BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Optimasi

2.1.1. Pengertian Optimasi

Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah

keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah

meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang

diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat

dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat

didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai

minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai

aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk

mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari

minimum dari negatif fungsi yang sama.

Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan semua

masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk

menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda-beda seperti metode Lagrange.

Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu

fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik dirumuskan

sebagai berikut: Misalkan 𝑹 ruang bilangan riil dan 𝑆 subset tak kosong dari 𝑹, dan

misalkan 𝑓: 𝑆 → 𝑹 sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan mencari titik minimum

𝑓 pada 𝑆. Sebuah elemen �̅� ∈ 𝑆 dikatakan titik minimum 𝑓 pada 𝑆 jika

𝑓(�̅�) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝑆

Himpunan 𝑆 dinamakan himpunan pembatas (constraint set) dan fungsi 𝑓

dinamakan fungsi objektif.

Universitas Sumatera Utara

13

Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman

matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations research).

Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang menekankan kepada

aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-masalah pengambilan

keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal. Teknik pemrograman

matematikal sangat berguna dalam pencarian minimum suatu fungsi beberapa

variabel di bawa kendala yang ada. Teknik proses stokastik dapat digunakan untuk

menganalisis masalah yang didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak

dimana distribusi probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan

untuk menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik

untuk memperoleh representasi yang lebih akurat mengenai situasi fiskal.

Universitas Sumatera Utara

14

2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi

Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai berikut.

Tabel 2.1. Metode Penelitian Operasional

Teknik Pemrograman

Matematikal

Teknik Proses Stokastik Metode Statistikal

Metode Kalkulus

Pemrograman Geometrik

Pemrograman Nonlinier

Pemrograman Kuadrati k

Pemrograman Linier

Pemrograman Dinamik

Pemrograman Integer

Pemrograman Stokastik

Pemrograman Seperable

Pemrograman Multiobyektif

Metode Jaringan : CPM & PERT

Teori Permainan

Simulated Annealing

Genetic Algorithm

Neural Networks

Teori Keputusan

Proses Markov

Teori Antrian

Renewal Theory

Simulasi

Reliability Theory

Analisis Regresi

Analisis Kluster, Pattern

Recognition

Rancangan Eksperimen

Analisis Diskriminan

Universitas Sumatera Utara

15

Optimasi Tanpa Kendala

Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi

tanpa kendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan 𝑓 = 𝑓(𝑋) (2.1)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇

Optimasi Dengan Kendala

Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi

terkendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan 𝑓 = 𝑓(𝑋) (2.2)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇

dengan kendala:

𝑔𝑖(𝑋) ≤ 0 𝑖 = 1,2, … ,𝑚

𝑙𝑗(𝑋) = 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑝

dimana 𝑋 adalah sebuah vektor berdimensi- 𝑛 yang dinamakan vektor disain atau

variabel keputusan, 𝑓(𝑋) disebut fungsi obyektif, 𝑔𝑖(𝑋) dan 𝑙𝑗(𝑋) dikenal sebagai

kendala ketaksamaan dan kendala kesamaan.

2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti diuraikan

berikut.

1. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala

Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi dapat

diklasifikasikan sebagai masalah optimasi tanpa kendala dan masalah

Universitas Sumatera Utara

16

optimasi terkendala, tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam

masalah optimasi.

2. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi yang Terlibat

Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada bentuk

fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini, masalah

optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman linier,

nonlinier, geometrik, dan kuadratik.

Masalah Pemrograman Linier

Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari variabel

keputusan, maka masalah pemrograman matematika tersebut dinamakan

pemrograman linier (LP). Masalah pemrograman linier dapat dinyatakan

dalam bentuk standar berikut:

Minimumkan 𝑓(𝑋) = ∑ 𝑐𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1 (2.3)

𝑋 = (

𝑥1𝑥2

⋮𝑥𝑛

)

dengan kendala

∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑏𝑗 , 𝑗 = 1,2, … ,𝑚 (2.4)

𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

dimana 𝑐𝑖, 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑗 adalah konstanta (yang selanjutnya dinamakan sebagai

parameter).

Masalah Pemrograman Nonlinier

Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan fungsi-fungsi

kendala, maka masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman

nonlinier (nonlinier programming).

Universitas Sumatera Utara

17

Masalah Pemrograman Kuadratik

Suatu masalah pemrograman kuadratik adalah suatu masalah pemrograman

nonlinier dimana fungsi obyektif berbentuk kuadratik dan fungsi kendala

berbentuk linier. Masalah pemrograman kuadratik dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝐹(𝑋) = 𝑐 + ∑𝑞𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ ∑∑𝑄𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑛

𝑖=1

(2.5)

dengan kendala

∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑏𝑗, 𝑗 = 1,2, … ,𝑚 (2.6)

𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

dimana 𝑐𝑖, 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑗 adalah konstanta.

Masalah Pemrograman Geometrik

Sebuah fungsi ℎ(𝑋) dinamakan posynomial 𝑛 suku jika ℎ dapat dituliskan

sebagai ℎ(𝑋) = 𝑐1𝑥1𝑎11𝑥2

𝑎12 …𝑥𝑛𝑎1𝑛 + ⋯+ 𝑐𝑁𝑥1

𝑎𝑁1𝑥2𝑎𝑁2 …𝑥𝑛

𝑎𝑁𝑚

dimana 𝑐𝑖 dan 𝑎𝑖𝑗 adalah konstanta dengan 𝑐𝑖 > 0 dan 𝑥𝑖 > 0.

Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah masalah

pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala

dinyatakan sebagai posynomial dalam variabel keputusan. Jadi masalah

GMP dapat dituliskan sebagai:

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑘𝑎𝑛 𝑓(𝑋) = ∑𝑐𝑖

𝑁0

𝑖=1

(∏𝑥𝑗

𝑝𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

), 𝑐𝑖 > 0, 𝑥𝑖 > 0 (2.7)

𝑋 = (

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

)

Universitas Sumatera Utara

18

dengan kendala

𝑔𝑘(𝑋) = ∑𝑎𝑖𝑘

𝑁𝑘

𝑖=1

(∏𝑥𝑗

𝑞𝑖𝑗𝑘

𝑛

𝑖=1

) > 0, 𝑎𝑖𝑘 > 0, 𝑥𝑖 > 0 (2.8)

dimana 𝑁0 dan 𝑁𝑘 berturut-turut menyatakan banyaknya suku posynomial

dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke-k.

3. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan, masalah

optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman bilangan

bulat (integer) dan pemrograman bilangan riil.

Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)

Jika beberapa atau semua variabel keputusan 𝑥𝑖( 𝑖 = 1,2, … , 𝑛) dari suatu

masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan bulat (integer) atau

diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan pemrograman bilangan bulat.

Masalah Pemrograman Bilangan Riil

Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka masalah optimasi

dinamakan masalah pemrograman riil.

4. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah optimasi

dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman stokastik dan masalah

pemrograman deterministik.

Masalah Pemrograman Stokastik

Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi dimana

beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat probabilistik (non

deterministik atau stokastik).

Universitas Sumatera Utara

19

Masalah Pemrograman Deterministik

Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik, masalah

optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman deterministik.

5. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman

separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada separabilitas fungsi

obyektif dan fungsi kendala.

Masalah Pemrograman Separabel

Suatu fungsi 𝑓(𝑋) dikatakan separabel jika dapat dituliskan sebagai jumlah

dari 𝑛 fungsi tunggal 𝑓1(𝑥1),… , 𝑓𝑛(𝑥𝑛) yaitu

𝑓(𝑋) = ∑𝑓𝑖

𝑛

𝑖=1

(𝑥𝑖) (2.9)

Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi dimana

fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel dan dapat dituliskan

dalam bentuk standar:

Minimumkan 𝑓(𝑋) = ∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖) (2.10)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇

dengan kendala

𝑔𝑗(𝑋) = ∑𝑔𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

(𝑥𝑖) ≤ 𝑏𝑗 , 𝑗 = 1,2, … ,𝑚 (2.11)

dimana 𝑏𝑗 konstanta.

Masalah Pemrograman Nonseparabel

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi non

separabel, masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman

nonseparabel.

Universitas Sumatera Utara

20

6. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif

Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan,

masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman

obyektif-tunggal dan multi obyektif.

Masalah Pemrograman Obyektif-Tunggal

Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif

dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier merupakan

salah satu contoh dari masalah pemrograman obyektif-tunggal.

Masalah Pemrograman Multiobyektif

Suatu masalah pemrograman multiobyektif dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Minimumkan 𝑓1(𝑋), 𝑓2(𝑋),… , 𝑓𝑘(𝑋) (2.12)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇

dengan kendala

𝑔𝑗(𝑋) ≤ 0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑚 (2.13)

dimana 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘 adalah fungsi-fungsi obyektif yang diminimumkan

secara simultan.

2.1.4. Teknik Optimasi

Metode klasik kalkulus diferensial dapat digunakan untuk mendapatkan maksima

dan minima suatu fungsi multi variabel tanpa kendala. Metode ini mengasumsikan

bahwa fungsi tersebut dapat didiferensialkan dua kali terhadap variabel keputusan

dan turunannya kontinu. Untuk masalah optimasi dengan kendala kesamaan,

metode pengali Lagrange (Lagrangian multiplier method) dapat digunakan. Jika

masalah optimasi melibatkan kendala kesamaan, syarat Kuhn-Tucker dapat

digunakan untuk mengidentifikan titik optimum. Akan tetapi metode ini melibatkan

Universitas Sumatera Utara

21

sekumpulan persamaan non linier secara simultan yang boleh jadi sukar untuk

diselesaikan (Parwadi Moengin, 2011).

Penerapan perhitungan penurunan parsial penting sekali dalam bidang

ekonomi, terutama di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi multivariat.

Nilai optimum yang dimaksud ialah nilai yang diperoleh dari proses penentuan

pemecahan yang paling terbaik dari pemecahan-pemecahan dalam suatu kendala

yang ada. Nilai yang diperoleh ini bias maksimum atau minimum.

2.2. Maksimum Dan Minimum

2.2.1. Teorema keberadaan Maksimum-Minimum

Gambar 2.1. Fungsi Maksimum-Minimum

Nilai ektrem suatu fungsi bisa nilai maksimum atau nilai minimum. Disini

dibedakan antara nilai maksimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau

relatif dan nilai minimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif.

Dari gambar diketahui bahwa titik B adalah titik maksimum global

sedangkan titik E adalah titik maksimum lokal. Titik D adalah minimum global

sedangkan titik F adalah titik minimum lokal. Titik C bukanlah titik maksimum

atau minimum suatu fungsi, titik ini disebut titik belok suatu fungsi.

Titik maksimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada garis

tersebut adalah nol dan kurva terbuka kebawah, sedangkan titik minimum terjadi

jika koefisien arah dari garis singgung pada titik tersebut adalah nol dan kurva

terbuka ke atas (Legowo, 1984).

A

B

C

D

E

FG

Universitas Sumatera Utara

22

Jika 𝑓 kontinu pada sebuah himpunan 𝑆 tertutup terbatas, maka 𝑓 mencapai

nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

Misalkan 𝑓 adalah fungsi dengan daerah asal 𝑆, dan misalkan 𝒑0 adalah

sebuah titik di 𝑆.

1. 𝑓(𝒑0) adalah nilai maksimum global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0) ≥ 𝑓(𝒑) untuk seluruh

𝒑 di 𝑆.

2. 𝑓(𝒑0) adalah nilai minimum global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0) ≤ 𝑓(𝒑) untuk seluruh 𝒑

di 𝑆.

3. 𝑓(𝒑0) adalah nilai ekstrem global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0) bukan nilai maksimum

global dan bukan nilai minimum global.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi adalah dengan menentukan titik di

daerah asal fungsi, sedemikian sehingga 𝑓 mencapai nilai maksimum atau

minimum. Titik-titik demikian disebut dengan titik kritis.

Masalah mencari nilai maksimum atau minimum akan sangat sulit jika

bentuk umum daripada kurva belum diketahui. Di dalam hal ini sangatlah sukar

menentukan apakah titik kritisnya adalah titik maksimum, titik minimum, atau titik

lainnya. Cara yang paling mudah ialah dengan mencari turunan pertama atau

turunan kedua yang dekat nilai kritisnya.

2.2.2. Teorema Titik Kritis

Misalkan 𝑓 didefinisikan pada sebuah himpunan 𝑆 yang mengandung 𝒑0. Jika

𝒇(𝒑0) adalah sebuah nilai ekstrem, maka 𝒑0 harus merupakan sebuah titik kritis,

yaitu 𝒑0 adalah

(i) Sebuah titik batas di 𝑆

(ii) Sebuah titik stasioner dari 𝑓

(iii) Sebuah titik tunggal dari 𝑓

Dari definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu agar fungsi dua

variabel mempunyai nilai ekstrim adalah adanya titik kritis. Titik kritis yang

Universitas Sumatera Utara

23

dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak

mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik

stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama (Edwin J.

Purcell, 2003).

2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama

Titik (𝑥0, 𝑦0) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi 𝑓 bilamana,

𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 0 dan 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 0 (2.14)

Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua

variabel adalah fungsi 𝑓 mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang

memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.

Jika 𝑥 = 𝑎 adalah titik kritis maka:

Jika 𝑓′(𝑥) merubah tanda dari positif ke negatif ketika 𝑥 nilainya

bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎)

adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.

Jika 𝑓′(𝑥) merubah tanda dari negatif ke positif ketika 𝑥 nilainya

bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎)

adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.

Jika 𝑓′(𝑥) tidak merubah tanda ketika 𝑥 nilainya bertambah, di dalam

suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎) adalah bukan nilai

maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.

Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika

turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada

titik tersebut terbuka ke bawah (concave down ward) dan jika hasil turunan

keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas (concave

up ward) pada titik tersebut.

2.2.4. Uji Turunan Kedua

Universitas Sumatera Utara

24

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi, di samping dipersyaratkan adanya titik

kritis diperlukan penyelidikan lanjutan untuk mengetahui apakah titik kritis tersebut

memberikan nilai ekstrem. Penyelidikan pada titik kritis demikian disebut

pengujian syarat kecukupan nilai ekstrem. Uji syarat cukup yang digunakan adalah

uji turunan kedua, khususnya bilamana titik kritisnya adalah titik stasioner.

Andaikan 𝑓(𝑥, 𝑦) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam

lingkungan (𝑥0, 𝑦0) dimana 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 0 dan 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 0. Misalkan,

𝐷 = 𝐷(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)𝑓𝑦𝑦(𝑥0, 𝑦0) − [𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)]2 (2.15)

Maka

(i) Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0) adalah sebuah nilai maksimum

lokal;

(ii) Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0) adalah sebuah nilai minimum

lokal;

(iii) Jika 𝐷 < 0 dan 𝑓(𝑥0, 𝑦0) bukan sebuah nilai ekstrem ((𝑥0, 𝑦0) adalah sebuah

titik pelana);

(iv) Jika 𝐷 = 0, uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat

disimpulkan.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dua variabel, langkah-langkah yang

harus dilakukan adalah,

1. Tentukanlah turunan-turunan parsial pertama dan kedua dari 𝑓, yakni

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) dan 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) atau 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦)

2. Tentukanlah titik kritis (stasioner) fungsi yakni dengan menetapkan,

𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 0 dan 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = 0

3. Bentuklah persamaan pembantu,

𝐷 = 𝐷(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0)𝑓𝑦𝑦(𝑥0, 𝑦0) − [𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)]2 (2.16)

Dan selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrem pada titik kritis dengan

menggunakan uji turunan ke dua (Prayudi, 2009).

Universitas Sumatera Utara

25

Turunan kedua juga bisa digunakan mencari titik-titik belok dari fungsi

tersebut jika ada, yaitu suatu titik pada mana suatu fungsi berubah bentuknya dari

terbuka ke atas ke terbuka ke bawah.

Suatu titik belok dapat terjadi jika turunan keduanya sama dengan nol. Tidak

semua titik-titik dimana turunan keduanya sama dengan nol, adalah titik belok.

Titik belok bisa juga terjadi pada nilai 𝑥 = 𝑎 dimana 𝑓′′(𝑎) tidak tentu. Dengan

demikian suatu titik belok suatu fungsi pada 𝑥 = 𝑎 bisa terjadi:

1. 𝑓′′(𝑎) = 0

2. 𝑓′′(𝑎) tidak tentu.

2.3. Metode Pengali Lagrange

Andaikan akan dicari nilai ekstrem relatif fungsi dari 𝑓(𝑋) dengan 𝑛 variabel dan

𝑚 kendala kesamaan seperti berikut:

Minimumkan 𝑓(𝑋) (2.17)

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

dengan kendala

𝑔𝑗(𝑋) = 0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑚

Ada suatu ketentuan bahwa 𝑚 ≤ 𝑛, hal ini dikarenakan jika 𝑚 > 𝑛 maka

persamaan tersebut tidak bias diselesaikan.

Fungsi Lagrange 𝐿 untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan

pengali Lagrange 𝜆𝑗 untuk setiap kendala 𝑔𝑗(𝑋) sebagai

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑚) = 𝑓(𝑋) + ∑𝜆𝑗𝑔𝑗

𝑚

𝑗=1

(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (2.18)

Dengan memperlakukan 𝐿 sebagai sebuah fungsi 𝑛 + 𝑚 variabel

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑚, maka syarat perlu untuk ekstrimum dari 𝐿 yang juga

merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑖=

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖+ ∑𝜆𝑗

𝑚

𝑗=1

𝜕𝑔𝑗

𝜕𝑥𝑖= 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.19)

Universitas Sumatera Utara

26

𝜕𝐿

𝜕𝜆𝑗= 𝑔𝑗(𝑋) = 0, 𝑗 = 1,2, … ,𝑚 (2.20)

Persamaan di atas melibatkan 𝑛 + 𝑚 persamaan dalam 𝑛 + 𝑚 variabel tak

diketahui 𝑥𝑖 dan 𝜆𝑗. Penyelesaian dari persamaan di atas adalah

𝑋∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗)𝑇 dan 𝜆∗ = (𝜆1

∗ , 𝜆2∗ , … , 𝜆𝑚

∗ )𝑇 (Djoko Luknanto, 2000).

Universitas Sumatera Utara