bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik
DESCRIPTION
bahan ajar ini dibuat olh dosen untuk memudahkan pembelajaran metode numerikTRANSCRIPT
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat dalam Komputasi Numerik (Lanjutan)
• Notasi Ilmiah
• Titik Mengambang
• Galat dalam Komputasi Numerik
• Angka Signifikan
• Machine epsilon
• Satuan Pembulatan
• Pemangkasan dan Pembulatan
• Loss of significant error
• Perambatan Galat
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 1
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Notasi Ilmiah (Scientific Notation)
• Cara baku untuk menyajikan bilangan real �disebut notasi ilmiah, dapat dinyatakan dalam
bentuk
� = ±� × 10�; 1 ≤ � ≤ 10.Dengan � disebut mantissa (mantis) dan disebut exponent (pangkat).
Contoh: 0.000342 = 3.42 × 10��
13.642 = 1.3642 × 10�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 2
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang (Floating Point)
• Setiap bilangan � dalam sistem titik
mengambang direpresentasikan sebagai:
� = ± �� + ��� + ��
�� + ⋯ + �������� �� ,
0 ≤ �� ≤ � − 1; = 0, … , " − 1; # ≤ $ ≤ %dengan ���� ⋯ ���� disebut mantissa dan $disebut exponent.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 3
1. Galat dalam Komputasi Numerik
� Base or radix
" Precision (the number of digits from
which a value is expressed).
[#, %] Exponent range
Contoh:
IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 4
System ( " # %IEEE SP
IEEE DP
Cray
HP calculator
IBM mainframe
2
2
2
10
16
24
53
48
12
6
-126
-1,022
-16,383
-499
-64
-127
-1,023
-16,384
499
63
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang Desimal
(Decimal Floating Point)
� = ) ∙ + ∙ 10� , ) = ±1; 1 ≤ + < 10; $ ∈ ℤ
Contoh:
503 = (1.66666 ⋯ )��∙ 10�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 5
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang Normal
(Normalized Floating Point)
• Decimal Floating Point
• Binary Floating Point
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 6
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Decimal Floating Point:
� = ) ∙ + ∙ 10� , ) = ±1; 0.1 ≤ + < 1; $ ∈ ℤContoh:• 3.4108 = 0.34108 ∙ 10�• 13.642 = 0.13642 ∙ 10�
• Binary Floating Point:
� = ) ∙ + ∙ 2� , ) = ±1; 0.5 ≤ + < 1; $ ∈ ℤContoh:• 53/24 = 0.110101 = 0.1101 ∙ 2�• 1/10 = 0.000110011 = 0.1101 ∙ 2�4
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 7
1. Galat dalam Komputasi Numerik
IEEE Floating Point Standard
• Dengan presisi tunggal (single precision/SP),
suatu bilangan � dapat dituliskan dalam bentuk :
56 � = ) ∙ 1. 7�7� ⋯ 7�4 � ∙ 2�
Mantissa or Significand
+ = 1. 7�7� ⋯ 7�4 �; 1 ≤ + < 2
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 8
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Untuk memahami limit dari $ serta bilangan biner
yang dipilih untuk merepresentasikan + perlu
diketahui bagaimana bilangan � tersebut
disimpan dalam komputer
• Pada dasarnya ) disimpan sebagai 1 bit,
significand + dalam 23 bits, serta exponent $yang dapat berupa bilangan bulat positif atau
negatif menempati 8 bits sisanya.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 9
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Dengan demikian, $ haruslah memenuhi
− 1111111 � ≤ $ ≤ 1111111 �−127 ≤ $ ≤ 127
Namun dalam prakteknya
−126 ≤ $ ≤ 127untuk alasan penyimpanan bilangan nol atau
takhingga.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 10
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat (kesalahan) dalam Proses Komputasi Numerik
• Kesalahan dapat terjadi akibat adanya
perbedaan antara bilangan � dan
representasinya dalam komputer, 56(�). • Kesalahan ini dapat dihindari, $9 = � − 56 � = 0,
bila � dapat direpresentasikan dalam komputer
tanpa mengubah apapun.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 11
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Definisi Galat (Error)
• Andaikan �: adalah nilai bilangan yang
sebenarnya dan �; adalah nilai hasil
representasinya, maka suatu kesalahan di �;dituliskan sebagai :
$<<=< �; = �: − �;dan kesalahan relatifnya dituliskan dalam bentuk:
<$6 �; = $<<=< �;�:
= �: − �;�:
= 1 − �;�:
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 12
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
Jika �: = > dan �; = �?@ , maka
$<<=< �?@ = $ − �?
@ = 0.003996dan
<$6 �?@ = 0.00147
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 13
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Angka Signifikan (Significant Digit)
• Misalkan suatu hampiran bilangan � dinyatakan
sebagai:
�; = ±������ ⋯ ����. ������ ⋯ ��B
= ± C �D10D�
DE�BJika �D > 0 dan �G = 0 untuk H > I, maka digit-
digit �D , �D��, … , ��B dikatakan angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 14
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Bilangan 25.047 memiliki 5 angka signifikan.
• Bilangan -0.00250 memiliki 3 angka signifikan.
• Bilangan 0.000068 memiliki 2 angka signifikan.
• Bilangan 0.100068 memiliki 6 angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 15
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Misalkan � adalah nilai eksak. Hampiran �̅ untuk
�, dikatakan menghampiri � sampai I angka
signifikan jika I adalah bilangan bulat positif
terbesar yang memenuhi
$9̅� = � − �̅
� < 10�D2 .
Contoh:
� = 3.141592 dan �̅ = 3.14, maka
� − �̅� = 0.000507 ≈ 10�4
2Jadi, �̅ menghampiri � sampai 3 angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 16
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
L = 1000000 dihampiri oleh LM = 999996, maka
L − LML = 0.000004 ≈ 10�N
2Jadi, LM menghampiri L sampai 5 angka signifikan.
Contoh:
O = 0.000012 dihampiri oleh O̅ = 0.000009, maka
O − O̅O = 0.25 ≈ 10��
2Jadi, hampiran O̅ tidak memiliki angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 17
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Machine Epsilon
• Andaikan L adalah bilangan terkecil yang lebih
dari 1 yang dapat direpresentasikan dalam suatu
komputer aritmatika, maka P = L − 1 disebut
machine epsilon.
• Ini digunakan sebagai ukuran akurasi untuk
merepresentasikan bilangan dalam komputer.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 18
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Bilangan 1 memiliki representasi floating point
yang sederhana sebagai berikut :
1 = (1.000 ⋯ 0)�∙ 2�
• Bilangan terkecil yang > 1 adalah :
1 + 2��4 = (1.00 ⋯ 01)�∙ 2� > 1• Dengan demikian, machine epsilon dalam IEEE
floating point presisi tunggal adalah :
P = 2��4 = 1.19 ∙ 10�@
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 19
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Satuan Pembulatan
• Andaikan Q > 0 adalah bilangan terkecil yang
dapat direpresentasikan dalam mesin komputer,
serta 1 + Q > 1 dalam aritmatika mesin.
• Untuk sembarang 0 < R < Q, maka hasil dari
1 + R = 1 dalam aritmatika mesin.
• Dengan demikian, dalam representasi floating
point pada mesin, R dapat diabaikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 20
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Tidaklah sulit untuk menentukan besarnya Q.
Angka 1 memiliki representasi floating point
berikut :
1 = (1.000 ⋯ 0)�∙ 2�
• Bilangan terkecil yang dapat ditambahkan ke
angka 1 tanpa dapat diabaikan adalah :
1 + 2��4 = (1.00 ⋯ 01)�∙ 2� > 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 21
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Pada tahap ini perlu ditentukan apakah akan
digunakan aritmatika pemangkasan (chopping)
atau pembulatan (rounding).
• Dengan pemangkasan diperoleh:
Q = 2��4
• sedangkan dengan pembulatan diperoleh:
Q = 2���
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 22
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pemangkasan dan Pembulatan dalam Sistem Desimal
• Andaikan O adalah suatu bilangan desimal
dengan representasi dalam floating point seperti
berikut :
O = ) ∙ + ∙ 10� = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10�
dengan 7� ≠ 0sehingga terdapat digit desimal
pada significand
+ = 7�. 7� ⋯ 7� ��
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 23
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Secara umum, bila diberikan suatu bilangan
� = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� ⋯ �� ∙ 10� , 7� ≠ 0Penulisan � perlu dibuat lebih pendek agar muat
dalam komputer. Hal ini dapat dilakukan melalui
proses pemangkasan atau pembulatan.
• Bila dilakukan pemangkasan, maka representasi
floating point dari � adalah :
56 � = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10� , 7� ≠ 0
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 24
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Bila dilakukan pembulatan, maka perlu
diputuskan pembulatan ke atas atau ke bawah.
• Formula yang sederhana adalah sebagai berikut:
56 � = T ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10� , 7�U� < 5) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� + 0.0 ⋯ 1 �� ∙ 10� , 7�U� ≥ 5
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 25
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pemangkasan dan Pembulatan dalam Sistem Biner
• Andaikan
� = ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� ⋯ � ∙ 2�
dengan 7� = 0atau 7� = 1, maka pemangkasan
yang dilakukan pada � menghasilkan bilangan
dalam floating point berikut :
56 � = ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � ∙ 2�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 26
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Pembulatan ke atas atau ke bawah yang
dilakukan pada � menghasilkan bilangan dalam
floating point berikut :
56 � = T ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � ∙ 2� , 7�U� = 0) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � + 0.0 ⋯ 1 � ∙ 2� , 7�U� = 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 27
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Loss of Significant Error
• Kesalahan ini dapat terjadi sebagai akibat dari
keterbatasan kalkulator atau komputer yang kita
miliki.
• Sebagai contoh, didefinisikan fungsi berikut :
5 � = � W�<" � + 1 − W�<" �• Fungsi tersebut akan dievaluasi di kalkulator
dengan 6 digit desimal yang menggunakan
sistem aritmatika pembulatan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 28
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Hasilnya diberikan pada tabel berikut :
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 29
X Computed Y(X) True Y(X)1
10
100
1000
10000
100000
.414210
1.54340
4.99000
15.8000
50.0000
100.000
.414214
1.54347
4.98756
15.8074
49.9988
158.113
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Penyelesaian persamaan �� − 26� + 1 = 0adalah
�:(�) = 13 + W�<" 168 ,
�:(�) = 13 − W�<" 168
dengan W�<"(168) = 12.961 (benar sampai 5
digit). Ini berarti:
W�<" 168 − 12.961 ≤ .0005
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 30
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• selanjutnya, didefinisikan:
�;(�) = 13 + 12.961 = 25.961,�;
(�) = 13 − 12.961 = .039• Untuk kedua akar persamaan tersebut berlaku:
�: − �; ≤ .0005• Namun demikian, kesalahan relatifnya:
Z$6 �;(�) ≤ .0005
25.9605 = 3.13 × 10�N
Z$6 �;(�) ≤ .0005
.0385 = .0130James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 31
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Ini dapat terjadi karena loss of significant error
pada proses perhitungannya yang dapat
diperkecil dengan mengambil :
�;(�) = 1
13 + W�<"(168) = 125.961
• Bila suatu bilangan dikurangi dengan bilangan
yang hampir sama, akan terjadi loss of significant
error pada proses perhitungannya.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 32
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Perambatan (Propagasi) Galat
• Evaluasi suatu fungsi 5(�) pada mesin seringkali
tidak menghasilkan 5(�) melainkan suatu nilai
hampirannya, 5[(�)• Kemudian andaikan, �; ≈ �: , maka untuk
mengevaluasi 5(�:), bisa jadi kita menghitung
5[(�;).• Dengan demikian terjadi kesalahan sebesar :
5 �: − 5[ �; = 5 �: − 5 �; + 5 �; − 5[ �;
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 33
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Besaran 5 �; − 5[ �; biasanya disebut noise,
sedangkan besaran 5 �: − 5 �; disebut
kesalahan karena propagasi.
• Bila 5 adalah fungsi yang mempunyai turunan,
maka dengan menggunakan teorema nilai
tengah diperoleh :
5 �: − 5 �; = 5\ ] (�: − �;)• Atau karena ] terletak di antara �: dan �;,
sedangkan �: sedemikian dekat dengan �;,
maka :
5 �: − 5 �; ≈ 5\ �: (�: − �;)James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 34