metode numerik d6114006 - blog iain...
TRANSCRIPT
BAHAN AJAR
METODE NUMERIK
D6114006
Disusun Oleh: Zaenal Abidin, S.Si., M.Cs.
JURUSAN ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2
BAB 1
PENGANTAR METODE NUMERIK
Metode Numerik Secara Umum
Model matematika fisika, kimia, ekonomi, teknik, dsb
Seringkali model matematika tidak ideal / rumit
Model matematika rumit tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk
mendapatkan solusi eksak.
Metode analitik metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus
aljabar yang sudah baku (lazim).
Contoh ilustrasi :
1. Tentukan akar-akar persamaan polinom:
2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan:
Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.
Solusi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan)
polinom menjadi perkalian beberapa suku.
Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.
Soal (2) masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua
persamaan.
Metode Analitik VS Metode Numerik
Metode analitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama
dengan nol.
Metode analitik hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu.
Nilai praktis penyelesaian metode analitik, terbatas.
Metode Numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik
sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa.
Secara harfiah, metode numerik cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.
3
Perbedaan antara metode numeriK dan metode analitik adalah :
Metode Numerik Metode Analitik
Solusi selalu berbentuk angka Solusi dalam bentuk fungsi matematika
Solusi berupa hampiran atau pendekatan Solusi eksak
Terdapat galat (error) Tidak ada galat (galat=0)
Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa
Dalam bidang rekayasa, kebutuhan menemukan solusi persoalan secara praktis adalah
jelas.
Masih banyak cara penyelesaian persoalan matematis yang dirasa terlalu sulit atau dalam
bentuk kurang kongkrit.
Penyelesaian analitik, kurang berguna bagi rekayasawan.
Banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan
secara hampiran.
Contoh kasus :
Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100oC. Kemudian, pada saat t = 0, bola
dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30oC. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi
70oC. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendingin bola logam itu
adalah 0,1865.
Jawab:
Dengan menggunakan Hukum Pendingin Newton
k = tetapan pendingan bola logam = 0,1865
Untuk menentukan suhu bola pada t = 22,78 menit, persamaan differensial harus diselesaikan
agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan.
Persamaan differensial metode kalkulus diferensial (cari sendiri???).
Solusi umumnya adalah:
T(t)=ce-kt
+ 30
Nilai awal yang diberikan T(0) = 100
4
T(t)=70e-0,1865t
+30
Dengan memasukkan t=22,78 ke dalam persamaan T, diperoleh T= 31oC.
Bagi rekayasawan, solusi persamaan differensial yang berbentuk fungsi kontinu, tidak terlalu
penting. Dalam praktik di lapangan, rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola
logam setelah t tertentu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan
differensial, lalu solusi untuk t dicari secara numerik.
Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika Rumit Saja?
Metode numerik berlaku umum, yakni dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan
matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik), maupun
persoalan matematika yang rumit.
Peranan Komputer dalam Metode Numerik
Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam
operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan
menjemukan.
Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program.
Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang
dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta
dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter.
Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses
untuk menyelesaikan masalah-masalah di dunia nyata.
Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat
diselesaikan dengan komputer.
Alasan Mempelajari Metode Numerik
Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu
menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang
dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis.
Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program.
Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah
rekayasa.
5
Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer
dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.
Menangani galat suatu nilai hampirandari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari
paket program yang berskala besar.
Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu
kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi-
operasi matematika yang mendasar.
Tahap Pemecahan Secara Numeris
Pemodelan
Penyederhanan Model
Formulasi Numerik
o menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.
o Pertimbangan pemilihan metode
Apakah metode tersebut teliti?
Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat?
Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data.
o Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
Pemrograman (translate algoritma program komputer)
Operasional pengujian program dengan data uji
Evaluasi intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan
keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.
Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik
Tahap 1, dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan.
Dimana peran orang informatika?
Infromataikawan berperan dalam tahap 3, 4, dan 5.
Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang informatika juga ikut
dilibatkan dalam memodelkan.
Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan para pakar di bidang yang
bersangkutan. Bersama-sama pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang
diperoleh.
6
Turunan
)()( 11 xxmyy
1
1
xx
yym
ax
xfy
xfy
xfm
1
11 )(
)(
)('
))((')()(
)()()('
)()()('
1
1
axafafxp
ax
afxpaf
ax
afxfxf
x
x
exf
exf
)('
)(
Log(x)→natural logaritmic(ln(x))
Misal: 0,)( aexf x
))((')()(1 axafafxP
xx
xee
axee aa
1)(11
)0(
)(
00
Selesaikan !
1. d(x²) = 𝟐𝒙
2. d(1+x²-2x³) = 𝟐𝒙 – 𝟔𝒙²
3. 𝑑(
1
1−𝑥)
𝑑𝑥 =
𝟏
𝟏−𝒙= (𝟏 − 𝒙)−𝟏
𝒅( (𝟏−𝒙)−𝟏)
𝒅(𝟏−𝒙) .𝒅(𝟏−𝒙)
𝒅𝒙 = −(𝟏 − 𝒙)−𝟐 −𝟏 = (𝟏 − 𝒙)−𝟐
= 𝟏
(𝟏−𝒙)𝟐
4. 𝑑( 1+𝑥)
𝑑𝑥 =
𝒅(𝟏+𝒙
𝟏𝟐 )
𝒅𝒙 =
𝒅(𝟏+𝒙𝟏𝟐 )
𝒅(𝟏+𝒙) . 𝒅(𝟏+𝒙)
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐 (𝟏 + 𝒙)
𝟏𝟐 −𝟏
= 𝟏
𝟐 (𝟏 + 𝒙)−
𝟏𝟐 =
𝟏
𝟐 𝟏+𝒙
7
5. 𝑑( (1+2𝑥5)10 )
𝑑𝑥 =
𝒅( (𝟏+𝟐𝒙𝟓)𝟏𝟎)
𝒅𝒙 =
𝒅( ( 𝟏+𝟐𝒙𝟓)𝟏𝟎)
𝒅𝒙(𝟏+𝟐𝒙𝟓) . 𝒅(𝟏+𝟐𝒙𝟓)
𝒅𝒙
= 𝟏𝟎 (𝟏 + 𝟐𝒙𝟓)𝟗 (𝟏𝟎𝒙𝟒)
6. 𝑑(
𝑥−1
2𝑥+5)
𝑑𝑥 =
𝒅 (𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟓
)
𝒅𝒙 =
𝒅(𝒙−𝟏)
𝒅𝒙 .(𝟐𝐱+𝟓) –
𝒅(𝟐𝒙+𝟓)
𝒅𝒙 .(𝐱−𝟏)
(𝟐𝒙+𝟓)𝟐
= 𝟐𝒙+𝟓 − 𝟐(𝒙−𝟏)
(𝟐𝒙+𝟓)𝟐
7. 𝑑 𝑥2−1 (2−3𝑥4)
𝑑𝑥=
=𝒅 𝒙𝟐−𝟏 (𝟐−𝟑𝒙𝟒)
𝒅𝒙= u'v + v'u
= 𝒅(𝒙𝟐−𝟏)
𝒅𝒙 (2-𝟑𝒙𝟒) +
𝒅(𝟐−𝟑𝒙𝟒)
𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟏)
= 2x(2-𝟑𝒙𝟒) + −𝟏𝟐𝒙𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟏)
=𝟒𝒙−𝟔𝒙𝟓+ −𝟏𝟐𝒙𝟓 +𝟏𝟐𝒙𝟑
=−𝟏𝟖𝒙𝟓+ 𝟏𝟐𝒙𝟑+ 𝟒𝒙
8. 𝑑 cos 𝑥2
𝑑𝑥=
𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟐
𝒅𝒙=
𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝟐
𝒅 𝒙𝟐
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙 = −𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐 𝟐𝒙
=−𝟐𝒙𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟐
9. 𝑑 ln 𝑥
𝑑𝑥=
𝟏
𝒙
10. 𝑑 ln 1−𝑥
𝑑𝑥=
𝒅 𝐥𝐧 𝟏−𝒙
𝒅 𝟏−𝒙 .𝒅 𝟏−𝒙
𝒅𝒙=
𝟏
𝟏−𝒙 −𝟏 =
−𝟏
𝟏−𝒙
11. 𝑑( 𝑥2−3𝑥)23
𝑑𝑥=
𝒅((𝒙𝟐−𝟑𝒙
𝟐𝟑 )
𝒅 𝒙𝟐−𝟑𝒙 .𝒅 𝒙𝟐−𝟑𝒙
𝒅𝒙=
𝟐
𝟑 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
−𝟏𝟑 𝟐𝒙 − 𝟑
8
12. 𝑑
1−𝑥2
𝑥+1
𝑑𝑥=
=𝒅
𝟏−𝒙𝟐
𝒙+𝟏
𝒅𝒙=
𝒅(𝟏−𝒙𝟐)
𝟏𝟐
𝒅𝒙 𝒙+𝟏 −
𝒅(𝒙+𝟏)
𝒅𝒙 (𝟏−𝒙)
𝟏𝟐
(𝒙+𝟏)𝟐
= 𝟏𝟐 𝟏−𝒙𝟐)−
𝟏𝟐 −𝟐𝒙 𝒙+𝟏 − 𝟏 𝟏−𝒙
𝟏𝟐
𝒙+𝟏 𝟐
= 𝟏𝟐 𝟏−𝒙𝟐
−𝟏𝟐 −𝟐𝒙𝟐−𝟐𝒙 − (𝟏−𝒙𝟐)
𝟏𝟐
𝒙+𝟏 𝟐
= −𝟐𝒙𝟐−𝟐𝒙−
𝟐 𝟏𝒙𝟐
𝒙+𝟏 𝟐
− 𝟏 − 𝒙𝟐 = −𝟐𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟐 𝟏−𝒙𝟐
𝟐 𝟏−𝒙𝟐
𝒙+𝟏 𝟐
=−𝟐𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟐+𝟐𝒙𝟐
𝟐 𝟏−𝒙𝟐(𝒙+𝟏)²=
−𝟐𝒙−𝟐
𝟐 𝟏−𝒙²(𝒙+𝟏)²
=−𝟐(𝒙+𝟏)
−𝟐 𝒙+𝟏 𝟐 𝟏−𝒙²=
−𝟏
(𝒙+𝟏) 𝟏−𝒙²
13. 𝑑 𝑠𝑖𝑛3 1−𝑥2
𝑑𝑥=
=𝒅 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝟏−𝒙𝟐 𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙𝟐 𝒅(𝟏−𝒙𝟐)
𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙𝟐 𝒅 𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙
= 3𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙𝟐 −𝟐𝒙
= -6x 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙𝟐
9
BAB 2
DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Polinomial Taylor
Umumnya fungsi f(x) yang ada di matematika tidak dapat dikerjakan secara eksak
dengan cara yang sederhana.Sebagai contoh untuk menentukan nilai f(x) = cos(x) , 𝑒𝑥 atau
𝑥 tanpa menggunakan alat bantu adalah hal yang sangat susah.Salah satu cara yang
digunakan untuk mencari nilai f(x) adalah dengan menggunakan fungsi pendekatan yaitu
polinomial. Diantara polinomial-polinomial yang banyak digunakan adalah polinomial taylor.
Rumus umum dari polinomial taylor adalah sbb:
Pn(x) = f(a) + (x − a) f′(a) +(𝑥−𝑎)2
2! f′′(a)+. ..
+(𝑥−𝑎)𝑛
𝑛 ! 𝑓 𝑛 (𝑎)
= 𝑥−𝑎 𝑗
𝑗 !𝑓 𝑗 𝑎 𝑛
𝑗=0
dengan 𝑓 0 𝑎 = 𝑓 𝑎
Contoh 1 :
Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 0
maka 𝑓 𝑗 𝑥 = 𝑒𝑥 ,𝑓 𝑗 (0) = 1, ∀j≥ 0
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ 0 + 𝑥 − 0 2
2!𝑓 ′′ 𝑎 + ⋯+
𝑥 − 0 𝑛
𝑛!𝑓 𝑛 0
= 1 + 𝑥 .1 + 𝑥2
2! .1 + ⋯+
𝑥𝑛
𝑛 ! .1
= 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛 !
Kasus khusus bila fungsi polinomial taylor diperluas disekitar a=0 maka dinamakan deret
Maclaurin.
Contoh 2 :
Diketahui 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 dan 𝑎 = 0
Carilah deret Maclaurin dari fungsi f tersebut !
Penyelesaian :
𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑓′′′ 𝑥 = −cos(𝑥) 𝑓 𝑛 𝑥 = cos(𝑥)
𝑓′′ 𝑥 = −sin(𝑥) 𝑓 4 𝑥 = sin(𝑥)
10
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓′ 0 +(𝑥 − 0)2
2!𝑓′′ 0 +
(𝑥 − 0)3
3!𝑓′′′ 0 +
𝑥 − 0 4
4!𝑓 4 0
+ 𝑥 − 0 5
5!𝑓 5 0 + ⋯
= 0 + 𝑥. 1 +𝑥2
2! .0 +
𝑥3
3! −1 +
𝑥4
4! 0 +
𝑥5
5! 1
= 𝑥 −𝑥3
3!+𝑥5
5!−−𝑥7
7!+𝑥9
9!+ ⋯
Latihan Soal
Carilah deret Maclaurin dari
1. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1
3. 𝑓 𝑥 =1
1−𝑥
4. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
Penyelesaian
1. 𝑓′ 𝑥 = −sin(𝑥) 𝑓′′′ 𝑥 = sin(𝑥) 𝑓 5 𝑥 = −sin(𝑥)
𝑓′′ 𝑥 = −cos(𝑥) 𝑓 4 𝑥 = cos(𝑥)
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ 0 + 𝑥 − 0 2
2!𝑓 ′′ 0 +
𝑥 − 0 3
3!𝑓 ′′′ 0
+ 𝑥−0 4
4!𝑓 4 0 +
𝑥−0 5
5!𝑓 5 0 + ⋯
= 1 + 𝑥 +𝑥2
2! −1 +
𝑥
3!
3
. 0 +𝑥4
4!. 1 +
𝑥5
5!. 0
= 1 −𝑥2
2!+𝑥4
4!…
2. 𝑓 ′ 𝑥 =1
𝑥+1
𝑓 ′′ 𝑥 = − 𝑥 + 1 −2 =−1
𝑥+1 2
𝑓 ′′′ 𝑥 = 2 𝑥 + 1 −3 =2
𝑥 + 1 3
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ 0 + 𝑥 − 0 2
2!𝑓 ′′ 0 +
𝑥 − 0 3
3!𝑓 ′′′ 0
= 0 + 𝑥. 1 +𝑥2
2! −1 +
𝑥3
3! 2 + ⋯
11
= 𝑥 −𝑥2
2!+
2𝑥3
3!+ ⋯
= 𝑥 −𝑥2
2+𝑥2
2+𝑥3
3−𝑥4
4+𝑥5
5+ ⋯
3. 𝑓 ′ 𝑥 = − 1 − 𝑥 −2 = −1
1−𝑥 2
𝑓 ′′ 𝑥 = 2 1 − 𝑥 −3 =2
1−𝑥 3
𝑓 ′′′ 𝑥 = −6 1 − 𝑥 −4 = −6
1−𝑥 4
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ 0 + 𝑥 − 0 2
2!𝑓 ′′ 0 +
𝑥 − 0 2
3!𝑓 ′′′ 0
= 1 + 𝑥 −1 +𝑥2
2! 2 +
𝑥3
3! −6
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯
4. 𝑓 ′ 𝑥 = 12 1 + 𝑥 −
12 =
1
2 1+𝑥 1
2
𝑓 ′′ 𝑥 = −1
4 1 + 𝑥 −
32 = −
1
4 1+𝑥 3
2
𝑓 ′′′ 𝑥 =3
8 1 + 𝑥 −
52 =
3
8 1+𝑥 3
2
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓 ′ 0 + 𝑥 − 0 2
2!𝑓 ′′ 0 +
𝑥 − 0 3
3!𝑓 ′′′ 0
= 1 + 𝑥.1
2+
𝑥2
2!−
1
4+
𝑥3
3!.
3
8
= 1 +1
2𝑥 −
𝑥2
8!+
3𝑥2
16!+ ⋯
Galat Pada Polinomial Taylor
Diasumsikan bahwa 𝑓(𝑥) mempunyai n+1 turunan kontinu pada interval 𝛼 ≤ 𝑎 ≤ 𝛽,
misalkan titik 𝑎 berada pada interval tersebut maka 𝑅𝑛(𝑥) disebut remainder atau galat atau
sisa/residu.
Dirumuskan :
𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃𝑛(𝑥)
Dengan 𝑃𝑛(𝑥) adalah Polinomial Taylor
𝑅𝑛 𝑥 = 𝑥−𝑎 𝑛+1
𝑛+1 !𝑓 𝑛+1 (𝐶𝑥) , 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽
Dengan 𝐶𝑥 adalah sebuah titik yang berada diantara a dan x.
Suku-suku deret Taylor biasanya di tuliskan tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan
praktis, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.
12
Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-n disebut deret taylor terpotong. Deret Taylor
yang dipotong sampai suku ke-n bisa dituliskan :
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛(𝑥)
Contoh :
Misalkan 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=1.
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑥 − 𝑎 𝑓 ′ 𝑎 +(𝑥 − 𝑎)2
2! 𝑓"(𝑎) + ⋯+
(𝑥 − 𝑎)4
4! 𝑓4(𝑎)
Diketahui :
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , hampirilah deret taylor orde 4 di a=1.
Penyelesaian :
𝑃𝑛 𝑥 = sin 1 + 𝑥 − 1 cos 1 + 𝑥−1 2
2! − sin 1 +
𝑥−1 3
3! − cos 1 +
𝑥−1 4
4! sin(1)
𝑅5 𝑥 = 𝑥−1 5
5!cos(𝐶𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥
= sin 1 + 𝑥 − 1 cos 1 + 𝑥−1 2
2! − sin 1 +
𝑥−1 3
3! − cos 1 +
𝑥−1 4
4!sin 1 +
𝑥−1 5
5!cos(𝐶𝑥)
dengan
𝑅5 𝑥 = 𝑥−1 5
5!cos 𝐶𝑥 , 1 ≤ 𝐶𝑥 ≤ 𝑥
Deret taylor terpotong di daerah a = 0 disebut deret Maclaurin terpotong.
Contoh :
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!+
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1 !𝑒𝑐
Galat
Didalam metode numerik selalu digunakan nilai hampiran untuk mencari nilai atau solusi
numerik. Nnilai hampiran inilah yang memunculkan galat atau error.
Error atau galat terjadi karena beberapa sebab :
1. dari pengamatan
2. dari pengabaian sesuatu
3. dari alat yang digunakan
4. dari metode numeris yang digunakan
Galat didefinisikan sebagai :
𝜀 = 𝑎 − â
13
Keterangan:
𝜀 : dibaca epsilon : galat/error
𝑎 : nilai sejati(true value)
: nilai hampiran (approximation value)
Galat Relatif yaitu ukuran galat terhadap nilai sejatinya.
𝜀𝑅 =𝜀
𝑎 atau 𝜀𝑅 =
𝜀
𝑎 100%
Keterangan :
𝜀𝑅 : galat relatif
𝜀 : galat
𝑎 : nilai sejati
Contoh :
Dipunyai nilai π = 3,14159265...
Nilai hampiran = 22/7 = 3,1428571...
Sehingga galatnya adalah :
ε = 3,14159265 - 3,1428571
= - 0,00126
ε = 𝜀
𝑎
= −0,00126
3,14159265
= -0,000402
Galat relatif hampiran yaitu : ukuran galat terhadap nilai hampirannya.
εRA = 𝜀
ᾂ
Macam-macam galat dalam penghitungan numerik :
1. Galat Pemotongan (Truncation Error)
Galat ini mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai
pengganti solusi eksak. Galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang
digunakan, sehingga galat ini juga disebut galat metode.
14
contoh :
cos(x) = 1- 𝑥2
2! +
𝑥4
4! -
𝑥6
6! +
𝑥8
8! -
𝑥10
10!
Nilai hampiran galat pemotongan
pemotongan
2. Galat Pembulatan
Galat yang ditimbulkan dari keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real.
contoh :
1
6 = 0,1666...
Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya
mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit (1 byte = 8 bit)
3. Galat total
Atau galat akhir pada solusi numerik. Merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
Contoh :
cos(0,5) ≈ 1- 0,52
2! +
0,54
4! ≈ 0,877604...
galat pemotongan galat pembulatan
contoh :
1. Hitunglah error, relative error, dan digit yang signifikan dibawah ini dengan perkiraan
𝑋𝐴 = 𝑋𝑇
a) Xt = 28,254, XA= 28,271 εR = 𝜀
𝑎=
−17
28,254 = -0,000601684717
Jawab :
ε = a-â
= 28,354-28,271
= -17
b) Xt = 0,028254, XA = 0,028271 εR = 𝜀
𝑎=
−0,000017
0,028254 = -0,0006016847
Jawab :
ε = a-â
= 0,028254 - 0,028271
15
= -,000017
c) Xt = e, XA = 19
7 εR=
𝜀
𝑎=
0,003996113714 3
2,178281828 = 0,0014700880803
Jawab :
ε = a-â
= 2,178281828 – 2,7142857142857
= 0,0039961137143
d) Xt = 2, XA = 1,414 εR = 𝜀
𝑎=
0,0002135623731
1,4142135623731 = 0,0001510114022
Jawab :
ε = a-â
= 1,4142135623731 – 1,414
= 0,0002135623731
Bilangan Titik Kambang
Format bilangan real di komputer berbeda-beda bergantung pada perangkat keras dan
penerjemah bahasa pemrograman. Bilangan real di dalam komputer umumnya disajikan
dalam format bilangan titik kambang
𝑎 = ±𝑚𝑥 𝐵ᴾ
Keterangan:
m = mantis (rill)
B = basis sistem bilangan yang di pakai (2, 8, 10, dst)
P = pangkat (berupa bilangan bulat)
Contoh:
Bilangan rill 245,7654 dinyatakan sebagai 0,2457654 x 103
atau bisa juga ditulis
0,2457654E03
Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi
Represensitatif bilangan titik kambang bisa beragam sebagai contoh kita dapat menuliskan
sebagai
𝑎 = ± 𝑚𝑥 𝐵ᴾ⁻¹
16
Misalnya 245,7654 dapat dituliskan sebagai 0,2457654 x 103
atau 2,457654 x 102 atau
0,02457654 x 104 dst.
Agar bilangan titik kambang dapat disajikan seragam, maka digit pertama mantis tidak boleh
“0”. Bilangan titik kambang yang di normalisasi ditulis sebagai:
𝑎 = ±𝑚𝑥 𝐵ᴾ = ±0 𝑑1,𝑑2,𝑑3…𝑑𝑛 𝐵ᴾ
Dimana d1, d2 ,d3 ... dn adalah digit matriks terhadap syarat 1 ≤ d1 ≤ b-1, dan 0 ≤ dk ≤ b-1
untuk k>1
Pada syarat desimal: 1 ≤ d ≤ 9 dan 0 ≤ dx ≤ 9
Pada sistem biner: d = 1 dan 0 ≤ dx ≤ 1
Contoh:
1. 0,0563 x 10-3
dinormalisasi menjadi 0,563 x 10-4
2. 0,00023270 x 106
dinormalisasikan menjadi 0,23270 x 103
17
BAB 3
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
Dalam matematika terapan kita sering mencari penyelesaian persamaan untuk f(x)=0, yakni
bilangan-bilangan x=1 sedemikian hingga f(x)=0 sehingga f(r)=0; f adalah fungsi tak linier
dan r yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik 0 fungsi tersebut.
1. Persamaan Aljabar
Contoh:
1) Persamaan Polinom Berordo > 2
𝑎𝑛𝑥ⁿ + 𝑎𝑛−1𝑥ⁿ−1 + ⋯+ 𝑎₂𝑥2 + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ = 0
Dengan 𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 > 0
2) Persamaan Rasional
𝑃 =𝑅𝑇
𝑣 − 𝑥−
𝐴
𝑣′(𝑣 + 𝑥)
Dengan P, R, T, A, v konstanta
2. Persamaan Transenden, adalah persamaan yang mengandung fungsi-fungsi
trigonometri algoritma atau eksponen.
Contoh:
1) e-x
+ sin(x) = 0
2) hx – 2 = 0
3. Persamaan Campuran, mengandung baik persamaan polinom maupun persamaan
transenden.
Contoh:
1) x2 sin x + 3 = 0
2) x3
+ ln x = 0
Dari contoh di atas tentukan bahwa rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari
penyelesaian secara eksplisit hanya akan ada untuk kasus-kasus yang sederhana. Dalam
banyak hal kita harus menggunakan metode-metode hampiran khususnya metode-metode
iterasi.
Metode iterasi numeris adalah metode dimana kita memilih sesuatu (x0) sebagai tebakan awal
dan secara beruntun menghitung barisan nilai hampiran nilai (x0)(x1) dan seterusnya secara
reprosif dari relasi berbentuk xn+1=g(xn); n=0,1,3 dengan g didefinisikan dalam selang yang
18
memuat (x0) dan rentan g terletak dalam selang tersebut,jadi secara ebruntun kita
menghitung.
Dari runtunan di atas diinginkan bahwa hampiran tersebut membentuk suatu barisan yang
konvergen. Metode iterasi secara khas cocok untuk komputer karena metode ini melibatkan
suatu proses. Ada 4 metode dasar untuk memecahkan persamaan non linier yang
dikelompokan atas metode terbuka(selalu konvergen) dan metode-metode terututup(tidak
selalu konvergen).
Keempat metode ini adalah:
1) Metode Bagi Dua ( Bisection Method)
2) Metode Posisis Palsu ( Regula Falsi)
3) Metode Newton-rhapson
4) Metode secant
1. Metode Biseksi (Metode Bagi Dua)
Pencarian lokasi akar
( i ) Grafik Tunggal ( ii ) Grafik Ganda
(iii) Tabulasi
F(x)=x ln (x) 1
x f(x)
0,5 -1,34
1 -1
1,5 -0,39
2 0,38
2,5 1,29
a[ ]b
akar
y
x
akar
x
y
f2 f1
19
Untuk mencari akar persamaan linier dengan menggunakan metode bagi dua yaitu harus
dilakukan pertama kali adalah memperkirakan sebuah selang yang didalamnya mengandung
solusi akar.
Langkah Algoritma
Misalnya: f(x) kontinu pada interval (a, b)
Algoritma:
1. Definisikan c = 𝑎+𝑏
2
2. Jika | b – c | ≤ Ɛ, maka c akar persamaan selesai
3. Jika f(b) f(c) ≤ 0 maka a = c lainnya b = c
Contoh:
Carilah akar persamaan dari x = e dengan Ɛ = 0,001
Penyelesaian:
f(x) = e-x
– x
Ambil sembarang selang (-1, 1)
f(-1) = e + 1 = 3,718
f(1) = e-1
– 1 = 0,632
f = x6 – x – 1 = 0
diambil selang (1, 2)
f(1) = 16 – 1 – 1 = -1
f(2) = 26 – 2 – 1 = 61
n a b c b - c f(c)
1 -1 1 0 1 0
2 0 1 0,5 0,5 0,1065
3 0,5 1 0,75 0,25 -0,2776
4 0,5 0,75 0,75 0,75 -0,897
Untuk menentukan jumlah literasi untuk mencari akar-akar 𝑛 ≥ln (
𝑏−𝑎
Ɛ)
ln (2)
f(x) = x6 – x – 1 = 0
20
Ɛ = 0,001 pada selang (1, 2), banyak iterasi yang diperlukan untuk mencari akar adalah
𝑛 ≥ln (
𝑏−𝑎
0,001)
ln (𝑟)
n ≥ 9,97 ≈ 10 iterasi.
2. Metode Regula-Falsi (Metode Posisi Palsu)
Meskipun metode dibagi 2 ( Bisection ) selalu berhasil dalam menemukan akar tetapi
kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensinya dapat di tingkatkan bila
nilai f(a) dan f(b) juga diperhitun gkan. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) disebut
metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu ( False Position Method). Dengan metode
Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yang menghubungkan titik ( a, f(a) ) dan ( b, f(b) ).
Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis
lurus tersebut seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari
akar.
y 𝑏, 𝑓 𝑏
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐴𝐵 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐵𝐶 (x)
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎=𝑓 𝑏 − 0
𝑏 − 𝑐
𝑏 − 𝑐 =𝑓 𝑏 (𝑏−𝑎)
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) (c,0)
𝑐 = 𝑏 −𝑓 𝑏 (𝑏−𝑎)
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) a c
b x
A
𝑎,𝑓 𝑎
Algoritma
Misalkan dipunyai sebuah interfal [a, b] yang memenuhi 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏) < 0 dan sebuah toleransi
galat
𝜀 maka Regulasi-Falsi dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Definisikan 𝑐 = 𝑏 −𝑓 𝑏 𝑏−𝑎
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
2. Jika 𝑏 − 𝑐 ≤ 𝜀 maka c adalah akar dan proses selesai.
3. Jika 𝑓 𝑏 .𝑓(𝑎) ≤ 0 maka a adalah ( a=c ). Untuk kondisi yang lain (jika kondisi itu
tidak terpenuhi) b adalah akar ( b=c ).
21
Contoh
Diketahui : 𝑓 𝑥 = 𝑥6 − 𝑥 − 1 = 0 dengan 𝜀 = 0,001 pada selang 1,2
Iterasi a B c f(a) f(b) f(c) b-c
1 1 2 1,02 -1 61 0,89 0,98
2 1,02 2 1,04 -0,94 61 -0,77 0,96
3 1,04 2 1,06 -0,77 61 -0,64 0,94
4 1,06 2 1,07 -0,64 61 -0,56 0,93
5 1,07 2 1,08 -0,56 61 -0,49 0,92
6 1,08 2 1,09 -0,49 61 0,91
7 1,09 2
dst
e
2
2
2 0,983870967
1,016129032
Metode Terbuka
Metode Terbuka dibagi menjadi 3 yaitu:
1. Metode Iterasi Titik Tetap
2. Metode Newton – Rhapson
3. Metode Secant
1. Metode Iterasi Titik Tetap
Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, metode langsung, atau
metode substitusi beruntun.
Jika dipunyai persamaan secara aljabar dapat dibentuk menjadi . Maka
prosedur iterasi yang berpadanan adalah .
22
Selanjutnya membuat nilai awal , kemudian menghitung nilai sedemikian
hingga
konvergen ke akar sejati
agar memenuhi dan .
Iterasi akan berhenti jika :
< ℇ atau < δ
dengan ℇ dan δ telah ditetapkan sebelumnya
Contoh :
Carilah akar persamaan gunakan metode iteresi titik tetap dengan
ℇ=0,000001
Penyelesaian :
Diket :
Ditanya : akar persamaan ?
(i).
prosedur iterasi yang bersesuaian
Untuk mencari
=
23
=3,31662479
:
=0,68337
r
0 4 -
1 3,316625 0,683375
2 3.103748 0,212877
3 3.034385 0,069362
4 3,011440 0,022945
5 3,00,3811 0,007629
6 3, 001270 0,002541
7 3, 000423 0,000847
8 3, 000141 0,000282
9 3, 000047 0,000094
10 3,000016 0,000031
11 3,000005 0,000010
12 3,000002 0,000003
13 3,000001 0,000001
14 3,000000 0,000000
Hampiran akar = 3 (konvergen monoton)
(ii).
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
24
Tebakan awal
r
0 4.000000 -
1 1.500000 2,500000
2 -6.000000 7,500000
3 -0,375000 5,625000
4 -1,263158 0,888158
5 -0,919355 0,343803
6 -1,027624 0,108269
7 -0,990876 0,036748
8 -1,003051 0,012175
9 -0,998984 0,004066
10 -1,000339 0,001355
11 -0,999887 0,000452
12 -0,000038 0,000151
13 -0,999987 0,000050
14 -1,000004 0,000017
15 -0,999999 0,000006
16 -1,000000 0,000002
17 -1,000000 0,000001
Hampiran akar = -1,00000 (konvergen berosilasi)
(iii).
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
r
0 4,000000 -
1 6.500000 2.500000
25
2 19.625000 13.125000
3 191.070313 171.445312
4 18252.432159 18061.361847
…..dst…..
Notasi divergen (nilai semakin membesar)
Teorema Kekonvergenan
Misalkan adalah solusi dari dan andaikan mempunyai turunan kontinue
dalam selang yang memuat
Maka jika dalam selang tersebut , proses iterasi yang didefinisikan
akan konvergen ke Sebaliknya jika dalam selang tersebut ,
maka iterasi akan divergen dari
Jika terdapat selang dengan sebagai titik tetap, maka berlaku :
(i) . → Iterasi konvergen monoton.
(ii) . → Iterasi konvergen berosilasi.
(iii). → Iterasi divergen monoton.
(iv) . → Iterasi divergen berosilasi.
Contoh :
a. =
26
Karena maka iterasi konvergen monoton
b. Tentukan selang agar konvergen ?
Penyelesaian :
Syarat konvergen
Untuk ( tidak mungkin)
Untuk
Jadi iterasi akan konvergen
27
2. Metode Newton-Rhapson
Y
Y=f(x)
)(,( 00 XfX
1X 0X X
Perhatikan grafik )(xfy di atas!
Akar terjadi ketika grafik memotong sumbu x,estimasi untuk digunakan garis singgung
yang menyinggung garfik )(xfy di 0x . Gradien garis singgung dapat dicari dengan
turunan pertama fungsi )(xf . Dari gambar tersebut gradien garis singgungnya adalah:
Gradien garis singgung ))(,( oo xfx dan )0,( 1x
12
12
xx
yym
)(' xfm
10
00
0)()('
xx
xfxf
)('
)(
0
010
xf
xfxx
)('
)(
0
001
xf
xfxx ……………..(*)
Secara umum,bentuk rumus (*) bisa digeneralisasi menjadi:
0)('...,4,3,2,1,0;)('
)(1 xfn
xf
xfxx
n
nnn . . . (**)
Formula atau rumus (**) digunakan untuk prosedur iterasi metode Newton-Rhapson.
Iterasi Newton-Rhapson akan berhenti pada kondisi:
1
1
n
nn
x
xx dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.
Catatan:
1. Jika 0)(' nxf , ulangi kembali hitungan iterasi dengan 0x yang lain.
2. Jika persamaan 0)( xf memiliki lebih dari satu akar pemilihan 0x yang berbeda-
beda dapat menemukan akar yang lain.
28
3. Dapat terjadi iterasi konvergen keakar yang berbeda dari yang diharapkan.
Contoh:
Carilah akar dari 1)( 6 xxxf dengan menggunakan metode Newton-Rhapson.
Untuk menyelesaikan soal diatas maka terlebih dahulu mencari selang yang
mengandung akar. Batas atas dan batas bawah selang sebaiknya menghasilkan nilai
dengan perubahan tanda ketika dimasukkan kedalam fungsi tersebut.
Selanjutnya,pilih satu nilai didalam selang tersebut.
)('
)(1
n
nnn
xf
xfxx
16
1
16)('
5,1;1)(
5
6
1
5
0
6
x
xxxx
xxf
xxxxf
nnnn
Jadi akar dari persamaan diatas adalah 1,134724
Tentukan hampiran akar untuk persamaan berikut:
1. 3)( 3 xxxf Dengan tebakan awal )1,1(0 x
2. 342)( 34 xxxxf Dengan tebakan awal 30 x
Penyelesaian:
1. 3)( 3 xxxf
13)(' 2 xxf
n xn f(xn) f'(xn) xn-xn-1
0 1.1 -0.569 4.63
1 1.222894 0.051696 5.48641 0.122894
2 1.213472 0.000325 5.41754 -0.00942
3 1.213412 1.31E-08 5.417104 -6E-05
4 1.213412 0 5.417104 -2.4E-09
5 1.213412 0 5.417104 0
6 1.213412 0 5.417104 0
Jadi akar persamaannya adalah=1,213412
2. 342)( 34 xxxxf
234)(' 23 xxxf
29
n xn f(xn) f'(xn) xn-xn-1
0 3 14 79
1 2.822785 1.353001 64.06474 -0.17722
2 2.801666 0.01745 62.4168 -0.02112
3 2.801386 3.02E-06 62.39517 -0.00028
4 2.801386 9.24E-14 62.39516 -4.8E-08
5 2.801386 0 62.39516 0
6 2.801386 0 62.39516 0
Jadi akar persamaannya adalah=2,801386
Kriteria Konvergen Newton Raphson.
Untuk memperoleh iterasi konvergen maka harus memenuhi harga mutlak g’(x) < 1
Karena metode Newton Raphson adalah metode terbuka maka dapat dirumuskan
g(x) maka turunan pertama g(x)adalah :
g‟(x)=1-
=
g‟(x)=
karena syarat konvergensi g‟(x) < 1
maka <1
Dengan syarat f‟(x) 0
3. Metode Secant
30
Prosedur iterasi Newton Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi,sayangnya,tidak
semua fungsi mudah dicari turunanya terutama fungsi yang bentukya rumit.Turunan fungsi
dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen.modifikasi
metode Newton Rhapson dinamakan metode secant.
Diamsumsikan terdapat 2 nilai tebakan awal yaitu dan x1. 2 titik (x0,f(x0)) dan (x1 ,f(x1))
pada kurva y =f(x) dibuat garis lurus,yang disebut garis secant.formmula untuk metode
secant dapat dicari dengan menggunakan metode Newton Rapshon dengan menyamakan
gradient yang ditentukan oleh :
{(x0,f(x0));(x1,f(x1))} dan {(x1,f(x1)),(x2,0)}
F(X1)-f(x0) = 0-f(x1)
X1-x0 x2-x1
X2-x1=-
X2=x1- f(x1)(x1-x0)
f(x1)-f(x0) „‟‟‟‟‟‟(*)
secara umum formula( *) dapat digeneralisasi menjadi:
xn+1 = xn-f(xn)(xn-xn-1)
f(xn)-f(xn-1)
31
akar persamaan f(x)=x6 –x -1 dengan x0=2,x1=1
n xn f(xn) Xn-xn-1
0 2 61
1 1 -1 -1
2 1,016129 -0,91537 0,06129
3 1,190578 0,657466 0,174449
4 1,117656 -0,16849 -0,07291
5 1,132532 -0,02244 0,014876
32
BAB 4
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER
a. Metode Iterasi Jacobi
Tinjau kembali sistem persamaan linier
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 .
.
.
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + 𝑎𝑛3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Dengan syarat 𝑎𝑘𝑘 ≠ 0, k =1, 2, ..., n.
Misalkan diberikan tebakan awalnya 𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
,… , 𝑥𝑛(0)
.
Maka lelalaran pertamanya adalah :
𝑥1(1)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(0)− 𝑎13𝑥3
(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥2(1)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(0)− 𝑎23𝑥3
(0)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎21
⋮
𝑥𝑛(1)
=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(0)− 𝑎𝑛2𝑥2
(0)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
(0)
𝑎𝑛1
Lelaran kedua
𝑥1(2)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(1)− 𝑎13𝑥3
(1)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(1)
𝑎11
𝑥2(2)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(1)− 𝑎23𝑥3
(1)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(1)
𝑎22
⋮
𝑥𝑛(2)
=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(1)− 𝑎𝑛2𝑥2
(1)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
(1)
𝑎𝑛𝑛
33
Secara umum :
𝑥𝑖(𝑘+1)
=𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖
𝑎𝑖𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘 = 0,1,2…
b. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Lelaran pertama :
𝑥1(1)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(0)− 𝑎13𝑥3
(0)
𝑎11
𝑥2(1)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(1)− 𝑎23𝑥3
(0)
𝑎22
𝑥3(1)
=𝑏𝑛 − 𝑎31𝑥1
(1)− 𝑎32𝑥2
(1)
𝑎𝑛𝑛
Jadi hasil yang telah diperoleh langsung digunakan pada perhitungan berikutnya.
C. Latihan
Tentukan solusi SPL
4x - y + z = 7
4x - 8y + z = -21
-2x + y + 5z = 15
dengan nilai awal P0 = (x0, y0, z0) = (1, 2, 2)
34
BAB 5
INTERPOLASI
a. Pencocokan Kurva
Pencocokan Kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva
(curve fitting) fungsi.
Pencocokan kurva dibedakan menjadi dua metode:
1. Regresi
Data memuat galat yang cukup berarti
Kurva cocokan mewakili kecenderungan titik data (tidak perlu melalui semua titik)
sehingga selisih antara titik data dan titik hampiran sekecil mungkin
2. Interpolasi
Data dengan ketelitian tinggi
Kurva cocokan melalui setiap titik data
35
Interpolasi
• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya
• Fungsi cocokan berupa polinom: Interpolasi Polinom
• Polinom berbentuk:
b. Interpolasi dengan Polinom Linear dan Kuadrat
Interpolasi dengan Polinom Linear
• Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1)
• Polinom yang menginterpolasi:
Interpolasi dengan Polinom Kuadrat
• Diketahui data: (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)
• Polinom yang menginterpolasi:
P2(x)=a0 + a1x + a2x2 …………(*)
a0 dan a1 telah diketahui dari polinom linear
Menentukan a2 : Substitusi (xi,yi) ke (*)
01
1
1)( axaxaxaxP n
n
n
nn
36
a0 + a1x0 + a2x02 = y0 (1)
a0 + a1x1 + a2x12 = y1 (2)
a0 + a1x2 + a2x22 = y1 (3)
Dengan cara eliminasi diperoleh:
c. Interpolasi dengan polinom Newton
a0=y0 ,a1=f[x1,x0], a2=f[x2,x1,x0],……
an=f[xn,xn-1,…,x1,x0]
Contoh:
Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini:
T(ºC) (10-3
Ns/m2)
0 1,792
10 1,308
30 0,801
50 0,549
70 0,406
90 0,317
100 0,284
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur tertentu
37
Jawab:
Nilai untuk T=400
• Jika digunakan titik [30,50,70]: P2(40)=0.6613750000
• Jika digunakan titik [10,30,50]: 0.643125000
• Jika digunakan titik [0,10,30,50]: P3(40)=0.67010000
• Jika digunakan titik [10,30,50,70]: P3(40)=0.652250001
Polinom Lagrange
Polinom linear:
Dapat disusun kembali menjadi:
Polinom kuadrat dapat pula disusun menjadi:
Atau:
Dengan memakai fungsi Lagrange
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi
))...()...()...()((
))...()...()...()((
)(
)(
01110
1110
0 niiiiii
niin
ij
j ji
j
ixxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xx
xxL
nn
n
i
iin LyLyLyLyxP
1100
0
)(
nnnnn yxPyxPyxP )(,.....,)(,)( 1100
38
d. Interpolasi Dengan Polinom Newton Gregory
Polinom Newton Gregory Maju
Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x1= x0+h, x2= x0+2h,…
Didefinisikan:
Sehingga
Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh
1. Polinom Newton Gregory Maju:
2. Polinom Newton Gregory Mundur
Diketahui titik-titik berjarak sama: x0, x-1= x0-h, x-2= x0 -2h,…
Didefinisikan:
39
Polinom Newton dapat ditulis:
Misal nilai yang akan diinterpolasi: x = x0+sh
Diperoleh Polinom Newton Gregory Mundur:
C. Latihan
1. Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan
perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun
mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang.
Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun)
15 16,366
20 38,337
25 86,736
30 190,050
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai
uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi Newton Lagrange
dan Newton maju, Kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.
2. Misal diberikan sekumpulan titik data. Bila di dalam tabel selisih maju ditemukan k
bernilai hampir konstan (0) maka polinom yang tepat menginterpolasi titik-titik itu
adalah polinom derajat k. Berikut ini diberikan pasangan nilai x dan f(x)
40
x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3
f(x) 0.003 0.067 0.148 0.248 0.370 0.518 0.697
a. Berapa derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ketujuh titik data di atas?
b. Dengan derajat terbaik dari jawaban a) tentukan nilaiu fungsi di x = 0.58 dengan
polinom interpolasi Newton Gregory maju
3. You are given some data: (0,f(0)), (h,f(h)), (2h,f(2h)) and (3h,f(3h)). Find )(2
53
hP with
Lagrange polynomial
4. Jika sejumlah uang didepositokan dengan suatu kurs bunga tertentu maka tabel di bawah
ini dapat digunakan untuk menentukan jumlah uang yang terakumulasi setelah 20 tahun
Kurs bunga (%) 15 20 25 30 35
F/P 20,1114 20,4445 20,7777 21,222 21,8884
F/P adalah perbandingan dari keuntungan nanti terhadap nilai sekarang. Misalnya jika p
= 1.000.000 didepositokan, maka setelah 20 tahun dengan bunga 32% jumlah uangnya
menjadi: F = (F/P).P = 20,4445 x 1.000.000 = 20.444.500.
a. Tentukan derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ke-enam titik di atas
b. Dengan derajat terbaik pada jawaban a), tentukan jumlah uang setelah 20 tahun dari
Rp.30.000.000 yang didepositokan dengan bunga 32%. (Gunakan polinom interpolasi
Newton Gregory maju)
5. Sebuah daerah dijangkiti oleh epidemi demam berdarah. Misal f(t) menyatakan
banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah setelah t minggu. Seorang petugas
mencatat data sebagai berikut
t (minggu) 1 2 4 5 7
f(t) 3 8 15 25 40
a. Tentukan fungsi yang menghampiri data di atas dengan polinom Lagrange
b. Gunakan hasil pada a) untuk menaksir banyak orang yang terjangkiti demam berdarah
setelah 6 minggu
c. Tentukan t jika banyaknya orang yang terjangkiti demam berdarah mencapai 20 orang
41
6. Buktikan bahwa: 4
0
4
01234!.4
],,,,[h
fxxxxxf
42
BAB 6
INTEGRASI NUMERIK
Integral:
Jika f(x)>0, tafsiran geometrik: luas daerah
Jika fungsi primitif F(x) yaitu diketahui , maka
Jika tidak diketahui maka diselesaikan dengan Pengintegralan Numerik
a. Metode Newton-Cotes
Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang
mudah diintegrasikan
Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n, maka metode ini disebut metode
integrasi Newton-Cotes
Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi
x
xFxf
d
)(d)(
)()(d)( aFbFxxfI
b
a
)(d)(d)()( fIxxfxxffI n
b
a
n
b
a
43
konstan sepotong-potong)
Kaidah Trapesium
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong
a). Satu pias
)]()()([)()( 1100 nxfxfxfhfIfI
)]()()([)()( 210 nxfxfxfhfIfI
2
)()()()()( 10
011
xfxfxxfIfI
3
01 )()(12
1xxfEt
44
Kesalahan:
b). Banyak pias
Kesalahan:
Kaidah Simpson 1/3
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong
a) Satu pias
Kesalahan:
1
1
00
1 )(2)()(2
)()()(
n
i
inn
m xfxfxfn
xxfIfI
n
i
nt fxxfn
E1
3
02)( dimana,)(
12
1
6
)()(4)()()()( 20
02
xfxfxfxxfIfI i
n
)(2880
)( )4(5
0 fxx
E nt
45
b) Banyak Pias:
Kesalahan:
b. Metode kuadratur Gauss
Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik
Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral
F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan
simetris terhadap titik tengah interval
I = f(x) dx
= (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + … + Rn (Un)]
U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2]
(U) = f(x) = f[(b-a)u + ]
X = (b-a)u +
(Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)
Latihan
Tentkan luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4, dengan kaidah
segiempat dan trapesium dan simpson 1/3
Penyelesaian
1
5,3,1
2
6,4,2
00
2 )(2)(4)()(3
)()()(
n
i
n
i
iinn
m xfxfxfxfn
xxpIfI
)4(
4
5
0
180
)(f
n
xxE n
t
b
a
2
ba
2
ba
46
a). Dengan kaidah segiempat
Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1
Luas persegi panjang P1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1
P2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4
P3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9
P4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16
Luas Total = 30
Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66
Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8 h = (4 - 0)/8 = 0.5
Luas persegi panjang P1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125
P2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1
P3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125
P4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2
P5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125
P6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5
P7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125
P8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8
Luas Total = 26
Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67
Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14,
dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544
Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval
Luas P1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0
P2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125
P3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1
P4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125
P5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2
P6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125
P7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5
P8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125
Luas Total = 18
Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh:
47
Luas P1 = 0.5 * f(0.25) = 0.03125
P2 = 0.5 * f(0.75) = 0.28125
P3 = 0.5 * f(1.25) = 0.78125
P4 = 0.5 * f(1.75) = 1.53125
P5 = 0.5 * f(2.25) = 2.53125
P6 = 0.5 * f(2.75) = 3.78125
P7 = 0.5 * f(3.25) = 5.23125
P8 = 0.5 * f(3.75) = 7.03125
Luas Total = 21.2000
Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.
b). Dengan kaidah trapesium
Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4 h = (4 - 0)/4 = 1
Luas total
D. Lembar kegiatan:
Soal tes formatif dikerjakan oleh tiap mahasiswa untuk tugas rumah dan
dikumpulakan pada pertemuan berikutnya
E. Tes Formatif
1. Volume suatu daerah yang dibatasi oleh grafik f(x), a≤x≤b yang diputar terhadap
sumbu x dapat ditentukan dengan rumus dxxfv
b
a
2))(( .
Hampiri volume daerah yang dibatasi oleh grafik 1ln)( xxf , 0≤x≤1 yang
diputar terhadap sumbu x dengan metode Kuadratur Gauss 2 titik
xk 0 1 2 3 4
f(xk) 0 1 4 9 16
)f(x )f(x 2 )f(x 2
3
1
4k0
k
h 22 16 9)4(1 2 0
2
1
48
2. The region D is bounded by curve 2)sin(cos)( xxxf ,
2
3,
2
3x .
The volume of the solid generated by revolving about X-axis the region D is given by
b
a
dxxfV 2)( , 2
3,
2
3
ba . Find the volume V with 2 point-Gauss
Legendre method
3. Hitunglah 5.2
5.1
22 )cos(xx dt dengan aturan Gauss Legendre 3 titik
4. Tentukan n sehingga dxx1
0
)sin( jika diselesaikan dengan metode Simpson 1/3
galatnya kurang dari -10-4
49
DAFTAR PUSTAKA
Chapra, S. C. and Canale, R. P. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
Conte, S. D. and de Boor, C. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga,
Jakarta.
Hanselman, D. and Littlefield, B. 1997. Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
Atkinson, K.E, 1989. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition. Wiley. New York.
Munir, R. 2003. Metode Numerik. Penerbit Informatika: Bandung.
Scheid, F. 1983. Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.