ekotek

MODUL 13RUMUS – RUMUS BUNGA

Proyek konstruksi, apapun tujuannya, baik untuk sosial maupun komersial, pada

dasarnya adalah kegiatan investasi. Karena uang/dana yang dipakai untuk proyek

jumlahnya cukup besar dan akan diambil manfaatnya dalam jangka yang panjang.

Bangunan komersial, akan menghasilkan uang sebagai pengembalian investasi,

sedang pembangunan yang bersifat sosial menghasilkan pengembalian investasi berupa

manfaat sosial, yang dapat dihitung nilai ekonominya.

Oleh karena itu, keputusan untuk melaksanakan sebuah proyek adalah merupakan

sebuah keputusan investasi. Dengan demikian seorang Cost Engineer disamping harus

menguasai dan memahami tentang biaya proyek, juga harus memahami konsep time

value of money.

Dalam konsep time value of money, nilai uang sangat berkaitan dengan waktu,

artinya nilai satu rupiah pada tahun ini, tidak sama dengan nilai uang satu rupiah pada

tahun ke n dan begitu pula sebaliknya.

Jadi yang dimaksud dengan time value of money adalah hubungan antara nilai

uang saat ini (present value) dengan nilainya pada saat yang akan datang (future value),

dengan mempertimbangkan bunga yang harus dibayar dalam penggunaan uang tersebut.

13.1 Rumus-rumus Bunga yang mengaitkan Nilai Sekarang dengan Nilai Masa

Datang yang ekivalen dari Arus Kas Tunggal

Gambar 13-1 memperlihatkan suatu diagram arus kas yang melibatkan suatu

jumlah tunggal saat sekarang, P, dan jumlah tunggal masa depan, F, yang dipisahkan

oleh N periode dengan bunga pada i% per periode.

Dalam modul ini anak panah dengan garis terputus-putus, seperti terlihat dalam

gambar 13-1, menyatakan besaran untuk dicari. Dua buah rumus sehubungan dengan

suatu P yang diketahui dan keekivalenan F-nya yang tidak diketahui diberikan dalam

persamaan 13-1 dan 13-2.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Mawardi Amin MTESTIMASI BIAYA PROYEK

1 2 3 4 5 N-2 N-1 N

Gambar 13-1Diagram Umum Arus Kas yang mengaitkan Keekivalenan Masa Sekarang dan

Keekivalenan Masa Depan dari Pembayaran-pembayaran Tunggal.

13.1.1 Mencari F bila P Diketahui

Jika sejumlah P dollar ditanamkan pada suatu titik waktu dan i% merupakan

tingkat bunga (laba atau pertumbuhan) per periode, jumlahnya akan meningkat pada

suatu jumlah di saat mendatang sebesar P + Pi = P (1 + i) pada akhir dari satu periode;

pada akhir dari dua periode besarnya akan meningkat menjadi P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i)2;

pada akhir dari tiga periode, besarnya akan meningkat menjadi P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)2;

dan pada akhir dari N periode jumlahnya akan meningkat menjadi :

F = P(1 + i)N ………………………………………………(13-1)

Bila uang sejumlah Rp. 1.000.000,- dipinjamkan pada hari ini, untuk jangka waktu

satu tahun, dengan bunga 20% per tahun, maka setelah berjalan satu tahun, uang yang

harus dikembalikan adalah Rp. 1.000.000,- ditambah dengan bunga sebesar 20% atau

Rp. 200.000,-. Jadi total yang harus dikembalikan adalah sebesar Rp. 1.200.000,-.

Dengan demikian berarti bahwa uang saat ini sebesar Rp. 1000.000,- adalah sama

dengan uang sebesar Rp. 1.200.000,- pada waktu satu tahun mendatang (dengan

perhitungan rate 20% per tahun).

Atas dasar pengetian tersebut diatas, maka dapat dibuat rumus untuk menghitung

present value dan future value.

Bila saat ini uang sejumlah P (present value) diinvestasikan dengan rate (bunga) i

% per tahun, untuk selama beberapa tahun, maka bila bunganya tidak diambil, uang

tersebut akan memperoleh bunga berbunga, dan uang tersebut pada beberapa tahun

mendatang nilainya (future value) dapat dihitung sebagai berikut :


F = Nilai keekivalenannya di Masa Depan (Dicari)

P = Nilai keekivalenannya di Masa Sekarang (Diketahui)

i = Tingkat bunga per periode

Akhir tahun ke 1 (satu)

F1 = P + P.i

Akhir tahun ke 2 (dua)

F2 = F1 + F1 . i = P + P.i + (P + P.i). i

F2 = P + P.i + P.i + P.i2 = P (1+2.i + i2) = P.(1 + i)2

Akhir tahun ke 3 (tiga)

F3 = P (1 + i)3

Akhir tahun ke n

Fn = P (1 + i)n

Dimana :

Fn = Future Value pada tahun ke n

P = Present Value

i = Bunga / rate per tahun

Dengan demikian (1 + i)n merupakan faktor pengali, yang disebut “Compounded

Factor”, yaitu faktor yang dipergunakan untuk menghitung future value (F) terhadap

present value (P).

Contoh 13-1

Misalkan bahwa anda meminjam $8.000 saat sekarang, dengan janji untuk membayar

kembali pinjaman pokok ditambah bunga yang terakumulasi selama empat tahun pada i =

10% per tahun. Berapakah jumlah yang akan anda bayar kembali pada akhir dari empat

tahun itu?

Pemecahan :

Tahun

Jumlah Terhutang di awal Tahun

Bunga Terhutang untuk Setiap Tahun

Jumlah Terhutang pada Akhir Tahun

Pembayaran Total Akhir Tahun

1234

P = $8.000P(1 + i) = $8.800P(1 + i)2 = $9.680P(1 + i)3 = $10.648

iP = $800iP(1 + i) = $880iP(1 + i)2 = $968iP(1 + i)3 = $1065

P(1 + i) = $8.800P(1 + i)2 = $9.680P(1 + i)3 = $10.648P(1 + i)4 = $11.713

000F = $11.713

Secara umum, kita lihat bahwa F = P(1 + i)N , dan jumlah total untuk dibayar kembali

sebesar $11.713. Hal ini seterusnya mengilustrasikan rancangan 4 dalam tabel 12-1 dan

istilah-istilah notasi yang akan digunakan dalam modul ini.


Besar (1 + i)N dalam persamaan 13-1 umumnya disebut faktor jumlah majemuk

pembayaran tunggal (single payment compound amount factor). Nilai-nilai numerik untuk

faktor ini diberikan pada tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk

berbagai nilai I dan N. Dalam modul ini akan digunakan simbol fungsional (F/P,i%,N)

untuk (1 + i)N . Jadi Persamaan 13-1 dapat dinyatakan sebagai :

F = P(F/P,i%,N) ……………………………………..(13-2)

Untuk faktor di dalam kurung dibaca “cari F dengan P diketahui pada bunga i% per

periode untuk N periode bunga”. Perhatikan bahwa urutan dari F dan P dalam F/P adalah

sama seperti dalam bagian awal persamaan 13-2, dengan besaran yang tidak diketahui,

F, ditempatkan pada sisi sebelah kiri persamaan. Urutan semua huruf-huruf ini benar

untuk semua simbol fungsional yang digunakan dalam modul ini dari memudahkan untuk

mengingatnya.

Contoh lain dari mencari F bila P diketahui, berikut dengan suatu diagram arus kas

dan solusi, diberikan pada tabel 13-1. Perhatikan bahwa dalam Tabel 13-1 untuk masing-

masing dari enam keadaan bunga majemuk diskret biasa yang dicakup, dua pernyataan

soal diberikan:

a. dalam terminologi meminjam-meminjamkan dan

b. terminologi dalam keekivalenan,

tetapi keduanya menyatakan situasi arus kas yang sama. Memang, secara umum

ada banyak cara untuk menyatakan situasi arus kas.

Secara umum, cara yang baik untuk menginterpretasikan suatu hubungan seperti

persamaan 13-2 adalah bahwa jumlah yang dihitung, F, pada titik waktu sewaktu ia

terjadi, adalah ekivalen dengan (yaitu dapat dinyatakan dengan) nilai yang diketahui, P,

pada titik waktu sewaktu P itu terjadi, untuk tingkat bunga atau laba tertentu, i.

13.1.2 Mencari P bila F Diketahui

Dari persamaan 13-1, F = P(1 + i)N , Pemecahan persamaan ini untuk

mendapatkan P menghasilkan hubungan

P = F{1/(1+i)}N = F(1+i)-N …………………………………………13-3

Besaran F(1+i)-N disebut faktor nilai sekarang pembayaran tunggal (single payment

present worth factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini diberikan dalam kolom ketiga

pada tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk berbagai nilai I dan N

yang luas. Kita akan menggunakan simbol fungsi (P/F,i%,N) untuk faktor ini. Jadi


P = F(P/F,i%,N) ……………………………………………13-4

Contoh 13-2

Seorang investor (pemilik) memiliki pilihan untuk membeli tanah luas yang akan bernilai

$10.000 dalam enam tahun. Jika harga tanah meningkat 8% setiap tahun, seberapa

besarkah yang masih mau dibayarkan oleh investor tersebut untuk properti ini?

Pemecahan :

Harga beli dapat dicari dari persamaan 13-4 dan Tabel C sebagai berikut:

P = $10.000(P/F,8%,6)

P = $10.000(0,6302)

P = $6.302

Contoh lain dari soal jenis ini, bersama dengan diagram arus kas dan pemecahannya

diberikan dalam tabel 13-1

13.2 Rumus-rumus Bunga yang menghubungkan Deret yang Seragam (Anuitas)

ke Nilai-nilai Ekivalennya Sekarang dan Masa Datang

Gambar 13-2 memperlihatkan suatu diagram arus kas yang mencakup sederetan

penerimaan berturutan yang seragam (sama besar) masing-masing sebesar A, yang

terjadi pada akhir setiap periode untuk N periode dengan tingkat bunga i% per periode.

Deret yang seragam semacam ini sering kali disebut anuitas (annuity). Harus diperhatikan

bahwa rumus-rumus dan tabel-tabel yang disajikan dihitung sedemikian rupa sehingga A

terjadi pada akhir dari setiap periode, dan dengan demikian:

1. P (nilai ekivalen sekarang) terjadi satu periode bunga sebelum A yang pertama

(jumlah seragam)

2. F (nilai ekivalen yang akan datang) terjadi bersamaan dengan A terakhir dan N

periode setelah P.

3. A (nilai ekivalen tahunan) terjadi pada akhir periode 1 sampai dengan N (N

termasuk)

Hubungan waktu untuk P, A, dan F dapat diamati dalam gambar 13-2. Empat buah

rumus yang menghubungkan A dengan F dan P akan dikembangkan.


1 2 3 4 N-1 N

Gambar 13-2Diagram Umum Arus Kas yang menghubungkan Deret Seragam (Anuitas Biasa)

dengan Nilai ekivalen Sekarang dan Nilai Ekivalen Masa Depannya.

13.2.1 Mencari F Bila A Diketahui

Jika arus kas sejumlah A dolar terjadi pada akhir dari setiap periode untuk N

periode dan tingkat bunga (laba atau pertumbuhan) i% per periode, nilai ekivalen masa

depan, F, pada akhir N periode diperoleh dengan menjumlahkan ekivalen-ekivalen masa

depan dari masing-masing arus kas. Sehingga bila disederhanakan akan menjadi :

F = A {[(1+i)N – 1)] / i} …………………………………………..13-5

Besaran {[(1+i)N – 1)]/i} disebut cicilan atau faktor jumlah majemuk deret seragam

(uniform series compound amount factor). Nilai-nilai numerik untuk faktor ini diberikan

dalam kolom keempat dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk

berbagai nilai I dan N yang luas. Untuk faktor ini akan kita gunakan simbol (F/A,i%,N).

Sehingga persamaan 13-5 dapat dinyatakan sebagai :

F = A(F/A,i%,N) ………………………………………….13-6

Contoh 13-3

(a) Misalkan anda melakukan 15 setoran tahunan masing-masing sebesar $1.000 ke

suatu bank yang membayarkan bunga 5% per tahun. Setoran pertama akan dilakukan

satu tahun setelah hari ini. Berapakah jumlah uang yang dapat ditarik dari bank ini

segera setelah setoran yang ke-15?

Pemecahan

Nilai A adalah $1.000, N sama dengan 15 tahun, dan i = 5% per tahun. Segera setelah

pembayaran ke-15, jumlah ekivalen yang masa depannya adalah

F = $1.000 (F/A,5%,15)

F = $1.000 (21,5786) = $21.578,60


F = Nilai ekivalen di Masa Datang (Dicari)

P = Nilai ekivalen Sekarang (Dicari)

i = Tingkat bunga per periode

A = jumlah seragam (diketahui)

Perhatikan dalam diagram arus kas di bawah bahwa nilai F bersamaan waktunya

dengan pembayaran $1.000 yang terakhir.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

(b) Untuk menggambarkan lebih lanjut adalah (efek-efek menakjubkan dari bunga

majemuk, kita perhatikan kebenaran pernyataan ini. “Jika anda berusia 20 tahun dan

menabung $1,00 setiap hari selama hidupnya, anda akan menjadi seorang jutawan.”

Anggaplah bahwa hidup anda mencapai usia 80 tahun, dan tingkat bunga tahunan

adalah 10% (i = 10%). Dalam kondisi istimewa ini, kita hitung jumlah komponen

mendatang (F) menjadi:

F = $365 / tahun (F/A, 10%,60 tahun)

F = $365 (3.034,81) = $1.107.706

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk asumsi-asumsi tertentu! Moral kisah ini adalah

untuk mulai menabung sejak dini dan biarkan “keajaiban” pekerjaan pemajemukan

muncul dengan sendirinya!

13.2.2 Mencari P Bila A Diketahui

Dari persamaan 13-1, F = P(1 + i)N , dengan menggantikan F dalam persamaan

13-5, maka persamaan menjadi :

P(1 + i)N = A {[(1+i)N – 1)] / i}

Dengan membagi kedua ruas dengan (1+i)N ,

P = A {[(1+i)N – 1)] / i(1 + i)N }……………………………….……..13-7

Jadi, Persamaan 13-7 merupakan hubungan untuk mencari nilai ekivalen saat sekarang

(sebagai awal dari periode pertama) dari suatu urutan seragam dari arus kas akhir periode

sebesar A untuk N periode. Besaran dalam kurung disebut faktor nilai sekarang deret

seragam (uniform series present worth factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini

diberikan dalam kolom ke 5 dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret


A = $1.000 per tahun

untuk berbagai nilai I dan N yang luas. Untuk faktor ini akan kita gunakan simbol (P/A,i

%,N). Dengan demikian :

P = A (P/A,i%,N) ……………..………………………..13-8

Contoh 13-4

Jika suatu mesin tertentu mengalami turun mesin utama sekarang, outputnya dapat

ditingkatkan 20% - yang berarti tambahan arus kas sebesar $20.000 pada setiap akhir

tahun selama 5 tahun. Jika i = = 15% per tahun, berapakah yang mampu kita tanamkan

dalam usaha perbaikan total dari mesin ini?

Pemecahan

Penambahan arus kas sebesar $20.000 per tahun, dan berlanjut sampai 5 tahun pada

bunga per tahun 15%. Batas atas dari apa yang kita mampu belanjakan adalah:

P = $20.000(P/A,15%,5)

P = $20.000(3,3522)

P = $67.044

13.2.3 Mencari A Bila F Diketahui

Dengan mengambil Persamaan 13-5 dan mencari A, maka

A = F { i / [(1+i)N – 1)] }…………………………………..….13-9

Jadi, Persamaan 13-9 merupakan hubungan untuk mencari jumlah A, dari arus-

arus kas deret seragam yang muncul pada akhir N periode bunga yang akan ekivalen

dengan nilai ekivalen masa depannya pada akhir dari periode terakhir. Besaran dalam

kurung disebut faktor dana tertanam (sinking fund factor). Harga-harga numerik untuk

faktor ini diberikan dalam kolom ke enam dari tabel Bunga dan Anuitas untuk

Pemajemukan Diskret untuk cakupan yang luas nilai I dan N. Akan kita gunakan simbol

fungsi (A/F,i%,N) untuk faktor ini, sehingga

A = F (A/F,i%,N) ……………………………………..13-10

Contoh 13-5

Seorang mahasiswa yang bekerja merencanakan untuk memiliki total tabungan sebesar

$1.000.000 apabila dia pensiun pada usia 65.Sekarang dia berumur 20 tahun. Jika tingkat


bunga per tahun rata-rata akan menjadi 7% selama 45 tahun yang akan datang pada

jumlah tabungan yang diinginkan, berapakah jumlah yang sama pada akhir yang setiap

tahun harus dia setorkan untuk mencapai sasarannya?

Pemecahan

Jumlah masa datang, F, adalah $1.000.000. Jumlah yang sama per tahun yang dananya

harus disisihkan oleh mahasiswa ini akan bertumbuh menjadi $1.000.000 dalam 45 tahun

pada bunga tahunan 7% adalah:

A = $1.000.000(A/F,7%,45)

P = $1.000.000(0,0035)

P = $3.500

13.2.4 Mencari A Bila P Diketahui

Dengan mengambil Persamaan 13-7 dan memecahkan A akan didapat

A = P { i(1 + i)N / [(1+i)N – 1)] }……………………….……..13-11

Jadi, Persamaan 13-11 merupakan hubungan untuk mencari jumlah A, dari suatu

deret seragam arus kas yang terjadi pada akhir dari masing-masing N periode bunga yang

ekivalen dengan, atau dapat dipertukarkan dengan ekivalen sekarang, P, yang terjadi

pada awal periode pertama. Besaran dalam kurung dinamakan faktor pemulihan modal

(capital recovery factor). Harga-harga numerik untuk faktor ini diberikan dalam kolom ke

tujuh dari tabel Bunga dan Anuitas untuk Pemajemukan Diskret untuk cakupan yang luas

nilai i dan N. Akan kita gunakan simbol fungsi (A/P,i%,N) untuk faktor ini, sehingga

A = P (A/P,i%,N) ……………………………………..13-12

Daftar Pustaka :1. DeGarmo – Sullivan, “Ekonomi Teknik” Edisi Bahasa Indonesia, Jilid 1, Prentice Hall.

Inc, 1999 2. Chris Hendrickson and Tung Au, Project Management for Construction Fundamental

Concepts for Owners, Engineers, Architects and Builders, Second Edition prepared for world wide web publication in 2000


ekotek

Documents