Hal 72

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan jarak titik D ke bidang ACH

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan

proyeksi titik C pada bidang AFH maka jaeak titik A ketitik S adalah

Penyelesaian:

1.

Pandang ∆ 𝐻𝐷𝑁

Luas ∆ 𝑯𝑫𝑵

Luas = 𝐷𝑁.𝐻𝐷

2

= 1

2𝑎√2.𝑎

2

= 1

4𝑎2√2

Luas ∆ 𝑫𝑵𝑯

Luas = 𝑁𝐻.𝐷𝑂

2

1

4𝑎2√2 =

𝑎√3

2 .𝐷𝑂

2

DO = 1

2𝑎2√2

𝑎√3

2

DO = 1

2𝑎

√2

√3

2

DO = 1

2𝑎

√21

2√6

DO = 𝑎√2

√6

DO = 𝑎√12

6

DO = 𝑎2√3

6

DO = 1

3𝑎√3

2. Pandang ∆ 𝑶𝑨𝑪

Cos α = 𝐴𝐶2+ 𝑂𝐴2−𝑂𝐶2

2 𝐴𝐶 𝑂𝐴

= (𝑎√2)

2+ (𝑎√

3

2)2−(𝑎√

3

2)2

2 𝑎√2 𝑎√3

2

= (𝑎√2)

2

2 𝑎√2 𝑎√3

2

= 2𝑎2

2𝑎2√3

= 1

√3

= 1

3√3

Pandang ∆ 𝑨𝑺𝑪

Cos α = 𝐴𝑆

𝐴𝐶

1

3√3 =

𝐴𝑆

𝑎√2

AS = 1

3√3 . 𝑎√2

AS = 1

3𝑎√6

Hal 73

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah

jarak AF ke bidang CDHG

Penyelesaian :

Jarak garis AF ke bidang CDHG adalah 6 cm.

Penjelasan : Diketahui bahwa dalam suatu garis terdapat banyak titik dan

minimal mempunyai 2 titik. Misalnya, dalam garis AF titik yang akan kita

proyeksikan titik A dan F ke bidang BDHF maka proyeksi kedua titik

tersebut adalah D dan G maka panjang proyeksi titik tersebut adalah AD

dan FG yaitu 6 cm. Atau dapat juga kit buat garis sejajar dengan garis AF

yaitu DG yang terletak pada bidang CDHG maka jarak antara dua garis

sejajar tersebut adalah ruas garis AD atau FG, garis yang tegak lurus

dengan dua garis sejajar tersebut.

4. T.ABC adalah bidang empat beraturan, dengan AB = 16 cm jika P dan Q

masing-masing pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ

Penyelesaian :

Pandang ∆ 𝑻𝑩𝑪

Panjang TB = TC = BC

Maka TQ = √𝑇𝐵2 − 𝐵𝑄2

= √162 − 82

= √256 − 64

= √192

Pandang ∆ ABC

Maka AQ = √𝑇𝐵2 − 𝐵𝑄2

= √162 − 82

= √256 − 64

= √192

Pandang ∆ 𝑇𝐴𝑄 , karena ∆ 𝑇𝐴𝑄 adalah segitiga samakaki maka

PQ membagi garis dihadapannya sama panjang,sehingga

PQ = √𝐴𝑄2 − 𝐴𝑃2

= √(√192)2 − 82

= √192 − 64

= √128

= 8√2 cm

5. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan AB = 10, dengan titik

P dan Q masing-masing merupakan titik tengah dari BA dan DC.

Hitunglah jarak AB ke CD!

Penyelesaian :

Pandang ∆ ADC

Karena AD = AC = DC 10 cm maka ruas garis AQ membagi 2 garis

dihadapanya sama panjang sehingga ∆ 𝐴𝑄𝐶 siku siku di Q

Bukti : < 𝑄 = 180° − (90° − 𝑥) + 𝑥)

= 90°

AQ = √𝐴𝐶2 − 𝐶𝑄2

= √(10)2 − 52

= √100 − 25

= √75

Maka , pandang ∆ 𝑨𝑸𝑩

Karena AQ = BQ sehingga segitiga tersebut merupaka segitiga

samakaki. Ruas garis PQ membagi garis dihadapannya sama panjang dan

tegak lurus terhadap ruas garis AB

Bukti : < 𝑃 = 180° − (90° − 𝑥) + 𝑥)

= 90°

Karena tegak lurus, maka PQ merupakan jarak garis AB ke CD

PQ = √𝐴𝑄2 − 𝐴𝑃2

= √(√75)2 − 52

= √75 − 25

= √50

= 5√2 cm

Hal 77

6. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm

a. Carilah jarak antara PU dan Bidang RSWV

b. Carilah jarak antara UW dan bidang PQRS

Penyelesaian :

a. Jarak garis PU ke bidang RSWV adalah 6 cm.

Penjelasan :

Diketahui bahwa dalam suatu garis terdapat banyak titik dan

minimal mempunyai 2 titik. Misalnya, dalam garis PU titik yang

akan kita proyeksikan titik P dan U ke bidang RSWV maka

proyeksi kedua titik tersebut adalah S dan V maka panjang

proyeksi titik tersebut adalah PS dan UV yaitu 6 cm. Atau dapat

juga kit buat garis sejajar dengan garis PU yaitu SV yang terletak

pada bidang RSWV maka jarak antara dua garis sejajar tersebut

adalah ruas garis UV atau PS, garis yang tegak lurus dengan dua

garis sejajar tersebut.

b. Jarak garis UW ke bidang PQRS adalah 6 cm.

Penjelasan :

Diketahui bahwa dalam suatu garis terdapat banyak titik dan

minimal mempunyai 2 titik. Misalnya, dalam garis UW titik yang

akan kita proyeksikan titik U dan W ke bidang RSWV maka

proyeksi kedua titik tersebut adalah Q dan S maka panjang

proyeksi titik tersebut adalah WS dan UQ yaitu 6 cm. Atau dapat

juga kita buat garis sejajar dengan garis UW yaitu SQ yang terletak

pada bidang PQRS maka jarak antara dua garis sejajar tersebut

adalah ruas garis WS atau UQ, garis yang tegak lurus dengan dua

garis sejajar tersebut.

7. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut

adalah titik tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang

BDHF!

Penyelesaian :

Pandang ∆ 𝑮𝑯𝑭

Merupakan segitiga samakaki GH = GF = 10 cm dan HF = 10√2

P dan Q berturut-turut titik tengah FG dan HG . maka GQ =GH = 5 cm

dan GP = PF = 5 cm

Sehingga PQ = 5√2 cm

Maka akan ada trapesium HFPQ

Dengan PQ = 5√2 dan HF = 10√2

Tinggi trapesium = jarak PQ ke bidang BDHF

t = √(5)2 − (5

2√2)2

= √25 −50

4

= √50

4

= 5

2√2 cm

8. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD, rusuk-rusuk

tegaknya AE, BF, CG, dan DH.

a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

b. Carilah jarak antara bidang BDE dan CFH

Penyelesaian :

a. Pandang bidang diagonal BDHF

Luas bidang diagonal BDHF = p x l

= 𝑎√2 x a

= 𝑎2√2

Jarak antara bidang ACH dan BEG berbentuk jajargenjang yang

terdapat pada bidang diagonal BDHF dan tinggi dari jajargenjang

tersebut adalah jarak kedua bidang karena tegak lurus terhadap kedua

bidang.

Luas jajargenjang = luas persegi panjang - luas dua segitiga

Luas dua segitiga = 2. 1

2 a. t

= a. t

= 1

2𝑎√2 . a

= 1

2 𝑎2√2

Luas jajargenjang = luas persegi panjang - luas dua segitiga

= 𝑎2√2 − 1

2 𝑎2√2

= 1

2 𝑎2√2

Jajargenjang BXHY

Panjang BX = √𝐵𝐸2 − 𝐸𝑋2

= √(𝑎√2)2

− (1

2𝑎√2)2

= √2𝑎2 −1

2𝑎2

= √3

2𝑎2

= 1

2𝑎√6 cm

BX merupakan alas jajargenjang

Luas jajargenjang = a.t

1

2 𝑎2√2 =

1

2𝑎√6 . 𝑡

t =

1

2 𝑎2√2

1

2𝑎√6

t = a √2

√6

t = 𝑎√12

6

t = 𝑎 2√3

6

t = 1

3 a√3

b. Pandang bidang diagonal ACGE

Luas bidang diagonal ACGE = p x l

= 𝑎√2 x a

= 𝑎2√2

Jarak antara bidang EBD dan CFH berbentuk jajargenjang yang

terdapat pada bidang diagonal ACGE dan tinggi dari jajargenjang

tersebut adalah jarak kedua bidang karena tegak lurus terhadap kedua

bidang.

Luas jajargenjang = luas persegi panjang - luas dua segitiga

Luas dua segitiga = 2. 1

2 a. t

= a. t

= 1

2𝑎√2 . a

= 1

2 𝑎2√2

Luas jajargenjang = luas persegi panjang - luas dua segitiga

= 𝑎2√2 − 1

2 𝑎2√2

= 1

2 𝑎2√2

Jajargenjang EMOC

Panjang MC = √𝐹𝐶2 − 𝑀𝐹2

= √(𝑎√2)2

− (1

2𝑎√2)2

= √2𝑎2 −1

2𝑎2

= √3

2𝑎2

= 1

2𝑎√6 cm

MC merupakan alas jajargenjang

Luas jajargenjang = a.t

1

2 𝑎2√2 =

1

2𝑎√6 . 𝑡

t =

1

2 𝑎2√2

1

2𝑎√6

t = a √2

√6

t = 𝑎√12

6

t = 𝑎 2√3

6

t = 1

3 a√3

9. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT,

QU, RV, dan SW. Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah

jarak antara rusuk VW dengan bidang diagonal RSTU!

Penyelesaian :

Pandang ∆UVR

Karena dalam ruas garis VW terdapat banyak titik. Disini, kita ambil

minimal dua titik yaitu titik V dan W. Tarik garis lurus dari titik tersebut

ke bidang RSTU sehingga tegak lurus dengan garis TS dan UR .

sehingga, garis tegak lurus tersebut merupakan jarak ruas garis VW

dengan bidang diagonal RSTU.

Sekarang, pandang ∆ 𝑉𝑈𝑅 𝑑𝑎𝑛 ∆𝑊𝑇𝑆

Dua segitiga tersebut merupakan segitiga yang sejajar, sehingga tinggi

dari kedua segitiga tersebut merupakan jarak garis VW bidang RSTU.

Tinggi segitiga tersebut adalah garis VO

Maka :

VO = √𝑈𝑉2 − 𝑈𝑂2

= √ 122 − (6√2)2

= √144 − 72

= √72

= 6√2 cm

10. Perhatikan gambar disamping! AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A.

hitunglah jarak titik A ke bidang TBC!

Penyelesaian :

Pandang ∆ 𝑪𝑨𝑩

Karena AC dan AB saling tegak lurus di A, maka segitiga ACB siku siku

di A sehingga

BC = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

= √ 52 − 52

= √25 − 25

= √50

= 5√2 cm

Maka TB = BC = CT = 5√2 cm. Sehingga TO adalah

TO = √𝑇𝐵2 + 𝐵𝑂2

= √ (5√2)2 − (5

2√2)2

= √50 −50

4

= √150

4

= 5

2√6 cm

Pandang ∆ 𝑇𝐴𝑂 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝐴 maka :

AO = √𝑇02 + 𝑇𝐴2

= √ (5

2√6)2 − (5)2

= √150

4− 25

= √50

4

= 5

2√2 cm

Jarak titik A pada bidang TBC adalah garis yang tegak lurus pada

garis TO, maka

Luas ∆ 𝑇𝐴𝑂 dengan alas AO dan tinggi TA

Luas = 𝑎 . 𝑡

2

=

5

2√2 . 5

2

= 25

4√2

Luas ∆ 𝑇𝐴𝑂 dengan alas TO dan tingginya merupakan jarak titik A ke

bidang TBC

Luas = 𝑎 . 𝑡

2

25

4√2 =

5

2√6 . t

2

25

4√2 =

5

4√6 . t

t =

25

4√2

5

4√6

t = 5 √2

√6

t = 5√12

6

t = 10√3

6

t = 5

3√3 cm