bab 1
TRANSCRIPT
-
5/25/2018 Bab 1
1/22
Metode Numerik
Bab 1
Interpolasi dan Ekstrapolasi
Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai
tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan
upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak
diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan
analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titikx1, x2, x3,
, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y
= f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara
numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval interpolasi! maupun di luar
interval titik-titik yang diketahui ekstrapolasi!. "ermasalahan utama dalam
interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya.
#ungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk
tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai
secara luas. $e%auh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan
trigonometri.
"roses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan
fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik data! yang ada, dan
kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan
untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi
multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu
dimensi.
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 1
-
5/25/2018 Bab 1
2/22
1.1 Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan
Interval Konstan
"olinomial interpolasi kedepan Ne&ton Ff(x) dengan x0 xn-1
sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (x) tetap sebesar h dapat
dinyatakan sebagai berikut'
(oefisien a0, a1, a2, an tergantung darix0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di titik-
titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan )-)! dapat dinyatakan sebagai
berikut'
disebut dengan perbedaan kedepan atau forward
difference, sehingga interpolasi cara Ne&ton yang didasarkan pada persamaan
)-*! disebut dengan interpolasi kedepan cara Ne&ton. "erbedaan kedepan
dihitung sebagai berikut'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 2
-
5/25/2018 Bab 1
3/22
Metode Numerik
$ecara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam +abel ).) berikut ini.
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 3
-
5/25/2018 Bab 1
4/22
1.2 Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk Data dengan
Interval Konstan
"olinomial interpolasi kebelakang Ne&ton Fb(x) dengan x0, , xn-1 yang
mempunyai interval (x) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut'
(oefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui.
Dalam bentuk lebih rinci persamaan )-! dapat dinyatakan sebagai berikut'
disebut perbedaan kebelakang atau bacward difference,
sehingga interpolasi cara Ne&ton yang didasarkan pada persamaan )-!
disebut dengan interpolasi kebelakang cara Ne&ton. ntuk n = !, maka
persamaan )-! men%adi'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 4
-
5/25/2018 Bab 1
5/22
Metode Numerik
"erbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut'
$ecara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam +abel ).* berikut ini.
1.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk Data dengan Interval Tidak
Konstan
"olinomial Interpolasi "a#ran#eF(x) denganx0, , xn-1 mempunyai interval
(x) tidak konstan dapat dinyatakan sebagai berikut'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 5
-
5/25/2018 Bab 1
6/22
(oefisien a0, a1, a2, an tergantung dari x0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di
titik-titik tersebut. (oefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut'
Dengan mensubstitusi persamaan )-/! ke dalam persamaan )-0!, maka
diperoleh persamaan polinomial interpolasi "a#ran#eyang dinyatakan sebagai
berikut'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 6
-
5/25/2018 Bab 1
7/22
Metode Numerik
"ersamaan )-)1! dapat %uga digunakan, %ika varibel bebasnya adalah y,
sedangkan variabel tak bebasnya adalahx.
1.. Interpolasi Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak
Konstan
"olinomial interpolasi Ne&ton F(x) untuk data dengan interval (x) tidak konstan
dikembangkan dari polinomial interpolasi "a#ran#edan $ewtondan dinyatakan
dengan'
(oefisien b0, b1, b2, bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan
ordinatnya, yaitu masing-masing adalah' f(x)0, f(x)1, f(x2), f(xn) dan dihitung
sebagai berikut'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 7
-
5/25/2018 Bab 1
8/22
$ecara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan )-))! diberikan
berikut ini.
1.!. Interpolasi dengan Lengkung Kubik "Cubi# $pline% untuk
Data dengan Interval $e&barang
Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = f(x), dengan
kemiringan (s%o&e) dan kurvatur (cur'ature) yang sama di sekitar titik x
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 8
-
5/25/2018 Bab 1
9/22
Metode Numerik
interpolasi. ntuk interval antara xi1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai
turunan kedua sebagai berikut'
adalah koefisien yan tergantung dari nilaix. "enyelesaian persamaan di atas
pada intervalxi-1 danxi akan menghasilkan'
$edangkan pada intervalxi danxi1 akan menghasilkan'
2ika persamaan )-)! diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan
persamaan berikut'
sedangkan integrasi persamaan )-)! akan menghasilkan persamaan berikut'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 9
-
5/25/2018 Bab 1
10/22
c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan'
3engkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai
bentuk'
selan%utnya'
dimana y*(-)iadalah turunan di sebelah kiri titikx = xi. Demikian %uga lengkung
kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi1,yi1) mempunyai ekspresi'
selan%utnya'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 10
-
5/25/2018 Bab 1
11/22
Metode Numerik
dimana y*()i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. +urunan di sebelah kiri
dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi,
sehingga'
dengan pengaturan selan%utnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut'
ntuk titik data! sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka
%umlah bilangan tidak diketahui akan ber%umlah (n1) buah, yi4 = 0,n. 5gar
sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua
persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0
dan i = n. (edua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas,
dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut'
Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT
11
-
5/25/2018 Bab 1
12/22
+ adalah matriks koefisien ai berupa matriks tridiagonal yang elemen-
elemennya didefinisikan sebagai berikut'
/ adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa yi, sedangkan / adalah
vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut'
2ika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x
sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 12
-
5/25/2018 Bab 1
13/22
Metode Numerik
+urunan y*(-)i dan y*()i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan )-*)! dan
)-*6!. $eringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak
diketahui. +ransformasi kurvatur men%adi turunan mudah dilakukan.
Langka'(langka' interpolasi dengan lengkung kubik)
1.*. Interpolasi dengan Trigoneo&etri untuk Data +eriodik
2ika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya
interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. $alah satunya
dapat dinyatakan sebagai berikut'
(oefisien c0, c1, c2, cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan
ordinatnya, yaitu masing-masing adalah' f(x0), f(x1), f(x2), f(xn) dan dihitung
sebagai berikut'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT
13
-
5/25/2018 Bab 1
14/22
"ersamaan )-)6! dapat %uga digunakan, %ika varibel bebasnya adalah y,
sedangkan variabel tak bebasnya adalahx.
1.,. Conto' Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk
Data dengan Interval Konstan
+ersoalan
"osisi planet 7ars diukur setiap )1 hari seperti ditun%ukkan pada +abel ).. Dari
data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet 7ars pada t = 140,4.
-awaban)
"ersoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan
berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar
data terakhir, yaitu mulai t 8 )611,. "erhitungan perbedaan nilai kedepan
diberikan berikut ini.
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 14
-
5/25/2018 Bab 1
15/22
Metode Numerik
Ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton berdasar persamaan )-*! menghasilkan
polinomial ekstrapolasi dan posisi planet 7ars pada t = 140,4 sebagai berikut'
( ) ( ) ( ) (
08,58122
15167,01314155,181415527158086117862)5,1450(
10
5,13305,1450
10
5,13205,1450
10
5,13105,1450
10
5,13005,1450
!4
4
14
10
5,13105,1450
10
5,13005,1450
!3
111
10
5,13205,1450
10
5,13105,1450
10
5,13005,1450
!2
1054
10
5,13005,14508086117862)5,1450(
10
5,1330
10
5,1320
10
5,1310
10
5,1300
!4
4
10
5,1320
10
5,1310
10
5,1300
!3
111
10
5,1320
10
5,1310
10
5,1300
!2
1054
10
5,13008086117862)(
=++=
+
+
=
+
+
=
Ff
Ff
xxxx
xxx
xxxxxFf
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT
15
-
5/25/2018 Bab 1
16/22
1.. Conto' Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk
Data dengan Interval Tidak Konstan
+ersoalan)
Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai
berikut'
Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Ne&ton
untuk elevasi topografi berdasar data padax = 3.2, ., 4.0, !.0, 5.1 dan 6.2 9
data!. $elan%utnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 4.4.
-awaban)
#ungsi interpolasi kedepan cara Ne&ton untuk data dengan interval tidak
konstan dinyatakan dalam persamaan )-))!. :arga koefisien-koefisien dalam
persamaan )-))! dihitung dalam tabel berikut ini.
"olinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam +abel ).9
adalah'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 16
-
5/25/2018 Bab 1
17/22
Metode Numerik
Dengan demikian untukx = 4.4, maka ketinggiannya adalah'
1./. Conto' Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk
Data dengan Interval Tidak Konstan
+ersoalan)
Erupsi ;unung "iton de la #ournaise "ulau
-
5/25/2018 Bab 1
18/22
$tep 2)
membentuk vektor / berdasar persamaan )-61! dengan asumsi bah&a
turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya'
$etelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor / akan berharga'
$tep 3)
menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan )-*0!, maka
sistem
persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut'
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 18
-
5/25/2018 Bab 1
19/22
Metode Numerik
Aektor / merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan
kedua atau /y**i. $etelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh'
$tep )
menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar persamaan )-
*)! dan )-*6! yang diberikan dalam +abel ).0 berikut ini'
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT
19
-
5/25/2018 Bab 1
20/22
1.10. Conto' Kasus Ekstrapolasi Trigoneo&etri untuk
Data dengan Interval Konstan
+ersoalan
"osisi planet 7ars secara berkala ditun%ukkan pada +abel ).. Dari data ini kita
diminta memperkirakan posisi panet 7ars pada t = 140.4.
-awaban)
"ersoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat
diker%akan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri
dilakukan berdasar data terakhir, yaitu mulai t 8 )611. perhatikan kembali
+abel ).!. "erhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut
ini.
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 20
-
5/25/2018 Bab 1
21/22
Metode Numerik
(oefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan )-66! akan
menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.
:asil ekstrapolasi cara trigoneometri (125!6) berbeda cukup %auh dengan hasil
ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton (207302). :al ini disebabkan oleh ketelitian
masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan
mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme
pengukuran kesalahan. $elain itu tidak ada informasi posisi planet 7ars pada t =
140.4 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya,
lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang
tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton.
1.11. Ko&entar
Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau
data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang
diketahui. 7etode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali.
Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya.
Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan
trigoneometri satu dimensi. "embaca dapat mencari sendiri beberapa metode
lainnya.
Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT
21
-
5/25/2018 Bab 1
22/22
(ata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian
interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana
tidak disertakan hal-hal berikut ini' kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi
ketelitian interpolasi. $atu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang
menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan
kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan
titik interpolasi. 7asalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertu%uan
hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi
data dalam fungsi sederhana. :asil interpolasinya sendiri bukan merupakan
tu%uan dari bab ini.
Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan
masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir
dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik
spasial statistik!, baik untuk satu maupun multi dimensi. :asil interpolasi dengan
ketelitiannya yang optimal merupakan tu%uan dari Bagian III. Dengan demikian
keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat
dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif.
Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab ) dapat disimpulkan,
bah&a masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuankoefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak
ditentukan misalnya tergantung dari %arak antara titik interpolasi dan titik-titik
lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari %arak.
2adi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot
merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di
sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih
%auh dari titik interpolasi.
ntuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian
disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III,
karena ketelitiannya dapat dipertanggung%a&abkan dan diu%i secara statistik serta
sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.
Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 22