bab 2 - · pdf filetertukarnya isi obat anestesi buvanest spinal dengan asam traneksamat....
TRANSCRIPT
BAB 2MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA
Sistem Dinamik
Sistem dinamik, yang berubah seiring waktu, biasanya sangat kompleks, memilikibanyak komponen, dan melibatkan relasi antar komponen.
Dengan menggunakan alat sistem dinamik, kita dapat melakukan pemodelan untuksistem kompleks.
Langkah 2 (formulasi model) dapat dilakukan dengan membuat diagram yang akanmembantu untuk menyederhanakan asumsi, variabel dan satuan; membuat relasiantar variable dan submodel, serta mencatat persamaan dan fungsi.
Langkah 3 (menentukan solusi) dapat dilakukan dengan membangun tabel dangrafik.
Langkah 4 (verifikasi dan interpretasi solusi) dilakukan dengan menganalisa tabeldan grafik. Kadangkala langkah ini mengarah pada perubahan / revisi model, baikpenyederhanaan ataupun perbaikan.
Laju Perubahan
Misalkan π (π‘) adalah posisi suatu obyek pada saat π‘, dengan π β€ π‘ β€π. Maka perubahan waktu, π«π, adalah π«π = π β π; dan perubahanposisi, π«π, adalah π«π = π(π) β π(π).
Kecepatan rata-rata, atau rata-rata perubahan dari π terhadap
π, dari saat π = π β Ξπ‘ ke saat π adalah
Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat, atau laju perubahan sesaat dari π terhadap π, pada
saat π‘ = π adalah π π βπ (πββπ‘)
βπ‘, pada saat Ξπ‘ mendekati 0.
Ini merupakan turunan dari π = π(π) terhadap π pada π‘ = π, dinotasikan sebagai πΚΉ(π)
atau αππ¦
ππ‘ π‘=π.
Persamaan Diferensial: Populasi
Model Malthus untuk pertumbuhan populasi yang tak terbatas:
rate of change sebanding dengan banyaknya individu di dalam populasi.
ππ
ππ‘~π,
dengan π banyaknya individu dalam populasi dan t waktu.
Ini dapat dituliskan menjadiππ
ππ‘= ππ,
dengan π laju pertumbuhan.
Persamaan Beda
Misalkan population(t) adalah populasi pada waktu t.
Maka
population(t) = population(t β Ξt) + (growth) * Ξt
Persamaan Beda Hingga
Persamaan beda hingga memiliki bentuk:(πππ€ π£πππ’π) = (πππ π£πππ’π) + (πβππππ ππ π£πππ’π)
Persamaan ini merupakan aproksimasi diskrit dari persamaandiferensial.
Simulasi untuk Model Malthus
Simulasi untuk Model Malthus (2)
Pertumbuhan Terbatas
Populasi, secara teori, memiliki potensi untuk mengalami pertumbuhansecara eskponensial. Populasi biasanya bertambah secara cepat padaawalnya, namun pada saatnya akan mengalami reaksi dari lingkungan: persaingan, pemangsa, sumber makanan yang terbatas, dan penyakit.
Lingkungan cenderung untuk membatasi pertumbuhan populasi, sehingga populasi hanya dapat bertumbuh sampai ambang batastertentu dan kemudian tidak akan bertambah atau berkurang secaradrastis tanpa ada perubahan dalam lingkungan.
Kapasitas Lingkungan
Ukuran populasi maksimum yang dapat didukung oleh lingkungandisebut kapasitas lingkungan (carrying capacity).
Dalam pertumbuhan tak terbatas, diperoleh model:ππ
ππ‘= ππ
Dengan solusi analitik π = π0πππ‘, di mana π0 adalah populasi awal.
Quick Review Question 1
Cycling back to Step 2 of the modeling process, this question begins refinement of the population model.
a. Determine any additional variable and its units.
b. Consider the relationship between the number of individuals (π) and carrying capacity (π) as time (π‘) increases. List all the statements below that apply to the situation where the population is much smaller than the carrying capacity.
A. π appears to grow almost proportionally to π‘.B. π appears to grow almost without bound.C. π appears to grow faster and faster.D. π appears to grow more and more slowly.E. π appears to decline faster and faster.
Quick Review Question 1 (2)
F. π appears to decline more and more slowly.
G. π appears to grow almost linearly with slope π.
H. π is appears to be approaching π asymptotically.
I. π appears to grow exponentially.
J. ππ/ππ‘ appears to be almost proportional to π.
K. ππ/ππ‘ appears to be almost zero.
L. The birth rate is about the same as the death rate.
M. The birth rate is much greater than the death rate.
N. The birth rate is much less than the death rate.
Quick Review Question 1 (3)
c. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but less than the carrying capacity.
d. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but greater than the carrying capacity.
Model Baru
Dalam model baru, untuk populasi awal yang jauh lebih kecil dari kapasitas lingkungan, populasi akan bertambah serupa dengan model tak terbatas.
Namun, seiring dengan mendekatnya ukuran populasi dengan kapasitas lingkungan, pertumbuhan akan semakin berkurang.
Dekat dengan kapasitas lingkungan, banyaknya kematian harus serupa dengan banyaknyakelahiran, agar populasi cenderung konstan.
Untuk memperoleh pertumbuhan yang diperlambat, kita dapat mengukur banyaknyakematian sebagai hasil kali dengan banyaknya kelahiran yang dimodelkan sebagai ππ.Ketika populasi sangat kecil, hasil kali tersebut tersebut harusnya mendekati nol, karenahanya sedikit individu yang mati. Ketika populasi dekat dengan kapasitas lingkungan, hasilkali tersebut haruslah mendekati satu.
Jika π· menyatakan banyaknya kematian dan π menyatakan kapasitas lingkungan, makakita dapat memodelkan laju perubahan kematian sebagai:
ππ·
ππ‘=
ππ
ππ
Model Baru (2)
Akibatnya, atau
Dalam simulasi diskrit, jika π(π‘) adalah estimasi populasi pada saat π‘, maka banyaknya kematian dari saat π‘ β 1 ke saat π‘ adalah
Secara umum, banyaknya kematian dari saat π‘ β βπ‘ ke saat π‘ adalah
Model Baru (3)
Dengan demikian, perubahan populasi dari saat π‘ β βπ‘ ke saat π‘ adalah
atau
Model persamaan diferensial dan persamaan beda yang diperolehdisebut persamaan logistik.
Contoh Persamaan Logistik
Ekuilibrium dan Stabilitas
Solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial adalah solusi yang turunannya selalu 0. Solusi ekuilibrium untuk persamaan beda adalah solusi yang bedanya selalu0.
Misalkan π adalah solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial ππ/ππ‘atau persamaan beda Ξπ. Solusi q dikatakan stabil jika terdapat selang (π, π)yang memuat π, sehingga jika populasi awal π(0) termuat dalam selangtersebut, maka1. π(π‘) hingga untuk semua π‘ > 0;2. Seiiring pertambahan π‘, π(π‘) menghampiri π.Solusi π dikatakan tidak stabil jika tidak ada selang yang demikian.
Contoh
1. Exercise 2
Consider dy/dt = cos(t).
a. Give all the equilibrium solutions.
b. Using calculus, find a function y(t) that is a solution.
c. Give the most general function y that is a solution.
2. Exercise 3
It has been reported that a mallard must eat 3.2 ounces (oz) of rice each day to remain healthy. On the average, an acre of rice in a certain area yields 110 bushels (bu) per year; and a bushel of rice weighs 45 lb. Assuming that in the area 100 acres (ac) of rice are available for mallard consumption and mallards eat only rice, determine the carrying capacity for mallards in the area (Reinecke).
Contoh (2)Exercise 5
a. Graph π¦ = πβπ‘.
b. Match each of the following scenarios to a differential equation that might model it.
A. ππ
ππ‘= 0.05 π a. At first, a bacteria colony appears to grow without bound; but
because of limited nutrients and space, the population eventually approaches a limit.
B. ππ
ππ‘= 0.05 π + πβπ‘ b. Because of degradation of nutrients, the growth of a bacterial
colony becomes dampened.
C. ππ
ππ‘= 0.05 (1 β πβπ‘)π c. A bacterial colony has unlimited nutrients and space and grows
without bound.
D. ππ
ππ‘= 0.05 πβπ‘π d. Because of adjustment to its new setting, a bacterial colony
grows slowly at first before appearing to grow without bound.
E. ππ
ππ‘= 0.05 π β 0.0003π2 e. Each day, a scientist removes a constant amount from the colony.
F. ππ
ππ‘= 0.05 π β 0.0003π2 β 400
Dosis Obat
Kesalahan dalam pemberian obat seringkali terjadi. Sebagian besar tidak berakibatfatal, namun beberapa berakibat sangat fatal.
Beberapa contoh kasus:
β’ Apotik di Florida memberikan 10 kali lipat dosis seharusnya dari pengencer darahpada seorang ibu, yang mengakibatkan pendarahan otak (Patel dan Ross 2010).
β’ Seorang bayi berusia 10 bulan meninggal akibat menerima 10 kali lipat overdosisdari Cisplatin (agen kemoterapi) (Fitzgerald and Wilson 1998)
β’ Heath Ledger meninggal karena mengalami overdosis peresapan kombinasiXycodone, Hydrocodone, Diazepam, Temazepam, Alprazolam, dan Doxylamine. (CNN 2008)
β’ Dua pasien di Rumah Sakit Siloam Karawaci, Tangerang meninggal karenatertukarnya isi obat anestesi Buvanest Spinal dengan asam Traneksamat. (Kompas2015)
Klasifikasi Kesalahan Pengobatan
Kesalahan pengobatan dapat diklasifikasikan ke dalam kesalahan dalam hal:
orderingβ kesalahan penentuan obat atau dosis;
transcribingβ kesalahan dalam frekuensi atau terlewatnya pemberian obat;
dispensingβ kesalahan pemberian obat, dosis, or waktu;
administeringβ kesalahan teknik pemberian obat;
monitoringβ tidak mengobservasi akibat pemakaian obat.
Hal ini dapat terjadi karena komunikasi yang buruk, pelabelan yang buruk, dll
(Institute of Medicine 2007)
Dosis Efektif
Terdapat dosis yang diresepkan untuk berbagai obat, namunbagaimana kita dapat menentukan manakah dosis yang benar/efektif?
Ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, termasuk penyerapan, distribusi, metabolisme, dan eliminasi obat. Hal tersebut merupakankomponen dari sains kuantitatif dalam farmakokinetik.
Model 1-Kotak
Model 1-kotak adalah representasi sederhana dari bagaimana tubuhmanusia memproses obat.
Dalam model ini, tubuh dianggap sebagai suatu kotak yang homogen, di mana:
β’ distribusi obat berlangsung seketika,
β’ konsentrasi obat (banyak obat/volume darah) dalam tubuhsebanding dengan dosis obat, dan
β’ laju eliminasi sebanding dengan banyaknya obat dalam tubuh.
Model 1-Kotak (2)
Definisi dan notasi:
konsentrasi efektif minimum (MEC): konsentrasi obat terkecil yang masih dapat menolong
konsentrasi terapis maksimum / konsentrasi racun minimum (MTC): konsentrasi obatterbesar yang masih dapat menolong tanpa mengalami efek samping yang berbahaya
selang terapi dari suatu obat: selang konsentrasi di antara MEC dan MTC
waktu paruh (π‘1/2) dari suatu obat: waktu yang dibutuhkan agar setengah obat tereliminasidari tubuh.
Asumsi:
Banyaknya darah dalam tubuh orang dewasa sekitar 5 liter, sementara banyaknya plasma (cairan yang memuat sel darah) sekitar 3 liter.
Serum darah adalah cairan bening yang terpisah dari darah pada saat darah menggumpaldan orang dewasa memiliki sekitar 3 liter serum.
Contoh Kasus: Aspirin (Acetylsalicylic Acid)
Untuk orang dewasa dan anak di atas 12 tahun, dosis untuk mengobatisakit kepala adalah 1 atau 2 tablet dengan berat 325mg setiap 4 jam, maksimum 12 tablet per hari.
Penghilang rasa sakit akan efektif pada level 150 sampai 300 mikrograms/milliliter (ΞΌg/mL), sementara keracunan dapat terjadi padakonsentrasi plasma 350 ΞΌg/mL.
Waktu paruh dari dosis 300 sampai 650 mg adalah 3.1 sampai 3.2 jam, dengan dosis yang lebih banyak memiliki waktu paruh yang lebih lama.
Variabel dalam Model
ππ πππππ_ππ_ππππ ππ: massa aspirin dalam kotak, dengan nilai awal massadari 2 aspirin = (2)(325 mg)(1000 ΞΌg/mg).ππππ ππ_πππππππ‘πππ‘πππ: konsentrasi aspirin dalam plasma, dihitung denganmenggunakan volume plasma dalam tubuh (ππππ ππ_π£πππ’ππ) - 3000 mL.
Laju eliminasi dari ππ πππππ_ππ_ππππ ππ sebanding denganππ πππππ_ππ_ππππ ππ.
Jika ππ πππππ_ππ_ππππ ππ dinotasikan dengan Q, makaππ
ππ‘= βπΎπ.
Solusi persamaan diferensial ini adalah π = π0πβπΎπ‘, dengan πΎ =
ln 2
π‘1/2.
Persamaan Beda
βπππ_ππππ = 3.2 βππππ ππ_π£πππ’ππ = 3000 ππΏππ πππππ_ππ_ππππ ππ(0) = 2 β 325 β 1000 ππππππππππ‘πππ_ππππ π‘πππ‘ = β ln(0.5)/βπππ_ππππ
ππππππππ‘πππ= ππππππππ‘πππ_ππππ π‘πππ‘ β ππ πππππ_ππ_ππππ ππ
ππ πππππ_ππ_ππππ ππ =ππ πππππ_ππ_ππππ ππ β ππππππππ‘πππ β Ξπ‘ππππ ππ_πππππππ‘πππ‘πππ= ππ πππππ_ππ_ππππ ππ/ππππ ππ_π£πππ’ππ
Hasil Simulasi
Model 1-Kotak dengan Dosis Berulang: DilantinDilantin merupakan obat untuk epilepsi yang dipakai oleh pasien secararegular.Dosis orang dewasa adalah 3 x 1 kapsul 100-mg. Level efektif dalam serum darah adalah 10 sampai 20 ΞΌg/mL, yang membutuhkan 7 sampai 10 hari. Walaupun setiap orang memiliki reaksiberbeda, namun efek samping serius dapat terjadi pada saat level serum adalah 20 ΞΌg/mL.Half-life dari Dilantin berkisar dari 7 sampai 42 jam, tetapi secara rata-rata 22 jam.
Variabel
Sebagai penyederhanaan, diasumsikan model 1-kotak dengan penyerapaninstan.
πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ: massa Dilantin dalam kotak.Laju eliminasi πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ sebanding dengan πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ.
πππππ π‘πππ: tambahan massa Dilantin pada πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ.πππ πππ: dosisπ π‘πππ‘: waktu pemberian dosis awalπππ‘πππ£ππ: selang waktu antar dosis. πππ ππππ‘πππ_πππππ‘πππ: konstanta yang menyatakan bagian dari Dilantin yang diserap tubuh.πππππππ‘πππ‘πππ: konsentrasi obat dalam tubuh. π£πππ’ππ: volume serum darah, biasanya bernilai 3000 mL.
Persamaan Beda
βπππ_ππππ = 22 ππππ π‘πππ‘ = 0 ππππππ‘πππ£ππ = 8 ππππ£πππ’ππ = 3000 ππΏππΈπΆ = 10 ππ/ππΏ; πππΆ= 20 ππ/ππΏπππ πππ = 100 β 1000 πππππ ππππ‘πππ_πππππ‘πππ = 0.12ππππππππ‘πππ_ππππ π‘πππ‘= ln(2)/βπππ_πππππππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ(0) = 0
= πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ + πππππ π‘πππ - ππππππππ‘ππππππππππ‘πππ‘πππ = πππ’π_ππ_π π¦π π‘ππ/π£πππ’ππ
Hasil Simulasi
Model 2-Kotak
Model 1-kotak lebih cocok untuk penyuntikan obat dibandingkan penggunaantablet yang membutuhkan waktu untuk melarut, diserap dan didistribusikan di dalam tubuh.Dalam kasus ini, model 2-kotak dapat memberikan hasil yang lebih baik. Kotak pertama dapat merepresentasikan sistem pencernaan, sementara kotak keduamengindikasikan darah, plasma, serum, atau organ tubuh tertentu yang merupakan target dari obat. Dalam model ini, obat akan dialirkan dari kotaksatu ke yang lain. Laju perubahan absorpsi dari usus ke serum darah sebanding dengan banyaknyaobat dalam usus. Atau, secara lebih akurat, Laju perubahan absorpsi dari ususke serum darah sebanding dengan volume usus dan selisih konsentrasi obat di usus dan serum.Walaupun model 1 atau 2-kotak sudah memadai untuk beberapa kasus,kadangkala model multi-kotak juga diperlukan.
Quick Review Question 7
This question applies to the rate of change of absorption of a drug from the intestines to blood serum in a two-compartment model.
Suppose π is a constant of proportionality,
π and π are the masses of the drug in the intestines and blood serum, respectively,
π£π and π£π are the volumes of the intestines and blood serum, respectively,
ππ and ππ are the drug concentrations in the intestines and blood serum, respectively,
t is time in hours.
a. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the mass of drug in the intestines.
b. In this case, give the units of k.
c. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the volume of the intestines and to the difference of the drug concentrations in the intestines and blood serum.
d. In this case, give the units of k.