang menarik dari dua bilangan kompleks dan

konjugatnya. Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 diperoleh

𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 + 𝑖𝑦2) + (𝑥1 − 𝑖𝑦1)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)

= 𝑥1𝑥2 + 𝑖𝑥1𝑦2 + 𝑖𝑦1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑥1𝑥2 − 𝑖𝑥1𝑦2 − 𝑖𝑦1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

= 2𝑥1𝑥2 = 2𝑅𝑒(𝑧1𝑧2) .

Jadi diperoleh

𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧2 = 2𝑅𝑒(𝑧1𝑧2) (2.5)

Setiap bilangan kompleks berkorespondensi dengan satu titik pada

bidang datar, seperti bilangan −2 + 𝑖 dapat direpresentasikan sebagai titik

dengan koordinat (−2,1). Bilangan z juga dapat dianggap sebagai vektor dari

titik asal (0,0) ke titik (𝑥, 𝑦) (Gambar 2.4).

Gambar 2.4 Representasi Bilangan Kompleks ke Titik pada Bidang

Kompleks


18

Bidang yang digunakan digunakan untuk merepresentasikan bilangan

kompleks tersebut disebut bidang xy, bidang z atau bidang kompleks.

Himpunan semesta bilangan kompleks atau bidang kompleks dinotasikan

dengan ℂ. Sumbu x disebut sumbu real dan sumbu y disebut sumbu imajiner

(Brown dan Churchill, 1990: 6-7).

Gambar 2.5 Bilangan Kompleks z dalam Koordinat Polar

Letak titik (𝑥, 𝑦) dapat disajikan dalam koordinat polar (𝑟, 𝜃), sehingga

untuk bilangan kompleks z dapat disajikan dalam bentuk polar. Misalkan r dan

𝜃 adalah koordinat polar yang dari titik (𝑥, 𝑦) yang berkorespondensi dengan

bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (Gambar 2.5), diperoleh

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

Sehingga z direpresentasikan dalam bentuk polar sebagai

𝑧 = 𝑟 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), (2.6)

dengan r tak negatif. Nilai 𝜃 disebut sebagai argumen dari z, dan ditulis sebagai

𝜃 = arg 𝑧 (Brown dan Churchill, 1990: 12). Selain dalam bentuk polar,

bilangan kompleks z dapat dibentuk dalam bentuk eksponensial menggunakan

formula Euler sebagai


19

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃.

Berdasarkan persamaan (2.6) maka z dapat direpresentasikan dalam bentuk

eksponensial sebagai

𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃. (2.7)

Setelah membahas bilangan kompleks dan bidang kompleks ℂ, akan

dilanjutkan dengan membahas persamaan garis dan lingkaran Euclides pada

bidang datar disajikan dalam bidang kompleks ℂ.

C. Garis dan lingkaran Euclides dalam bidang kompleks ℂ

Purcell dan Varberg (1987) menyatakan bahwa persamaan garis Euclides

dalam koordinat kartesius dapat dibentuk sebagai

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. (2.8)

Pada persamaan (2.8), x dan y dapat dinyatakan dalam z dan 𝑧. Diberikan 𝑧 =

𝑥 + 𝑖𝑦 dan 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 diperoleh

𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) =1

2(𝑧 + 𝑧) (2.9)

𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) = −𝑖

2(𝑧 − 𝑧) (2.10)

Subsitusikan persamaan (2.9) dan (2.10) ke persamaan (2.8) diperoleh

𝑎 (1

2(𝑧 + 𝑧)) + 𝑏 (−

𝑖

2(𝑧 − 𝑧)) + 𝑐 = 0

1

2(𝑎 − 𝑖𝑏)𝑧 +

1

2(𝑎 + 𝑖𝑏)𝑧 + 𝑐 = 0

Misalkan 𝛽 =1

2(𝑎 − 𝑖𝑏) maka

𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0


20

Sehingga persamaan garis Euclides dalam bidang kompleks adalah

𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0 (2.11)

dengan 𝛽 ∈ ℂ dan 𝑐 ∈ ℝ (Anderson, 2005: 217).

Purcell dan Varberg (1987) menyatakan bahwa persamaan lingkaran

Euclides dalam koordinat kartesius dengan jari-jari r dan pusat di (ℎ, 𝑘) dapat

dibentuk sebagai

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2. (2.12)

Pada persamaan (2.12), x dan y dapat dinyatakan dalam z dan 𝑧, serta (ℎ, 𝑘)

diwakili oleh suatu bilangan kompleks tertentu. Diberikan 𝑧0 = ℎ + 𝑖𝑘 adalah

titik pusat lingkaran maka dapat dibentuk

𝑧 − 𝑧0 = (𝑥 + 𝑖𝑦) − (ℎ + 𝑖𝑘) = (𝑥 − ℎ) + 𝑖(𝑦 − 𝑘),

sehingga diperoleh

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = |𝑧 − 𝑧0|2 = 𝑟2,

dengan fakta bahwa |𝑧|2 = 𝑧𝑧 maka

|𝑧 − 𝑧0|2 = (𝑧 − 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = 𝑧𝑧 − 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝑧 + |𝑧0|2 = 𝑟2. (2.13)

Misalkan 𝛼 ∈ ℝ, 𝛽 = −𝛼𝑧0 dan 𝛾 = 𝛼(|𝑧|2 − 𝑟2) persamaan (2.13) dapat

dibentuk menjadi

𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛾 = 0 (2.14)

dengan 𝛽 ∈ ℂ dan 𝛾 ∈ ℝ (Anderson, 2005: 217).

D. Elemen Panjang dalam bidang kompleks ℂ

Pada bagian ini akan dibahas mengenai elemen panjang pada bidang

kompleks ℂ, namun sebelumnya akan diberikan definisi mengenai busur pada


21

bidang kompleks ℂ. Himpunan titik 𝑧 = (𝑥, 𝑦) pada bidang kompleks ℂ

disebut sebagai busur jika

𝑥 = 𝑥(𝑡), dan 𝑦 = 𝑦(𝑡)

dengan 𝑡 pada interval [𝑎, 𝑏], serta 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) adalah fungsi kontinu pada

parameter real 𝑡, sehingga sebuah busur 𝐶1 pada bidang kompleks ℂ dapat

disajikan dengan persamaan sebagai

𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) (2.15)

(Brown, 1990: 89). Jika 𝑥′(𝑡) dan 𝑦′(𝑡) untuk persamaan (2.15) ada dan

kontinu maka turunan dari persamaan (2.15) adalah sebagai berikut:

𝑧′(𝑡) = 𝑥′(𝑡) + 𝑖𝑦′(𝑡). (2.16)

Sebuah busur yang memenuhi syarat dari persamaan (2.15) dan persamaan

(2.16) disebut busur deferensiabel (Brown, 1990: 90).

Setelah membahas mengenai busur deferensiabel pada bidang kompleks

ℂ, akan dilanjutkan untuk elemen panjang busur pada bidang kompleks ℂ.

Misalkan f adalah busur deferensiabel pada bidang kompleks ℂ dalam interval

[𝑎, 𝑏], berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16) diperoleh

𝑓(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡), dan 𝑓′(𝑡) = 𝑥′(𝑡) + 𝑖𝑦′(𝑡). Modulus untuk 𝑓′(𝑡) adalah

|𝑓′(𝑡)| = √(𝑥′(𝑡))2

+ (𝑦′(𝑡))2, sehingga panjang Euclides f adalah

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ(𝑓) = ∫ √(𝑥′(𝑡))2

+ (𝑦′(𝑡))2

𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ |𝑓′(𝑡)|𝑏

𝑎

𝑑𝑡

atau biasanya dinotasikan sebagai

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ(𝑓) = ∫ |𝑓′(𝑡)|𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = ∫ |𝑑𝑧|𝑓


22

dengan |𝑑𝑧| = |𝑓′(𝑡)|𝑑𝑡 adalah elemen panjang-busur pada ℂ (Anderson,

2005: 74).

E. Sudut pada Bidang Kompleks ℂ

Sudut antar kurva 𝐶1 dan 𝐶2 pada bidang kompleks ℂ yang berpotongan

di 𝑧0 diperoleh dari sudut antara garis singgung kurva 𝐶1 dan 𝐶2 di 𝑧0 . Definisi

untuk sudut antar kurva di bidang kompleks ℂ didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.4 (Anderson, 2005: 53)

Diberikan dua kurva smooth 𝐶1 dan 𝐶2 di ℂ yang berpotongan di 𝑧0,

didefinisikan ∠(𝐶1, 𝐶2) sudut antara 𝐶1 dan 𝐶2 di 𝑧0 adalah sudut antara garis

singgung 𝐶1 dan 𝐶2 di 𝑧0, besar sudut diukur dari 𝐶1 ke 𝐶2 (Gambar 2.6).

Gambar 2.6 Ilustrasi Definisi 2.4

Pengukuran sudut yaitu dengan berlawanan arah jarum jam untuk sudut positif

dan searah jarum jam untuk sudut negatif. Berdasarkan definisi diperoleh

bahwa

∠(𝐶1, 𝐶2) = −∠(𝐶1, 𝐶2).


23

Berdasarkan definisi 2.4 maka dapat dicari besar sudut antar dua kurva

menggunakan garis singgung pada titik perpotongan. Besar sudut antara dua

garis singgung dapat dicari menggunakan selisih antara arctan dari tiap

kemiringan garisnya.

Misalkan 𝑋1 dan 𝑋2 adalah dua garis Euclides di ℂ yang berpotongan di sebuah

titik 𝑧0, misalkan 𝑧𝑘 adalah titik di 𝑋𝑘 dan bukan 𝑧0, dan misalkan kemiringan

garis (gradien) 𝑋𝑘 adalah 𝑠𝑘. Gradien garis 𝑋𝑘 dapat diperoleh dari

𝑠𝑘 =𝐼𝑚(𝑧𝑘 − 𝑧0)

𝑅𝑒(𝑧𝑘 − 𝑧0)

Misalkan 𝜃𝑘 adalah sudut yang terbentuk antara garis 𝑋𝑘 dan sumbu real, maka

diperoleh

𝑠𝑘 = tan(𝜃𝑘)

Secara khusus besar sudut yang terbentuk antara 𝑋1 dan 𝑋2 adalah

𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(𝑋1, 𝑋2) = arctan(𝑠2) − arctan(𝑠1) = 𝜃2 − 𝜃1

Berikut akan diberikan proposisi mengenai sudut antar busur lingkaran

berpusat di sumbu real pada bidang kompleks ℂ :


Diberikan sembarang titik z, misalkan X adalah sinar garis Euclides dan

misalkan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 adalah lingkaran Euclides yang berpusat di 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3

(Gambar 2.7), maka

∠(𝑋1, 𝑋2) = ∠(𝑇𝑐1𝑧 , 𝑇𝑐2𝑧) (tipe I),

∠(𝑋3, 𝑋1) = 𝜋 − ∠(𝑇𝑐1𝑧 , 𝑇𝑐3𝑧) (tipe II),


24

dan

∠(𝑋, 𝑋1) = ∠𝑑𝑐1𝑧 (tipe III).

Gambar 2.7 Ilustrasi untuk Proposisi 2.5

Bukti:

Misalkan X adalah sinar garis Euclides tegak lurus sumbu real dan melalui d.

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 adalah lingkaran Euclides berpusat di 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 dan

𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 berada pada sumbu real. Misalkan z adalah titik potong

𝑋, 𝑋1, 𝑋2, dan 𝑋3. Misalkan 𝑇1 dan 𝑇2 adalah garis singgung Euclides dari 𝑋1

dan 𝑋2 terhadap z. Terdapat fakta bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus

terhadap jari-jari lingkaran pada titik singgung lingkaran, sehingga

∠(𝑋1, 𝑋2) = ∠(𝑇1, 𝑇2) = ∠(𝑇1, 𝑇𝑐1𝑧) − ∠(𝑇2, 𝑇𝑐2𝑧) =𝜋

2− ∠(𝑇2, 𝑇𝑐1𝑧)

= ∠(𝑇2, 𝑇𝑐2𝑧) − ∠(𝑇2, 𝑇𝑐1𝑧) = ∠(𝑇𝑐1𝑧, 𝑇𝑐2𝑧)

dengan cara yang sama


25

∠(𝑋, 𝑋1) = ∠(𝑋, 𝑇1) = 𝜋 − ∠(𝑇1, 𝑇𝑐1𝑧) − ∠(𝑇𝑐1𝑧, 𝑋)

=𝜋

2− ∠(𝑇𝑐1𝑧, 𝑋) = ∠𝑑𝑐1𝑧

dan

∠(𝑋3, 𝑋1) = ∠(𝑋3, 𝑋) + ∠(𝑋, 𝑋1) = ∠𝑧𝑐3𝑑 + ∠𝑑𝑐1𝑧 = 𝜋 − ∠(𝑇2, 𝑇𝑐1𝑧).

Terbukti untuk Proposisi 2.5. QED.

Berikut akan diberikan cara untuk menghitung besar sudut menurut

Proposisi 2.5 :

a. Tipe I

Misalkan dua lingkaran 𝐶1 dan 𝐶2 memiliki pusat di 𝑐1dan 𝑐2dengan jari-

jari 𝑟1 dan 𝑟2 berpotongan di 𝑧0(Gambar 2.8). Misalkan ∠(𝐶1, 𝐶2) = 𝜃

adalah sudut antara dua lingkaran 𝐶1 dan 𝐶2.

Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠(𝐶1, 𝐶2) = ∠(𝑟2, 𝑟1) sehingga

∠(𝑟2, 𝑟1) = 𝜃.

Menggunakan aturan kosinus sudut 𝜃 dapat ditentukan yaitu

|𝑐1 − 𝑐2|2 = 𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃

cos 𝜃 =𝑟1

2 + 𝑟22 − |𝑐1 − 𝑐2|2

2𝑟1𝑟2


26

sehingga sudut 𝜃 dapat ditentukan dari arccos 𝜃.

Gambar 2.8 Ilustrasi sudut tipe I

b. Tipe II

Misalkan dua lingkaran 𝐶1 dan 𝐶2 memiliki pusat di 𝑐1dan 𝑐2dengan jari-

jari 𝑟1 dan 𝑟2 berpotongan di 𝑧0(Gambar 2.9). Misalkan ∠(𝐶1, 𝐶2) = 𝜃

adalah sudut antara dua lingkaran 𝐶1 dan 𝐶2.

Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠(𝐶1, 𝐶2) = 𝜋 − ∠(𝑟2, 𝑟1) sehingga

∠(𝑟2, 𝑟1) = 𝜋 − 𝜃.

Menggunakan aturan kosinus sudut (𝜋 − 𝜃) dapat ditentukan yaitu

|𝑐1 − 𝑐2|2 = 𝑟12 + 𝑟2

2 − 2𝑟1𝑟2 cos(𝜋 − 𝜃)

cos(𝜋 − 𝜃) = − cos 𝜃 =𝑟1

2 + 𝑟22 − |𝑐1 − 𝑐2|2

2𝑟1𝑟2

cos 𝜃 = −𝑟1

2 + 𝑟22 − |𝑐1 − 𝑐2|2

2𝑟1𝑟2


27


Gambar 2.9 Ilustrasi Tipe II

c. Tipe III

Misalkan garis 𝑋1 adalah garis yang melalui di 𝑐1 dan tegak lurus X.

Misalkan lingkaran 𝐶1 memiliki pusat di 𝑐1 dengan jari-jari 𝑟1, dan garis

𝑋1 tegak lurus garis X berpotongan di 𝑑1. Lingkaran 𝐶1 berpotongan

dengan garis X di 𝑧0 (Gambar 2.10).

Misalkan ∠(𝐶1, 𝑋) adalah sudut antara lingkaran 𝐶1 dan garis X dengan

besar sudut 𝜃. Berdasarkan Proposisi 2.5 maka ∠(𝐶1, 𝑋) = ∠𝑧0𝑐1𝑑1

sehingga ∠𝑧0𝑐1𝑑1 memiliki besar sudut 𝜃. Karena titik 𝑐1, 𝑑1, dan 𝑧0

membentuk segitiga siku-siku di 𝑑1, sehingga sudut 𝜃 dapat diperoleh dari

cos 𝜃 =𝑟1

|𝑑1 − 𝑐1|


28


Gambar 2.10 Ilustrasi Tipe III

F. Transformasi Konformal pada Bidang Kompleks ℂ

Terdapat beberapa transformasi dalam bidang kompleks ℂ yang memiliki

sifat konformal yaitu transformasi yang mempertahankan sudut. Transformasi

affine adalah salah satu transformasi konformal. Transformasi ini adalah

komposisi dari beberapa transformasi sederhana seperti dilatasi, rotasi, dan

translasi dalam bidang kompleks ℂ (Olsen, 2010: 2). Dilatasi, rotasi, dan

translasi sederhana dalam bidang kompleks ℂ didefinisikan sebagai berikut.

i. Dilatasi : 𝑓(𝑧) = 𝑐𝑧, dengan 𝑐 ∈ ℝ

ii. Translasi : 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝛽, dengan 𝛽 ∈ ℂ

iii. Rotasi : 𝑓(𝑧) = 𝛼𝑧, dengan 𝛼 = 𝑒𝑖𝜃.

Olsen (2010) menyatakan transformasi affine didefinisikan sebagai

berikut.


29

Definisi 2.6 (Olsen, 2010: 2)

Transformasi affine adalah kombinasi dari (i), (ii), dan (iii) dengan pemetaan

𝑇(𝑧) = 𝛼𝑧 + 𝛽 dengan 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ dan 𝛼 ≠ 0.

Sifat-sifat dalam transformasi affine seperti mempertahankan garis dan

lingkaran Euclides, serta sudut, ditunjukkan oleh beberapa teorema berikut.

Teorema 2.7 (Olsen, 2010: 3)

Transformasi affine mempertahankan lingkaran dan garis Euclides.

Bukti:

Misalkan diberikan suatu transformasi affine 𝑇(𝑧) = 𝐴𝑧 + 𝐵 dan persamaan

garis Euclides 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0 dengan 𝐴, 𝐵, 𝛽 ∈ ℂ dan 𝑐 ∈ ℝ. Menggunakan

cara substitusi diperoleh

𝛽(𝐴𝑧 + 𝐵) + ��(𝐴𝑧 + 𝐵) + 𝑐 = 0

𝛽𝐴𝑧 + 𝛽𝐵 + 𝛽𝐴 𝑧 + �� + 𝑐 = 0

𝛽𝐴𝑧 + 𝛽𝐴 𝑧 + (𝛽𝐵 + ��) + 𝑐 = 0 (2.17)

Kita tahu bahwa 𝛽𝐵 + �� = 2𝑅𝑒(𝛽𝐵) sehingga persamaan (2.17) merupakan

persamaan garis.

Dengan transformasi yang sama dan misalkan diberikan persamaan lingkaran

Euclides 𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛾 = 0 dengan 𝛼, 𝛾 ∈ ℝ. Menggunakan cara yang

sama diperoleh

𝛼(𝐴𝑧 + 𝐵)(𝐴𝑧 + 𝐵) + 𝛽(𝐴𝑧 + 𝐵) + ��(𝐴𝑧 + 𝐵) + 𝛾 = 0

𝛼𝐴��𝑧𝑧 + (𝐴�� + 𝛽𝐴)𝑧 + (��𝐵 + 𝛽𝐴 )𝑧 + 𝛽𝐵 + �� + 𝛾 = 0

misalkan 𝐷 = 𝐴�� + 𝛽𝐴 maka diperoleh

𝛼𝐴��𝑧𝑧 + 𝐷𝑧 + ��𝑧 + 𝛽𝐵 + �� + 𝛾 = 0 (2.18)


30

Persamaan (2.18) merupakan persamaan lingkaran. Jadi Teorema 2.7 terbukti.

QED.


Transformasi affine adalah konformal.

Bukti:


titik 𝑧0. Misalkan 𝑇(𝑧) = 𝛼𝑧 + 𝑏 dengan 𝛼, 𝑏 ∈ ℂ, 𝛼 ≠ 0, dan 𝛼 = 𝜌𝑒𝑖𝛽.

Misalkan ∠(𝑋1, 𝑋2) = 𝜃2 − 𝜃1 dengan 𝜃1 dan 𝜃2 adalah sudut kemiringan

garis 𝑋1 dan 𝑋2.

Berdasarkan Teorema 2.6 maka 𝑇(𝑋1) dan 𝑇(𝑋2) adalah garis Euclides juga.

Karena 𝑇(𝑋𝑘) melalui 𝑇(𝑧0) dan 𝑇(𝑧𝑘) sehingga kemiringan 𝑡𝑘 dari garis

𝑇(𝑋𝑘) adalah

𝑡𝑘 =𝐼𝑚(𝑇(𝑧𝑘) − 𝑇(𝑧0))

𝑅𝑒(𝑇(𝑧𝑘) − 𝑇(𝑧0))=

𝐼𝑚(𝛼(𝑧𝑘 − 𝑧0))

𝑅𝑒(𝛼 (𝑧𝑘 − 𝑧0))

=𝐼𝑚 (𝑒𝑖𝛽(𝑧𝑘 − 𝑧0))

𝑅𝑒 (𝑒𝑖𝛽(𝑧𝑘 − 𝑧0))= tan(𝛽 + 𝜃𝑘),

secara khusus diperoleh bahwa

∠(𝑇(𝑋1), 𝑇(𝑋2)) = arctan(𝑡2) − arctan(𝑡1)

= (𝛽 + 𝜃2) − (𝛽 + 𝜃1)

= 𝜃2 − 𝜃1 = ∠(𝑋1, 𝑋2).

Teorema 2.8 terbukti. QED.


31

G. Riemann Sphere ℂ

Bidang lengkung atau permukaan lengkung sukar bila disajikan ke

dalam bidang datar, misalkan permukaan bola atau permukaan hiperbolik.

Salah satu cara untuk memproyeksikan permukaan bola adalah dengan

menggunakan proyeksi stereografi. Proyeksi tersebut memungkinkan untuk

memetakan permukaan bola ke dalam suatu bidang datar (Olsen, 2010: 7).

Misalkan diberikan bola satuan 𝕊2 di ℝ3dengan 𝕊2 = {(𝑢, 𝑣, 𝑤) ∈ ℝ3|𝑢2 +

𝑣2 + 𝑤2 = 1} berpusat di 𝑂(0,0,0), 𝑁 adalah kutub utara dengan koordinat

di (0,0,1), dan bidang kompleks ℂ adalah bidang yang terbentuk saat 𝑤 = 0.

Untuk setiap titik 𝑃 ∈ 𝕊2, terdapat tepat satu segmen garis yang

menghubungkan N ke P. Garis tersebut menembus bidang kompleks ℂ tepat di

satu titik z (Gambar 2.11). Titik P yang merupakan titik tembus segmen garis

terhadap bola satuan disebut proyeksi stereografi dari titik z. Oleh karena itu,

proyeksi stereografi dari titik di tak hingga {∞} bersesuaian dengan kutub utara

N dari bola. Dengan demikian bidang kompleks ℂ ditambahkan dengan titik

ditak hingga {∞} “sebenarnya” merupakan bola dan disebut sebagai Reimaan

sphere (Krantz, 1999: 83).

Reimaan sphere atau disebut juga sebagai bidang kompleks yang diperluas,

didefinisikan sebagai himpunan

ℂ = ℂ ∪ {∞},


32

dengan kata lain adalah bidang kompleks yang ditambahkan sebuah titik yang

tak terdapat di ℂ yang dinotasikan dengan ∞. (Anderson, 2005: 9).

Gambar 2.11 Proyeksi Stereografi

Lingkaran pada 𝕊2 yang melalui 𝑁 diproyeksikan menjadi garis Euclides

pada bidang kompleks ℂ dan sebuah titik di tak hingga ∞, sedangkan untuk

lingkaran yang tidak melalui 𝑁 diproyeksikan menjadi lingkaran Euclides pada

bidang ℂ. Pada Riemann sphere lingkaran didefinisikan sebagai berikut.


Lingkaran pada ℂ adalah lingkaran Euclides di ℂ atau gabungan garis Euclides

di ℂ dengan {∞}.

Setelah didefinisikannya Riemann sphere ℂ dan lingkaran di dalamnya, akan

diberikan suatu transformasi yang terdapat pada Riemann sphere ℂ.

H. Inversi

Inversi adalah salah satu transformasi dalam bidang kompleks ℂ dan

merupakan transformasi pula dalam bidang kompleks ℂ yang didefinisikan

sebagai berikut.


33


Inversi didefinisikan sebagai fungsi 𝐽 ∶ ℂ → ℂ dengan syarat

𝐽(𝑧) =1

𝑧, 𝐽(0) = ∞, 𝐽(∞) = 0

untuk 𝑧 ∈ ℂ − {0}.

Beberapa sifat tentang inversi disajikan dalam teorema berikut:

Teorema 2.11 (Olsen, 2010:9)

Inversi mempertahankan lingkaran di ℂ.

Bukti:

Berdasarkan definisi 2.9, lingkaran di ℂ dapat disajikan sebagai

�� = {𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0} ∪ {∞}

atau

𝐴 = {𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛾 = 0}

dengan 𝛼, 𝑐, 𝛾 ∈ ℝ dan 𝛽 ∈ ℂ.

Misalkan suatu inversi 𝐽 ∶ ℂ → ℂ dengan 𝐽(𝑧) =1

𝑧, 𝐽(0) = ∞, 𝐽(∞) = 0

a. Kasus pertama untuk garis Eulides di ℂ dengan {∞} serta melewati 𝑧 = 0,

diperoleh

�� = {𝛽𝑧 + ��𝑧 = 0} ∪ {∞}.

Inversi 𝐽(��) menjadi

𝛽1

𝑧+ ��

1

𝑧= 0

𝛽𝑧 + ��𝑧 = 0

serta 𝐽(0) = ∞, 𝐽(∞) = 0 sehingga


34

𝐽(��) = {𝛽𝑧 + ��𝑧 = 0} ∪ {0} ∪ {∞}

Akibatnya 𝐽(��) adalah garis Euclides di ℂ dengan {∞}, sehingga 𝐽(��)

lingkaran di ℂ.

b. Kasus kedua untuk garis Eulides di ℂ dengan {∞} serta melewati 𝑧 ≠ 0,

diperoleh

�� = {𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0} ∪ {∞}.

Inversi 𝐽(��) menjadi

𝛽1

𝑧+ ��

1

𝑧+ 𝑐 = 0

𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐𝑧𝑧 = 0

Persamaan tersebut akan menjadi persamaan lingkaran Eucllides di ℂ jika

digabung dengan {0}. Karena 𝐽(∞) = 0 sehingga

𝐽(��) = {𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐𝑧𝑧 = 0} ∪ {0}

Akibatnya 𝐽(��) adalah lingkaran Euclides di ℂ sehingga 𝐽(��) lingkaran di

ℂ.

c. Kasus ketiga untuk lingkaran Euclides di ℂ serta melewati 𝑧 = 0,

diperoleh

𝐴 = {𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 = 0}.

Inversi 𝐽(𝐴) menjadi

𝛼1

𝑧

1

𝑧 + 𝛽

1

𝑧+ ��

1

𝑧 = 0

𝛼 + 𝛽𝑧 + +��𝑧 = 0

Karena 𝛼 ∈ ℝ serta 𝐽(0) = ∞ sehingga

𝐽(𝐴) = {𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛼 = 0} ∪ {∞}.


35

Akibatnya 𝐽(𝐴) adalah garis Euclides di ℂ dengan {∞}, sehingga 𝐽(𝐴)

lingkaran di ℂ.

d. Kasus empat untuk lingkaran Euclides di ℂ dengan 𝑧 ≠ 0, diperoleh

𝐴 = {𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 = 0}

Inversi 𝐽(𝐴) menjadi

𝛼1

𝑧

1

𝑧 + 𝛽

1

𝑧+ ��

1

𝑧+ 𝛾 = 0

𝛼 + 𝛽𝑧 + +��𝑧 + 𝛾𝑧𝑧 = 0

Karena 𝛼, 𝛾 ∈ ℝ sehingga

𝐽(𝐴) = {𝛾𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛼 = 0}.

Akibatnya 𝐽(𝐴) adalah lingkaran Euclides di ℂ, sehingga 𝐽(𝐴) lingkaran

di ℂ.

Berdasarkan kasus pertama sampai empat maka Teorema 2.11 terbukti. QED.

Inversi merupakan transformasi konformal atau mempertahankan besar

sudut. Hal tersebut termuat dalam teorema berikut:


Inversi adalah konformal.

Bukti:

Berdasarkan definisi 2.9, lingkaran di ℂ dapat disajikan sebagai

�� = {𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝑐 = 0} ∪ {∞}

atau

𝐴 = {𝛼𝑧𝑧 + 𝛽𝑧 + ��𝑧 + 𝛾 = 0}

dengan 𝛼, 𝑐, 𝛾 ∈ ℝ dan 𝛽 ∈ ℂ.


36

Misalkan suatu inversi 𝐽 ∶ ℂ → ℂ dengan 𝐽(𝑧) =1

𝑧, 𝐽(0) = ∞, 𝐽(∞) = 0

Akan ditunjukkan bahwa lingkaran yang berpotongan dalam ℂ akan tetap

berpotongan bila diinversikan.

a. Dua garis Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 0.

Berdasarkan pembuktian Teorema 2.7, J memetakan garis Euclides yang

melalui titik 𝑧0 menjadi garis Euclides yang melalui titik 𝑧0 juga,

sehingga kedua garis tetap berpotongan.

b. Dua garis Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 𝑎, 𝑎 ≠ 0.


melalui titik 𝑧0 menjadi lingkaran Euclides yang melalui titik 𝐽(𝑧0) =1

𝑎

, sehingga kedua garis tetap berpotongan.

c. Garis Euclides dan lingkaran Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 0 dan

𝑧1 = 𝑎, 𝑎 ≠ 0.


melalui titik 𝑧0 menjadi garis Euclides yang melalui titik 𝑧0 juga, dan

memetakan lingkaran Euclides yang melalui titik 𝑧0 menjadi garis

Euclides. kedua garis tersebut berpotongan di 𝐽(𝑧1) =1

𝑎 sehingga kedua

garis tetap berpotongan.

d. Garis Euclides dan lingkaran Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 𝑎 dan

𝑧1 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ≠ 0, 𝑎 ≠ 𝑏.

Menggunakan alasan yang sama kedua garis tetap berpotongan di

𝐽(𝑧0) =1

𝑎


37

e. Dua lingkaran Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 0 dan 𝑧1 = 𝑎, 𝑎 ≠ 0.


𝐽(𝑧1) =1

𝑎

f. Dua lingkaran Euclides di ℂ berpotongan di 𝑧0 = 𝑎 dan 𝑧1 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ≠

0, 𝑎 ≠ 𝑏.


𝐽(𝑧1) =1

𝑎 .

Berdasarkan Definisi 2.9 dan fakta yang telah ditunjukkan sebelumnya, maka

hanya akan ditunjukkan bahwa inversi mempertahankan sudut antar dua garis

berpotongan.


titik 𝑧0. Misalkan 𝐽(𝑧) =1

𝑧. Misalkan ∠(𝑋1, 𝑋2) = 𝜃2 − 𝜃1 dengan 𝜃1 dan 𝜃2

adalah sudut kemiringan garis 𝑋1 dan 𝑋2.

Misalkan 𝑧𝑘 = 𝑟1(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) dan 𝑧0 = 𝑟2(cos 𝛽 + 𝑖 sin 𝛽) diperoleh

𝑧𝑘 − 𝑧0 = 𝑟1(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼) − 𝑟2(cos 𝛽 + 𝑖 sin 𝛽)

= (𝑟1 cos 𝛼 − 𝑟2 cos 𝛽) + 𝑖(𝑟1 sin 𝛼 − 𝑟2 sin 𝛽).

Untuk 1

𝑧𝑘= 𝑟1(cos 𝛼 − 𝑖 sin 𝛼) dan

1

𝑧0= 𝑟2(cos 𝛽 − 𝑖 sin 𝛽)

1

𝑧𝑘 −

1

𝑧0= 𝑟1(cos 𝛼 − 𝑖 sin 𝛼) − 𝑟2(cos 𝛽 − 𝑖 sin 𝛽)

= (𝑟1 cos 𝛼 − 𝑟2 cos 𝛽) − 𝑖(𝑟1 sin 𝛼 − 𝑟2 sin 𝛽)

sehingga kemiringan yang dibentuk garis yang melalui 𝑧𝑘 dan 𝑧0 adalah


38

𝑠𝑘 =𝐼𝑚(𝑧𝑘 − 𝑧0)

𝑅𝑒(𝑧𝑘 − 𝑧0)=

𝑟1 sin 𝛼 − 𝑟2 sin 𝛽

𝑟1 cos 𝛼 − 𝑟2 cos 𝛽= tan(𝜃𝑘).

Berdasarkan Teorema 2.5, maka 𝐽(𝑋1) dan 𝐽(𝑋2) adalah garis Euclides atau

lingkaran Euclides. Karena 𝐽(𝑋𝑘) tetap melalui 𝐽(𝑧0) dan 𝐽(𝑧𝑘) maka

kemiringan 𝑡𝑘 dari garis 𝐽(𝑋𝑘) adalah

𝑡𝑘 =𝐼𝑚(𝐽(𝑧𝑘) − 𝐽(𝑧0))

𝑅𝑒(𝐽(𝑧𝑘) − 𝐽(𝑧0))=

𝐼𝑚 (1𝑧𝑘

−1𝑧0

)

𝑅𝑒 (1𝑧𝑘

−1𝑧0

)

= −𝐼𝑚(𝑟1 sin 𝛼 − 𝑟2 sin 𝛽)

𝑅𝑒 (𝑟1 cos 𝛼 − 𝑟2 cos 𝛽)

= − tan(𝜃𝑘) = tan(−𝜃𝑘).

Secara khusus diperoleh bahwa

∠(𝑇(𝑋1), 𝑇(𝑋2)) = arctan(𝑡2) − arctan(𝑡1)

= −𝜃2 + 𝜃1 = −(𝜃2 − 𝜃1)

= −∠(𝑋1, 𝑋2) = ∠(𝑋1, 𝑋2)


Bersama dengan transformasi affine, inversi merupakan komposisi dari

transformasi M��bius pada Riemann sphere ℂ.

I. Transformasi M��bius dan Cross Rasio

Transformasi M��bius adalah suatu transformasi yang juga disebut linear

fractional transformations atau transformasi bilinear. Transformasi ini

definisikan sebagai suatu fungsi pada Riemann sphere ℂ. Definisi transformasi

M��bius di ℂ adalah sebagai berikut.


39


Transformasi M��bius adalah pemetaan 𝑓: ℂ → ℂ yaitu

𝑓(𝑧) =𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0.

Sifat-sifat transformasi M��bius disajikan dalam teorema berikut.


Misalkan f sembarang transformasi M��bius, maka

i. 𝑓 dapat diubah dalam komposisi transformasi affine dan inversi

ii. 𝑓 memetakan lingkaran di ℂ ke lingkaran di ℂ

iii. 𝑓 konformal.

Bukti:

i. Diberikan f sebagai


𝑐𝑧 + 𝑑, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0

Jika dimisalkan 𝑤1, 𝑤2, dan 𝑤3 dengan 𝑤1 = 𝑐𝑧 + 𝑑, 𝑤2 =1

𝑤1, dan

𝑤3 = (𝑏 −𝑎𝑑

𝑐) 𝑤2 +

𝑎

𝑐. Kita tahu bahwa 𝑤1, dan 𝑤3 adalah

transformasi affine dan 𝑤2 adalah inversi. Akan ditunjukkan bahwa f

adalah komposisi dari 𝑤1, 𝑤2, dan 𝑤3.

𝑤3 ∘ 𝑤2 ∘ 𝑤1 =𝑎

𝑐+

𝑏 −𝑎𝑑𝑐

𝑐𝑧 + 𝑑=

𝑎𝑐

(𝑐𝑧 + 𝑑) −𝑎𝑑𝑐

+ 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑

=

𝑎𝑐𝑧 + 𝑎𝑑 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐𝑐

𝑐𝑧 + 𝑑=

𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑= 𝑓(𝑧).


40

ii. Transformasi affine mempertahankan lingkaran dan garis di ℂ serta

transformasi affine memetakan {∞} ke {∞} , sehingga Transformasi

affine mempertahankan lingkaran di ℂ. Inversi juga mempertahankan

lingkaran di ℂ. Berdasarkan (i) maka transformasi M��bius

mempertahankan lingkaran di ℂ.

iii. Karena transformasi affine dan inversi konformal, maka Berdasarkan

(i) transformasi M��bius konformal.


Selanjutnya akan diberikan definisi tentang cross ratio di ℂ yang

dinyatakan Olsen (2010) sebagai berikut.


Misalkan 𝑧, 𝑧1, 𝑧2, dan 𝑧3 adalah titik-titik di ℂ dan dapat dibentuk menjadi

(𝑧, 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3) =(𝑧 − 𝑧1)(𝑧2 − 𝑧3)

(𝑧 − 𝑧3)(𝑧2 − 𝑧1). (2.19)

Persamaan (2.19) disebut cross ratio dari empat titik 𝑧, 𝑧1, 𝑧2, dan 𝑧3.

Misalkan dua lingkaran 𝐶1 dan 𝐶2 dipilih titik-titik 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 pada 𝐶1 dan

𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 pada 𝐶2, maka dapat ditentukan suatu transformasi M��bius h

sehingga

ℎ(𝑧1) = 𝑤1, ℎ(𝑧2) = 𝑤2, ℎ(𝑧3) = 𝑤3, (2.20)

dan h akan memetakan 𝐶1 ke 𝐶2. Cara untuk mencari h adalah dengan

memetakan 𝐶1 ke sumbu real dan memetakan sumbu real ke 𝐶2. Untuk


41

memetakan 𝐶1 ke sumbu real, maka penyelesaian persamaan (2.20) adalah

𝑤1 = 0, 𝑤2 = 1, dan 𝑤3 = ∞.

Jika titik 𝑧𝑖 ≠ ∞ diberikan transformasi M��bius f yaitu

𝑓(𝑧) =(𝑧 − 𝑧1)(𝑧2 − 𝑧3)

(𝑧 − 𝑧3)(𝑧2 − 𝑧1),

sehingga diperoleh 𝑓(𝑧1) = 0, 𝑓(𝑧2) = 1, 𝑓(𝑧3) = ∞. Jika satu dari tiga titik

tersebut 𝑧𝑖 = ∞ (𝐶1 merupakan garis) diperoleh persamaan sebagai berikut:

𝑓(𝑧) =𝑧2 − 𝑧3

𝑧 − 𝑧3

(𝑧1 = ∞), 𝑓(𝑧) =𝑧 − 𝑧1

𝑧 − 𝑧3

(𝑧2 = ∞),

𝑓(𝑧) =𝑧 − 𝑧1

𝑧2 − 𝑧1

(𝑧3 = ∞)

sehingga diperoleh 𝑓(𝑧1) = 0, 𝑓(𝑧2) = 1, 𝑓(𝑧3) = ∞. Misalkan g adalah

transformasi M��bius yang membawa 𝑔(𝑤1) = 0, 𝑔(𝑤2) = 1, 𝑔(𝑤3) = ∞,

maka diperoleh pemetean ℎ = 𝑔−1 ∘ 𝑓 sehingga

ℎ(𝑧1) = 𝑔−1 ∘ 𝑓(𝑧1) = 𝑔−1(0) = 𝑤1

ℎ(𝑧2) = 𝑔−1 ∘ 𝑓(𝑧2) = 𝑔−1(1) = 𝑤2

ℎ(𝑧3) = 𝑔−1 ∘ 𝑓(𝑧3) = 𝑔−1(∞) = 𝑤3.

Perhatikan bahwa ℎ(𝑧) = 𝑤 dapat dibentuk sebagai

𝑔−1(𝑓(𝑧)) = 𝑤 ⇔ 𝑔(𝑤) = 𝑓(𝑧)

yang berarti

(𝑧 − 𝑧1)(𝑧2 − 𝑧3)

(𝑧 − 𝑧3)(𝑧2 − 𝑧1)=

(𝑤 − 𝑤1)(𝑤2 − 𝑤3)

(𝑤 − 𝑤3)(𝑤2 − 𝑤1) (2.22)

persamaan tersebutlah yang disebut cross ratio.

(2.21)


42

BAB III

MODEL BIDANG HIPERBOLIK

Berdasarkan yang telah dibahas sebelumnya bahwa bidang lengkung seperti

permukaan bola dapat diproyeksikan pada bidang datar, maka memungkinkan

untuk membentuk suatu model bidang datar, sehingga objek-objek geometri

hiperbolik dapat direpresentasikan pada bidang tersebut. Berikut akan dibahas

mengenai model bidang hiperbolik, objek-objek geometri pada model tersebut,

serta transformasi yang berlaku pada model tersebut.

A. Setengah Bidang Atas (ℍ)

Pada bagian ini akan dibahas mengenai model bidang datar dari geometri

hiperbolik. Berbeda dengan geometri Euclides yang pada umumnya

menggunakan bidang kartesius sebagai model bidang datar, geometri

hiperbolik memiliki banyak model yang digunakan dalam merepresentasikan

bidang datarnya.

Klein disk Poincare disk Setengah bidang atas

Gambar 3.1 Model Bidang pada Geometri Hiperbolik


43

Pada gambar 3.1, salah satu model yang sering digunakan adalah Poincare disk

yaitu suatu bidang datar yang dibatasi lingkaran dengan garis-garis pada bidang

tersebut adalah busur lingkaran. Garis lurus dapat terbentuk jika garis tersebut

melalui titik pusat dari lingkaran batas. Model kedua adalah Klein disk, serupa

dengan model Poincare disk, Klein disk juga dibatasi oleh lingkaran, namun

terdapat perbedaan yaitu garis-garis pada model ini adalah garis lurus bukan

lagi busur lingkaran. Model terakhir adalah setengah bidang atas atau disebut

juga setengah bidang Poincare, model ini berbeda dengan kedua model

sebelumnya karena hanya memuat setengah bidang kompleks ℂ.

Pada skripsi ini, model bidang yang digunakan untuk menyajikan objek-

objek bidang datar adalah model setengah bidang atas. Model ini adalah bagian

dari bidang kompleks ℂ dengan sumbu x disebut sumbu real (𝑅𝑒(𝑧)), dan

sumbu y disebut sumbu imajiner (𝐼𝑚(𝑧)). Seperti namanya, model setengah

bidang atas terbentuk dari setengah bidang kompleks bagian atas yaitu di atas

sumbu real atau tak memuat sumbu imajiner negatif. Model setengah bidang

atas ℍ pada bidang kompleks ℂ, didefinisikan sebagai berikut (Anderson,

2005: 2)

ℍ = {𝑧 ∈ ℂ|𝐼𝑚(𝑧) > 0}.

Lingkaran pada Riemann sphere ℂ mempunyai dua komponen,

contohnya adalah lingkaran satuan 𝕊1 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| = 1} memiliki komponen

disk 𝔻 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| < 1} dan 𝔻 = {𝑧 ∈ ℂ||𝑧| > 1} ∪ {∞}, sedangkan untuk

lingkaran ℝ di ℂ memiliki komponen setengah bidang atas ℍ dan setengah


44

bidang bawah {𝑧 ∈ ℂ| 𝐼𝑚(𝑧) < 0}. Lingkaran pada Riemann sphere ℂ dan dua

komponennya didefinisikan sebagai berikut.


Suatu disk D di ℂ merupakan salah satu komplemen dari komponen lingkaran

A di ℂ. Pada disk D dan lingkaran A, terlihat bahwa A adalah lingkaran yang

menentukan disk D.

Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap disk di ℂ ditentukan oleh lingkaran

di ℂ dan setiap lingkaran di ℂ ditentukan oleh disk di ℂ.

Model setengah bidang atas ℍ adalah disk di ℂ yang ditentukan oleh

lingkaran ℝ. Model setengah bidang atas ℍ memiliki batas di tak hingga

yaitu ℝ. Titik-titik pada ℝ disebut titik di tak hingga atau titik ideal pada model

setengah bidang atas ℍ. Hal ini mengakibatkan jarak hiperbolik sembarang

titik ke titik pada ℝ adalah tak hingga, dasar untuk argumen ini akan dibahas

dalam subbab D. Sebelum membahas mengenai jarak hiperbolik, akan terlebih

dahulu dibahas mengenai hubungan objek-objek geometri Euclides dan

geometri hiperbolik.

B. Hubungan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik

Pada bagian ini akan dibahas tentang persamaan dan perbedaan objek-

objek sederhana pada geometri seperti titik, garis, dan sudut, antara geometri

Euclides dan geometri hiperbolik serta representasinya dalam setengah bidang

atas ℍ. Uraian lebih rinci mengenai titik, garis dan sudut dalam geometri

hiperbolik pada model setengah bidang atas ℍ adalah sebagai berikut.


45

1. Titik pada geometri hiperbolik

Titik pada geometri hiperbolik dideskripsikan sama seperti titik pada

geometri Euclides yaitu objek geometri yang tidak memiliki panjang dan

tebal. Pada setengah bidang atas ℍ, titik direpresentasikan dengan

koordinat 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Titik-titik pada ℝ atau ketika 𝐼𝑚(𝑧) = 0 disebut

titik ideal atau titik di tak hingga, sehingga terdapat dua jenis titik pada

geometri hiperbolik yaitu titik hiperbolik dengan 𝐼𝑚(𝑧) > 0 dan titik ideal

untuk 𝐼𝑚(𝑧) = 0 atau 𝑧 = ∞.

2. Garis hiperbolik dalam model setengah bidang atas ℍ

Setengah bidang atas ℍ adalah disk pada ℂ sehingga garis pada setengah

bidang atas ℍ adalah lingkaran di ℂ. Garis hiperbolik di ℍ adalah

perpotongan lingkaran di ℂ terhadap setengah bidang atas ℍ. Berdasarkan

fakta tersebut garis hiperbolik dalam setengah bidang atas ℍ memiliki dua

jenis garis dalam representasinya yaitu berupa garis Euclides tegak lurus

sumbu real dan busur setengah lingkaran Euclides dengan pusat lingkaran

di sumbu real.

Garis lurus pada geometri hiperbolik disebut geodesik yang selanjutnya

akan disebut sebagai garis hiperbolik. Garis hiperbolik pada setengah

bidang atas ℍ didefinisikan sebagai berikut:


Ada dua jenis garis hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ, keduanya

didefinisikan sebagai objek Euclides pada ℂ. Salah satunya adalah


46

perpotongan dari setengah bidang atas ℍ dengan garis Euclides pada ℂ

tegak lurus ke sumbu real ℝ pada ℂ. Lainnya adalah perpotongan dari ℍ

dengan lingkaran Euclides yang berpusat di sumbu real ℝ (Gambar 3.2).

Gambar 3.2 Garis Hiperbolik di ℍ

Berdasarkan definisi 3.2, maka terdapat dua hasil representasi garis

hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ yaitu garis Euclides tegak lurus

terhadap sumbu real ℝ dan setengah busur lingkaran Euclides dengan

pusat di sumbu real ℝ.

Dua sembarang titik pada setengah bidang atas ℍ dijamin dapat termuat

pada satu garis hiperbolik tertentu oleh proposisi berikut ini :

Proposisi 3.3 (Anderson, 2005: 3)

Untuk setiap pasangan titik berbeda p dan q pada ℍ, terdapat sebuah garis

hiperbolik ℓ pada ℍ yang melalui p dan q.

Bukti :

Pengandaian pertama yaitu Re(p) = Re(q). Kemudian diberikan garis

Euclides 𝐿 = {𝑧 ∈ ℂ | 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑅𝑒 (𝑝)} tegak lurus terhadap aksis real


47

dan melalui p dan q, sehingga membentuk garis hiperbolik ℓ = ℍ ∩ 𝐿.

Garis hiperbolik ℓ adalah garis hiperbolik yang melalui p dan q.

Pengandaian kedua yaitu Re(p) ≠ Re(q). Garis Euclides yang melalui p dan

q tidak lagi tegak lurus terhadap ℝ, dibuatlah lingkaran Euclides dengan

pusat lingkaran pada aksis real ℝ melalui p dan q (Gambar 3.3).

Gambar 3.3 Garis Hiperbolik melalui Dua Titik Berbeda

Misalkan 𝐿𝑝𝑞 adalah segmen garis Euclides yang menghubungkan p dan

q, dan misalkan K garis berat tegak lurus terhadap 𝐿𝑝𝑞. Kemudian, setiap

lingkaran Euclides yang melewati p dan q akan berpusat pada K.

Berdasarkan pengandaian kedua p dan q mempunyai bagian real yang tak

sama, sehingga garis Euclides K tidak sejajar terhadap ℝ, dan K

berpotongan dengan ℝ tepat pada suatu titik c.

Misalkan A adalah lingkaran Euclides berpusat di c dengan radius |𝑐 − 𝑝|,

sehingga A melalui p. Kita tahu bahwa c terdapat pada K, sehingga

|𝑐 − 𝑝| = |𝑐 − 𝑞| mengakibatkan A melewati q. Diperoleh garis

hiperbolik ℓ = ℍ ∩ 𝐴. Garis hiperbolik ℓ adalah garis hiperbolik yang

melalui p dan q.


48

Berdasarkan pengandaian pertama dan kedua maka Proposisi 3.3 terbukti.

QED.

3. Sudut pada geometri hiperbolik

Pada setengah bidang atas ℍ sudut yang terbentuk dari dua garis

hiperbolik didefinisikan sebagai sudut antara garis singgung lingkaran

Euclides. Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik dengan pusat lingkaran

Euclides pada 𝑐1dan 𝓂 adalah garis hiperbolik dengan pusat lingkaran

Euclides pada 𝑐2. Garis hiperbolik ℓ dan 𝓂 berpotongan di titik p sehingga

sudut ∠(𝓂, ℓ) dapat ditentukan dengan membuat garis singgung lingkaran

melalui titik p. Misalkan K dan N adalah garis singgung lingkaran Euclides

tersebut, sehingga sudut ∠(𝓂, ℓ) = ∠(𝑁, 𝐾) (Gambar 3.4).

Gambar 3.4 Sudut antara Dua Garis Hiperbolik

Sudut pada geometri hiperbolik memenuhi tiga tipe sudut menurut

Proposisi 2.5, sehingga besar sudut pada dua garis hiperbolik yang

berpotongan dapat dicari dengan metode yang telah dibahas pada Bab II.

Dua garis hiperbolik yang berpotongan pada sumbu real ℝ atau dengan


49

kata lain berpotongan di tak hingga, maka besar sudut yang terbentuk dari

kedua garis hiperbolik tersebut adalah 0. Hal ini mudah ditunjukkan

karena garis yang berpotongan di tak hingga sebenarnya tidak berpotongan

sehingga tidak ada sudut yang terbentuk.

Setelah membahas objek-objek dasar pada geometri hiperbolik,

selanjutnya akan dibahas satu topik yang juga menjadi dasar munculnya

geometri hiperbolik yaitu kesejajaran garis.

C. Kesejajaran dalam geometri hiperbolik

Pada geometri Euclides, dua garis sejajar selalu berjarak sama, dengan

kata lain jika L dan K adalah garis-garis sejajar pada geometri Euclides dan

misalkan a dan b adalah titik pada garis L, sehingga jarak titik a ke garis K akan

sama dengan jarak titik b ke garis K (Gambar 3.5).

Gambar 3.5 Dua Garis Sejajar pada Geometri Euclides

Sedangkan pada geometri hiperbolik dua garis sejajar tidak selalu harus

berjarak sama, dua garis sejajar dalam geometri hiperbolik hanya disyaratkan

untuk saling lepas (tidak berpotongan). Pada model setengah bidang atas ℍ dua

garis hiperbolik sejajar didefinisikan sebagai berikut.


50


Dua garis hiperbolik pada ℍ dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut saling

lepas.

Dua garis hiperbolik yang saling lepas dalam geometri hiperbolik dipandang

sebagai garis yang mutlak tidak berpotongan atau dapat pula berpotongan di

tak hingga, sehingga garis hiperbolik yang berpotongan di tak hingga dianggap

sejajar.

Dasar utama yang membedakan geometri Euclides dengan geometri

hiperbolik adalah dari postulat kelima Euclides atau disebut juga sebagai

postulat kesejajaran. Postulat kesejajaran yang berbunyi “Diberikan sebuah

garis 𝐿 dan sebuah titik p di luar garis L, maka ada tepat satu garis yang melalui

p dan sejajar terhadap L” (Stahl, 1993: 28). Pada geometri hiperbolik postulat

kesejajaran menggunakan salah satu kontradiksi dari postulat kesejajaran

Euclides seperti berikut.

Aksioma 3.5 (Greenberg, 1980: 148)

Diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis, ada setidaknya dua garis

yang melalui garis tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.

Pada model setengah bidang atas dapat ditunjukkan bahwa memang terdapat

setidaknya terdapat dua garis sejajar yang melalui sembarang titik di luar garis.

Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik pada ℍ dan titik p tidak pada ℓ akan

diperlihatkan bahwa ada setidaknya dua garis hiperbolik yang melalui p dan

sejajar ℓ. Kasus pertama untuk garis hiperbolik ℓ adalah garis yang tegak lurus


51

sumbu real, dan kasus kedua untuk garis hiperbolik ℓ adalah busur lingkaran

yang berpusat di ℍ. Maka akan ada garis hiperbolik 𝓃 dan 𝓀 seperti Gambar

3.6.

Pada geometri hiperbolik terdapat teorema yang memuat perumuman

mengenai postulat kesejajaran. Teorema ini menjelaskan bahwa ada tak hingga

garis sejajar yang bisa dibuat melalui titik di luar garis. Pada model setengah

bidang atas ℍ teorema tersebut dinyatakan sebagai berikut.

Teorema 3.6 (Anderson, 2005: 5)

Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik di ℍ, dan p adalah titik di ℍ tidak terletak

pada ℓ. Ada tak hingga banyak garis hiperbolik berbeda yang melalui p dan

sejajar terhadap ℓ.

Bukti:

Ada dua kasus yang mungkin. Kasus pertama, misalkan garis hiperbolik ℓ

termuat pada garis Euclides L. p tidak pada L, terdapat garis Euclides K yang

melalui p dan sejajar terhadap L. Garis Euclides L tegak lurus terhadap ℝ,

Kasus pertama Kasus kedua

Gambar 3.6 Garis-garis Hiperbolik yang Sejajar melalui Sembarang Titik


52

sehingga garis Euclides K tegak lurus terhadap ℝ juga. Jadi, satu garis

hiperbolik pada ℍ melalui p dan sejajar terhadap ℓ adalah irisan dari ℍ ∩ 𝐾.

Untuk membuat garis hiperbolik lain yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ,

ambil sebuah titik x pada ℝ diantara K dan L, dan misalkan A adalah lingkaran

berpusat di ℝ dan melaui x dan p. kita tahu bahwa terdapat lingkaran A karena

Re(x) ≠ Re(p).

A saling lepas terhadap L, dan juga garis hiperbolik ℍ ∩ 𝐴 saling lepas terhadap

ℓ. Dengan demikian ℍ ∩ 𝐴 adalah garis hiperbolik kedua yang melalui p dan

sejajar terhadap ℓ. Terdapat tak hingga banyak titik pada ℝ diantara K dan L,

ini mengakibatkan tak hingga banyak garis hiperbolik yang dapat dibuat

melalui p dan sejajar ℓ. (Gambar 3.7)

Gambar 3.7 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Pertama

Kasus kedua, mengandaikan garis hiperbolik ℓ terletak pada lingkaran Euclides

A. Misalkan D adalah lingkaran konsentris (berpusat pada titik yang sama)

terhadap A dan melalui p. Dua lingkaran yang konsentrasi akan saling lepas,

sehingga garis yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ adalah perpotongan ℍ ∩

𝐷.


53

Untuk membuat garis hiperbolik lain yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ,

ambil sembarang titik x dalam ℝ di antara A dan D. Misalkan E adalah

lingkaran berpusat pada ℝ dan melalui x dan p. E dan A saling lepas, dan ℍ ∩

𝐸 adalah garis hiperbolik yang melalui p dan sejajar terhadap ℓ (Gambar 3.8).

Seperti di atas, karena ada tak hingga banyak titik dalam ℝ di antara A dan D,

ada tak hingga banyak garis hiperbolik berbeda yang melalui p dan sejajar

terhadap ℓ. QED.

Setelah membahas mengenai kesejajaran pada geometri hiperbolik untuk

model setengah bidang atas ℍ, akan dilanjutkan untuk membahas bagaimana

jarak hiperbolik pada model setengah bidang atas ℍ didefinisikan.

Gambar 3.8 Ilustrasi Sejajar untuk Kasus Kedua


54

D. Jarak Hiperbolik

Hal yang menjadi perbedaan utama antara setengah bidang atas ℍ dan

bidang Euclides adalah pada konsep panjang. Jarak ke sumbu real ℝ

dipengaruhi oleh sumbu imajiner positif (𝐼𝑚(𝑧) > 0) sehingga panjang suatu

lintasan pada geometri hiperbolik untuk model setengah bidang atas ℍ

didefinisikan sebagai berikut.


Lintasan 𝐶1 dengan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℍ, panjang hiperbolik 𝑓 didefinisikan

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎℍ(𝑓) = ∫1

𝐼𝑚(𝑧)𝑓

|𝑑𝑧| = ∫1

𝐼𝑚(𝑓(𝑡))

𝑏

𝑎

|𝑓′(𝑡)|𝑑𝑡.

Berdasarkan definisi tersebut dapat dilihat bahwa jika titik pada sumbu real ℝ

(𝐼𝑚(𝑧) = 0) akan mengakibatkan nilai integral menjadi tak hingga {∞}

sehingga titik-titik pada sumbu real disebut titik di tak hingga.

Jika membicarakan jarak, hal yang paling sederhana adalah menghitung

jarak dari dua titik berbeda. Jarak pada geometri Euclides untuk dua titik

berbeda 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 dapat dengan mudah dicari dengan

menggunakan teorema pythagoras sebagi berikut.

𝑑(𝑧1, 𝑧2) = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2.

Pada geometri hiperbolik untuk setengah bidang atas ℍ, jarak dua titik

disajikan dalam proposisi berikut ini :


55


Jarak hiperbolik dari titik 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, untuk 𝑥1 = 𝑥2

adalah

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln (𝑦2

𝑦1)|,

sedangkan untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2 adalah

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln |𝑦2(𝑥1 − 𝑐 − 𝑟)

𝑦1(𝑥2 − 𝑐 − 𝑟)||

dengan c dan r adalah pusat dan jari-jari lingkaran Euclides yang melalui 𝑧1

dan 𝑧2.

Bukti:

Untuk 𝑥1 = 𝑥2 maka garis hiperbolik yang melalui 𝑧1 dan 𝑧2 berupa garis

Euclides yang tegak lurus dengan sumbu real. Misalkan lintasan 𝑓 adalah

fungsi 𝑓(𝑡) = 𝑥1 + 𝑖𝑡 dengan t dalam interval [𝑦1, 𝑦2]. Lintasan f adalah

segmen garis hiperbolik melalui 𝑧1 dan 𝑧2, sehingga 𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) =

𝑙𝑒𝑛𝑔ℎ𝑡ℍ(𝑓).

Diperoleh 𝐼𝑚(𝑓(𝑡)) = 𝑡 dan |𝑓′(𝑡)| = 1 sehingga

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = 𝑙𝑒𝑛𝑔ℎ𝑡ℍ(𝑓) = ∫1

𝑡

𝑦2

𝑦1

𝑑𝑡 = ln (𝑦2

𝑦1),

ln (𝑦2

𝑦1) bernilai positif untuk 𝑦2 > 𝑦1 dan bernilai negatif untuk 𝑦1 > 𝑦2, maka

diperoleh

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln (𝑦2

𝑦1)|.


56

Untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2, sehingga garis hiperbolik yang melalui 𝑧1 dan 𝑧2 berupa busur

lingkaran dengan pusat c dengan jari-jari r. Misalkan 𝜃𝑘 adalah argumen dari

𝑧𝑘.

Dipandang lintasan 𝑓 adalah fungsi 𝑓(𝑡) = 𝑐 + 𝑟𝑒𝑖𝑡 dengan 𝑡 pada interval

[𝜃1, 𝜃2]. Lintasan f adalah segmen garis hiperbolik melalui 𝑧1 dan 𝑧2, sehingga

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = 𝑙𝑒𝑛𝑔ℎ𝑡ℍ(𝑓). Diperoleh 𝐼𝑚(𝑓(𝑡)) = 𝑟 sin 𝑡 dan |𝑓′(𝑡)| = 𝑟

sehingga

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = 𝑙𝑒𝑛𝑔ℎ𝑡ℍ(𝑓) = ∫1

𝑟 sin 𝑡

𝜃2

𝜃1

𝑟𝑑𝑡 = ∫1

sin 𝑡

𝜃2

𝜃1

𝑑𝑡

= [ln|csc 𝑡 − cot 𝑡|]𝜃1

𝜃2

= ln |csc 𝜃2 − cot 𝜃2

csc 𝜃1 − cot 𝜃1|

Perhatikan bahwa sudut 𝜃𝑘 adalah sudut dari segitiga siku-siku dengan tinggi

𝑦𝑘 dan alas 𝑥𝑘 − 𝑐, dan hipotenusa r, akibatnya

csc 𝜃𝑘 =𝑟

𝑦𝑘, dan cot 𝜃𝑘 =

𝑥𝑘 − 𝑐

𝑦𝑘,

sehingga diperoleh

|csc 𝜃𝑘 − cot 𝜃𝑘| = |𝑟 + 𝑐 − 𝑥𝑘

𝑦𝑘|,

dan

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = ln |csc 𝜃2 − cot 𝜃2

csc 𝜃1 − cot 𝜃1| = ln |

𝑦2(𝑥1 − 𝑐 − 𝑟)

𝑦1(𝑥2 − 𝑐 − 𝑟)|.

ln |𝑦2(𝑥1−𝑐−𝑟)

𝑦1(𝑥2−𝑐−𝑟)| bernilai positif untuk 𝑥1 > 𝑥2 dan bernilai negatif untuk 𝑥2 >

𝑥1 sehingga


57

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln |𝑦2(𝑥1 − 𝑐 − 𝑟)

𝑦1(𝑥2 − 𝑐 − 𝑟)||

Proposisi 3.8 terbukti. QED.

Berikut diberikan contoh untuk penggunaan Proposisi 3.8 sebagai berikut.

Contoh 3.1

Tentukan jarak hiperbolik titik 𝑧1 = 8 + 4𝑖 dan 𝑧2 = 8𝑖 jika 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℍ !

Penyelesaian:

Gambar 3.9 Ilustrasi Contoh 3.1

Gradien dari ruas garis Euclides yang menghubungkan 𝑧1 dan 𝑧2 adalah

4 − 8

8 − 0= −

1

2

Titik tengah antara 𝑧1 dan 𝑧2 mempunyai koordinat

(0 + 8

2,8 + 4

2) = (4,6) atau 4 + 6𝑖.

Garis Euclides yang melalui titik tengah 𝑧1 dan 𝑧2 dan tegak lurus ruas garis

Euclides yang menghubungkan 𝑧1 dan 𝑧2 adalah

𝑦 − 6 = 2(𝑥 − 4),


58

sehingga diperoleh titik pusat lingkaran Euclides yang melalui 𝑧1 dan 𝑧2 adalah

𝑐 = 1 (Gambar 3.9).

Karena panjang garis Euclides yang menghubungkan c ke 𝑧1dan c ke 𝑧2 adalah

jari-jari lingkaran Euclides, maka

𝑟 = 𝑑(𝑐, 𝑧1) = 𝑑(𝑐, 𝑧2) = √(8 − 1)2 − (4 − 0)2 = √65

Berdasarkan Proposisi 3.9 jarak hiperbolik antara titik 𝑧1 dan 𝑧2 adalah

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln |𝑦2(𝑥1 − 𝑐 − 𝑟)

𝑦1(𝑥2 − 𝑐 − 𝑟)|| = |ln |

8(8 − 1 − √65)

4(−1 − √65)||

~|−1.450| = 1,450

Jadi jarak hiperbolik antara 𝑧1 dan 𝑧2 adalah sekitar 1,450.

Setelah membahas mengenai jarak hiperbolik, akan dilanjutkan tentang

transformasi M��bius pada bidang setengah atas ℍ.

E. Transformasi M��bius di ℍ

Pada geometri Euclides transformasi yang mempertahankan panjang serta

sudut adalah translasi, rotasi, dan refleksi; sedangkan pada geometri hiperbolik,

transformasi yang digunakan adalah transformasi M��bius. Transformasi

M��bius pada geometri hiperbolik adalah transformasi yang dapat

mempertahankan jarak atau panjang hiperbolik, serta besar sudut hiperbolik.

Transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ, didefinisikan sama seperti

transformasi M��bius pada Riemann sphere ℂ yang akan diberikan pada

Teorema 3.10. Sebelum mendefinisikan transformasi M��bius di ℍ, terlebih

dahulu akan dibuktikan proposisi berikut.


59

Proposisi 3.9 (Olsen, 2010: 20)

Transformasi M��bius 𝑓(𝑧) =𝑎𝑧+𝑏

𝑐𝑧+𝑑 dengan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 memetakan ℝ ke ℝ

jika dan hanya jika koefisien a, b, c, dan d ∈ ℝ.

Bukti:

Misalkan sumbu real ℝ dengan (ℝ = ℝ ∪ {∞}). Diasumsikan 𝑓(ℝ) = ℝ. Ini

berimplikasi untuk f memetakan tiga titik di ℝ (𝑞1, 𝑞2, 𝑞3) ke tiga titik di ℝ

(𝑟1, 𝑟2, 𝑟3), diasumsikan ketiganya berhingga. Sehingga dua cross ratio untuk f

adalah

(𝑤, 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3) = (𝑧, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3),

maka diperoleh

(𝑧 − 𝑞1)(𝑞2 − 𝑞3)

(𝑧 − 𝑞3)(𝑞2 − 𝑞1)=

(𝑤 − 𝑟1)(𝑟2 − 𝑟3)

(𝑤 − 𝑟3)(𝑟2 − 𝑟1).

Elemen transformasi M��bius yaitu 𝑤 = 𝑓(𝑧) diperoleh dengan mengubah

kedua ruas hingga membentuk 𝑤 = 𝑓(𝑧) dengan koefisien real karena

𝑞1, 𝑞2, 𝑞3,𝑟1, 𝑟2, dan 𝑟3 ∈ ℝ.

Salah satu titik (𝑞1, 𝑞2, 𝑞3) adalah titik ∞ maka f dapat dilihat pada persamaan

(2.21).


Selanjutnya, diberikan teorema tentang transformasi M��bius di setengah

bidang atas ℍ yang digunakan sebagai definisi. Teorema ini adalah kekhususan


60

dari definisi transformasi M��bius secara umum. Teorema tentang transformasi

M��bius pada setengah bidang atas ℍ disajikan sebagai berikut.


Transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ didefinisikan sebagai

fungsi 𝑚: ℍ → ℍ sebagai berikut.

𝑚(𝑧) =𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0.

Bukti:

Karena ℝ adalah batas di tak hingga dari ℍ dan berdasarkan Proposisi 3.11

bahwa f memetakan ℝ ke ℝ maka dapat dipilih


𝑐𝑧 + 𝑑, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ,

sehingga diperoleh


𝑐𝑧 + 𝑑

=𝑎𝑧 + 𝑏

|𝑐𝑧 + 𝑑|2(𝑐𝑧 + 𝑑)

=1

|𝑐𝑧 + 𝑑|2(𝑎𝑐|𝑧|2 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑧 + 𝑎𝑑𝑧),

serta diperoleh

𝐼𝑚(𝑓(𝑧)) = 𝐼𝑚 (𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑) = 𝐼𝑚 (

1

|𝑐𝑧 + 𝑑|2(𝑎𝑐|𝑧|2 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑧 + 𝑎𝑑𝑧))

= 𝐼𝑚 (1

|𝑐𝑧 + 𝑑|2(𝑏𝑐(−𝑦) + 𝑎𝑑(𝑦)))


61

=𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

|𝑐𝑧 + 𝑑|2𝐼𝑚(𝑧). (3.1)

Persamaan 3.1 berlaku dalam ℍ jika dan hanya jika 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0.

Jadi, Teorema 3.10 terbukti. QED.

Selanjutnya akan diberikan teorema-teorema lain yang menunjukkan sifat-sifat

transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ sebagai berikut.


Setiap elemen transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ memetakan

garis hiperbolik di ℍ ke garis hiperbolik di ℍ.

Bukti:

Berdasarkan fakta bahwa transformasi M��bius di ℂ mempertahankan lingkaran

di ℂ, serta bahwa garis hiperbolik di ℍ adalah perpotongan lingkaran di ℂ

dengan ℍ, dan Teorema 3.11. maka setiap elemen transformasi M��bius pada

setengah bidang atas ℍ memetakan garis hiperbolik di ℍ ke garis hiperbolik di

ℍ.

Jadi dapat disimpulkan bahwa transformasi M��bius di ℍ mempertahankan

garis hiperbolik di ℍ. QED.

Teorema 3.12 (Chang, 2010: 2)

Transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ mempertahankan panjang

hiperbolik.


62

Bukti:

Diberikan sebarang titik 𝑧 ∈ ℍ dan transformasi M��bius di ℍ yaitu 𝑚(𝑧) =

𝑤 =𝑎𝑧+𝑏

𝑐𝑧+𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0. Akan ditunjukkan bahwa

|𝑑𝑤|

𝐼𝑚(𝑤)=

|𝑑𝑧|

𝐼𝑚(𝑧) atau

|𝑑𝑤|

|𝑑𝑧|=

𝐼𝑚(𝑤)

𝐼𝑚(𝑧) diperoleh dari definisi jarak hiperbolik.

|𝑑𝑤|

|𝑑𝑧|=

|(𝑐𝑧 + 𝑑)𝑎 − (𝑎𝑧 + 𝑏)𝑐

(𝑐𝑧 + 𝑑)2 |

1= |

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

(𝑐𝑧 + 𝑑)2| =


|𝑐𝑧 + 𝑑|2. (3.2)

Kita juga mendapatkan

𝑤 =𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑.𝑐𝑧 + 𝑑

𝑐𝑧 + 𝑑

=(𝑎𝑧 + 𝑏)(𝑐𝑧 + 𝑑)

|𝑐𝑧 + 𝑑|2

=𝑎𝑐|𝑧|2 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑𝑧 + 𝑏𝑐𝑧

|𝑐𝑧 + 𝑑|2,

sehingga

𝐼𝑚(𝑤) =(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑦

|𝑐𝑧 + 𝑑|2,

dan

𝐼𝑚(𝑤)

𝐼𝑚(𝑧)=

(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑦|𝑐𝑧 + 𝑑|2

𝑦=


|𝑐𝑧 + 𝑑|2 (3.3)

Persamaan (3.2) dan (3.3) sama maka Teorema 3.12 terbukti. QED.

Teorema 3.13

Transformasi M��bius pada setengah bidang atas ℍ konformal.


63

Bukti:

Berdasarkan Teorema 3.12, serta sudut hiperbolik adalah sudut antara dua

lingkaran di ℂ, dan transformasi M��bius di ℂ, maka Transformasi M��bius pada

setengah bidang atas ℍ juga konformal. QED.


64

BAB IV



A. Definisi Konvek pada Geometri Hiperbolik

Suatu daerah geometri Euclides diartikan sebagai daerah konvek jika

untuk setiap segmen garis yang menghubungkan sembarang titik pada area

tersebut tidak memuat titik lain di luar area tersebut. Pada bidang kompleks ℂ,

kekonvekan dapat disajikan sebagai berikut.

Z adalah suatu daerah konvek jika untuk setiap pasang titik berbeda 𝑧0 dan

𝑧1 pada Z, maka titik 𝑧𝑡 = (1 − 𝑡)𝑧0 + 𝑡𝑧1 untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 juga pada Z

(Anderson, 2005: 146).

Namun, untuk poligon Euclides konvek memiliki besar sudut dalam tidak lebih

dari 𝜋.

Pada geometri hiperbolik di setengah bidang atas ℍ juga mencoba

memuat ide tersebut namun dengan penyesuaian. Kekonvekan pada geometri

hiperbolik di setengah bidang atas ℍ menggunakan pendekatan ruas garis dalam

suatu wilayah yang didefinisikan sebagai berikut.


Suatu himpunan X pada bidang hiperbolik adalah konvek jika untuk setiap

pasang titik berbeda x dan y dalam X, maka segmen garis hiperbolik ℓ𝑥𝑦 yang

menghubungkan x dan y juga termuat dalam X (Gambar 4.1)


65

Gambar 4.1 Segmen-segmen Garis pada X di ℍ

Titik-titik pada segmen garis dalam geometri Euclides dapat ditentukan oleh

suatu parameter seperti yang telah disajikan sebelumnya, namun hal tersebut

sukar dilakukan pada model geometri hiperbolik. Pada setengah bidang atas ℍ

menemukan parameter yang bagus dari segmen garis hiperbolik yang

menghubungkan sembarang dua titik amat sulit dilakukan.

Berdasarkan definisi 4.1 kekonvekan dapat ditentukan berdasarkan segmen garis

hiperbolik, hal ini berakibat kekonvekan dipertahankan oleh suatu transformasi

yang mempertahankan panjang garis dan sudut; sehingga, jika X adalah

himpunan konvek dalam bidang hiperbolik dan jika 𝛾 adalah sebuah suatu

transformasi yang mempertahankan panjang garis dan sudut di bidang

hiperbolik, maka 𝛾(𝑋) juga konvek.

Berikut akan diberikan suatu postulat yang menyatakan bahwa garis-

garis hiperbolik adalah konvek. Kekonvekan terjadi baik untuk segmen garis,

sinar garis, dan garis hiperbolik di bidang hiperbolik termasuk juga di setengah

bidang atas ℍ. Proposisi tersebut disajikan sebagai berikut.


66


Garis hiperbolik, sinar garis hiperbolik, dan segmen garis hiperbolik adalah

konvek.

Gambar 4.2 : (a) garis hiperbolik di ℍ, (b) sinar garis hiperbolik di ℍ,

(c) segmen garis hiperbolik di ℍ

Bukti:

Misalkan ℓ adalah garis hiperbolik dan misalkan x dan y adalah dua titik pada

ℓ (Gambar 4.2a). Berdasarkan Proposisi sebelumnya yang menyatakan bahwa

untuk setiap dua titik berbeda di ℍ terdapat garis hiperbolik tertentu yang

melalui dua titik tersebut, x dan y dilalui suatu garis hiperbolik, yaitu ℓ , dan

sehingga segmen garis ℓ𝑥𝑦 menghubungkan x ke y termuat dalam ℓ. Oleh karena

itu ℓ konvek.

(a) (b)

(c)


67

Misalkan ℓ𝑎 adalah sinar garis hiperbolik dengan pangkal di a, dan x dan y

adalah dua titik pada ℓ𝑎 (Gambar 4.2b). Sesuai dengan alasan sebelumnya, maka

terdapat segmen garis ℓ𝑥𝑦 yang menghubungkan x ke y termuat dalam ℓ. Oleh

karena itu k konvek

Misalkan ℓ𝑎𝑏 adalah segmen garis hiperbolik yang menghubungkan titik a ke

titik b dan misalkan titik c dan d terdapat pada segmen garis ℓ𝑎𝑏 (Gambar 4.2c).

Sesuai dengan alasan sebelumnya, maka terdapat segmen garis ℓ𝑐𝑑 yang

menghubungkan titik c ke d termuat dalam ℓ𝑎𝑏. Oleh karena itu ℓ𝑎𝑏 konvek.

QED.

Selanjutnya, bila dilihat dari definisi kekonvekan pada geometri

hiperbolik, cukup sukar untuk menentukan suatu bangun datar tersebut konvek

atau tidak. Hal ini juga berlaku pada geometri Euclides. Pada geometri Euclides,

poligon konvek memiliki besar sudut interior tidak lebih dari 𝜋. Hal tersebut juga

dipakai pada poligon hiperbolik, sehingga poligon hiperbolik konvek memiliki

besar sudut interior tidak lebih dari 𝜋. Berikut diberikan beberapa contoh poligon

hiperbolik konvek dan poligon hiperbolik konkaf.

Gambar 4.3 (a) Contoh Poligon Hiperbolik Konkaf, dan

(b) Contoh Poligon Hiperbolik Konvek.

(a) (b)


68

B. Segitiga Hiperbolik dan Poligon Hiperbolik

Pada bagian ini akan dibahas mengenai bangun datar yang ada pada

geometri hiperbolik. Dimulai dengan bangun datar yang paling sederhana yaitu

segitiga. Segitiga hiperbolik adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga segmen

garis hiperbolik, sinar garis hiperbolik, ataupun garis hiperbolik yang saling

berhimpit pada titik sudut maupun pada titik ideal.

Gambar 4.4 Jenis-jenis Segitiga Hiperbolik di ℍ

Terdapat empat jenis segitiga hiperbolik berdasarkan dari titik sudut

maupun sisi-sisinya (Gambar 4.4). Rincian dari jenis-jenis segitiga hiperbolik

yang disajikan pada setengah bidang atas ℍ adalah sebagai berikut.

1. Pada gambar 4.4.a adalah segitiga hiperbolik yang ketiga sisinya

merupakan segmen garis hiperbolik dan ketiga titik sudutnya bukan titik

sudut ideal.

2. Pada gambar 4.4.b nampak bahwa segitiga tersebut memiliki satu titik

sudut ideal dan dua titik sudut tak ideal, serta terbentuk dari satu segmen

(a) (b) (c) (d)


69

garis hiperbolik dan dua sinar garis hiperbolik, segitiga hiperbolik

tersebut disebut segitiga omega.

3. Pada gambar 4.4.c adalah segitiga yang memiliki dua titik sudut ideal dan

satu titik sudut tak ideal, serta terbentuk dari dua sinar garis hiperbolik

dan garis hiperbolik.

4. Pada gambar 4.4.d adalah segitiga yang memiliki tiga titik sudut ideal

yang disebut sebagai segitiga hiperbolik ideal.

Segitiga hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ yang tidak memiliki titik

sudut ideal dapat diubah ke posisi standar, misalkan segitiga hiperbolik P dengan

tiga titik sudut 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 dikatakan pada posisi standar jika titik sudut segitiga

hiperbolik P memiliki koordinat (𝑣1 = 𝑘𝑖), (𝑣2 = 𝑠 + 𝑡𝑖), (𝑣3 = 𝑖) di mana 𝑘 >

1 dan 𝑠 > 0 (Gambar 4.5.a). Segitiga hiperbolik dalam posisi standar dibahas

pada proposisi berikut ini.


Setiap segitiga hiperbolik (tidak memiliki titik sudut ideal) dapat diubah ke

dalam posisi standar dengan transformasi M��bius hiperbolik.


70

Gambar 4.5 (a) Segitiga Hiperbolik pada Posisi Standar

(b) Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 1 Proposisi 4.4

(c) Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 2 Proposisi 4.4

(d) Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Kasus 3 Proposisi 4.4

Bukti :

Diberikan transformasi M��bius di setengah bidang atas ℍ yaitu


𝑐𝑧 + 𝑑, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ

(a) (b)

(c) (d)

P

P

P

P


71

a. Kasus 1: Jika segitiga hiperbolik 𝑃 dengan titik-titik sudut (𝑣1 = 𝑘𝑖),

(𝑣2 = 𝑠 + 𝑡𝑖), (𝑣3 = 𝑖) di mana 0 < 𝑘 < 1 dan 𝑠 > 0 (Gambar 4.5.b).

Dipilih transformasi M��bius 𝑚1(𝑧) =𝑧

|𝑧|2 , sehingga diperoleh

𝑚1(𝑘𝑖) =𝑘𝑖

|𝑘|2=

𝑖

𝑘,

dengan 1

𝑘> 1, karena 0 < 𝑘 < 1,

𝑚1(𝑠 + 𝑡𝑖) =𝑠 + 𝑡𝑖

|√𝑠2 + 𝑡2|2 =

𝑠

𝑠2 + 𝑡2+

𝑡

𝑠2 + 𝑡2𝑖,

dengan 𝑠

𝑠2+𝑡2 > 0, dan

𝑚1(𝑖) =𝑖

|1|2= 𝑖.

Jadi, segitiga hiperbolik tersebut telah dalam posisi standar.

b. Kasus 2: Jika segitiga hiperbolik 𝑃 dengan titik-titik sudut (𝑣1 = 𝑘𝑖),

(𝑣2 = −𝑠 + 𝑡𝑖), (𝑣3 = 𝑝𝑖) di mana 𝑝, 𝑘 > 0 dan 𝑠 > 0 (Gambar 4.5.c).

Dengan memilih transformasi M��bius 𝑚2(𝑧) = 𝑧 − 2𝑅𝑒(𝑧) diperoleh

(𝑚2(𝑣1) = 𝑘𝑖), (𝑚2(𝑣2) = 𝑠 + 𝑡𝑖), (𝑚2(𝑣3) = 𝑝𝑖) , selanjutnya dipilih

transformasi M��bius 𝑚3(𝑧) =𝑝𝑧

|𝑧|2 diperoleh

𝑚3(𝑘𝑖) =𝑝𝑘𝑖

|𝑘|2=

𝑝𝑖

𝑘

dengan 𝑝

𝑘> 0,

𝑚3(𝑠 + 𝑡𝑖) =𝑝(𝑠 + 𝑡𝑖)

|√𝑠2 + 𝑡2|2 =

𝑝𝑠

𝑠2 + 𝑡2+

𝑝𝑡

𝑠2 + 𝑡2𝑖

dengan 𝑝𝑠

𝑠2+𝑡2> 0, dan


72

𝑚3(𝑝𝑖) =𝑝2𝑖

|𝑝|2 = 𝑖.

Jika 𝑝

𝑘> 1, maka segitiga hiperbolik tersebut telah dalam posisi standar. Jika

𝑝

𝑘< 1, maka sama dengan kasus 1 sehingga segitiga hiperbolik tersebut juga

dapat dibawa ke posisi standar.

c. Kasus 3: Jika segitiga hiperbolik 𝑃 dengan titik-titik sudut sembarang.

Diasumsikan salah satu sisi segitiga hiperbolik 𝑃 berada pada busur

lingkaran Euclides atau berada pada garis hiperbolik ℓ. Misalkan titik ideal

garis ℓ di 𝜔1 dan 𝜔2 dengan 𝜔1 ≠ 𝜔2 ≠ 0 maka dengan transformasi

M��bius 𝑚4(𝑧) = 𝑧 + 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ dapat ditransformasikan salah satu titik ideal

garis ℓ menjadi sama dengan 0.

Diperoleh 𝑚4(ℓ) adalah garis hiperbolik dengan titik ideal di 𝜔1 = 0, dan

𝜔2 = 𝑞, maka dengan transformasi M��bius 𝑚5(𝑧) =𝑞|𝑧|2

|𝑧|2−𝑞𝑧 akan

membawa garis hiperbolik 𝑚4(ℓ) menjadi sumbu imajiner. Kita tahu

bahwa garis hiperbolik 𝑚4(ℓ) adalah busur lingkaran Euclides dengan

pusat di 1

2𝑞 dan dengan jari-jari

1

2𝑞, sehingga dapat diambil sembarang titik

di garis hiperbolik 𝑚4(ℓ) yaitu (𝑧𝑘 = (1

2𝑞 + 𝑎) + 𝑐𝑖) dengan 𝑎2 + 𝑐2 =

1

4𝑞2. Ditunjukkan 𝑚5(𝑧𝑘) berada di sumbu imajiner sebagai berikut :

|𝑧𝑘|2 = (1

2𝑞 + 𝑎)

2

+ 𝑐2 =1

4𝑞2 + 𝑞𝑎 + 𝑎2 + 𝑐2 =

1

2𝑞2 + 𝑎𝑞

sehingga,


73

𝑚5(𝑧𝑘) = 𝑞

12 𝑞2 + 𝑎𝑞

12 𝑞2 + 𝑎𝑞 − 𝑞 ((

12 𝑞 + 𝑎) + 𝑐𝑖)

= 𝑞

12 𝑞2 + 𝑎𝑞

12 𝑞2 + 𝑎𝑞 −

12 𝑞2 − 𝑎𝑞 − 𝑞𝑐𝑖

= 𝑞

12 𝑞2 + 𝑎𝑞

−𝑞𝑐𝑖=

(12 𝑞2 + 𝑎𝑞)

𝑐𝑖

Karena (

1

2𝑞2+𝑎𝑞)

𝑐∈ ℝ dan

(1

2𝑞2+𝑎𝑞)

𝑐> 0 maka 𝑚5(𝑧𝑘) berada di sumbu

imajiner positif. Akibatnya garis hiperbolik ℓ berubah menjadi sumbu

imajiner. Dengan begitu segitiga hiperbolik pada kasus 3 dapat dibentuk

pada posisi standar.

Jadi Proposisi 4.4 terbukti. QED.

Selanjutnya, akan dibuktikan salah satu teorema yang paling umum

dalam geometri hiperbolik yaitu yang menyatakan bahwa jumlah sudut dalam

segitiga hiperbolik kurang dari 𝜋. Pertama akan diberikan Proposisi 4.5 yang

digunakan untuk membantu membuktikan teorema tersebut.

Proposisi 4.5 (Stahl. 1993: 98)

Setiap segitiga siku-siku hiperbolik mempunyai jumlah sudut kurang dari 𝜋

Bukti:

Misalkan segitiga hiperbolik P dengan tiga titik 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 dengan besar sudut

bersesuaian 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3, dan misalkan segitiga hiperbolik P siku-siku di 𝑣1

sehingga 𝜃1 =𝜋

2


74

Gambar 4.6 Ilustrasi Segitiga Hiperbolik Siku-Siku di i

a. Kasus pertama untuk sudut di titik 𝑣2, dan 𝑣3 merupakan titik ideal,

sehingga 𝜃2 = 𝜃3 = 0, dan diketahui bahwa 𝜃1 =𝜋

2. Jadi, jumlah sudut

segitiga hiperbolik ∆𝐴𝐵𝐶

𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 =𝜋

2< 𝜋

b. Kasus kedua untuk salah satu sudut 𝑣2 atau 𝑣3 merupakan titik ideal

misalkan titik 𝑣2 ideal maka 𝜃2 = 0 dan 𝜃3 <𝜋

2 karena jika 𝜃3 ≥

𝜋

2 maka

tidak terbentuk suatu segitiga hiperbolik. Jadi, jumlah sudut segitiga

hiperbolik 𝑃

𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 =𝜋

2+ 0 + 𝜃3 <

𝜋

2+

𝜋

2= 𝜋

c. Kasus ketiga untuk segitiga hiperbolik 𝑃 yang tidak memiliki titik sudut

ideal. Berdasarkan Proposisi 4.4 segitiga hiperbolik 𝑃 dapat

ditransformasikan ke posisi standar dengan (𝑚(𝑣1) = 𝑖), (𝑚(𝑣2)𝑘𝑖), dan

(𝑚(𝑣3) = 𝑠 + 𝑡𝑖) seperti gambar 4.6. Diketahui 𝑣1 =𝜋

2, garis hiperbolik ℓ

P


75

yang melalui 𝑣1 dan 𝑣3 adalah busur lingkaran Euclides dengan pusat di 0,

dan garis hiperbolik 𝓀 yang melalui 𝑣2 dan 𝑣3 adalah busur lingkaran

Euclides dengan pusat di −𝑑 dan garis hiperbolik 𝓀 yang melalui 𝑣1 dan

𝑣2 berada adalah sumbu imajiner. Berdasarkan Proposisi 2.5 diperoleh

bahwa besar sudut pada titik sudut −𝑑 adalah 𝜃2 (tipe III), dan besar sudut

antar jari-jari lingkaran pada titik sudut 𝑣3 adalah 𝜃3.

Akan ditunjukkan bahwa 𝜃2 <𝜋

2− 𝜃3. Bukti dengan kontradiksi,

diasumsikan 𝜃2 ≥𝜋

2− 𝜃3benar, karena 𝜃2 dan 𝜃3 adalah sudut lancip maka

sin 𝜃2 ≥ sin (𝜋

2− 𝜃3) = cos 𝜃3

sin 𝜃2 ≥ cos 𝜃3

𝑘

𝑟≥

𝑟2 + 1 − 𝑑2

2𝑟=

𝑘2 + 1

2𝑟

2𝑘 ≥ 𝑘2 + 1

0 ≥ 𝑘2 − 2𝑘 + 1 = (𝑘 − 1)2

Karena 𝑘 > 1 maka (𝑘 − 1)2 > 0. Terjadi kontradiksi, sehingga asumsi

salah. Jadi benar untuk 𝜃2 <𝜋

2− 𝜃3atau 𝜃2 + 𝜃3 <

𝜋

2 . Dapat disimpulkan

jumlah sudut segitiga hiperbolik siku-siku adalah

𝜃2 + 𝜃3 +𝜋

2<

𝜋

2+

𝜋

2= 𝜋.

Berdasarkan kasus 1, 2, dan 3 maka Proposisi 4.5 terbukti. QED.


76

Teorema 4.6 (Stahl. 1993: 99)

Jumlah sudut untuk sebarang segitiga hiperbolik kurang dari 𝜋.

Bukti:

Misalkan segitiga hiperbolik P dengan tiga titik 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 dengan besar sudut

bersesuaian 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3.

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga hiperbolik memiliki tinggi

internal. Misalkan ℓ𝑣1𝑡 adalah tinggi eksternal dari titik 𝑣1 pada segitiga

hiperbolik 𝑃 (Gambar 4.7 (a)), sehingga diperoleh

𝜃2 >𝜋

2 atau 𝜃3 >

𝜋

2.

Misalkan tinggi dari titik 𝑣2 juga external, maka salah satu sudut 𝜃1 dan 𝜃3

haruslah tumpul, maka dari itu dua sudut yang lain haruslah lancip, dan

akibatnya tinggi dari titik sudut tumpul tersebut haruslah internal.

(b)

(a)

Gambar 4.7 Tinggi dari Sembarang Segitiga Hiperbolik


77

Asumsikan sembarang segitiga hiperbolik 𝑃 memiliki tinggi internal ℓ𝑣1𝑡

(Gambar 4.7 (b)). Misalkan 𝛼1 dan 𝛼2 adalah sudut yang terbentuk dari tinggi

internal ℓ𝑣1𝑡 terhadap sudut 𝜃1. Berdasarkan Proposisi 4.5 diperoleh

𝜃2 + 𝛼1 <𝜋

2 dan 𝜃3 + 𝛼2 <

𝜋

2,

akibatnya

𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 = 𝛼1 + 𝜃2 + 𝛼2 + 𝜃3

<𝜋

2+

𝜋

2= 𝜋.

Segitiga hiperbolik yang memiliki titik sudut ideal juga memiliki tinggi internal

sehingga terbukti bahwa jumlah sudut segitiga hiperbolik tersebut juga kurang

dari 𝜋. Sedangkan, segitiga hiperbolik ideal memiliki jumlah sudut 0, sehingga

kurang dari 𝜋. Teorema 4.6 terbukti. QED.

Selanjutnya diberikan teorema mengenai tiga sudut dengan jumlah kurang dari

𝜋 maka dapat terbentuk suatu segitiga hiperbolik. Teorema tersebut diberikan

sebagai berikut.

Teorema 4.7 (Stahl, 1993: 101)

Diberikan sebarang tiga sudut dengan jumlah kurang dari 𝜋, ketiga sudut tersebut

adalah sudut suatu segitiga hiperbolik.

Bukti:

Misalkan 𝛼, 𝛽, 𝛾 adalah tiga sudut positif yang berbeda dan memenuhi 𝛼 + 𝛽 +

𝛾 < 𝜋.


78

Gambar 4.8 Ilustrasi dari Teorema 4.7

a. Kasus pertama, bila 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0, jelas bahwa dapat bentuk suatu

segitiga hiperbolik ideal.

b. Kasus kedua, salah satu dari 𝛼, 𝛽, 𝛾 tidak nol, misalkan 𝛼 ≠ 0, jelas bahwa

dapat dibentuk suatu segitiga hiperbolik dengan dua titik ideal.

c. Kasus ketiga, salah satu dari 𝛼, 𝛽, 𝛾 adalah nol, misalkan 𝛼 = 0, jelas bahwa

dapat dibentuk suatu segitiga hiperbolik dengan satu titik ideal atau segitiga

omega.

d. Kasus empat, untuk 𝛼, 𝛽, 𝛾 > 0.

Misalkan 𝛼, 𝛽, 𝛾 adalah tiga sudut positif sembarang dan memenuhi 𝛼 +

𝛽 + 𝛾 < 𝜋. Misalkan akan dilihat suatu kondisi yang harus dipenuhi untuk

suatu segitiga hiperbolik 𝑃 (tidak memiliki titik ideal) pada posisi standar,

(𝑣1 = 𝑖), (𝑣2 = 𝑘𝑖), dan (𝑣3 = 𝑧0) dengan 𝑅𝑒(𝑧0) > 0, serta sudut-sudut

∠𝑣1 = 𝛼, ∠𝑣2 = 𝛽, dan ∠𝑣3 = 𝛾. Seperti Gambar 4.8, misalkan u dan

P


79

−𝑑 adalah pusat lingkaran Euclides dari sisi ℓ𝑣1𝑣3 dan sisi ℓ𝑣2𝑣3

serta r dan

s sebagai jari-jarinya. Berdasarkan Proposisi 2.5 diperoleh besar sudut di

titik sudut u adalah 𝛼, besar sudut di titik sudut –d adalah 𝛽, dan besar sudut

antara jari-jari s dan r adalah 𝛾.

Menggunakan trigonometri dari segitiga Euclides diperoleh

𝑢 = 𝑟 cos 𝛼

𝑑 = 𝑠 cos 𝛽

(𝑢 + 𝑑)2 = 𝑟2 + 𝑠2 − 2𝑟𝑠 cos 𝛾.

Berdasarkan Teorema Pythagoras didapatkan 𝑟2 = 𝑢2 + 1, sehingga

menghasilkan

𝑟 = csc 𝛼 , dan 𝑢 = cot 𝛼.

Ketika nilai u, r, dan d disubsitusikan ke (3) diperoleh

(cot 𝛼 + 𝑠 cos 𝛽)2 = csc2 𝛼 + 𝑠2 − 2𝑠 cos 𝛾 csc 𝛼

cot2 𝛼 + 2𝑠 cos 𝛽 cot 𝛼 + 𝑠2 cos2 𝛽 = csc2 𝛼 + 𝑠2 − 2𝑠 cos 𝛾 csc 𝛼

𝑠2(1 − cos2 𝛽) − 2𝑠(cos 𝛽 cot 𝛼 + cos 𝛾 csc 𝛼) + csc2 𝛼 − cot2 𝛼 = 0,

dengan fakta bahwa sin2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃 maka

𝑠2(sin2 𝛽) − 2𝑠(cos 𝛽 cot 𝛼 + cos 𝛾 csc 𝛼) + 1 = 0. (4.1)

Persamaan (4.1) merupakan persamaan kuadrat, sehingga segitiga

hiperbolik 𝑃 ditentukan dari nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.

Diskriminan dari persamaan (4.1) adalah

4(cos 𝛽 cot 𝛼 + cos 𝛾 csc 𝛼)2 − 4 sin2 𝛽.


80

Kita akan tunjukkan bahwa diskriminan tersebut positif, sehingga

persamaan (4.1) memiliki penyelesaian di s. Kita tahu bahwa 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 <

𝜋

2 sehingga diperoleh

𝛽 + 𝛼 <𝜋

2− 𝛾.

Fungsi cosinus adalah monoton turun di kuadran I dan kuadran II sehingga

diperoleh

cos(𝛽 + 𝛼) > cos (𝜋

2− 𝛾) = − cos 𝛾

cos 𝛽 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛽 > − cos 𝛾

cos 𝛽 cos 𝛼 + cos 𝛾 > sin 𝛼 sin 𝛽 > 0

cos 𝛽 cot 𝛼 + cos 𝛾 csc 𝛼 > sin 𝛽 > 0

(cos 𝛽 cot 𝛼 + cos 𝛾 csc 𝛼)2 > sin2 𝛽 > 0 (4.2)

Persamaan (4.2) telah menjamin bahwa persamaan (4.1) memiliki

diskriminan positif, sehingga persamaan kuadrat (4.1) tersebut mempunyai

dua akar real untuk 𝛼, 𝛽, 𝛾.


Pada bagian ini akan disajikan salah satu perbedaan mengenai segitiga

Euclides dan segitiga hiperbolik salah satunya adalah konsep segitiga kongruen

yang ada pada geometri Euclides dan geometri hiperbolik. Syarat kongruen

untuk segitiga yang dikemukakan oleh Euclides seperti yang telah dibahas pada

Bab II akan digunakan untuk menentukan kekongruenan segitiga hiperbolik.


81

Teorema 4.8 (Greenberg, 1980: 151)

Pada geometri hiperbolik jika dua segitiga sebangun, maka dua segitiga tersebut

kongruen.

Bukti:

Misalkan 𝑃 dan 𝑄 adalah sembarang segitiga hiperbolik yang saling sebangun.

Misalkan besar tiga sudut 𝑃 adalah 𝛼, 𝛽, 𝛾. Akan dibuktikan bahwa segitiga

tersebut saling kongruen.

a. Kasus pertama, 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 0 maka segitiga tersebut merupakan segitiga

hiperbolik ideal, sehingga sisi-sisinya merupakan garis hiperbolik dengan

panjang ∞. Akibatnya 𝑃 ≅ 𝑄 (SS, SS, SS).

b. Kasus kedua, salah satu sudut 𝛼, 𝛽, 𝛾 tak nol, misal 𝛼 ≠ 0. Segitiga tersebut

adalah segitiga hiperbolik dengan dua titik sudut ideal. Sisi-sisi segitiga

tersebut adalah dua sinar garis hiperbolik dan satu garis hiperbolik, dan fakta

bahwa panjang sinar garis hiperbolik adalah ∞. Akibatnya 𝑃 ≅ 𝑄 (SS, SD,

SS) dari dua sinar garis hiperbolik mengapit sudut 𝛼 maka segitiga tersebut

kongruen.

c. Kasus ketiga, Kasus kedua, salah satu sudut 𝛼, 𝛽, 𝛾 adalah nol, misal 𝛼 =

0. Segitiga tersebut adalah segitiga hiperbolik dengan satu titik sudut ideal.

Sisi-sisi segitiga tersebut adalah dua sinar garis hiperbolik dan satu segmen

garis hiperbolik, dan fakta bahwa panjang sinar garis hiperbolik adalah ∞.

Akibatnya 𝑃 ≅ 𝑄 (SD, SS, SD) dari sudut 𝛼 dan sudut 𝛽 mengapit satu sinar

garis hiperbolik maka segitiga tersebut kongruen.


82

d. Kasus empat, untuk segitiga hiperbolik yang tidak memiliki titik sudut ideal.

Misalkan segitiga hiperbolik 𝑃 pada posisi standar (Gambar 4.7) dengan

𝑣1 = 𝑖 dan 𝑣2 = 𝑖 (𝑠1 sin 𝛽), sehingga panjang hiperbolik sisi ℓ𝑣1𝑣2 adalah

|ln (𝑠1 sin 𝛽

1)| = |ln(𝑠1 sin 𝛽)|.

Misalkan segitiga hiperbolik 𝑄 pada posisi standar (Gambar 4.7) dengan

𝑤1 = 𝑖 dan 𝑤2 = 𝑖 (𝑠2 sin 𝛽), sehingga panjang hiperbolik sisi ℓ𝑤1𝑤2

adalah

|ln (𝑠2 sin 𝛽

1)| = |ln(𝑠2 sin 𝛽)|.

Karena 𝑠1 dan 𝑠2 diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat (4.1) yang

koefisiennya hanya dipengaruhi oleh 𝛼, 𝛽, 𝛾, maka 𝑠1 dan 𝑠2 adalah akar-

akar persamaan (4.1) sehingga diperoleh

𝑠1𝑠2 =1

sin2 𝛽

𝑠2 sin 𝛽 =1

𝑠1 sin 𝛽,

dengan fakta bahwa |ln (1

𝑥)| = |ln 𝑥| sehingga

|ln(𝑠2 sin 𝛽)| = |ln (1

𝑠1 sin 𝛽)| = |ln(𝑠1 sin 𝛽)|

atau panjang hiperbolik sisi ℓ𝑤1𝑤2 sama dengan panjang hiperbolik sisi

ℓ𝑣1𝑣2. Akibatnya 𝑃 ≅ 𝑄 (SD,SS,SD). QED.


83

Setelah membahas tentang segitiga hiperbolik, akan dilanjutkan untuk

bangun datar lain yang juga terdapat pada geometri Euclides yaitu poligon.

Segitiga merupakan bentuk paling sederhana dari poligon karena hanya dibatasi

oleh tiga segmen garis (dalam segitiga hiperbolik dapat dibatasi oleh sinar garis

ataupun garis). Dengan batas atau sisi yang lebih banyak, akan diselidiki poligon

dalam geometri hiperbolik dengan mengambil sifat-sifat dalam geometri

Euclides.

Pada geometri Euclides, poligon merupakan salah satu objek dasar yang

dipelajari. Alexander dan Koeberlein (2014) menyatakan bahwa poligon adalah

bangun tertutup yang sisi-sisinya berpotongan hanya pada titik ujung. Menurut

Moise (1990) poligon didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 4.9 (Moise, 1990: 184)

Suatu daerah poligon adalah bangun bidang yang dapat diekspresikan sebagai

gabungan dari daerah segitiga yang terbatas jumlahnya, sehingga jika dua daerah

segitiga beririsan, irisannya adalah suatu batas atau titik sudut dari daerah

segitiga tersebut.

Definisi 4.9 juga digunakan dalam geometri hiperbolik dalam

mendefinisikan poligon hiperbolik. Pada Gambar 4.9 nampak bahwa poligon

hiperbolik dapat dibentuk dari daerah-daerah segitiga hiperbolik yang berbeda,

di mana segitiga hiperbolik tersebut saling berhimpitan pada sisinya atau saling

berhimpitan di titik sudutnya. Ketika melakukan pembagian daerah poligon

hiperbolik ke dalam segitiga-segitiga hiperbolik tidak ada langkah khusus yang

mengaturnya.


84

Gambar 4.9 Ilustrasi Poligon Hiperbolik Berdasarkan Definisi

Pada skripsi ini hanya akan dibahas mengenai poligon hiperbolik konvek,

sehingga besar sudut dalam tiap titik sudut poligon hiperbolik kurang dari 𝜋.

Namun akan tetap dibahas mengenai definisi luas hiperbolik untuk sembarang

area pada setengah bidang atas ℍ.

C. Definisi Luas Hiperbolik

Pada setengah bidang atas ℍ panjang suatu lintasan 𝐶1 ditentukan oleh

elemen panjang busur 1

𝐼𝑚(𝑧)|𝑑𝑧|. Luas hiperbolik pada setengah bidang ℍ

mengambil pendekatan integral dari persegi menggunakan elemen panjang

busur. Pada setengah bidang ℍ luas daerah X didefinisikan sebagi berikut:


Luas hiperbolik 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑋) dari himpunan X di ℍ diberikan


𝐼𝑚(𝑧)2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

= ∫1

𝑦2𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

dengan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

Apakah definisi tersebut dapat digunakan sebagai ukuran luas suatu daerah

atau tidak?. Hal tersebut akan diuji dengan beberapa aksioma mengenai luas


85

suatu daerah. Pada geometri Euclides terdapat beberapa aksioma dalam

mendefinisikan konsep luas yaitu (Stahl, 1993: 110):

1. Keberadaan : Setiap poligon memiliki luas yang tak negatif.

2. Invarian : Poligon kongkruen dengan daerah tertutup memiliki luas yang

sama

3. Additiviti : Jika daerah poligon R adalah gabungan dari dua daerah

poligon S dan T yang berhimpitan pada batasnya, maka luas R sama

dengan hasil jumlahan luas S dan T.

4. Persegi panjang : Luas persegi panjang adalah hasil kali dari panjang

dan lebar.

Namun, pada aksioma-aksioma tersebut terdapat konsep persegi yang tidak

dapat disajikan dalam geometri hiperbolik, sehingga aksioma tersebut tidak

dapat diterapkan pada geometri hiperbolik.

Definisi yang lebih umum dan logis untuk setiap daerah termuat secara

aksiomatis dalam Pengertian Umum (Bab II). Euclides mengasumsikan bahwa

gagasan yang logis untuk luas itu ada, dengan kelogisan gagasan tersebut dibuat

tepat dengan persyaratan Pengertian Umum. Aksioma inilah yang digunakan

untuk mendasari ketepatan definisi luas hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ.

Pembuktian definisi luas hiperbolik pada model setengah atas ℍ memenuhi

kaidah Pengertian Umum diberikan sebagai berikut.

a. Pengertian Umum 1 hanya mensyaratkan bahwa dua daerah yang memiliki

luas hiperbolik yang sama dengan daerah ketiga memiliki luas hiperbolik

yang sama satu sama lain. Hal ini jelas karena bila R, S, T adalah suatu


86

daerah sehingga 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) = 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇) dan 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆) = 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑇) maka

dengan kaidah logika dasar diperoleh bahwa 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) = 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆).

b. Pengertian Umum 2 menetapkan bahwa ketika sesuatu yang sama

ditambahkan dengan sesuatu yang sama maka hasilnya akan sama. Dapat

dijelaskan bahwa yang dimaksudkan oleh Euclides, penambahan adalah di

mana dua poligon dijajarkan sehingga saling berhimpitan pada batas-

batasnya. Jika R dan S adalah dua daerah dan 𝑅 ∪ 𝑆 adalah gabungannya,

maka persamaan umum integralnya adalah

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅 ∪ 𝑆) = ∫𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦2𝑅∪𝑆

= ∫𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦2𝑅

+ ∫𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦2𝑆

= 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) + 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆).

c. Pengertian Umum 3 yang menyatakan bahwa ketika sesuatu yang sama

dikurangkan dengan sesuatu yang sama maka hasilnya akan sama. Dapat

didapatkan dengan cara yang sama dengan Pengertian Umum 2. Jika R dan

S adalah dua daerah dan 𝑅 − 𝑆 adalah selisihnya, dengan R tidak lebih kecil

daripada S maka persamaan umum integralnya adalah

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅 − 𝑆) = ∫𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦2𝑅−𝑆


𝑦2𝑅

− ∫𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦2𝑆

= 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) − 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆).

d. Pengertian Umum 4 menetapkan bahwa daerah yang kongruen memiliki

luas yang sama. Hal ini dapat ditunjukkan dengan kenyataan bahwa daerah

hiperbolik invarian (panjang dan sudut tetap) terhadap transformasi M��bius


87

sehingga mempertahankan bentuknya. Misalkan R adalah sebarang daerah

hiperbolik dan R’ adalah hasil transformasi dari R. Misalkan sembarang titik

di R adalah 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 dengan transformasi M��bius 𝑚(𝑧) =𝑎𝑧+𝑏

𝑐𝑧+𝑑, dengan

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 1 maka


𝑐𝑧 + 𝑑=

(𝑎𝑧 + 𝑏)(𝑐𝑧 + 𝑑)

(𝑐𝑧 + 𝑑)(𝑐𝑧 + 𝑑)

=𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑐𝑦2 + 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑎𝑑𝑥

(𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2+ 𝑖

𝑦

(𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2.

Misalkan 𝑚(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑔(𝑥, 𝑦) maka akan di cari 𝑑𝑚(𝑧)

𝑑𝑥𝑑𝑦.

Menggunakan Jacobian diperoleh

𝑑𝑚(𝑧)

𝑑𝑥𝑑𝑦=

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑔

𝜕𝑦−

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑔

𝜕𝑥=

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 − 𝑐2𝑦2)2 + 4𝑐2𝑦2(𝑐𝑥 + 𝑑)

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)4

=(𝑐𝑥 + 𝑑)4 − 2𝑐2𝑦2(𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑐4𝑦4 + 4𝑐2𝑦2(𝑐𝑥 + 𝑑)

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)4

=(𝑐𝑥 + 𝑑)4 + 2𝑐2𝑦2(𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑐4𝑦4

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)4

=((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)4

=1

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2,

sehingga diperoleh

𝑑𝑚(𝑧) =1

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2𝑑𝑥 𝑑𝑦.


88

Berdasarkan uraian di atas dapat ditentukan luas R’ yaitu

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅′) = ∫𝑑𝑚(𝑧)

𝐼𝑚(𝑚(𝑧))2

𝑅′

= ∫((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2

𝑦2𝑑𝑚(𝑧)

𝑅′

= ∫((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2

𝑦2.

1

((𝑐𝑥 + 𝑑)2 + 𝑐2𝑦2)2𝑅

𝑑𝑥 𝑑𝑦


𝑦2𝑅

= 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅),

sehingga nampak bahwa definisi tersebut memenuhi Pengertian Umum 4.

Akibat dari Pengertian Umum 4 ini adalah bahwa transformasi M��bius

mempertahankan luas daerah hiperbolik.

e. Pengertian Umum 5 menetapkan bahwa keseluruhan lebih besar daripada

bagian. Jika 𝑅 ∪ 𝑆 adalah suatu daerah, maka berdasarkan Pengertian

Umum 3 diperoleh

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅 ∪ 𝑆) = 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅) + 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆)

karena luas daerah tidak negatif maka diperoleh

𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅 ∪ 𝑆) > 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑆), 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅 ∪ 𝑆) > 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑅)

Terbukti bahwa keseluruhan lebih besar dari pada bagian.

Setelah terbukti bahwa definisi luas hiperbolik memenuhi Pengertian Umum,

maka definisi tersebut valid untuk digunakan. Berikut adalah contoh penggunaan

definisi luas hiperbolik untuk mencari luas hiperbolik pada suatu daerah di ℍ.


89

Contoh 4.1:

Area X di ℍ dibatasi oleh tiga garis Euclides {𝑧 ∈ ℍ |𝑅𝑒(𝑧) = −1},

{𝑧 ∈ ℍ |𝑅𝑒(𝑧) = 1}, dan {𝑧 ∈ ℍ |𝐼𝑚(𝑧) = 1} (Gambar 4.1). Perhatikan bahwa

{𝑧 ∈ ℍ |𝐼𝑚(𝑧) = 1} bukan garis hiperbolik , daerah X bukan poligon

hiperbolik, meskipun konvek.

Gambar 4.10 Ilustrasi Contoh 4.1

Jawab:

Luas hiperbolik X adalah


𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

= ∫ ∫1

𝑦2𝑑𝑦

∞

1

1

−1

𝑑𝑥 = ∫ (0 − (−1)1

−1

𝑑𝑥

= ∫ 11

−1

𝑑𝑥 = 2

Jadi luas hiperbolik daerah X adalah 2.

Contoh 4.2:

Untuk 𝑠 > 0, misalkan 𝑋𝑠 adalah daerah di ℍ yang dibatasi oleh tiga garis

Euclides {𝑧 ∈ ℍ |𝑅𝑒(𝑧) = −1}, {𝑧 ∈ ℍ |𝑅𝑒(𝑧) = 1}, dan {𝑧 ∈ ℍ |𝐼𝑚(𝑧) = 𝑠}.

Hitunglah luas 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑋𝑠)!


90

Jawab:

Luas hiperbolik Xs adalah

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑋𝑠) = ∫1

𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋𝑠

= ∫ ∫1

𝑦2𝑑𝑦

∞

𝑠

1

−1

𝑑𝑥 = ∫ (0 − (−1

𝑠)

1

−1

𝑑𝑥

= ∫1

𝑠

1

−1

𝑑𝑥 =2

𝑠

Jadi luas hiperbolik daerah 𝑋𝑠 adalah 2

𝑠.

Definisi luas hiperbolik beserta contoh penggunaannya telah dibahas pada

bagian ini. Selanjutnya akan dibahas luas poligon hiperbolik serta contoh dalam

mencari luas poligon hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ.

D. Luas Poligon Hiperbolik

Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa transformasi M��bius

mempertahankan luas suatu daerah pada setengah bidang atas ℍ, sehingga untuk

menghitung luas hiperbolik untuk himpunan daerah yang lebih sederhana seperti

poligon hiperbolik akan lebih mudah. Akan dibahas secara bertahap dari bentuk

poligon hiperbolik paling sederhana yaitu segitiga hiperbolik, serta dilanjutkan

untuk poligon yang lebih umum.

1. Luas Segitiga Hiperbolik

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai luas dari segitiga hiperbolik

akan diberikan suatu istilah pada geometri hiperbolik khususnya pada

segitiga hiperbolik yaitu defek. Defek adalah selisih antara 𝜋 dan jumlah

sudut dalam segitiga. Misalkan suatu segitiga memiliki sudut 𝛼, 𝛽, 𝛾 maka

defek segitiga tersebut adalah Φ = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾). Berdasarkan Teorema


91

4.6 maka defek dari sembarang segitiga hiperbolik adalah positif. Proposisi

yang membahas luas segitiga hiperbolik disajikan sebagai berikut :


Misalkan P adalah segitiga hiperbolik dengan satu titik sudut ideal, dan

misalkan 𝛼2 dan 𝛼3 adalah sudut interior di dua titik sudut lainnya, yang

kemungkinan adalah titik sudut ideal maupun tidak. Sehingga,

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = 𝜋 − (𝛼2 + 𝛼3).

Bukti:

Gambar 4.11 Segitiga Hiperbolik dengan 𝑣1 di ∞

Diberikan P adalah segitiga hiperbolik dengan satu titik sudut ideal 𝑣1, dan

dua titik sudut lainnya 𝑣2 dan 𝑣3 yang bisa saja ideal atau tidak dengan sudut

𝜃 dan 𝜔. Misalkan 𝑚(𝑧) adalah transformasi M��bius yang membawa 𝑣1 ke

∞ (Gambar 4.11) dan membuat ℓ𝑣2𝑣3 adalah garis hiperbolik yang dimuat

dalam lingkaran satuan, sehingga 𝑣2 = ei(π−θ) dan 𝑣3 = eiω. Sehingga luas

segitiga P adalah


92

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = ∫1

𝑦2𝑃

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫1

𝑦2

∞

√1−𝑥2

𝑑𝑦cos (𝜔)

−cos (𝜃)

𝑑𝑥

= ∫1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥

cos (𝜔)

cos (𝜋−𝜃)

.

Disubstitusikan terhadap 𝑥 = cos (𝛽) , maka 𝑑𝑥 = − sin(𝛽) 𝑑𝛽, sehingga

diperoleh

∫1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥

cos(𝜔)

cos(𝜋−𝜃)

= ∫ −sin(𝛽)

√1 − cos2(𝛽)

𝜔

𝜋−𝜃

𝑑𝛽

= ∫ −1𝜔

𝜋−𝜃

𝑑𝛽 = 𝜋 − 𝜔 − 𝜃

Dapat diperhatikan bahwa sudut interior di P pada titik sudut ideal 𝑣1 = ∞

adalah 𝛼1 = 0, sudut interior pada titik sudut 𝑣2 = ei(π−θ) adalah 𝛼2 = 𝜃,

dan sudut interior pada titik sudut 𝑣3 = eiω adalah 𝛼3 = 𝜔. Sehingga

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = 𝜋 − (𝛼2 + 𝛼3)


Berdasarkan proposisi tersebut dapat dikatakan bahwa segitiga

hiperbolik ideal memiliki luas 𝜋 karena setiap sudut segitiga hiperbolik ideal

bernilai 0. Berdasarkan Teorema 4.6 tentang jumlah sudut segitiga

hiperbolik akan disajikan teorema tentang luas segitiga hiperbolik yang

dapat mencakup semua jenis segitiga hiperbolik.

Teorema 4.12 (Stahl, 1993: 114)

Luas segitiga hiperbolik sama dengan defeknya.


93

Bukti:

Misalkan P adalah segitiga hiperbolik dengan sudut interior 𝛼, 𝛽, dan 𝛾.

Akan dibuktikan

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = Φ = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)

Misalkan P adalah segitiga hiperbolik padat dengan titik sudut 𝑣1, 𝑣2, dan

𝑣3. Misalkan 𝛼𝑘 adalah sudut interior di P pada 𝑣𝑘. Misalkan ℓ𝑣1 adalah

sinar garis hiperbolik dari 𝑣1melalui 𝑣2, dan misalkan x adalah titik ujung

di batas tak hingga di l. (Gambar 4.12)

Gambar 4.12 Ilustrasi Teorema 4.12

Segitiga hiperbolik T dengan titik sudut 𝑣1, 𝑣3, dan x memiliki satu titik

sudut ideal di x dan dua titik sudut tak ideal yaitu 𝑣1 dan 𝑣3. Sudut interior

di T pada 𝑣1 adalah 𝛼1 dan pada 𝑣3 adalah 𝛿 dengan 𝛿 > 𝛼3. Sehingga

berdasarkan Proposisi 4.11, luas dari T adalah

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇) = 𝜋 − (𝛼1 + 𝛿). (4.3)

Segitiga hiperbolik T’ dengan titik sudut 𝑣2, 𝑣3, dan x memiliki satu titik

sudut ideal di x dan dua titik sudut tak ideal yaitu 𝑣2 dan 𝑣3. Sudut interior


94

di T pada 𝑣2 adalah 𝜋 − 𝛼2 dan pada 𝑣3 adalah 𝛿 − 𝛼3. Sehingga

berdasarkan Proposisi 4.11, luas dari T’ adalah

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇′) = 𝜋 − (𝜋 − 𝛼2 + 𝛿 − 𝛼3). (4.4)

Karena T adalah gabungan dari T’ dan P, dan karena T’ dan P saling

berhimpitan pada salah satu sisi maka,

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇) = 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇′) + 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃). (4.5)

Subsitusi dari persamaan (4.5), (4.4), dan (4.3) diperoleh

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇) − 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇′)

= 𝜋 − (𝛼1 + 𝛿) − (𝜋 − (𝜋 − 𝛼2 + 𝛿 − 𝛼3))

= 𝜋 − (𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3)

Teorema 4.12 telah terbukti. QED.

Akibat Teorema 4.12

Segitiga hiperbolik kongruen memiliki luas yang sama.

Bukti:

Berdasarkan Teorema 4.8 bahwa segitiga kongruen ditentukan oleh sudut-

sudutnya, maka Segitiga hiperbolik kongruen memiliki luas yang sama.

QED.

Setelah diberikan Teorema 4.12 maka akan lebih mudah dalam mencari luas

segitiga hiperbolik. Diberikan sebuah contoh untuk mencari luas suatu

segitiga hiperbolik sebagai berikut.


95

Contoh 4.3

Diberikan sebuah segitiga hiperbolik P di ℍ dengan titik-titik sudut di i, 4 +

𝑖, 2 + 2𝑖. Hitung luas daerah hiperbolik P dengan menggunakan sudut-

sudut interiornya (Gambar 4.13).

Gambar 4.13 Segitiga Hiperbolik P pada Contoh 4.3

Jawab:

Diketahui 𝑣1 = 𝑖, 𝑣2 = 2 + 2𝑖, dan 𝑣3 = 4 + 𝑖. Misalkan 𝓈𝑗𝑘 adalah sisi di

P yang menghubungkan 𝑣𝑗 dan 𝑣𝑘, misalkan ℓ𝑗𝑘 adalah garis hiperbolik

yang memuat 𝓈𝑗𝑘, dan misalkan 𝐶𝑗𝑘 adalah lingkaran Euclides yang memuat

ℓ𝑗𝑘. Didapatkan bahwa 𝐶12 memiliki pusat di 7

4 dan jari-jari Euclides

√65

4,

𝐶23 memiliki pusat di 9


√65

4, dan 𝐶13 memiliki pusat di

2 dan jari-jari Euclides √5.

Sudut 𝛼 antara 𝐶12 dan 𝐶13 adalah tipe I sehingga diperoleh


96

cos(𝛼) =

6516 + 5 − |

74 − 2 |

2

2√65

4 √5

=18

√325 ,

maka

𝛼~0.0555.

Sudut 𝛽 antara 𝐶23 dan 𝐶13 adalah tipe I sehingga diperoleh

cos(𝛽) =

6516 + 5 − |

94 − 2 |

2

2√65

4 √5

=18

√325 ,

maka

𝛽~0.0555.

Sudut 𝛾 antara 𝐶12 dan 𝐶23 adalah tipe II sehingga diperoleh

− cos(𝛾) = −

6516 +

6516 − |

74 −

94 |

2

2√65

4√65

4

= −126

130 ,

maka

𝛾 ~2.8929.

Oleh karena itu, berdasarkan teorema 4.16 didapatkan

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)

~ 𝜋 − (0.0555 + 0.0555 + 2.8929)

~ 0.1377.

Jadi, luas segitiga hiperbolik P di ℍ adalah sekitar 0.1377.

2. Luas Poligon Hiperbolik

Poligon hiperbolik dapat dibagi ke dalam beberapa segitiga hiperbolik,

hal ini identik dengan poligon di geometri Euclides. Berdasarkan Teorema


97

4.12 dapat dengan dengan mudah ditemukan rumus untuk menghitung luas

poligon hiperbolik. Berikut adalah teorema tentang luas sembarang poligon

hiperbolik konvek.


Diberikan P adalah poligon hiperbolik konvek (sudut dalam poligon tak

lebih dari 𝜋) dengan titik-titik sudut dan titik-titik sudut ideal 𝑣1, … , 𝑣𝑛.

Misalkan 𝛼𝑘 adalah sudut interior di 𝑣𝑘. Maka,

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = (𝑛 − 2)𝜋 − ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

.

Bukti:

Gambar 4.14 Ilustrasi Teorema 4.13

Langkah yang digunakan dalam membuktikan teorema ini adalah dengan

membagi poligon P ke dalam segitiga hiperbolik, menggunakan Teorema

4.12 untuk menghitung setiap segitiga hiperbolik, dan dijumlahkan untuk

mendapat luas poligon P.

Pilih sebuah titik x pada interior P (Gambar 4.14). Karena P konvek,

terdapat segmen garis (atau sinar garis bila 𝑣𝑘 adalah titik sudut ideal) ℓ𝑥𝑣𝑘


98

menghubungkan x ke 𝑣𝑘 yang termuat dalam P. Segmen garis hiperbolik

ℓ𝑥𝑣1, … , ℓ𝑥𝑣𝑛

membagi P menjadi n segitiga 𝑇1, … , 𝑇𝑛.

Segitiga hiperbolik 𝑇𝑘 mempunyai titik sudut x, 𝑣𝑘, dan 𝑣𝑘+1 untuk 1 ≤ 𝑘 ≤

𝑛, di mana terjadi sedikit kurang tepat pada penotasian, sehingga 𝑣𝑛+1 = 𝑣1

dan 𝑇𝑛+1 = 𝑇1.

Misalkan 𝜇𝑘 adalah sudut interior pada 𝑇𝑘 di x, sehingga

∑ 𝜇𝑘

𝑛

𝑘=1

= 2𝜋

Misalkan 𝛽𝑘 adalah sudut interior pada 𝑇𝑘 di 𝑣𝑘, dan misalkan 𝛿𝑘 adalah

sudut interior pada 𝑇𝑘 di 𝑣𝑘+1.

𝛼𝑘+1 = 𝛿𝑘 + 𝛽𝑘+1

Menggunakan Teorema 4.12 didapatkan

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇𝑘) = 𝜋 − (𝜇𝑘 + 𝛿𝑘 + 𝛽𝑘)

Karena gabungan 𝑇1 ∪ … ∪ 𝑇𝑛 sama dengan P dan karena segitiga

hiperbolik 𝑇1 ∪ … ∪ 𝑇𝑛 berhimpit tepat pada sisi-sisinya, sehingga

didapatkan

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = ∑ 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇𝑘)

𝑛

𝑘=1

= ∑[𝜋 − (𝜇𝑘 + 𝛿𝑘 + 𝛽𝑘)]

𝑛

𝑘=1

= 𝑛𝜋 − [∑ 𝜇𝑘

𝑛

𝑘=1

+ ∑ 𝛿𝑘

𝑛

𝑘=1

+ ∑ 𝛽𝑘

𝑛

𝑘=1

]

Karena 𝛼𝑘+1 = 𝛿𝑘 + 𝛽𝑘+1 untuk setiap k, didapatkan

∑ 𝛿𝑘

𝑛

𝑘=1

+ ∑ 𝛽𝑘

𝑛

𝑘=1

= ∑ 𝛼𝑘.

𝑛

𝑘=1


99

Oleh karena itu,

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = ∑ 𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑇𝑘)

𝑛

𝑘=1

= (𝑛 − 2)𝜋 − ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

.

Terbukti. QED.

Setelah diberikan Teorema 4.13 maka akan lebih mudah dalam mencari luas

poligon hiperbolik. Diberikan sebuah contoh untuk mencari luas suatu

poligon hiperbolik sebagai berikut.

Contoh 4.4

Diberikan sebuah poligon hiperbolik P di ℍ dengan titik-titik sudut di i, 1 +

3𝑖, 2 + 3𝑖, dan 4 + 𝑖 (Gambar 4.15). Hitung luas daerah hiperbolik P

dengan menggunakan sudut-sudut interiornya

Gambar 4.15 Poligon Hiperbolik contoh soal 4.4


100

Jawab:

Diketahui 𝑣1 = 𝑖, 𝑣2 = 1 + 3𝑖, 𝑣3 = 2 + 3𝑖, dan 𝑣4 = 4 + 𝑖. Misalkan 𝑠𝑗𝑘

adalah sisi di P yang menghubungkan 𝑣𝑗 dan 𝑣𝑘, misalkan 𝑙𝑗𝑘 adalah garis

hiperbolik yang memuat 𝑠𝑗𝑘, dan misalkan 𝐶𝑗𝑘 adalah lingkaran Euclides

yang memuat 𝑙𝑗𝑘. Didapatkan bahwa 𝐶12 memiliki pusat di 9

2 dan jari-jari

Euclides √85

2, 𝐶23 memiliki pusat di

3


√37

2, 𝐶34 memiliki

pusat di 1 dan jari-jari Euclides √10, dan 𝐶41 memiliki pusat di 2 dan jari-

jari Euclides √5

Sudut 𝛼 antara 𝐶12 dan𝐶41 adalah tipe I sehingga diperoleh

cos(𝛼) =

854 + 5 − |

92 − 2 |

2

2√85

2 √5

=20

5√17 ,

maka

𝛼~0.2449.

Sudut 𝛽 antara 𝐶12 dan 𝐶23 adalah tipe II sehingga diperoleh

− cos(𝛽) = −

854 +

374 − |

92 −

32 |

2

2√85

2√37

2

= −43

√3145 ,

maka

𝛽~2.4446.

Sudut 𝛾 antara 𝐶23 dan 𝐶34 adalah tipe II sehingga diperoleh

− cos(𝛾) = −

374 + 10 − |

32 − 1 |

2

2√37

2 √10

= −19

√370 ,


101

maka

𝛾~2.9850.

Sudut 𝜔 antara 𝐶14 dan 𝐶34 adalah tipe I sehingga diperoleh

cos(𝜔) =5 + 10 − |2 − 1 |2

2√5√10=

7

5√2 ,

maka

𝜔~0.1419.

Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 4.16 didapatkan

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = 2𝜋 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝜔)

~ 2𝜋 − (0.2449 + 2.4446 + 2.9850 + 0.1419)

~2𝜋 − 5.816~0.4668.

Jadi, luas poligon hiperbolik P di ℍ adalah sekitar 0.4668.


102

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas pada pembahasan Bab III

dan Bab IV mengenai model bidang pada geometri hiperbolik (setengah bidang

atas ℍ) dan konsep luas hiperbolik pada bidang tersebut, maka dapat

disimpulkan sebagai berikut.

1. Objek-objek geometri hiperbolik yang direpresentasikan pada model

setengah bidang atas ℍ adalah sebagai berikut.

a. Titik hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ direprsentasikan

sebagai titik Euclides pada bidang kompleks ℂ. Pada geometri

hiperbolik terdapat titik ideal yaitu titik-titik pada sumbu real dan

titik ∞.

b. Garis hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ adalah garis Euclides

yang tegak lurus terhadap sumbu real atau setengah busur lingkaran

Euclides yang berpusat di sumbu real.

c. Segitiga hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ direpresentasikan

sebagai suatu daerah yang dibatasi oleh ruas garis hiperbolik, sinar

garis hiperbolik atau garis hiperbolik. Segitiga hiperbolik memiliki

jumlah sudut kurang dari 𝜋.


103

d. Poligon hiperbolik direpresentasikan seperti poligon pada geometri

Euclides yaitu gabungan dari daerah segitiga hiperbolik yang

terbatas jumlahnya.

2. Konsep-konsep dasar geometri hiperbolik yang disajikan pada model

setengah bidang atas ℍ adalah sebagai berikut.

a. Sudut hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ didefinisikan sebagai

sudut Euclides yang terbentuk dari perpotongan dua garis singgung

lingkaran Euclides.. Dua garis hiperbolik yang berpotongan di titik

ideal memiliki sudut 0.

b. Panjang hiperbolik pada setengah bidang atas ℍ didefinisikan

berbeda dengan geometri Euclides. Lintasan 𝐶1 dengan 𝑓: [𝑎, 𝑏] →

ℍ, panjang hiperbolik 𝑓 didefinisikan

𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎℍ(𝑓) = ∫1

𝐼𝑚(𝑧)𝑓

|𝑑𝑧|.

c. Jarak hiperbolik dari sembarang dua titik 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 =

𝑥2 + 𝑖𝑦2 pada setengah bidang atas ℍ dapat ditentukan

menggunakan

𝑑ℍ(𝑧1, 𝑧2) = |ln |𝑦2(𝑥1 − 𝑐 − 𝑟)

𝑦1(𝑥2 − 𝑐 − 𝑟)||.

3. Luas hiperbolik dari himpunan X di ℍ dapat ditentukan menggunakan


𝐼𝑚(𝑧)2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑋

,

sedangkan luas poligon hiperbolik P konvek (sudut dalam poligon tak

lebih dari 𝜋) dengan besar sudut 𝛼1, … , 𝛼𝑛 dapat diperoleh dari


104

𝑎𝑟𝑒𝑎ℍ(𝑃) = (𝑛 − 2)𝜋 − ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

.

B. Saran

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas pada pembahasan Bab III

dan Bab IV mengenai model bidang pada geometri hiperbolik (setengah bidang

atas ℍ) dan konsep luas hiperbolik pada bidang tersebut, maka hal-hal yang

dapat disarankan peneliti kepada pembaca adalah sebagai berikut.

1. Untuk pembahasan selanjutnya dapat menggunakan model bidang

hiperbolik lain seperti model Poincare disk, model Klein disk, dan model

bidang hiperbolik lainnya.

2. Skripsi ini mengungkap aspek luas pada geometri hiperbolik. Sebenarnya

terdapat konsep-konsep lain yang menarik untuk dibahas, seperti

transformasi untuk objek-objek geometri hiperbolik, trigonometri untuk

geometri hiperbolik, atau kekonvekan objek hiperbolik.


105

DAFTAR PUSTAKA

Alexander, C. Daniel, dan Geralyn M. Koeberlein. 2014. Elementary Geometry for

College Students Sixth Edition. Boston : Cengage Learning.

Anderson, W. James. 2005. Hyperbolic Geometry Second Edition. London :

Springer-Verlag.

Brown, W. James, dan Ruel V. Churchill. 1990. Complex Variables and

Applications 5th Edition. New York: McGraw-Hill

Science/Engineering/Math.

Burton, M. David. 2011. The History of Mathematics: An Introduction, 7th Edition.

New York: McGraw-Hill Science/Engineering/Math.

Cannon, W. James, William J. Floyd, dkk. 1997. Hyperbolic Geometry. California:

MSRI Publisher.

Chang, Albert. 2010. Isometries of The Hyperbolic Plane.

Greenberg, Jay Marvin. 1980. Euclidean and Non-Euclidean Geometries. San

Fransisco : W. H. Freeman and Company.

Krantz, G. Steven. 1999. Handbook of Complex Variables. New York :

Springer+Business Media.

Olsen, John. 2010. The Geometry of M��bius Transformations. New York :

University of Rochester

Purcell, Edwin J. Alih bahasa oleh Drs. I Nyoman Susila, M. Sc., Bana Kartasasmita

Ph. D., Drs. Rawuh, Departemen Matematika Institut Teknilogi

Bandung (ITB) (1987).2001. Calculus with Analytic Geometry,

5𝑡ℎEdition. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Smart, R. James. 1997. Modern Geometries 5th Edition. California : Brooks/Cole

Publishing Company.

Stahl, Saul. 1993. A Gateway do Modern Geometry: The Poincare Half-Plane.

Sudbury : Jones & Bartlett Publisher.

Travers, J. Kenneth, Leroy C. Dalton, Katherine P. Layton. 1987. Geometry.

California: Laidlaw Brothers Publishers.

Wicaksono, Satriyo Singgih. 2015. Luas Pada Geometri Hiperbolik. Skripsi

Universitas Sanata Dharma


luas pada geometri hiperbolik menggunakan … · i luas pada geometri hiperbolik menggunakan model...

Documents