7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

1/27

SI-2201 Metode NumerikSolusi Numerik PersamaanDiferensial

Kamis, 3 April 2014

(minggu 13)

(Dr. Dhemi arlan, S!, "!, "S#)

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

2/27

1. Metode Euler Persamaan $ifferensial or$e sa%u $apa% $i%ulis $alam &en%uk eksplisi%

se&agai &eriku%

(1)

Sua%u permasalahan nilai a'al %er$iri $ari persamaan $ifferensial $ansua%u kon$isi solusi ang harus memenuhi. Ki%a $apa% meninau

permasalahan nilai a'al $alam &en%uk

, (2)

"e%o$e ang $igunakan a$alah me%o$e i%erasi. Ki%a mulai $ari 0* (+0).

Pa$a %ahap per%ama ki%a hi%ung nilai perkiraan 1$ari solusi pa$a

persamaan (2) pa$a + * +1* +0 h . Pa$a %ahap ke$ua ki%a hi%ung nilai

perkiraan 2$engan solusi pa$a + * +2* +0 2h, $an se%erusna. Disini h

a$alah se&uah &ilangan %e%ap, se&agai #on%oh 0,2 a%au 0,1 a%au 0,01.

(3)

( )yxfdx

dy,=

( )yxfdx

dy,= ( ) 00 yxy =

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

3/27

+1 +2

+

-am&ar 1 Skema me%o$e /uler

+0

Kemiringanf(+0, 0)

Kemiringanf(+1, 1)

1

0

2

h h

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

4/27

Dalam masingmasing %ahap perhi%ungan $ilakukan $engan formula angsama. ormula seper%i ini $i&erikan oleh $ere% !alor $i&a'ah

(3)

Su&s%i%usi persamaan (2) ke $alam persamaan (3), sehingga persamaanmena$i

(4)

a%au

n%uk nilai h ang ke#il, pangka% le&ih %inggi h2, h3, $alam persamaan

(4) akan sanga% ke#il, sehingga persamaan (4) mena$i &en%ukpen$eka%an ang le&ih singka%

()

( ) ( ) +++=+ 222

2 dx

ydh

dx

dyhxyhxy

( ) ( ) ( )

( )

+++=+ dxyxdfh

yxhfxyhxy

,

2,

2

( ) ( ) ( ) ( )2, hOyxhfxyhxy ++=+

( ) ( ) ( )yxhfxyhxy ,+=+

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

5/27

Dalam %ahap per%ama, un%uk ki%a hi%ung

Dalam %ahap ke$ua, un%uk ki%a hi%ung

Dengan #ara ang sama $ilakukan un%uk %ahap &eriku%na, sehingga&en%uk persamaan i%erasi se#ara umum

un%uk i * 0, 1, (5)

Persamaan (5) $ikenal $engan me%o$e /uler a%au /uler6au#h. Se#arageome%ri, me%o$e ini a$alah pen$eka%an kur7a (+) $engan poligon angmempunai garis per%ama a$alah %angen %erha$ap kur7a pa$a +0(-am&ar

1).

"e%o$e ini $ise&u% me%o$e or$e per%ama, karena $alam persamaan (3)ki%a hana mengam&il suku kons%an $an suku ang mengan$ung pangka%per%ama $ari h. Penghilangan suku &eriku%na $alam persamaan (3)mene&a&kan sua%u error, ang $ise&u% %run#a%ion error $ari me%o$e%erse&u%.

( )0001

,yxhfyy +=

( ) ( )hxyxyy +== 011

( ) ( )hxyxyy 2022 +==

( )1112

,yxhfyy +=

( )iiii yxhfyy ,1 +=+

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

6/27

6on%oh 1 Selesaikan persamaan $ifferensial &eriku% un%uk

menggunakan h * 0,1

,

-unakan me%o$e /uler.

Solusi8

-unakan persamaan () un%uk i * 0, ki%a $apa%kan

Nilai fungsi $ie7aluasi se&agai &eriku%

Selanu%na nilai fungsi pen$eka%an pa$a +1* h * 0,1 $i%en%ukan se&agai

021 = y

dxdy ( ) 10 =y

10 x

( ) ( )1,01,01,0001

fyxhfyy +=+=

( )1,0f

( ) ( )211

21

21,

000 === yyxf

05,12

11,01

1 =

+=y

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

7/27

9e&ih auh, un%uk i * 1, $i$apa%

,

$imana

Se&agai konsekuennsi, nilai fungsi pen$eka%an $ihi%ung pa$a +2* 2h *

0,2 mena$i

Prose$ur $ia%as $i%erapkan un%uk i * 2, , : un%uk mem&erikan nilaipen$eka%an fungsi 3, , 10. Selanu%na &an$ingkan $engan solusi

anali%ik ang $i&erikan $g persamaan * e+;2

n%uk akurasi ang le&ih &aik $apa% $ilakukan $engan mengurangi in%er7al

h.

( ) ( )05.1,1.01,005,1,1112 fyxhfyy +=+=

( ) ( ) 525,005,12

1

2

105,1,1.0 1 === yf

( ) 1025,1525,01,005,12 =+=y

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

8/27

i xi yi f(xi, yi) yi+1(Euler) yi+1(eksak)

0 0.0 1.0000000 0.5000000 1.0500000 1.0512711

1 0.1 1.0500000 0.5250000 1.1025000 1.1051709

2 0.2 1.1025000 0.5512500 1.1576250 1.1618342

3 0.3 1.1576250 0.5788125 1.2155063 1.2214028

4 0.4 1.2155063 0.6077531 1.2762816 1.2840254

5 0.5 1.2762816 0.6381408 1.3400956 1.3498588

6 0.6 1.3400956 0.6700478 1.4071004 1.4190675

7 0.7 1.4071004 0.7035502 1.4774554 1.4918247

8 0.8 1.4774554 0.7387277 1.5513282 1.5683122

9 0.9 1.5513282 0.7756641 1.6288946 1.6487213

10 1.0

Tabel 1 Perhitungan dengan Metode Euler untuk h = 01

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

9/27

2. Metode Euler Modi!ika"i #Metode $eun%

Dengan menam&ah suku $alam persamaan (3) ke$alam perhi%ungan ki%amenen%ukan me%o$e numerik $engan or$e $an akurasi ang le&ih %inggi.

Dalam me%o$e eun, suku %urunan per%ama $an ke$ua $alam $ere% !alor$iper%ahankan, ang mem&erikan persamaan

(

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

10/27

a%au $ia%ur kem&ali mena$i

(:)

Se#ara elas, %urunan pa$a +i , $engan mu$ah $ie7aluasi.

semen%ara %urunan pa$a +i1, $apa% $ihi%ung $engan nilai

pen$eka%an i1menggunakan me%o$e /uler ang &erikan pa$a persamaan

(5) . Nilai pen$eka%an selanu%na $igunakan un%uk menghi%ung nilai ang$iup$a%e pa$a persamaan (:).

Pa$a $asarna, "e%o$e /uler mo$ifikasi a$alah %eknik se$erhanapre$i#%or#orre#%or, karena $i se%iap langkah $i%en%ukan nilai $enganmenggunakan persamaan (5) $an selanu%na mengoreksina $enganpersamaan (:) ."e%o$e $igam&arkan pa$a -am&ar 2.

"e%o$e /uler &iasana $ina%akan le&ih mu$ah se&agai &eriku%

$imana

"e%o$e eun

$imana >

(10)

( ) ( )( )111

,,2

+++ ++= iiiiii yxfyxfh

yy

( )ii yxf ,( )

11, ++ ii yxf

11 kyy ii +=+ ( )ii yxhfk ,1=

( )211

2

1kkyy ii ++=+ ( )ii yxhfk ,1= ( )112 , ++= ii yxhfk

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

11/27

+1

+

-am&ar 2 Skema me%o$e eun

+0

10

h;2h;2

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

12/27

6on%oh 2 Selesaikan persamaan $ifferensial &eriku% un%uk

menggunakan h * 0,1

,

-unakan me%o$e eun.

Solusi8

Dimulai $engan menghi%ung fak%or k1menggunakan persamaan (10)un%uk i * 0

-unakan persamaan () un%uk i * 0, ki%a $apa%kan

-unakan persamaan (10), hi%ung k2

021 = y

dxdy ( ) 10 =y

10 x

( ) 0525,02

05,011,0

2, 10

1012 =

+=

+=+=

kyhkyxhfk

( ) 05,02

11,0

2

1, 0001 =

=

== yhyxhfk

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

13/27

Pen$eka%an fungsi pa$a +1* 0,1 (i * 1) $i&erikan langsung $engan

persamaan (10), ai%u

Selanu%na pa$a +2* 0,2, ki%a $apa%kan

,

Prose$ur $ia%as $i%erapkan un%uk i * 2, , : un%uk mem&erikan nilaipen$eka%an fungsi 3, , 10. Selanu%na &an$ingkan $engan solusi

anali%ik.

n%uk in%er7al h ang sama me%o$e eun mem&erikan hasil ang le&ih&aik $i&an$ingkan $engan "e%o$e /uler.

( ) ( ) 05125,10525,005,02

1

12

12101 =++=++= kkyy

( ) 0525625,02

05125,11,0

2

1,

1111 =

=

== yhyxhfk

( ) ( ) 1051267,10551909,00525625,02

1

05125,12

12112 =++=++= kkyy

( ) 0551909,02

0525625,005125,11,0

2, 11

1122 =

+=

+=+=

kyhkyxhfk

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

14/27

Tabel 2 Perhitungan dengan Metode Euler Modi!ika"i

#Predi&tor-'orre&tor% untuk h = 01

i xi yi

k1= hf(xi,

yi)

k2= hf(xi+1,

yi+k1) yi+1(!"i#e" Euler)yi+1

(eksak)

0 0.01.000000

0 0.0500000 0.0525000 1.0512500 1.0512711

1 0.11.051250

0 0.0525625 0.0551906 1.1051266 1.1051709

2 0.21.105126

6 0.0552563 0.0580191 1.1617643 1.1618342

3 0.31.161764

3 0.0580882 0.0609926 1.2213047 1.2214028

4 0.4

1.221304

7 0.0610652 0.0641185 1.2838966 1.2840254

5 0.51.283896

6 0.0641948 0.0674046 1.3496963 1.3498588

6 0.61.349696

3 0.0674848 0.0708591 1.4188682 1.4190675

7 0.71.418868

2 0.0709434 0.0744906 1.4915852 1.4918247

8 0.8

1.491585

2 0.0745793 0.0783082 1.5680290 1.56831221.568029

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

15/27

(. Metode )unge *utta

Prose$ur "e%o$e ?ungkeKu%%a $apa% $engan mu$ah $iilus%rasikan $enganmeninau me%o$e /uler "o$ifikasi. -unakan kem&ali persamaan euler

mo$ifikasi $alam menen%ukan %urunanan ke$ua $alam sukusuku %urunanper%ama +i$an +i1. Ki%a perlu mem&ua% e7aluasi fungsi in%ernal %am&ahan

pa$a +i h;2. Se&agai konsek'ensi $ari ika suku %urunan le&ih %inggi

$iiku%ser%akan.

n%uk menggam&arkan &agaimana me%o$e ?unge Ku%%a $ikem&angkan,

penurunan me%o$e or$e ke$ua $i%unukkan. -unakan kem&ali me%o$e/uler mo$ifikasi s&&

(11)

se&agai solusi un%uk persamaan $iferensial &iasa or$e sa%u $engan &en%uk

"e%o$e ?ungeKu%%a mengasumsikan pen$eka%an ang sama $enganpersamaan

( )211

2kk

hyy ii ++=+

( )yxfdx

dy,=

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

16/27

(12a)

$imana

(12&)

(12#)

Su&s%i%usi persamaan (12&) ke$alam (12#) menghasilkan ekspresi &eriku%un%uk k28

(13)

Persamaan (13) &isa $iekspresikan $alam suku fungsional ang $i&erikan

f(+i, i) $an %urunananna $engan menggunakan $ere% !alor $alam $ua7aria&el un%uk mem&erikan

(14a)

211 bkakyy ii ++=+

( )ii yxhfk ,1=

( )12

, BkyAhxhfk ii ++=

( )( )iiii yxBhfyAhxhfk ,,2 ++=

( ) ( )

( ) ( )

+

+=y

yxfyxBhf

x

yxfAhyxfhk iiii

iiii

,,

,,

2

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

17/27

/kspresi $ia%as meli&a%kan hana suku per%ama $ari $ere%. @ika ki%a a$opsif * f(+i, i), f+* f;+ , $an f* f;, selanu%na persamaan (14)

$i&erikan $engan le&ih mu$ah se&agai8

(14&)

Begi%u uga $engan persamaan (12&) mena$i

(1)

Su&s%i%usi persamaan (14) $an (1) ke $alam persamaan (12a)menghasilkan formula ?ungeKu%%a or$e $ua s&&8

(15)

!er&uk%i &ah'a persamaan (15) meli&a%kan empa% koefisien %i$ak$ike%ahui a, &, A, $an B. Se&agai konsek'ensi, un%uk menen%ukannilai2na, persamaan (15) harus &erkai%an $engan $ere% !alor or$eke$ua, ai%u

(1

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

18/27

a%au

(1

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

19/27

+i1

+

-am&ar 2 Skema me%o$e ?ungeKu%%a or$e $ua

+i

ah &h

i

i1

f(+i

, i

)

f(+iAh , i Bh)

Solusi Anali%ik

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

20/27

Salah sa%u me%o$e ang &anak $igunakan un%uk menelesaikanpersamaan $iferensial or$inar se#ara numerik a$alah me%o$e ?ungeKu%%a or$e 4. "e%o$e ini meli&a%kan persamaan &eriku%8

(20a)

$imana

(20&)

(20#)

(20$)

(20e)

/rror glo&al &erkai%an $engan me%o$e ?ungeKu%%a a$alah or$e ()h4. Eni&erar%i, %ingka% akurasi me%o$e ?ungeKu%%a or$e 4 le&ih %inggi (akura%)$an memerlukan langkah &erhi%ungan le&ih se$iki% $i&an$ing me%o$e?ungeKu%%a or$e 2.

( )ii yxhfk ,1=

( )43211 226

1kkkkyy ii ++++=+

++= 2,

21

2 kyhxhfk ii

++=

2,

2

23

ky

hxhfk ii

( )34 , kyhxhfk ii ++=

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

21/27

6on%oh 3

Selesaikan persamaan $iferensial &eriku% $engan menggunakan me%o$e?ungeKu%%a or$e 48

,

-unakan h * 1

Solusi8

Pro&lem $isini sama $engan ang $iselesaikan se&elumna $engan me%o$e

/uler. @a$i

( ) 10 =yydxdy

2

1

=

( ) ( ) ( )( ) 2/12/111,01,001

==== fyxhfk

( ) ( ) ( ) 8/52/4/54/5,2/112

,2

1002

===

++= fk

yh

xhfk

( ) ( ) ( ) ( ) 64/532/32/5332/53,11,3004

===++= fkyhxhfk

( ) ( ) ( ) 32/212/16/2116/21,2/112

,2

2003

===

++= f

ky

hxhfk

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

22/27

Su&s%i%usi nilai k $ia%as ke$alam persamaan (20a) mem&erikan solusi8

Ban$ingkan $engan solusi eksak

6a%a%an8 meskipun h * 1, nilai perhi%ungan me%o$e ?ungeKu%%a or$e 4le&ih &aik $ari ang $i%en%ukan $engan menggunakan me%o$e /uler$engan h * 0,1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }64/5332/2128/522/16/111 ++++=y

( ) ( )43210

226

11 kkkkyyy ++++==

( ) 6484375,11 =y

( ) 6487212,11 =y

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

23/27

Tabel ( Perhitungan dengan Metode )unge *utta orde +

untuk h = 01

i xi yi

k1= hf(xi,

yi)

k2= hf(xi+1+h$2 ,

yi+k1$2)

k3= hf(xi+1+h$2 ,

yi+k2$2) k4= hf(xi+1+h , yi+k3) yi+1(ru%&e ku''a)yi+1

(eksak)

0 0.01.00000

00 0.0500000 0.0512500 0.0512813 0.0525641 1.05127111.051271

1

1 0.1

1.05127

11 0.0525636 0.0538776 0.0539105 0.0552591 1.1051709

1.105170

9

2 0.21.10517

09 0.0552585 0.0566400 0.0566745 0.0580923 1.16183421.161834

2

3 0.31.16183

42 0.0580917 0.0595440 0.0595803 0.0610707 1.22140271.221402

8

4 0.41.22140

27 0.0610701 0.0625969 0.0626351 0.0642019 1.28402541.284025

4

5 0.51.28402

54 0.0642013 0.0658063 0.0658464 0.0674936 1.34985881.349858

8

6 0.61.34985

88 0.0674929 0.0691803 0.0692224 0.0709541 1.41906751.419067

5

7 0.71.41906

75 0.0709534 0.0727272 0.0727716 0.0745920 1.49182471.491824

7

8 0.81.49182

47 0.0745912 0.0764560 0.0765026 0.0784164 1.56831221.568312

2

9 0.91.56831

22 0.0784156 0.0803760 0.0804250 0.0824369 1.64872121.648721

3

10 1.0

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

24/27

Tabel + Perbandingan Per"enta"e Error Metode Numerik

Euler Predi&tor 'orre&tor dan )unge *utta terhada,

Solu"i Ek"ak

i xi yi(eksak yi(Euler) "a% err!r yi(re"i*'!r *!rre*'!r) "a%

err!r yi(ru%&e ku''a) "a% err!r

0 0.0 1.0000000 1.0000000 0.000000 1.0000000 0.000000 1.0000000 0.000000

1 0.1 1.0512711 1.0500000 0.120910 1.0512500 0.002007 1.0512711 0.000000

2 0.2 1.1051709 1.1025000 0.241675 1.1051266 0.004013 1.1051709 0.000000

3 0.3 1.1618342 1.1576250 0.362293 1.1617643 0.006020 1.1618342 0.000001

4 0.4 1.2214028 1.2155063 0.482765 1.2213047 0.008027 1.2214027 0.000001

5 0.5 1.2840254 1.2762816 0.603092 1.2838966 0.010033 1.2840254 0.000001

6 0.6 1.3498588 1.3400956 0.723273 1.3496963 0.012040 1.3498588 0.000001

7 0.7 1.4190675 1.4071004 0.843309 1.4188682 0.014046 1.4190675 0.000002

8 0.8 1.4918247 1.4774554 0.963200 1.4915852 0.016053 1.4918247 0.000002

9 0.9 1.5683122 1.5513282 1.082946 1.5680290 0.018059 1.5683122 0.000002

10 1.0 1.6487213 1.6288946 1.202547 1.6483904 0.020066 1.6487212 0.000002

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

25/27

ambar 1 Perbandingan Metode Numerik dan Ek"ak

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. 0.5 0.< 0.= 0.: 1.00.0

0.

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

26/27

Tuga" 1 Soal 1

Selesaikan sis%em persamaan &eriku% $engan /liminasi -auss,

-auss @or$an, $an ma%riks En7ers $g menggunakan programfor%ran8

+1 10+2 2+3* 0,30

2+1 +2 +3* 1,:1

3+1 4+2 * 1,15

Soal 2

Selesaikan $engan me%o$e Dooli%%le $an me%o$e 6rou% un%uksis%em persamaan linier &eriku% $g menggunakan programfor%ran8

+1 4+2 +3 * 3,4 10+1 :+2 4+2 * =,=

10+1 13+2 1 +3 * 1:,2

7/23/2019 Metode Numerik (Solusi Numerik Persamaan Diferensial, Minggu 13)(1)

27/27

Soal 3

-unakan me%o$e 6holeskh $an me%o$e ak%orisasi un%ukmenelesaikan sis%em persamaan linier &eriku% $g menggunakan

program for%ran84+1 5+2 =+3 * 0

5+1 34+2 2+3 * 150

=+1 2+2 12:+3 * 42

Soal 4 !erapkan me%o$e /uler, Pre$i#%or 6orre#%or, $an ?ungke Ku%%a

un%uk persamaan (0 F + F 1) $engan menggunakan programfor%ran8

a) G *2+ , (0) * 1 , h * 0,1

&) G * 2 2 , (0) * 0 , h * 0,1

#) G * 1 2 , (0) * 0 , h * 0,1