Pola dan Barisan Bilangan

Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan. Pola bilangan yaitu

susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat

susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

Pola Bilangan

1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Dalam pola persegi panjang biasanya terdiri dari kumpulan noktah berjumlah 2, 6, 12,

dst. Untuk menentukan pola-pola bilangan tersebut kita dapat menggunakan rumus Un =

n (n+1) dimana n adalah bilangan bulat bukan negatif.

2. Pola Persegi

Pola ini memiliki bentuk kumpulan noktah menyerupai persegi dengan sisi-sisi yang

sama besar. Perhatikan polanya. Kemudian kita dapat memperoleh pola-pola bilangannya

yaitu : 1, 4, 9 dst di lihat dari jumlah noktah dalam susunan pola. Andaikan kita ingin

mengetahui pola-pola bilangan persegi dapat kita lakukan dengan menggunakan rumus

Un = n2 dengan n adalah bilangan bulat positif.

3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)

Dalam membentuk pola ini dibutuhkan kumpulan noktah yang berbentuk segitiga sama

sisi. Terdapat dua cara dalam menentukan pola segitiga, yaitu:

Cara 1: dengan cara mengikuti pola berikut ini

Kita mulai dengan angka 1 yang kemudian ditambahkan angka setelah angka satu yaitu 2

yang menghasilkan 3 dan 3 ditambahkan dengan 3 dimana tiga adalah bilangan setelah

dua yang kemudian hansil jumlahnya 6, 6 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya dari 3

dan menghasilkan 10, 10 dijumlahkan lagi denagn bilangan setelah empat yaitu lima akan

menghsilkan 15 dan begitu seterusnya.

Cara 2: pola bilangan segitiga anara lain1, 3, 6,10 dst. Bilangan tersebut dapat diperolah

dengan cara ke-2 yaitu menentuak pola segitiga dengan menggunakan rumus Un = n/2

(n+1). Sehingga dihasilkan bentuk seperti dibawah ini dengan urutan-urutan bilangannya.

4. Pola Kubus

Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Pada pola ini bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya

ditambah dua.

a. Pola bilangan ganjil

Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal

Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

b. Pola bilangan genap

Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal

Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

7. Pola Bilangan Fibonaci

Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan

tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un.

Barisan bilangan biasanya ditulis :

U1, U2,`U3, . . . . , Un

Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .

Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2 adalah

suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n

Contoh :

Barisan 0,2,4 berarti:

U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4

(menambahkan 2 pada suku sebelumnya)

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

Contoh:

Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . .

Jawab:

Barisan 2, 5, 8, 11,. . .

U1 = 2

U2 = 5 = 2 + 3

U3 = 8 = 5 +3

U4 = 11 = 8 +3

Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Un = f (n)

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)

U1, U2, U3, U4, …, Un

Maka diperoleh:

Un = bn + (U1 - b)

Contoh :

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.

1, 3, 5, 7, …, Un

Maka,

b = 2 ; U1 = 1

Un = bn + (U1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

U1, U2, U3, U4, …, Un

Maka diperoleh:

Un = rn x U1/r

Contoh :

Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )

Maka,

r = 10 ; U1 = 1

Un = rn x U1/r = 10

n x 1/10 = 10

n -1

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan

formula berikut:

Un = b/2 . n (n-1) + c

Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola

b = Selisih tetap

Contoh:

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu

Barisan:

3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2

c = 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1

Jadi, suku ke-n adalah:

Un = ½. n(n-1) +c

Un = ½. n(n-1) + 2n + 1

Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1

Un = ½ n2 – 3/2 n +1

Barisan Arimatika dan Barisan Geometri

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung

Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku

sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan

sebagai berikut :

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.

.

Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

Un = a + (n – 1 )b

Dengan n = 1, 2, 3,..

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus

beda dapat di uraikan sebagai berikut :

U2 = U1 + b => b = U2 - U1

U3 = U2 + b => b = U3 - U2

U4 = U3 + b => b = U4 - U3

.

.

.

Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik

Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Contoh:

Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan

aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . .

b. 4, 2, 0, -2,. . .

Jawab :

Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan

aritmetika.

a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .

berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..

U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5

b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.

U10 = U1 (10 - 1) . b

U10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2

b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2

karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus

Un = U1 (n - 1) . b

U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14

Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya

dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = a

U2 = U1 . r = ar

U3 = U2 . r = ar2

U4 = U3 . r = ar3

Un = Un-1 . r = ar

n-1

1. Un = r × Un-1 atau

2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembanding

n = bilangan asli

a = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.

Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :

a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :

Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Deret Aritmetika atau Deret Hitung

Deret bilangan adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan.

Bentuk umum:

Menyatakan deret ke-n

Contoh:

1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah

Maka,

2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, adalah

Maka,

Deret aritmetika adalah jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika.

Deret aritmetika:

Dengan dan

Jawab:

a.

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729

b.

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah

Rumus n suku pertama deret aritmetika:

[ ]

Dengan: suku ke-n

n = bilangan asli

b = beda

Contoh:

1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret

Jawab:

[ ]

2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama

adalah 20

Jawab:

maka:

Deret Geometri atau Deret Ukur Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri.

Deret geometri:

dengan dan

Rumus n suku pertama deret geometri:

Contoh:

1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret

Jawab:

2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, dan Bila

tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.

Jawab:

Karena suku-suku positif maka

maka:

Sifat-sifat Deret

Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.

.

.

.

Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama

dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.

Contoh:

Dalam deret aritmatika ditemukan , hitunglah :

a. b. c. Beda

Jawab :

a.

b.

c.

Sifat Dasar Deret Aritmetika

1. Bila merupakan deret aritmatika, maka :

2. Bila merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:

Contoh:

Tentukan nilai dari agar barisan merupakan suku-suku dari deret

aritmatika.

Jawab:

Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu

2(3x - 5) = x + 1 + 4

6x –10= x + 5

6x –x= 5 + 10

5x = 15

x = 3

Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang

lain.

Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :

Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan

antara suatu suku dengan suku yang lainnya.

Secara umum dapat dituliskan:

Contoh:

Bila dan dari deret aritmatika, tentukanlah :

a. b b.

Jawab:

a.

b.

atau

Sifat Dasar Deret Geometri

1. Bila merupakan deret geometri, maka :

2. Bila merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:

Contoh:

Tentukan nilai agar barisan merupakan barisan geometri.

Memo

7 = 1 + 6

7 = 4 + 3

7 = 5 + 2

7 = 3 + 4

Jawab:

Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu , diperoleh:

Jadi, nilai adalah atau

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.

Perhatikan Un = arn-1

Dengan formula itu didapat:

U10 = ar9

U10 = (ar

2) . r

7= U3 . r

7

U10 = (ar

4 ). r

7 = U5 . r

5

Secara umum di tuliskan:

Contoh:

Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :

a. r b. U2

Jawab :

a.

b.

Memo

atau

Memo

Lihat Indeks

10 = 1 + 9

10 = 3 + 7

10 = 5 + 5

Daftra Pustaka

Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga