statistik pengendalian kualitas - eprints.unpam.ac.ideprints.unpam.ac.id/8089/2/mat07245_modul...

i | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

STATISTIK

PENGENDALIAN KUALITAS

DisusunOleh: Aden, S.Si.,M.Pd.

Dr. Hendro Waryanto, S.Si., M.M. Tabah Heri Setiawan, S.Si.,M.Pd.

Ilmadi, S.Pd.I.,M.Pd.

Jl. Surya Kencana No. 1 Pamulang

Gd. A, Ruang 211 Universitas Pamulang

Tangerang Selatan – Banten

ii | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

LEMBAR IDENTITAS PENERBITAN

STATISTIK PENGENDALIAN KUALITAS

Penulis :

Aden, S.Si.,M.Pd.

Dr. Hendro Waryanto, S.Si., M.M.

Tabah Heri Setiawan, S.Si.,M.Pd.

Ilmadi, S.Pd.I.,M.Pd.

ISBN : 978-602-5867-34-7

Editor :

Nina Valentika, S.Si.,M.Si. Alfi Maulani,S.Si.,M.Si.

Penyunting :

Usep Rahmat, M.Si.

Desain sampul dan Tata letak

Ubaid Al Faruq

Penerbit :

UNPAM PRESS

Redaksi :

JL. Surya Kencana No. 1

Pamulang – Tangerang Selatan

Telp. 021 7412566

Fax. 021 74709855

Email: [email protected]

Cetakan pertama, 12 Maret 2019

Hak cipta dilindungi undang-undang Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin penerbit

iii | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

LEMBAR DATA PUBLIKASI

Data Publikasi Unpam Press

| Lembaga Pengembangan Pendidikan dan Pembelajaran Universitas

Pamulang

Gedung A. R. 211 Kampus 1 Universitas Pamulang

Jalan Surya Kencana Nomor 1. Pamulang Barat, Tangerang Selatan, Banten.

Website: www.unpam.ac.id | email: [email protected]

Statistik Pengendalian Kualitas/ Aden, S.Si., Dr. Hendro Waryanto, S.Si.,

M.M., M.Pd., Tabah Heri Setiawan, S.Si., M.Pd. , Ilmadi, M.Pd. – 1sted.

ISBN 978-602-5867-34-7

Statistik Pengendalian Kualitas I. Aden, S.SI., M.Pd. II. Dr. Hendro waryanto,

S.Si.,M.M. III. Tabah Heri Setiawan, S.Si., M.Pd. IV. Ilmadi, M.Pd.

M026-12032019-1

Ketua Unpam Press: Sewaka

Koordinator Editorial: AengMuhidin, Ali Madinsyah, Ubaid Al Faruq

Koordinator BidangHakCipta: Susanto

Koordinator Produksi: Pranoto

Koordinator Publikasi dan Dokumentasi: Ubaid Al Faruq

Desain Cover: Ubaid Al Faruq

Cetakan pertama, 12 Maret 2019

Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang menggandakan dan memperbanyak

sebagian atau seluruh buku ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin

penerbit.

http://www.unpam.ac.id/

mailto:[email protected]

iv | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

STATISTIK PENGENDALIAN KUALITAS

IDENTITAS MATA KULIAH

Program Studi

: S-1 Matematika

Mata Kuliah/Kode

: Statistik Pengendalian Kualitas/ MAT07245

Jumlah SKS

: 2 SKS

Prasyarat : Statistik Elementer Deskripsi Mata Kuliah

: Mata kuliah Statistik Pengendalian Kualitas merupakan mata kuliah wajib di Program Studi S-1 Matematika yang membahas tentang Dasar Statistik, Penyimpangan; Momen, Skweness, Kurtosis, Distribusi Binomium; Uji Tingkat Keyakinan; Variasi Proses; Kartu Kendali produk dan atribut; Evaluasi Kartu Kendali; Pemeriksaan Kualitas Produk; dan kriteria sampling diterima.

Capaian Lulusan

: Setelah mempelajari mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan pengambilan sampling produk dan membuat kartu kendali (control chart) berdasarkan statistic untuk pengendalian kualitas produk di industry dengan tepat.

Penyusun : Aden, S.Si.,M.Pd.,

Dr. Hendro Waryanto, S.Si., M.M. Tabah Heri Setiawan, S.Si.,M.Pd. Ilmadi, S.Pd.I.,M.Pd.

Ketua Program StudiS-1

Matematika

Ketua Team Teaching

Dr. Hendro Waryanto, S.Si., M.M. Aden, S.Si., M.Pd.

NIDN. 0405057102 NIDN. 0411118401

v | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

KATA PENGANTAR

Kualitas sebuah produk menjadi proritas utama bagi produsen sebuah produk.

Untuk mendapatkan kualitas produk yang terbaik perlu ada kontrol yang kontinu

dengan kartu kontrol yang sesuai. Untuk membuat kartu control kendali diperlukan

referensi yang sesuai guna memudahkan dalam pembuatan kartu kendali terserbut.

Dunia industry memerlukan intelektual guna memenuhi kebutuhan ini, sehingga

mahasiswa diharapkan dapat mempelajari ilmu yang berkaitan dengan bidang tersebut

ketika proses pembelaaran berlangsung di dunia kampus. Untuk itu guna memenuhi

kebutuahan tersebut diperlukan sebuah buku ajar yang mudah difahami ketika

mahasiswa membacanya bahkan khalayak umum pada umumnya. Buku ajar ini hadir

sebagai bagian penting dari proses pembelajaran berbasis internet atau online

learning yang merupakan kebijakan strategis dari UniversitasPamulang.

Buku ajar ini menjelaskan tentang langkah teknis untuk membuat kartu kendali,

evaluasi kartu kendali dan penyimpulan penerimaan sebuah produk yang dikirim atau

yang diterima.Untuk keperluan pembelajaran buku ajar ini disusun dalam empat belas

pertemuan yang disesuaikan dengan kompetensi Mata Kuliah Statistik Pengendalian

Kualitas. Buku ajar ini disertai dengan beberapa contoh yang sesuai dengan real

dalam dunia industri sehingga memudahkan mahasiswa untuk memahami sesuai

dengan dunia industri yang sesungguhnya. Dengan begitu penulis berharap ketika

mahasiswa terjun langsung ke dunia kerja langsung dapat mengaplikasikannya.

Tangerang Selatan, 12 Maret 2019 Tim Penyusun Aden, S.Si., M.Pd. NIDN. 0411118401

vi | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

DAFTAR ISI

COVER DALAM .................................................................................. i

LEMBAR IDENTITAS PENERBITAN .................................................. ii

LEMBAR IDENTITAS ARSIP .............................................................. iii

STATISTIK PENGENDALIAN KUALITAS ........................................... iv

KATA PENGANTAR ......................................................................... v

DAFTAR ISI ..................................................................................... vi

PERTEMUAN KE-1DASAR STATISTIK .............................................. 1

A. TUJUAN PEMBELAJARAN .................................................... 1

B. URAIAN MATERI .................................................................. 1

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 11

D. REFERENSI ........................................................................... 12

PERTEMUAN KE-2 PENYIMPANGAN ............................................... 13

A. TUJUAN PEMBELAJARAN ................................................... 13

B. URAIAN MATERI .................................................................. 13

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 30

D. REFERENSI .......................................................................... 31

PERTEMUAN KE-3 MOMEN .............................................................. 32


B. URAIAN MATERI .................................................................. 32

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 39

D. REFERENSI .......................................................................... 39

PERTEMUAN KE-4 SKWENESS DAN KURTOSIS ............................ 40


B. URAIAN MATERI .................................................................. 40

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 48

D. REFERENSI .......................................................................... 48

PERTEMUAN KE-5 BINOMIUM.......................................................... 49


B. URAIAN MATERI .................................................................. 49

vii | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 60

D. REFERENSI .......................................................................... 61

PERTEMUAN KE-6 UJI TINGKAT KEYAKINAN ................................. 62


B. URAIAN MATERI .................................................................. 62

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 73

D. REFERENSI .......................................................................... 73

PERTEMUAN KE-7VARIANSI ............................................................ 74


B. URAIAN MATERI .................................................................. 74

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 81

D. REFERENSI .......................................................................... 81

PERTEMUAN KE-8 DEFINISI DAN MANFAT STATISTIK PENGENDALIAN

KUALITAS .................................................................................... 82


B. URAIAN MATERI .................................................................. 82

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 89

D. REFERENSI .......................................................................... 90

PERTEMUAN KE-9 KARTU KENDALI PRODUK UNTUK RATA-RATA

91


B. URAIAN MATERI .................................................................. 91

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 102

D. REFERENSI .......................................................................... 103

PERTEMUAN KE-10KARTU KENDALI PRODUK UNTUK JANGKAUAN DAN

STANDAR DEVIASI ..................................................................... 104


B. URAIAN MATERI .................................................................. 104

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 113

D. REFERENSI .......................................................................... 114

viii | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

PERTEMUAN KE-11KARTU KENDALI ATRIBUT .............................. 115


B. URAIAN MATERI .................................................................. 115

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 128

D. REFERENSI .......................................................................... 128

PERTEMUAN KE-12 EVALUASI KARTU KENDALI ........................... 130


B. URAIAN MATERI .................................................................. 130

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 137

D. REFERENSI .......................................................................... 138

PERTEMUAN KE-13 KEPUTUSAN KUALITAS PRODUK .................. 139


B. URAIAN MATERI .................................................................. 139

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 145

D. REFERENSI .......................................................................... 146

PERTEMUAN KE-14 KRITERIA SAMPLING DITERIMA .................... 147


B. URAIAN MATERI .................................................................. 147

C. TUGAS/ LATIHAN ................................................................ 151

D. REFERENSI .......................................................................... 152

GLOSARIUM ..................................................................................... 153

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 154

LAMPIRAN ..................................................................................... 155

Universitas Pamulang S1 Matematika

1 | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n K u a l i t a s

PERTEMUAN KE- 1

STATISTIK DASAR

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari pertemuan ke-1 diharapkan mahasiswa mampu

menentukan nilai statistik dasar dengan tepat.

B. URAIAN MATERI

1. Istilah Statistik Dasar

Statistik merupakan bidang ilmu matematika yang yang berperan

dalam mengumpulkan data, mengolah data, menganalisa data dan

menyimpulkan guna mendapatkan gambaran data sampel yang mewakili

dari data populasi yang diteliti. Istilah-istilah dalam statistik sangatlah

banyak diantaranya adalah sebagai berikut :

a. Mean (Rata – Rata)

Mean adalah jumlah sekumpulan data yang berbanding terbalik

dengan jumlah banyaknya data. Lambang mean untuk data sampel

adalah dan lambang rata – rata untuk populasi adalah . Jenis –

jenis mean meliputi mean aritmatik, mean harmonik, dan mean

geometrik. Mean aritmatik adalah rata – rata Jenis mean tersebut dapat

digunakan untuk menghitung data tunggal dan data kelompok.

b. Median (Nilai Tengah)

Median adalah nilai tengah dari sebuah data dimana data

tersebut sudah diurutkan dari yang terkecil keterbesar atau dari yang

terbesar keterkecil. Lambang untuk median adalah Me. Perhitungan

median dapat digunkan untuk data tunggal maupun data kelompok.

c. Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Standar deviasi merupakan suatu nilai statistika yang

merepresentasikan simpangan sebuah data terkategori baik atau kurang

baik. Semakin besar standar deviasi maka semakin kurang baik untuk

sebuah data. Semakin kecil standar deviasi maka akan semakin baik

sebuah data.

d. Modus

Modus merupakan nilai data yang paling banyak muncul atau

paling banyak jumlah frekuensinya. Lambang untuk modus adalah Mo.

Perhitungan modus dapat digunkan untuk data tunggal maupun data

kelompok.

e. Desil

Suatu data yang sudah diurutkan dari yang terkecil ke yang

terbesar kemudian dibagi menjadi 10 bagian yanga sama sehingga



batas dari sepuluh bagian yang sama dinamakan dengan desil.

Lambang untuk desil adalah Di. Dimana desil pada data dari desil ke-1

(D1) sampai desil ke-9 (D9). Perhitungan desil dapat digunkan untuk data

tunggal maupun data kelompok.

f. Quartil

Quartil merupakan data yang berasal dari sekat data yang telah

diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi empat bagian yang sama.

Quatil dilambangkan dengan Qi dimana i adalah 1, 2, dan 3.

Perhitungan quartil dapat diterapkan pada data tunggal dan data

keompok.

g. Persentil

Bagian dari suatu data yang dibagi menjadi 100 bagian yang

sama. Dimana sekat dari data tersebut yang dibagi menjadi 100 bagian

dinamakan dengan peersentil. Lambang untuk persentil adalah Pi.

Banyaknya persentil yaitu dari persentil ke-1 (P1) sampai dengan

persentil ke-99 (P99). Perhitungan persentil dapat digunkan untuk data

tunggal maupun data kelompok.

2. Mean Aritmatik

Rata-rata atau mean merupakan ukuran statistik kecenderungan

terpusat yang paling sering digunakan. Rata-rata ada beberapa macam

yaitu rata-rata hitung (artimatik), rata-rata ukur (geometrik), dan rata-rata

harmonik. Tetapi jika hanya disebut dengan kata rata-rata saja, maka rata-

rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung (aritmatik). Rata – rata hitung

adalah berbanding lurus dengan penjumlahan data dan berbanding terbalik

dengan banyaknya data atau penjumlahan data dan dibagi dengan

banyaknya data. Mean aritmatik dapat digunakan pada data tunggal dan

data kelompok. Penjabaran perhitungan mean aritmatik adalah sebagai

berikut :

a. Data Tunggal

Data tunggal adalah sebuah data yang masih asli yang terpisah

dengan yang lainnya dan belum disusun dalam kelompok atau tabel

kelompok yang berinterval dengan masing-masing kelas. Sebagai

ilustrasi bahwa lampu bohlam merek a dapat bertahan selama 120 jam,

lampu bohlam merek b dapat bertahan 130 jam, lampu bohlam merek c

bertahan 210 jam sehingga dapat dilambangkan menjadi data tunggal

petama adalah 120 dilambangkan dengan x1 = 120, data tunggal kedua

adalah 130 dilambangkan dengan x2 = 130, dan data tunggal ketiga

adalah 210 dilambangkan dengan x3 = 210. Sehingga data tunggal

secara umum berbentuk x1 , x2 , x3 , ..., xn dengan banyaknya data n

data. Maka untuk menentukan rata – rata hitung (Aritmatik) dengan

menjumlahkan seluruh data yang ada kemudian membaginya dengan



banyaknya data (sampel) dan secara matematis dirumuskan sebagai

berikut :

(1.1)

Keterangan :

= Rata-rata nilai hitung (Aritmatik)

= Nilai (Data) ke-i

n = Jumlah sampel

Contoh 1.1.

Hituglah rata – rata hitung atau mean aritmatik dari data tungal 2, 5, 6, 7,

dan 10 !

Penyelesaian 1.1.

Banyaknya data adalah 5 angka sehingga n = 5. Kemudian selanjutnya

angka-angka tersebut dijumlahkan sebagai berikut :

∑

Jadi rata-rata hitung atau mean geometri adalah 6

b. Data Kelompok

Data kelompok adalah data yang sudah dibuat dalam bentuk

susunan frekuensi atau tabel frekuensi dengan kelas – kelas interval

yang teratur. Langkah untuk membuat tabel distribusi yaitu dengan

menggunakan aturan Sturgess yaitu :

1) Menghitung jangkauan dilambangkan dengan R dimana perumusan

secara matematisnya adalah sebagai berikut :

(1.2)

Keterangan:

Xmax : data terbesar

Xmin : data terkecil

2) Menghitung banyaknya kelas dilambangkan K dengan perumusan

sebagai berikut :

(1.3)

Dimana :

N = banyaknya data

∑

R= Xmax – Xmin

K = 1 + (3,3 log N)



3) Menghitung panjang kelas dilambangkan dengan P dengan

perumusan sebagai berikut.

(1.4)

Dimana :

R = jangkauan

K = banyaknya kelas

Setelah selesai menghitung ketiga langkah di atas kemudian

buatlah tabel distribusi frekuensi atau data berkelompok dengan nilai

terkecil dijadikan batas bawah pada kelas petama kemudian untuk batas

bawah kelas kedua merupakan batas bawah kelas pertama ditambah

dengan panjang kelas interval, dan seterusnya sampai langkah kelas

ke-n. Sedangkan batas atas kelas pertama merupakan batas bawah

kelas pertama ditambah dengan panjang kelas yang dikurangi satu, dan

seterusnya sampai dengan data ke-n. Sehingga data tunggal menjadi

data kelompok seperti pada tabel berikut :

Tabel 1.1. Ilustrasi Data Frekuensi

No Data Frekuensi

1 x1b – x1a f1

2 x2b – x2a f2

... ... ...

n xnb – xna fn

Langkah untuk menentukan rata-rata hitung dari data kelompok di

atas adalah sebagai berikut :

1) Menghitung nilai tengah atau xi dengan menggunakan rumus sebagai

berikut.

(1.5)

Keterangan :

xia : nilai atas pada kelas ke-i

xib : nilai bawah pada kelas ke-i

Jika data tersebut pada kelas pertama maka nilai tengahnya adalah

dan seterusnya sampai data kelas ke-n.

2) Setelah menghitung nilai tengah berikutnya adalah mengalikan nilai

tengah pada kelas ke-i dengan frekuensi pada kelas ke-i sampai data

yang ke-n, seperti yang dirumuskan secara matematis di bawah ini.

P =



(1.6)

Keterangan :

xi : nilai tengah data pada kelas interval ke-i

fi : frekuensi pada data kelas ke-i

N : jumlah frekuensi = ∑

Contoh 1.2.

Diberikan data pada tabel sebagai berikut :

Tabel 1.2. Data XXX

No Data Frekuensi

1 20 – 24 18

2 25 – 29 12

3 30 – 34 9

4 35 – 39 11

5 40 – 44 10

Tentukanlah rata – rata hitung atau mean aritmatik dari data tabel di

atas!

Penyelesaian 1.2.

Langkah awal kita harus mencari nilai tengah dari masing – masing

kelas yaitu :

Kemudian kita masukkan data di atas yaitu nilai tengah kita singkat

menjadi xi dan frekuensi kita singkat menjadi fi . selanjutnya xi

dikalikan dengan fi dapat dilihat pada tabel baru sebagai berikut :

∑

∑



Tabel 1.3. Simulasi Perhitungan

No xi fi xi . fi

1 22 18 396

2 27 12 324

3 32 9 288

4 37 11 407

5 42 10 420

Jumlahkan fi sehingga diperoleh N = ∑ = 60

Jumlahkan xi . fi sehingga diperoleh ∑ = 1835

Kemudian nilai tersebut dimasukkan ke dalam rumus :

∑

∑

Jadi rata – rata hitung atau mean aritmatik dari data pada tabel di

atas adalag 30,583.

3. Mean Harmonik

Rata-rata harmonik (Harmonic Average) adalah rata-rata yang

dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana

nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu,

kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan

sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga

dengan kebalikan dari rata-rata hitung (Aritmatik). Secara matematis rata-

rata harmonik dirumuskan sebagai.

(1.6)

Keterangan :

H = Rata-rata harmonik

n = Jumlah data sampel

Xi = nilai data ke-i

Agar dapat menjumlahkan bagian penyebut pada rumus 1.7 yaitu

maka kita harus menentukan faktor persekutuan

terbesar atau FPB dari x1, x2, x3, ..., xn.

Contoh 1.3.

Tentukan rata – rata harmonik dari data tunggal yaitu 2, 4, 5, 6, dan 8 !

∑ (

)



Penyelesaian 1.3.

Karena banyaknya data ada 5 maka n = 5 dan FPB dari 2, 4, 5, 6 dan 8

adalah 120, maka rata – rata harmoniknya adalah

∑ (

)

karena pembagi merupakan pecahan maka dijadikan perkalian tetapi

pecahannya dibalik.

Jadi rata – rata harmonik dari data 2, 4, 5, 6 dan 8 adalah 4,027

4. Mean Geometrik

Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan

mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian

diakarpangkatkan dengan jumlah data sampel tersebut. Mean geometri

tepat dipakai jika perbandingan data yang sudah diurutkan sama atau

hampir sama. Jika ada data x1 , x2, ..., xn , maka perbandingannya adalah

sebagai berikut :

(1.8)

Atau perbandingan data tersebut hampir sama yaitu

(1.9)

Secara matematis rata-rata ukur (geometrik) sesuai dengan bentuk

datanya dirumuskan sebagai berikut:



a. Untuk Data Kecil

Kriteria data kecil yaitu data yang berada dalam posisi maksimum

puluhan.

(1.10)

Rumus (1.20) dijabarkan menjadi

√

Keterangan :

u : Rata-rata ukur (geometrik)

n : Jumlah sampel

∏ Kegunaannya hampir sama dengan ∑ ∑ gunakan untuk

penjumlahan, sedfvangkan ∏ gunakan untuk perkalian.

: nilai atau data ke-i

Contoh 1.4.

Tentukan rata – rata dari data 3, 9, 27 dan 81 !

Penyelesaian 1.4.

Perhatikan data dari awal sampai akhir. Jika kita buatkan bentuk

perbandingan dengan menggunakan rumus 1.8, maka

sehingga nilai perbandingan dari data tersebut sama yaitu 3

dan banyaknya data adalah 4 maka n = 4, sehingga data tersebut lebih

tepat menggunakan rumus rata – rata geometri yaitu :

√∏

√

√

Jadi rata – rata ukur atau mean geometri dari data 3, 9, 27, dan 81

adalah 15,588.

Contoh 1.5.

Hitunglah rata – rata ukur atau mean geometri dari data 3, 8, 23, dan 69

!

Penyelesaian 1.5.

Langkah awal kita analisa perbandingan dari data tersebut yaitu:

√∏



Perbandingan dari hasil di atas semuanya mendekati 3 artinya

perbandingan teersebut dikategorikan hampir sama sehingga lebih tepat

menghitung rata – rata dengan rata – rata ukur atau mean geometri

yaitu

√∏

√

√

Jadi rata – rata ukur atau mean geometri dari data 3, 8, 23, dan 69

adalah 13,97.

b. Untuk Data Besar

Data yang besar merupakan data yang berada di atas puluhannya

lebih dominan atau lebih banyak. Sehingga ketika data terkategori besar

lebih tepat ketika data tersebut sudah memenuhi kriteria

perbandingannya sama atau hampir sama setelah data diurutkan maka

untuk mencari rata – rata menggunakan rumus sebagai berikut :

(1.11)

Perumusan (1.11) dijabarkan menjadi

Setelah log u didapatkan maka kemudian untuk mendapatkan u

menggunakan cara sebagai berikut.

(

)

(

)

Keterangan :

U : Rata-rata ukur (geometrik)

n : Jumlah sampel

: nilai sampel ke-i

∑



Contoh 1.5.

Tentukan rata – rata dari data 60, 120, 235, dan 487 !

Penyelesaian 1.5

Data kedua dibagi dengan data pertama :

Data ketiga dibagi dengan data kedua :

Data keempat dibagi dengan data ketiga :

Perhatikan perbandingan yang di atas, semuanya mendekati 2 artinya

hampir tetap. Sehingga rata – rata dari data di atas lebih tepat

menggunakan rata – rata ukur atau mean geometri dan karena datanya

lebih banyak di atas puluhan maka :

∑

log U

sehingga untuk mendapatkan U menggunakan antilog yaitu

U = antilog (2,229)

U = 102,229

U = 169,43378

dibulatkan menjadi 169,434

Jadi rata – rata ukur atau mean geometri adalah 169,434.

c. Untuk Data Pertumbuhan

Data pertumbuhan artinya merupakan data yang berawal dari data

asal menjadi berkembang dari waktu ke waktu berupa menit, jam , hari,

minggu atau yang lainnya. Seperti data pertumbuhan bakteri,

pertumbuhan virus, pertumbuhan sel, pertumbuhan penduduk dan lain –

lain. Sehingga untuk menentukan data tersebut lebih tepat dengan

menggunakan rumus sebagai berikut :

(1.12)

Keterangan :

(

)



Po : keadaan awal atau permulaan

Pt : keadaan akhir

t : satuan waktu yang digunakan

: rata – rata pertumbuhan setiap satuan waktu.

Ketika kita manipulasi maka rumus untuk mencari rata – rata pada

(1.12) menjadi :

(1.13)

Contoh 1.6.

Penduduk daerah TS pada akhir tahun 2010 ada 15.000.000 jiwa,

sedangkan pada akhir tahun 2014 menjadi 18.000.000 jiwa. Untuk

menumbuhkan laju rata –rata pertumbuhan 2010.

Penyelesaian 1.6.

Menggunakan perumusan (1.13) maka persoalan di atas dengan nilai-

nilai yang diketahui disubstitusikan.

(√

)

(√

)

(√

)

Dibulatkan menjadi 104 dikarenakan angka dibelakang koma lebih dari

5.

Jadi rata – rata pertumbuhan penduduk di daerah TS adalah 104 jiwa

per tahun.

C. LATIHAN

Selesaikanlah persoalan di bawah ini :

1. Diberikan beberapa data tunggal sebagai berikut:

a) 140, 130, 120, 150, 160, 170, 165, 155

b) 2, 8, 32, 255, 1025

Dari data tunggal di atas maka:

1) Tentukan rata – rata hitung dari kedua data tunggal di atas

2) Tentukan rata – rata harmonik dari kedua data tunggal di atas

3) Tentukan rata – rata ukur dari kedua data tunggal di atas

(√

)



4) Berdasarkan ketiga perhitungan 1), 2) dan 3) dari kedua data tunggal di

atas. Tentukanlah metode rata – rata yang tepat untuk kedua data

tunggal di atas dan jelaskan alasannya!

2. Diberikan data kelompok pada tabel berikut ini:

Tabel 1.4. Data ABC

NO DATA FREKUENSI

1 40 – 44 21

2 45 – 49 11

3 50 – 54 18

4 55 – 59 17

5 60 – 64 13

Tentukanlah Rata – rata ukur dari data kelompok di atas!

3. Diketahui penduduk sebuah daerah UBI pada awal bulan Januari tahun

2012 adalah 4.000.000 jiwa setelah sampai pada akhir bulan Agustus

tahun 2015 jumlah penduduk menjadi 5.600.000 jiwa. Tentukanlah rata –

rata pertumbuhan penduduk!

D. DAFTAR PUSTAKA

Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung: Tarsito.

Supangat, Andi. 2010. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan

Nonparametrik. Jakarta: Kencana.



PERTEMUAN KE-2

PENYIMPANGAN

A. TUJUAN

Setelah mempelajari materi pada pertemuan ke-2 diharapkan

mahasiswa mampu menentukan nilai penyimpangan (jangkauan) dengan

tepat.

B. URAIAN MATERI

1. Jangkauan

Jangkauan merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil atau

selisih nilai tengah kelas terakhir dengan nilai tengah kelas pertama.

Dengan diketahui jangkauan sehingga kita tahu rentang data dari terkecil

hingga terbesar, maka dapat menyimpulkan jika jangkauan semakin besar

semakin kurang baik sebuah data. Perumusan jangkauan dapat diterapkan

dalam data yang berbentuk tunggal maupun data kelompok. Penjelasn

mengenai jangkauan dari data adalah sebagai berikut :

a. Jangkauan Data Tunggal

Jangkauan data tunggal dapat diselesaikan dengan

mengurangkan data terbesar dengan data terkecil. Secara matematik

dirumuskan sebagai berikut :

(2.1)

Keterangan :

R : Range atau jangkauan

Xmax : Data terbesar

Xmin : Data terkecil

Contoh 2.1.

Diketahui data tunggal 2, 3, 5, 7, 8, 5, 8, dan 10. Tentukan jangkauan

dari data tunggal tersebut !

Penyelesaian 2.1.

Data terbesar : Xmax = 10

Data terkecil : Xmin = 2

Jangkaun dari data di atas adalah

R = Xmax – Xmin

R = 10 – 2

R = 8

Jadi jangkauan dari data tunggal di atas adalah 8.

R = Xmax – Xmin



b. Jangkauan Data Kelompok

Untuk menghitung jangkauan dari data berkelompok pertama kita

harus menghitung nilai tengah dari masing – masing kelas. Kemudian

setelah nilai tengah dari tiap kelas sudah dihitung maka kemudian

kurangkan nilai tengah kelas terakhir dengan nilai tengah kelas pertama

itulah yang dinamakan dengan jangkauan pada data berkelompok.

Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut :

(2.2)

Keterangan :

R = Jangkauan

xn = nilai tengah pada kelas terakhir atau ke-n

x1 = nilai tengah kelas pertama

Contoh 2.2.

Perhatikan Data Kelompok pada tabel berikut ini:

Tabel 2.1. Data AA1

No Data Frekuensi

1 20 – 24 18

2 25 – 29 12

3 30 – 34 9

4 35 – 39 11

5 40 - 44 10

Tentukanlah jangkauan dari data kelompok pada tabel di atas !

Penyelesaian 2.2.

Pertama kita hitung nilai tengah kelas pertama yaitu :

Menghitung nilai tengah kelas terakhir sama dengan nilai tengah kelas

kelima karena hanya terdapat lima kelas yaitu :

Setelah nilai tengah kelas pertama dan nlai tengah terakhir sudah

dihitung kemudian substitusikan ke rumus jangkauan pada data

kelompok yaitu :

R = x5 – x1

R = 42 – 22

R = Xn – X1



R = 20

Jadi jangkauan dari data kelompok pada tabel di atas adalah 20.

2. Jangkauan Persentil

Jangkauan persentil merupakan selisih antara persentil kesembilan

puluh dengan persentil kesepuluh. Dimana persentil merupakan jarak

antara data yang sudah dibagi menjadi 100 bagian yang sama, sehingga

persentil hanya terdapat persentil ke-1 sampai ke-99.

Untuk menentukan persentil pada data kelompok maka kita gunakan

rumus sebagai berikut :

2.3

Keterangan :

Pi : persentil ke-i dimana i = 1, 2, 3, ... , 99

n : jumlah frekuensi

fki : frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i

fi : frekuensi pada persentil ke-i

p : panjang kelas pada data tabel berinterval yaitu p = tai - tbi

Dari rumus umum 2.3 di atas sehingga untuk persentil ke-10 dapat

dirumuskan :

(2.4)

Keterangan :

P10 : persentil ke-10


fk10 : frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-10

f10 : frekuensi pada persentil ke-10

p : panjang kelas pada data tabel berinterval yaitu p = ta10 – tb10

Dan untuk persentil ke-90 dapat dirumuskan :

(((

)

) )

(((

)

) )



(2.5)

Keterangan :



fk90 : frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-90

f90 : frekuensi pada persentil ke-90

p : panjang kelas pada data tabel berinterval yaitu p = ta90 – tb90

Sedangkan untuk menghitung jangkauan persentil adalah sebagai berikut :

(2.6)

Keterangan :

Rp : jangkauan persentil



Contoh 2.3.

Diberikan data kelompok pada tabel sebagai berikut :

Tabel 2.2. Data AA2

No Data Frekuensi

1 20 – 24 18

2 25 – 29 12

3 30 – 34 9

4 35 – 39 11

5 40 – 44 10

Tentukan jangkauan persentil dari data kelompok pada tabel di atas!

Penyelesaian 2.3.

Buatlah tabel bantuan sebagai berikut :

(((

)

) )

RP = P10 – P90



Dimana letak yang berada disebelah kanan merupakan frekuensi kumulatif

yaitu

Pada kelas pertama frekuensi dari kelas pertama yaitu 18.

Pada kelas kedua frekuensi kumulatif dari kelas pertama ditambah kelas

kedua yaitu 18 + 12 = 30.

Pada kelas ketiga frekuensi kumulatif dari kelas pertama ditambah kelas

kedua ditambah kelas ketiga yaitu 18 + 12 + 9 = 39.

Pada kelas keempat frekuensi kumulatif dari kelas pertama ditambah kelas

kedua ditambah kelas ketiga ditambah kelas keempat yaitu 18 + 12 + 9 +

11 = 50.

Pada kelas kelima frekuensi kumulatif dari kelas pertama ditambah kelas

kedua ditambah kelas ketiga ditambah kelas keempat ditambah kelas

kelima yaitu 18 + 12 + 9 + 11 + 10 = 60.

Tabel 2.3. Pembantu Perhitungan Data AA2

No Data Frekuensi Letak

1 20 – 24 18 1 18

2 25 – 29 12 19 30

3 30 – 34 9 31 39

4 35 – 39 11 40 50

5 40 - 44 10 51 60

Pertama kita menghitung persentil ke-10 yaitu :

Letak persentil ke-10 =

=

Dimana letak data ke-6 adalah terletak pada kelas 20 – 24 sehingga :

tb10 = 20 – 0,5 = 19,5

p = (24+0,5)-(20-0,5)

= 24,5 – 19,5

= 5

fk10 = 0 dikarenakan persentil ke-10 terletak pada kelas pertama

sehingga frekuensi sebelumnya adalah 0.

f10 = 18

kemudian angka tersebut dimasukkan ke rumus :



(((

)

) )

((( )

) )

((

) )

Kedua kita menghitung persentil ke-90 yaitu :

Letak persentil ke-90 =

Dimana letak data ke-54 adalah terletak pada kelas 40 – 44 sehingga :

Tb90 = 40 – 0,5

= 39,5

p = (44+0,5)-(40-0,5)

= 44,5 – 39,5

= 5

fk90 = 18 + 12 + 9 + 11

= 50

f90 = 10

Angka-angka yang dipeoleh di atas disubstitusikan ke rumus

(((

)

) )



((

) )

((

) )

Ketiga menghitung jangkauan persentil yaitu :

Rp = P90 – P10

Rp = 41,5 – 21,167

Rp = 20,333

Jadi jangkauan persentilnya adalah 20,333.

3. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Mean)

Simpangan rata – rata merupakan penjumlahan nilai mutlak dari

selisih nilai data ke-i dengan rata – rata kemudian dibagi dengan

banyaknya data. Simpangan rata – rata merupakan sebuah koefisien yang

dapat mengetahui simpangan sebuah data terhadap rata – rata. Sehingga

ketika simpangan rata – rata semakin besar maka semakin kurang baik

bentuk data tersebut, artinya penyebarannya kurang baik. Simpangan rata

– rata dapat digunakan pada data tunggal dan data kelompok. Penjelasan

mengenai perumusan perhitungan simpangan rata – rata adalah sebagai

berikut :

a. Data Tunggal

Perumusan untuk menentukan simpangan rata – rata atau deviasi

mean yaitu menjumlahkan nilai mutlak selisih dari nilai ke-i dengan rata

– rata dibagi dengan banyaknya data. Secara matematis sebagai berikut

:

(2.7)

Keterangan :

SR : simpangan rata atau deviasi mean

xi : nilai atau data ke-i , dimana i = 1, 2, 3, .... ,n

∑ | |



N : jumlah frekuensi

Contoh 2.4.

Tentukanlah simpangan rata – rata dari data tunggal yaitu 2, 4, 6, dan 8

!

Penyelesaian 2.4.

Langkah awal menghitung rata – rata

Menghitung simpangan rata – rata :

∑ | |

| | | | | | | |

Jadi simpangan rata – rata dari 2, 4, 6, dan 8 adalah 2.

b. Data Kelompok

Perumusan untuk menghitung simpangan rata – rata dalam bentuk

data kelompok yaitu menjumlahkan perkalian frekuensi kelas ke-i

dengan nilai mutlak dari selisih nilai tengah ke-i dengan nilai rata – rata

kemudian dibagi dengan banyaknya data. Secara matematis

dirumuskan sebagai berikut.

2.8

Keterangan :

SR : simpangan rata atau deviasi mean

xi : nilai atau data ke-i , dimana i = 1, 2, 3, .... ,n

N : jumlah frekuensi

fi : frekensi data ke-i

Contoh 2.5.

Diberikan data kelompok pada tabel sebagai berikut :

Tabel 2.4.Perhitungan Pembantu Data AA2

∑ | |



No Data Frekuensi Letak

1 20 – 24 18 1 18

2 25 – 29 12 19 30

3 30 – 34 9 31 39

4 35 – 39 11 40 50

5 40 - 44 10 51 60

Hitunglah simpangan rata – rata dari tabel data kelompok di atas!

Penyelesaian 2.5.

Langkah awal kita harus mencari nilai tengah dari masing – masing

kelas yaitu :

Masukkan data di atas ke kolom sebagai nilai tengah kita dan

frekuensi kita singkat menjadi fi . Nilai xi dikalikan dengan fi dapat dilihat

pada Tabel 2.5. sebagai berikut.

Tabel 2.5. Perhitungan Tahap Lanjut AA2

No xi fi xi . fi

1 22 18 396

2 27 12 324

3 32 9 288

4 37 11 407

5 42 10 420

Jumlahkan fi sehingga diperoleh N = ∑ = 60

Jumlahkan xi . fi sehingga diperoleh ∑ ( ) = 1835

Kemudian nilai tersebut dimasukkan ke dalam rumus rata – rata hitung

yaitu :

∑ ( )

∑

Menghitung nilai mutlak dari nilai tengah pada kelas ke-i dikurangkan

dengan rata – rata hitung yaitu :

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

Menghitung perkalian antara nilai mutlak dari nilai tengah pada kelas ke-

i dengan rata – rata hitung dengan frekuensi kelas ke-i yaitu :

| |



| |

| |

| |

| |

Jumlahkan hasil perkalian frekuensi ke-i dengan nilai mutlak dari selisih

nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata ukur sehingga :

∑ | |

Setelah semua hitungan telah diketahui maka :

∑ | |

Jadi simpangan rata – rata dari data tabel di atas adalah 6,583.

4. Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Standar deviasi sering kita jumpai juga disebut dengan simpangan

baku. Simpangan baku adalah merupakan suatu koefisien yang sangat

menentukan bagi bentuk sebuah data baik atau buruknya. Dimana

simpangan baku atau standar deviasi merupakan hasil akar dari selisih nilai

mutlak dari nilai tengah pada data kelas ke-i dengan rata – rata ukur yang

dikuadratkan dibagi dengan banyaknya data atau jumlah frekuensi.

Simpangan baku untuk sampel dilambangkan dengan S dan simpangan

baku untuk populasi dilambangkan dengan . Simpangan baku

merupakan bagian dari momen ke-2 yang diakarkan.

Perbedaaan simpangan baku untuk sampel dan populasi terletak

pada pembaginya yaitu jika simpangan baku untuk sampel dibagi dengan

N-1 sedangkan pembagi untuk simpangan baku populasi adalah N. Secara

matematis dirumuskan sebagai berikut :

a. Rumus simpangan baku atau standar deviasi untuk sampel

1) Sampel Data Tunggal

Simpangan baku untuk data tunggal yang dianggap sampel

diperoleh dari penjumlahan dari selisih nilai data ke-i dengan rata –

rata yang dikuadratkan dibagi dengan banyaknya data dikurangkan

satu kemudian terakhir diakarkan. Secara matematis dirumuskan

sebagai berikut :

2.9 √∑ ( )



Keterangan :

S : simpangan baku untuk sampel

N : jumlah banyaknya data

xi : data ke-i

: rata – rata ukur data sampel

Contoh 2.6.

Diberikan data tunggal 2, 4, 5, 6 dan 3. Hitunglah standar deviasi dari

data tunggal tersebut!

Penyelesaian 2.6.

Langkah awal menghitung rata – rata hitung :

Menghitung standar deviasi dengan menggunkan rumus data tunggal

dengan N = 5 yaitu :

√∑ ( )

√( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√

√

√

Jadi standar deviasi dari data tunggal di atas adalah ½ √ .

2) Sampel Data Kelompok

Simpangan baku untuk data kelompok yang dianggap sampel

diperoleh jumlah dengan mengalikan frekuensi data kelas ke-i

dengan nilai dari pengurangan data pada kelas ke-i dengan rata –



rata yang dikuadratkan dibagi dengan banyaknya data dikurangi satu.

Secara matematis dirumuskan sebagai berikut.

2.10

Keterangan :

S : simpangan baku untuk sampel

fi : jumlah frekuensi pada kelas ke-i

N : jumlah banyaknya data atau frekuensi

xi : nilai tengah data pada kelas ke-i


Contoh 2.12.

Diberkan data pada tabel berikut :

Tabel 2.6. Data AA3

No Data Frekuensi

1 10 – 12 4

2 13 – 15 6

3 16 – 18 7

4 19 – 21 3

Hitunglah simpangan baku dari tabel di atas!

Penyelesaian 2.12.

Pertama menghitung nilai tengah dari data setiap kelas yaitu

Kalikan frekuensi kelas ke-i dengan nilai tengah kelas ke-i yaitu

f1 . x1 = 4 . 11 = 44

√∑ ( )



f2 . x2 = 6 . 14 = 84

f3 . x3 = 7 . 17 = 119

f4 . x4 = 3 . 20 = 60

Jumlahkan hasil kali dari frekuensi kelas ke-i dengan nilai tengah

kelas ke-i yaitu :

∑ = 44 + 84 + 119 + 60 = 307

Menghitung rata – rata yaitu

∑

Kurangkan nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata hitung lalu

kuadratkan yaitu

(x1 - )2 = (11 - 15,35)2 = 18,9225

(x2 - )2 = (14 - 15,35)2 = 1,8225

(x3 - )2 = (17 - 15,35)2 = 2,7225

(x4 - )2 = (20 - 15,35)2 = 21,6225

Kalikan frekuensi pada kelas ke-i dengan hasil dari pengurangan nilai

tengah kelas ke-i dengan rata – rata lalu dikuadratkan. Yaitu :

f1 . (x1 - )2 = 4 . 18,9225 = 75,688

f2 . (x2 - )2 = 6 . 1,8225 = 10,935

f3 . (x3 - )2 = 7 . 2,7225 = 19,0575

f4 . (x4 - )2 = 3 . 21,6225 = 64,8675

jumlahkan hasil kali frekuensi kelas ke-i dengan hasil dari

pengurangan nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata lalu

dikuadratkan yaitu

∑ ( )

Menghitung standar deviasi sebagai berikut :

Karena N = 20 maka N – 1 = 19.

√∑ ( )

√

√



Jadi standar deviasi untuk data di atas yang dianggap sebagai data

sampel adalah 2,9202 .

Menghitung standar deviasi untuk data sampel dengan menggunakan

funtion exel yaitu STDEV.S(data ke-i: data ke-n) dengan memblok

data yang tersedia. Seperti pada gambar berikut :

Gambar 2.1. Funtion di Excel untuk Simpangan Baku Data

Populasi



Gambar 2.2. Funtion di Excel untuk Simpangan Baku Data Sampel

b. Rumus simpangan baku atau standar deviasi untuk populasi

1) Populasi data tunggal

Simpangan baku untuk data tunggal dari data populasi

merupakan selisih data pada data ke-i dengan rata – rata yang

dikuadratkan dan berbanding terbalik dengan banyaknya data

dan dikkuadratkan. Secara matematis dirumuskan sebagai

berikut :

2.11

: simpangan baku untuk populasi

N : jumlah banyaknya data atau frekuensi

xi : nilai tengah data pada kelas ke-i


Contoh 2.13.

Diberikan data tunggal 2, 4, 5, 6 dan 3. Hitunglah standar deviasi

dari data tersebut jika dianggap sebagai populasi!

Penyelesaian 2.13.

Langkah awal menghitug rata – rata hitung :

Menghitung standar deviasi dengan menggunkan rumus data

tunggal dengan N = 5 yaitu :

√∑ ( )

√( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√∑ ( )



√

√

√

Jadi standar deviasi dari data tunggal di atas adalah √ .

2) Populasi data kelompok

Simpangan baku untuk data kelompok dari data populasi

merupakan selisih data pada data ke-i dengan rata – rata yang

dikuadratkan dikalikan dengan frekuensi kelas ke-i dan

berbanding terbalik dengan banyaknya data dan dikkuadratkan.

Secara matematis simpangan baku dirumuskan sebagai berikut :

2.12

= simpangan baku untuk populasi

N = jumlah banyaknya data atau frekuensi

fi = jumlah frekuensi pada kelas ke-i

xi = nilai tengah data pada kelas ke-i

= rata – rata ukur data sampel

Contoh 2.12.

Diberikan data kelompok pada tabel berikut :

No Data Frekuensi

1 10 – 12 4

2 13 – 15 6

3 16 – 18 7

4 19 – 21 3

Hitunglah simpangan baku dari data kelompok tabel di atas jika

dianggap sebagai populasi!

Penyelesaian 2.12.

Pertama menghitung nilai tengah dari data setiap kelas yaitu

√∑ ( )



Kalikan frekuensi kelas ke-i dengan nilai tengah kelas ke-i yaitu

f1 . x1 = 4 . 11 = 44

f2 . x2 = 6 . 14 = 84

f3 . x3 = 7 . 17 = 119

f4 . x4 = 3 . 20 = 60

Jumlahkan hasil kali dari frekuensi kelas ke-i dengan nilai tengah

kelas ke-i yaitu :

∑ = 44 + 84 + 119 + 60 = 307

Menghitung rata – rata yaitu

∑

Kurangkan nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata hitung lalu

kuadratkan yaitu

(x1 - )2 = (11 - 15,35)2 = 18,9225

(x2 - )2 = (14 - 15,35)2 = 1,8225

(x3 - )2 = (17 - 15,35)2 = 2,7225

(x4 - )2 = (20 - 15,35)2 = 21,6225

Kalikan frekuensi pada kelas ke-i dengan hasil dari pengurangan

nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata lalu dikuadratkan. Yaitu

:

f1 . (x1 - )2 = 4 . 18,9225 = 75,688

f2 . (x2 - )2 = 6 . 1,8225 = 10,935

f3 . (x3 - )2 = 7 . 2,7225 = 19,0575

f4 . (x4 - )2 = 3 . 21,6225 = 64,8675

jumlahkan hasil kali frekuensi kelas ke-i dengan hasil dari

pengurangan nilai tengah kelas ke-i dengan rata – rata lalu

dikuadratkan yaitu



∑ ( )

Menghitung standar deviasi sebagai berikut :

√∑ ( )

√

√

Jadi standar deviasi untuk data di atas yang dianggap sebagai

populasi adalah 2,9202 .

Menghitung standar deviasi untuk data kelompok dalam funtion di

program exel yang berbentuk data populasi adalah STDEV.P(data

ke-i: data ke-n) dengan cara memblok data tersebut.

C. TUGAS

Diketahui data sebagai berikut :

1. Data tunggal yaitu :

2, 3, 6, 5, 7, 8, 9, 3, 10, 6, dan 8

2. Diberika data tunggal berbobot pada tabel berikut yaitu :

No Data Frekuensi

1 130 4

2 135 11

3 140 8

4 145 14

5 150 7

3. Diberikan data berkelompok pada tabel berikut yaitu :

No Data Frekuensi

1 30 – 37 12

2 38 – 45 18

3 46 – 53 20

4 54 – 61 13

5 62 – 69 17

Berdasarkan data tunggal, data tunggal berbobit, dan data kelompok di

atas maka tentukanlah:

a. Jangkauan

b. Jangkauan persentil



c. Simpangan Rata – rata

d. Simpangan Baku

e. Simpulkan dari perhitungan a, b, c, dan d di atas

D. REFERENSI


Sugiyono. 2012. Statistik untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Supangat, Andi. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan




PERTEMUAN KE-3

MOMEN

A. TUJUAN

Setelah mempelajari materi pertemuan ke-3 diharapkan mahasiswa

mampu menentukan momen dengan tepat disekitar varibel.

B. URAIAN MATERI

1. Momen

Momen merupakan funtion (fungsi) dalam statistik yang istimewa

karena untuk menurunkan funtion ( fungsi ) statistik sesudahnya yang lebih

spesifik lagi atau lebih sederhana lagi. Artinya momen merupakan fungsi

yang masih umum sehingga dapat dijadikan fungsi – fungsi yang lain

seperti varians (ragam) , standar deviasi (simpangan baku) dan lain – lain.

Diberikan data x1, x2, ... , xn. Jika A merupakan bilangan real tetap

sedangkan r = 0, 1, 2, ..., maka momen ke-r sekitar A dilambangkan

dengan mr' yang merupakan penjumlahan dari selisih data ke-i dengan nilai

bilangan real tetapdi pangkatkan dengan bilangan r kemudian dibagi

dengan jumlahnya banyaknya data. Secara matematis perhitungan statistik

tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut.

(3.1)

Keterangan :

: momen ke-r disekitar nilai A

: bilangan real tetap

: nilai momen ke-r dimana r = 0, 1, 2, ....

: banyaknya data

Jika nilai A adalah nol, maka rumus (3.1) menjadi momen ke-r yaitu

(3.2)

Jika nilai dari r = 1, maka untuk rumus (3.2) menjadi rumus untuk

menghitung rata – rata hitung yaitu

(3.3)

∑( )

∑

∑



Artinya momen ke-1 disekitar A = 0 merupakan rumus yang dapat

dihasilkan adalah rata – rata hitung ( m1 = ).

Jika nilai A adalah rata – rata ( A = ) diperolehlah rumus (3.1)

menjadi rumus yang lainnya yaitu

(3.4)

Apabila rumus 3.4 untuk r = 2 sehinga diperolehlah rumus untuk

menghitung varians atau ragam yang dilambangkan dengan s2 yaitu

(3.5)

Artinya momen ke-r disekitar rata – rata merupakan sebuah

perumusan untuk menentukan varians atau ragam yaitu m2 = s2.

Pelambangan untuk mr' dan mr adalah untuk membedakan antara

momen yang masih umum dengan momen yang sudah khusus dimana

nilai A dan r sudah diketahui. Sedangakan untuk membedakan apakah

momen itu merupkan sampel atau bukan maka dalam penyimbolannya

sebagai berikut :

a. mr' dan mr untuk palambangan momen data sampel.

b. dan untuk pelambangan momen data populasi.

Sehingga untuk mr' dan mr merupakan perhitungan untuk statistik

sedangakan dan merupakan perhitungan untuk parameter. Jika data

merupakan data kelompok yang mempunyai frekuensi maka perhitungan

untuk momen ke-r disekitar A yaitu

(3.6)

Jika nilai A sama dengan nol, maka rumus 3.6 menjadi momen ke-r

yaitu

(3.7)

Apabila nilai r = 1, maka rumus 3.7 menjadi rumus rata – rata untuk

data berkelompok yaitu

(3.8)

∑( )

∑( )

∑ ( )

∑(

)

∑( )



Artinya momen ke-1 disekitar A = 0 sama dengan rata – rata untuk

data berkelompok. Jika nilai A adalah rata – rata maka rumus (3.6) menjadi

(3.9)

Jika nilai r sama dengan 2 maka rumus (3.9) menjadi rumus momen

ke-2 yaitu

(3.10)

Artinya momen ke-2 dengan A mendekati rata – rata merupakan

rumus ragam atau varians atau s2. Menghitung momen dapat digunakan

metode penyandian yaitu

(3.11)

Keterangan :

p : panjang kelas interval pada data kelompok

ci : variabel penyandian

Untuk proses penyandian dimulai dari banyaknya frekuensi dijadikan

ci dengan nilai nol dengan yang sebelum kelas dengan frekuensi terbanyak

negatif dan yang sesudah nilai frekuensi terbanyak bernilai positif.

Kemudian penyandian tersebut dikalikan dengan frekuensi dan

dijumlahkan kemudian dibagi dengan jumlah data, kemudian terakhir

dikalikan dengan panjang kelas interval dipangkatkan dengan nilai r.

Sedangkan untuk menghitung momen ke-r menggunakan rumus sebagai

berikut :

Perumusan untuk menentukan momen ke-2 yaitu

(3.12)


(3.13)


∑ ( )

∑ ( )

(

∑( )

)

(

)

(

)

(

) (

)



(3.14)

Keterangan:

m2 : momen ke-2

m3 : momen ke-3

m4 : momen ke-4

Contoh 3.1.

Diberikan data kelompok pada tabel berikut :

Tabel 3.1. Data BB1

No Data Frekuensi

1 10 – 12 4

2 13 – 15 6

3 16 – 18 7

4 19 – 21 3

Hitunglah momen ke-r dari data kelompok pada tabel di atas!

Penyelesaian 3.1.

Langkah awal kita memilih frekuensi terbanyak dari tabel untuk dijadikan

sebagai titik tolak penyandian yaitu nol. Dari tabel di atas frekuensi

terbanyak adalah 7 sehingga kelas 16 – 18 disandikan dengan nol,

kemudian 13 – 15 disandikan dengan -1 , kemudian 10 – 12 disandikan

dengan -2, sedangkan 19 – 21 disandikan dengan 1 dikarenakan terletak

sesudah frekuensi terbanyak. Lihat tabel berikut :

Tabel 3.2. Proses Penyandian

No Data

1 10 – 12 4 -2

2 13 – 15 6 -1

3 16 – 18 7 0

4 19 – 21 3 1

Kemudian langkah berikut adalah mengalikan frekuensi dengan

penyandian pada kelas masing – masing yaitu

( )

( )



Kemudian dijumlahkan yaitu :

∑ ( )

Kemudian menghitung perkalian frekuensi pada kelas ke-i dengan

koefisien penyandian yang dipangkatkan dua yaitu :

( )

( )

( )

( )


∑


koefisien penyandian yang dipangkatkan tiga yaitu :

( )

( )

( )

( )


∑ ( )


koefisien penyandian yang dipangkatkan empat yaitu :

( )

( )

( )

( )


∑

Kemudian menghitung panjang kelas interval yaitu



p = tai – tbi =21,5 – 18,5 = 3

Bayaknya data atau jumlah frekuensi adalah 20 ( N = 20 ) .

Kemudian menghitung momen ke-r dengan penyandian (rumus

umum) yaitu

Menentukan yaitu

(

∑

)

(

)

Menentukan yaitu

(

∑( )

)

(

)

Menentukan yaitu

(

∑( )

)

(

)

47,25

Menentukan yaitu

(

∑( )

)

(

)

Terakhir semua nilai momen ke-r dengan penyandian disubstitusikan

ke fungsi 3.12, 3.13, dan 3.15 sehingga didapat

Momen ke-2 yaitu



(

)

( )

Jadi nilai momen ke-2 dari data di atas yaitu 8,5275

Momen ke-3 yaitu

(

)

( )( ) ( )

Jadi nilai momen ke-3 dari data di atas yaitu -0,54675.

Momen ke-4 yaitu

(

) (

)

( )( ) ( ) ( ) ( )

Jadi nilai momen ke-4 dari data di atas yaitu 145,33273

C. TUGAS

Diberikan data kelompok pada tabel berikut.

Tabel 3.3. Data BB2

No Data Frekuensi

1 40 – 47 18

2 48 – 55 12

3 56 – 63 10

4 64 – 71 17

5 72 – 79 13

6 80 – 87 10

Dari tabel data kelompok di atas, tentukanlah :

a) Momen ke-1,

b) Momen ke-2 dan

c) Momen ke-3



D. REFERENSI



Supangat, Andi. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan

Nonparametrik. Jakarta: Kencana


40 | S t a t i s t i k P e n g e n d a l i a n k u a l i t a s

PERTEMUAN KE-4

SKWENES DAN KURTOSIS

A. TUJUAN

Setelah mempelajari materi pertemuan ke-4 diharapkan mahasiswa

mampu menentukan Skewness dan Kurtosis dengan tepat.

B. URAIAN MATERI

1. Skweness ( Kemiringan)

Pada sub bab kedua ini kita akan membahas tentang Skeweness.

Maka dari itu pertama anda harus mengetahui definisi dari kemiringan atau

skeweness. Karena dengan mengetahui definisi dari kemiringan anda

dapat mengetahui batasan dan ketentuan pad kemiringan tersebut.

Kemiringan sebuah diagram dari sebuah data bergantung kepada

penyebaran data yang merata atau tidak. Semakin banyak data yang besar

dan semakin sedikit data yang kecil maka kemiringan data tersebut akan

condong kesebelah kiri atau sering disebut kemiringan negatif. Sedangkan

semakin banyak data yang besar dan semakin sedikit data kecil maka

kemiringan data tersebut akan condong ke sebelah kanan atau sering

disebut kemiringan negatif.

Untuk menentukn tingkat kemiringan sebuah data ada 4 cara yaitu

pearson, momen matematis, bowly dan metode Andi Supangat. Penjelasan

metode tersebut dapat anda perhatikan pada pemhasan berikut :

a. Pearson

Metode pertama untuk menentukan kemiringan sebuah data

adalah metode Pearson. Apakah yang dimaksud dengan metode pearon

untuk menentukan kemiringan sebuah data? Metode Pearson

merupakan metode kemiringan sebuah data yang diperoleh dari selisih

rata – rata dengan modus dan berbanding terbalik dengan simpangan

baku atau standar deviasi atau tiga kali dengan selisih rata – rata

dengan median dan berbanding terbalik dengan simpangan baku atau

standar deviasi. Secara matematis anda perhatikan perumusan sebagai

berikut.

(4.1)

Modus dapat diganti menjadi Median sehingga perumusan (4.1)

menjadi

(4.2)



Keterangan:

Sk : skweness atau kemiringan

: rata – rata

Mo : Modus

Me : Median

s : standar deviasi atau simpangan baku

Penyimpulan sebuah data dengan metode kemiringan pearson

adalah sebagai berikut :

a. Dikatakan negatif : rata – rata < median < modus

b. Dikatakan positif : rata – rata > median > modus

c. Dikatakan normal atau uniform : rata – rata = median = modus

Ilustrasi dari ketiga kesimpulan di atas lihat gambar kurva berikut.

Gambar 4.1. Kurva Kemiringan

Untuk lebih jelasnya materi tentang kemiringan dengan metode

Pearson anda perhatikan contoh sebagai berikut :

Contoh 4.1.

Diberikan data tunggal sebagai berikut :

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 5

Maka tentukanlah kemiringan data tersebuut dengan metode pearson?

Penyelesaian 4.1.

Hitunglah rata – rata yaitu :

Menentukan modus yaitu data nilai 5 ada 2 sehingga

Mo = 5



Hitunglah standar deviasi yaitu

√

√

√

√

Menghitung kemiringan dengan metode Pearson yang pertama yaitu:

Kemiringan data di atas adalah 0 yang artinya adalah data terkategori

normal atau uniform.

b. Moment Matematis

Metode untuk menentukan kemiringan yang kedua adalah metode

moment matematis. Apakah yang dimaksud dengan metode kemiringan

moment matematis? Metode kemiringan moment matematis merupakan

metode kemiringan sebuah data bedasarkan jumlah dari perkalian

frekuensi ke-i dengan selisih niai ke-i dengan rata – rata yang

dipangkatkan tiga dan berbanding terbalik dengan perkalian jumlah data

atau jumlah frekuensi dengan simpangan baku yang dipangkatkan tiga.

Secara matematis anda dapat perhatikan perumusan sebagai berikut.

(4.3)

Keterangan :

Sk : kemiringan

fi : frekuensi data ke-i

xi : nilai atau data ke-i

: rata – rata

: standar deviasi

: banyaknya data atau jumlah frekuensi

Kriteria kemiringan dengan metode moment matematis yaitu :

1) Suatu kurva dikatakan condong ke kiri (positif), jika Sk > 0,01.

2) Suatu kurva dikataka normal jika Sk = 0,01.

3) Suatu kurva dikategorikan condong ke kanan (negatif), jika Sk <

0,01.

∑



c. Bowley

Metode untuk menentukan kemiringan kurva yang ketiga adalah

metode Bowley. Apakah yang dimaksud metode kemiringan menurut

metode Bowley? Kemiringan menurut Bowley merupakan koefisien yang

yang diperoleh dari kuartil tiga yang dikurangkan dengan dua kali kuartil

dua dan dijumlahkan dengan kuartil satu dan berbanding terbalik

dengan selisih kuartil tiga dengan kuartil satu. Secara matematis dapat

dirumuskan sebagai berikut.

(4.4)

Keterangan:

Q3 : kuartil ketiga

Q2 : kuartil kedua

Q1 : kuartil kesatu

Sk : kemiringan sebuah data

Kriteria penyimpulan jika nilai dari kemiringan menurut metode Bowley

yaitu :

1) Jika Sk = ±0,1, maka kurva dikatakan cenderung condong ke kiri,

kanan dan atau normal

2) Jika Sk > ±3, maka tingkat kecondongan semakin berarti.

d. Andi Supangat

Metode untuk menentukan kemiringan kurva yang keempat yaitu

metode Andi Supangat. Apakah yang dimaksud kemiringan menurut

metode Andi Supangat? Kemiringan sebuah data dalam kurva menurut

Andi Supangat merupakan selisih antara paruh interval atau semi

interval dengan modus berbanding terbalik dengan titik tengah kurva.


(4.5)

Keterangan:

: paruh interval ( semi interval)

: modus

: titik tengah kurva

Xm = nilai tengah pada kelas yang mempunyai frekuensi terbanyak.

kemiringan



Kriteria penyimpulan jika besarnya kemiringan sudah diketahui

yaitu :

1) Jika Sk > 0 , maka kurva dikatakan cenderung condong ke kiri

(positif).

2) Jika Sk = 0 , maka kurva dikatakan normal (uniform)

3) Jika Sk < 0 , maka kurva dikatakan cenderung condong ke kanan

(negatif).

2. Kurtosis (Keruncingan)

Sub bab ketiga pada bab ketiga kita akan membahas tentang kurtosis

atau keruncingan. Apakah yang dimaksud dengan kurtosis? Kurtosis

merupakan koefisien yang menentukan jenis kurva berbentuk runcing atau

normal atau tumpul. Kurtosis dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan

perkalian antara frekuensi ke-i dengan nilai ke-i dikurangkan dengan rata –

rata yang di pangkatkan empat dan berbanding terbalik dengan perkalian

banyaknya data atau jumlah frekuensi dengan simpangan baku atau

standar deviasi dipangkatkan empat. Secara matematis menurut Pearson

dapat dirumuskan sebagai berikut.

(4.6)

Menggunakan nilai momen ke-4 maka perumusan (4.6)

(4.7)

Keterangan :

K : kurtosis atau keruncingan

xi : nilai ke-i

N : jumlah data atau jumlah frekuensi

: rata – rata

: simpangan baku atau standar deviasi

: frekuensi ke-i

m4 : momen ke-4 disekitar rata – rata

Kriteria penyimpulan setelah nilai kurtosis atau K diketahui yaitu

1) Jika K > 3 , maka kurva dikategorikan runcing atau lepto kurtik

2) Jika K = 3 , maka kurva dikategorikan normal atau meso kurtik

3) Jika K < 3 , maka kurva dikategorikan datar atau plati kurtik

Keruncingan dari sebuah data kesimpulan di atas perhatikan Gambar

4.2.

∑



Gambar 4.2 Kurva Keruncingan

Contoh 4.2.

Diberikan tabel berikut :

Tabel 4.1. Data CCC

No. Data

1 11

2 21

3 31

4 41

5 61

6 71

7 81

8 71

9 31

10 21

11 41

12 51

13 61

14 51

15 91

16 31

17 71

18 61

19 71



No. Data

20 81

Tentukanlah kurtosisnya dan analisa!

Penyelesaian 4.2.

Langkah penyelesaian untuk menentukan nilai kurtosis yaitu

a. Menentukan jangkauan

R = Xmax Xmin

R = 91 11 = 80

b. Menentukan banyak kelas

K = 1 + (3.3 log N)

K = 1 + (3.3 log 20)

K = 5.3

K = 5

c. Menentukan panjang kelas

P =

P =

Sehingga dengan data yang diperoleh dapat dibuat Data Tabel

Frekuensi pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2. Data tabel Frekuensi

No. Data frekuensi

1 11-26 3

2 27-42 5

3 43-58 2

4 59-74 7

5 75-91 3

Jumlah 20

Untuk mencari nilai kurtosis adalah

∑

Langkah awal dengan mencari nilai rata-rata

∑

∑



Untuk mencari nilai Simpangan Baku atau Standar Deviasi adalah

√∑

√

√

√

Menentukan nilai kurtosis adalah

∑

Karena nilai K (1.716039) < 3 yang artinya bahwa data di atas memiliki kurva

yang dikategorikan datar atau plati kurtik.

C. TUGAS

Diberikan data kelompok pada tabel berikut.

Tabel 4.3. Data CCC1

No Data Frekuensi

1 40 – 47 18

2 48 – 55 12

3 56 – 63 10

4 64 – 71 17

5 72 – 79 13

6 80 – 87 10



Dari tabel data kelompok di atas, tentukanlah :

a) Kemiringan dengan dua metode dari 4 metode yaitu Pearson, Moment

Matematis, Bowley dan Andi Supangat.

b) Keruncingan

c) Kesimpulan

D. REFERENSI




Nonparametrik. Jakarta: Kencan



PERTEMUAN KE-5

DISTRIBUSI BINOMIUM

A. TUJUAN

Setelah menyelesaikan materi pada pertemuan ke-5 ini diharapkan

mahasiswa mampu :

1. Menghitung distribusi Binom

2. Menghitung distribusi Poisson

3. Menghitung distribusi Hypergeometri

4. Menghitung distribusi Normal

B. URAIAN MATERI

1. Distribusi Binomial

Pembahasan sub materi pertama ini, kita akan membahas tentang

bagian dari pada distribusi yaitu distribusi Binomial. Apa yang dimaksud

dengan distribusi binomial? Pentingnya kita mengetahui definisi dari

distribusi binomial agar kita dapat mengetahui batasan dan rumusan

sehingga dapat memperhitungkan distribusi binomial dengan sesuai

prosedur data.

Distribusi binom merupakan distribusi acak diskrit yang berbanding

lurus dengan hasil kombinasi data yang diharapkan dari data keseluruhan

dengan probabilitas yang dipangkatkan data yang diharapkan dan peluang

komplemen yang dipangkatkatkan dengan selisih data keseluruhan

dengan data yang diharapkan. Jika pada setiap percobaan yang berulang –

ulang dengan peluang kejadian yaitu P(A) = p dinamakan dengan

percobaan bernouli. Jika percobaan bernouli dilakukan berulang N kali

secara bebas, k diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya adalah

(N – k ) yaitu peristiwa peluang A komplemen. Secara matematis distribusi

binom dirumuskan sebagai berikut.

(5.1)

Keterangan:

(5.2)

p : probabilitas kejadian

q : komplemen probabilitas kejadian

C : kombinasi

N : banyaknya percobaan bernouli

k : banyaknya peristiwa yang terjadi

k : 0, 1, 2, ... , N

( )

q = 1 – p



0 < p < 1 (dengan nilai probabilitas tertinggi 1 dan terendah 0)

(5.3)

merupakan koefisien binom

∑ dimana peluang atau probabilitas tetinggi adalah satu jika ada

penjumlahan dari keseluruhan peluang kejadian.

Distribusi binom mempunyai parameter yaitu rata – rata populasi

dan simpangan baku. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut.

Rata-rata populasi dengan perumusan :

(5.4)

Simpangan baku untuk populasi dengan perumusan:

(5.5)

Keterangan:

: rata – rata populasi

: Simpangan baku

p : peluang kejadian

q : komplemen peluang kejasdian

Contoh 5.1.

Analisa probabilitas untuk mendapatkan 5 angka (A) ketika melakukan

percobaan dengan sebuah mata uang logam yang homogin sebanyak 8

kali !

Penyelesaian 5.1.

Diketahui : N = 8, k = 5

Karena dalam mata uang logam homogin terdapat angka dan gambar

sehingga jumlah ruang sampel ada 2 maka peluang masing – masing

adalah peluang untuk angka P(A) = ½ dan peluang untuk gambar P(G) =

½ . Sehingga

p = ½

maka distribusi binomnya adalah

( ) (

)

(

)

( )

( ) (

) (

)

( )

(

)( )

( )

(

)( )

( )

√



( )

(

)

( )

( )

Jadi distribusi binomnya adalah 0,21875 yang artinya bahwa dalam

percobaan uang logam akan diperoleh angka sebanyak 5 kali dari 8 kali

percobaan kira – kira dari percobaan 100.000 didapat kira – kira 21.875

angka.

Contoh 5.2.

Suatu undian dengan menggunakan mata dadu homogin 8 buah sekaligus.

Analisa probabilitas keluarnya mata dadu 4 sebanyak 5 buah!

Penyelesaian 5.2.

Diketahui : N = 8, k = 5

Dalam mata dadu terdapat 6 mata dadu yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, maka

jumlah ruang sampelnya adalah 6 sehingga peluang atau probabilitas

untuk mata dadu 4 adalah 1/6.

p = 1/6

q = 1 – 1/6 = 5/6

Sehingga distribusi binomnya adalah

( ) (

)

(

)

( )

( ) (

) (

)

( )

(

) (

)

( ) (

)(

)

( )

Jadi distribusi binomnya adalah 0,0000431 yang artinya bahwa dalam

percobaan uang logam akan diperoleh mata dadu 4 sebanyak 5 kali dari 8

kali percobaan kira – kira dari percobaan 10.000.000 didapat kira – kira

431.

Contoh 5.3.

Benda yang terkategori B sebesar 20%. Pengambilan sampel secara acak

sebanyak 30 sampel. Berapakah probabilitas sampel tersebut akan

terdapat benda yang terkategori B:

a. Semuanya

b. Satu buah

c. Dua buah

d. Paling sedikit satu buah

e. Paling banyak dua buah

f. Rata – rata terdapatnya kategori B



Penyelesaian 5.3.

Peluang kejadian adalah 20% artinya

p = 20% = 0,20

sehingga

q = 1 – p = 1 – 0,20 = 0,80

N = 30

a. Semuanya kategori benda B artinya k = 30

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) (

)

( )

b. Benda yang terkategori benda B adalah 1 artinya k = 1

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 0,009285

c. Paling sedikit satu buah artinya k = 1, 2, 3, ... , 30

Sehinga peluang totalnya adalah

P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 30)

Atau dapat kita cari dengan logika kebalikannya yaitu

P(X 1) = 1 – P(X = 0)

Maka kita hanya perlu mencari P(X = 0) yaitu

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )



( )

Sehingga

P(X 1) = 1 – P(X = 0)

P(X 1) = 1 – 0,00124

P(X 1) = 0,99876

d. Sampel berisikan paling banyak dua yang terkategori benda B

sehingga dilambangkan dengan

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Untuk P(X = 0) sudah diketahui yaitu 0,00124, untuk P(X = 1) sudah

diketahui dan yang perlu dihitung yaitu P(X = 2) yaitu

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Jadi

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X 2) = 0,00124 + 0,009285 + 0,033582

P(X 2) = 0,044107

e. Rata – rata sampel adalah terkategori benda B sehingga

menggunakan rumus

( )

Simpulannya adalah rata – rata yang diharapkan terdapat 6 buah

benda terkategori B dalam setiap pengambilan sapel sebanyak 30.

2. Distribusi Poisson

Sub materi kedua berikut kita akan membahas tentang bagian dari

pada distribusi yaitu distribusi Poisson. Pentingnya kita mengetahui definisi

dari pada distribusi poisson sehingga megetahui batasan – batasan yang

ada pada distribusi ini.

Percobaan poisson merupakan banyaknya hasil percobaan yang

terjadi dalam waktu selang tertentu atau dalam daerah tertentu. Sedangkan

distribusi poisson adalah sebaran peluang yang terjadi dari hasil percobaan

yang terjadi dalam waktu selang tertentu atau pada daerah tertentu. Selang

waktu yang dimaksud adalah seperti semenit, sejam, sehari, seminggu,

sebulan dan bahkan setahun. Sebagai contoh peristiwa untuk selang waktu



banyaknya produksi barang perjam. Sedangkan dalam daerah tertentu

semisal suatu ruas garis, satu luasan, suatu volume atau mungkin

sepotong kain. Contoh dalam suatu daerah tertentu misalnya banyaknya

belalang per meter persegi.

Percobaan Poisson memiliki ciri – ciri :

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang

terjadi pada selang waktu atau suatu daerah tertetu.

b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu tertentu

yang sangat singkat sekali atau dalam daerah yang kecil, sebanding

dengan panjang selang waktu tertentu besarnya daerah tersebut, dan

tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar

selang waktu atau daerah tersebut.

c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam

selang waktu tertentu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat

diabaikan.

Perumusan distribusi Poisson secara matematis adalah sebagai

berikut.

(5.6)

Keterangan:

e = 2,71828

= rata – rata yang banyak terjadi pada selang waktu tertentu atau daerah

tertentu.

Untuk lebih jelasnya, Anda perhatikanlah contoh permasalahan

berikut ini.

Contoh 5.4.

Rata – rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musim dingin

di suatu kota di bagian timur Amerika Serikat adalah 4. Berapa peluang

bahwa sekolah – sekolah di kota itu akan tutup selama 6 hari dalam suatu

musim dingin?

Penyelesaian 5.4.

Dengan menggunakan sebaran Poisson dengan x = 6 dan = 4, kita

memperoleh dari tabel Poisson bahwa

( )

P(6; 4) = 0,104195

( )



Perhitungan dengan menggunakan tabel distribusi Poisson :

( ) ∑ ( )

∑ ( )

P(6; 4) = 0,8893 – 0,7851

P(6; 4) = 0,1042

( tabel langsung dengan x = 6 dan = 4 = )

Contoh 5.5.

Rata – rata banyaknya tikus per acre dalam suatu ladang gandum seluas 5

acre diduga sebesar 10. Hitung peluang bahwa dalam suatu luas 1 acre

terdapat lebih dari 15 tikus?

Penyelesaian 5.5.

Misalkan X adalah banyaknya tikus per acre. Maka dengan menggunakan

tabel kita mendapatkan :

P(X > 15) = 1 – P(X 15)

( ) ∑ ( )

P(X > 15) = 1 – 0,9513

P(X > 15) = 0,0487

Sebaran Poisson dan Binom mempunyai bentuk histogram yang bentuknya

hampir sama bila n besar dan p kecil (dekat dengan nol). Oleh karena itu

bila kedua kondisi itu dipenuhi, sebaran Poisson dengan perumusan

sebagai berikut :

= np

Dapat digunakan untuk menghampiri peluang Binom. Bila p nilainya dekat

dengan 1, kita dapat saling menukarkan yang telah didefinisikan sebagai

keberhasilan dan kegagalan.

Agar lebih jelas, anda perhatikan contoh permasalahan sebagai berikut :

Contoh 5.6.

Misalkan bahwa secara rata – rata 1 orang di antara 1000 orang adalah

pecandu alkohol. Hitung peluang bahwa dalam suatu contoh acak 8000

orang terdapat kurang dari 7 pecandu alkohol.

Penyelesaian 5.6.



Sesungguhnya ini merupakan percobaan binom dengan n = 8000 dan p =

0,001. Karena p sangat dekat dengan nol dan n sangat besar, kita akan

menghapirinya dengan sebaran Poisson dengan = np = 8000 (0,001) =

8. Oleh karena itu, apabila x menyatakan banyaknya pecandu alkohol, kita

peroleh :

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

P(X < 7) = 0,3134

3. Distribusi Hypergeometri

Sub materi ketiga berikut ini kita akan membahas tentang distribusi

hypergeometri. Sebelum kita lebih lanjut mempelajari distribusi

hypergeometri maka kita harus tahu terlebih dahulu apa definisi dari pada

distribusi hypergeometri. Sehingga dengan mengetahui definisi dari pada

distribusi hypergeometri kita dapat mengetahui batasan – batasan yang

terdapat pada distribusi ini.

Distribusi hypergeometri adalah sebaran banyaknya probabilitas

terambilnya x antara keberhasilan dan kegagalan yang diberi label dari

sebuah sampel yang berukuran n dari populasi yang berukuran N.

Percobaan hypergeometri merupakan probabilitas terambilnya x antara

berhasil atau gagal dari sebuah sampel yang diambil dari populasi. Setiap

keberhasilan x dari sebuah percoabaan dinamakan dengan peubah acak

hypergeometri. Sedangakan sebarannya dari pada peubah acak

merupakan sebaran hypergeometri. Secara matematis sebaran atau

distribusi hypergeometri dirumuskan sebagai berikut :

(5.7)

Untuk x = 0, 1, 2, ... , k

Keterangan:

n : jumlah sampel

N : jumlah populasi

x : peluang terambil

k : jumlah utama dari x

Nilai tengah dan ragam bagi sebaran hypergeometri h(x; N; n; k)

adalah sebagai berikut :

(5.8)

( )



(5.9)

Keterangan:

: rata – rata untuk populasi

: varians atau ragam

Untuk lebih jelasnya, anda perhatikan contoh persoalan berikut ini.

Contoh 5.7 .

Perusahaan telpon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telpon

baru, 4000 menggunakan telpon ‘tombol’. Bila 10 diantara pemasang baru

tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang yang

menggunakan tipe ‘putar’?

Penyelesaian 5.7.

Karena ukuran populasi N = 5000 relatif sangat besar dibandingakan

dengan ukuran contoh n = 10, maka kita akan menghampiri peluang yang

ditanyakan dengan menggunakan sebaran binom. Peluang orang

menggunakan tipe ‘putar’ adalah 0,2, maka peluang tepat ada 3 orang

yang menggunakan tipe ‘putar’ di antara 10 orang contoh tersebut adalah :

H(3; 5000; 10; 1000) b(3; 10; 0,2)

( ) ∑ ( )

∑ ( )

H(3; 5000; 10; 1000) = 0,8791 – 0,6778

H(3; 5000; 10; 1000) = 0,2013

4. Distribusi Normal

Pada sub materi keempat ini kita akan mempelajari tentang

distribusi normal. Apa yang dimaksud dengan distribusi normal? Terkadang

kita tahu cara menghitung dari pada distribusi normal tetapi tidak dapat

mendefinisikan dari pada distribusi normal tersebut. Maka kita sangat perlu

sekali untuk mengetahui definisi distribusi normal tersebut.

Distribusi normal adalah distribusi sebaran peluang kontinu yang

memiliki sebaran genta. Distribusi normal memegang peranan pentig

dalam statistik inferensial yaitu sebagai model distribusi probabilitas. Ada

tiga alasan melandasi pentingnya distribusi normal yaitu :

(

)



a. Disttribusi normal merupakan distibusi yang baik utuk mendekati

frekuensidari fenomena alam dan sosial jika sampelnya besar. Populasi

berbagi perilaku dan karakteristik alam dan sosial yang berkala interval

dan rasio umumnya diasumsikan memiliki distibusi normal.

b. Ada hubungan kuat antara besarnya sampel dengan distribusi rata -

rata yang diperoleh dari sampel – sampel acak yang diambil dari

populasi yag sama. Semakin besar sampel distribusi rata – rata semaki

mendekati normal.

c. Distribusi normal mendekati penghampiran (aproksimasi) yang baik

terhadap distribusi teriritis yang ada pada uunya lebih sulit digunakan

untuk memodelkan distribusi peluang.

Model matematis yang digunakan untuk menghitung distribusi

normal adalah sebagai berikut :

(5.10)

Keterangan:

Y : ordinat pada grafik

x : skor yang diperoleh


: 3,1416 (dibulatkan)

: 2,7183 (dibulatkan)

: simpangan baku populasi dibaca thau

Dikarenakan berdistribusi kontinu maka untuk menentukan

probablitasnya dilakukan dengan menggunakan luas di bawah kurva.

Sayangnya fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana

sehingga probalibiltasnya dihiitung dengan menggunakan distribusi normal

standar dimana variabel normal standar memiliki perumusan sebagai

berikut.

(5.11)

Keterangan :

Z : banyaknya standar deviasi

X : nilai tengah


√ ( )



: simpangan baku populasi

Dalam distribusi normal, pertama harus dilakukan adalah

menentukan rata – rata populasi jika data berasa dari populasi atau rata –

rata sampel jika data berasal dari sebuah sampel . Jika X berada pada

antara x = x1 dan x = x2, maka peubah acak Z akan berada diantara nilai

padanannya yaitu :

(5.12)

(5.13)

Setelah anda menghitung z kemudian tranformasi menjadi sebagai

berikut :

(5.14)

Sehingga peluang yang dihitung dengan x sebanding dengan

peluang dengan nilai z.

Untuk lebih jelaskan anda perhatikan pada contoh berikut ini :

Contoh 5.8.

Untuk sebaran normal dengan rata – rata populasi adalah 50 dan

simpangan baku untuk populasi adalah 10. Hitunglah peluang bahwa x

mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62!

Penyelesaian 5.8.

Diketahui : x1 = 45 ; x2 = 62; = 50 ; = 10

Langkah awal menentukan nilai Z1

Menentukan nilai Z1

Menentukan peluang (p)

P( 45 < X < 62) = P(-0,5 < Z < 1,2)

P(x1 < X < x2) = P(z1 < z < z2)



P( 45 < X < 62) = P( Z < 1,2) – P(Z < -0,5)

Dengan menggunakan tabel normal baku z sehingga diperoleh

P( 45 < X < 62) = 0,8849 – 0,3085

P( 45 < X < 62) = 0,5764

Contoh 5.9.

Untuk sebaran normal dengan rata – rata populasi 300 dan simpangan

baku populasi 50, hitunglah peluang bahwa peubah acak X mengambil

suatu nilai yang lebih besar dari 362

Penyelesaian 5.9.

Diketahui : x = 362; = 300 ; = 50

Langkah awal kita hitung nilai z yaitu :

Dengan demikian peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai

yang lebih besar dari 362 yaitu

P(x > 362) = P(Z > 1.24)

P(x > 362) = 1 – P(Z < 1,24)

P(x > 362) = 1 – 0,8925

P(x > 362) = 0,1075

C. TUGAS

PETUNJUK :

1. Tugas ini sebagai Tugas ke-5 Mata Kuliah Statistik Pengendalian

Kualitas.

2. Tugas diketik dalam kertas A4, margin Narrow, jenis huruf Times New

Roman 12 pt, spasi 1,15.

3. Dikirimkan dalam bentuk Word dengan nama file : Nama/ Tugas Ke-5/

Statistik Pengendalian Kualitas, ke email : [email protected]

paling lambat sebelum perkuliahan pertemuan ke-6 dimulai.

4. Keterlambatan pengiriman tugas akan dikurangi nilai dari total sebesar 10

per hari.

TUGAS :

Selesaikanlah pesoalan berikut :

1. Benda yang terkategori B sebesar 25%. Pengambilan sampel secara

acak sebanyak 100 sampel. Berapakah probabilitas sampel tersebut akan

terdapat benda yang terkategori B:

a. Semuanya




b. Tidak sama sekali

c. Satu buah

d. Dua buah

e. Tiga buah

f. Paling sedikit tiga buah

g. Paling banyak tiga buah

h. Rata – rata terdapatnya kategori B

2. Rata – rata jumlah hari sekolah ditutup karena banjir selama musim hujan

di suatu kota adalah 3. Berapa peluang bahwa sekolah – sekolah di kota

itu akan tutup selama 5 hari dalam suatu musim hujan?

3. Misalkan bahwa secara rata – rata 3 orang di antara 2000 orang adalah

pecandu alkohol. Hitung peluang bahwa dalam suatu contoh acak 12000

orang terdapat kurang dari 4 pecandu alkohol.

4. Perusahaan telpon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telpon

baru, 1500 menggunakan telpon ‘tombol’. Bila 12 diantara pemasang

baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 4 orang

yang menggunakan tipe ‘putar’?

5. Untuk sebaran normal dengan rata – rata populasi adalah 75 dan

simpangan baku untuk populasi adalah 12,5. Hitunglah peluang bahwa x

mengambil sebuah nilai antara 60 dan 70!

D. REFERENSI





Ronal E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika. Jakarta : Gramed



PERTEMUAN KE-6

UJI TINGKAT KEYAKINAN

A. TUJUAN

Setelah mempelari materi pada pertemuan ke-6 ini mahasiswa

diharapkan mampu :

1. Menghitung estimasi pada statistik.

2. Menghitung uji tingat keyakinan.

3. Menghitung chi kuadrat.

B. URAIAN MATERI

1. Estimasi Pada Statistik

Pada sub materi pertama dari pertemuan ke-6 ini kita akan

membahas tentang estimasi pada statistik. Estimasi pada statistik

merupakan suatu kegiatan untuk memprediksi nilai dari suatu populasi

dengan mempunyai batasan minimum dan batsan maksimum dari suatu

perhitungan yang sesuai. Secara umum parameter populasi diberikan

simbol dengan dimana cara membacanya adalah theta. Benuk dari pada

dapat berupa rata – rata, simpanga baku, proporsi dan lain – lain. Jika

niali dari pada belum diketahui kemudian ada nilai penaksir untuk nilai

yaitu dibaca dengan theta topi. Penaksiran yang ideal atau sangat baik

merupakan penaksiran yang ingin dikehendaki adalah besarnya nilai

sama dengan nilai . Namun terkadang dalam penaksiran dapat kita

jumpai terkadang nilai penaksir terserbut terlalu tinggi dari pada nilai yang

ditaksirkan, dan terkadang nilai penaksir tersebut terlalu rendah dari pada

nilai yang ditaksirkan. Kedua kejadian ini memang sangat tidak diharapkan

oleh seorang statistikawan karena memang yang diinginkan adalah nilai

penaksir yang baik dan mendekati kebenaran dengan ukuran keeroran

yang sangat kecil.

Menurut Sudjana (2005 : 199) memberikan kriteria untuk

mendapatkan penaksir yang baik yaitu :

a. Penaksir dikatakan sebagai penaksir takbias jika rata – rata semua

harga yang mungkin akan sama dengan . Penaksir yang tak bias

disebut dengan penaksir bias.

b. Penaksir yang bervarians minimum yaitu penaksir dengan varians

terkecil di antara semua penaksir yang mungkin untuk parameter yang

sama. Jika ada dua penaksir untuk yaitu dan jika varians untuk

lebih kecil dari pada varians untuk maka merupakan penaksir

dengan varians yang minimum.

c. Misalkan penaksir untuk yang dihitung berdasarkan sebuah

sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar

mendekati ukuran populasi menyebabkan mendekati , maka

disebut penaksir yang konsisten.



d. Penaksir yang tak bias dan bervarians minimum disebut dengan

penaksir terbaik.

Dalam melakukan taksiran kita akan menggunakan yang disebut

dengan derajat kepercayaan yang dilambangkan dengan dibaca dengan

gamma, dimana batasan dari pada yaitu 0 < < 1 . semakin besar nilai

dari pada yang digunakan oleh seorang peneliti maka taraf kepercayaan

semakin baik dan sebaliknya semakin kecil nilai dari pada yang

digunkaan oleh peneliti maka taraf kepercayaannya semakin kurang baik

baik atau bahkan bisa dikategorikan buruk atau tidak memenuhi standar.

Namun demikian secara umum para peneliti lebih menggunakan nilai dari

pada taraf kepercayaan sebesar 0,95 dan 0,99. Sedangkan lawan daripada

taraf kepercayaan adalan taraf kesalahan yang dilambangkan dengan

dibaca dengan alfa. Dimana merupakan nilai yang diperoleh dari pada

satu dikurangi dengan nilai dari ada taraf keorcayaan. Semakin besar nilai

alfa maka akan semain kurang baik sebuah penelitian dan sebaliknya jika

semakin kecil nilai dari pada alfa maka akan semakin baik dari pada

sebuah penelitian.

Perumusan penaksiran dalam bentuk peluang secara matematis

sebagai berikut.

(6.1)

Dimana A dan B merupakan fungsi dari pada statistik yang

merupakan variabel acak tetapi tidak bergantung kepada nilai .

Berikut akan kami jelaskan beberapa metode menaksir sebuah data

yaitu :

a. Menaksir Rata – Rata

Menaksir rata – rata untuk nilai rata – rata populasi yaitu dibaca

miu dapat kita gunakan dengan mengambil data sampel yang berukuran

n dari populasi yang berukuran N tersebut kemudian kita hitung nilai rata

– rata sampel kita dapatkan dibaca x bar. Nilai merupakan titik

penaksir untuk nilai rata – rata parameter populasi yaitu . Untuk

mendapatkan nilai taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya

maka digunakanlah yang dinamakan dengan interval taksiran atau

selang penaksiran yang disertai dengan nilai koefisien kepercayaan

yang diinginkan oleh peneliti.

Penaksir untuk parameter populasi jika simpangan baku

dilambangkan dengan diketahui dan populasinya berdistribusi normal

maka untuk perumusan (6.1) menjadi :

(6.2)

Dengan nilai dapat diitung dari data sampel yang berukuran n

yang diambil dari sebuah populsi dan nilai dari pada

diperoleh

P(A < < B) =

P(( -

√ )) < < ( +

√ ))) =



dengan menggunakan tabel normal baku untuk peluang ½ . Sehingga

dari perumusan (6.2) kita peroleh batasan parameter yaitu :

(6.3)

Dengan -

√ ) sebagai batasan terendah dari parameter

dan +

√ ) sebagai batasan tertinggi dari pada parameter.

Jika simpangan baku atau untuk populasitidak dietahui dan data

dari populasi merupakan data yang berdistribusi normal, sehingga untuk

simpangan baku populasi atau digantikan dengan menghitung

simpangan baku untuk sampel yang berukuran n yaitu s. Sedangkan

untuk nilai dari pada

diganti dengan tp yaitu nilai t yang didapat dari

daftar distribusi Student dengan p = ½(1 + ) dan dk = (n – 1) , maka

perumusan pada (6.2) menjadi :

(6.4)

Dari perumusan (6.4) kita dapat menentukan selang parameter

untuk penkasirannya yaitu :

(6.5)

Dimana untuk nilai terendah dari sebuah penaksiran yaitu -

√ ) disebut sebagai batas bawah dan nilai tertinggi dari sebuah

penaksiran yaitu +

√ ) disebut sebagai batas atas. Jika ukuran

sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi yaitu N,

yaitu (n/N) > 5%, maka perumusan (6.5) menjadi :

(6.6)

Khusus dalam interval kepercayaan 50% yang memberikan untuk

z0,25 = 0,6745. Ini berarti peluangnya setengah – setengah bawhwa

interval acak (

√ ) dimana

√ dinamakan dengan

kekeliruan peluang untuk rata – rata.

Jika simpangan baku untuk populasi tidak diketahui dan data

populasi diketahui tidak berdistribusi normal, sedangkan ukuran data

sampel untuk n tidak terlalu kecil, maka dalil limit pusat dapat

digunakan. Sedangakan jika data sampel berukuran n sangat kecil maka

( -

√ )) < < ( +

√ ))

P(( -

√ )) < < ( +

√ ))) =

( -

√ )) < < ( +

√ ))

( -

√ √

)) < < ( +

√ √

))



memerlukan perhitungan matematika sangat rumit maka dibab ini tidak

akan dibahas lebih lanjut. Karena memang sudah sangat jauh daripada

tujuan kompetensi.

Untuk lebih jelasnya dari penjelasan di atas berikut diberikan

contoh untuk memudahkan pemahaman materi.

Contoh 6.1.

Sebuah sampel acak terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari

sebuah Universitas Pamulang program studi Matematika lalu nilai-nilai

IQ-nya dicatat, didapat rata – ratanya 112 dan simpangan baku

sampelnya 10. Analisa untuk penaksir rata-rata dari peristiwa tersebut?

Penyelesaian 6.1.

Jumlah sampel = n = 100.

Rata – rata IQ dari sampel merupakan titik taksiran untuk parameter

yaitu = 112. Simpangan baku untuk sampel yaitu s = 10. Jika

dikehendaki dengan koefisien kepercayaan atau = 0,95 di dapat :

p = ½(1+ )

p = ½(1+0,95)

p = 0,975

dan derajat kebebasan atau dk = n- 1 = 100 – 1 = 99

dengan interpolasi dari daftar tabel G dalam lampiran diperoleh

tp = 1,987

dengan menggunakan perumusan 5.4 diperoleh

( -

√ √

)) < < ( +

√ √

))

(112-

√ )) < < (112+

√ ))

110 < < 114

Kesimpulan :

Dengan taraf kepercayaan 95% untuk yakin bahwa interval IQ

rata-rata mahasiswa Universitas Pamulang program studi Matematika

berada pada batasan 110 < < 114.

b. Estimasi Proporsi

Pada pebahasan berikut ini kita akan membahas bagian dari pada

estimasi yang kedua yaitu estimasi proporsi. Apa yang dimadsud

dengan proporsi? Proporsi merupakan suatu peristiwa yang terjadi

terhadap semua kejadian yang terjadi atau jumlah peristiwa yang terjadi



berbanding terbalik dengan jumlah semua peristiwa yang bersesuaian

dengan kejadia tersebut. Lambang untuk proporsi itu sendiri adalah

untuk parameter atau untuk populasi sedangkan untuk sampel lambang

dari proporsi yaitu p. Jika sebuah sampel acak berukuran n diambil dari

populasi yang berukuran N dan terdapat sebanyak x untuk kejadian A

sehingga proporsi sampel untuk kejadian A adalah x/n.

Sehingga jika perhatikan dengan populasi binom yang berukuran

N dimana terdapat proporsi berukuran untuk peristiwa A yang ada di

dalam populasi. Sehingga jika 100 % interval untuk estimasi

diharapkan, maka perhatikanlah persamaan yang disesuaikan dengan

distribusi binom berikut.

(6.7)

Perumusan pada (6.7) merupakan perumusan untuk

menghasilkan nilai dari pada sehingga dapat dikatakan sebagai batas

bawah dari sebuah estimasi proporsi parametr dari sebuah populasi.

Sedangkan perumusan untuk menentukan batas atas dari pada estimasi

proporsi parameter untuk populasi adalah sebagai berikut :

(6.8)

Keterangan:

C : perumusan combinasi yaitu :

(6.9)

: proporsi untuk parameter dari populasi

: taraf kepercayaan yang ditetapkan peneliti

Pereumusan (6.8) dan (6.9) untuk menentukan batas bawah dan

batas atas untuk proporsi sangatlah panjang dalam perhitungannya

sehingga memerlukan waktu yang lama. Karena itulah dalam

perhitungan estimasi proporsi sering digunakan dengan perumusan

pendekatan normal kepada binom untuk ukuran sampel yang berukuran

besar sehingga untuk 100 % untuk estimasi proporsi parameter dapat

dirumuskan sebagai berikut :

∑

∑



(6.10)

Keterangan:

p : proporsi untuk sampel yaitu

x : banyaknya kejadian pada sampel

n : bayaknya sampel

q : komolemen proporsi sampel yaitu q = 1 – p

: bilangan z yang didapat pada daftar tabel normal baku untuk

peluang

.

Untuk lebih memahami materi estimasi proporsi untuk parameter

perhatikanla oleh Anda contoh persoalan berikut.

Contoh 6.2.

Misalkan kita akan mengestimasi ada beberapa persen anggota

masyarakat berumur 15 tahun ke atas yang termasuk ke dalam

golongan A. Untuk ini sebuah sampel acak berukuran n = 1.200 diambil

yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.

Penyelesaian 6.2.

Diketahui :

Jumlah kejadian pada sampel yang bergolongan A yaitu :

x = 504

Banyaknya sampel yaitu :

n = 1.200

Langkah pertama kita menghitung proporsi golongan A dalam sampel

yaitu :

p = 42%

p = 0,42

menghitung komplemen proporsi yaitu :

q = 1 – p

q = 1 – 0,42

q = 0,58

Jika ditaksir ada 42% anggota masyarakat berumur 15 tahun ke atas

yang termasuk golongan A, maka dalam hal ini telah digunakan estimasi

titik. Untuk menentukan 95% interval kepercayaan parameter proporsi

dan dikarenakan ukuran sampel sangat besar maka menggunakan

( ( √

)) ( (

√

))



perumusan (6.10). Menentukan nilai

dengan melihat tabel daftar

normal baku untuk peluang 1/2 dengan = 95 % = 0,95.

( (

√

)) ( (

√

))

( ( √

)) ( ( √

))

( ( √

)) ( ( √

))

( ( √ )) ( ( √ ))

Kesimpulan :

Dengan taraf kepercayaan atau taraf keyakinan 95 % bahwa anggota

masayarakat yang tergolong dalam golonga A berada pada interval

39,22% sampai 44,78%

c. Estimasi Simpangan Baku

Pada pebahasan berikut ini kita akan membahas bagian dari pada

estimasi yang ketiga yaitu estimasi proporsi. Apa yang dimadsud

dengan simpangan baku? Simpangan baku merupakan data

perhitungan penyebaran data yang dapat diperhitungkan dengan

mengakarkan suatu jumlah dari nilai data ke-i dengan rata – rata yang

dipangkatan dua dan berbanding terbalik dengan jumlah data sampel

dikurangi dengan satu atau untuk populasi berbanding terbalik dengan

banyaknya frekuensi atau banyakanya data populasi. Lambang untuk

simpangan baku itu sendiri adalah untuk parameter atau untuk

populasi sedangkan untuk sampel lambang dari simpanga baku yaitu s.

Estimasi simpangan baku dapat kita peroleh dari pada estimasi

varians atau ragam yaitu s2 sebuah varians sampel dari sebuah varians

parameter populasi yaitu . Dimana untuk menentukan ragam atau

varians dengan menggunakan perumusan sebagai berikut :

(6.11)

Dimana s2 merupakan ragam atau varians untuk data sampel.

Sedangkan n merupakan banyanya data sampel. Perhitungan varians

untuk sampel merupakan estimasi takbias untuk varians parameter

untuk populasi. Akan tetapi untuk simpangan baku untuk sampel bukan

∑



estimasi takbias untuk simoangan baku untuk populasi. Sehingga

estimasi titik untuk ragam atau varians untuk sampel untuk simpanga

baku untuk populasi adalah bias. Data populsi berdiatribusi normal

dengan vafrians populasi maka 100 % interval keyakinan untuk varians

populasi ditentukan dengan distribusi chi kuadrat yaitu :

(6.12)

Keterangan:

n = banyaknya sampel

dan

didapat dengan melihat tabel chi kuadrat untuk

p = ½(1+ ) dan p = ½(1- ) dengan derajat kebebasan atau dk = n - 1.

Ketika Anda menginginkan menginginkan estimasi untuk simpangan

baku maka hasil dari estimasi varians diakarkan. Untuk lebih memahami

dari penjelasan estimasi simpangan baku ini perhatikan contoh

persoalan sebagai berikut :

Contoh 6.3.

Sebuah sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi

yang berdistribusi normal. Dari data sampel diperoleh varians sebesar

7,8 dengan kooefisien keyakinan 95%. Analisalah estimasi untuk

simpangan baku dari data tersebut!

Penyelesaian 6.3.

Diketahui : Varians untuk sampel yaitu :

s2 = 7,8

jumlah sampel yaitu :

n = 30

Dari daftar tabel chi kuadrat dengan taraf keyakinan yaitu :

= 95 % = 0,95

Dan derajat kebebasan yaitu :

Dk = n – 1 = 30 – 1 = 29

Diperoleh nilai dari tabel yaitu :



Untuk estimasi variansnya yaitu :

Dengan mengakarkan maka estimasi untuk simpangan baku didapat :

Kesimpulan :

Dengan taraf keyakinan 95% maka estimsi untu simpangan baku berada

pada interval 2,23 dan 3,75.

2. Uji Chi Kuadrat

Pada sub materi kedua ini kita akan membahas tentang Uji Chi

Kuadrat. Dengan mengetahui Chi Kuadrat maka kita dapat mengetahui

kesimpulan dari sebuah data sampel yang kita hitung untuk dapat di

jabarkan guna menginginkan kesimpulan yang diharapkan sesuai dengan

tujuam awal penelitian. Uji Chi Kuadrat dapat dipergunakan untuk

memperhitungkan menguji proporsi data multinom, menguji kesamaan rata

– rata poisson, uji kenormalan dan lain – lain.

Berikut penjelasan dari kugunaan uji Chi Kuadrat :

a. Menguji Proporsi Data Multinom

Pembahsan pertama dari penggunaan uji chi kuadrat yaitu

menguji proporsi data multinom. Apa yang dimaksud dengan data

multinom? Data multinom merupakan data yang mempunyai varians

yang lebih dari dua macam yaitu dari data berbentuk A1, A2, ..., Ak.

Dimana untuk menguji kesamaan pasangan hipotesis mengunakan

perumusan distribusi chi kuadrat hitung yaitu

(6.13)

Keterangan:

x2 : chi kuadrat hitung

Oi : koefisien pengamatan pada data kategori ke-i

Ei : koefisien yang diharapkan pada data kategori ke-i

Bentuk lain untuk rumus di atas adalah

∑



(6.14)

Keterangan:

n = O1 + O2 + ... + Ok = E1 + E2+ ... + Ek

untuk mempermudah penjelasan Anda perhatikn tabel berikut :

Tabel 5.1. Data Multinom

Kategori A1 A2 ... Ak

Pengamatan O1 O2 ... Ok

Diharapkan E1 E2 ... Ek

Keterangan:

Derajat kebebasan atau dk = n – 1

Kriteria pengujian yaitu :

Tolak Ho jika x2 x2 tabel dengan (1 – ) dan dk = n – 1

Terima Ho jika x2 x2 tabel dengan (1 – ) dan dk = n – 1

Untuk mempertajam pemahaman dari pada pembahasan di atas

perhatikanlah oleh Anda contoh persoalan berikut ini.

Contoh 6.4.

Kita tahu bahwa nampaknya peluang salah satu permukaan mata dadu

homogin masing – masing = 1/6. Sebuah eksperimen tela dilakukan

sebanyak 120 kali dengan sebuah daddu dan menghasilkan 16 muka

bermata satu, 24 muka bermata dua, 23 mata tiga, 15 mata empat, 17

mata lima, dan 25 mata enam. Akan diuji apakah dadu tersebut homogin

ataukah tidak yaitu akan diuji hipoteis:

H0 : p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6

H1 : paling sedikit salah satu tanda tidak berlaku

Jika h0 benar yakni apabila dadu itu homogin, kita harapkan akan di

dapat

A1 : 120 x 1/6 = 20

...

A6 : 120 x 1/6 = 20

b. Uji Distribusi Normal Data

Setiap data akan dilakukan analisa lebih lanjut maka diperlukan

syarat data berdistribusi normal. Uji normalitas data dapat dilakukan

dengan menggunkan uji chi kuadarat

Contoh 6.5.

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan

perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika

500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat,

95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja

(∑

)



sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan

pengujian dengan taraf nyata = 1 %

Penyelesaian 6.5.

H0 :perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 :perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim 5 : 2 : 2 : 1

Statistik Uji ²

Nilai = 1 % = 0.01

Nilai Tabel ²

k = 4; db =k -1 = 4-1= 3

db = 3; = 0.01 ² tabel = 11.3449

Wilayah Kritis = Penolakan H0 jika ² hitung > ² tabel (db; )

² hitung > 11.3449

Perhitungan ²

22

1

( )o e

e

i i

ii

k

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan

Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg

² hitung = 13.75

kategori : oi ei (oi-ei ) (oi-ei )² (oi-ei )²/ei

Coklat 275 250*) 25 625 2.50

Gula 95 100 -5 25 0.25

Susu 70 100 -30 900 9.00

Krim 60 50 10 100 2.00

500 500 ----------- -------- 13.75



Kesimpulan :

² hitung > ² tabel

13.75 > 11.3449

H0 ditolak, H1 diterima.

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim 5 : 2 : 2 :1

C. TUGAS

Selesaikanlah tgas berikut ini :

1. Sebuah sampel acak terdiri dari 200 mahasiswa telah diambil dari sebuah

Universitas Pamulang program studi Matematika lalu nilai-nilai IQ-nya

dicatat, didapat rata – ratanya 121 dan simpangan baku sampelnya 11.

Analisa untuk penaksir rata-rata dari peristiwa tersebut?

2. Misalkan kita akan mengestimasi ada beberapa persen anggota

masyarakat berumur 19 tahun ke atas yang termasuk ke dalam golongan

A. Untu ini sebuah sampel acak berukuran n = 2.200 diambil yang

menghasilkan 804 tergolong kategori A.

3. Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan

perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 900

kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 475 kg Coklat, 205 kg

Gula, 100 kg Susu dan 120 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai

dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan

taraf nyata = 5%

D. REFERENSI





Praptono. 1986. Statistika Pengawasan Kualitas. Jakarta: Karunika

Universitas Terbuka.

Ronal E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika. Jakarta : Gramedia.



PERTEMUAN KE-7

VARIANSI

A. TUJUAN

Setelah mempelari materi pada pertemuan ke-7 ini mahasiswa

diharapkan mampu :

1. Menunjukkan bentuk-bentuk variansi dari sebuah data.

2. Melaksanakan uji homogenitas.

B. URAIAN MATERI

1. Variansi Data

Variasi merupakan suatu deviasi dari sebuah data yang merupakan

lawan dari sebuah kualitas. Varian merupakan kesalahan yang terjadi

dalam sebuah pembuatan produk yang mengakibatkan terjadinya

kecacatan. Variasi yang mungkin terjadi dibagi menjadi tiga bagian yaitu

a. Variasi yang terletak pada produk. Misalkan handphone ukuran yang

berbeda walaupun sangat kecil sekali perbedaannya.

b. Variasi yang diakibatkan selama waktu tertentu diantara produk-produk

yang diproduksi. Misalnya suatu produk mempunyai kualitas yang

berbeda yang diproduksi pada saat berdekatan.

c. Variasi dari sebuah produk yang diproduksi berlainan waktu. Misalkan

produksi shift 1 berbeda dengan produksi pada shift 2.

Faktor yang mempengaruhi variasi dapat berupa faktor langsung dan

faktor tidak langsung. Faktor langsung yang menyebabkan terjadinya

variasi produk yaitu.

a. Perencanaan yang kurang matang

b. Bahan baku yang tidak sesuai

c. Rusaknya alat pencetak

d. Suhu yang kurang pas

e. Human Error

f. Urutan proses yang belum jelas

g. Penyimpanan dalam gudang yang terlalu lama.

h. Pada saat pemgiriman terjadi kerusakan yang tidak diinginkan.

Metode untuk menyelesaikan sebuah variasi dari produksi sebuah

produk dapat diatasi dengan metode:

a. Menentukan batasan penyimpangan

Batasan penyimpangan ditetapkan oleh tim manajerial sampai tingkat

berapa persen tingkat penyimpangan yang menjadi kesepakatan dan

ditetapkan oleh surat keputusan Pimpinan perusahaan. Perusahaan

yang masih merintis mempunyai batasan penyimpangan fleksibel.

Perusahaan yang mapan mempunyai ketetapan penyimpangan yang

sangat ketat dan tidak fleksibel.



b. Pengawasan proses baik dalam kondisi stabil atau tidak lebih

dipermudah dan konsisten.

Pengawasan proses merupakan hal penting dalam proses produksi

sebuah produk. Pengawasan yang baik akan memudahkan menilai

sebuah produk akan menghasilkan produk yang baik dengan variasi

yang terkendali. Sebaliknya jika susah dilaksanakan pengawasan akan

lebih mudah memunculkan variasi produk yang tidak terkendali.

c. Pengambilan keputusan yang cepat jika terjadi banyaknya variasi pada

produk yang diproduksi.

Mudahnya pengawasan dan dapat mengambil data dengan mudah

sehingga dapat mempermudah analisa data. Analisa data yang dibuat

rangkumannya memudahkan manajerial untuk membuat keputusan

sesuai dengan kenyataannya yang terjadi dan tepat sasaran.

2. Uji Homogenitas

Uji Homogenitas merupakan pengujian lebih dari sama dengan dua

kelompok data berasal dari sumber atau responden yang sama dengan

mengetahui bentuk varians data homogen berdasarkan faktor tertentu.

Data univariate dapat dilakukan uji homogenitas dengan menggunakan Uji

Bartlet dan Lavene.

a. Uji Bartlett

Syarat uji homogenitas dengan menggunakan metode Bartlett

yaitu data harus berdistribusi normal. Untuk menggunakan uji Bartlett,

jumlah kedua data yang dibandingkan tidak sama. Misalnya, data

pertama berjumlah 10 dan data kedua berjumlah 12.

Hipotesis pengujian homogenitas dengan metode bartlett adalah

sebagai berikut.

H0 :

(Data Homogen)

H1 : paling sedikit ada satu yang tidak sama (Data tidak Homogen)

Statistik Uji Bartlett

(7.1)

Dimana

(7.2)

2

/11212

2

121 ...

21

p

kNn

k

nn

s

sss

b

ki

kN

sn

s

k

i

ii

p

1

2

2

1



Kesimpulan : H0 ditolak jika );( nkbb (Walpole, 1995).

Contoh 7.1.

Jenis makanan diberikan kepada responden dengan jumlah jenis

makanan ada 4 jenis yaitu A, B, C, dan D dengan pertambahan berat

badan setelah selang waktu yang sama sebagai berikut.

Tabel 7.1. Data BCN

Pe

rtam

bah

an B

era

t B

adan

Jenis Makanan

A B C D

11 13 7 8

21 17 18 15

19 11 16 17

18 17 19 19

19 25

Uji homogenitas data tersebut dengan menggunakan Uji Bartlett!

Penyelesaian 7.1.

Langkah awal menghitung nilai ragam atau varian dari masing-masing

data kelompok sehingga diperoleh:

Langkah kedua membuat tabel berikut

Tabel 7.2. Bantua Perhitungan Uji Homogen

sampel ke Dk 1/Dk

Log( )

Dk (Log(

))

1 4 0.25 14.8 1.170 4.681

2 4 0.25 28.8 1.459 5.838

3 3 0.33 30 1.477 4.431

4 3 0.33 22.92 1.360 4.080

14 19.030

Langkah ketiga menghitung varians gabungan yaitu

( ) ( ) ( ) ( )

Langkah keempat menentukan nilai b yaitu

( )∑( )



( )

Langkah kelima menentukan nilai yaitu

( ) { ∑[( )

]}

( )( )

Langkah keenam menentukan nilai dengan

dk = (k-1)

dk = (4-1)

dk = 3

dengan taraf kepercayaan 95% sehingga diperoleh nilai yaitu

( )( )

Langkah ketujuh menyimpulkan

Karena nilai ( )( )

maka data yang diperoleh homogen.

b. Uji Lavenes

Uji Levene juga merupakan metode pengujian homogenitas

varians yang hampir sama dengan uji Bartlet. Perbedaan uji Lavene

dengan uji Bartlett yaitu bahwa data yang diuji dengan uji Levene tidak

harus berdistribusi normal, namun harus kontinue. Pengujian hipotesis

yaitu :

H0 :

(Data homogen)

H1 : paling sedikit ada satu yang tidak sama (Data Tidak

Homogen)

Statistik Uji Lavenes

(7.3)

: median data pada kelompok ke-i

Z.. : median untuk keseluruhan data

Kesimpulan : Ho ditolak jika ),1,( kNkFW .

Uji homogenitas dengan mengguakan excel dengan langkah sebagai

berikut.

a. Menentukan Hipotesis, baik hipotesis awal maupun hipotesis alternatif

yaitu

Ho : kedua data tidak homogen

Ha : kedua data homogen

b. Menentukan Taraf Signifikan

k

i

n

j

iij

k

i

i

i

ZZk

ZiZNkN

W

1 1

2

1

2

.

.)()1(

)...()(



Menentukan taraf kesalahan atau taraf signifikan sebesar 0,05 (5 %

derajat kesalahan dan 95% derajat kebenaran).

c. Data

Data Produksi Shift 1 (SF1) dengan Shift 2 (SF2) ditampilkan sebagai

berikut.

Tabel 7.3. Data Produksi MM

No SF1 SF2

1 5 4 2 10 8 3 20 15 4 15 10 5 10 7

d. Langkah Analisis

1) Masukan data ke excel dengan dua kolom

Gambar 7.1. Data



2) Blok kedua data

Gambar 7.2. Proses Blok Data

3) Klik Data

Gambar 7.3. Tool Data

4) Klik Data Analysis

Gambar 7.4. Tool Analysis



5) Pilihlah F-test Two-Sample for variances

Gambar 7.5. F-test

6) Masukan masing-masing data

Letakkan kursor di kolomnya lalu blok data masing-maing kolom

maka akan muncul seperti berikut

Gambar 7.6. Input Sortir Data

Klik lebel, Klik ok, maka akan muncul sebagai berikut

Gambar 7.7. Hasil F-test



Diperoleh

F hitung = 1,809210526

F tabel = 9,276628153

7) Membandingkan

Gunakan funtion di excel yaitu dengan menggunakan IF

=IF(B8<B10;"Homogen";"Tidak Homogen")

Karena Fh < Ft maka Ho diterima

8) Kesimpulan

Data creat mahasiswa dengan creat dosen homogen

C. TUGAS

Perusahaan VVV akan melakukan uji kesamaan dua data produksi dengan

data sebagai berikut.

Tabel 7.4. NNN

No Data Hari 1 Data Hari 2

1 134 129

2 211 200

3 190 199

4 215 221

5 196 189

6 180 177

7 198 198

8 221 231

9 212 207

10 197 196

Uji kesamaan data di atas dengan menggunakan uji homogenitas dan analisa

bentuk datanya.

D. REFERENSI










PERTEMUAN KE-8

DEFINISI DAN MANFAAT STATISTIKA PENGENDALIAN KUALITAS

A. TUJUAN

Setelah membahas materi pada pertemuan kedelapan ini diharapkan

mahasiswa mampu :

1. Menjelaskan definisi statistik pengendalian kualitas

2. Menjelaskan manfaat statistik pengendalian kualitas

B. URAIAN MATERI

1. Definisi Statistik Pengendalian Kualitas

Pada sub materi pertama kita akan membahas tentang definisi

daripada statistik pengendalian kulaitas. Namun kita harus tahu terlebih

dahulu tentang definisi kualitas itu sendiri. Dimana kualitas pada dasarnya

adalah ukuran tingkat kesesuaian barang/ jasa dengan

standar/spesifikasi yang telah ditentukan/ ditetapkan. Berikut adalah

pendapat beberapa ahli tentang kualitas, sebagai berikut: (Ariani, 2004:

3) Ada dua segi umum tentang kualitas yaitu, kualitas rancangan

dan kualitas kecocokan. Semua barang dan jasa dihasilkan dalam

berbagai tingkat kualitas. Crosby (1979) Kualitas adalah kesesuaian

dengan kebutuhan yang meliputi availability, delivery, realibility,

maintainability dan cost effectivenes. Elliot (1993) Kualitas adalah

sesuatu yang berbeda untuk orang yang berbeda dan tergantung

pada waktu dan tempat atau dikatakan sesuai dengan tujuan yang

disengaja, maka dari itu istilah teknik yang sesuai adalah kualitas

rancangan. Feigenbaum (1991) Kualitas merupakan keseluruhan

karakteristik produk dan jasa yang meliputi marketing, engineering,

manufacture, dan maintenance, dalam mana produk dan jasa

tersebut dalam pemakaianya akan sesuai dengan kebutuhan dan

harapan pelanggan. Garvin (dalam Bounds, et.al., 1994 : 46-84;

Lovelock, 1944 : 101-107), Membagi pendekatan modern terhadap

kualitas ke dalam empat era kualitas, yaitu inspeksi, pengendalian

kualitas secara statistik, jaminan kualitas, dan manajemen kualitas

strategik.

Statistik merupakan ilmu matematika yang membahas mengenai

cara mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, dan

menyimpulkan data dari sampel yang mewakili populasi. Pengendalian

kualitas adalah prosedur yang meliputi bebagai bentuk teknik dan alat –

alat untuk menjaga kualitas suatu produk yang diproduksi guna

memenuhi konsumen atau pemesan dengan memperhatikan biaya dan

waktu yang efisien mungkin sehingga menghasilkan keuntungan yang

optimum. Maka definisi statistik pengendalian kualiitas adalah bagian ilmu



matematika yang membahas tentang pengumpulan data, teknik

pengolahan data, penyajian data dalam bentuk alat yang dipakai untuk

pengendalian kualitas produk, dan penyimpulan sebagai alat ukur guna

memenuhi kualitas produk yang diharapkan konsumen atau pemesan

dengan biaya dan waktu yang efisien.

Konsep dasar penggunaan statistik untuk pengendalian kualitas,

bermula dari berbagai kajian dan eksperimen beberapa ahli statistika. Dr.

Waiter Shewhart ilmuwan pada Laboratonum Bell, yang dipublikasikan

tahun 1924. prinsip-prinsip pengendalian mutu secara statistik mulai

dikenal. Dr. Shewhar dan rekan-rekannya mengembangkan diagram-

diagram pengendalian selama 1920-1930. Dr. Waiter Shewhart

menggunakan hukum-hukum probabilitas dan statistik untuk

menggambarkan bagaimana suatu variasi mempengaruhi ukuran-

ukuran sampel bagi produk- produk manufaktur, yaitu:

a. Bila suatu barang atau jasa yang diproduksi outputnya akan

serupa (similar) tetapi tidak sama (identical).

b. Adanya variasi adalah merupakan hal yang normal dan wajar.

c. Tidak ada dua benda yang benar-benar sama. Namun Shewhart

menganggap terdapat dua variabilitas yaitu variabilitas yang

berada dalam batas-batas yang ditentukan dan variabilitas yang

berada di Iuar batas-batas.

d. Dia mengamati bahwa data tidak selalu memberikan kepastian

mengenai pola yang "normal". Sehingga dari ketidak konsistenan

yang ditunjukkan data, dia menyimpulkan bahwa meskipun dalam

setiap proses selalu dihasilkan variasi pada proses yang

menghasilkan variasi terkendali (controlled variation) dan ada

proses yang menghasilkan variasi tak terkendali (uncontrolled

variation).

Pengendalian kualitas sangat diperlukan sekali dalam bidang

industri untuk menjaga kestabilan kualitas akan produk yang

diproduksinya. Kualitas akan suatu produk akan menentukan Permintaan

konsumen akan suatu barang atau produk sangat bergantung kepada :

a. Keadaan strata ekonomi konsumen.

b. Kesesuaian waktu dalam memerlukan suatu produk.

c. Manfaat dari pada sebuah produk.

d. Kualitas akan suatu produk.

e. Harga beli dari sebuah produk yang baru.

f. Harga jual dari sebuah produk sisa pakai.

g. Merek dari sebuah produk.

Pada proses produksi hal – hal di atas yang berkaitan dengan

pengendalian kualitas dijabarkan dalam bentuk :

a. Pendetailan sebuah ukuran produk

b. Ciri – ciri dari pada operasi produk



c. Biaya produksi baik bahan baku dan proses produksi produk

d. Syarat produksi yang mendukung guna memenuhi standar kualitas

produk yang dipesan oleh konsumen.

Syarat – syarat di atas terkadang tidak dapat terpenuhi secara

menyeluruh dalam pembuatan sebuah produk yang dipesan oleh

sipemesan. Sebagai ilustrasi merek handpone tertentu yang awalnya

harganya sangat tinggi dengan sfesifikasi yang berkualitas dengan

memperhatikan bahan baku dan mesin yang terjamin sehingga

mempunyai daya tahan yang cukup lama. Tetapi dengan pesatnya

perkembangan teknologi banyak pabrik elektronik yang memproduksi

handpone yang mirip dengan handpone yang diproduksi sebagai

pencetus. Sehingga sebuah perusahaan tersebut mengembangkan

produksinya dengan mengefisienkan biaya dari pada bahan baku dan

biaya produksi sehingga menghasilkan produk yang lebih murah dari

pada produk sebelumnya dengan mengurangi kualitas utama dengan

tidak mengurangi keinginan dari si konsumen.

Produk yang beredar ditengah – tengah konsumen pada era tahun

2015 ini lebih cenderung kepada kualitas bodi dari pada kualitas mesin

dan bahan yang terjamin sehingga dengan begitu konsumen tergiur untuk

membelinya dengan sfesifikasi yang luar biasa dengan harga yang

sangat murah. Padahal produk tersebut ketika sudah dipakai oleh

konsumen hanya bertahan beberapa waktu saja terkadang yang lebih

mengherankan ada barang dengan tampilan yang sangat baik ternyata

tidak tahan lam ketika dipakai.

Langkah – langkah untuk pengendalian kualitas suatu produk :

a. Menentukan Standar

Menentukan standar produk yang akan diproduksi sesuai dengan

standar pemesan atau konsumen. Kemudian standar tersebut

dideskripsikan dan dirinci sehingga memudahkan dalam proses

produksi untuk dapat mengefisienkan biaya bahan baku dan biaya

produksi.

b. Menentukan Pembanding

Membuat produk yang sesuai dengan pemesanan dengan produksi

pada waktu operator produksi dalam keadaan seimbang sehingga

memenuhi standar kualitas. Produk tersebut dapat dijadikan

sebagai pembanding untuk menentukan produk – produk

sesudahnya agar terkendali.

c. Melakukan Tindakan

Setelah membandingkan produk yang diproduksi dengan produk

yang sebagai pembanding, maka jika terjadi kesalahan dalam

produksi tersebut atau kualitas menurun harus segera diilakukan

tindakan yang cepat guna menyelesaikan penurunan kualitas

tersebut agar tidak terjadi sererusnya. Dengan tidak mengabaikan

efisiensi biaya produksi.



d. Melakukan Evaluasi

Perusahaan secara berkala melakukan riset guna memperbaiki

dari pada sebuah produk agar dimungkin dapat menghasilkan

produk yang sama dengan kualitas yang sama tetapi dengan harga

yang lebih murah. atau mungkin perusahaan lebih

mengembangkan lagi guna memndapatkan side agar dapat

memproduksi produk yang lebih baik dari pada produk sebelumnya

dengan tidak mengabaikan efisien biaya total.

Teknik untuk pengendalian kualitas pada statistik dapat

dipergunakan waktu kapan saja dan tempat yang berlainan sekalipun.

Penyajian data pada statistik sebagai langkah pengendalian kualitas yaitu

dengan metode yang khusus atau metode yang digabungkan antara

metode satu dengan metode yang lainnya. Metode penyajian data pada

ststistik dengan beberapa metode yaitu sebagai berikut :

a. Diagram Garis

Suatu diagram yang menggambarkan penyajian data dari

waktu ke waktu, sehingga akan jelas terlihat peningkatan atau

penurunannya. Sehingga mudah untuk mengevaluasi dari proses

produksi. Teknik ini untuk mengetahui seberapa banyak produk

yang cacat dan produk yang lolos sehingga layak dikatakan

sebagai produk yang berkualitas. Perhatikan gambar grafik garis

sebagai berikut :

Gambar 8.1.

Contoh Diagram Garis

Dengan melihat gambar grafik garis di atas maka kita bisa

mengetahui naik turun dari data terebut.

b. Distribusi frekuensi

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

DATA SAMPEL



Distribusi frekuensi merupakan data tunggal yang telah

disusun menjadi kelas – kelas interval dengan langkah penulisan

cara tally. Sehingga dengan tabel distribusi kita dapat mengetahui

karakteristik dari sebuah data yang telah dirinci dalam bentuk kelas

– kelas yang berinterval. Dengan distribusi frekuensi kita dapat

mengetahui :

1) Penyebaran kualitas produk

2) Kualitas sebuah produk dengan rata – rata

3) Dapat membandingkan produk dari beberapa sfesifikasi data

yang diperoleh dari kelas – kelas interval yang terinci.

Perhatikanlah oleh Anda contoh Distribusi Frekuensi berikut :

Tabel 8.1. Contoh Tabel Distribusi Frekuensi

No Data Frekuensi

1 60 – 65 12

2 66 – 71 14

3 72 – 77 18

4 78 – 83 16

5 84 - 89 10

c. Gambar Kontrol

Gambar kontrol merupakan penyajian data dalam bentuk

grafik sehingga dengan mudah mengetahui data tersebut dalam

kondisi terkontrol atau tidak dengan adanya batasan baik batasan

bawah atau batasan atas. Gambar kontrol ada tiga macam bentuk

yaitu :

a. Gambar kontrol shewart untuk ukuran karakteristik kualitas

disebut juga dengan gambar untuk variabel atau gambar untuk

(rata – rata)dan R (Range atau jangkauan) dan gambar

untuk (rata – rata) dan (simpangan baku).

b. Gambar kontrol untuk proporsi atau perbandingan antara

banyaknya produk yang cacat dengan seluruh produksi.

Gambar kontrol ini sering disebut dengan gambar p (p-chart).

c. Gambar kontrol untuk jumlah cacat perunit. Gambar kontrol ini

sering disebut dengan gambar kontrol c (c-chart).

Gambar diatas dapat dipergunakan baik dalam industri maupun

manajemen, sehingga pengendalian kualitas dapat terkendali

dengan sebaik – baiknya. Perhatikanlah oleh Anda contoh kartu

kendali berikut :



Gambar 8.2

Contoh Kartu Kendali

d. Tabel Sampling

Tabel sampling dapat dipergunakan untuk menjamin

ketercapaian kualitas sebuah produk yang dikehendaki baik oleh

produsen terlebih oleh si pemesan atau konsumen. Dengan tabel

sampling persentase ketercapaian sebuah produksi produk dapat

terlihat ketika tercapai atau tidak.

e. Metode Khusus

Kontrol kualitasmetode khusus dipergunakan dalam dunia industri

dikarenakan metode ini terkategori rumit dimana anataranya

adalah korelasi, analisis varian, analisis toleransi dan lain – lain.

2. Manfaat Statistik pengendalian Kualitas

Pada sub materi kedua pada bab ketujuh kita akan membahas

manfaat dari pada statistik pengendalian kualitas. Statistik pengendalian

kualitas merupakan suatu alat manajemen metode statistik secara ilmiah

dan terprosedur dengan baik sehingga dapat memberikan keuntungan

yang optimum. Beberapa manfaat dari pada statistik pengendalian

kualitas adalah sebagai berikut :

a. Menyajikan teknik untuk lebih mengerti akan adanya variasi dalam

karakteristik kualitas dan menoong untuk secara langsung atau tidak

langsungmemperbaiki kualitas atau menurunkan biaya atau kedua-

duanya. Dengan mengetahui ratio =

terdiri dari dua faktor

utama yaitu faktor biaya dan kualitas dimana untuk kualitas oarang

akan menyadari akan variasinya. Semakin besar biaya yang

digunakan maka rasio akan semakin kecil, maka ketika ingin

mendapatkan rasio yang besar artinya biaya harus diefisienkan

sehingga akan lebih kecil biaya sehingga ratio akan semakin besar.

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

KARTU KENDALI

LKA TITIK SENTRAL DATA SAMPEL LKB



Dengan ratio semakin besar maka berarti kualitas barang akan

semakin baik.

b. Dengan menggunakan pengendalian kualitas akan meningkatkan

kualitas produk semakin lebih baik. Secara pengamatan biasanya

seseorang akan melihat drai pada rata – rata yaitu jumlah

pengamatan dibagi dengan banyaknya pengamatan yang diamati.

Untuk itu dalam statistik pengendalian kualitas akan digunakan

dengan adanya toleransi sebagai dasar untuk menjadikan standar

patokan dalam perbandingan apakah sebuah produk memenuhi

kriteria atau tidak. Misaknya sebuah patokan standar disebutkan 8

0,05 cm, maka jika ada ukuran 8,1 cm maka masih terkategori masuk

dalam kriteria dalam produk yag terkendali dalam hal kualitas, jika

ada data 7,99 cm, maka data tersebut menandakan bahwa produk

tersebut terkategori dalam produk dalam kendali dimana kualitas

produk masih terjaga, dan ketiga 7,89 maka data ini termasuk dalam

kategori dibawah standar maka data produk ini terategori tidak

terkendali dimana kualitas produk ini tidak terkategori kurang

kualitasnya.

c. Menjaga kualitas lebih merata(uniform), barang yang diproduksi

secara masala dengan menggunakan alat cetak yang sama maka

tetap akan terjadi penyimpangan. Jika penyimpangan keluar dari

kontrol maka dinamakan dengan produksi dengan kalitas yang tak

terkontrol. Tidak mungkin dalam suatu produksi dengan jumlah yang

masal akan terus sama akan tetapi akan terjadi penyimpangan tetapi

penyimpangan dengan kartu kendali akan menjadikan pembuatannya

dengan penyimpangan yang relatif kecil sehingga masih tetap

dikatakan sebagai produsi dengannormal atau uniform.

d. Menjadikan dalam penyedian bahan baku menjadi lebih berkualitas.

Produk yang berkualitas bergantung kepada bahan bakunya. Jika

bahan baku tidak berkualitas maka produk yang diproduksinya pun

akan kurag berkualitas juga. Sebaliknya jika bahan baku yang

disediakan adalah berkualitas maka produk yang dihasilkanpun akan

berkualitas. Namun tidak semata – mata bahan baku yang

berkualitas sehingga menjadikan produk berkualitas ada pengaruh

lainnya sehingga menjadikan produk berkualitas.

e. Penggunaan alat produksi yang lebih efisien. Dalam dunia industri

proses pembuatan produk ada yang menggunakan mesin ada yang

manual dengan manusia. Ketika menggunakan mesin maka secara

otomatis mesin perlu adanya pematauan apakah berjalan dengan

baik ataukah tidak maka dari itu diperlukannya alat engontrol hasil

dengan statistik pengensalian kualitas, sehingga akan lebih tepat

kapan harus diperbaiki mesin tersebut agar seperti beropersi pada

awal produksi. Sehingga produksi akan terjamin kulitasnya.

f. Mengurangai kerja ulang, sehingga akan menjadikan waktu produksi

lebih tepat waktu. Selain produksi akan berjalan dengan baik

menjadikan produksi tidak banyak terjadi pembuangan barang rusak



sehingga akan menjadikan penambahan baku yang baru menjadikan

biaya yang dieluarkan akan membengkak, selain itu jika terlalu sering

keraja ulang akan menjadikan produk yang dipesan akan menjadikan

tidak tepat waktu.

g. Inspeksi yang lebih baik, sehingga dapat menentukan apakah suatu

produk memenuhi standar kualitas yang diiinginkan ataukah tidak

memenuhi. Jika inspeksi dilakukan pada suatu barang maka perlu

pengontrolan yang sangat baik sehinga jika ada banyak produk yang

kualitasnyna jatuh pada batas tolerasi maka petugas kualitas akan

mengalami kesusahan untuk menerima ataupun menolak sehingga

perlu diperiksa untuk dikontrol kembali. Jika terlalu banyak produknya

maka akan menggunakan metode sampling untuk melakukan

pengontrolan kembali.

h. Memperbaiaki hubungan Produsen dan konsumen. Dalam dunia

industri penyediaan bahan baku akan terjadi dari pihak industri yang

lain. Contoh industri minuman memerlukan gula dari produksi industri

yang lain, pembuatan baja memerlukan bahan baku dari indusrti yang

lain. Sehingga ketika salig menjaga kualitas akan menjadikan produk

yang dihasilkan nerkualits yang tinggi menjadikan hubungan

konsumen dan produksi akan menjadi lebih baik sesuai dengan

esannan awal.

i. Sfesifikasi lebih baik, dengan menyebutkan secara rinci dari

sfesifikasi suatu produk yang dihasilkan oleh pabrik konsumen an

lebih mudah untuk mendapatkan produk yang tepat yang memang

benar-benar diinginkan oleh konsumen. Contoh seserang ingin

mendapatkan sepatu berukuran 39, maka denganmudah akan

mendapatkannya setiapproduk yang dihasilkan sudah terera nomor

dan pilihannya.

j. Menjadikan dunia pabrik menjadi saling percaya dan dinamis dalam

bekerja, dengan data seseorang dikritik akan lebih menerima

dibandingakan dengan pembicaraan tanpa ada data yang

mendukung. Karena tanpa data akan saling klaim bahwa dirinya

masih dalam keadaan baik, sehingga tidak mungkin menghasilkan

produk yang gagal.

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.




Statistik Pengendalian Kualitas ke email : [email protected]

paling lambat sebelum perkuliahan pertemuan ke-9 dimulai.

4. Keterlambatan pengiriman tugas akan diberikan nilai nol.




TUGAS :

Buatlah Makalah yang berupa :

1. Cover yang berisi judul, logo UNPAM dan nama

2. Tinjauan Pustaka mengenai :

a. Definisi Kualitas menurut beberapa ahli

b. Definisi Statistik Pengendalian Kulaitas

c. Manfaat Statistik Pengendalian Kualitas

3. Pembahasan

4. Kesimpulan

5. Daftar Pustaka

D. REFERENSI







PERTEMUAN KE-9

KARTU KENDALI PRODUK UNTUK RATA-RATA

A. TUJUAN

Setelah Anda (Mahasiswa) mempelajari pertemuan ke-9 ini diharapkan

mampu membuat kartu kendali rata – rata.

B. URAIAN MATERI

1. Kartu Kendali Rata-Rata

Sub bab pertama pada bab kedelapan ini kita akan membahas

tentang kartu kendali rata – rata. Apa yang dimaksud dengan kartu kendali

rata – rata ? Kartu kendali rata – rata merupakan kartu kendali yang

berlandasakan kepada perhitungan rata – rata yang dikombinasikan

dengan simpangan baku dan jangkauan sehingga dapat menjadikan

kendali baik bahan baku ataupun barang jadi. Karu kendali rata – rata

menggunakan perhitungan dengan rata – rata hitung yang sudah dibahas

pada bab pertama. Perhatikanlah tabel berikut :

Tabel 9.1.

Kerangaka Pengambilan Data untuk Kartu Kendali

No Periode Sampel

Ukuran sampel Mean Range Simpangan

Baku

1 A1 A2 ... An 2 ... ... ... ... ... N ... ... ... ...

Langkah untuk membuat kartu kendali rata – rata :

a. Menghitung rata – rata hitung ( ) tiap baris pada data dengan

banyaknya data tiap baris yaitu n.

b. Menghitung jangkauan (R) atau range tiap baris

c. Menghitung simpangan baku ( ) tiap baris.

d. Menghitung rata – rata dari rata – rata baris dengan banyaknya data

adalah N. Perumusannya adalah sebagai berikut.

(9.1)

e. Menghitung rata – rata jangkauan ( ) dengan banyaknya data

adalah N. Perumusan untuk rata – rata jangkauan adalah

(9.2)

∑

∑



f. Mengitung rata – rata simpangan baku ( ) dengan banyaknya data

adalah N. Perumusannya adalah

(9.3)

Membuat kartu kendali untuk rata – rata yaitu dengan

menentukan rata – rata dari rata – rata per periode sampel sebagai titik

sentral. Untuk perumusan batas atas diberikan istilah Limit Kontrol Atas

(LKA) sedangkan untuk batas bawah diberikan istilah Limit kontrol

bawah ( LKB). Untuk lebih jelasnya Anda perhatikan perumusan –

perumusan untuk pembuatan kartu kendali rata – rata sebagai berikut :

a. Metode I

Titik sentral atau titik tengah dalam kartu kendali metode satu

yaitu rata – rata dari rata – rata sampel per periode sampel yaitu

dilambnagkan dengan . Rata – rata dari periode sampel kita cari

simpangan bakunya yaitu

(9.4)

Menentukan LKA yaitu

(9.5)

Menentukan LKB yaitu

(9.6)

b. Metode II

Metode kedua membuat kontrol kendali rata – rata ini

memperbaharui metode pertama yaitu untuk mencari adalah

dengan langakah sebagai berikut :

1) Menghitung simpangan baku aksen ( yaitu :

(9.7)

d2 dapat diperoleh dengan menggunakan tabel 9.2.

∑

√∑(

LKA =

LKB =



TABEL 9.2.

Nilai d2 untuk Menentukan

Banyaknya Pengamatan Dalam Periode Sampel (n)

d2

2 1,128 3 1,893 4 2,059 5 2,236 6 2,834 7 2,704 8 2,847 9 2,970 10 3,078 11 3,173 12 3,258 13 3,338 14 3,407 15 3,472 16 3,532 17 3,588 18 3,840 19 3,889 20 3,738

2) Menghitung simpangan baku untuk rata – rata periode sampel

yaitu

(9.8)


(9.9)


(9.10)

c. Metode III

Metode ketiga membuat kontrol kendali rata – rata merupakan

metode pembaharuan dari pada metode kedua dimana untuk nilai

(9.11)

√

LKA =

LKB =

√



dapat kita rubah menjadi

√ dan untuk nilai

√ dapat dilihat

pada Tabel 9.3. Dimana untuk nilai

(9.12)


(9.13)


(9.14)

TABEL 8.3

Nilai A2 Pada Kartu Kontrol Rata – Rata

Banyaknya Pengamatan dalam Periode Sampel (n)

A2

2 1,88 3 1,02 4 0,73 5 0,58 6 0,48 7 0,42 8 0,37 9 0,34 10 0,31 11 0,29 12 0,27 13 0,25 14 0,24 15 0,22 16 0,21 17 0,20 18 0,19 19 0,19 20 0,18

d. Metode IV

Metode keempat untuk membuat kontrol kendali rata – rata

merupakan metode pembaharuan dari pada metode ketiga dimana

untuk nilai

(9.15)

Karena

√

LKA =

LKA =

√



(9.16)

nilai dari pada c2 dapat dilihat pada tabel 9.4. yaitu :

Tabel 9.4.

Nilai c2 untuk Menentukan


c2

2 0,584 3 0,724 4 0,798 5 0,841 6 0,869 7 0,888 8 0,903 9 0,914 10 0,923 11 0,930 12 0,936 13 0,941 14 0,945 15 0,949 16 0,952 17 0,955 18 0,958 19 0,960 20 0,962

Sehingga

√ dapat kita rubah menjadi

(9.17)

Perumusan untuk nilai

(9.18)

dan untuk nilai A1 dapat dilihat pada Tabel 9.5.

Tabel 9.5.

Nilai A1 untuk Kartu Kendali Rata – Rata

Banyaknya Pengamatan Dalam

Periode Sampel (n) A1

2 3,76

3 2,39

4 1,88

5 1,60

√

√



Banyaknya Pengamatan Dalam

Periode Sampel (n) A1

6 1,41

7 1,28

8 1,17

9 1,09

10 1,03

11 0,97

12 0,93

13 0,88

14 0,85

15 0,82

16 0,79

17 0,76

18 0,74

19 0,72

20 0,70


(9.19)


(9.20)

Contoh 9.1.

Berikut ini diberikan hasil pengamatan mengenai produk barang X

yang diteliti sebanyak 20 sampel dengan tiap sampel terdiri atas

empat sampel . Buatlah Kartu Kendali rata-rata dengan diberikan

data pada tabel sebagai berikut.

Tabel 9.6.Data Ilustrasi

No Sampel

Daya Tahan

1 21 31 39 25

2 17 44 54 13

3 13 34 44 44

4 14 23 45 35

5 15 24 35 44

6 16 23 31 34

LKA =

LKB =



No Sampel

Daya Tahan

7 13 34 31 46

8 12 40 30 44

9 11 45 25 42

10 10 47 41 41

11 9 34 39 43

12 15 36 37 40

13 17 40 38 32

14 19 42 32 34

15 21 43 30 45

16 22 37 27 43

17 23 38 29 41

18 34 39 30 18

19 44 40 37 41

20 20 21 35 35

Penyelesaian 9.1.

Langkah – langkah untuk membuat kartu kendali rata – rata yaitu:

1) Menghitung rata – rata tiap baris sampel. Yaitu :

Baris sampel pertama :

Dan seterusnya sampai sampel keduapuluh

2) Menghitung jangkauan tiap baris sampel . yaitu :

R1 = Xmax – Xmin

R1 = 39 – 21

R1 = 18

Dan seterusnya sampai sampel baris keduapuluh

3) Menghitung simpangan baku tiap baris. Yaitu :

√( ( ( (

√



√

√

Dan seterusnya sampai baris sampel keduapuluh.

Perhatikanlah hasil keseluruhan pada Tabel 9.7.

Tabel 9.7. Tabel Pembantu Penyelesaian Kartu Kendali Rata-Rata

No Sampel

Daya Tahan R

1 21 31 39 25 29 18 6,78

2 17 44 54 13 32 41 17,42

3 13 34 44 44 33,8 31 12,66

4 14 23 45 35 29,3 31 11,76

5 15 24 35 44 29,5 29 10,97

6 16 23 31 34 26 18 7,04

7 13 34 31 46 31 33 11,81

8 12 40 30 44 31,5 32 12,36

9 11 45 25 42 30,8 34 13,72

10 10 47 41 41 34,8 37 14,50

11 9 34 39 43 31,3 34 13,24

12 15 36 37 40 32 25 9,92

13 17 40 38 32 31,8 23 9,01

14 19 42 32 34 31,8 23 8,26

15 21 43 30 45 34,8 24 9,81

16 22 37 27 43 32,3 21 8,23

17 23 38 29 41 32,8 18 7,15

18 34 39 30 18 30,3 21 7,76

19 44 40 37 41 40,5 7 2,50

20 20 21 35 35 27,8 15 7,26

∑

∑

∑

Menghitung rata – rata dari rata – rata yaitu :

∑

Menghitung rata – rata jangkauan yaitu :



∑

Menghitung rata – rata simpangan baku :

∑

Menghitung simpangan baku dari rata – rata dari periode sampel

yaitu :

√∑(

√( (

√

Menentukan LKA dan LKB kartu kendali rata – rata dengan

Metode I yaitu :

LKA = 31,625 + 3(2,93) = 40,415

LKB = 31,625 - 3(2,93) = 22,835

Titik tengah = = 31,625

Gambar 9.1 Kartu Kendali

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

RA

TA-R

ATA

PERIODE SAMPEL

KARTU KENDALI RATA-RATA

LKA TS DATA LKB



Membuat kartu kendali dengan SPSS 22 yaitu :

1) Buka SPSS 22

2) Klik Variabel View dan Tulis nama data

Perhatikan :

Gambar 9.2

Variable View

3) Masukkan data pada Data View klik Analyse, klik Quality Control,

klik Control Chart

Gambar 9.3

Data View

4) Klik Individual dan klik define



Gambar 9.4.

Gambar Pemilihan

5) Masukan data ke Measurement

Gambar 9.5.

Process Measurement

6) Klik Titels



Gambar 9.6.

Subtitle

7) Klik Continu, klik ok, Sehingga akan keluar kartu kendali rata –

rata yaitu :

Gambar 9.7.

Kartu Kendali Rata - Rata

C. TUGAS

PETUNJUK :

1. Tugas ini sebagai Tugas ke-9 Mata Kuliah Statistik Pengendalian Kualitas.






Statistik Pengendalian Kualitas ke email : [email protected] paling

lambat sebelum perkuliahan pertemuan berikutnya dimulai.


TUGAS :

Perusahaan snack merek GA ingin mengontrol kualitas produknya. Maka dari

itulah diberikan data pada Tabel 9.8.

Tabel 9.8. Ilustrasi Isi Snack Merek GA

No Sampel Isi Snack Merek XX (gram)

1 22,21 22 22,18 22,18 21,9 22,12

2 22,1 21,89 22,12 22,12 21,97 21,95

3 22,22 22,01 22,09 22,09 22,08 21,79

4 22,11 21,9 21,87 21,87 22 21,85

5 22,2 21,99 21,96 21,96 22,01 22,12

6 22,32 22,11 22,01 22,01 21,98 22

7 22,08 21,87 21,91 21,91 21,9 22

8 22,22 22,01 22,08 22,08 21,89 21,79

9 22,23 22,02 22,1 22,1 21,89 21,87

10 22,1 21,89 21,99 21,99 22,05 22,07

Dari data pada tabel di atas, Anda buatlah Kartu kendali rata-rata

D. REFERENSI











PERTEMUAN KE-10

KARTU KENDALI PRODUK UNTUK JANGKAUAN DAN STANDAR DEVIASI

A. TUJUAN

Setelah Anda (Mahasiswa) mempelajari materi pertemuan ke-10 ini

diharapkan mampu :

1. Membuat kartu kendali jangkauan.

2. Kartu kendali simpangan baku.

B. URAIAN MATERI

1. Kartu Kendali Jangkauan

Pembahasan kedua untuk kartu kendali produk berikut ini adalah

kartu kendali jangkauan. Apa yang dimaksud dengan kartu kendali

jangkauan? Kartu kendali jangkauan adalah kartu kendali yang

berdasarkan terhadap jangkauan rata – rata sebagai titik sentral dengan

adanya batasan baik atas maupun bawah dengan kombinasi dengan

simpangan baku pada data yang diperoleh. Sama halnya pada kartu

kendali rata – rata maka pada kartu kendali jangkauan ada beberaa

metode. Jangkauan merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil.


(10.1)

Keterangan:

Xmax : data terbesar

Xmin : data terkecil

Untuk membuat kartu kendali jangkauan maka perhatikanlah oleh

Anda langkah – langkahnya sebagai berikut :

a. Tentukan jangkaun tiap periode sampel dengan menggunakan rumus

8.19.

b. Menghitung rata – rata jangkauan dengan banyaknya data yaitu N.

Perumusan untuk rata – rata jangkauan sebagai berikut.

(10.2)

Keterangan:

: rata – rata jangkauan

Ri : jangakauan tiap baris periode untuk sampel

c. Menghitung simpangan baku untuk jangkauan tiap baris data periode

sampel. Perumusannya adalah sebagai berikut.

R = Xmax – Xmin

∑



(10.3)

Keterangan:

: simpangan baku untuk jangkauan

Untuk menentukan limit kontrol atas (LKA) dan limit kontrol bawah

(LKB) untuk kartu kendali jangkauan ada beberapa metode yaitu :

a. Metode I

Metode pertama untuk menentukan limit kontrol atas dan limit

kontrol bawah pada kartu kendali kontrol jangkauan yaitu

(10.4)

(10.5)

Keterangan:

: simpangan baku untuk jangkauan.

: rata – rata jangkauan

Jika LKB menghasilkan nilai yang negatif sedangkan untuk nilai dari

pada jangkauan tidakakan negatif maka ilai dari LKB dijadikan nol.

b. Metode II

Metode yang kedua untuk menentukan limit kontrol atas (LKA) dan

limit kontrol bawah (LKB) untuk membuat kartu kontrol jangkauan yaitu

(10.6)

(10.7)

Untuk mendapat nilai dari pada D4 dan D3 melihat Tabel 10.1. dengan

melihat banyaknya n yaitu banyaknya data data pada sampel periode.

Tabel 10.1.

Harga D3 dan D4 untuk Diagram Kontrol R

Banyaknya Pengamatan Dalam Sampel (N)

D3 D4

2 0 3,267 3 0 2,575 4 0 2,282 5 0 2,115 6 0 2,004

√∑ ( )

LKA =

LKB =

LKA =

LKB =



Banyaknya Pengamatan Dalam Sampel (N)

D3 D4

7 0,076 1,924 8 0,136 1,864 9 0,184 1,816 10 0,223 1,777 11 0,256 1,744 12 0,284 1,716 13 0,308 1,692 14 0,329 1,671 15 0,348 1,652 16 0,364 1,636 17 0,379 1,621 18 0,392 1,608 19 0,404 1,596 20 0,414 1,586 21 0,425 1,575 22 0,434 1,566 23 0,443 1,557 24 0,452 1,548 25 0,459 1,541

c. Metode III

Metode yang ketiga untuk menentukan limit kontrol atas (LKA) dan

limit kontrol bawah (LKB) untuk membuat kartu kontrol jangkauan yaitu

(10.8)

(10.9)

(10.10)

d2 diperoleh dari Tabel 9.2. dan untuk mendapat nilai dari pada D2

dan D1 melihat Tabel 10.2. dengan melihat banyaknya n yaitu

banyaknya data data pada sampel periode.

Tabel 10.2.

Nilai D2 dan D1 untuk Kartu Kendali Jangkauan (R)


D1 D2

2 0 3,69 3 0 4,36 4 0 4,70 5 0 4,92

LKA =

LKB =




D1 D2

6 0 5,08 7 0,20 5,20 8 0,39 5,31 9 0,55 5,39 10 0,69 5,47 11 0,81 5,53 12 0,92 5,59 13 1,03 5,65 14 1,12 5,69 15 1,21 5,74 16 1.28 5,78 17 1,36 5,82 18 1,43 5,85 19 1,49 5,89 20 1,55 5,92

Contoh 10.1.

Diberikanlah data pada tabel berikut ini:

Tabel 10.3.

Tabel Data Jangkauan

No Sampel

Daya Tahan R

1 21 31 39 25 18

2 17 44 54 13 41

3 13 34 44 44 31

4 14 23 45 35 31

5 15 24 35 44 29

6 16 23 31 34 18

7 13 34 31 46 33

8 12 40 30 44 32

9 11 45 25 42 34

10 10 47 41 41 37

Buatlah kartu kendali jangkauan dari data di atas!

Penyelesaian 10.1.

Menghitung rata - rata R yaitu :

∑

Menghitung simpangan baku jangkauan yaitu :



√( ) ( )

Menentukan limit kontrol bawah dan limit control atas yaitu :

LKA =

LKA ( )

LKA 51,37

LKB =

( )

9,43

Titik tengah atau titik sentral yaitu :

Menggambar kartu kendali jangkauan yaitu :

Langkah – langkah dengan SPSS 22 :

a. Buka SPSS 22

b. Klik Variable View lalu tuliskan nama variabelnya JANGKAUAN

c. Klik Data View masukan data

d. Klik Analyse Quality Control, klik Chart Control , Klik Individual , klik

Define

e. Masukkan data ke measurement, klik title tuliskan KARTU KENDALI

JANGKAUAN, klik continu klik ok akan muncul kartu kendali

jangkauan pada gambar pertama yaitu :

Gambar 8.7

Kartu Kendali Jangkaun



2. Kartu Kendali Standar Deviasi

Kartu kendali produk yang ketiga yang akan dibahas adalah kartu

kendali standar deviasi. Kartu kendali standar deviasi merupakan kartu

kendali dengan perhitungan dasarnya adalah simpangan baku sebagai titik

sentral dengan disertai titik atas dan batas bawah dengan kombinasi

perhitungan dengan rata – rata dan jangkauan. Dimana data yang akan

diuji merupakan data simpangan baku dari setiap sampel yang ada yang

akan dimasukkan ke dalam kartu kendali. Langkah – langakah untuk

membuat kartu kendali simpangan baku adalah :

a. Menghitung simpangan baku setiap baris pada sampel, perumusannya

adalah

(10.11)

Dimana :

Ai = data ke-i sampel pada baris sampel, i = 1, ... , n

= rata – rata sampel baris

= banyaknya sampel baris

b. Menghitung rata – rata simpangan baku dari seluruh sampel yang ada.

Perumusannya adalah

(10.12)

Dimana :

= simpangan baku dari sampel baris ke-i

= banyakya sampel pada kolom sampel

c. Menghitung simpangan baku dari simpangan baku sampel tiap baris.

(10.13)

Dimana :

: simpangan baku dari simpangan baku sampel

: simpangan baku dari sampel baris ke-i

: banyakya sampel pada kolom sampel

Menentukan limit kontrol atas (LKA) dan limit kontrol bawah (LKB)

yaitu :

√∑( )

∑

√∑( )



a. Metode I

Metode pertama untuk menentukan limit kontrol atas dan limit

kontrol bawah yaitu

(10.14)

(10.15)

Sedangkan untuk titik tengah atau titik sentralnya adalah rata –

rata simpangan baku dari tiap baris sampel ( ).

b. Metode II

Metode kedua untuk membuat limit kontrol atas dan limit kontrol

bawah yaitu

(10.16)

(10.17)

Untuk memndapatkan nilai dari B4 dan B3 dengan menggunakan

Tabel 10.4. Sedangkan untuk titik tengah atau titik sentralnya adalah

rata – rata simpangan baku dari tiap baris sampel ( ).

Tabel 10.4.

Nilai B4 dan B3 untuk Kartu Kendali Simpangan Baku ( )


B3 B4

2 0 3,27 3 0 2,57 4 0 2,27 5 0 2,09 6 0,03 1,97 7 0,12 1,88 8 0,19 1,81 9 0,24 1,76 10 0,28 1,72 11 0,32 1,68 12 0,35 1,65 13 0,38 1,62 14 0,41 1,59 15 0,43 1,57 16 0,45 1,55 17 0,47 1,53 18 0,48 1,52 19 0,50 1,50 20 0,51 1,49

LKA =

LKB =

LKA =

LKB =



c. Metode III

Metode ketiga untuk membuat limit kontrol atas dan limit kontrol

bawah yaitu

(10.18)

(10.19)

(10.20)

Untuk mendapatkan nilai dari B2 dan B1 dengan menggunakan

Tabel 10.5. dan untuk mendapatkan nilai dari c2 menggunakan Tabel

9.4. Sedangkan untuk titik tengah atau titik sentralnya adalah rata – rata

simpangan baku dari tiap baris sampel ( ).

Tabel 10.5.

Nilai B1 dan B2 untuk Kartu Kendali Simpangan Baku ( )


B1 B2

2 0 1,84 3 0 1,86 4 0 1,81 5 0 1,76 6 0,03 1,71 7 0,10 1,67 8 0,17 1,64 9 0,22 1,61 10 0,26 1,58 11 0,30 1,58 12 0,33 1,54 13 0,36 1,52 14 0,38 1,51 15 0,41 1,49 16 0,43 1,48 17 0,44 1,47 18 0,46 1,45 19 0,48 1,44 20 0,49 1,43

LKA =

LKB =

=



Contoh 10.2.

Diberikanlah data pada Tabel 10.6.

Tabel 10.6.

Tabel Ilustrasi Data Simpangan Baku

No Sampel

Daya Tahan

1 21 31 39 25 6,78

2 17 44 54 13 17,42

3 13 34 44 44 12,66

4 14 23 45 35 11,76

5 15 24 35 44 10,97

6 16 23 31 34 7,04

7 13 34 31 46 11,81

8 12 40 30 44 12,36

9 11 45 25 42 13,72

10 10 47 41 41 14,50

Buatlah kartu kendali simpangan baku dari data di atas!

Penyelesaian 10.2.

Menghitung rata – rata simpangan baku

∑

Menghitung simpangan baku dari simpangan baku periode sampel yaitu

:

√( ) ( )

Menentukan limit kontrol bawah dan limit kontrol atas yaitu :

LKA =

( )

18,209

LKB =

LKB ( )

LKB 5,591

Titik tengah atau titik sentral yaitu :

Menggambar kartu kendali jangkauan yaitu :

Langkah – langkah dengan SPSS 22 :

1) Buka SPSS 22



2) Klik Variable View lalu tuliskan nama variabelnya SIMPANGAN

BAKU

3) Klik Data View masukan data

4) Klik Analyse Quality Control, klik Chart Control , Klik Individual , klik

Define

5) Masukkan data ke measurement, klik title tuliskan KARTU KENDALI

SIMPANGAN BAKU, klik continu klik ok akan muncul kartu kendali

jangkauan pada gambar pertama yaitu :

Gambar 8.8

Kartu Kendali Simpangan Baku

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.







TUGAS :


itulah diberikan data pada Tabel 10.7.




Tabel 10.7.

Ilustrasi Isi Snack Merek GA

No Sampel Isi Snack Merek XX (gram)

1 22,21 22 22,18 22,18 21,9 22,12

2 22,1 21,89 22,12 22,12 21,97 21,95

3 22,22 22,01 22,09 22,09 22,08 21,79

4 22,11 21,9 21,87 21,87 22 21,85

5 22,2 21,99 21,96 21,96 22,01 22,12

6 22,32 22,11 22,01 22,01 21,98 22

7 22,08 21,87 21,91 21,91 21,9 22

8 22,22 22,01 22,08 22,08 21,89 21,79

9 22,23 22,02 22,1 22,1 21,89 21,87

10 22,1 21,89 21,99 21,99 22,05 22,07

Dari data pada tabel di atas, Anda buatlah :

1. Kartu kendali jangkauan

2. Kartu kendali simpangan baku

D. REFERENSI







Ronal E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika. Jakarta : Gramedia



PERTEMUAN KE-11

KARTU KENDALI ATRIBUT

A. TUJUAN

Setelah mahasiswa atau Anda membaca dan memahami pada materi

pertemuan ke-11 ini diharapkan mampu :

1. Membuat kartu kendali proporsi

2. Membuat kartu kendali cacat

B. URAIAN MATERI

1. Kartu Kendali Proporsi

Pada sub materi pertama ini kita akan membahas tentang kartu

kendali proporsi. Dimana yang dimaksud dengan proporsi yaitu

perbandingan produk barang yang cacat dengan banyaknya produk yang

diamati. Lambang dari proporsi itu sendiri adalah p. Sehingga pada saat

sampel diamati maka kita akan tahu seberapa persen produk yang gagal.

Kriteria atribut dari kartu kendali proporsi ini adalah diterima (baik) atau

ditolak (cacat).

Perumusan untuk proporsi adalah :

(11.1)

Keterangan:

P : proporsi

ci : banyaknya (ditolak)cacat pada pengamatan periode ke-i

Ai : banyaknya pengamatan pada periode ke-i

Langkah – langkah untuk mebuat kartu kendali proporsi adalah

sebagai berikut :

a. Menghitung proporsi tiap periode sampel dengan menggunakan

perumusan (11.1).

b. Menghitung simpangan baku dari proporsi tiap periode pengamatan

dengan perumusan adalah sebagai berikut

(11.2)

Keterangan:

p'= = rata – rata dari proporsi data populasi

(11.3)

√

∑



Keterangan:

pi : proporsi tiap periode pengamatan ke-i

N : banyaknya periode pengamatan

c. Menentukan limit kontrol bawah dan limit kontrol atas. Dimana untuk

menentukan LKA dan LKB adalah sebagai berikut :

LKA = p’ + 3√

LKB = p’ - 3√

Sedangkan untuk titik sentralnya atau titik tengah adalah p’.

Atau juga boleh menggunakan metode yang berikutnya adalah

1) Data setiap periode sama

Perhitungan dengan data yang per periodenya sama maka

menggunakan perumusan sebagai berikut.

(11.4)

(11.5)

Nilai LKA dan LKB masing-masing akan sama untuk setiap

periodenya.

Keterangan:

(11.6)

= rata – rata proporsi

n : jumlah periode

2) Data setiap periode berbeda

Perhitungan dengan data setiap periode berbeda maka

menggunakan perumusan sebagai berikut:

(11.7)

Nilai LKA akan berbeda-beda untuk setiap periode.

(11.8)

Nilai LKB akan berbeda juga untuk setiap periodenya.

Keterangan:

LKA = √

LKB = √

∑

LKAi = √

LKBi = √



: rata – rata proporsi

: data per periode dengan I = 1, 2, …

(11.9)

n : jumlah periode

3) Data per periode berbeda menggunakan Metode Aden

Perhitungan menggunakan perumusan dengan langkah sebagai

berikut.

Langkah pertama menentukan nilai rata-rata dari jumlah data per

periode yaitu

∑

Langkah selanjutnya menggunakan perumusan LKA dan LKB

pembaharuan dengan data sama yaitu

(11.10)

(11.11)

(11.12)

Keterangan :

n : jumlah periode

: data rata-rata periode

: data periode ke-i

d. Menggambar kartu kendali proporsi

Perhatikanlah oleh Anda tabel ilustrasi berikut ini :

Tabel 11.1.

Ilustrasi Pengamatan Untuk Proporsi

No sampel Banyaknyna

pengamatan

Banyaknya

cacat

1 A1 C1

... ... ...

N An Cn

Perhatikan contoh berikut ini :

∑

LKA = √

LKB = √

∑



Contoh 11.1.

Diberikan data pada tabel berikut ini.

Tabel 11.2.

Tabel Ilustrasi Pengamatan Barang B

No sampel Jumlah produk pengamatan Jumlah produk yang

cacat

1 100 2

2 120 3

3 119 0

4 117 3

5 130 1

6 125 4

7 123 2

8 115 1

9 119 5

10 118 2

Dari data pada tabel di atas, buatlah kartu kendali untuk proporsi.

Penyelesaian 11.1.

Langkah awal menghitung proporsi dari tiap nomor sampel

pengawasan:

Proporsi pada sampel pertama :

p1 = 2/100 = 0,02

proporsi pada sampel kedua :

p2 = 3/120 = 0,025

dan seterusnya sampai data sampel kesepuluh, dimana hasilnya dapat

Anda lihat pada tabel berikut ini.

Tabel 11.3.

Tabel Pembantu Perhitungan Proporsi

Ai ci pi

100 2 0,02

120 3 0,025

119 0 0

117 3 0,025641

130 1 0,007692

125 4 0,032

123 2 0,01626

115 1 0,008696

119 5 0,042017



118 2 0,016949

Dari tabel di atas kita hitung rata – rata proporsi!

Menghitung limit kontrol atas periode ke-1 yaitu :

√

√

LKA1 = 0,150248

Dan seterusnya sampai dengan LKA10 terangkum pada Tabel 11.3.

Menghitung limit kontrol bawah periode ke-1 yaitu :

√

√

LKB1 = -0,11145

Dan seterusnya sampai dengan LKB10 terangkum pada Tabel 11.3.

Karena pada proporsi tidak akan ada yang bernilai negatif maka

untuk nilai dari LKB harus dijadikan 0 .

Tabel 11.4. LKA dan LKB

Periode Ai ci Pi LKA LKB

1 100 2 0.0200 0.0608 -0.0220

2 120 3 0.0250 0.0572 -0.0184

3 119 0 0.0000 0.0574 -0.0185

4 117 3 0.0256 0.0577 -0.0189

5 130 1 0.0077 0.0557 -0.0169

6 125 4 0.0320 0.0565 -0.0176

7 123 2 0.0163 0.0568 -0.0179



Periode Ai ci Pi LKA LKB

8 115 1 0.0087 0.0580 -0.0192

9 119 5 0.0420 0.0574 -0.0185

10 118 2 0.0169 0.0575 -0.0187

Gambar kartu kendali proporsi dengan bantuan program EXCEL

yaitu

Gambar 11.1

Kartu Kendali Proporsi Data Berbeda Per Periode

Contoh 11.2.


Tabel 11.5.


No sampel Jumlah produk pengamatan Jumlah produk yang

cacat

1 100 2

2 100 3

3 100 0

4 100 3

5 100 1

6 100 4

7 100 2

8 100 1

9 100 5

10 100 2




Penyelesaian 11.2.


pengawasan:


p1 = 2/100 = 0,02


p2 = 3/100 = 0,03



Tabel 11.6.


Ai ci pi

100 2 0,02

100 3 0,03

100 0 0

100 3 0,03

100 1 0,01

100 4 0,04

100 2 0,02

100 1 0,01

100 5 0,05

100 2 0,02


Menghitung limit kontrol atas yaitu :

√

√

LKA = 0,06797



Menghitung limit kontrol bawah yaitu :

√

√

LKB= -0,02197




yaitu

Gambar 11.2.

Kartu Kendali Proporsi Metode Data Sama Per Periode

Contoh 11.3.


Tabel 11.7.


No

sampel Jumlah produk pengamatan

Jumlah produk

yang cacat

1 100 2

2 120 3

3 119 0



No

sampel Jumlah produk pengamatan

Jumlah produk

yang cacat

4 117 3

5 130 1

6 125 4

7 123 2

8 115 1

9 119 5

10 118 2


Penyelesaian 11.1.


pengawasan:


p1 = 2/100 = 0,02


p2 = 3/120 = 0,025



Tabel 11.8.


Ai ci pi

100 2 0,02

120 3 0,025

119 0 0

117 3 0,025641

130 1 0,007692

125 4 0,032

123 2 0,01626

115 1 0,008696

119 5 0,042017

118 2 0,016949




Menghitung rata-rata data periode yaitu


√

√

LKA = 0,0574


√

√

LKB = -0,0186




yaitu



Gambar 11.3.

Kartu Kendali Proporsi Data Berbeda Per Periode

2. Kartu Kendali Cacat

Pada sub materi kedua ini kita akan membahas tetang kartu

kendali cacat. Dimana kartu kendali cacat merupakan bagian

daripada kartu kendali atribut. Pengamatan pada pembahasan disini

adalah pada setiap unit barang. Jenis barang disini dikatakan baik

atau mulus dengan perbandingan cacat atau buruk. Jenis barang

disini berdekatan dengan distribusi poisson.

Jika rata – rata untuk distribusi poisson disini diketahui sama

dengan c, maka untuk kartu kendali cacat dapat dibentuk oleh

persamaan berikut ini yang membentuk batasan berupa garis-garis

baik liit kontrol atas, limit kontrol bawah dan titik sentral atau tiik

tengah. Dimana perumusannya adalah sebagai berikut

(11.7)

Sentral = c

(17.8)

Akan tetapi seperti biasanya untuk nilai dari pada c untuk parameter

populasi jarang diketahui, maka dalam hal ini untuk perumusan

batasan dalam kartu kendali cacat menjadi

(11.9)

LKA = c + 3√

LKB = c - 3√

LKA = + 3√



Sentral =

(11.10)

Dimana untuk mencari cacat rata – rata dapat dirumuskan sebagai

berikut.

(11.11)

Anda perhatikan contoh berikut ini :

Contoh 11.2.

Sebuah produksi buku tulis akan mengontrol produksinya dengan

memperhatikan pencetakan tiap lembar buku. Dengan

memperhatikan tiap garis. Maka diberikan data pada tabel data unit

produksi buku AA.

Tabel 11.4.

Banyak Garis Yang Cacat Per Buku

Buku Sampel Banyak Salah dalam

lembar (ci)

1 1 2 2 3 0 4 3 5 2 6 0 7 2 8 3 9 2 10 1 11 1 12 2 13 3 14 3 15 2 16 2 17 2 18 1 19 3 20 4

Buatlah kartu kendali cacat dari data di atas!

LKB = - 3√

∑



Penyelesaian 11.2.

Menghitung rata – rata kesalahan atau cacat yaitu :

∑

Sentral = 1,95


LKA = + 3√

LKA = 1,95 + 3√

LKA = 6,1393


LKB = - 3√

LKB = 1,95 - 3√

LKB = -2,239

Dikarenakan jumlah kerusakan atau cacat tidak mungkin bernilai

negatif dan selalu positif maka jika LKA bernilai negatif harus

dijadikan nol. Sehingga :

LKB = 0

Membuat kartu kendali cacat dengan bantuan EXEL yaitu :

Gambar 11.4.

Kartu Kendali Cacat

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

KARTU KENDALI CACAT

LKA SENTRAL Banyak Salah dalam lembar (ci) LKB









TUGAS :

1. Sebuah industri dengan perusahaan yang bernama PT.JAYA MAKMUR

yang bergerak dalam bidang cover tas. Ingin membuat kontrol kendali

dengan metode proporsi maka dari itu diberikan data pada tabel di bawah

ini :

Tabel 11.5.

Data Ilustrasi Pengamatan

No sampel Banyak pengamatan Banyaknya cacat

1 312 19

2 315 5

3 316 7

4 319 6

5 322 5

6 311 9

7 323 13

8 324 15

9 326 2

10 319 8

Berikanlah kesimpulan setelah Anda menggambar kartu kendali cacat.

2. Terhadap sekretaris akan dilakukan penilaian dan yang dinilai adalah

banyak kata salah tulis dalam tiap halaman. Sebanyak 15 halaman telah

diperiksa secara acak. Hasil dari pada pemeriksaan disediakan dalam tabel

berikut.

Tabel 11.6.

Data Kesalahan Tik

Halaman Salah Tik

1 1

2 2

3 1

4 2

5 8

6 11

7 7

8 8

9 1




Halaman Salah Tik

10 7

11 6

12 13

13 2

14 11

15 0

Buatlah kartu kendali cacat beserta kesimpulan dari data di atas!

D. REFERENSI



Supangat, Andi. 2007. Statistika dalam Kaj:ian Deskriptif, Inferensi, dan




Ronal E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika. Jakarta : Grameda



PERTEMUAN KE-12

EVALUASI KARTU KENDALI

A. TUJUAN

Setelah Anda (Mahasiswa) mempelajari materi pertemuan ke-12 ini

diharapkan mampu mengevaluasi kartu kendali produk.

B. URAIAN MATERI

1. Evaluasi Berdasarkan Kartu Kendali

Pembahasan pada pertemuan ini yaitu mengambil keputusan

berdasarkan kartu kendali produk yaitu membuat keputusan berdasarkan

kartu kendali yang telah dibuat baik kartu kendali rata – rata, kartu kendali

jangkauan dan ataupun kartu kendali simpangan baku serta kartu kendali

atribut yaitu kartu kendali proporsi dan kartu kendali cacat. Kartu kendali

menjadi bahan evaluasi sebuah produk yang diproduksi oleh sebuah

perusahaan dalam bidang industri.

Kontrol kualitas merupakan tahapan yang sangat penting dalam

sebuah industri maka dari itu kesimpulan yang diambil dari sebuah diagram

kontrol harus tepat sesuai dengan kesepakatan diawal dari pihak produksi

dan pemesan atau konsumen. Kontrol kualitas akan tercermin dari

banyaknya data yang berada dilluar daerah kontrol baik Limit Kontrol Atas

(LKA) maupun Limit Kontrol Bawah (LKB). Data yang ada pada sampel kita

substsitusikan pada diagram kartu kontrol kendali, jika ada data yang

terletak di luar kartu kontrol kendali maka diberikan tanda khusus yang

membedakan dengan tanda yang berada pada kartu kontrol kendali agar

lebih mudah untuk mengambil kesimpulan.

Produksi produk dikatakan dalam kategori terkontrol jika semua

produk masuk ke dalam kartu kendali produk. Dasar untuk pengendalian

kualitas yaitu :

a. Jika tidak lebih dari satu titik di luar LKA dan LKB dari 35 titik

pengamatan atau tidak lebih dari 2 diantara 100 pengamatan maka

proses pengendalian kualitas terkategori terkendali.

b. Jika jumlah pengamatan sebanyak n, maka minimal keluar dari LKA

dan LKB yaitu n/35, jika hasil yang diperoleh tidak bulat maka harus

dibulatkan ke bawah walaupun dibelakang koma lebih dari 5 maka

pengendalian kualitas terkategori terkendali.

Kartu kendali kontrol dapat digunakan untuk melakukan tindakan

yang berlainan prosesnya yaitu :

a. Tindakan mengeluarkan penyebab variasi yang dibawa oleh titik “di

luar kontrol”.

b. Tindakan untuk mengembangkan rata – rata proses.

c. Tindakan untuk mengembangkan dispersi proses.



Kartu kendali kontrol merupakan alat untuk menolong menjaga

proses tetap berjalan dalam koridor yang telah ditetapkan sehingga produk

yang diproduksi akan sesuai dengan kualitas yang ditetapkan dikarenakan

dikendalikan oleh kartu kendali kontrol. Perhatikanlah diagram kontrol yang

terkendali dan yang tidak terkendali berikut :

Gambar 12.1.

Diagram Kartu Kontrol Kendali yang terkendali

Dari Gambar 12.1. dapat Anda lihat bahwa semua titik berada dalam

batasan kartu kendali. Sehingga data pada gambar tersebut terkategori

terkendali.

Gambar 12.2.

Kartu Kontrol Kendali Yang Tidak Terkendali



Dari gambar 12.2. dapat Anda lihat bahwa ada dua titik berada di luar

batasan baik batasan bawah maupun atas dalam kartu kendali. Sehingga

data pada gambar terserbut terkategori tidak terkendali. Sehingga untuk

dapat dijadikan kartu kendali maka data yang berada yang diluar

dikeluarkan dan dibuat kartu kendali yang baru dengan data diurutkan

setelah data yang ke luar dihilangkan. Hitung kembali seperti data awal

sesuai dengan bentuk data yang ada dengan menyesuaikan

perumusannya. Jika masih ada data yang keluar batasan baik batasan

atas maupun bawah maka data tersebut dihilangkan sampai dengan kartu

kendali tidak ada data yang keluar dari batasan.

2. Alur Evaluasi Kartu Kendali

Evaluasi kartu kendali dilaksanakan dengan secara kontinu untuk

membuat kartu kendali yang terkini. Kartu kendali terkini akan menjadika

evaluasi subuah data lebih meyakinkan dengan diiringi perkembangan

produksi dari sebuah produk. Ketetapan alur evaluasi sangat penting guna

lebih menstabilkan produk dari terjadinya bermacam-macam varian yang

secara langsung maupun tidak langsung. Tentukan periode untuk membuat

kartu yang secara kontinu dilaksanakan dan ditetapkan.



Gambar 12.3. Alur Evaluasi

Contoh 12.1.

Perusahaan PT. BANGKIT akan mengevaluasi produk dari produksi 20 hari

kerja pada bulan Februari 2019 diambil data sebagai berikut.

Tabel 12.1.Data Ilustrasi PT. BANGKIT

No Data

R1 R2 R3 R4 R5

1 21 30 45 47 37

2 26 22 26 46 23

3 36 22 50 22 24

4 27 33 42 21 34

5 34 46 50 38 49

6 39 36 22 25 47

7 50 22 49 24 29

8 21 25 29 28 46



No Data

R1 R2 R3 R4 R5

9 28 31 40 31 40

10 22 21 44 22 48

11 21 20 21 34 37

12 34 24 38 20 42

13 47 43 46 45 20

14 47 27 41 37 29

15 46 41 47 35 44

Penyelesaian 12.1.

Langkah awal kita tentukan rata-rata setiap periode sampel, menentukan

jangkauan setiap periode sampel, menentukan standar deviasi masing-

masing standar kelompok.

Dengan menggunakan bantuan excel maka diperoleh data jangkauan,

rata-rata perperiode dan standar deviasi perperiode sebagai berikut.

Tabel 12.2. Tabel Hasil Perhitungan tahap Awal

No R Rata-Rata

1 26 36

2 24 28.6

3 28 30.8

4 21 31.4

5 16 43.4

6 25 33.8

7 28 34.8

8 25 29.8

9 12 34

10 27 31.4

11 17 26.6

12 22 31.6

13 27 40.2

14 20 36.2

15 12 42.6

Rata-rata dari jangkauan yaitu

Rata- rata dari rata-rata perperiode yaitu

Standar deviasi dari rata-rata data per periode yaitu





Menggambar kartu kendali rata-rata

Gambar 12.5. Kartu Kendali Rata-Rata

Dari gambar di atas bahwa ada 5 data yang keluar dari baris LKA maka

perlu dihilangkan data tersebut dan di perhitungkan ulang mulai dari proses

awal.

Sehingga data setelah proses evaluasi yang harus dihilangkan data ke-5,

13, 14 dan 15 tersisa ada 11 data seperti apda Tabel 12.2.

Tabel 12.2. Dat Setelah Evaluasi Tahap I

No Data

R1 R2 R3 R4 R5

1 21 30 45 47 37

2 26 22 26 46 23

3 36 22 50 22 24

4 27 33 42 21 34

6 39 36 22 25 47

7 50 22 49 24 29

8 21 25 29 28 46

9 28 31 40 31 40



No Data

R1 R2 R3 R4 R5

10 22 21 44 22 48

11 21 20 21 34 37

12 34 24 38 20 42

Maka data tersebut mempunyai urutan yang tidak terurut. Urutkan data

menjadi teratur dan lakukan perhitungan ulang dari posisi awal.

Tabel 12.3. Data Urut Setelah Evaluasi

No Data

R1 R2 R3 R4 R5

1 21 30 45 47 37

2 26 22 26 46 23

3 36 22 50 22 24

4 27 33 42 21 34

5 39 36 22 25 47

6 50 22 49 24 29

7 21 25 29 28 46

8 28 31 40 31 40

9 22 21 44 22 48

10 21 20 21 34 37

11 34 24 38 20 42

Perhitungkan nilai Jangkauan masing-masing dan rata-rata masing-

masing. Diperoleh sebagai berikut:

Tabel 12.4. Perhitungan Analisa Tahap 2

No R Rata-rata

1 26 36

2 24 28.6

3 28 30.8

4 21 31.4

5 25 33.8

6 28 34.8

7 25 29.8

8 12 34

9 27 31.4

10 17 26.6



11 22 31.6

Rata-rata dari jangkauan yaitu

Rata- rata dari rata-rata perperiode yaitu

Standar deviasi dari rata-rata data per periode yaitu



Menggambar kartu kendali rata-rata :

Gambar 12.6. Kartu Kendal Rata-Rata setelah Evaluasi 1

Sesuai gambar di atas maka dapat dismpulkan bahwa kartu kendali rata-

rata tersebut terkendali karena semua data berada pada batasan baik

dibawah LKA dan di atas LKB, sehingga terkategori kartukendali terserbut

terkendali.

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.









TUGAS :


itulah diberikan data pada tabel berikut ini :

Tabel 12..

Ilustrasi Isi Snack Merek GA

No

Sampel Isi Snack Merek XX (gram)

1 22,21 22 22,18 22,18 21,9 22,12

2 22,1 21,89 22,12 22,12 21,97 21,95

3 22,22 22,01 22,09 22,09 22,08 21,79

4 22,11 21,9 21,87 21,87 22 21,85

5 22,2 21,99 21,96 21,96 22,01 22,12

6 22,32 22,11 22,01 22,01 21,98 22

7 22,08 21,87 21,91 21,91 21,9 22

8 22,22 22,01 22,08 22,08 21,89 21,79

9 22,23 22,02 22,1 22,1 21,89 21,87

10 22,1 21,89 21,99 21,99 22,05 22,07

Dari data pada tabel di atas, Anda buatlah Evaluasi kartu kendali di atas

dengan menggunakan salah satu kartu kendali produk baik rata-rata,

jangkauan maupun simpangan baku.

D. REFERENSI











PERTEMUAN KE-13

KEPUTUSAN KUALITAS PRODUK

A. TUJUAN

Setelah mahasiswa atau Anda mempelajari materi pada pertemuan ke-

13 ini diharapkan mampu :

1. Menjelaskan definisi kualitas produk

2. Mampu mengambil keputusan penerimaan kualitas produk

B. URAIAN MATERI

1. Kualitas Produk

Menurut Kotler (2001: 346) produk adalah ”Segala sesuatu yang

dapat ditawarkan ke pasar untuk mendapatkan perhatian, dibeli,

digunakan, atau dikonsumsi yang dapat memuaskan keinginan atau

kebutuhan”. Mc Charty dan Perreault (2003:107) mengemukakan bahwa,

“Produk merupakan hasil dari produksi yang akan dilempar kepada

konsumen untuk didistribusikan dan dimanfaatkan konsumen untuk

memenuhi kebutuhannya”.Sedangkan menurut Saladin (2002:121),

”Produk adalah segala sesuatu yang dapat ditawarkan ke suatu pasar

untuk diperhatikan, dimiliki, dipakai atau dikonsumsi sehingga dapat

memuaskan keinginan dan kebutuhan”.Secara konseptual, produk adalah

pemahaman subyektif dari produsen atas sesuatu yang bisa ditawarkan

sebagai usaha untuk mencapai tujuan organisasi melalui pemenuhan

kebutuhan dan kegiatan konsumen, sesuai dengan kompetensi dan

kapasitas organisasi serta daya beli pasar.Berdasarkan beberapa definisi

diatas, maka produk didefinisikan sebagai kumpulan dari atribut-atribut

yang nyata maupun tidak nyata, termasuk di dalamnya kemasan, warna,

harga, kualitas dan merek ditambah dengan jasa dan reputasi

penjualannya.

Menurut Kotler (2001:279) ada lima tingkatan produk, yaitu core

benefit, basic product, expected product, augmented product dan potential

product. Penjelasan tentang kelima tingkatan produk adalah :

a. Produk Utama (Care Benefit), yaitu manfaat yang sebenarnya

dibutuhkan dan akan dikonsumsi oleh pelanggan dari setiap produk.

b. Produk Generik (Basic Produk), adalah produk dasar yang mampu

memenuhi fungsi pokok produk yang paling dasar.

c. Produk Harapan (Expected Product), adalah produk formal yang

ditawarkan dengan berbagai atribut dan kondisi secara normal (layak)

diharapkan dan disepakati untuk dibeli.

d. Produk Pelengkap (Augment Product), adalah berbagai atribut produk

yang dilengkapi atau ditambahkan dengan berbagai manfaat dan

layanan, sehingga dapat memberikan tambahan kepuasan dan dapat

dibedakan dengan produk pesaing.



e. Produk Potensial (Potential Product), adalah segala macam tambahan

dan perubahan yang mungkin dikembangkan untuk suatu produk

dimasa mendatang.

Menurut Kotler dan Armstrong (2001:354) beberapa atribut yang

menyertai dan melengkapi produk (karakteristik atribut produk) adalah:

a. Merek (Brand) adalah nama, istilah, tanda, simbol, atau rancangan, atau

kombinasi dari semua ini yang dimaksudkan untuk mengidentifikasi

produk atau jasa dari satu atau kelompok penjual dan membedakannya

dari produk pesaing. Pemberian merek merupakan masalah pokok

dalam strategi produk. Pemberian merek itu mahal dan memakan waktu,

serta dapat membuat produk itu berhasil atau gagal. Nama merek yang

baik dapat menambah keberhasilan yang besar pada produk (Kotler dan

Armstrong, 2001:360)

b. Pengemasan (Packing) adalah kegiatan merancang dan membuat

wadah atau pembungkus suatu produk.

c. Kualitas Produk (Product Quality) adalah kemampuan suatu produk

untuk melaksanakan fungsinya meliputi, daya tahan keandalan,

ketepatan kemudahan operasi dan perbaikan, serta atribut bernilai

lainnya. Untuk meningkatkan kualitas produk perusahaan dapat

menerapkan program ”Total Quality Manajemen (TQM)". Selain

mengurangi kerusakan produk, tujuan pokok kualitas total adalah untuk

meningkatkan nilai pelanggan.

Menurut Kotler dan Amstrong (2008) kualitas adalah karakteristik dari

produk dalam kemampuan untuk memenuhi kebutuhan-kebutuhan yang

telah ditentukan dan bersifat laten. Sedangkan menurut Garvin dan A. Dale

Timpe (1990, dalam Alma, 2011) kualitas adalah keunggulan yang dimiliki

oleh produk tersebut. Kualitas dalam pandangan konsumen adalah hal

yang mempunyai ruang lingkup tersendiri yang berbeda dengan kualitas

dalam pandangan produsen saat mengeluarkan suatu produk yang biasa

dikenal kualitas sebenarnya. Menurut Kotler (2009), kualitas didefinisikan

sebagai keseluruhan ciri serta sifat barang dan jasa yang berpengaruh

pada kemampuan memenuhi kebutuhan yang dinyatakan maupun yang

tersirat. Sedangkan menurut Tjiptono (2008), kualitas merupakan

perpaduan antara sifat dan karakteristik yang menentukan sejauh mana

keluaran dapat memenuhi persyaratan kebutuhan pelanggan atau menilai

sampai seberapa jauh sifat dan karakteristik itu memenuhi kebutuhannya.

Berdasarkan definisi-definisi di atas, maka dapat disimpulkan bahwa

kualitas merupakan suatu produk dan jasa yang melalui beberapa tahapan

proses dengan memperhitungkan nilai suatu produk dan jasa tanpa adanya

kekurangan sedikitpun nilai suatu produk dan jasa, dan menghasilkan

produk dan jasa sesuai harapan tinggi dari pelanggan.

Menurut Kotler and Amstrong (2008) arti dari kualitas produk adalah

“the ability of a product to perform its functions, it includes the product’s

overall durability, reliability, precision, ease of operation and repair, and

other valued attributes” yang artinya kemampuan sebuah produk dalam

memperagakan fungsinya, hal itu termasuk keseluruhan durabilitas,



reliabilitas, ketepatan, kemudahan pengoperasian dan reparasi produk juga

atribut produk lainnya.

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa

kualitas produk adalah keseluruhan barang dan jasa yang berkaitan

dengan keinginan konsumer yang secara keunggulan produk sudah layak

diperjualkan sesuai harapan dari pelanggan.

Kualitas produk dibentuk oleh beberapa indikator antara lain kemudahan

penggunaan, daya tahan, kejelasan fungsi, keragaman ukuran produk, dan

lain-lain (Zeithalm, 1988 dalam Kotler, 2009).

Menurut Tjiptono (2001, 25), kualitas mencerminkan semua dimensi

penawaran produk yang menghasilkan manfaat (benefits) bagi pelanggan.

Kualitas suatu produk baik berupa barang atau jasa ditentukan melalui

dimensi-dimensinya. Dimensi kualitas produk adalah:

a. Kinerja (Performance) Yaitu karakteristik operasi pokok dari produk inti

(Core Product) yang dibeli, misalnya kecepatan, konsumsi bahan bakar,

jumlah penumpang yang dapat diangkut, kemudahan dan kenyamanan

dalam mengemudi dan sebagainya.

b. Keistimewaan tambahan (Features) yaitu karakteristik sekunder atau

pelengkap, misalnya kelengkapan interior dan eksterior seperti Dash

Board, AC, Sound System, Door Lock System, Power Steering, dan

sebagainya.

c. Keandalan (Reliability) yaitu kemungkinan kecil akan mengalami

kerusakan atau gagal dipakai, misalnya mobil tidak sering

ngadat/macet/rewel/rusak

d. Kesesuaian dengan spesifikasi (Conformance to Specifications) yaitu

sejauh mana karakteristik desain dan operasi memenuhi standar-

standar yang telah ditetapkan sebelumnya. Misalnya standar keamanan

dan emisi terpenuhi, seperti ukuran as roda untuk truk tentunya harus

lebih besar daripada mobil sedan.

e. Daya tahan (Durability) berkaitan dengan berapa lama produk tersebut

dapat terus digunakan. Dimensi ini mencakup umur teknis maupun umur

ekonomis penggunaan mobil.

f. Estetika (Asthethic) yaitu daya tarik produk terhadap panca indera.

Misalnya bentuk fisik mobil yang menarik, model atau desain yang

artistik, warna, dan sebagainya.

Berdasarkan dimensi-dimensi di atas, dapat disimpulkan bahwa

suatu dimensi kualitas merupakan syarat agar suatu nilai dari produk

memungkinkan untuk bisa memuaskan pelanggan sesuai harapan, adapun

dimensi kualitas produk meliputi kinerja, keistimewaan, kehandalan,

kesesuaian, daya tahan dan juga estetika.

2. Keputusan Kualitas Produk

Keputusan sebuah kualitas produk berarti mempunyai pembanding

produk yang memang mempunyai kualitas yang sudah disepakati antara

dua belah pihak yaitu pihak produsen dan pihak konsumen atau pemesan.



Semuanyaa bergantung kepada produk yang sesuai dengan kartu kendali

yang tepat.

Sehingga seorang produsen harus membuat analisa pembuatan

produk diawal pembuatan sampai batas 15 hari kerja untuk mendapatkan

data yang diinginkan kemudian dibuatlah kartu kendali untuk dijadikan

sebagai parameter dalam produksi tahap berikutnya yang dijadikan

pegangan oleh bagian pengawas produksi atau supervisor. Sehingga

pengawas produksi dapat langsung memantau kepada bagian Quality

Control (QC) barang produksi. Sehingga dengan cepat bisa memutuskan

apakah produksi barang tersebut memenuhi standar kualitas atau tidak.

Selain itu juga perusahaan harus menyiapkan form penilaian untuk setiap

unit produksi sehingga dapat dengan jeas memahami kesalahan yang

terletak di bagian yang jelas.

Begitu juga bagi seorang yang berprofesi sebagai kepala gudang

ketika akan menerima barang pesanan maka harus mempunyai form

penilaian untuk memutuskan apakah barang tersebut memiliki kualitas

yangs esuai standar atau tidak dengan mengabil besarnya sampel dari

sebuah populasi barang yang dikirim.

Sebagai ilustrasi diberikanlah contoh persoalan sebagai berikut :

Pada awal produksi 15 hari diambil data dan kemudian dibuatlah

kartu kendali dengan spesifikasi berdasarkan atribut cacat yaitu :

LKA = 5,12

Sentral = 2,3

LKB = 0

Kesepakatan bahwa dari 35 tidak lebih dari satu yang keluar dari

kartu kendali sehingga dari 100 tidak boleh lebih dari 2 yang keluar dari

kartu kendali baik dari limit kontrol bawah maupun kontrol atas. Kemudian

datang kiriman barang berupa buku sebanyak 500 buku dan dengan

mengunakan sampling random diambil sampel 50 buku, kemudian diteliti

dan disajikan dalam tabel berikut ini :

Tabel 13.1.

Data Ilustrasi Penerimaan

No sampel Cacat No Sampel Cacat

1 0 26 0 2 1 27 0 3 2 28 0 4 3 29 0 5 0 30 0 6 1 31 0 7 4 32 1 8 3 33 2 9 6 34 2 10 7 35 2 11 2 36 4 12 3 37 6 13 1 38 7



No sampel Cacat No Sampel Cacat

14 0 39 2 15 2 40 1 16 4 41 1 17 3 42 4 18 1 43 5 19 1 44 6 20 1 45 7 21 2 46 1 22 3 47 0 23 3 48 0 24 3 49 1 25 0 50 2

Kemudian data tersebut dimasukkan ke dalam kartu kendali yang

telah disediakan sehingga diperoleh gambar kartu kendali sebagai berikut :

Gambar 13.1.

Pemeriksaan Dengan Kartu Kendali Cacat

Dari kartu kendali terlihat jelas bahwa ada 5 data yang keluar dari

pada kartu kendali yang berarti sesuai dengan kesepakatan bahwa 35

terdapat 1 buah yang keluar dari kartu kendali maka dapat disimpulkan

bahwa produk tersebut dikategorikan gagal dan tidak diterima oleh pihak

kepala gudang. Namun dalam realita sering terjadi peristiwa yang seperti

ini barang tetap lolos kebagian gudang dikarenakan ada permainan

mereka. Kejadian itu semua penulis bukan menjustifikasi bahwa semua

kepala gudang seperti itu. Tulisan ini hanya sebagai pedoman kepada

Anda sebagai mahasiswa untuk menentukan kualitas produk yang sesuai

dengan kesepakatan diawal sehingga akan memuaskan pelanggan.

Sehingga jika pelanggan atau konsumen merasa terpuaskan maka

dengan sendirinya penjualan akan semakin meningkat. Dengan semakin

meningkat penjualan maka pihak produksi akan terus kebanjiran pesanan.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Cac

at

Sampel

KARTU KENDALI CACAT

LKA c bar Cacat LKB



Dengan demikian semua yang terlibat dalam suatu produksi barang akan

merasakannya jika semua saling memahami dari pada kualitas sebagai

hasil yang paling utama. Dengan kualitas yang tinggi maka dengan secara

membaik harga akan semakin baik. Harga akan semakin baik secara

langsung kesejahteraan karyawan akan semakin meningkat, jika semua

pihak mendukung itu semua. Sehingga terjadi perputaran secara dinamis.

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.



3. Dikirimkan dalam bentuk Word dengan nama file : Tugas Ke-13/ Nama/




TUGAS :

Jika diketahui kartu kendali berdasarkan proporsi dengan limit kontrol atas

adalah 0,018 , titik sentral adalah 0,012 dan limit kontrol bawah adalah 0. Jika

diberikan kesepakatan bahwa per 35 hanya ada satu yang keluar dari

batasannya atau limitnya jika kelipatannya menghasilkan bentuk koma maka

bulatkan ke bawah. Diberikan data sebagai berikut :

Tabel 10.3

Data Ilustrasi Pengamatan Untuk Tugas

No

sampel

Banyaknya

pengamatan Cacat

No

sampel

Banyaknya

pengamatan Cacat

1 323 4 36 324 6

2 313 5 37 314 7

3 326 3 38 327 5

4 327 5 39 328 7

5 324 2 40 325 4

6 329 3 41 330 5

7 323 3 42 324 5

8 303 3 43 304 5

9 324 3 44 325 5




No

sampel

Banyaknya

pengamatan Cacat

No

sampel

Banyaknya

pengamatan Cacat

10 322 4 45 323 6

11 322 5 46 323 7

12 321 4 47 322 6

13 303 4 48 304 6

14 318 3 49 319 5

15 318 3 50 319 5

16 320 3 51 321 5

17 319 4 52 320 6

18 321 3 53 322 5

19 322 5 54 323 7

20 315 4 55 316 6

21 316 3 56 317 5

22 303 2 57 304 4

23 323 2 58 324 4

24 325 3 59 326 5

25 326 4 60 327 6

26 327 4 61 328 6

27 328 3 62 329 5

28 325 6 63 326 8

29 324 7 64 325 9

30 315 8 65 316 10

31 316 3 66 317 5

32 323 4 67 324 6

33 327 4 68 328 6

34 330 3 69 331 5

35 324 3 70 325 5

Analisa pengamatan pada data tabel di atas berikan kesimpulan mengenai

kualitas berdasarkan kartu kendali proporsi.



D. REFERENSI










PERTEMUAN KE-14

KEPUTUSAN SAMPLING DITERIMA

A. TUJUAN

Setelah mahasiswa atau Anda membaca materi pada pertemuan ke-

14 ini diharapkan mampu :

1. Menentukan teori sampling

2. Mengambil keputusan sampling diterima

B. URAIAN MATERI

1. Teori Sampling

Pada sub materi pertama ini kita akan membahas tentang teori

sampling. Kenapa harus sampling? Memang benar pengambilan data

bisa dilakukan dengan cara sensus sehingga dapat terjangkau semua

data yang akan dijasikan sebagai bahan evaluasi. Tetapi dengan

dengan alasan berikut inin kita akan lebih baik memilih sampling. Berikut

alasan memilih sampling yaitu :

a. Ukuran Populasi

Ukuran populasi yang sangat besar dan area yang sangat

luas. Sehingga populasi itu sendiri dibagi menjadi dua bagian yaitu

populasi berhingga dan populasi takberhingga. Populasi

takberhingga mempunyai obyek yang tak berhingga sehingga

penggunaan sampling lebih tepat karena dengan sensus tidak

mungkin akan terlaksana dengan baik. Populasi berhingga namun

terkadang mempunyai banyak obyek yang sangat besar dengan

alasan itulah sampling lebih tepat dipergunakan dalam kondisi

tersebut.

b. Masalah Biaya

Biaya dalam penelitian sangatlah banyak dimulai dari

pengambilan data, pembuatan instrumen, analisis data, perhitungan

atau pengolahan data, gaji tim ahli jika diperlukan, dan biaya

konsultasi kepada tim ahli. Jika menggunakan sensus akan

memakan biaya yang sangat banyak apalagi jika jumlah populasi

yang sangat besar dalam area yang sangat luas. Maka dari itu

pilihan untuk sampling sangatlah tepat guna mengefisienkan biaya

guna mencapai tujuan penelitian.

c. Masalah Waktu

Populasi yang besar dan area yang sangat luas jika

menggunakan sensus akan memerlukan waktu yang cukup lama

dalam pengambilan data dibandingakan dengan metode sampling

akan memerlukan waktu yang lebih singkat. Jika semakin lama

waktu pengambilan data maka kesimpulan dan faedah yang

dihasilkan dari penelitian juga akan semakin lama. Tetapi jika

semakin cepat pengambilan data , maka kesimpulan dan faedah



yang dihasilkan akan cepat diperoleh dan dirasakan baik oleh

peneliti maupun oleh masyaraka umum.

d. Masalah Ketelitian

Semakin banyak data yang diperoleh dengan instrumen yang

sama kan membuat seorang akan merasa membosankan dengan

mengerjakan yang sama secara terus menerus sehingga akan

berakibat akan terjadinya kesalahan dalam ketelitian input data

akan semakin besar. Akan tetapi jika data yang diperoleh sedikit

maka pebeliti ketika menginput data akan cepat selesai dengan

ketelitian yang lebih tinggi dari pada input data yang sangat besar

dengan data yang selalu sama. Dengan alasan itulah metode

sampling sangat tepat dipergunakan dalam penelitian.

e. Faktor Ekonomis

Biaya dalam penelitian yang berupa biaya awal sampai biaya

akhir yang sangat besar dengan tidak sebandingnya faedah yang

dihasilkan. Maka dengan itu lebih tepat menggunakn metode

sampling dengan begitu akan lebih ekonomis dari segala bidang

dalam penelitian.

Beberapa yang perlu dalam perancangan sampling yaitu :

a. Rumuskan masalah yang ingin diketahui.

b. Tentukan dengan jelas batas populasi mengenai persoalan yang

ingin diketahui. Ketika pengambilan sampel yang salah dari sebuah

populasi maka akan mengakibatkan penyimpulan yang salah pula.

Sebaliknya jika pengambilan sesuai dengan sebuah populasi maka

akan menghasilkan kesimpulan yang tepat.

c. Artikan dengan jelas dan sesuai segala unit dan istilah yang

diperlukan.

d. Tentukan unit sampling yang diperlukan. Unit sampling adalah

satuan terkecil yang menjadi anggota populasi.

e. Tentukan dan rumuskan cara – cara pengukuran dan penilaian

yang akan dilakukan.

f. Kumpulkan jika ada segala keterangan tentang hal yang ingin diteliti

yang pernah dilakukan dimasa lampau.

g. Tentukan ukuran sampel. Yakni berapa unit sampling yang harus

diambil dari populasi. Disesuaikan dengan ukuran sampel dengan

populasi yang ada sehingga pengambilan sampel dapat mewakili

secara proporsional.

h. Tentukan cara sampling yang akan ditempuh sehingga sampel yang

diambil representatif atau mewakili dari populasi.

i. Tentukan cara pengumpulan data yang mana yang akan dipilih oleh

Anda, apakah wawancara langsung, dengan daftar isian, meneliti

langsung, atau pengumpulan dari sumber-sumber yang sudah ada.

j. Tentukan analisis yang akan dipakai yang sesuai dengan data yang

telah diambil. Jangan sampai metode analisis dengan data yang

diperoleh tidak tepat metodenya, sehingga metode analisis tersebut



dipaksakan daat digunakan pada datavtersebut walaupun tidak

sesuai antara bentuk data dengan metode analisis.

k. Meyediakan biaya sesuai dengan penelitian yang akan dilakukan

beserta bantuan dari tim ahli baik untuk bantuan tetap maupun

hanya untuk berkosultasi.

2. Keputusan Sampling Diterima

Sub materi kedua ini kita akan membahas tentang penerimaan

sampling diterima. Dengan inspeksi atau kontrol dilakukan dalam

tahapan proses produksi untukmengontrol bahan baku, proses produksi

yang sedang berjalan, hasil produksi bahkan oleh konsumen. Semuanya

ditujukan untuk mengetahui apakah yang dikontrol itu sesuai dengan

kriteria yang telah ditentukan. Hampir semua inspeksi atau kontrol

berdasarkan pengambialn sampel, sehingga inspeksi untuk mengontrol

disebut juga sampel penerimaan atau sampling penerimaan.

Bagaimana mengambil sampel penerimaan agar dapat diambil

kesimpulan untuk populasi. Inspeksi dalam arti memilih yang baik di

antara hasil produksi tidak menjamin bahwa hasil produksi semua baik.

Cara terbaik adalah dengan memproduksi barang yang baik sesuai

dengan syarat yang disepakati oleh pihak konsumen atau pemesan

dengan pihak produsen. Jika produsen tidak menghasilkan barang yang

baik dan konsumen akan melakukan inspeksi pada barang hasil

produksinya, maka dapat terjadi penolakan kiriman barang. Untuk itulah

produsen harus memproduksi barang sesuai dengan kriteria yang

diinginkan oleh konsumen sehingga pengiriman barang akan diterima

dengan baik dengan syarat – syarat yang sudah dikendaki oleh kedua

belah pihak yaitu pihak produsen dan pihak konsumen.

Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan untuk

penyampelan penerimaan yaitu :

N : banyaknya produk yang akan diuji kualitasnya

n : banyaknya produk yang diamati ( besarnya sampel)

M : banyaknya produk yang cacat dalam N

m : banyaknya produk yang cacat dalam n

c : bilangan penerimaan, yaitu banyaknya cacat maximum yang terdapat

dalam sampel (n) sehingga kiriman (N) diterima.

p = fraction defectif, perbandingan antara banyaknya cacat dan

banyaknya produk untuk populasi yaitu

(14.1)

sedangkan untuk sampel yaitu

(14.2)



p' : fraction defectif yang benar untuk produk yang diinfeksi.

: rata – rata fraction defectif dari sampel – sampel yang diamati

pa : probabilitas penerimaan

: resiko konsumen , yaitu probabilitas penerimaan kiriman dengan

kualitas tidak semestinya.

: resiko produsen , yaitu probabilitas penolakan kiriman dengan

kualitas semestinya.

Perumusan untuk menentukan kiriman diterima adalah

(14.3)

Perumusan untuk menentukan kiriman ditolak adalah

(14.4)

Untuk lebih jelasnya perhatikanlah oleh Anda persoalan berikut ini.

Contoh 14.1.

Seandainya pabrik kapal menerima kiriman suatu kotak berisi 1000

skrup dengan perjanjian kualitas 1% cacat. Sebelum kiriman itu diterima

disetujui untuk dicek kualitasnya lebih dulu dengan cara diambil 10

skrup dari kotak itu secara acak. Jika terdapat paling banyak sebuah

sekrup yang cacat di antara 10 sekrup yang diuji maka kiriman itu

diterima. Produsen skrup atau pengirim mengadakan manipulasi

kualitas mengirim dari 1000 sekrup itu dengan memasukkan 20 sekrup

yang cacat. Harapan produsen kiriman itu dapat diterima.

Penyelesaian 14.1.

N = 1000

n = 10

M = 20

m = 0, 1, ..., 10

p = 20/1000 untuk populasi

p = m/10 untuk sampel

p’ = 1%

Besarnya probabilitas penerimaan yaitu :

∑



Probabilitas penerimaan kiriman dengan kualitas semestinya pada

contoh ini produsen mengirim dengan kualitas 2% cacat( tidak

semestinya) , tetapi meskipun demikian masih ada kemungkinan kiriman

itu diterima.

Besarnya probabilitas penolakan kiriman yaitu :

∑

∑

∑

Probabilitas penolakan kiriman dengan kualitas semestinya jadi

seandaianya produsen mengirim dengan kualitas 1% cacat tapi masih

ada kemungkinan untuk ditolak.

C. TUGAS

PETUNJUK :


Kualitas.




Statistik Pengendalian Kualitas ke email : [email protected]

paling lambat sebelum UAS.


TUGAS :

Selesaikanlah soal tugas berikut ini :

1. Sebutkanlah teori sampling yang Anda ketahui dan jika ada 2000

populasi maka tentukanlah banyaknya sampel yang akan diambil

dengan sampling yang Anda gunakan?




2. Seandainya pabrik kapal menerima kiriman suatu kotak berisi 8000

skrup dengan perjanjian kualitas 1,5% cacat. Sebelum kiriman itu

diterima disetujui untuk dicek kualitasnya lebih dulu dengan cara diambil

70 skrup dari kotak itu secara acak. Jika terdapat paling banyak dua

sekrup yang cacat di antara 70 sekrup yang diuji maka kiriman itu

diterima. Produsen skrup atau pengirim mengadakan manipulasi

kualitas mengirim dari 8000 sekrup itu dengan memasukkan 120 sekrup

yang cacat. Harapan produsen kiriman itu dapat diterima.

D. REFERENSI





Praptono. 1986. Statistika Pengawasan Kualitas. Jakarta: Karunia





GLOSARIUM

Mean : nilai rata – rata

Median : nilai tenga setelah diurutkan dari sebuah data

Modus : nilai yang sering muncul

Persentil : nilai batas pada 4 bagian yang sama pada deret data yang tersusun dari kecil ke

besar.

Desil : nilai batas pada 10 bagian yang sama pada deret data yang tersusun dari kecil ke

besar.

Persentil : nilai batas pada 100 bagian sama pada deret data yang tersusun dari kecil ke

besar.

Jangkauan : nilai selisih terkecil dengan terbesar

Momen : nilai statistik yang berada pada nilai tertentu yang menjadikan rujukan utama pada

rumus yang lainnya.

Frekuensi : jumlah munculnya sebuah data

Populasi : jumlah keseluruhan data yang menjadi pusat pembicaraan atau penelitian.

Sampel : bagian jumlah data dari sebuah populasi.

Kartu kendali : kartu yang menjadi ukuran sebuah data terkendali atau tidak untuk

menentukan sebuh kualitas sebuah produk.



DAFTAR PUSTAKA


Supangat, Andi. 2010. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan Nonparametrik. Jakarta:

Kencana.


Praptono. 1986. Statistika Pengawasan Kualitas. Jakarta: Karunika Universitas Terbuka.


RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER

( R P S )

Program Studi : S-1 Matematika Mata Kuliah/Kode : Statistik Pengendalian Kualitas/MAT07245

Semester : 7 Kurikulum : KBK

Prasyarat : Statistik Elementer SKS : 2 SKS

Deskripsi Mata Kuliah : Mata kuliah statistik elementer merupkan mata kuliah

wajib di Program Studi Matematika S1 yang membahas

tentang dasar statistik, Penyimpangan; Momen,

Skweness, Kurtosis, Distribusi Binomium; Uji Tingkat

Keyakinan; Variasi Proses; Kartu Kendali produk dan

atribut; Evaluasi Kartu Kendali; Pemeriksaan Kualitas

Produk; dan kriteria sampling diterima.

Capaian Pembelajaran

: Setelah mempelajari mata kuliah ini

mahasiswa diharapkan mampu menentukan

pengambilan sampling produk dan

membuat kartu kendali (control chart)

berdasarkan statistik untuk pengendalian

kualitas produk di industri dengan tepat.

Penyusun : 1. Aden, S.Si., M.Pd. (Ketua)

2. Tabah Heri Setiawan, S.Si., M.Pd. (Anggota 1)

3. Ilmadi, S.Pd.I., M.Pd. (Anggota 2)

Pertemuan

ke-

Kemampuan akhir yang

diharapkan

Bahan kajian

Materi ajar

Metode

Pembelajaran

Pengalaman belajar

mahasiswa Kriteria penilaian Bobot nilai

1 Setelah mempelajari

pertemuan ke-1 mahasiswa

mampu menentukan nilai

statistik dasar dengan tepat.

Statistik Dasar Simulasi Penugasan 1

Ketepatan jawaban 3%



mampu menentukan nilai

penyimpangan dengan tepat.

Penyimpangan Simulasi Penugasan 2

Ketepatan jawaban 5%


pertemuan ke-3 diharapkan

mahasiswa mampu

menentukan momen dengan

tepat disekitar varibel.

Momen

Simulasi Penugasan 3 Ketepatan Jawaban 6%



mampu menentukan Skewness

dan Kurtosis dengan tepat

Skewness, dan

Kurtosis

Simulasi Penugasan 4

Ketepatan Jawaban 6%



mampu menganalisa bentuk

Distribusi Binomium Simulasi Penugasan 5


Distribusi binomium dengan

tepat



mampu menentukan Uji

Tingkat keyakinan dengan

tepat

Uji Tingkat

keyakinan





mampu menganalisa Variasi

Proses

Variansi



8 UTS

9 Setelah mempelajari pertemuan

ke-9 mahasiswa mampu

mendeskripsikan statistik

pengendalian kualitas

Statistik

pengendalian

kualitas

Diskusi Penugasan 8

Mampu mengungkapkan

deskripsi statistik

pengendalian kualitas

minimal 2 ahli/ sumber

4%



membuat Kartu Kendali Produk

bentuk rata-rata dengan baik

dan berkualitas

Kartu Kendali

Produk Bentuk rata-

Rata





membuat Kartu Kendali Produk

Bentuk jangkauan dan standar

deviasi dengan baik dan

berkualitas

Kartu Kendali

Produk Bentuk

jangkauan dan

Standar deviasi





membuat Kartu Kendali Atribut

Kartu Kendali

Atribut





mampu mengevaluasi Kartu

Kendali dengan te[at dan jujur.

Evaluasi Kartu

Kendali





mampu memutuskan hasil

pemeriksaan kualitas produk

dengan jujur dan tepat.

Pemeriksaan

Kualitas Produk





merekomendasikan kriteria

sampling diterima.

Kriteria Sampling

Diterima



16 UAS

Referensi/Sumber :

1. Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung: Tarsito.

2. Supangat, Andi. 2010. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan Nonparametrik. Jakarta: Kencana.

3. Sugiyono. 2012. Statistik untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

4. Praptono. 1986. Statistika Pengawasan Kualitas. Jakarta: Karunika Universitas Terbuka.

5. Ronal E. Walpole. 1993. Pengantar Statistika. Jakarta : Gramedia.

6. Schaum series, Murray R Spiegel,” Statistics, theory & problems” McGraw-Hill

7. Everett E. Adam Jr., Ronald J. Ebert ,”Production and Operations Management, Concept, Models and Behavior”

8. Roberta S. Russel dan Bernard W. Taylor III ,”Operation Management, Focusing on Quality and Competitiveness”

Tangerang Selatan, Maret 2019

Ketua Program Studi

S-1 Matematika

Ketua Tim Teaching

Statistik Pengendalian Kualitas

(Dr. Hendro Waryanto, S.Si., M.M. ) (Aden, S.Si., M.Pd.)

NIDN. 0405057102 NIDN. 0411118401

statistik pengendalian kualitas - eprints.unpam.ac.ideprints.unpam.ac.id/8089/2/mat07245_modul...

Documents