bilangan hiperbolik
TRANSCRIPT
LAPORAN MATEMATIKA TENTANG
DASAR BILANGAN HIPERBOLIK
OLEH
DAUT TABAROK 130533608-298
DHANI KUSUMA TRIADI 130533608-294
GILANG LOVIANINDRA CIPTA 130533608-285
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS TEKNIK
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
PRODI S1 PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA
Desember 2013
Bilangan hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu berubah-
rubah dan membentuk pola yang sama
Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat
banyak sekali namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang
transmisi tenaga listrik Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran
panjang ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan
hiperbolik Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan-
penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan
hasil dari penjumlahan sebuah deret
Persamaan bil kompleks dan hiperbolik
Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial
Yaitu
apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial
Persamaan bilangan kompleks
bila dijumlahkan
hiperbolik ANGKA
Sistem bilangan real dapat diperpanjang dengan cara yang baru Sedangkan
persamaan aljabar x2 - 1 = 0 memiliki solusi bilangan real x = plusmn 1 kita
menganggap keberadaan baru nomor yang u unipotent yang memiliki sifat
aljabar yang u 6 = plusmn 1 tapi u2 = 1 Dalam hal dasar standar 1 u nomor
hiperbolik w 2 IH dapat ditulis dalam bentuk w = x + uy mana x y adalah
nyata angka Dengan demikian angka hiperbolik IH IR [u] hanya nyata
nomor diperluas untuk menyertakan u unipotent dengan cara yang sama
bahwa bilangan kompleks CI IR [i] adalah bilangan real diperluas untuk
mencakup i imajiner
Bilangan hiperbolik
System bilangan real bisa di perluas dengan cara yang baru Padahal
persamaan aljabar x2 minus 1 = 0 punya solusi bilangan real x = plusmn1 kita
asumsikan keberadaan dari angka baru unipotent udimana aljabarnya u neplusmn1
but u2 = 1 Dalam hal standar basis 1 usemua angka hiperbolik w ∊ IH
bisa di tulis dengan bentuk w = x + uy dimana xy adalah bilangan real
Jumlah hiperbolik
|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2
akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2
Dalam rumus di atas akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C
(i2))
dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil
dengan non-negatif
bagian nyata diberikan αβeuroR dari dua nilai
Kita memilih
Di mana
Selanjutnya j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut pertama
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu
berubah-rubah dan membentuk pola yang sama
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan
bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Bilangan hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu berubah-
rubah dan membentuk pola yang sama
Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat
banyak sekali namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang
transmisi tenaga listrik Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran
panjang ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan
hiperbolik Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan-
penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan
hasil dari penjumlahan sebuah deret
Persamaan bil kompleks dan hiperbolik
Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial
Yaitu
apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial
Persamaan bilangan kompleks
bila dijumlahkan
hiperbolik ANGKA
Sistem bilangan real dapat diperpanjang dengan cara yang baru Sedangkan
persamaan aljabar x2 - 1 = 0 memiliki solusi bilangan real x = plusmn 1 kita
menganggap keberadaan baru nomor yang u unipotent yang memiliki sifat
aljabar yang u 6 = plusmn 1 tapi u2 = 1 Dalam hal dasar standar 1 u nomor
hiperbolik w 2 IH dapat ditulis dalam bentuk w = x + uy mana x y adalah
nyata angka Dengan demikian angka hiperbolik IH IR [u] hanya nyata
nomor diperluas untuk menyertakan u unipotent dengan cara yang sama
bahwa bilangan kompleks CI IR [i] adalah bilangan real diperluas untuk
mencakup i imajiner
Bilangan hiperbolik
System bilangan real bisa di perluas dengan cara yang baru Padahal
persamaan aljabar x2 minus 1 = 0 punya solusi bilangan real x = plusmn1 kita
asumsikan keberadaan dari angka baru unipotent udimana aljabarnya u neplusmn1
but u2 = 1 Dalam hal standar basis 1 usemua angka hiperbolik w ∊ IH
bisa di tulis dengan bentuk w = x + uy dimana xy adalah bilangan real
Jumlah hiperbolik
|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2
akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2
Dalam rumus di atas akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C
(i2))
dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil
dengan non-negatif
bagian nyata diberikan αβeuroR dari dua nilai
Kita memilih
Di mana
Selanjutnya j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut pertama
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu
berubah-rubah dan membentuk pola yang sama
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan
bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
hiperbolik ANGKA
Sistem bilangan real dapat diperpanjang dengan cara yang baru Sedangkan
persamaan aljabar x2 - 1 = 0 memiliki solusi bilangan real x = plusmn 1 kita
menganggap keberadaan baru nomor yang u unipotent yang memiliki sifat
aljabar yang u 6 = plusmn 1 tapi u2 = 1 Dalam hal dasar standar 1 u nomor
hiperbolik w 2 IH dapat ditulis dalam bentuk w = x + uy mana x y adalah
nyata angka Dengan demikian angka hiperbolik IH IR [u] hanya nyata
nomor diperluas untuk menyertakan u unipotent dengan cara yang sama
bahwa bilangan kompleks CI IR [i] adalah bilangan real diperluas untuk
mencakup i imajiner
Bilangan hiperbolik
System bilangan real bisa di perluas dengan cara yang baru Padahal
persamaan aljabar x2 minus 1 = 0 punya solusi bilangan real x = plusmn1 kita
asumsikan keberadaan dari angka baru unipotent udimana aljabarnya u neplusmn1
but u2 = 1 Dalam hal standar basis 1 usemua angka hiperbolik w ∊ IH
bisa di tulis dengan bentuk w = x + uy dimana xy adalah bilangan real
Jumlah hiperbolik
|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2
akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2
Dalam rumus di atas akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C
(i2))
dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil
dengan non-negatif
bagian nyata diberikan αβeuroR dari dua nilai
Kita memilih
Di mana
Selanjutnya j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut pertama
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu
berubah-rubah dan membentuk pola yang sama
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan
bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2
akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2
Dalam rumus di atas akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C
(i2))
dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil
dengan non-negatif
bagian nyata diberikan αβeuroR dari dua nilai
Kita memilih
Di mana
Selanjutnya j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut pertama
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu
berubah-rubah dan membentuk pola yang sama
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan
bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang
sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi
lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu
berubah-rubah dan membentuk pola yang sama
Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik
Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan
bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
ex=1+x+ x2
2+ x3
3 + x4
4 +hellip
untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki
bilangan dasar 2718281828helliphellip
Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut
Sinh x= exminuseminus x
2
Cosh x= ex+eminusx
2
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi
turunan yang lain sepeti
tgh x=sinh xcosh x
Fungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret
dari
Apabila x diganti dengan ndashx maka
2 Sinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif
3 Cosinus hiperbolik dari x
Definisi
Dalam bentuk deret
memuat semua pangkat genap dan bertanda positif
4 Tangen hiperbolik dari x
Definisi
5 Grafik Fungsi Hiperbolik
a Grafik dari dan
dan positif untuk semua harga x
b Grafik
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
nilai dari tidak pernah kurang dari 1
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah
harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu
c Grafik
memiliki semua nilai dari sampai
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
d Grafik dan
Jika maka
e Grafik
selalu terletak diantara dan
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk maka
Untuk maka
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
f Grafik dan
6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik
Contoh penjelasannya Misalkan
7 Identitas hiperbolik
dan
jika dikalikan keduanya maka
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
jika dikuadratkan
keduanya dikurangkan maka
keduanya ditambahkan maka
Identitas trigonometri Identitas hiperbolik
8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik
Jika ditambahkan
Jika dikurangkan
dan substitusi
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Contoh penggunaan
Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi
trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial
Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa
grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan
fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik
Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini
sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga
mereka menjadi sifat kedua
bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi
eksponensial
dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x
bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x
bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan
specify domain mereka
bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x
Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah
cosh z=12
(ez+eminus z) sinh z=12
( ezminuseminusz )
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya
sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu
tanh z=sinh zcosh z
coth z=cosh zsinh z
sec hz= 1cosh z
csc hz= 1sinh z
Hubungan
fungsi
hiperbolik
dengan
fungsi
trigonometr
i
1 cosh iz = cos z
2 sinh iz = i sin z
3 cos iz = cosh z
4 sin iz = i sinh z
Bukti
1 Karena
cosh z=12
(ez+eminus z) maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
dengan iz diperoleh
cosh iz=12
( eiz+eminusiz)=cos z
4 Karena
sin z= 12i
(e izminuseminusiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh
sin iz=12i
( ei2 zminuseminusi2z )=
12 i
(eminus zminuse
z)=minus12i
(ezminuse
minusz )
iquest i212i
(e zminuseminusz )=i12
(ezminuseminusz )=i sinh z
Sifat-sifat
fungsi
hiperbolik
Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k
bilangan bulatmaka
1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y
3sinh z=sinh z
4cosh z=cosh z
5tanh z=tanh z
6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y
7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y
8 cosh2 z - sinh2 z = 1
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w
10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2
12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2
13sinh(-z) = - sinh z
14cosh(-z) = cosh z
15sinh(z + i) = -sinh z
16cosh(z + i) = -cosh z
17tanh(z + i) = tanh z
18-i sinh(iz) = sin z
19cosh(iz) = cosh z
20-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan
turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37
Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks
ddz
(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z
2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z
Secara analog akan didapatkan
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
ddz
(cosh z )=sinh zddz
(sec hz )=minussechz tan z
ddz
( tanh z )=sec h2 zddz
(csc hz )=minuscschz coth z
ddz
(coth z )=minuscsc h2 z
1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned
oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan
bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x
Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-
ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan
menebak
2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan
sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)
= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi
hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting
menjadi ini
3 Derivatif
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi
bodoh
tanda-tanda untuk mengingat
Terakhir dan benar-benar sedikit adalah
5 Identitas
Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =
1 jika
Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas
Pythagoras
Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika
Anda mengganti X = cosh (x)
dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)
Anda mendapatkan
persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka
istilah
2
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang
lain
fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang
perlu cepat
baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang
lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda
menjadi geek matematika lengkap
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks
Trigonometrik
yaitu
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar
z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-
axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari
lingkaran dimana r ge 0
Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi
Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p
bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash
dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III
w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash
ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik
dibatasi oleh
garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =
pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam
arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin
Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan
H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal
ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar
interpretasi bilangan kompleks perkalian
r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris
bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi
menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic
A Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi
hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya
yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x
Notasi invers hiperbolik
Rumus
Atau
Kasus Soal
sinhminus12111
Jawab
cara dengan rumus
sinhminus12111=x
Sama dengan
Sin x = 2111
frac12 (exminuseminusx) = 2111
sinhminus1 y=x
coshminus1 y=x
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
exminuseminusx = 4222
exminus 1
ex = 4222
(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex
(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc
ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)
2
ex=4446 atau ex=minus0224
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka
jawaban yang tepat adalah
ex=4446
X = ln 4446
X = 1492
cara langsung
x = 2111 hyp shift sin = 1492
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK
Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari
dalam tabel
tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita
hitung sendiri
JAWAB
Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =
sinh x = frac12 (ex ndash e -x)
sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)
= frac12 (3300) = 165
Jadi sinh 1275 = 165
Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =
cosh x = frac12 (ex + e -x)
cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)
Dengan menggunakan kalkulator didapat
e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116
Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)
= frac12 (8753) = 4377
Jadi cosh 2156 = 4377
Contoh 3 Menghitung tanh 127 =
tanh x =
tanh 127 =
Jadi tanh 127 = =
tanh 127 = 0854
MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Menghitung tanh-1 0623 =
ARTINYA tanh x = 0623 = 0623
e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)
e-x - e-
x
e-x + e-
x
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x
0377 ex = (1623 e-x
= 1623e2
MAKA (ex)2 = 1623 0377
= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730
x = ln 2073
= 07299
Identitas hiperbolik
coth x = 1 tanh x
sech x = 1 cosh x
cosech x = 1 sinh x
cosh2 x - sinh2 x = 1
sech2 x = 1 - tanh2 x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
= 1 + (2 sinh2 x)
= (2 cosh2 x) + 1
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom
Daftar pustaka
G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953
wwwgooglecom