II BAHAN AJAR

BAB I

1PENGANTAR METODE NUMERIK

A. Kompetensi Dasar

1. Konsep dasar metode numerik

2. Keunggulan dan keterbatasan metode numerik

B. Pendahuluan

Metode numerik digunakan untuk meyelesaikan persamaan-persamaan dengan

pendekatan angka. Dimana semua variabel akan dihitung harga-harganya.

Perhitungan metode numerik lebih banyak dilakukan dengan cara iterasi. Pendekatan

yang dilakukan ini akan sangat membantu untuk menyelesaikan persamaan-

persamaan yang kompleks, tanpa perlu melakukan manipulasi matematis yang rumit.

C. Pembahasan Materi Ajar

1.1 Mengapa Menggunakan Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan

mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang

terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian

atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan

dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral berikut

ini

L=∫0

1sin(x )

xdx

Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral

tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin.

Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja

menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan

pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Padahal integral di

atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik, khususnya

pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi pola

radiasi.

1

Gambar 1.1 Kurva y=sinc(x)

Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang

dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode tersebut tidak

dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah mendekati nilai yang

diharapkan.

Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier

y=x2+exp(x) sebagai berikut :

Gambar 1.2 Kurva y = x2 + exp(x)

Perhatikan kurva y=x2+exp(x) memotong sumbu X di antara –1 dan –0.5, tetapi untuk

menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan

menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan

metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan

benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan

analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.

Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik yang

dapat mewakili suatu data seperti berikut:

Gambar 1.3 Kurva Pendekatan

Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang kecil

(<20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali dilakukan

karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah digunakan

perhitungan komputer, dan pemakaian metode numerik mejadi penting artinya untuk

menyelesaikan permasalahan ini.

Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan pemakaian

komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka pemakaian

metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat

dimengerti oleh komputer. Sehingga metode numerik yang memang berangkat dari

pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian

persoalan-persoalan perhittungan yang rumit. Telah banyak yang menawarkan

programprogram numerik ini sebagai alat bantu perhitungan.

Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan perhitungan

dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk menghasilkan

penyelesaian yang baik adalah :

(1) Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema analisa

matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut,

maka penyelesaian matematis (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang

harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode

pendekatan.

(2) Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara

matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat

digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.

(3) Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas

tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian

dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

1.2 Prinsip-Prinsip Metode Numerik

Seperti telah dibahas di atas, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan

persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik

ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan

menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara

analitik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat

dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis

matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran

analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan

pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang

dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam

algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan.

Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang

dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh hasil yang main

mendekati nilai penyelesaian exact.

Perhatikan salah bentuk formulasi dalam metode numerik adalah: xn = xn-1 + δxn-1

Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan

ditambah δxn-1 yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa

semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai

exact atau semakin baik hasil yang diperoleh.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai hasil

perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa metode

numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam pemakaian

algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini

tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat

kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah persoalan-

persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan

metode analitik, antara lain:

Menyelesaikan persamaan non linier

Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel

Menyelesaikan differensial dan integral

Interpolasi dan Regresi

Menyelesaikan persamaan differensial

Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

D. Rangkuman

Metode numerik tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat)

Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan yang

sudah mempunyai nilai pasti (definite value) untuk masing-masing variabelnya

Metode numerik menggunakan metode interasi untuk mendapatkan hasil yang

mendekati nilai yang tepat (exact)

E. Tugas

1. Sebutkan perbedaan antara metode numerik dan analitik

2. Kebutkan keuntungan dan keterbatasan pemakaian metode numerik

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS

---, Metode Numerik, Acuan Kuliah, Politeknik, ITS

BAB II

2KONSEP BILANGAN DAN KESALAHAN

A. Kompetensi Dasar

1) Konsep angka pasti dan notasi ilmiah

2) Kesalahan perhitungan angka dalam metode numerik

B. Pendahuluan

Angka pasti/signifikan adalah angka yang sudah pasti kebenarnya. Meskipun begitu,

dalam kenyataannya penentuan nilai suatu besaran tidak akan tepat menunjuk satu

angka yang pasti. Hal ini terjadi karena faktor skala terkecil yang ada pada suatu alat

ukur.

Kelemahan penulisan angka akan membawa dampak pada perhitung hasil suatu

persoalan yang diselesaikan dengan metode numerik.

C. Pembahasan Materi Ajar

2.1 Nilai Signifikan

Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai

tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :

Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip,

dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. Bila

penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh

jarum :

Jika diinginkan 1 angka dibelakang koma, maka kita masih bisa memperkirakan kira-

kira nilainya 59.2 atau mungkin 59.3. Adanya keterbatasan penggaris tadi

menyebabkan kita tak dapat memastikan, berarti menduga saja, untuk digit ketiga

(digit kedua di belakang koma). Jadi menggelikan sekali kalo dapat diperkirakan

bahwa jarum menunjukkan angka 59.23454368721.

Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik.

Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan

kita. Untuk penggaris di atas, maka mengandung taksiran 3 angka signifikan.

Beberapa angka 0 tak selamanya angka signifikan, karena mereka diperlakukan

sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Jadi bilangan-bilangan 0,00001845 lalu

0,0001845 lalu 0,001845 semuanya memiliki 4 angka signifikan.

Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tak jelas berapa

banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit

signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian

itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah dimana 4,53 × 104 atau 4,530 ×

104 dan 4,5300 × 104 menandakan bahwa angka-angka tersebut memiliki 3, 4, dan 5

angka signifikan.

2.2 Implikasi dari angka signifikan:

Metode Numerik mengandung hasil pendekatan. Keyakinannya ditentukan oleh angka

signifikan.

Pernyataan secara eksak besaran-besaran yang signifikan seperti π, dibatasi oleh tipe

data yang dapat disimpan oleh komputer sampai sejumlah digit tertentu, selebihnya

diabaikan. Pengabaian ini dinamakan dengan kesalahan pembulatan (round-off error).

Jenis-Jenis Kesalahan Nilai Angka

Kesalahan di dalam metode numerik dapat dibagi menjadi empat macam yaitu:

a. Kesalahan pembulatan ( round of error)

b. Kesalahan pemotongan ( truncation error )

c. Kesalahan iterasi (iteration error)

d. Kesalahan pendekatan (approximation error)

2.2.1 Kesalahan Pembulatan

Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan atau

pngurangan angka desimal, misalnya 0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.

Besaran angka akibat pembulatan ditentukan dengan aturan:

Jika angka yang dihilangkan kurang dari setengah, maka angka terakhir yang tersisa

tidak berubah (pembulatan ke bawah).

Jika angka yang dihilangkan lebih dari setengah, maka angka terakhir yang tersisa

akan ditambah satu (pembulatan ke atas)

Jika angka yang akan dihilangkan tepat setangah, maka dilihat angka didepannya. Jika

didepannya kirang dari 5 maka dilakukan pembulatan ke bawah dan sebaliknya.

Aturan ini dibuat agar pembulatan ini akan dapat dilakukan pada daerah rata-rata

angka yang dihilangkan.

Pembulatan tidak dianjurkan, karena kesalahan-kesalahan ini akan terakumulasi.

Kesalahan yang semua kecil akan dapat menjadi besar terutama dalam metode

numerik dimana kesalahan itu akan berjalan secara sistematik.

2.2.2 Kesalahan Pemotongan

Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat

dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan. Kesalahan numerik adalah kesalahan

yang timbul karena adanya proses pendekatan.

Kesalahan pemotongan juga terjadi pada saat iterasi. Jika proses iterasi dihentikan

pada saat hasilnye belum konvergen, maka kesalahan perhitungan yang terjadi akan

lebih besar daripada syarat kesalahan terkecil yang diperbolehkan.

Salah satu contoh kesalahan akibat pemotongan dalam penyelesaian analitik adalah

sistem deret Taylor. Pada proses perhitungan, deret taylor ini tidak akan pernah

dihitung sampai suku ke takterhingga. Karena itu suku terakhir dari deret adalah

residu atau pendekatan kesalahan akibat pemotongan deret Taylor.

2.2.3 Kesalahan iterasi

Kesalahan iterasi adalah kesalahan dari penggunaan metode iterasi untuk menghitung

penyelesaian eksak. Kesalahan ini bersifat asimtotik, dimana kesalahan ini akan terus

berkurang sampai dengan nol. Kesalahan ini digunakan selam proses iterasi untuk

menentukan harga pendekatan yang selanjutnya pada proses iterasi. Besarnya

kesalahan iterasi yang dapat diterima ditentukan selama proses iterasi. Berbagai

metode dikembangkan untuk mempercepat konvergensi suatu proses iterasi.

2.2.4 Kesalahan pendekatan

Kesalahan pendekatan adalah perbedaan antara solusi eksak dari suatu persoalan

eksak dan hasil eksak dari persoalan pe ndekatan. Kesalahan pendekatan dapat

dikurangi dengan memilih pendekatan yang lebih akurat. Hal ini sangat erat

hubungannya dengan asumsi yang dipilih ketika melakukan suatu pemodelan

masalah.

2.3 Notasi Kesalahan

Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :

∊ = x + ~x

dimana : x = nilai yang sebenarnya ( nilai eksak )

~x = nilai pendekatan yang dihasilakan dari metode numerik

=∊ kesalahan

Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui, yang didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap lebih akurat, yaitu lebih mendekati nilai sebenarnya, maka kesalahan yang dihitung yaitu:

kesalahan mutlak = | perkiraan – nilai sebenarnya |

kesalahan mutlak semu = | perkiraan sebelum – perkiraan berikut |

perkiraan – nilai sebenarnya

nilai sebenarnya

perkiraan sebelum - perkiraan berikut

perkiraan berikut

kesalahan relatif semu =

kesalahan relatif =

Proses iterasi suatu perhitungan dengan menggunakan metode numerik akan dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

D. Rangkuman

Basarnya angka pasti dipengaruhi oleh skala pada alat ukur yang digunakan.

Metode numerik menggunakan metode pendekatan dan iterasi, sehingga akan

muncul kesalahan dalam menghasilkan nilai akhir.

Besarnya kesalahan yang dapat ditolerir ditentukan oleh banyaknya angka pasti

yang akan dihasilkan.

E. Tugas

1. Tulis 98.17, -100.987, 0.0067564, dan -89700 dalam notasi ilmiah

2. Selesaikan persmaan kuadrat berikut: x2 -20x +1 = 0, sampai 4 angka penting:

3. Hitung 0.36443/(17.862-17.798) dengan terlebih dahulu membulatkannya sampai

4, 3 dan 2 angka penting.

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS

---, Metode Numerik, Acuan Kuliah, Politeknik, ITS

BAB III

3PERSAMAAN NON LINIER

A. Kompetensi Dasar

1) Pemahaman tentang persamaan non-linier

2) Konsep dasar penentuan titik potong di sumbu x mnggunakan metode numerik

3) Pemahaman metode biseksi, regula falsi, satu titik sederhana, Newton Raphson

dan metode Secant

B. Pendahuluan

Banyak permasalahan di bidang teknik dan sains memerlukan solusi dari persamaan

non-linier. Persamaan non-linier f(x) dapat berupa persamaan aljabar, persamaan

transendental, persamaan diferensial, atau suatu korelasi non linier antara input x dan

output y.

Ada dua lanhkah untuk menetukan akar persamaan non linier, yaitu pembatasan akar

dan pendekatan nilai akar agar memenuhi akurasi yang diinginkan. Beberapa metode

pancarian akar persamaan non linier akan dibahas pada bab ini.

C. Pembahasan Materi Ajar

3.1 Permasalahan Persamaan Non Linier

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non

linier.Dimana akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan

nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong

antara kurva f(x) dan sumbu X.

Gambar 3.1. Penyelesaian persamaan non linier

Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat

dihitung dengan :

mx + c = 0 sehingga x = (-c/m)

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ABC.

x1,2=−b ±√b2−4ac

2 a

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema

sisa.Sehingga tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya, karena

metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan

x– e-x= 0

Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan

metode pencarian akar harus dilakukan secara berulang-ulang.

Theorema 3.1.

Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau

memenuhi f(a).f(b)<0

Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:

Karena f(a).f(b)<0 maka pada

range x=[a,b] terdapat akar.

Karena f(a).f(b)>0 maka pada

range x=[a,b] tidak dapat dikatakan

terdapat akar.

Gambar 3.2 Penentuan akar persamaan

Secara sederhana, untuk menyelesaikan persamaan non linier dapat dilakukan dengan

menggunakan metode table atau pembagian area.Dimana untuk x = [a,b] atau x di

antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung

nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :

x f(x)x0=a f(a)

x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)

…… ……xn=b f(b)

Dari tabel ini, bila ditemukan f(xk)=0 atau mendekati nol maka dikatakan bahwa xk

adalah penyelesaian persamaan f(xk)=0.Bila tidak ada f(xk) yang sama dengan nol,

maka dicari nilai f(xk) dan f(xk+1) yang berlawanan tanda, bila tidak ditemukan maka

dikatakan tidak mempunyai akar untuk x = [a,b], dan bila ditemukan maka ada 2

pendapat untuk menentukan akar persamaan, yaitu :

Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat, bila |f(xk)| ≤ |f(xk+1)|

maka akarnya xk, dan bila |f(xk+1)|<|f(xk)| maka akarnya xk+1.

Akarnya perlu di cari lagi, dengan range x = [ ] xk , xk+1 . Secara grafis, metode

table ini dapat dijelaskan untuk x = [a,b], fungsi f(x) dibagi menjadi N bagian seperti

gambar berikut :

Gambar 3.3. Metode Tabel

Gambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi x = [a,b]

sebanyak-banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan

nilai x dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F(x) = 0.

Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang

kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier,

Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian

yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan

penyelesaian.

Contoh:

Selesaikan persamaan xe-x +1 = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, hal pertama yang harus dilakukan adalah

menaksir range yang tepat, dengan cara menggambarkan fungsi dalam bentuk grafik

(gambar 3.3)

Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaan berada pada range [−0.6,−0.5].

Dari range ini dibuat table dengan membagi range menjadi 10 bagian sehingga

diperoleh :

x f(x)-0,60 -0,09327-0,59 -0,06435-0,58 -0,03590-0,57 -0,00791-0,56 0,01962-0,55 0,04671-0,54 0,07336-0,53 0,09957-0,52 0,12535-0,51 0,15070-0,50 0,17564

Dari table tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara –0,57 dan

–0,56, atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar

persamaan terletak di x = -0,57 dengan F(x) = -0,00791.

3.2 Metode Biseksi.

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.Hanya

saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih

bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal

ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 3.4. Metode Biseksi

Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan

batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah :

x=a+b2

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu

range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :

f(a) * f(b) < 0

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di

perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Contoh :

Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[−1,0], maka

diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

iterasi A

BX

f(x) f(a) Keterangan

1 -1 0 -0,5 0,175639 -1,71828 berlawanan tanda 2 -1 -0,5 -0,75 -0,58775 -1,71828 3 -0,75 -0,5 -0,625 -0,16765 -0,58775 4 -0,625 -0,5 -0,5625 0,012782 -0,16765 berlawanan tanda 5 -0,625 -0,5625 -0,59375 -0,07514 -0,16765 6 -0,59375 -0,5625 -0,57813 -0,03062 -0,07514 7 -0,57813 -0,5625 -0,57031 -0,00878 -0,03062 8 -0,57031 -0,5625 -0,56641 0,002035 -0,00878 berlawanan tanda 9 -0,57031 -0,56641 -0,56836 -0,00336 -0,00878 10 -0,56836 -0,56641 -0,56738 -0,00066 -0,00336

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066

Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error

atau iterasi maksimum.

Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001

dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errorny) maka semakin bear

jumlah iterasi yang dibutuhkan.

3.3 Metode Regula Falsi

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan

kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi,

metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan

yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

x=f (b ) ∙ a−f (a)∙ b

f (b )−f (a)

Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata-rata range berdasarkan f(x).

Metode regula falsi secara grafis digambarkan sebagai berikut :

Gambar 3.5. Metode Regula Falsi

Contoh :

Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x=[−1,0], dengan metode regula-falsi

diperoleh :

iterasi a

bx

f(x) f(a) f(b)

1 -1 0 -0,36788 0,468536 -

1,71828 1

2 -1 -0,36788 0,074805 1,069413 -

1,71828 0,468536

3 -1 0,07480

5 -0,42973 0,339579

-1,71828

1,069413

4 -1 -0,42973 0,1938 1,159657 -

1,71828 0,339579

5 -1 0,1938 -0,51866 0,128778 -

1,71828 1,159657

6 -1 -0,51866 0,412775 1,273179 -

1,71828 0,128778

7 -1 0,41277

5 -0,6627 -0,28565

-1,71828

1,273179

8 -0,6627 0,41277

5 -0,6169 -0,14323

-0,28565

1,273179

9 -0,6169 0,41277

5 -0,59626 -0,0824

-0,14323

1,273179

10 -0,59626 0,41277

5 -0,58511 -0,05037 -0,0824 1,273179

11 -0,58511 0,41277

5 -0,57855 -0,03181

-0,05037

1,273179

12 -0,57855 0,41277

5 -0,57451 -0,02047

-0,03181

1,273179

13 -0,57451 0,41277

5 -0,57195 -0,01333

-0,02047

1,273179

14 -0,57195 0,41277

5 -0,5703 -0,00874

-0,01333

1,273179

15 -0,5703 0,41277

5 -0,56922 -0,00576

-0,00874

1,273179

16 -0,56922 0,41277

5 -0,56852 -0,00381

-0,00576

1,273179

17 -0,56852 0,41277

5 -0,56806 -0,00252

-0,00381

1,273179

18 -0,56806 0,41277

5 -0,56775 -0,00167

-0,00252

1,273179

19 -0,56775 0,41277

5 -0,56755 -0,00111

-0,00167

1,273179

20 -0,56755 0,41277

5 -0,56741 -0,00074

-0,00111

1,273179

Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan kesalahan =0,00074

3.4 Metode Satu Titik Sederhana (Fixed Point)

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dari f(x) sehingga

diperoleh : x = g(x).

Kemudian ditentukan harga xo dan mulai menghitung x1 = g(xo), x2 = g(x1) dan

seterusnya. Secara umum iterasi inin dapat dituliskan sebagai berikut:

xn+1 = g(xn) dimana n= 0,1,2,...

Penyelesaian persamaan di atas disebut metode satu titik sederhana. Hasil ini adalah

penyelesaian dari f(x) karena bentuk x = g(x) dapat dikembalikan ke bentuk asalnya

yaitu f(x). Kita bisa saja memperoleh beberapa bentuk g(x). Hal ini sangat berkaitan

dengan proses pemisahan x secara aljabar.

Contoh:

Diketahui persamaan f(x) = x2 - 3x + 1 = 0. Dengan menggunakan rumus ABC dapat

diketahui bahwa nilai x1,2 = 1.5 ± √1.25 sehingga x1 = 2.618034 dan x2 = 0.381966.

Dengan mengetahui nilai eksak dari akar-akar persamaan f(x) kita dapat menghitung

kesalahan iterasinya.

Penyelesaian dengan metode satu titik sederhana; f(x) diubah menjadi:

x = g(x) = ⅓ (x2 + 1) sehingga xn+1 = ⅓ (xn2 + 1)

Jika kita memilih x0 = 1, kita akan mendapat urutan perhitungan:

iterasi xn x0 x0 1.0001 x1 0.6672 x2 0.4813 x3 0.4114 x4 0.390

Hasil ini menunjukkan bahwa iterasi akan menuju ke nilai x yang kecil. Jika kita

memilih x0 = 2 maka kita akan mendapatkan kondisi yang sama. Tetapi jika kita

memilih x0 = 3 maka hasilnya adalah:

iterasi xn x0 x0 3.0001 x1 3.3332 x2 4.0373 x3 5.7664 x4 11.415

Nilai x akan semakin membesar dengan bertambahnya iterasi (divergen). Untuk

mendapatkan hasil yang konvergen, maka persamaan x = g(x) harus dimodifikasi.

x = g2(x) = 3 – (1/x) sehingga xn+1 = 3 – (1/xn).

dan jika kita memilih x0 = 1 maka kita akan mendapatkan urutan nilai xn sebagai

berikut:

iterasi xn x0 x0 1.0001 x1 2.0002 x2 2.5003 x3 2.6004 x4 2.615

Dimana hasil ini menunjukkan kecenderungan untuk menuju niklai x tang besar. Jika

kita mengubah nilai awal (x0) maka hasil yang didapatkan adalah :

iterasi xn x

0 x0 3.000

1 x1 2.667

2 x2 2.625

3 x3 2.619

4 x4 2.618

Hasil ini lebih mempunyai kesalahan iterasi yang lebih kecil dibandingkan dengan

asumsi x0 sebelumnya.

Grafik di bawah menunjukkan proses iterasi yang telah dibahas di atas.

Gambar 3.6 Proses iterasi metode satu titik sederhana

3.5 Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan f(x)

= 0, dimana fungsi f diasumsikan mempunyai turunan f’ yang kontinu. Metode ini

sering kali digunakan karena kesederhanaan dan kecepatannya. Ide dasar metode ini

adalah pendekatan grafik f(x) dengan garis singgung yang bersesuaian. Dengan

menentukan harga awal x0 yagn diperoleh dari grafik, kita akan dapatkan titik x1 yang

merupakan titik potong antara sumbu x dengan garis singgung kurva di titik (x0, f(x0))

sehinga :

tan β=f ' (x0 )=f (x0 )x0−x1 sehingga

x1=x0−f (x0 )f ' (x0 )

Pada iterasi kedua, x2=x1−

f ( x1 )f '( x1 )

langkah seterusnya ditentukan dengan rumus yang sama yaitu:

xn+1=xn−f (xn)f ' (xn)

Formula metode newton Raphson ini juga dapat dihasilkan jika kita menyelesaikan

deret Taylor dengan metode aljabar:

f ( xn+1 )≈ f ( xn )+(xn+1−xn) ∙ f ' (xn)

Gambar 3.7 Ilustrasi metode Newton Raphson

Contoh:

Gunakan iterasi newton Raphson untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan positif

c, dan tentukan x jika c=2.

Jawab: Diketahui x = √c, sehingga f(x) = x2 – c = 0. f’(x) = 2x. Substitusi ke

persamaan Noewton Raphson diperoleh:

xn+1=xn−xn

2−c2xn

=12 ( xn+

cxn

)Untuk c = 2, dipilih x0 = 1, kita akan dapatkan

x1 = 1.5000; x2 = 1.416667; x3 = 1.414216; x4 = 1.414214

3.6 Metode Secant

Metode ini merupakan pengembangan dari metode Newton. Untuk kasus dimana

fungsi turunan f’ mempunyai fungsi yang lebih rumit dibandingkan denga fungsi

aslinya. Kondisi ini menghasilkan ide untuk menggunakan nilai selisih fungsi

daripada fungsi turunan. Ekspresi fungsi turunan dalam metode secant dinyatakan

sebagai berikut:

f '( xn)≈f ( xn )−f (xn−1)

xn−xn−1

Gambar 3.8 Ilustrasi metode Secant

Untuk memulai proses iterasi diperlukan dua titik awal, x0 dan x1. Perhitungan xn+1

untuk metode secant dinyatakan sebagai berikut:

xn+1=xn−f ( xn )xn−xn−1

f ( xn )−f (xn−1)

Contoh:

Tentukan penyelesaian positif dari fungsi f(x) = x – 2 sin x = 0 dengan metode secant.

Tebakan awal x0 = 2 dan x1 = 1.9.

Jawab:

xn+1=xn−( xn−2 sin xn ) ( xn−xn−1 )

xn−xn−1+2 (sin xn−1−sin xn)=xn−

N n

D n

Hasil perhitungan:

n xn-1 xn Nn Dn xn+1 - xn

1 2.000 000 1.900 000 -0.000740 -0.174 005 -0.004 253

2 1.900 000 1.895 747 -.000 002 -0.006 986 -0.000 252

3 1.895 747 1.895 494 0 0

D. Rangkuman

Tebakan nilai awal iterasi dapat dilakukan dengan sembarang angka atau dengan

menggunakan metode grafik.

Penentuan nilai awal akan mempengaruhi kecepatan konvergensi perhitungan

Pemilihan metode yang akan digunakan tergangtung pada kekomplekan

persamaan non linier.

Metode biseksi, regula falsi, dan secant memerlukan dua buah titik untuk tebakan

awal.

E. Tugas

1) Tentukan titik potong antara y=x.e-x dan y=x2 dengan menggunakan metode secant

dan newton raphson. Bandingkan jumlah iterasi dan kesalahannya.

2) Hitung akar-akar persamaan berikut dengan menggunakan metode fixed-point,

Newton Raphson dan Secant. (hitung sampai (xi+1 – xi ) < 0.00001)

a. f(x)= 0.5x2 +5x -2

b. f(x)= -0.5x2 + 6.75x -17.5

c. f(x)= 0.214x3 - 4.082x2 + 18.45x - 12.09

3) Hitung akar-akar persamaan berikut dengan menggunakan metode fixed-point,

Newton Raphson dan Secant. (hitung sampai (xi+1 – xi ) < 0.00001)

a. f(x)= 3x2 +3x -1

b. f(x)= 0.031x3 - 0.649x2 - 0.197x + 18.22

4) Okto menendang bola dengan lintasan f(x) = -1.2x2 +21.6x -48. Jika tinggi mistar

gawang 2.25, hitung jarak Okto dari gawang agar bola tepat mengenai mistar gawang

(gunakan metode Newton Rapshon)..

5) Dalam lomba memanah sebuah koin dilempar dengan lintasan yang mempunyai

persamaan f(x) = -1.3x2 +20x. Agung Sedayu melontarkan panahnya dengan lintasan

g(x) = -0.5x2 +30x. Hitung jarak horisontal anatar titik awal panah dengan posisi

panah mengenai koin. (gunakan metode Newton Rapshon).

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

---, Metode Numerik, Acuan Kuliah, Politeknik, ITS

BAB IV

4INTERPOLASI

A. Kompetensi Dasar

1) Pemahaman tentang konsep interpolasi

2) Konsep dasar interpolasi langsung linier dan kuadratik

3) Konsep dasar interpolasi polinomial

4) Konsep dasar interpolasi Lagrange

5) Pemahaman tentang interpolasi Lagrange Linier, Kuadratik, dan Polinomial

Lagrange.

6) Pemahaman tentang interpolasi selisih pembagian Newton dengan interval

sembarang dan seragam

7) Pemahaman tentang interpolasi spline

8) Pemahaman tentang regresi linier, eksponensial dan polinomial

B. Pendahuluan

Metode interpolasi dikembangkan untuk menentukan nilai suatu fungsi di antara dua

atau lebih data yang telah diketahui nilainya. Pendekatan ini dilakukan dengan

menggunakan suatu persamaan yang mudah untuk dimanipulasi.

Ada beberapa jenis persamaan yang biasa digunakan untuk melakukan interpolasi.

Pada kenyataannya, setiap fungsi analitik dapat dipakai sebagai fungsi pendekatan.

Tiga fungsi yang paling sering dipakai adalah:

1. Fungsi Polinomial

2. Fungsi Trigonometri

3. Fungsi Exponensial

Fungsi-fungsi untuk pendekatan harus mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Fungsi pendekatan harus mudah untuk didefinisikan

2. Mudah untuk dievaluasi

3. Mudah untuk diturunkan (diferensiasi)

4. Mudah untuk diintegralkan

C. Pembahasan Materi Ajar

Interpolasi berarti menentukan nilai dari suatu fungsi f(x) dari nilai x yang berbeda

dari nilai x yang diketahui x0, x1, ... , xn dimana harga f(x) telah diberikan. Nilai-nilai

ini berasal dari tabel data yang terdiri dari pasangan nila [x, f(x)]. Fungsi f(x) adalah

fungsi terbatas/diskrit dari harga x. Nilai fungsi dari titik yang diketahui dapat dengan

mudah dilihat dari tabel data. Permasalahan akan muncul jika nilai fungsi yang

diinginkan tidak tertulis dalam tabel, yaitu nilai x yang berada di antara dua nilai x

yang diketahui.

Fungsi asli dari suatu tabel data tidak diketahui dari angka-angka pada tabel.

Meskipun begitu fungsi asli ini dapat diperkirakan dengan dengan menggunakan

suatu fungsi yang telah diketahui. Fungsi pendekatan ini akan dapat digunakan untuk

menentukan nilai fungsi dari sembarang x yan diinginkan.

Pada permasalahan-permasalahan teknik dan sains, data-data yang dihasilkan sering

kali berupa titik-titik diskrit dan bukan merupakan fungsi kontinu y = f(x). tetapi

hanya diketahui pada titik-titik: yi = y(xi) dimana i = 1, 2, 3, ..., n.

Gambar 4.1 Ilustrasi tabel data

Fungsi polinomial mampu memenuhi semua kriteria fungsi untuk pendekatan, yaitu :

mudah untuk didefinisikan, dievaluasi, diturunkan (diferensiasi), dan mudah untuk

diintegralkan. Di samping itu, polinomial merupakan fungsi kontinu dengan berbagai

jenis akurasi yang dapat diatur sesuai dengan kebutuhan. Yaitu, untuk sebuah fungsi

sembarang f(x) pada interval J: a ≤ x ≤ b dan suatu batas kesalahan β > 0, akan ada

sebuah polinomial pn(x) yng memenuhi:

|f ( x )−pn(x)|< βuntuk semua x di J

Ada dua cara untuk melakukan pendekatan polinomial untuk suatu himpunan data,

yaitu:

1. Tepat melalui titik (data)

2. Fungsi pendekatan (regresi)

Pada cara yang pertama, polinomial akan melalui semua titik yang diketahui.

Sedangkan pada fungsi pendekatan, polinomial tidak melalui semua titik yang

diketahui. Biasanya fungsi pendekatan ini mempunyai derajat yang lebih rendah serta

akan lebih mudah diaplikasikan untuk data yang sangat banyak.

Gambar 4.2 Pendekatan polinomial (a) tepat melalui titik (b) fungsi pendekatan

4.1 Interpolasi Langsung

Interpolasi langsung ini padat dilakukan untuk data yang berjumlah dua atau tiga.

Interpolasi linier bisa digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi diantara dua titik.

Sedangkan untuk tida buah data dilakukan interpolasi kuadratik. Interpolasi ini

dilakukan dengan menggunakan pendekatan grafik.

Gambar 4.3 (a) menunjukkan interpolasi linier dari dua buah titik. Persamaan garis

lurus yang melalui P1 dan P2 dapat dituliskan

y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier:

y=y2− y1

x2−x1( x−x1 )+ y1

Gambar 4.3 (a) interpolasi linier (b) interpolasi kuadratik

Untuk memperoleh titik Q(x,y) pada gambar 4.3 (b) digunakan interpolasi kuadratik

sebagai berikut:

y= y1

( x−x2 ) ( x−x3 )( x1−x2 ) ( x1−x3 )

+ y2

( x−x1 ) ( x−x3 )( x2−x1 ) ( x2−x3 )

+ y3

( x−x1 ) ( x−x2 )( x3−x1 ) ( x3−x2 )

Contoh:

Diketahui tabel x dan y :

x 1 2 3

y 1 3 7

Ditanya nilai y untuk x=1.5

Dengan pendekatan interpolasi linier akan diperoleh persamaan :

y=3−12−1

( x−1 )+1=2 ( x−1 )+1=2x−1

Jadi untuk x=1.5 akan diperoleh nilai y = 2

Dengan pendekatan interpolasi kuadratik akan diperoleh persamaan:

y=1( x−2 ) (x−3 )(1−2 ) (1−3 )

+3( x−1 ) ( x−3 )(2−1 ) (2−3 )

+7( x−1 ) ( x−2 )(3−1 ) (3−2 )

y=12

( x−2 ) ( x−3 )−3 ( x−1 ) (x−3 )+72

( x−1 ) ( x−2 )

Jadi untuk x=1.5 akan diperoleh nilai y = 0.375 + 2.25 - 0.875 = 1.75

4.2 Interpolasi Polinomial

Interpolasi polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik

P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, Pn(xn,yn) dengan menggunakan pendekatan fungsi

polinomial pangkat n-1:

Pn = y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an-1xn-1

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polinomial di atas dan diperoleh

persamaan simultan dengan n persamaan dan n variabel bebas:

Pn,1 = y1 = a0 + a1x1 + a2x12 + a3x1

3 + ... + an-1x1n-1

Pn,2 = y2 = a0 + a1x2 + a2x22 + a3x2

3 + ... + an-1x2n-1

Pn,3 = y3 = a0 + a1x2 + a2x32 + a3x3

3 + ... + an-1x3n-1

..................................................................................

Pn,1 = yn = a0 + a1xn + a2xn2 + a3xn

3 + ... + an-1xnn-1

Penyelesaian persamaan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, ... ,an-1 yang merupakan

nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polinomial yang akan digunakan.

Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan

diperoleh nilai y dari titik tersebut.

Pendekatan p;olinomial ini mempunyai kelemahan. Pendekatan ini memerlukan usaha

yang banyak untuk menyelesaikan satu sistem persamaan linier secara simultan.

Untuk polinomial dengan derajat yang tinggi (lebih dari 4) sistem persamaan yang

diperoleh mungkin tidak sempurna sehingga akan menyebabkan kesalahan pada nilai

koefisien yang dihasilkan.

4.3 Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange didefinikan sebagai penyederhanaan dari pendekatan polinomial.

Pendekatan ini dilakukan untuk berbagai derajat polinomial. Pada pendekatan linier

dan kuadratik, persamaan yang dihasilkan akan serupa dengan hasil dari interpolasi

langsung (sub bab 4.1).

4.3.1 Interpolasi Lagrange Linier

Gambar 4.4 Interpolasi lagrange linier

Ditentukan sebuat garis lurus dengan persamaan P1(x) yang melalui dua titik [x0,

f(x0)] dan [x1, f(x1)]. Polinomial Lagrange Linier yang melalui dua titik, didefinisikan

sebagai : P1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) dimana L0(x) adalah persamaan linier yang

mempunyai nilai = 1 di x0 dan 0 di x1; dan L1(x) bernilai = 0 di x0 dan 1 di x1.

L0(x )=( x−x1 )( x0−x1)

dan

L1 ( x )=( x−x0 )( x1−x0 )

Sehingga diperoleh Persamaan Lagrange Linier :

P1 (x )=( x−x1 )( x0−x1 )

f ( x0 )+( x−x0 )( x1−x0 )

f ( x1 )

Jika nulai x = x0 dan x = x1 disubstitusikan ke persamaan di atas, diperoleh :

P1 ( x0 )=( x0−x1 )( x0−x1 )

f ( x0 )+( x0−x0 )( x1−x0 )

f ( x1 )=f (x0)

P1 ( x1 )=( x1−x1 )( x0−x1 )

f ( x0 )+( x1−x0 )( x1−x0 )

f ( x1 )=f (x1)

4.3.2 Interpolasi Lagrange Kuadratik

Polinomial Lagrange Kuadratik P2(x) dibentuk dari tiga buah titik dan didefinisikan

sebagai : P2(x) = L0(x)∙f(x0) + L1(x)∙f(x1) + L2(x)∙f(x2) dimana :

L0(x )=( x−x1) ( x−x2 )

( x0−x1) ( x0−x2 )

L1(x)=( x−x0 ) ( x−x2 )

( x1−x0 ) ( x1−x2 )

L2(x)=( x−x0 ) ( x−x1 )

( x2−x0 ) ( x2−x1 )

Sehingga diperoleh Persamaan Lagrange Kuadratik :

P2 (x )=( x−x1 ) ( x−x2 )

( x0−x1 ) ( x0−x2 )f ( x0 )+

( x−x0 ) ( x−x2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f ( x1 )+( x−x0 ) ( x−x1 )

( x2−x0 ) ( x2−x1 )f ( x2 )

4.3.3 Polinomial Lagrange

Plinomial Lagrange bisa diaplikasikan pada himpunan n + 1 buah titik yang akan

menghasilkan polinomial dengan orde-n. Polinomial Lagrange orde-n dinyatakan

sebagai berikut:

Pn ( x )=( x−x1 ) ( x−x2 )⋯ ( x−xn+1 )

( x0−x1) ( x0−x2 )⋯ ( x0−xn+1 )f ( x0 )+

( x−x0 ) ( x−x2 )⋯ ( x−xn+1)( x1−x0 ) ( x1−x2 )⋯ ( x1−xn+1 )

f ( x1 )

+⋯+( x−x0 ) ( x−x1 )⋯ ( x−xn+1)

( xn+1−x0 ) ( xn+1−x1)⋯ ( xn+1−xn )f ( xn+1 )

Contoh:

Diketahui:

y = f(x) =1/x

x 3.35 3.40 3.50 3,60

f(x) 0.298507 0.294118 0.185714 0.277778

Ditanya nilai y untuk x = 3.44, menggunakan interpolasi Lagrange linier, kuadratik

dan kubik. Nilai eksak dari y = 1/3.44 = 0.290698.

Interpolasi linier dilakukan dengan menggunakan dua titik terdekat yaitu: x = 3.40

dan x = 3.50, sehingga:

P1 (x )= ( x−3.50 )(3.40−3.50 )

(0.294118 )+ (x−3.40 )(3.50−3.40 )

(0.285714 )

P1 (3.44 )= (3.44−3.50 )(3.40−3.50 )

(0.294118)+ (3.44−3.40 )(3.50−3.40 )

(0.285714 )=0.290756

Interpolasi kuadratik dilakukan dengan menggunakan tiga titik terdekat yaitu: x =

3.35, 3.40, dan x = 3.50, sehingga:

P2 (x )= ( x−3.40 ) ( x−3.50 )(3.35−3.40 ) (3.35−3.50 )

0.298507+( x−3.35 ) ( x−3.50 )

(3.40−3.35 ) (3.40−3.50 )0.294118+

( x−3.35 ) ( x−3.40 )(3.50−3.35 ) (3.50−3.40 )

0.185714

P2 (3.44 )= (3.44−3.40 ) (3.44−3.50 )(3.35−3.40 ) (3.35−3.50 )

0.298507+(3.44−3.35 ) (3.44−3.50 )(3.40−3.35 ) (3.40−3.50 )

0.294118+(3.44−3.35 ) (3.44−3.40 )(3.50−3.35 ) (3.50−3.40 )

0.185714=0.290697

Interpolasi kubik dilakukan dengan menggunakan keempat buah titik yaitu: x = 3.35,

3.40, 3.50 dan x = 3.60, sehingga:

P2 (3.44 )= (3.44−3.40 ) (3.44−3.50 ) (3.44−3.60 )(3.35−3.40 ) (3.35−3.50 ) (3.35−3.60 )

0.298507+(3.44−3.35 ) ( x3.44−3.50 ) (3.44−3.60 )

(3.40−3.35 ) (3.40−3.50 ) (3.40−3.60 )0.294118+

(3.44−3.35 ) (3.44−3.40 ) (3.44−3.60 )(3.50−3.35 ) (3.50−3.40 ) (3.50−3.60 )

0.185714+(3.44−3.35 ) (3.44−3.40 ) (3.44−3.50 )(3.60−3.35 ) (3.60−3.40 ) (3.60−3.50 )

0.277778=0.290698

Kesalahan hasil perhitungan dituliskan di bawah ini:

P1(3.44) = 0.290756 kesalahan interpolasi linier = 0.000058

P1(3.44) = 0.290697 kesalahan interpolasi kuadratik = -0.000001

P1(3.44) = 0.290698 kesalahan interpolasi kubik =0.000000

4.4 Interpolasi Selisih Pembagian Newton

Formulasi Newton mempunyai operasi aritmatik yang lebih sedikit dibandingkan

dengan formulasi Lagrange. Metode Newton ini memiliki memudahan jika kita ingin

meningkatkan orde persamaan polinomial untuk menambah tingkat ketelitian hasil

interpolasi. Orde polinomial dangan metode Newton dapat ditingkatkan hanya dengan

menambah suku lanjutannya. Hal ini berbeda dengan metode Lagrange dimana semua

perhitungan harus dilakukan dari awal.

Selisih pembagian didefinisikan sebagai ratio dari perbedaan nilai fungsi dari dua titik

dibagi dengan perbedaan antara nilai variabel bebas yang bersesuaian. Selisih

pembagian tingkat pertama didefinisikan sebagai berikut:

f [ x i , x i+1 ]=f ( x i+1 )−f ( x i )

x i+1−x i

=f i+1−f i

x i+1−xi

Polinomial selisih pembagian Newton orde pertama didefinisikan sebagai:

P1 (x )=f ( x0 )+( x−x0 ) f [ x0 , x1 ]=f 0+( x−x0 ) f [x0 , x1 ]

Selisih pembagian tingkat kedua didefinisikan sebagai berikut:

f [ x i , x i+1 , x i+2 ]=f [ x i+1 , xi+2 ]−f [ x i , x i+1 ]

xi+2−x i

Polinomial selisih pembagian Newton orde kedua didefinisikan sebagai:

P2 (x )=f 0+( x−x0 ) f [ x0 , x1 ]+( x−x0 ) ( x−x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]

Dengan cara yang sama dapat didefinisikan formulasi selisih pembagian di setiap

tingkat.

f [ x i , x i+1 ,⋯ , xn ]=f [x i+1 ,⋯ , xn ]−f [ x i ,⋯ , xn−1 ]

xn−x i

Polinomial selisih pembagian Newton orde ke-n didefinisikan sebagai:

Pn ( x )=f 0+ ( x−x0 ) f [ x0 , x1 ]+ ( x−x0 ) ( x−x1) f [x0 , x1 , x2 ]+⋯+( x−x0 ) ( x−x1 )⋯ ( x−xn−1 ) f [ x0, x1 , x2 ,⋯ , xn ]

Persamaan polinomial di atas diturunkan berdasarkan selisih pembagian arah ke

depan atau inperpolasi selisih pembagian Newton-maju.

Data yang akan digunakan untuk mendefinisikan polinomial selisih perbedaan

Newton di atas tidak harus menggunakan uruta tertentu. Akan tetapi, seperti metode

interpolasi yang lain, akurasi perhitungan akan dapat ditingkatkan dengan merapatkan

data di sekitar harga yang diinginkan.

Berikut ini adalah tabel selisih pembagian:

xi fi f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]

x1 f1

f[x1,x2]

x2 f2 f[x1,x2,x3]

f[x2,x3] f[x1,x2,x3,x4]

x3 f3 f[x2,x3,x4]

f[x3,x4]

x4 f4

Contoh:

Diketahui tabel data xi dan fi sebagai berikut:

xi fi f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]

8.0 2.079442

0.117783

9.0 2.197225 -0.006433

0.108134 0.000411

9.5 2.251292 -0.005200

0.097735

11.

0

2.397895

Nilai selisih pada tabel dihitung dengan contoh sebagai berikut 9angka yang

dimiringkan):

(2.397895 - 2.251292)/(11.0 - 9.5) = 0.097735

(0.097735 – 0.108134)/(11.0 - 9.0) = -0.005200

Persamaan polinomial orde ke tiga diperoleh dengan menggunakan angka-angka

yang ditebalkan, Polinomial ini dituliskan sebagai berikut:

f(x) ≈ P3(x) = 2.079442 + 0.117783(x-8.0) – 0.006433(x-8.0)(x-9.0)

+ 0.000411(x-8.0)(x-9.0)(x-9.5)

Pada x=9.2

f(9.2) ≈ 2.079442 + 0.117783(9.2-8.0) – 0.006433(9.2-8.0)(9.2-9.0)

+ 0.000411(9.2-8.0)(9.2-9.0)(9.2-9.5)

f(9.2) ≈ 2.079442 + 0.141340 – 0.001544 – 0.000030 = 2.219208

Jika perhitungan dilaukan untuk polinomial orde 1 dan orde 2 akan diperoleh :

P1(9.2) = 2.220782 dan P2(9.2) = 2.219238

Nilai eksak dari f(9.2) = ln 9.2 = 2.219203, jadi dengan bertambahanya orde

polinomial, maka akurasi perhitungan juga akan meningkat.

4.4.1 Interpolasi Selisih Pembagian Newton dengan Interval Seragam

Formulasi Newton berlaku untuk sembarang interval data seperti yang terjadi pada

kegiatan eksperimen atau pengamatan. Meskipun begitu dalam penggunaannya, data

xi biasanya mempunyai interval yang sama, misalnya hasil pengukuran yang

dilakukan pada interval waku tertentu. Interval ini dinyatakan dengan h, sehingga

nilai xi dapat dituliskan sebagai berikut:

x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, ... , xn = x0 + nh

Selanjutnya didefinisikan selisih maju tingkat pertama dari nilai fungsi sebagai

berikut:

∆ f i=f i+1−f i=f ( x i+1 )−f ( x i )

Selisih maju kedua:

∆2 f i=∆ f i+1−∆ f i

Sehingga selisih maju ke-n:

∆n f i=∆n−1 f i+1−∆n−1 f i (dimana n = 1,2,3,. . . )

Dengan penulisan selisih nilai fungsi di atas maka penulisan selisih pembagian tingkat

pertama menjadi:

f [ x0 , x1 ]=f 1−f 0

x1−x0

=1h

( f 1−f 0 )= 11! h

∆ f 0

Atau

f [ x i , x i+1 ]=f ( x i+1 )−f ( x i )

x i+1−x i

=f i+1−f i

x i+1−xi

=1h

( f i+1−f i )=1

1 !h∆ f i

Selisih pembagian tingkat kedua didefinisikan sebagai berikut:

f [ x i , x i+1 , x i+2 ]=f [ x i+1 , xi+2 ]−f [ x i , x i+1 ]

xi+2−x i

=

11 !h

∆ f i+1−1

1! h∆ f i

2 h=

1

2!h2 ∆2 f i

Dengan cara yang sama dapat didefinisikan formulasi selisih pembagian di setiap

tingkat.

f [ x0 , x1 ,⋯ , xn ]=f [ x1 ,⋯ , xn ]−f [ x0 ,⋯ , xn−1 ]

nh= 1

n!hn ∆n f 0

Polinomial selisih pembagian Newton orde ke-n yang semula didefinisikan sebagai:

Pn ( x )=f 0+ ( x−x0 ) f [ x0 , x1 ]+ ( x−x0 ) ( x−x1) f [x0 , x1 , x2 ]+⋯+( x−x0 ) ( x−x1 )⋯ ( x−xn−1 ) f [ x0, x1 , x2 ,⋯ , xn ]

Akan berubah menjadi:

Pn ( x )=f 0+s ∆ f 0+s (s−1)

2!∆2 f

0

+s (s−1 )(s−2)

3!∆3 f

0

+⋯+s ( s−1 ) ( s−2 )⋯ (s−(n−1 ))

n!∆n f

0

Dimana s =

x−x0

h ; h= interval x; dan x = x0 + sh

Contoh:

Diketahui f(x) = cosh(x), ditanya f(0.56)

i xi fi ∆ fi ∆2 fi ∆3 fi

1 0.5 1.127626

0.057839

2 0.6 1.185465 0.011865

0.069704 0.000697

3 0.7 1.255169 0.012562

0.082266

4 0.8 1.337435

s = (0.56-0.50)/0/1 = 0.6

Dengan menggunakan polinomial selisih maju akan diperoleh:

Cosh 0.56 ≈ 1.127626 + 0.6*0.057839 + [(0.6)(0.6-1)/2]* 0.011865 +

[(0.6)(0.6-1)(0.6-2)/6]* 0.000697

= 1.127626 + 0.034703 – 0.001424 + 0.000039

=1.160944

4.4.2 Interpolasi Selisih Pembagian Newton - Mundur

Contoh:

4.5 Interpolasi Spline

Interpolasi polinomial yang dibahas pada sub bab sebelumnya mempunyai satu

kelemahan yang signifikan. Kelemahan ini akan terlihat jika kita mempergunakan

polinomial orde tinggi. Polinomial ini akan mampu untuk melalui semua titik akan

tetapi kurva polinomial ini akan berosilasi sangat besar di antara dua titik. Gambar 4.5

menunjukkan contoh dari kelemahan ini. Pada beberapa kasus, polinomial dengan

orde kecil akan lebih mendekati fungsi asli himpunan data.

Gambar 4.5 Perbedaan penggunan orde polinomial pada interpolasi

Untuk mendekati fungsi awal, dikembangkan metode penggunaan polinomial orde

rendah secara simuntan untuk tiap pasangan data titik. Himpunan polinomial orde

rendah ini harus berkorespondensi secara konsisten satu sama lain. Jenis polinomial

ini disebut fungsi spline.

Spline dapat terdiri dari berbagai orde polinomial. Spline linier adalah berupa segmen

garis lurus yang menghubungkan setiap titik dari himpunan data. Spline linier saling

bebas di setiap segmennya. Spline linier merupakan polinomial pendekatan orde

pertama. Spline ini mempunyai kemiringan dan kelengkungan yang tak kontinu di

setiap segmennya. Spline kuadratik merupakan polinomial pendekatan orde kedua.

Kemiringan spline kuadratik ini dapat dibuat kontinu di setiap titik data, tetapi

kelengkungan di titik data masih tak kontinu. Sline kubik berupa polinomial orde

ketiga yang menghubungkan tiap titik data. Kemiringan dan kelengkungan spline

kubik dapat dibuat kontinu di setiap titik data. Pada kenyataannya kondisi ini

diperlukan untuk menentukan polinomial spline kubik. Spline dengan polinomial orde

yang lebih tinggi dapat pula dilekukan, akan tetapi splin ekubik telah terbukti dapat

memberikan hasil yang optimal di antara akurasi dan kerumitannya.

Jika diketahui n+1 buah titik data (xi ; i = 1,2,3,..., n+1), maka akan terdapat n buah

interval dan n-1 buah titik data dalam (xi ; i = 2,3,..., n), Spline kubik akan melalui

setiap interval. Dimana untuk tiap interval akan diperoleh satu persamaan polinomial

orde 3 yang dinyatakan:

fi(x) = ai + bix + cix2 + dix3 (i = 1,2,3,...,n)

Karena tiap spline kubik mempunyai empat buah koefisien dan ada n buah spline

kubik, maka ada 4n buah koefisien yang harus ditentukan. Karena itu diperlukan 4n

buah kondisi batas. Pada pendekatan langsung, kondisi batas yang dapat digunakan

adalah:

1) Nilai fungsi f(xi) = fi (i=1,2,3,...,n) harus dipenuhi oleh kedua spline kubik di

kedua sisi semua n-1 buah titik data dalam (i=2,3,...,n). Kondisi batas ini

berjumlah 2(n-1)

2) Turunan pertama pada kedua sisi titik data dalam xi (i=2,3,...,n) harus sama.

Hal ini untuk menjaga agar kemiringan kurva pada titik data dalam tetap

kontinu. Kondisi batas ini berjumlah (n-1)

3) Turunan kedua pada kedua sisi titik data dalam xi (i=2,3,...,n) harus sama. Hal

ini untuk menjaga agar kelengkungan kurva pada titik data dalam tetap

kontinu. Kondisi batas ini berjumlah (n-1)

4) Spline kubik pertama dan terakhir harus melalui titik data pertama dan

terakhir, yang dinyatakan sebagai : f1(x1) = f1 dan fn(xn+1) = fn+1. Kondisi batas

ini berjumlah 2 buah.

5) Kelengkungan (f”(x)) di titik data pertama dan terakhir harus ditentukan, yang

dinyatakan sebagai : f”1 (x1) = f”1 dan f”n (xn+1) = f”n+1. Kondisi batas ini

berjumlah 2 buah.

Ada beberapa pendekatan untuk menentukan nilai turunan kedua di titik data

pertama dan terakhir.

a) Menentukan nilai f”1 = 0 dan f”n+1 = 0, kondisi ini desibut spline

natural/alami. pendekatan ini paling banyak digunakan dalam menentukan

spline kubik

b) Menentukan nilai : f”1 = f”2 dan f”n+1) = f”n.

c) Mengekstrapolasi nilai : f”1 dan f”n+1 dari nilai : f”i titik data dalam.

Ketika semua kondisi batas di atas digabungkan, akan diperoleh 4n buah persamaan

aljabar yang harus diselesaikan untuk menentukan 4n buah koefisien spline (a i, bi, ci,

dan di (i=1,2,3,..., n).

Pemodelan persamaan untuk mentyelesaikan spline kubik dikembangkan dari

polinomial Lagrange orde ke satu. Kondisi ini dipilih karena turunan kedua di antara

dua interval data, f”i(xi), adalah fungsi linier dari x. Turunan kedua ini dinyatakan

sebagai:

f } rsub {i} left (x right ) = {x - {x} rsub {i +1}} over {{x} rsub {i} - {x} rsub {i +1}} {f i+x−x i

x i+1−x i

f } rsub {i +1¿

Dengan mengintegrasikan persamaan di atas akan diperoleh:

f ' i ( x )=( x2/2 )−xxi+1

x i−x i+1

f } rsub {i} + {left ({x} ^ {2} /2 right ) - {xx} rsub {i}} over {{x} rsub {i +1} - {x} rsub {i}} {f i+1+C

Dengan mengintegrasikan dua kali akan diperoleh:

f i ( x )=( x3/6 )−(x2 x i+1/2 )

x i−x i+1

f } rsub {i} + {left ({x} ^ {3} /6 right ) - left ({{x} ^ {2} x} rsub {i} /2 right )} over {{x} rsub {i +1} - {x} rsub {i}} {f i+1+C x+D

Dengan memasukkan nilai xi dan xi+1 akan diperoleh nilai C dan D.

Sehingga fungsi fi(x) dinyatakan sebagai :

f i ( x )=f } rsub {i}} over {6 left ({x} rsub {i +1} - {x} rsub {i} right )} {left ({x} rsub {i +1} - x right )} ^ {3} + {{f i+1

6 ( x i+1−x i )( x−x i )

3+[ f i

( x i+1−x i )−

f } rsub {i} left ({x} rsub {i+1} - {x} rsub {i} right )} over {6} right ] left ({x} rsub {i +1} - x right ) + left [{{f} rsub {i+1}} over {left ({x} rsub {i+1} - {x} rsub {i} right )} - {{f i+1 ( x i+1−x i )6 ]( x−xi )

Persamaan di atas adalah persamaan spline kubik yang diinginkan untuk interval i

yang dinyatakan dalam turunan kedua yang tidak diketahui f”i dan f”i+1 . Fungsi

turunan kedua pada titik-titik dalam dapat dipentukan dengan relasi f’i-1(xi) = f’i(xi).

Dengan mensubstitusikan fungsi pada interval i-1 dan i akan diperoleh persamaan:

( x i−x i−1 ) f } rsub {i-1} +2 left ({x} rsub {i+1} - {x} rsub {i-1} right ) {f i+( x i+1− xi ) f } rsub {i+1} = 6 {{f} rsub {i+1} - {f} rsub {i}} over {left ({x} rsub {i +1} - {x} rsub {i} right )} +6 {{f} rsub {i} - {f} rsub {i-1}} over {left ({x} rsub {i} - {x} rsub {i-1} right ) ¿

Gabungan persamaan ini untuk semua titik dalam di tambah dengan kondisi batas 4

dan 5 yang telah disebutkan di bagian sebelumnya akan membentuk satu set

persamaan aljabar linier. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini dapat

dilakukan secara substitusi jika data titik berjumlah 4 buah. Untuk jumlah data yang

lebih banyak, penerapan metode eliminasi matrik perlu digunakan.

Contoh:

Sebagai contoh spline kubik berikut ini tersedia tabel data yang berasal dari fungsi

f(x) = ex –x3 .

i x f(x) f”(x)

1 -0.50 0.731531 0.0

2 0.00 1.00000

3 0.25 1.268400

4 1.00 1.718282 0.0

Dari tabel terlihat : ada n= 4 titik, n-1 = 3 interval, dan n-1 = 3 buah spline kubik,

serta n - 2 = 2 buah titik dalam yang mempunyai nilai fi” yang harus dihitung.

Dengan mengasumsikan kondisi batasspline natural pada kedua ujung spline kubik,

maka f1” = f4” = 0.0. Untuk interval ke–2 dan ke-3 digunakan rumus berikut:

interval 2: ( x2−x1 ) f } rsub {1} +2 left ({x} rsub {3} - {x} rsub {1} right ) {f 2+ ( x3−x2 ) f } rsub {3} = 6 {{f} rsub {3} - {f} rsub {2}} over {left ({x} rsub {3} - {x} rsub {2} right )} +6 {{f} rsub {2} - {f} rsub {1}} over {left ({x} rsub {2} - {x} rsub {1} right ) ¿

interval 3 : ( x3−x2 ) f } rsub {2} +2 left ({x} rsub {4} - {x} rsub {2} right ) {f3+( x4−x3 ) f } rsub {4} = 6 {{f} rsub {4} - {f} rsub {3}} over {left ({x} rsub {4} - {x} rsub {3} right )} +6 {{f} rsub {3} - {f} rsub {2}} over {left ({x} rsub {3} - {x} rsub {2} right ) ¿

Dengan substitusi nilai dalam tabel akan diperoleh :

interval 2: (0.5 )(0.0)+2 (0.75 ) f } rsub {2} + {left (0.25 right ) f 3=60.268400

(0.25 )+6

0.268469(−0.50 )

interval 3 : (0.25 ) f } rsub {2} + {2 left (1.0 right ) f 3+ (0.75 )(0.0)=60.449882

(0.75 )+6

0.268400(−0.25 )

Dua persamaan di atas akan menjadi

1.50 f } rsub {2} + {0.25 f 3=3.219972

0.25 f } rsub {2} + {2.0 f 3=−2.842544

Dengan menggunakan metode aljabar linier diperoleh:

f”2 = 2.43424 dan f”3 = -1.725552

Selanjutnya nilai turunan kedua di atas disubstitusikan ke persamaan spline. Untuk

interval 1 persamaan spline adalah sebagai berikut:

f 1 ( x )=f } rsub {1}} over {6 left ({x} rsub {2} - {x} rsub {1} right )} {left ({x} rsub {2} - x right )} ^ {3} + {{f 2

6 ( x2−x1 )( x−x1 )3+[ f 1

( x2−xi )−

f } rsub {1} left ({x} rsub {2} - {x} rsub {1} right )} over {6} right ] left ({x} rsub {2} - x right ) + left [{{f} rsub {2}} over {left ({x} rsub {2} - {x} rsub {1} right )} - {{f 2 ( x2−x1 )6 ] ( x−x1 )

Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan untuk interval ke-2 dan ke-3.

Dengan memasukkan nilai-nilai tiap variabel akan diperoleh:

f 1 ( x )=(0.0)+2.434240

6 (0.5 )[ x−(−0.5)]3+[ 0.731531

(0.5 )−0.0 ] (0.0−x )+[ 1.0

(0.5 )−

2.434240 (0.5 )6 ] [x−(−0.5)]

Jadi : f 1 ( x )=0.811413 ( x+0.5 )3−1.463062 x+1.797147 (x+0.5 )

f 2 ( x )=2.4342406 (0.25 )

( 0.25−x )3+−1.7255526 (0.25 )

( x−0.0 )3+[ 1.0(0.25 )

−2.434240 (0.25 )

6 ] (0.25−x )+[ 1.268400(0.25 )

−−1.725552 (0.25 )

6 ] ( x−0.0 )

Jadi : f 2 ( x )=1.622827 ( 0.25−x )3−1.150368 x3+3.898573 (0.25−x )+5.145498 x

f 3 ( x )=−1.7255526 (0.75 )

(1.0−x )3+0.0+[ 1.268400(0.75 )

−−1.725552 (0.75 )

6 ] (1.0−x )+[ 1.718282(0.75 )

−0.0 (0.75 )

6 ] (x−25 )

Jadi : f 3 ( x )=−0.383456 (1.0−x )3+1.906894 (1.0−x )+2.291043 (x−0.25 )

4.6 Interpolasi Regresi

Regresi adalah sebuah teknik untuk memperoleh persamaan kurva pendekatan dari

titik-titik data

4.6.1 Regresi Linier

Regresi linier digunakan menentukan fungsi linier (garis lurus) yang paling sesuai

dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Dalam regresi linier ini yang dicari adalah nilai m dan c dari fungsi linier y=mx+c,

dimana:

m=

N ∑n=1

N

xn yn−(∑n=1

N

xn)(∑n=1

N

yn)N ∑

n=1

N

x2−(∑n=1

N

xn)

c=∑n=1

N

yn

N−m

∑n=1

N

xn

N= y−m x

4.6.2 Regresi Eksponensial

Regresi eksponensial digunakan menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai

dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi eksponensial ini

merupakan pengembangan dari regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritma.

Perhatikan :

y = e−ax+b

dengan melogaritmakan persamaan di atas akan diperoleh:

ln y = ln(eax+b )

ln y = ax + b

atau dapat dituliskan bahwa:

z = ax + b dimana z = ln y

Dengan demikian dapat digunakan regresi linier dalam menentukan fungsi

eksponensial yang paling sesuai dengan data.

4.6.3 Regresi Polinomial

Regresi polinomial digunakan menentukan fungsi polynomial yang paling sesuai

dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Fungsi pendekatan :

y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

Regresi polinomial tingkat n dikembangkan dari model matrik normal sebagai

berikut:

[ ∑i=1

n

x in ∑

i=1

n

x in+1 ∑

i=1

n

x in+2 ⋯ ∑

i=1

n

x i2n

∑i=1

n

x in−1 ∑

i=1

n

x in ∑

i=1

n

x in+1 ⋯ ∑

i=1

n

x i2n−1

∑i=1

n

x in−2 ∑

i=1

n

x in−1 ∑

i=1

n

x in ⋯ ∑

i=1

n

x i2n−2

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

n ∑i=1

n

x i ∑i=1

n

x i2 ⋯ ∑

i=1

n

x in

] [an

an−1

an−2

⋮a0

]=[ ∑i−1

n

x in y i

∑i−1

n

x in−1 yi

∑i−1

n

x in−2 yi

⋮

∑i−1

n

y i

]D. Rangkuman

Metode Interpolasi bisa dipergunakan untuk menebak nilai fungsi yang tidak

tersedia di dalam tabel.

Metode interpolasi menjadi tidak efektif jika data yang tersedia terlalu banyak

dan polinomial orde tinggi menjadi sangat berfluktuasi.

Metode Lagrange dan Selisih Pembagian newton bisa digunakan untuk data

dengan interval yang tidak seragam

Metode selisih pembagian maju akan memberikan proses yang sederhana jika

interval data yang diberikan seragam

E. Tugas

1) Jumlah produksi bulan Januari ditunjukan pada tabel berikut:

Tahun 2000 2001 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Jumla 225 195 211 230 246 231 186 212 231 234

h

a. Dengan interpolasi lagrange orde 1 tentukan jumlah produksi pada bulan

Juni 2000

b. Dengan interpolasi lagrange orde 2 tentukan jumlah produksi pada bulan

Agustus 2003

c. Dengan interpolasi lagrange orde 3 tentukan jumlah produksi pada bulan

Mei 2006

d. Dengan interpolasi Newton (divided difference) tentukan jumlah produksi

untuk bulan November 2000. (sampai orde 3)

e. Dengan interpolasi Newton forward difference tentukan jumlah produksi

bulan April 2006 (sampai orde 4).

f. Dengan interpolasi Newton forward difference tentukan jumlah produksi

bulan Juli 2007 (sampai orde 3).

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS

BAB V

5PERSAMAAN INTEGRAL

A. Kompetensi Dasar

1. Pemahaman perhitungan integral terbatas.

2. Pemahaman metode-metode diskrit untuk menghitung integral suatu

himpunan data

3. Pemahaman perbedaan hasil dari berbagai metode perhitungan integral

B. Pendahuluan

Integrasi suatu fungsi yang dinotasikan:

I=∫a

b

f (x)dx

merupakan integral suatu fungsi f terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a

sampai x = b.  Dari persamaan di atas, yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai

total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f dan sumbu x, serta antara batas   x = a dan

x = b.

Integral analitik suatu fungsi telah dipelajari pada kalkulus. Untuk selanjutnya yang

akan dibahas di sini integrasi numerik yang merupakan metode pendekatan dari

integrasi analitik. Integrasi numerik akan dilakukan apabila: integral tidak dapat

(sukar) diselesaikan secara analitik, atau fungsi yang akan diintegralkan tidak

diberikan dalam bentuk analitik (tidak lengkap), tetapi dalam bentuk tabel.

Dalam penerapannya fungsi integral digunakan untuk mengetahui luas area di bawah

suatu kurva atau isi benda yang berasal dari kurva yang diputar. Isi bola dan silinder

dapat diturunkan dengan fungsi nintegral.

C. Pembahasan Materi Ajar

5.1 Metode Integral Kalkulus

Metode-metode berikut ini dikembangkan dari mata pelajaran kalkulus. Mestikun

hasil akhirnya akan sama dengan metode pendekatan yang lain, seperti pendekatan

denga polinomial Lagrange. Metode ini terdiri dari metode integral Reimann, metode

integral Trapezoida, dan metode integral Simpson.

5.1.1 Metode integral Reimann

Metode integral Reimann ini merupakan metode integral yang digunakan dalam

kalkulus dan didefinisikan dengan:

∫a

b

f ( x )dx= limΔx→ 0

∑i=0

n

f (x i ) Δx

Pada metode ini, luasan yang dibatasi oleh y=f(x0 dan sumbu x dibagi menjadi n

bagian pada range x = [a,b] yang akan dihitung. Kemudian dihitung tinggi dari setiap

persegi panjang yang sama dengan nilai fungsi f(xi). Luasan masing-masing persegi

panjang Li = f(xi)∙∆xi.

Gambar 5.1 Ilustrasi metode in tegral Reimann

Luas Keseluruhan adalah jumlah Li yang dituliskan sebagai berikut:

L = L0 + L1 + ... + Ln

= f(x0)∙∆x0 + f(x1)∙∆x1 + ... + f(xn)∙∆xn = ∑i=0

n

f ( x i)⋅Δx i

Bila interval x (∆x) sama, ∆x0 = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn = h, maka metode integral

reimann akan menjadi :

∫a

b

f ( x )dx=h∑i=0

n

f ( x i)

Contoh:

Hitung luas yang dibatasi y=x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1];L=∫

0

1

x2dx

Dengan mengambil h=0.1 akan diperoleh tabel sebagai berikut:

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 0.0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.0

L=h ∫n=0

10

f ( x i )

=0.1 (0.0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.8 + 1.0

=0.1*(3.85)=0.385

Secara kalkulus L=∫

0

1

x2dx=13

x3|01=0 .3333 . ..

Kesalahan perhitungan= 0.385 – 0.3333.... = 0.052

Kesalahan perhitungan ini dapat dikurangi dengan memperkecil nilai h atau

memperbesar jumlah pembagi N.

5.1.2 Metode integrasi Trapezoida

Pada metode trapezoida ini setiap bagian segmen perhitungan dimisalkan sebagai

trapesium, seperti gambar berikut ini:

Gambar 5.2 Integrasi Trapezoida

Luas trapezium ke-i (Li) adalah:

L=12 ( f ( x i )+f ( x i+1 )) ∆ x i atau L=1

2(f i+ f i+1)∆ xi

Luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua bagian trapesium:

L=∑i=0

n−1

Li atau

L=∑i=0

n−112

h ( f i+ f i+1)=h2( f 0+2 f 1+2 f 2+⋯+2 f n−1+ f n

Contoh:

Hitung ∫0

1

2 x2 dx dengan step h=0.1

Dengan menggunakan tabel diperoleh:

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 0.0 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686 1.024 1.458 2.0

Dengan menggunakan tabel dapat dihitung:

L=(0.1/2){0 + 2 (0.002 + 0.016 + 0.054 + 0.128 + ... + 1.024 + 1.458) + 2.0} = 0.505

Dengan menggunakan perhitungan kalkulus diperoleh:

L=∫0

1

2 x2dx=[ 12

x4 ]0

1

= 0.5

Jadi dengan h=0.1 kelasahan perhitungan = 0.005

Contoh:

Hitung ∫1

2e−x

2+sin( x )dx

dengan step h=0.1

Dengan menggunaka n tabel diperoleh:

x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

f(x) 0.129 0.115 0.103 0.092 0.083 0.074 0.067 0.061 0.056 0.051 0.047

Dengan menggunakan tabel dapat dihitung:

L = (0.1/2){0.129 + 2*(0.115+0.103+0.092+...+0.056+0.051) + 0.047} = 1.579

5.1.3 Metode Integrasi Simpson

Metode Simpson merupakan metode perhitungan luas daerah dibawah kurva dengan

menggunakan pembobot titik berat dari dua buah trapesium, atau metode rata-rata

dengan pembobot kuadrat. Metode Simpson disimulasikan pada gambar berikut:

Gambar 5.3 Ilustrasi metode Simpson

Dengan menggunakan metiode trapesium, luas bangun di atas adalah:

L=h2

( f i−1+ f 1 )+ h2

( f i+ f i+1)=h2

( f i−1+2 f 1+f i+1 )

Pemakaian aturan Simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan dengan 2

untuk menghitung luas bangun di atas dapat dituliskan dengan:

L=h3

( f i−1+2 f 1 )+ h3

( 2 f i+f i+1 )=h3

( f i−1+4 f 1+ f i+1 )

Untuk menghitung integrasi denga metode Simpson perhatikan gambar berikut ini:

Gambar 5.4 Ilustrasi metode Simpson

Dengan menggunakan aturan Simpson, luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y=f(x)

dengan sumbu x dapat dihitung sebagai berikut:

L=h3

( f 0+2 f 1 )+ h3

(2 f 1+ f 2 )+ h3

( f 2+2 f 3 )+ h3

(2 f 3+ f 4 )+⋯+ h3

( f n−2+2 f n−1 )+ h3

( 2 f n−1+ f n )

Atau dapat dituliskan dengan

L=h3 (f 0+4 ∑

i ganjil

f i+2 ∑i ganjil

f i+ f n)Contoh:

Hitung ∫0

1

2 x2 dx dengan step h=0.1

Dengan menggunakan tabel diperoleh:

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 0.0 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686 1.024 1.458 2.0

Dengan menggunakan aturan Simpson dapat dituliskan dengan:

L = (0.1/3){0 + 4*0.002 + 2*0.016 + 4*0.054 + 2*0.128 + ... + 2*1.024 + 4*1.458 +

2.0} = 0.5

Kesalahan yang terjadi sangat kecil.

Catatan:

Metode ini akan mendapatkan hasil yang baik bila diambil n genap

Metode ini sangat terkenal karena kesalahannya sangat kecil, sehingga

menjadi alternatif yang baik dalam perhitungan integral dan penerapannya.

5.2 Formula Newton-Cotes

Untuk data yang mempunyai interval seragam, pemodelan polinomial dengan metode

interpolasi Newton dapat dipergunakan. Metode ini akan banyak mengurangi proses

perhitungan. Formulasi ini disebut metode Newton-Cotes, yang dituliskan sebagai:

I=∫a

b

f ( x ) dx≅∫a

b

Pn ( x ) dx

Dimana Pn(x) adalah polinomial selisih pembagian Newton maju:

Pn ( x )=f 0+s ∆ f 0+s (s−1)

2!∆2 f

0

+s (s−1 )(s−2)

3!∆3 f

0

+⋯+s ( s−1 ) ( s−2 )⋯ (s−(n−1 ))

n!∆n f

0

+Error

Dimana s =

x−x0

h ; h= interval x; dan x = x0 + sh

Dan kesalahan adalan:

Error=( sn+1)hn+1 f ( n+1 )(ξ)

Untuk bisa diintegrasi, maka persamaan polinomial Pn(x) harus ditransformasi ke

dalam bentuk dengan variabel s. Dengan menggunakan hubungan dx = h ds, maka:

I=∫a

b

f ( x ) dx≅∫a

b

Pn ( x ) dx=h ∫s (a)

s (b)

Pn (s ) ds

Batas integrasi pada awalnya adalah x = a dan x = b, untuk ditransformasikan ke

bentuk s maka dipilih x=a sebagai titik awal dari polinomial, sehingga x=a ekuivalen

dengan s = 0 dan x = b ekuivalen dengan s = s. Dengan memsubstitusikan ke

persamaan integrasi maka :

I=h∫0

s

Pn ( x0+sh ) ds

Orde polinomial yang dipilih akan menghasilkan foumulasi Newton-Cotes yang

berbeda. Formulasi yang diperoleh akan mempunyai kemiripan dengan metode

kalkulus seperti metode Reimann, Trapezoida, dan metode Simpson. Berikut ini tabel

dari formulasi Newton- Cotes.

n Formulasi

0 persegi panjang (metode reimann)

1 trapesium

2 Simpson 1/3

3 Simpson 3/8

5.2.1 Aturan Persegi Panjang

Aturan persegi panjang dihasilkan dengan mengintegrasi polinomial orde ke-0:

Dengan mengambil batas atas integrasi s=1 maka untuk satu segmen:

∆ I=h∫0

1

f 0 ds=h sf 0|0

1=h f 0

Maka:

I=∑i=0

n

h f i=h∑i=0

n

f i0

5.2.2 Aturan Trapezioda

Integrasi untuk polinomial orde ke-1 akan berhubungan dengan aturan trapezoida

untuk menghitung interval antara dua buah titik. Untuk batas atas integrasi x1 yang

ekivalen dengan s = 1, integrasi untuk setiap segmen adalah:

∆ I=h∫0

1

(f ¿¿0+s ∆ f 0)ds=h(sf 0+x2

2∆ f 0)|

0

1

¿

Dimana: h = ∆x, dan ∆f0 = (f1 + f0), sehingga:

∆ I=h( f 0+12

∆ f 0)=h( f 0+12

[ f 1−f 0 ])=h12

( f 0+ f 1)

Gambar 5.5 Ilustrasi integrasi Aturan

Gabungan luasan dari tiap interval akan menjadi:

I=∑i=0

n−1

∆ I i=h∑i=0

n−112

( f i+ f i+1 )0

Dimana hi = (xi+1 – xi). Persamaan diatas tidak harus mempunyai interval x yang

sama. Untuk pembagian interval yang sama, persamaan di atas akan dapat menjadi:

I=12

h ( f 0+2 f 1+2 f 2+2 f 3+⋯+2 f n−1+ f n )

Dimana : ∆xi = ∆x = h = konstanta

5.2.3 Aturan Simpson 1/3

Aturan simpson 1/3 dihasilkan dengan mengintegrasi polinomial selisih pembagian

Newton orde ke-2. Karena jumlah inverval yang akan dihitung adalah dua maka batas

atas integral alah x2 yang ekivalen dengan s = 2. Integrasi pada dua interval ini adalah:

∆ I=h∫0

1 [ f 0+s∆ f 0+s (s−1)

2∆2 f 0]ds

Dengan melakukan integrasi, melakukan evaluasi dan memasukkan formulasi ∆f0 dan ∆2f0 ,

maka integrasi untuk satu segmen yang terdiri atas 2 interval adalah sebagai berikut:

∆ I=h13

( f 0+4 f 1+ f 2 )

Gambar 5.6 Ilustrasi integrasi metode Simpson 1/3

Nilai total integrasi simpson 1/3 untuk interval x yng seragam dapat dinyatakan

sebagai berikut:

I=13

h ( f 0+4 f 1+2 f 2+4 f 3+⋯+4 f n−1+ f n )

Bentuk ini serupa dengan metode simpson yang dijelaskan di atas.

5.2.4 Aturan Simpson 3/8

Aturan simpson 3/8dihasilkan dengan mengintegrasi polinomial selisih pembagian

Newton orde ke-3. Karena jumlah inverval yang akan dihitung adalah dua maka batas

atas integral alah x3 yang ekivalen dengan s = 3. Integrasi pada dua interval ini adalah:

∆ I=h∫0

3 [ f 0+s∆ f 0+s (s−1)

2∆2 f 0+

s (s−1 )(s−2)6

∆3 f 0]ds

Dengan melakukan integrasi, melakukan evaluasi dan memasukkan formulasi ∆f0 dan ∆2f0 ,

maka integrasi untuk satu segmen yang terdiri atas 2 interval adalah sebagai berikut:

∆ I=h38

(f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )

Gambar 5.7 Ilustrasi metode simpson 3/8

Nilai total integrasi simpson 1/3 untuk interval x yng seragam dapat dinyatakan

sebagai berikut:

I=38

h ( f 0+3 f 1+3 f 2+2 f 3+3 f 4 +3 f 5+⋯+3 f n−1+ f n )

D. Rangkuman

Integrasi metode numerik dapan didekati dengan metod kalkulus dan formula

Newton-Cotes.

Hasil yang diperoleh dari dua metode pendekatyan yang dilakukan akan

menghasilkan cara perhitungan yang sama yaitu, aturan persegi panjang,

aturan trapesium, aturan simpson 1/3 dan aturan Simpson 3/8.

Aturan Simpson memerlukan jumlah data yang genap agar kesalahan yang

terjadi menjadi kecil.

E. Tugas

1. Hitung luas area di bawah kurva yang mempunyai fungsi berikut dengan

menggunakan metode Trapesium, Simpson1/3 dan Simpson 3/8. Bandingkan

ketiga hasilnya dengan perhitungan analitik (jumlah interval lebih dari 6):

a. f(x)= -0.25x2 + -0.625x -28.5 (3 ≤ x ≤ 9)

b. f(x)= 0.004x3 - 0.116x2 + 0.490x + 4.923 (-2 ≤ x ≤ 2)

2. Diketahui data tabel

xi 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

fi 9.15 6.5 3 4.2 7.5 10.3

Tentukan nilai integrasi untuk interval x=[4,5].

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Faires, J.D. and Burden, R.L., Numerikal Method, Broke Cole, Ohio, 2002

Capra, F., Metode Numerik,

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS

BAB VI

6PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Kompetensi Dasar

Mahasiswa memahami konsep diferensial dengan metode numerik

Mahasiswa dapat menghitung nilai turunan dari titik yang diperoleh dari suatu

himpunan hasil eksperimen dan pengamatan.

Mahasiswa memahami metode-metode diferensial yang dikembangkan dalam

metode numerik seperti metode selisih maju, selisih tengahan, metode

polinomial Lagrange, metode polinomial selisih pembagian newton.

B. Pendahuluan

Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan adalah differensial, dimana

differensial ini banyak digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik. Dan

perhitungan-perhitungan yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu

atau jarak.Secara kalkulus, differensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan

tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak, dan dituliskan dengan :

dydx

= lim∆ x→ 0

Δ yΔ x

Hampir semua fungsi kontinu dapat dihitung nilai differensialnya secara mudah,

sehingga dapat dikatakan metode numerik dianggap tidak perlu digunakan untuk

keperluan perhitungan differensial ini.Masalahnya seiring dengan perkembangannya

pemakaian komputer sebagai alat hitung dan pada banyak permasalahan differensial

adalah salah satu bagian dari penyelesaian, sebagai contoh metode newton raphson

memerlukan differensial sebagai pembagi nilai perbaikan errornya, sehingga metode

newton raphson ini hanya bisa dilakukan bila nilai differensialnya bisa dihitung.

Contoh lainnya adalah penentuan titik puncak kurva y = f(x) yang dinamakan titik

maksimal dan titik minimal, juga memerlukan titik differensial sebagai syarat apakah

titik tersebut sebagai titik puncak. Dimana didefinisikan bahwa suatu titik dinamakan

titik puncak bila differensial dydx

=0.

Pada beberapa permasalahan, nilai differensial dapat dihitung secara manual.Misalkan

diketahui f(x) = xe-x + cos x maka differensialnya adalah f’(x) = (1-x) e-x –sin x.Tetapi

pada permasalahan lain nilai fungsi sulit diselesaikan secara manual.Terutama jika

fungsinya hanya diketahui berupa nilai atau grafis. Prose menghitung differensial ini

tidak mudah, untuk itu metode numerik diperlukan.

C. Pembahasan Materi Ajar

6.1 Differensial Suatu Fungsi

Menghitung differensial dengan cara metode numerik mengambil hubungan antara

nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya, yang didefinisikan dengan:

y=f ( x )+ f ' (x ) . h(x )dan f’(x) didefinisikan sebagai:

f ' ( x )=limh →0

f ( x+h )−f (x)h

Dari formulasi di atas dapat diturunkan beberapa metode differensiasi numerik, antara

lain metode selisih maju dan metode selisih tengahan.

6.1.1 Metode Selisih Maju

Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi

differensial, dan dituliskan:

f ' ( x )=f ( x+h )−f (x )

h

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar kesalahan yang terjadi cukup

kecil. Kesalahan yang terjadi pada metode ini adalah:

ε ( x )=12

hf (x

Contoh:

Hitung differensial f(x) = e-x sin (2x) + 1 dari range x = [0,0.5] dengan h = 0.05

Rata-rata kesalahan = 0.07374

6.1.2 Metode Selisih Tengahan

Metode selisih tengahan merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik

sekitar dari titik yang diukur. Metode ini menggunakan formulai selisih maju pada

titik x dan x-h:

f ' ( x )=f ( x+h )−f (x )

hdan f ' ( x−h )=

f ( x )−f (x−h)h

Dengan mengambil rata-rata kedua formulasi di atas, akan diperoleh formulasi untuk

metode selisih tengahan sebagai berikut:

f ' ( x )= f ' (x )+ f '(x−h)2

atau f ' (x )= f (x+h )−f (x−h)2 h

Kesalahan pada metode ini adalah:

ε ( x )=16

h2 f ' ' '(x )

Contoh:

Hitung differensial f(x) = e-x sin (2x) + 1 dari range x = [0,0.5] dengan h = 0.05

Rata-rata kesalahan = 0.0006656

6.1.3 Differensiasi Tinggkat Tinggi

Differensiasi tingkat tinggi merupakan prose pendiferensialan secara terus menerus

hingga tingkatan yang ditentukan.

1. Diferensial tingkat ke-2 adalah: f”(x) = f’{f’(x)}

2. Diferensial tingkat ke 3 adalah: f(3)(x) = f’{f”(x)}

3. Diferensial tingkat ke-n adalah: f(n)(x) = f’{f(n-1)(x)}atau dapat dituliskan dengan:

dn fd xn =

ddx {dn−1 f

d xn−1 }

Untuk menghitung diferensial tingkat tinggi ini dapat digunakan metode diferensiasi

yang merupakan pengembangan metode selisih tengahan yaitu:

Untuk diferensial tingkat ke-2:

f ' ' ( x )= f ( x−h )−2 f ( x )+ f ( x+h )h2

Kesalahan pada metode ini adalah:

ε ( x )= 112

h2 f (4 )(x)

6.2 Diferensiasi Data Tabel

Untuk mendiferensialkan angka-angka daridata taebl yang berasal dari eksperimen

atau pengamatan dapat dilakukan dengan mengacu pada persamaan yang digunakan

pada proses interpolasi. Untuk itu polinomial Lagrange dan polinomial selisih

pembagian Newton dapat digunakan.

6.2.1 Diferensiasi Polinomial Lagrange

Diferensiasi polinomial Lagrange dapat digunakan untuk data dengan interval

sembarang, yag didasarkan pada persamaan Lagrange yang dihasilkan. Untuk

menghitung diferensial biasanya digunakan polinomial lagrange orde ke 2 agar dapat

dihasilkan turunan pertama dan kedua.

Polinomial lagrange orde ke-2 dituliskan sebagai berikut:

P2 (x )=( x−x1 ) ( x−x2 )

( x0−x1 ) ( x0−x2 )f ( x0 )+

( x−x0 ) ( x−x2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f ( x1 )+( x−x0 ) ( x−x1 )

( x2−x0 ) ( x2−x1 )f ( x2 )

Turunan pertama persamaan di atas adalah:

f '( x)≅ P' 2 ( x )=2 x− ( x1−x2 )

( x0−x1 ) ( x0−x2 )f ( x0)+

2 x−( x0+x2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f ( x1 )+2 x−( x0+x1 )

( x2−x0 ) ( x2−x1)f ( x2 )

Turunan kedua adalah:

f (x) P''} rsub {2} left (x right ) = {2f left ({x} rsub {0} right )} over {left ({x} rsub {0} - {x} rsub {1} right ) left ({x} rsub {0} - {x} rsub {2} right )} + {2f left ({x} rsub {1} right )} over {left ({x} rsub {1} - {x} rsub {0} right ) left ({x} rsub {1} - {x} rsub {2} right )} + {2f left ({x} rsub {2} right )} over {left ({x} rsub {2} - {x} rsub {0} right ) left ({x} rsub {2} - {x} rsub {1} right )≅ ¿

6.2.2 Polinomial Selisih Pembagian Newton

Prosedur kedua yang bisa digunakan untuk menghitung turunan dari data yang

mempunyai interval sembaraqng adalah polinomial selisih pembagian Newton.

Polinomial ini dituliskan:

Pn ( x )=f 0+ ( x−x0 ) f [ x0 , x1 ]+ ( x−x0 ) ( x−x1) f [x0 , x1 , x2 ]+⋯+( x−x0 ) ( x−x1 )⋯ ( x−xn−1 ) f [ x0, x1 , x2 ,⋯ , xn ]

Penulisan polinomial di atas disederhanakan menjadi:

Pn ( x )=f i(0)+( x−x0 ) f i

(1)+( x−x0 ) ( x−x1 ) f i(2)+⋯+( x−x0 ) ( x−x1 )⋯ ( x−xn−1 ) f i

(n)

Formulasi turunan pertama adalah

f '( x)≅ P' n (x )=f i(1)+[2 x−( x0+ x1 ) ] f i

(2)+¿

Turunan kedua :

f (x) P≅ n ( x )=2 f i(2)+[6 x−2 ( x0+x1+ x2 ) ] f i

(3)+⋯

D. Rangkuman

Metode numerik dapat digunakan untuk menentukan diferensial dari suatu nilai x,

baik yang diketahui fungsinys maupun yang hanya berupa tabel korelasi x-y.

Metode definisi diferensial dapat diterapkan langsung pada metode selisih maju

dan tengahan. Kedua metode ini selanjutnya bisa diaplikasikan mmenjadi metode

elemen hingga.

Polinomial dari hasil interpolasi Lagrange dan selisih pembagian newton dapat

diaplikasikan pada perhitungan diferensial data tabel yang sembarang.

E. Tugas

Diketahui data:

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

f(x) 0.0 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686 1.024 1.458 2.0

Hitung turunan pertama dari masing-masing titik di bawah dengan metode:

1. Metode selisih maju

2. Metode selisih tengah

3. Metode polinomial lagrange orde kedua

4. Metode selisih pembagian newton orde ke dua

Hitung turunan kedua dari masing-masing titik di bawah dengan metode:

1. Metode polinomial lagrange orde ketiga

2. Metode selisih pembagian newton orde ketiga

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Faires, J.D. and Burden, R.L., Numerikal Method, Broke Cole, Ohio, 2002

Capra, F., Metode Numerik,

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS

BAB VII

7PERSAMAAN LINIER

A. Kompetensi Dasar

1) Pemahaman penyelesaian persaman linier simultan

2) Prosedur eliminasi matriks dan operasi baris

3) Sistem eliminasi sederhana (Elmininasi Gauss dan Gauss-Jordan)

B. Pendahuluan

Permasalahan sistem persamaan linier merupakan permasalahan yang banyak muncul

ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan

merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat

paling besar satu. Untuk jumlah variabel yang sedikit (kurang dari tiga) metode

substitusi masih dapat dipergunakan akan tetapi untuk jumlah variabel yang banyak,

metode substitusi akan sangat sulit dilakukan untuk itu dikembangkan metode

eliminasi matrik yang dikenal dengan eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan.

C. Pembahasan Materi Ajar

7.1 Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara

bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier dengan m

persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2

a21 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn = b3

................................................................

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm

dimana:

aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau sistem persamaan

xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada sistem persamaan

Penyelesaian sistem persamaan linier adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n

yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Permasalahan sistem persamaan linier merupakan permasalahan yang banyak muncul

ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan

merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat

paling besar satu. Sistem persamaan linier di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk

matrik yaitu :

[a11 a12 a13 ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2 n

a31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am 1 am2 am3 ⋯ amn

] [x 1

x2

x3

⋮x3

]=[b1

b2

b3

⋮bm

]atau dapat dituliskan:

A x = B

Dimana:

A=[a11 a12 a13 ⋯ a1 n

a21 a22 a23 ⋯ a2 n

a31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

] ; x= [x 1

x2

x3

⋮x3

] ; B=[b1

b2

b3

⋮bm

]Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari sistem persamaan linier, atau ada

yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor

variabel (atau vektor keadaan) dan vektor b dinamakan dengan vektor konstanta.

Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari sistem persamaan linier adalah matrik

yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom

terakhirnya, dan dituliskan:

Augmented (A) = [A b]

Sehingga secara detail, augmented matrik dari sistem persamaan linier dapat

dituliskan:

[a11 a12 a13 ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2 n

a31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am 1 am2 am3 ⋯ amn

b1

b2

b3

⋮bm

]Contoh:

Diketahui sebuah sistem persamaan linier:

3x1 + 4x2 – 2 x3 = 5

x1 − 5x2 + 2x3 = 7

2x1 + x2 − 3x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut:

[3 4 −21 −5 22 1 −3|

579 ]

Theorema

Suatu sistem persamaan linier mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi

syarat-syarat sebagai berikut.

(1) Ukuran sistem persamaan linier bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama

dengan jumlah variable bebas.

(2) Sistem persamaan linier non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector

konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.

(3) Determinan dari matrik koefisien sistem persamaan linier tidak sama dengan nol.

Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan sistem persamaan linier dapat

dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode

grafis, aturan Cramer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan

dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila

ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga

pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode

numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan

linier dapat dibagi menjadi 2 yaitu metode langsung dan metode iterasi. Kedua

metode ini dapat dibagi menjadi:

Metode langsung

1) Metode Eliminasi Gauss

2) Metode Eliminasi Gauss-Jordan

3) Matriks Invers

4) Pemfaktoran matriks LU

Metode tak langsung

1) Iterasi Jacobi

2) Iterasi Gauss Seidel

7.2 Eliminasi Gauss

Metode eliminasi digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan

cara memisalkan nilai x yang pertama (x1) dengan menggunakan persamaan pertama

dalam bentuk fungsi dari x yang seterusnya (x2 sampai xn). Kemudian mensubstitusi

fungsi x1 ke persamaan-persamaan selanjutnya yang mempunyai variabel x2 sampai

xn. Proses eliminasi dilakukan sebanyak (n-1) kali sampai dengan langkah terakhir

dimana diperoleh persamaan yang hanya mempunyai satu variabel yaitu xn.

Nilai xn dapat diketahui dengan menghitung persamaan terakhir dari proses eliminasi.

Selanjutnya xn digunakan untuk menghitung nilai xn-1 dengan proses substitusi. Proses

ini diulang sampai dengan substitusi x2 untuk menghitung nilai x1. Proses ini disebut

substitusi terbalik.

Proses eliminasi dalam matriks adalah berupa operasi baris matriks, dimana

mempunyai aturan sebagai berikut:

1. Setiap baris dapat dikalikan dengan suatu konstanta (perbesaran/pengecilan)

2. Urutan baris dapat ditukar (pivot)

3. Setiap baris dapat digantikan dengan kombinasi/operasi linier baris tersebut

dengan baris yang lain

Operasi baris ini akan mengubah nilai dari masing-masing elemen matrik A dan b,

tetapi tidak mengubah nilai x dari sistem persamaan linier.

Aturan pertama dari operasi baris digunakan untuk menyederhanakan nilai dari tiap

baris untuk memudahkan perhitungan. Aturan kedua diperlukan untuk menghindari

pembagian dengan nol dan untuk mengurangi kesalahan pembulatan. Auran ketiga

merupakan implementasi dari sistematika proses eliminasi yang dijelaskan di atas.

Secara matematis proses eliminasi gauss dapat ditunjukkan dalam bentuk matrik

seperti di bawah ini. Dimana bentuk matrik pada bagian kiri diubah menjadi matrik

segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan operasi baris:

[a11 a12 a13 ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2 n

a31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

|

b1

b2

b3

⋮bm

] → [c11 c12 c13 ⋯ c1n

0 c22 c23 ⋯ c2n

0 0 c33 ⋯ c3n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ cmn

|

d1

d2

d3

⋮dm

]

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan :

8 x2 + 2 x3 = -7

3 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 8

6 x1 + 2 x2 + 8 x3 = 26

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, urutan persamaan boleh diubah

menjadi:

6 x1 + 2 x2 + 8 x3 = 26

3 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 8

8 x2 + 2 x3 = -7

La ngkah pertama adalah membentuk matriks teraugmentasi :

[6 2 83 5 20 8 2

|268

−7 ]untuk mengeliminasi angka di baris ke-2 kolom pertama:

Baris kedua dikurangi 3/6 atau setengah baris pertama sehingga akan diperoleh:

[6 2 80 4 −20 8 2

|26−5−7 ]

Selanjutnya mengeliminasi baris ke-3 kolom ke-2

Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-2, sehingga diperoleh:

[6 2 80 4 −20 0 6

|26−53 ]

Sistem persamaan linier akan menjadi :

6 x1 + 2 x2 + 8 x3 = 26

4 x2 - 2 x3 = -5

6 x3 = 3

Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh : x3 = ½ , x2 = -1 dan x1 = 4

7.3 Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada

metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun

di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa

matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-

elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah sistem

persamaan linier, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin

menyelesaikan sistem persamaan linier dengan matriks koefisien sama.

[a11 a12 a13 ⋯ a1n

a21 a22 a23 ⋯ a2 n

a31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

|

b1

b2

b3

⋮bm

] → [1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

|

f 1

f 2

f 3

⋮f m

]Contoh:

Eliminasi dapat digunakan untuk menggantikan proses substitusi pada contoh

eliminasi Gauss di atas:

Selesaikan sistem persamaan :

8 x2 + 2 x3 = -7

3 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 8

6 x1 + 2 x2 + 8 x3 = 26

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, urutan persamaan boleh diubah

menjadi:

6 x1 + 2 x2 + 8 x3 = 26

3 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 8

8 x2 + 2 x3 = -7

Langsung ke matrik terakhir dari proses eliminasi Gauss:

[6 2 80 4 −20 0 6

|26−53 ]

Baris ke-3 dibagi dengan 6 untuk membuat angka di diagonal matriks =1

[6 2 80 4 −20 0 6

|26−53 ]⇒[6 2 8

0 4 −20 0 1

|26−5

12

]Baris ke-2 ditambah dengan dua kali baris ke-3 dan selanjutnya di bagi dengan 4:

[6 2 80 4 −20 0 1

|26−5

12

]⇒[6 2 80 4 00 0 1

|26−4

12

]⇒[6 2 80 1 00 0 1

|26−1

12

]Baris pertama dikurangi 8 kali baris ke-3 dan dikurangi dua kali baris ke-2,

selanjutnya dibagi dengan 6

[6 2 80 1 00 0 1

|26−1

12

]⇒[6 2 00 1 00 0 1

|22−1

12

]⇒[6 0 00 1 00 0 1

|24−1

12

]⇒[1 0 00 1 00 0 1

|4

−112

]Dari hasil proses eliminasi Gauss-Jordan nilai x1, x2, dan x3 langsung dapat diketahui,

dimana : x1 = 4, x2 = -1 dan x3 = ½.

7.4 Matriks Invers

7.5 Pemfaktoran matriks LU

7.6 Iterasi Jacobi

7.7 Iterasi Gauss Seidel

D. Rangkuman

Eliminasi Gauss sangat mudah dipergunakan untuk menyelesaikan sistem

persamaanlinier bengan banyak variabel.

Eliminasi Gauss akan dapat memberikan hasil jika diterminat matriks yang

terbentuk adalah positif

Eliminasi Gauss-Jordan dilakukan untuk menggantikan proses substitusi

terbalik yang diperlukan setelah proses eliminasi Gauss.

E. Tugas

1) Diketahui persamaan linier:

1. 3x1 + 3x2 +5x3 = 50

2. 2x1 + 4x2 +x3 = 23

3. 2x1 + 3x2 +2x3 = 27

a. Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi sistem matrik Ax=b.

b. Tentukan nilai x1, x2, dan x3 menggunakan metoda Gauss Jordan

2) Diketahui persamaan linier:

1. 4x1 + 8x2 + 4x3 + 5x4 = 142

2. 2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 64

3. 2x1 + 6x2 + 4x3 + 9x4 = 142

4. 5x1 + 8x2 + 4x3 + 1x4 = 123

a. Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi sistem matrik Ax=b.

b. Tentukan nilai x1, x2, x3, dan x4 menggunakan metoda Gauss Jordan

F. Sumber Belajar

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc, New

Jersey 2006.

Hoffman, J.D., Numerikal Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc.

New York, 1992.

Faires, J.D. and Burden, R.L., Numerikal Method, Broke Cole, Ohio, 2002

Capra, F., Metode Numerik,

Surbakti, I., Metode Numerik, Diktat Kuliah, ITS