METODE NUMERIK UNTUK PSDA

Program MPSA

Metode Numerik untuk PSDA

1

1.1. Definisi

Apakah Metode Numerik :

Penyelesaian masalah dengan operasi angka-angka

Apakah ada yg tidak dengan angka ?

Ada !Dengan apa ?

Dengan analisa persamaan / analitik !

Apakah masalah itu ?

Problem nyata yang direpresentasikan dengan persamaan matematika1.2. Relevansi dan Peran

Dalam pembuatan keputusan pengelolaan Sumberdaya Air strukturisasi dan kualifikasi permasalahan akan memberikan peningkatan kualitas hasil keputusan yang diambil. Selain itu evaluasi obyek yang dikelola misalnya alokasi penggunaan air, ketersediaan air dari waktu ke waktu, elibatkan perhitungan data yang berupa angka-angka. Dengan kemajuan teknologi komputasi yang ada baik dalam bentuk hardware (komputer) maupun software (program aplikasi) maka pemanfaatan metode numerik akan memberikan lompatan yang besar pada perkembangan metode pengelolaan SDA, karena keputusan-keputusan dan langkah-langkahnya dapat dilakukan dengan lebih rinci, lebih cepat, dan lebih dapat dipertanggungjawabkan.

1.3. Target kompetensi

Mata kuliah ini dimaksudkan untuk mengantar mahasiswa sehingga :menyadari pentingnya dan menerapkan pertimbangan kuantitatif,

menyadari pentingnya dan menerapkan pertimbangan kuantitatif,

mengetahui metode numerik yang tepat sesuai permasalahan yang dihadapi,

mampu menggunakan perangkat lunak metode numerik,

minimal dapat menggunakan software microsoft excell untuk penyelesaian masalah psda sederhana.

1.4. Metode Belajar dan Pengukuran Pencapaian Kuliah

Metode Belajar diarahkan supaya menjadi seefektif mungkin. Oleh karena itu mahasiswa diharapkan aktif belajar dan berlatih. Berikut ini adalah mode belajar yang diupayakan dalam kuliah Metode Numerik untuk PSDA

Latihan / Tutorial

Tugas Kelompok

Tugas Mandiri

Presentasi

Pre-test

Post-test

Responsi

Ujian

1.5. Bahan dan Pendukung

Untuk dapat menguasai materi mahasiswa diharapkan melengkapi bahan belajar dari berbagai sumber dan alat sebagai berikut :

Bahan Presentasi

Handout/Diktat Kuliah

Catatan Pribadi

Buku Referensi

Komputer

Selain itu kemampuan bahasa Inggris terutama perbendaharaannya akan sangat membantu dalam mempelajari metode ini. Mahasiswa diharapkan berani mencoba hal-hal yag belum pernah dilakukan dalam mengoperasikan perangkat lunak aplikasi komputer.

2.1 Fenomena Fisik dan Sosial dalam Bahasa Simbol

Gejala fisik dan sosial memberikan fakta keajegan hubungan-hubungan tertentu

Contoh fakta ajeg (konsisten) pada gejala fisik keairan adalah sebagai berikut ini.

Karena jumlah air tetap (terpelihara, tidak ada yang hilang) maka dalam periode tertentu volume air yang masuk ke waduk dikurangi volume yang keluar waduk sama dengan penambahan volume air waduk pada periode tersebut.

Contoh fakta ajeg (konsisten) pada gejala sosial yang terkait dengan masalah keairan misalnya :

Bagi petani kebutuhan air untuk keperluan irigasi pada masa kering dapat tidak dipenuhi namun kebutuhan air minum hanya dapat tidak dipenuhi sampai batas minimum untuk mempertahankan hidup.

Pada dua contoh tersebut terdapat hubungan antara hal yang satu dengan hal yang lain yang dapat ditulis dalam bahasa simbol (matematika) dengan mengganti hal - hal dengan simbol. Berikut ini didemonstrasikan lebih rinci hubungan-hubungan gejala fisik dan sosial.

Contoh gejala fisik:

Karena jumlah air tetap (terpelihara, tidak ada yang hilang) adalah hukum konservasi massa.

Jika jumlah air diganti simbol V dan tetap artinya dari waktu ke waktu (simbolnya t) tidak ada perubahan, D adalah simbol untuk perubahan, / adalah simbol untuk per maka gejala tersebut dapat dituliskan dengan

DV/Dt = 0 .

Selanjutnya dalam periode tertentu volume air yang masuk ke waduk dikurangi volume yang keluar waduk sama dengan penambahan volume air waduk pada periode tersebut, dengan metode yang sama dapat diganti dengan bahasa simbol

VI - VO = DV

jika debit diberi simbol Q, dan karena debit masuk kali periode tersebut adalah sama dengan volume yang masuk, dan hal yang sama berlaku juga untuk debit keluar, maka

Dt QI - Dt QO = DV

Gejala tersebut di atas jika hanya ditulis dalam bentuk kalimat biasa belum dapat secara langsung menjawab pertanyaan:

Berapakah volume waduk pada tangal 29 September jika pada tanggal 15 September muka air waduk diketahui serta debit harian yang keluar dan masuk waduk antara tanggal tersebut diketahui ?.

Oleh karena itu bahasa simbol digunakan untuk meringkas kalimat sekaligus mensistematiskannya sehingga hubungan-hubungan dapat dioperasikan untuk mendapatkan jawaban-jawaban atas pertanyaan kuantitatif hal-hal yang terlibat.

Contoh gejala sosial:

bagi petani kebutuhan air untuk keperluan irigasi pada masa kering dapat tidak dipenuhi

jika air yang ada (kata ini tidak ada dalam contoh namun pengertiannya ada) diberi simbol V dan kebutuhan air irigasi diganti dengan simbol Vir, tidak dipenuhi artinya = Vkritis ) benar

ini juga persamaan constraint

Dari persamaan matematika yang ada dapat dicari distribusi air yang optimal.

2.2. Arti dan Metode Penyelesaian Persamaan Matematika

2.2.1. Arti Penyelesaian Persamaan Matematika

Dalam praktek sering diinginkan jawaban tentang pertanyaan-pertanyaan kuantitatif tentang sesuatu, padahal yang diketahui pasti adalah hubungan-hubungan antara hal-hal yang terlibat. Menjawab pertanyaan tersebut, dalam bahasa matematika adalah menyelesaikan persamaan atau mencari solusi.

2.2.2. Metode Penyelesaian Persamaan Matematika

1. Metode Analitik

2. Metode Numerik

Jika persoalan dapat disederhanakan dan penyelesaian analitik standar dapat ditemukan untuk persamaan tersebut, maka kemungkinan untuk menggunakan metode analitik dapat menjadi pilihan yang terbaik jika tidak, maka dapat digunakan metode numerik

2.2.3. Penyelesaian Analitik

Contoh :

Pernyataan

laju penurunan suhu air dalam ember sama dengan koefisien pertukaran panas kali suhu itu sendiri jika diganti dengan bahasa simbol :

(T/(t = - k T atau

EMBED Equation.3 Jika ditanyakan suhu air panas dalam ember sekian menit setelah dituangkan dengan suhu awal sekian derajat, maka untuk menjawabnya diperlukan persamaan dalam bentuk T = . Dalam matematika artinya dicari solusi persamaan di atas yaitu integralnya. Untuk contoh ini terdapat solusi analitik yaitu:

T = T0 e -ktJadi jawaban pertanyaan tersebut dapat diperoleh dengan memasukkan data angka yang diketahui yaitu suhu awal dan lama waktu setelah dituangkan, kemudian T yang diperoleh adalah jawaban yang dicari.

2.2.4. Penyelesaian Numerik

Jika persoalan yang dihadapi rumit dan tidak ditemui solusi analitik maka harus diselesaikan dengan metode numerik Misalnya: masalah peredaman banjir oleh waduk, masalah optimasi penggunaan lahan irigasi, dll. Perhatikan bahwa Metode Numerik dapat digunakan baik untuk masalah yang ada solusi analitiknya maupun yang tidak ada solusi analitiknya.

Penyelesaian numerik untuk masalah penurunan suhu di atas adalah:

(T/(t = - k T atau

Perubahan suhu pada selang waktu dapat diganti dengan pengurangan suhu awal dengan suhu akhir dibagi dengan selang waktu sehingga diperoleh persamaan:

(T2 - T1)/ (t = - k T1 Karena suhu awal diketahui maka T1 diketahui. Selang waktu ditetapkan sesuai keinginan resolusi diskretisasi yang diinginkan. T2 dapat dihitung dengan:

T2 = - k T1 (t + T12.2.5. Program Komputer dan Software

Karena metode numerik menyelesaikan permasalahan melalui urutan hitungan-hitungan tertentu maka urutan tersebut dapat dituangkan dalam bentuk program komputer. Program komputer hitungan numerik akhirnya oleh para programer diperlengkapi dengan user interface yang friendly sehingga tersedia software-software numerik yang mudah dijalankan oleh pengguna yang bukan programer.

3.1. Persamaan Linier

Persamaan linier menyatakan hubungan antara variabel bebas dan variabel tergantung yang berupa perbandingan yang berbanding lurus, yang satu merupakan kelipatan bilangan tertentu dari yang lain.

Contoh:

Hujan efektif sama dengan hujan dikurangi penguapan, tampungan dan peresapan/ perkolasi. Dengan penguapan, tampungan dan peresapan konstan (k),

variabel bebas adalah hujan (r), variabel tergantung adalah hujan efektif (r). Bentuk persamaan: r = r - k

Gambar 3.1. Hubungan linier antara r dan r

Terlihat bahwa : r adalah kelipatan 1 dari r dikurangi k. Jika hubungan digambar dalam grafik adalah seperti terlihat pada Gambar 3.1. Pada nilai r tertentu, maka permasalahannya adalah mencari r

Gambar 3.2. Hubungan tak-linier antara x dan y

3.2. Persamaan Tak-linier

Hubungan pangkat/ eksponensial, sinusoidal, tangensial, logaritmik, dll.

Hubungan rumit (pembagian atau perkalian bersusun) seperti

y = (x-6)/(5x)

Contoh:

Ingin diketahui kedalaman aliran (h) pada saluran bertampang persegi pada suatu debit tertentu (Q)

Persamaan:

Yang sudah diketahui menjadi konstanta, seperti Q, n, I, sedangkan A, R, dan V diungkapkan dalam h dan konstanta sehingga persamaan dalam h saja

Gambar 3.3 Tampang aliran empat persegi panjang

Persamaan dapat dikelompokkan sehingga sedapat mungkin konstanta terpisah dari variabel. Jika Q = 50, b = 20, n = 0,03, dan I = 0,001, maka persamaan diselesaikan dengan mencari h, bagaimana caranya ?

Ada beberapa metode yang dapat digunakan yaitu :

metode pendekatan berurutan,

metode bisection,

metode Newton.

Contoh hitungan dengan metode pendekatan berurutan3.2.1. Metode Pendekatan Berturutan

Persamaan diubah bentuknya sehingga menjadi x = fungsi(x), kemudian dicoba harga x awal untuk dimasukkan ke dalam fungsi tersebut, x yang diperoleh dimasukkan ke dalam fungsi lagi seterusnya sampai perubahan x kecil tidak berarti. Cara ini belum tentu berhasil, iterasi bisa divergen

3.2.2. Metode Bisection

Persamaan dibentuk menyadi fungsi(x) = 0, kemudian dicoba dua x awal (x0 dan x1) yang memberikan fungsi(x) berlawanan tanda (+ dan -) selanjutnya diambil x2 di tengah-tengah dua x sebelumnya dan dicari fungsi (x2) jika nilai fungsi masih besar maka ulangi langkah di atas untuk x2 dan salah satu dari x terakhir sebelumnya yang memberikan fungsi(x) berlawanan tanda. Hentikan hitungan jika perubahan x sudah kecil / tidak berarti

Contoh hitungan dengan metode bisection3.2.3. Metode Newton

Persamaan dibentuk menyadi fungsi(x) = 0, kemudian dicari turunan fungsi(x) = f(x) selanjutnya dicoba nilai x awal kemudian dicari x berikutnya dengan persamaan:

x berikut = x awal - fungsi(xawal)/f(xawal)

Iterasi dihentikan jika perubahan x kecil / tidak berarti. Iterasi bisa divergen dan bisa ditemui fungsi(x) tidak dapat diturunkan.

Contoh hitungan dengan metode Newton

3.3. Soal-Soal untuk Latihan:

1. Cari kedalaman air pada aliran di dalam saluran trapesium dengan kemiringan talud 1:1, lebar dasar saluran 20 m, kemiringan memanjang 0,001 dan n = 0,025 untuk debit 50 m3/d

2. Cari lokasi sumur pengambilan jika diketahui terjadi penurunan muka air pada dua sumur, yaitu z1 = 2,0 m dan z2 = 1,8 m, permeabilitas tanah, p = 0,0005 m/d, dari data hasil pencatatan data lain: tebal akuifer Y = 20 m, debit pemompaan pada sumur lain yg dipompa 22,3 lt/d, jarak antara 2 sumur yg diukur 10 m. Sumur yg dipompa sebaris dengan sumur yg diukur. Persamaan :

4.1. Contoh Kasus: Keputusan tentang alokasi dana

Departemen Kehutanan bekerja sama dengan Kantor Menteri Lingkungan Hidup dan Kependudukan, menerima pinjaman dari Bank Dunia sebesar 500 juta dollar Amerika dengan bunga lunak, maka dari itu dana tersebut harus dikelola secara bisnis agar mampu mengembalikan/membayar kembali pinjaman tersebut.

Kegiatan yang akan dilakukan dengan menggunakan dana tersebut ada 5 yaitu:

1. pembuatan jalan menuju ke tempat rekreasi di tengah hutan dengan menanami tanaman yang indah dipandang mata;

2. menanami dengan tanaman yang indah di sekeliling kanal;

3. mengusahakan fasilitas buat rekreasi;

4. mendirikan perkampungan buat rekreasi;

5. mengusahakan kegiatan kerajinan hasil hutan di perkampungan tersebut.

Untuk selanjutnya kita sebutkan saja kegiatan 1, 2, 3, 4, dan 5. Dinyatakan dalam persentase, masing-masing kegiatan tersebut setiap dolarnya akan memberikan hasil 15, 12, 10, 18, 14. Kegiatan 4 memberikan hasil terbesar dan kegiatan 3 terkecil. Departemen Kehutanan sudah memutuskan (melalui suatu tim), bahwa pengeluaran untuk

kegiatan 1 tidak boleh lebih dari 100 juta dollar Amerika,

kegiatan 2 paling sedikit 50 juta dollar Amerika,

kegiatan 3 paling sedikit 75 juta dollar Amerika;

kegiatan 4 dan 5 masing-masing, paling sedikit 25 juta dollar Amerika.

Kalau x1, x2, x3, x4, x5 masing-masing adalah jumlah dana yang akan dialokasi ke kegiatan 1, 2, 3, 4, 5, maka persoalan LP (Linear Programming) menjadi:

Cari x1, x2, x3, x4, dan x5 .

fungsi tujuan :z = 0,15 x1 + 0,12 x2 + 0,10 x3 + 0,18 x4 + 0,14 x5 : maksimum.

fungsi batasan :

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 500

x1 < 100, x2 >= 50, x3 >= 75

x4 >= 25, x5 >= 25

xi >= 0, i= 1, 2, 3, 4, 5.

Keputusan yang akan diambil :

Berapa x1, x2, x3, x4, dan x5 agar nilai z maksimum.

4.2. Bentuk Umum Persoalan Linear ProgrammingSeorang produsen mempunyai m bahan mentah dan ingin memproduksi n jenis produk di mana setiap jenis produk menggunakan semua jenis bahan mentah dengan proporsi tertentu dari berbagai jenis produk yang diproduksi akan dijual. Persoalan yang timbul, berapa besarnya masing-masing jenis produk sehingga jumlah hasil penjualan maksimum (sebesar-besarnya atau sebanyak-banyaknya).

Kalau xj = jumlah produk j, j = 1, 2, ... , n,

hi = bahan mentah jenis i yang tersedia, i = 1, 2, ... , m,

aij = bahan mentah i yang dipergunakan untuk memproduksi 1 unit

produk j,

cj = harga jual 1 unit j,

cjxj = penerimaan hasil penjualan produk j, sejumlah xj unit, maka

persoalan LP menjadi:

Cari x1, x2, , xj, , xn

fungsi tujuan : z = c1 x1 + c2 x2 +... + cj xj +... + cn xn: maksimum

fungsi batasan :

a11x1 + a12x2 +... + a1jxj +... + a1nxn D), maka keuntungan = $D(R-C) - $(C-6) (S-D) dengan: R : harga jual, C : harga beli, $6 : separuh harga jual.

Jika permintaan melebihi pemesanan (D>S), maka keuntungan = $S(R-C) $0,5(D-S) dengan $0,5 adalah kerugian karena tidak dapat memenuhi permintaan.

Contoh 2.

Problem:

Buat mtriks keputusan untuk permasalahan pemilik toko olah raga tersebut di atas.

Penyelesaian

Matriks yang relevan adalah seperti Tabel berikut ini.

Tabel 5.1. Payoff (Decision) Matrix for the Tennis Shop Owners Problem

Kejadian

t1t2t3

TindakanPermintaan = 100Permintaan = 150Permintaan = 200

a1: pesan 100200175150

a2: pesan 2000300600

a3: pesan 300-150150450

Seandainya kejadian yang akan terjadi diketahui sebelumnya, pengambil keputusan dengan kepastian permintaan misalnya t2 yaitu 150, maka dia cukup melihat pada tabel yaitu kolom 2 untuk t2 dan memilih tindakan yang memberi keuntungan maksimum yaitu 300 (baris kedua). Ini menunjukkan dia harus memutuskan untuk memesan 200 buah baju tenis. Namun dalam kenyataan permintaan yang akan terjadi belum diketahui, maka pemilihan yang optimal menjadi masalah pengambil keputusan.

Ketidakpastian yang dihadapi pengambil keputusan tidak hanya mengenai besar permintaan yang akan datang namun juga pada berbagai aspek konsekuensi tindakan. Sebagai contoh, jika pemilik toko tidak yakin akan nilai kehilangan/kerugian untuk setiap permintaan yang tidak terpenuhi, maka nilai keuntungan dalam matriks keuntungan juga menjadi tidak pasti.Pemikiran ini menyebabkan adanya tuntutan untuk mengembangkan perumusan masalah yang mencakup detail dan skop yang lebih besar.

Perlu dicatat bahwa beberapa penulis membedakan antara pengambilan keputusan beresiko yaitu pengambilan keputusan pada kondisi ketidakpastian jenis kejadian yang akan terjadi namun kejadian-kejadian yang mungkin terjadi diketahui probabilitasnya, dan pengambilan keputusan dalam ketidakpastian yaitu pengambilan keputusan pada kondisi baik kejadian yang mana yang akan terjadi dan probabilitas tiap jenis kejadian belum diketahui.

Dalam kondisi interpretasi probabilitas yang subyektif, akan selalu dimungkinkan untuk memperkirakan probabilitas kejadian-kejadian yang akan terjadi. Oleh karena itu membedakan antara pengambilan keputusan beresiko dan pengambilan keputusan dalam ketidakpastian di atas terlalu artifisial, dan dalam tulisan ini semua masalah pengambilan keputusan dalam keadaan ketidakpastian kejadian yang akan terjadi disebut pengambilan keputusan dalam ketidakpastian (decision making under uncertainty).

Kriteria Pemilihan : Nilai HarapanSetelah langkah dasar yaitu menstrukturkan (merumuskan) permasalahan diperlukan pertimbangan kriteria yang tepat untuk memilih tindakan. Terdapat berbagai metode pengambilan keputusan baik yang berbasis kriteria probabilistik dan nonprobabilistik. Kriteria nonprobabilistik telah dikembangkan untuk menghindari perkiraan yang menyulitkan. Salah satu yang akan dibahas adalah metode AHP (Analitic Hierarchy Process). Untuk metode dengan kriteria probabilistik akan dibahas metode MEV (Maximizing Expected Value) yang mana pengambil keputusan diberi kesempatan/peluang untuk menentukan distribusi probabilitas kejadian yang ada.

5.3.3. Metode MEV (memaksimumkan Nilai Harapan)

Metode ini memerlukan 3 langkah sebagai berikut ini :

1. Pertama menentukan nilai probabilitas kejadian-kejadian yang ada yang disebut masing-masing mutually exclusive yaitu jumlah probabilitasnya sama dengan 1 (karena setiap kejadian harus collectively exhaustive).

2. Menghitung nilai harapan dari tiap aksi (alternatif tindakan) perkalian antara tiap nilai konsekuensi dan probabilitas kejadiannya, kemudian menjumlahkannya untuk semua kemungkinan kejadian.

3. Memilih alternatif tindakan yang mempunyai nilai harapan yang paling tinggi.

Dalam banyak masalah pengambilan keputusan nyata, adalah cukup beralasan untuk menganggap pengambil keputusan mempunyai bayangan kecenderungan akan terjadinya berbagai kemungkinan. Hal ini akan membantu mereka dalam memilih alternatif tindakan. Sebagai contoh untuk masalah yang diangkat (penjualan baju tenis), jika pemilik toko merasa sangat yakin bahwa permintaan akan mencapai 200 unit maka hal ini akan mendorong dia untuk memesan 200 baju tenis (a2). Dengan alasan yang sama, jika dia sangat yakin bahwa permintaan akan hanya mencapai 100 unit maka dia hanya akan memesan 100 unit. Jika terdapat banyak kemungkinan kejadian masalah menjadi rumit, dan pengambil keputusan jelas membutuhkan metode yang rumit untuk memproses informasi-informasi yang relevan. Prosedur sistematik yang dimaksud salah satunya adalah dengan menghitung nilai harapan dari setiap alternatif tindakan yang kemudian diikuti dengan pemilikan alternatif tindakan yang memberika nilai harapan terbaik.

Contoh 3

Misalkan pemilik toko berdasar data penjualan yang lalu, pengalaman intuisi dan insting menentukan distribusi probabilitas kejadian sebagai berikut :

Tabel 5.2 Probabilitas Kejadian

KejadianProbabilitas, P(t)

t1 = permintaan 100

t2 = permintaan 150

t3 = permintaan 2000,5

0,3

0,2

Total1,0

Permasalahan

Pilih alternatif tindakan optimal berdasar kriteria MEV

Penyelesaian

Harapan keuntungan pemilik toko untuk masing-masing tindakan ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Dengan kriteria MEV, pemilik toko harus memilih a2 : memesan 200 unit dengan harapan keuntungan $210.

Tabel 5.3 Hitungan Keuntungan yang Diharapkan

Tindakan a1 : memesan 100

KejadianProbabilitasKeuntunganBobot Keuntungan

t1 = permintaan 100

t2 = permintaan 150

t3 = permintaan 2000,5

0,3

0,2$ 200

$ 175

$ 150$ 100,0

$ 52,5

$ 30,0

Total1,0$ 182,5

Tindakan a2 : memesan 200

KejadianProbabilitasKeuntunganBobot Keuntungan

t1 = permintaan 100

t2 = permintaan 150

t3 = permintaan 2000,5

0,3

0,2$ 0

$ 300

$ 600$ 0

$ 90,0

$ 120,0

Total1,0$ 210,0

Sekali lagi perlu ditekankan bahwa konsekuensi dan probabilitas kejadian dapat diinterpretasikan secara objektif atau subjektif. Nilai konsekuensi objektif mewakili kuantitas fisik seperti keuntungan dalam dolar atau satuan waktu dan seterusnya. Nilai konsekuensi subjektif adalah seperti kesukaan relatif atau tata nilai pengambil keputusan untuk konsekuensi yang dimaksud. Disebut subjektif karena berhubungan langsung dengan kesukaan atau keinginan pengambil keputusan dalam suatu situasi tertentu.

5.3.4. Minimisasi Nilai Kehilangan Kesempatan Harapan (yang diharapkan)/Minimizing Expected Oportunity Loss (EOL)

Sebuah konsep yang bermanfaat dalam analisis pengambilan keputusan ketidakpastian adalah Nilai Kehilangan Kesempatan (opportunity loss). Seperti yang ditunjukkan oleh ahli statistik (L.J. Savage), setelah suatu keputusan ditetapkan dan kejadian-kejadian berlangsung, pengambil keputusan dapat menyesal karena ia sekarang mengetahui bahwa kejadian-kejadian apa yang betul-betul terjadi sehingga berharap dapat memilih tindakan yang berbeda (yang lebih baik).

Dengan demikian pengambil keputusan berharap dapat meminimumkan penyesalan yang akan terjadi, atau nilai kehilangan kesempatan yang diharapkan (EOL). Kriteria ini mensyaratkan pengembangan matriks penyesalan atas nilai kehilangan kesempatan. Penyesalan atau Nilai kehilangan kesempatan didefinisikan sebagai selisih antara keuntungan nyata/aktual dan keuntungan yang dapat diraih jika seseorang mengetahui kejadian yang mana yang akan berlangsung.

Untuk meminimumkan EOL, matriks keuntungan diubah menjadi matriks penyesalan atau nilai kehilangan kesempatan. Hal ini dapat dilakuakan dengan mengurangi tiap angka dalam matriks keuntungan dengan angka terbesar dalam kolomnya. Angka terbesar dalam sebuah kolom mempunyai penyesalan=0.

Contoh 4

Permasalahan

Kembangkan matriks penyesalan atau nilai kehilangan kesempatan untuk permasalahan pemilik toko olah raga.

Penyelesaian

Tabel 3 menunjukkan matriks keuntungan dan penyesalannya. Penyesalan atau nilai kehilangan kesempatan dihitung seperti yang telah dijelaskan di muka yaitu perbedaan antara apa yang diperoleh dari kegiatan tertentu beserta kejadiannya dan apa yang maksimal dapat diperoleh jika kejadian yang terjadi tersebut diketahui sebelumnya dengan pasti.

Pada contoh ini, pemilik memesan 100 unit (a2) dan permintaan 150 unit (t2), maka penyesalannya adalah $ 125. Hal ini karena seandainya ia tahu sebelumnya bahwa permintaan akan 150 unit maka ia akan memesan 200 unit (a2), tidak 100 unit saja. Ini lebih menguntungkan. Jika ia memang memesan 200 unit sebelumnya penyesalannya dianggap sama dengan nol.

Tabel 5.4 Matriks Keuntungan dan Kehilangan Kesempatan untuk Permasalahan Pemilik Toko Olah Raga

Matriks Keuntungan

KegiatanKejadian

t1t2t3

Permintaan = 100Permintaan = 150Permintaan = 200

a1: pesan 100200175150

a2: pesan 2000300600

Matriks kehilangan kesempatan

KegiatanKejadian

t1t2t3

Permintaan = 100Permintaan = 150Permintaan = 200

a1: pesan 1000125450

a2: pesan 20020000

Jika matriks pengambilan keputusan asal dalam bentuk matriks biaya, atau kehilangan, maka biaya terkecil akan dipilih. Hitungan nilai kehilangan kesempatan yang diharapkan (EOL) dikerjakan dengan cara yang sama dengan hitungan nilai harapan (EV) yaitu menggunakan probabilitas kejadian untuk pembobot kemudian menentukan nilai kehilangan kesempatan terbobot rerata untuk tiap kegiatan. Golnya adalah memilih kegiatan yang mempunyai EOL minimum.

Contoh 5

Permasalahan

Dengan menggunakan kriteria EOL, tentukan kegiatan optimal untuk permasalahan pemilik toko olah raga.

Penyelesaian

Hitungan EOL untuk 2 kegiatan aksi pemilik toko olah raga diberikan pada tabek 4 (lihat juga Tabel 3 bagian bawah). Jika pemilik toko memilih kegiatan dengan EOL minimum, maka ia akan memilih a2 yaitu memesan 200 unit. Perhatikan bahwa ia adalah sama dengan hasil pemilikan jika ia menggunakan kriteria MEV. Selain itu perhatikan bahwa nilai kehilangan kesempatan bukan kerugian namun sesuatu yang mempresentasikan kehilangan kesempatan untuk mendapat keuntungan yang dapat diharapkan secara maksimal.

Tabel 5.5 Hitungan Nilai Kehilangan Kesempatan yang Diharapkan

Kegiatan a1 : pesan 100

KejadianProbabilitasKehilangan kesempatanKehilangan kesempatan terbobot

t1 : Permintaan 100

t2 : Permintaan 150

t3 : Permintaan 2000,5

0,3

0,2

1,0$ 0

$ 125

$ 450$ 0

$ 37,5

$ 90,5

$127,5

EOL (a1) = $ 127,5

Kegiatan a2 : pesan 200

KejadianProbabilitasKehilangan kesempatanKehilangan kesempatan terbobot

t1 : Permintaan 100

t2 : Permintaan 150

t3 : Permintaan 2000,5

0,3

0,2

1,0$ 200

$ 0

$ 0$ 100, 0

$ 0,0

$ 0,0

$ 100,0

EOL (a2) = $ 100,0 (minimum)

5.3.5. Nilai Harapan dari Suatu Informasi Sempurna/Expected Value of

Perfect Information (EVPI)

Selama ini telah dibahas situasi permasalahan yang mana pengambil keputusan memilih salah satu alternatif kegiatan berdasar informasi yang dimiliki (yaitu yang disebut keadaan dengan prior information) tanpa berusaha mendapatkan atau mengumpulkan informasi lebih lanjut yang diperlukan dan akan memperbaiki mutu keputusan sebelum ia mengambil keputusan. Probabilitas yang digunakan dalam hitungan nilai harapan dari suatu kegiatan seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 2 disebut prior probability untuk menunjukkan bahwa probabilitas tersebut ditetapkan sebelumnya sebelum diadakan usaha untuk menambah informasi melalui testing, eksperimen, sampling, dan seterusnya. Memilih kegiatan optimal berdasar MEV sering disebut prior analysis.

Akan dibahas permasalahan pengambilan keputusan apakah berharga atau tidak suatu tindakan pengumpulan tambahan informasi (yang jarang ada, jika ada kurang dapat diandalkan). Selain itu informasi apa yang perlu

dikumpulkan dan kegiatan atau strategi apa yang harus diambil setelah informasi tambahan diperoleh.

Sebelum menetapkan keputusan-keputusan ini, akan lebih baik untuk mempertanyakan informasi sempurna apa yang berharga (memberi peningkatan mutu keputusan, yang memberi keuntungan yang lebih besar secara proporsional). Pada permasalahan pemilik toko olah raga, informasi sempurna tentang permintaan baju tenis bernilai $100 (EOL minimum). Jika survey untuk mendapatkan informasi tersebut bernilai $200 maka penambahan informasi tersebut tidak ekonomis. Untuk dapat melakukan pertimbangan seperti itu, diperlukan untuk menentukan Nilai Harapan Informasi Sempurna (EVPI).

Terdapat 3 cara untuk menentukan EVPI

Metode 1

Hitung Nilai Harapan dalam keadaan pasti (yaitu jika mempunyai informasi sempurna tentang keadaan yang akan terjadi) dan kurangkan hasilnya pada Nilai Harapan dalam keadaan tidak pasti (kegiatan terbaik yang dipilih dengan metode MEV dengan berdasar informasi yang ada).

Contoh 6

Permasalahan

Hitung nilai EVPI untuk permasalahan pemilik toko olah raga dengan menggunakan metode 1.

Penyelesaian

Pertama, dalam ketidakpastian, telah terpilih kegiatan a2 pada contoh sebelumnya, dan diperoleh nilai MEV (lihat Tabel 2).

(0,5) x (0) + (0,3) x ($ 300) + (0,2) x (600) = $ 210

Ini adalah Nilai Harapan dalam ketidakpastian. Untuk mendapatkan Nilai Harapan dalam kepastian, dianggap tersedia informasi sempurna tentang yang akan terjadi diperoleh (permintaan baju tenis), sehingga pemilik toko tinggal memilih aksi yang memberikan keuntungan pada kejadian pasti permintaan baju tenis tersebut. Hal ini memberikan pilihan pada kegiatan a1 karena permintaan dapat dipastikan 100 unit dengan keuntungan @ 200. Namun jika permintaan dapat dipastikan 150 unit maka kegiatan a2 terpilih dengan keuntungan $ 600. Untuk memahami dan menghitung Nilai Harapan dalam kepastian, diperlukan untuk mengadopsi pandangan tentang frekuensi relatif jangka panjang. Ini adalah memberikan bobot pada tiap keuntungan dengan probabilitas kejadiannnya.

Dengan kata lain, dari pandangan frekuensi relatif, probabilitas dalam hal ini diinterpretasikan sebagai proporsi waktu suatu prediktor yang sempurna (perfect predictor) yang akan memperkirakan setiap kejadian tertentu akan terjadi jika situasi sekarang dihadapi berkali-kali.

Setiap prediktor tersebut melakukan peramalan, pengambil keputusan tinggal memilih yang memberikan keuntungan terbesar. Hitungan Keuntungan Harapan dalam Kepastian (yaitu dengan informasi sempurna) ditunjukkan dalam Tabel 5 dan hasilnya adalah $310. Jadi nilai EVPI adalah $ 310 - $ 210 = $ 100.

Nilai ini adalah keuntungan rerata yang diharapkan masih dapat diperoleh jika pemilik toko olah raga mendapatkan informasi sempurna tentang kejadian yang bakal terjadi.

Tabel 5.6 Hitungan Keuntungan Harapan dalam Kepastian

KegiatanKejadian

t1 : Permintaan = 100t2 : Permintaan = 150t3 : Permintaan = 200

P(t1) = 0,5P(t2) = 0,3P(t2) = 0,2

a1: pesan 100200a175150

a2: pesan 2000300a600a

Keuntungan Harapan dalam Kepastian = (200) (0,5) + (300) (0,3) + (600) (0,2) = $310

a : konsekuensi (hasil dari kegiatan) optimal untuk kejadian tertentu

Metode 2

Cara lain untuk menghitung EVPI adalah dengan semacam analisis incremental, yang diilustrasikan sebagai berikut ini :

Contoh 7

Permasalahan

Hitung nilai EVPI untuk permasalahan pemilik toko olah raga dengan analisis incremental (metode 2).

Penyelesaian

Kegiatan (keputusan) terbaik pemilik toko olah raga dalam ketidakpastian adalah memilih a2 . Anggap ia mengetahui kejadian t1 bakal terjadi. Maka ia akan memilih a1 dari pada a2 yaitu pilihannya pada saat ia dalam ketidakpastian . Pertambahan keuntungan dengan memilih a1 daripada a2 saat t1 terjadi adalah $ 200, namun t1 sebenarnya hanya terjadi dalam 50% dari waktu keseluruhan. Jadi, rata-rata ia akan mendapat penambahan keuntngan $100 saja jika ia memilih a1 dari pada a2 saat t1 diketahui akan terjadi.

Tetapi jika t2 atau t3 terjadi pemilik toko olah raga akan tetap memilih a2 yaitu keputusan yang dia ambil dalam keadaan tidak pasti. Jadi keputusan dia hanya berubah jika t1 diketahui akan terjadi. Peningkatan keuntungan total yang diharapkan dengan informasi sempurna adalah $100 itu. Inilah nilai EVPInya.

Metode 3

Nilai EVPI dapat ditentukan dengan menghitung minimum EOL. Jadi EOL minimum adalah sama dengan nilai EVPI

Contoh 8

Permasalahan

Tentukan nilai EVPI dengan menghitung EOL minimum untuk permasalahan pemilik toko olah raga.

Penyelesaian

Nilai EOL permasalahan tersebut yang optimal telah dihitung dalam Tabel 4 yaitu sebesar $100. Jumlah ini merepresentasikan nilai minimum di antara nilai kehilangan kesempatan yang diharapkan terkait dengan tiap kegiatan (aksi). Nilai ini adalah sama dengan nilai EVPI.

Untuk memahami mengapa EOL minimum sama dengan EVPI, coba pertimbangkan apa yang terjadi jika EOL dalam informasi sempurna, ini akan sama dengan nol. Hal ini berarti tidak ada kehilangan kesempatan untuk mendapat keuntungan maksimum, jika pengambil keputusan mengetahui apa yang akan terjadi.

Dengan demikian dalam keadaan ketidakpastian pengambil keputusan akan memilih yang terbaik yaitu meminimumkan EOL bahwa EVPI = EOL dapat dibuktikan secara matematis berdasar tindakan optimal dalam ketidakpastian. Terdapat cara pandang lain untuk EOL dari tindakan optimal dalam ketidakpastian yaitu biaya ketidakpastian. Cara pandang ini menekankan pada biaya proses pengambilan keputusan dalam ketidakpastian yaitu biaya yang akan hilang jika informasi sempurna (tentang kepastian yang akan terjadi) tersedia. Jadi biaya ketidakpastian juga sama dengan EVPI. Kesimpulannya adalah bahwa EVPI, EOL dari tindakan optimal dalam ketidakpastian, dan biaya ketidakpastian adalah sama.

Perlu dicatat bahwa nilai harapan ditambah dengan EOL adalah tetap untuk semua tindakan, sama dengan $ 310 untuk contoh kasus pemilik toko olah raga, yaitu nilai harapan dalam kepastian. Perhatikanlah dari Table 6 bahwa tindakan a2 mempunyai nilai harapan maksimum dan EOL minimum.

Dengan cara yang sama, kita dapat mendefinisikan apa yang kita maksud dengan istilah yang lebih umum yaitu nilai dari suatu informasi. Lebih khusus lagi ini adalah nilai harapan dari tindakan optimal dalam keadaan dengan informasi keadaan yang lebih baik dikurangi nilai harapan dari tindakan optimal dalam keadaan yang ada. Nilai tersebut adalah ukuran dari perbaikan kualitas keputusan dengan adanya tambahan informasi baru. Dapat disimpulkan bahwa EVPI adalah ukuran kasar untuk menentukan apakah cukup berharga untuk membeli informasi atau untuk menganalisis apakah cukup berharga melakukan pengumpulan informasi.

5.3.6. Pohon Keputusan

Cara lain untuk menstrukturkan permasalahan pengambilan keputusan secara grafis adalah dengan diagram pohon atau pohon keputusan. Sebuah pohon keputusan secara kronologis menggambarkan tahapan dari tindakan dan hasilnya. Untuk masalah pengambilan keputusan terminal (tidak berlanjut/bertahap) berdasar informasi yang ada (prior information), percabangan pertama dari simpul pertama (kotak) menunjukkan tindakan yang dipilih pengambil keputusan dan percabangan kedua dari deretan simpul kedua (bulat) menunjukkan pada kejadian yang mungkin terjadi. Angka-angka pada tiap ujung akhir percabangan menunjukkan keuntungan atau kerugian.

Permasalahan

Gambarkan pohon keputusan untuk permasalahan pemilik toko olah raga, berikan keterangan pada tiap tindakan, kejadian, probabilitas kejadiannya serta konsekuensinya.

Penyelesaian

Pohon keputusan permasalahan di atas dapat dilihat pada gambar berikut ini :

Tindakan

Kejadian

Gambar 5.1 Pohon keputusan

Pembuatan pohon keputusan secara bertahap dapat dijelaskan sebagai berikut ini.

Pemilik toko dapat mengikuti cabang a1 atau a2 yaitu dapat memilih tindakan a1 atau a2 (a3 jelas merugi sehingga tidak dipertimbangkan). Jika dianggap ia memilih tindakan a1, maka akan sampai pada simpul awal dari percabangan kejadian. Jika kejadiannya t1 yaitu permintaan 100 maka akan sampai pada akhir percabangan dengan keuntungan $ 200. Demikian juga untuk kejadian lain akan memberikan keuntungan tertentu yang ditulis pada tiap akhir percabangannya.

Proses pengambilan keputusannya disebut backward induction (imbas balik) yang dapat dijelaskan sebagai berikut ini.

Kita bayangkan sedang berada pada sisi kanan pohon keputusan yaitu pada lokasi keuntungan. Pertama dipertimbangkan 3 cabang teratas yaitu t1, t2, dan t3. Pada tiap cabang tertulis probabilitas tiap kejadian (sebelah kanan permintaan), yaitu 0,5, 0,3, dan 0,2. Jika kita bergerak kembali ke kiri, dapat dihitung nilai harapan keuntungan sebesar

(0,5) ($200) + (0,3) ($175) + (0,2) ($150) = $182,5

Nilai harapan untuk tindakan pertama ini (asal dari tiga cabang kejadian) yaitu sebesar $182,5 tertulis dibawah simpulnya. Kedua dipertimbangkan 3 cabang terbawah. Dengan cara yang sama dapat diperoleh nilai harapan tindakan kedua sebesar $210 yang tertulis di bawah simpul asal tiga cabang tersebut. Selanjutnya kita bayangkan posisi kita akan menuju ke kiri lagi yaitu ke simpul kotak dimana pengambil keputusan dapat memilih antara alternatif tindakan a1 dan a2. Karena tindakan a2 memberikan nilai harapan yang lebih tinggi dari nilai harapan tindakan a1 maka cabang tindakan a1 kita blok (//) sebagai tindakan yang tidak optimal. Jadi tindakan a2 adalah tindakan optimal dengan harapan keuntungan $210.

Dengan cara yang sama (analogi) dapat dibuat pohon keputusan berdasar kehilangan kesempatan (bukan keuntungan). Umumnya diagram pohon disusun berdasar nilai keuntungan. Diagram pohon sangat bermanfaat untuk menggambarkan problem pengambilan keputusan yang rumit dengan tindakan dan kejadian pengambilan keputusan yang rumit dengan tindakan dan kejadian bertahap dari waktu ke waktu. Permasalahan semacam itu sangat sulit jika diselesaikan dengan tabulasi atau matriks.

Sampai di sini telah dibahas problem pengambilan keputusan satu tahap atau statis, yang mana pengambil keputusan memilih satu tindakan pada satu waktu. Dalam praktek, sering ditemui problem pengambilan keputusan melibatkan rangkaian keputusan (berturutan) sebelum suatu masalah dapat diselesaikan. Jelasnya evaluasi rangkaian pengambilan keputusan harus dibuat di awal, sebelum tahapan tindakan berikutnya dilakukan pada waktu yang berturutan. Lebih dari itu dalam praktek, dimungkinkan untuk mengumpulkan informasi tambahan untuk mendasari pengambilan keputusan sebelum keputusan dibuat.

5.4. Keputusan berturutan/Sequential DecisionsAkan kita pelajari permasalahan ini melalui contoh sebagai berikut :

Contoh

Alternatif Akusisi Perusahaan : Kasus Saham Hi Voltage Tranformer

Presiden Solar Phasic Industris, Jayane Cash, tertarik untuk membeli saham perusahaan Hi Voltage Tranformer. Ia melihat kemungkinan keuntungan yang besar akan diperoleh jika iklim perniagaan baik. Jika ia membeli saham perusahaan itu sekarang, keuntungan yang besar dapat diperoleh setelah 2 tahun, yaitu dengan menjual lagi saham tersebut.

Saham Hi Voltage sekarang dipegang oleh 2 keluarga yaitu keluarga Edison dan Franklins. Dua keluarga tersebut sepakat untuk menjual seluruh sahamnya sekarang seharga satu juta dolar atau separuh saja sekarang seharga 600 ribu dolar dan sisanya setahun kemudian dengan harga tergantung keadaan saat itu.

Jayne Cash melihat beberapa alternatif yang dapat dilakukan, pertama, membeli semua saham dan menjualnya 2 tahun kemudian. Kedua, membeli separuh saham sekarang, membeli sisanya 1 tahun berikutnya dan menjual semua saham pada tahun ke-2, ketiga, membeli separuh saham saja dan menjualnya pada tahun ke-2, atau yang terakhir tidak membeli saham sama sekali, tetapi membeli obligasi untuk 2 tahun. Keuntungan Jayne dipengaruhi oleh keadaan perniagaan. Jika perniagaan baik pada tahun pertama maka harga separuh kedua saham Hi Voltage akan menjadi $800.000, namun jika jelek hanya $300.000. Tetapi jika tahun pertama perniagaan baik tahun kedua dapat menjadi jelek atau sebaliknya.

Dari data konsultan ekonomi, prediksi tahun pertama terdapat 60% kemungkinan perniagaan akan baik dan 40% kemungkinan akan jelak. Di tahun kedua, jika perniagaan baik untuk tahun pertama terdapat 70% kemungkian perniagaan akan baik dan 30% kemungkinan perniagaan akan jelek. Jika tahun pertama perniagaan jelek, maka terdapat 40% kemungkinan perniagaan baik dan 60% kemungkinan perniagaan akan jelek pada tahun kedua.

Dari hasil analisis diperoleh nilai sekarang keuntungan (net present value) dari semua alaternatif sebagai berikut :

Tabel 5.7 Keuntungan yang mungkin dari pembelian saham Hi Voltage

Keadaan Perniagaan

Alternatiftahun ke-1tahun ke-2NPV (keuntungan)

($1000an)

Membeli 100% (pembelian tunggal)

Membeli 50%

Membeli 100%

(pembelian dua kali)

Membeli obligasiBaik

Baik

Jelek

Jelek

Baik

Baik

Jelek

Jelek

Baik

Baik

Jelek

Jelek

-Baik

Jelek

Baik

Jelek

Baik

Jelek

Baik

Jelek

Baik

Jelek

Baik

Jelek

-800

-500

600

-700

300

0

100

-100

600

-600

500

-400

50

Analisis Pohon Keputusan

Diagram pohon keputusan permasalahan tersebut di atas dapat dilihat pada Gambar 5.2 berikut ini.

a3

Gambar 5.2 Pohon keputusan untuk pembelian saham Hi Voltage.

Mulai dari kotak a (paling kiri), terdapat 3 alternatif pilihan yaitu membeli semua saham sekaligus, membeli 50% saham dahulu, tidak membeli saham sama sekali tetapi membeli obligasi. Tindakan a1 merupakan keputusan (satu lagi). Jika a1 dipilih maka tidak ada tindakan lain selanjutnya. Keuntungan selanjutnya tidak dapat dikendalikan hanya tergantung kondisi perekonomian di tahun ke-1 dan ke-2 yang mana terdapat kemungkinan.

Jika diputuskan hanya membeli 50% saham dahulu yaitu tindakan , maka keputusan membeli sisanya dilakukan pada tahun berikutnya dengan melihat keadaan saat itu. Di sini terdapat empat kemungkinan strategi, pertama, membeli sisa saham tanpa memperhatikan keadaan perniagaan pada tahun ke-1, kedua membeli sisa saham jika keadaan perniagaan tahun ke-1 baik, ketiga, membeli sisa saham jika kaeadaan perniagaan tahun ke-1 jelek, keempat, tidak membeli sisa saham.

Perhitungan nilai harapan keuntungan dapat dilakukan dari ujung kanan. Tapi nilai konsekuensi dikalikan dengan probabilitasnya kemudian dijumlahkan dari semua cabang untuk tiap lingkaran di sebelah kirinya. Untuk percabangan alternatif tindakan (kotak), dipilih nilai harapan yang paling besar dari cabang tindakan yang ada. Perhitungan yang sama dilakukan sampai memperoleh nilai harapan keuntungan pada kotak paling kiri.

Pada kasus di atas nilai harapan terbesar adalah $ 174.000 yaitu dengan memilih tindakan membeli 100% saham sekaligus pada awal tahun pertama.

Keputusan Pengumpulan Informasi

Di dalam praktek, dimungkinkan untuk mengumpulkan informasi dengan analisis, testing, eksperimen dll. Dalam situasi tersebut terdapat 2 pilihan dasar yaitu :

1. memilih sumber informasi (termasuk null yaitu tidak mengambil informasi) seperti informasi apa dan kapan.

2. Memilih strategi atau pola keputusan setelah diperolehnya informasi dari sumber yang dipilih.

Yang dimaksud strategi adalah kumpulan urutan tindakan untuk setiap kemungkinan hasil dari informasi yang diperoleh. Berikut ini adalah contoh permasalahan yang terkait.

Daftar Pustaka

1. Supranto, J., 1991, Teknik Pengambilan Keputusan, Rineka Cipta, Jakarta.

2. Ravindran, A., Phillips, D.T., solberg, J.J., 1987, Operation Research; Principles and

Practices, John Wiley & sons

3. Loucks, D.P., Stedinger, J.R., Haith, D.A., 1981, Water Resource Systems Planning

and Analysis, Prentice Hall International

4. John R. Rice, 1983, Numerical Methods, Software, and Analysis, McGraw-Hill

International Book Company

Kata Pengantar

Diktat kuliah ini merupakan materi yang akan dipelajari dalam mata kuliah Metode Numerik untuk PSDA dalam program S2 MPSA di JTS FT UGM setelah ujian sisipan (tengah trimester I). Apa yang tertulis dalam diktat ini masih belum sempurna, ada beberapa contoh permasalahan dan soal serta materi yang belum disertakan.

Materi kuliah ini dirancang untuk mengenalkan aplikasi metode numerik pada masalah nyata di bidang pengelolaan sumber daya air. Pada awal materi diperkenalkan apa dan bagaimana metode numerik beserta contoh sederhana perhitungan numerik dengan spreadsheet. Pada tengah materi disampaikan problem program linier yang sering diperlukan dalam penyelesaian problem optimasi sederhana dengan 2 variabel. Pada akhir materi disampaikan teori analisis pengambilan keputusan beserta perangkat hitungan metode numerik yang menyertainya.

Penulis menyampaikan banyak terima kasih pada semua pihak yang telah membantu sehingga diktat ini dapat terselesaikan.

Penulis

k

r

r'

garis lurus

y = 5/(x+1) - 1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

x

y

EMBED Equation.3

h

A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Equation.3

di = Y - zi

r : jarak ke sumur yg dipompa

EMBED Equation.3

Model

Fungsi objective linier

Ketidaksamaan linier sebagai pembatas

Nilai variabel aktivitas positif

Berbagai alternatif pemecahan fisibel

Pemecahan optimal

Gambar 4.2. Pembatasan I

IVa IVb IVc II III I

Gambar 4.6. Daerah Fisibel

$ 200

a1 : pesan 100

($ 182.5)

t1 : permintaan 100 (0,5)

t2 : permintaan 150 (0,3)

t3 : permintaan 200 (0,2)

a2 : pesan 200

($ 210)

t1 : permintaan 100 (0,5)

t2 : permintaan 150 (0,3)

t3: permintaan 200 (0,2)

//

$ 600

$ 300

$ 175

$ 150

$ 0

-$ 500.000

th ke-1 baik (0,6)

($410.000)

th ke-2 baik (0,7)

$ 800.000

4

th ke-2 jelek (0,3)

th ke-2 baik (0,4)

Membeli 100% saham

1

$ 600.000

($174.000)

5

th ke-1 jelek (0,4)

-$ 700.000

th ke-2 jelek (0,6)

(-$180.000)

th ke-2 baik (0,7)

a1

membeli sisa saham

$ 600.000

6

th ke-2 jelek (0,3)

-$ 600.000

($240.000)

th ke-1 baik (0,6)

$ 300.000

th ke-2 baik (0,7)

tidak membeli

b

($240.000)

th ke-2 jelek (0,3)

7

$ 0

($210.000)

a

th ke-2 baik (0,4)

Membeli 50% saham

$ 500.000

membeli sisa saham

2

($136.000)

a2

th ke-2 jelek (0,6)

8

(-$40.000)

th ke-1 jelek (0,4)

-$ 400.000

th ke-2 baik (0,4)

(-$20.000)

$ 100.000

c

th ke-2 jelek (0,6)

9

tidak membeli

(-$20.000)

-$ 100.000

$ 50.000

Membeli obligasi

3

($174.000)

th ke-2 baik (0,7)

O

B

$ 210

A

500

300 440

X1

I

500

III C

220

0

X2

600

II

Zmax = IVc

OABC = daerah fisibel

0 1 (2, 0) 3 (4,0) I (5,0) II

III IIIa IIIb

X1

Zmaks = 15 (4) + 10(0) = 60

B

C

I

II

OABC = daerah fisibel

1 2 3 4

X2

X1

(5,0)

2

1

0

(0, 5/2)

II (X1 + X2 ( 5)

III (Z = 15 X1 + 10x2 = 30)

X1

0 1(2,0)

2

1

(0,3)

X2

I (2x1 + 3x2 ( 8)

X2

X1

1 23 (4,0)

2

1

0

(0, 8/3)

P: keliling basah

I: kemiringan memanjang

R: jari-jari hidraulik (=A/P)

y

x

8

6

4

2

0

60

40

20

0

-20

kuadratik

EMBED Equation.3

20

_1038466775.unknown

_1038731883.unknown

_1038731978.unknown

_1038467276.xlsSheet1

11.5

20.6666666667

30.25

40

5-0.1666666667

6-0.2857142857

7-0.375

Pendekatan Berturutan

iterasi keh cobaanh hasilbeda

02.0000001.8059610.194039

11.8059611.7942230.011738

21.7942231.7935090.000714

31.7935091.7934660.000043

41.7934661.7934630.000003

51.7934631.7934630.000000

Bisection

iter. keh cobaanfungsi(h)h tengahbeda

01-28.6652706281

128.79484435341.5-1

21.5-11.6202167791.750.5

31.75-1.78812894671.875-0.25

41.8753.41429208631.8125-0.125

51.81250.7902490361.781250.0625

61.78125-0.50472157281.7968750.03125

71.7968750.14132763971.7890625-0.015625

81.7890625-0.18205714551.792968750.0078125

91.79296875-0.02045465261.794921875-0.0039063

101.7949218750.06041401.7939453125-0.0019531

111.79394531250.01997407561.79345700.0009765625

Newton

iter. keh cobaanfungsi(h)f'(h)h berikutbeda

01-28.66527130.14371687011.9509534193

11.95095341936.66299343.19642812811.7967047115-0.950953

21.79670471150.13427141.43725308071.7934643620.154249

31.7934643620.00006241.39910421771.79346286940.003240

41.79346286940.00000041.3990866331.79346286940.000001

51.79346286940.00000041.3990866331.79346286940.000000

Sheet1

x

y

y = 5/(x+1) - 1

Sheet2

Sheet3

_1038731839.unknown

_1038466968.xlsSheet1

11.5

20.6666666667

30.25

40

5-0.1666666667

6-0.2857142857

7-0.375

iterasi keh cobaanh hasilbeda

02.0000001.8059610.194039

11.8059611.7942230.011738

21.7942231.7935090.000714

31.7935091.7934660.000043

41.7934661.7934630.000003

51.7934631.7934630.000000

iter. keh cobaanfungsi(h)h tengahbeda

01-28.6652706281

128.79484435341.5-1

21.5-11.6202167791.750.5

31.75-1.78812894671.875-0.25

41.8753.41429208631.8125-0.125

51.81250.7902490361.781250.0625

61.78125-0.50472157281.7968750.03125

71.7968750.14132763971.7890625-0.015625

81.7890625-0.18205714551.792968750.0078125

91.79296875-0.02045465261.794921875-0.0039063

101.7949218750.06041401.7939453125-0.0019531

111.79394531250.01997407561.79345700.0009765625

Sheet1

1.5

0.6666666667

0.25

0

-0.1666666667

-0.2857142857

-0.375

x

y

y = 5/(x+1) - 1

Sheet2

Sheet3

_1038467230.unknown

_1038466914.unknown

_1037774421.unknown

_1037774726.xlsSheet1

11.5

20.6666666667

30.25

40

5-0.1666666667

6-0.2857142857

7-0.375

iterasi keh cobaanh hasilbeda

02.0000001.8059610.194039

11.8059611.7942230.011738

21.7942231.7935090.000714

31.7935091.7934660.000043

41.7934661.7934630.000003

51.7934631.7934630.000000

Sheet1

x

y

y = 5/(x+1) - 1

Sheet2

Sheet3

_1037775037.unknown

_1037774603.unknown

_1035177925.unknown