BAHAN AJAR

STATISTIK EKONOMI II

Disusun OlehHANIFAH MUTIA Z. N. AMRUL

UNIVERSITAS PEMBANGUNAN PANCABUDI

MEDAN

1

2012

STATISTIKA II

2

A. DESKRIPSI

Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang

selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan interpretasi terhadap berbagai

macam data hasil penelitian dan sekaligus mengetahui alat-alat analisa apa saja

yang dibutuhkan sesuai dengan masalah yang dihadapi.

Tujuan mata kuliah ini adalah memberi pengetahuan kepada mahasiswa tentang:

a. Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan.

b. Alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap

masalah yang dihadapi.

c. Dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna

memecahkan masalah yang dihadapi.

B. PRASYARAT: STATISTIKA I

C. MATERI

1. Konsep Dasar Probabilitas

1.1. Pengertian dan manfaat probabilitas

1.2. Pendekatan terhadap probabilitas

1.3. Hukum dasar Probabilitas

1.4. Teorema Bayes

2. Distribusi Probabilitas

2.1. Pengertian distribusi probabilitas

2.2. distribusi probabilitas Binomial

3

2.3. distribusi probabilitas Hipergeometrik

2.4. distribusi probabilitas Poisson

3. Distribusi probabilitas normal

3.1. Pengertian dan karakteristik Distribusi Probabilitas Normal

3.2. Distribusi Probabilitas Normal Standar

3.3. Luas dibawah kurva normal

3.4. Pendekatan Normal terhadap Binomial

4. Teori Keputusan

4.1. Elemen-elemen Keputusan

4.2. Keputusan dalam keadaan beresiko

4.3. Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian

5. Metode dan Distribusi Sampling

5.1. Pengertian populasi dan sample

5.2. Metode penarikan sample

5.3. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi

5.4. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi

5.5. Factor Koreksi untuk populasi terbatas

5.6. Dalil batas tengah

6. Hipotesa

6.1. Pengertian dan Pengujian Hipotesa

6.2. Prosedur pengujian hipotesa

6.3. Uji Significan

6.4. Menguji hipotesa Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar

4

6.5. Menguji hipotesa Selisih Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar

6.6. Jenis Kesalahan I dan I

7. Uji Chi Kuadrat

7.1. Pendahuluan

7.2. Uji Chi-Kuadrat untuk Keselarasan

7.3. Uji Chi-Kuadrat untuk Kenormalan

7.4. Uji Chi-Kuadrat untuk independensi

BAB IKONSEP DASAR PROBABILITAS

1.1. Pengertian dan Manfaat Probabilitas

Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk

suatu kejadian.

Lind (2002) dalam mendefenisikan probabilitas sebagai:

5

“Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi

dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam

persentase”

Probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena

kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui

berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam

angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Contoh:

Seluruh mahasiswa Panca Budi harus memiliki sertifikat computer untuk program

microsoft exel. Di kota Medan banyak terdapat tempat kursus computer

diantaranya LP3I, Medicom, Tricom dll. Maka akan muncul kebingungan dalam

memilih tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan

bertanya kepada teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa

mungkin anda bertanya hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak

diminati anda akan memilih tempat tersebut untuk kursus.

Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa

contoh atau sampel dari populasi keseluruhan.

Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas:

a. Percobaan (experiment)

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang

memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa

memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi

b. Hasil (outcome)

6

suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan

dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam

sebuah percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil

yang akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus.

Ada yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan

c. Peristiwa (event)

kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan

atau kegiatan

Contoh:

Percobaan Pertandingan sepak bola antara Fakultas Ekonomi

UNPAB dan Fakultas Pertanian UNPAB

Hasil Fakultas Ekonomi menang,

Fakultas Ekonomi kalah

Seri, tidak ada yang kalah dan tidak ada yang

menang

Peristiwa Fakultas Ekonomi Menang

Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0

menunjukkan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1

mununjukkan peristiwa pasti terjadi.

Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase:

1. Pada awal bulan adalah waktu gajian bagi karyawan, maka banyak pusat –

pusat perbelanjaan melakukan promosi dengan harapan mendapat

keuntungan yang lebih sehingga sehingga probabilitas menjual mencapai

0,8 sedangkan membeli 0,3.

2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika II,

maka mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70% dan kalah

30%

7

Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berarti peristiwa yang tidak mungkin

terjadi, seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas

dengan nilai 1 adalah peristiwa yang pasti terjadi, seperti semua manusia pasti akan

meninggal.

1.2. Pendekatan Probabilitas

Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga

pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.

Pendekatan klasik

Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama

untuk terjadi (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan

sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil

(rasio peristiwa terhadap hasil)

Contoh:

Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan,

memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi,

maka probabilitas setiap peristiwa adalah 1/3.

Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak

mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling

lepas.

8

”Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu

peristiwa sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang

bersamaan”

Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas

yang sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan

lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive).

”lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari

seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan

yang dilakukan”

Pendekatan Relatif

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak

suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:

Contoh:

Dari kegiatan belajar mahasiswa dapat dilihat hasilnya pada Wisuda Sarjana

Universitas Panca Budi tahun 2007 sebanyak 800 orang mahasiswa. 500 orang lulus

dengan memuaskan, 200 orang dengan sangat memuaskan dan 100 orang dengan

prediket terpuji. Maka probabilitas lulus memuaskan adalah 500/800 = 0.625; lulus

dengan sangat memuaskan 200/800 = 0.25 dan lulus dengan terpuji 100/800 =

0.125.

9

Pendekatan Subjektif

Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya

probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam

derajat kepercayaan.

Contoh:

Menurut pengamat politik, Jokowi-Ahok akan menang dalam Pemilihan Kepala

daerah Jakarta tahun 2012.

1.3. Konsep Dasar Dan Hukum Probabilitas

Dalam teori probabilitas, probabilitas kejadian dilambangkan dengan “P”,

apabila kejadian jual saham dilambangkan dengan huruf “A”, maka probabilitas jual

saham dilambangkan dengan P(A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham

dilambangkan dengan “B”, maka probabilitas beli saham dilambangkan dengan P

(B).

Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas (mutually

exclusive) yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi

pada saat bersamaan.

Hukum ini dilambangkan sebagai:

P (A atau B) = P (A B) = P (A) + P(B)

Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n yaitu:

P(A atau ... n) = P(A) + P(B) + ......+P(n)

10

Contoh:

Berikut adalah kegiatan perdangan saham di BEJ untuk tiga

perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi

Jenis Transaksi Volume Transaksi

Jual saham 120

Beli saham 80

Jumlah Total transaksi 200

Penyelesaian:

Dari data diatas diketahui bahwa:

Probabilitas Jual = P(A) = 120/200 = 0.60

Probabilitas Beli = P(B) = 80/200 = 0.40

Sehingga probabilitas A atau B,

P(A B) = P(A) + P(B) = 0.6 +0.4 = 1.0

Peristiwa atau Kejadian Bersama

Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara

bersama-sama, peristiwa bersama tersebut dapat lebih mudah dilihat dengan

diagram Venn seperti berikut:

Penjumlahan probabilitas dengan adanya unsur kegiatan bersama, maka rumus

penjumlahan dirumuskan kembali menjadi sebagai berikut:

11

A AD

D

P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD)

Dimana:

P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama- sama

P(A) : probabilitas terjadinya A

P(D) : probabilitas terjadinya D

P(AD) : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama

Untuk 3 kejadian maka rumusnya menjadi

P (A atau B atau C) = P (A B C)

= P (A) + (B) + (C) _ P (A B) – P (A C) – P (B C) +

P (A B C)

Kejadian saling lepas (mutually exclusive)

Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa

yang dapat terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn:

Maka P(AB) = 0

Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B

yang dinyatakan P(A atau B)

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Karena P(AB) = 0 maka

P(A atau B) = P(A) + P(B) – 0

12

A D

Sehingga:

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh:

Cobalah hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli

saham P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BII dan

BNI (P(DEF).

KegiatanPerusahaan

JumlahBNI (C) BII (D) BCA (E)

Jual (A) 30 50 40 120

Beli (B) 40 30 10 80

Jumlah 70 80 50 200

Penyelesaian:

Probabilitas kejadian A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka P(AB)=0.

maka hukum penjumlahan untuk peristiwa saling lepas adalah:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

= 0.6 + 0.4

= 1.0

probabilitas kejadian ketiga saham juga merupakan kejadian saling lepas, maka

hukum penjumlahannya adalah:

P (C atau D atau E) = P(C) + P(D) + P(E) – P(CDE)

= 0.35 + 0.40 + 0.25 – 0

= 1.0

13

probabilitas P(C atau D)

P(C atau D) = P(C) + P(D) – P(CD)

= 0.35 + 0.40

= 0.75

Hukum Perkalian.

Dalam hukum perkalian dikehendaki setiap peristiwa independent yaitu suatu

peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi.

“Peristiwa independent adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidak

mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.”

Dapat dinyatakan dalam bentuk:

P(A dan B) = P (A B) = P(A) x P(B)

Probabilitas bersyarat (Condicional Probability)

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas statu peristiwa akan terjadi, dengan

ketentuan peristiwa lain telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat

bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai

berikut:

P(A dan B) = P(A) x (P(B|A)

Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Peristiwa pelengkap menunjukan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B

yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B

pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut:

14

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

Dalam bentuk diagram Venn dapat digambarkan sebagai berikut

Diagram pohon probabilitas

15

A

B

Tahapan dalam menyusun diagram pohon:

1. Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan tanda titik atau

bulatan dengan angka, tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya dengan

pohon utamanya berupa kegiatan dibursa saham. Nilai probabilitas pada

tahap 1 adalah 1.

2. Tahap 2, membuat cabang. Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan

kegiatan beli saham. Probabilitas jual = 0,6 dan probabilitas beli 0,4. nilai

probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0

3. Tahap 3 membuat ranting. Pada setiap cabang baik jual maupun beli ada 3

ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap

ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1

4. Tahap 4, menghitung probabilitas bersama (joint probability) antara

kejadian pertama A dan B dengan kejadian kedua D, E dan F. kita bisa

menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai

probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1.

16

1.4. Teorema Bayes

17

1

Beli0,4 P(B)

Jual0,6 P(A)

BCA (P(D))

BLP (P(E))

BNI (P(F))

BCA (P(D))

BLP (P(E))

BNI (P(F))

0,35

0,40

0,25

0,35

0,40

0,25

(P(D|A) 1 X 0,6 X0,35 = 0,21

(P(E|A) 1 X 0,6 X0,40= 0,24

(P(F|A) 1 X 0,6 X0,25= 0,15

(P(D|B) 1 X 0,4 X0,35= 0,14

(P(E|B) 1 X 0,4 X0,40= 0,16

(P(F|B) 1 X 0,4 X0,25= 0,10

Keputusan jual atau beli

Jenis Saham Probabilitas bersama

Jumlah harus = 1 0,21 + 0,24 + 0,15 + 0,14 + 0,16 + 0,10 = 1,0

Probabilitas bersyarat

Teorema ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18. Bayes

seorang pendeta, bertanya apakah Tuhan ada dengan memerhatikan fakta-fakta

yang ada di bumi. Jadi bila Tuhan ada, maka ada fakta sebagai ciptaan Tuhan.

Apabila fakta dilambangkan P(A1) untuk suatu fakta dan P(A2) untuk fakta lain,

sedang keberadaan Tuhan dinyatakan dengan P(B), maka teorema Bayes

dinyatakan sebagai:

Rumus diatas merupakan probabilitas bersyarat, suatu kejadian terjadi

setelah kejadian lain ada. P(A1|B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada

apabila Tuhan ada. Karena banyak fakta tersebut maka rumus Bayes diperluas:

1.5. Beberapa Prinsip Menghitung Dalam Probabilitas

A. Faktorial

18

Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin

dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita mempunyai

tiga kelas yaitu A, B dan C ada berapa cara menyusun uratan ketiga kelas tersebut?

Secara sederhana dapat kita lakukan dengan mengurut ketiga kelas sebagai

berikut:

A, B, C A, C, B B, A, C

B, C, A C, A, B C, B, A

Dari uraian diatas dapat kita ketahui bahwa terdapat 6 cara mengurutkan nama kelas

tersebut, namun apabila jumlah kelas tersebut 100 buah kelas, tentu kita akan

kewalahan dalam mengurutkan. Maka dapat dilakukan dengan pendekatan faktorial,

Apabila kelas berjumlah tiga maka cara menurutkan nama kelas:

3! = 3 x 2 x 1 = 6

B. Permutasi

Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement)

jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita berkepentingan dengan

susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan sebagai berikut:

dimana :

P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun

n : Jumlah total objek yang disusun

19

r : Jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama

dengan n atau lebih kecil

! : tanda dari faktorial

Contoh:

Dari 20 kelas di Universitas Panca budi, ingin dikelompokkan menjadi beberapa

kelompok. Jika satu kelompok terdiri dari 5 kelas, ada berapa susunan kelompok

yang dapat dibuat?

Jawab

C. Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil

dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada 10 bank dan

kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi bank yang dapat

diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya. Dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Ada 5 orang siswa mendaftar sebagai pembawa acara dalam suatu kegiatan

hiburan. Pihak penyelengara hanya akan memilih 2 orang yang dapat dijadikan

pasangan. Ada berapa kombinasi pasangan yang dapat dipilih oleh panitia?

20

BAB IIDISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET

Untuk mempermudah mengetahui probabilitas banyak kejadian atau

percobaan dapat dilakukan dengan bantuan distribusi probabilitas. Dimana distribusi

probabilitas memberikan keseluruhan kemungkinan nilai yang mungkin muncul atau

terjadi dari sebuah kejadian atau percobaan.

21

2.1. Pengertian Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu

kegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut.

Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu

percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing

hasil (event).

Contoh:

Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap

tahun 2008/2009. Mata kuliah tersebut adalah Stasistika (STK) dan Matematika

(MTK). Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan

diikuti, bisa memilih STK semua, STK dan MTK atau MTK semua. Berikut adalah

kemungkinan dari ketiga pilihan mahasiswa tersebut

Kemungkinan pilihan

Mahasiswa Jumlah pilihan STKA B C

1 STK STK STK 32 STK STK MTK 23 STK MTK STK 24 STK MTK MTK 15 MTK STK STK 26 MTK STK MTK 17 MTK MTK STK 18 MTK MTK MTK 0

22

dari tabel dapat dilihat kemungkinan mahasiswa tidak memilih STK sama sekali ada

satu kejadian, mahasiswa hanya satu yang memilih STK ada 3 kejadian, mahasiswa

ada 2 orang yang memilih STK ada 3 kejadian. Mahasiswa ada 3 orang yang

memilih STK ada 1 kejadian. Dari ke 8 kejadian tersebut kita dapat menyusun

distribusi probabilitas sebagai berikut:

Jumlah STK di

pilih mahasiswa

Jumlah

frekuensi

Total

kemungkinan

Distribusi probabilitas

Hasil P(r)

0 1 8 1/8 0,125

1 3 8 3/8 0,375

2 3 8 3/8 0,375

3 1 8 1/8 0,125

Jumlah total Distribusi Probabilitas 1,000

Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa

probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Statistik yaitu 0,125.

Dalam bentuk grafik poligon dapat digambarkan sebagai berikut:

23

Variabel Acak/Random

a. Variabel Acak

Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang

merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak atau

untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda

Contoh:

Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima

semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan 4.05 kg. Maka

penimbangan berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka

adalah variabel acak.

b. variabel acak diskret

variabel acak diskret merupakan hasil dari percobaan yang bersifat acak dan

mempunyai nilai tertentu yang terpisah dalam suatu interval. Variabel acak

diskret ini biasanya berupa bilang bulat dan berasal dari hasil perhitungan.

Contoh: jumlah mahasiswa 800 orang, jumlah buah jeruk 20 buah, jumlah telur

300 butir dan sebagainya

c. variabel acak kontinu

variabel acak kontinu mempunyai nilai yang menempati pada seluruh interval

hasil percobaan, biasanya dihasilkan dari hasil pengukuran dan bukan

penjumlahan. Semua nilai yang dihasilkan dari kegiatan pengukuran baik bulat

maupun pecahan merupakan variabel acak kontinu.

Contoh: pada buah semangka jumlah buah semangka 10 buah adalah variabel

acah diskret, tapi berat semangka misalnya 3,56 kg ini merupakan variabel acak

kontinu

Rata-rata hitung, Varians, dan Standar deviasi

a. Nilai Rata-rata Hitung

24

Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan (expected value) yang

dilambangkan E(x)

Rumus nilai rata-rata hitung:

= E(x) = ∑ (X). P(X)

dimana:

: Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitasE(x) : Nilai harapan (expected value)X : KejadianP(X) : Probabilitas suatu kejadian∑ : Lambang operasi penjumlahan

b. Varians dan Standar deviasi

Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur

seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data,

maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata

hitung.

Varian dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut

Dimana:

2 : Varians : Standar deviasiX : Nilai suatu kejadian : Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitasP(X) : Probabilitas suatu kejadian X∑ : Lambang operasi penjumlahan

Contoh:

25

Hitunglah nilai rata-rata hitung, Standar deviasi dan Varian pada kasus pilihan tiga

mahasiswa pada mata kuliah Statistika pada contoh terdahulu?

Penyelesaian:

X P(X) X.P(X) X - (X - )2 (X - )2 P(X)0 0,125 0,000 - 1,500 2,250 0,2811 0,375 0,375 - 0,500 0,250 0,0942 0,375 0,750 0,500 0,250 0,0943 0,125 0,375 1,500 2,250 0,281

1,500 2 0,750Dari data diatas dapat dilihat bahwa:

Rata-rata hitung adalah sebesar 1,500 menunjukan bahwa ada 1,5 mahasiswa

yang mengambil mata kuliah Statistika. Namun karena orang tidak dalam bentuk

pecahan, maka bisa didekatkan pada 1 atau 2 orang.

Varians = 2 = 0,75, maka standar deviasi = = 2 = 0.75 = 0,87. Ini

menunjukan bahwa standar penyimpangan data dari nilai tengahnya adalah

0,87.

2.2. Distribusi Probabilitas Binomial

Ini menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan

Bernoulli.

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:

(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli,

(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

26

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap

untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) +

P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

Pembentukan Distribusí Binomial

Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial:

a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan

b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal

Dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dimana:

P (r) : Nilai probabilitas binomialP : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaanr : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaann : Jumlah total percobaanq : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p! : Lambang faktorial

Contoh:

PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah

swalaya terkenal di kota Medan. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80%

buah yang dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari

mengirim 10 buah Melon setiap harinya

Permintaan:

a. Berapa probabilitas 10 buah diterima

b. Berapa probabilitas 8 buah diterima

27

c. Berapa probabilitas 7 buah diterima

Penyelesaian:

a. probabilitas 10 buah diterima semua

n = 10 p = 0,8

r = 10 q = 0,2

b. Probabilitas 8 buah diterima

c. Probabilitas 7 buah diterima

2.3. Distribusi probabilitas Hipergeometrik

28

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap

atau konstan atau antar-kejadian saling lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi

tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi

Hipergeometrik.

Pada kasus percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas, dan

jumlah sampel terhadap polpulasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik lebih tepat

digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:

Dimana:

P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r suksesN : Jumlah populasis : Jumlah suskses dalam populasir : Jumlah suskses yang menjadi perhatiann : Jumlah sampel dari populasiC : Simbol kombinasi

2.4. Distribusi Probabilitas Poisson

• Dikembangkan oleh Simon Poisson

• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan

dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p)

sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.

• Rumus:

29

dimana

P(X) : Nilai probabilitas distribusi poisson : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana = n.pe : Bilangan konstsan = 2,71828X : Jumlah nilai suksesP : probabilitas sukses suatu kejadian! : Lambang faktorial

BAB III

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

3.1. Karakteristik dan Jenis-jenis Probabilitas Normal

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)

2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X=

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di

sisi kiri.

30

Distribusi probabilitas dan kurva mempunyai persamaan matematika yang

sangat tergantung pada nilai tengah () dan standar deviasi (). Distribusi

probabilitas dan kurva normal dari suatu variable acak (X) yang nilainya terletak -

sampai dinyatakan dengan lambang X ~ N(X; , ).

Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi ,

maka persamaan kurva normalnya adalah:

Jenis-jenis probabilitas Normal

Jenis-jenis probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung dan

standar deviasinya, maka distribusi probabilitas kurva normal diantaranya:

a. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan dan Berbeda.

31

Keterangan:

1. Mesokurtik

Kurva normal ini mempunyai = Md dan Mo yang sama , namun

berbeda

2. Platykurtik

Nilai semakin tinggi dan kurva semakin pendek. Nilai tinggi

menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya ()

3. Leptokurtik

Nilai semakin rendah dan kurva semakin runcing. Niali rendah ini

menunjukkan data semakin mengelompok pada nilai tengahnya ().

32

b. Distribusi probabilitas dan Kurva Normal dengan Berbeda dab sama

Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan berbeda dan

sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama.

Gambar diatas menunjukan nilai rata-rata berbeda dengan standar deviasi yang

sama. Pada contoh dapat dilihat mangga dikelompokkan menjadi mutu ”A” dengan

berat rata-rata 450 gram, mutu ”B” dengan 300 gram dan mutu ”C” dengan 150

gram.

c. Distribusi Probabilitas dan Kurva normal dengan Berbeda dan berbeda

Kurva dengan berbeda dan berbeda mempunyai titik pusat yang

berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai

standar deviasi yang berbeda. Kurva seperti ini relatif sering terjadi karena antara

populasi terdapat perbedaan atau setiap populasi juga mempunyai keragaamn yang

berbeda.

3.2. Distribusi probabilitas Normal Baku

33

Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai

tengah nol dan simpangan baku 1.

Beberapa hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku

adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi normal

baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z. Rumus nilai Z adalah:

dimana:

Z = skor Z atau nilai normal bakuX = Nilai dari statu pengamatan atau pengukuran = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi = standar deviasi suatu distribusi

3.3. Luas dibawah Kurva Normal

Kurva normal juga mengikuti hukum empirik. Untuk distribusi simetris, dengan

distribusi frekuensi berbentuk lonceng seperti kurva normal diperkirakan 68,26%

data akan berada pada kisaran rata-rata hitung ditambah dua kali standar devíasi, (X

1 ), (X 2) dan semua data atau 99,74 % akan berada pada kisaran rata-rata

hitung ditambah tiga kali standar deviasi, (X 3).

• Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data.

• Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa ditulis

P(0<Z<0,76)?

-3-3

=xZ=0

+1+1

+2+2

+3+3

-2-2

-1-1

68,26%

99,74%

95,44%

34

• Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan =

0,2764

3.4. Pendekatan Normal Terhadap Binomial

Pada distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka

semakin mendekati nilai distribusi normal. Apabila kita perhatikan suatu distribusi

probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati

nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial

dengan n yang semakin membesar. Pada saat n = 20 terlihat bahwa distribusi

probabilitas binomial mendekati distribusi probabilitas normal yaitu kurva berbentuk

lonceng, memiliki puncak tunggal dan simetris.

Dalil pendekatan normal terhadap binomial.

Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar

deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:

35

di mana n µ dan nilai p mendekati 0,5

Faktor Koreksi Kontinuitas

Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal (menurut Lind 2002)

diperlukan faktor koreksi selain syarat binomial terpenuhi yaitu:

a. hanya terdapat dua peristiwa

b. peristiwa bersifat independen

c. besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan

d. data merupakan hasil perhitungan

apabila telah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor koreksi

yang besarnya 0,5. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasi dari binomial

menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu.

Contoh:

Sudan merupakan pedagang buah di pusat pasar Medan. Setiap hari membeli 300

kg jeruk. Probabilitas buah laku dijual adalah 80% dan 20% tidak laku atau busuk.

Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk?

Jawab:

n = 300; probabilitas laku p = 0,8 dan q = 0,2

= np = 300 x 0,80 = 240

= npq = 6,93

diketahu X = 250, dikurang factor koreksi 0,5 sehingga X = 250 – 0,5 = 249,5

36

dengan demikian nilai Z menjadi;

Z = (249,5 – 240)/6,93 = 1,37 dan P(Z < 1,37) = 0,4147

Jadi probabilitas lkau hádala = 0,5 + 0,4147 = 0,9147

Jadi harapan buah laku 250 kg hádala 91,47%

BAB IVTEORI KEPUTUSAN

Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana

maupun keputusan jangka panjang. Untuk membantu dalam pengambilan

keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori

keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya

telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes.

37

Contoh:

Keputusan yang diambil suatu perusahaan:

• Barang dan jasa apa yang akan diproduksi,

• Metode apa yang dipakai untuk memproduksi,

• Untuk siapa barang dan jasa di produksi,

• Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya,

• Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran,

• dan lain-lain.

Elemen-elemen Keputusan

• Kepastian (certainty): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan

valid.

• Risiko (risk): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan

ada probabilitas atas suatu kejadian.

• Ketidakpastian (uncertainty): suatu keputusan dengan kondisi informasi

tidak sempurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada.

• Konflik (conflict): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan.

Setiap keputusan dalam statistika mempunyai tiga elemen atau komponen penting

1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan.

2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau

dikendalikan oleh pengambil keputusan.

3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan.

Hubungan elemen keputusan menurut Lind (2002)

38

Peristiwa

Tindakan

Hasil/payoff

Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi mendatang. Pengambil keputusan tidak

mempunyai kendali terhadap kondisi

Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil

keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria

tertentu.

Laba, impas (break even), rugi

Keputusan dalam Keadaan Beresiko

Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat

informasi namun tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap suatu kejadian. Ada

beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu:

1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu

keputusan.

2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada.

3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada

4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik

Contoh:

H. Ibrahim merupakan petani modern, dan menginvestasi sebagian keuntungan

untuk membeli saham. Pada tahun 2012 ia berinvestasi sebesar Rp. 20.000.000,-.

Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham BRI, saham BCA

dan Saham BNI. Berikut hasil atau payoff dari ketiga saham tersebut:

Kode Perusa haan

Harga saham

Jumlah saham

Kondisi baik Kondisi Buruk

Deviden/ lbr

Total deviden

Deviden/ lbr

Total deviden

39

BRI 9,000 2,222 500 1,111,000 250 555,500

BNI 18,000 1,111 2,000 2,222,000 300 333,300

BCA 30,000 666 4,500 2,997,000 185 123,210

Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan

dalam keadaan berisiko:

A. Nilai yang diharapkan (Expected Value)

SAHAM BAIKP= 0,5

BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV

BRI 1,111,000 555,500 (1,111,000 x 0,5) + (555,500 x 0,5) 833,250BNI 2,222,000 333,300BCA 2,997,000 123,210

Nilai EV yang terbesar merupakan keputusan yang terbaik. Dari EV tersebut, maka

keputusan investasi H. Ibrahim adalah membeli saham .................................

B. Expected Opportunity Loss

• Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV

• EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan

keputusan terbaik.

• Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk

hasil yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada

peristiwa tersebut.

40

EV = Payoff x Probabilitas Suatu Kejadian

EOL = Opportunity Loss x Probabilitas Suatu Peristiwa

SAHAM OL BAIK P= 0,5

OL BURUK P = 0,5 Perhitungan EV Nilai EV

BRI

BNI

BCA

Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah BBCA = 0 dan

kondisi terburuk LPBN = 0. nilai OL terendah adalah untuk ................ maka dapat

direkomendasikan untuk dibeli oleh investor.

C. Ecpected value of Perfect Information

Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara

hasil maksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak

pastian

• Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah

untuk mengambil kesempatan yang terbaik.

• Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham BCA adalah pilihan

terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham …………. lebih baik.

• Apabila hanya membeli saham BCA maka

EV =

Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna

dengan membeli harga saham ………..

EVif =

• Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih:

=

41

Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi.

• Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga --

dan menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan

lain-lain.

Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian

Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang

sempurna, juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu

kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan

keputusan untuk kondisi ketidakpastian:

1. Kriteria Laplace

Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil

dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik.

2. Kriteria Maximin

Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada

kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk)

3. Kriteria Maximax

Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya.

4. Kriteria Hurwicz

Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini

nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1

untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara

optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil

perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme.

5. Kriteria (Minimax) Regret

42

Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai

OL (opportunity Loss) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif

keputusan yang diambil adalah nilai regret yang minimum.

Contoh

Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEI

yaitu BRI, BNI dan BCA. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom.

PerusahaanKondisi Perekonomian

Boom Normal Krisis

BRI 1.180 488 250

BNI 2.000 1.356 300

BCA 4.463 1.666 185

a. Kriteria Laplace

1. EV (BRI) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639

2. EV (BNI) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 = 1.219

3. EV (BCA) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015

Berdasarkan kriteria Laplace, keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA.

b. Kriteria Maximim

Berdasarkan kriteria Maximin, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada

kondisi terburuk adalah BRI. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham BRI.

c. Kriteria maximax

43

Berdasarkan kriteria Maximax, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada

kondisi terbaik adalah BCA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham

BCA.

d. Kriteria Hurwicz

• Menggunakan koefisien optimisme (a) dan koefisien pesimisme (1- a).

• Koefisien ini anda dapat diperoleh melalui hasil penelitian atau pendekatan

relatif dari data tertentu.

Contoh:

Koefisien optimisme didasarkan pada probabilitas terjadinya kondisi boom

dibandingkan dengan kondisi krisis. Berdasarkan data diperoleh koefisien optimisme

sebesar 0,63 sehingga koefisien pesimisme adalah 1 – 0,63 = 0,37.

Emiten Boom Krisis Perhitungan EV

BRI 1.180 250 (1.180x0.63) + (250x0.37) 836

BNI 2.000 300 (2.000x0.63) + (300x0.37) 1.371

BCA 4.463 185 (4.463x0.63) + (185x0.37) 2.880

Berdasarkan nilai EV, maka keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA

yaitu yang memiliki nilai EV tertinggi.

e. Kriteria minimax regret

• Langkah pertama adalah mencari nilai OL.

• Langkah kedua adalah memilih nilai maksimum dari nilai OL setiap

keadaan.

• Nilai OL yang minimum adalah keputusan yang terbaik.

44

Perusahaan Kondisi Perekonomian

Boom Normal Krisis

BRI 3.283 1.178 50

BNI 2.463 310 0

BCA 0 0 115

Perusahaan Nilai Regret Maksimum

BRI 3.283

BNI 2.463

BCA 115

Berdasarkan kriteria minimax regret, keputusan yang terbaik adalah membeli

saham BBCA yaitu yang memiliki nilai regret terendah.

45