tugas muh. hasrul

7/25/2019 Tugas Muh. Hasrul

1/9

Nama : Muh. Hasrul

Nim : 60600113022

TUGAS ANALISIS MULTIVARIAT TERAPAN

A. Data Multivariat

Data multivariat merupakan data hasil pengamatan sebanyak n dari

p 1variabel. Nilai dari setiap variabel disebut item atau unit eksperimen.

Untuk menelaskannya! digunakan simb"lx ij yang menyatakan variabel

ke#jpada pengamatan ke#i ditulis:x ij= nilai variabel ke#jpada pengamatan ke#i

Hasilnya untuk npengamatan danp

variabel dapat disusun dalam matriks

X berukuran n p

X=[x

11x

12 x

1j x1px

21x

22 x

2j x2p

xi1 xi2 x ij x ip

xn1 xn2 xnj xnp] $1.1%

&ika kita pandanga dari barisnya makax i=xi1 , xi2 ,,xip sedangkan ika

kita pandang dari k"l"mnya maka x i=x1j , x2j , , xnj

B. 'ata#rata dan (ariansi variabel )*ak Univariat

+andang dari barisnya! elemen#elemenx i=x11, x21, , xn1 dari

matriks pengamatan persamaan $1.1% merupakan hasil pengamatan sebanyak

n kali dari variabel pertama. Dari data tersebut kita dapat menghitung

beberapa nilai statistik berikut:

1. 'ata#rata sampel


2/9

Untuk menghitung rata#rata variabel pertama dengan n pengamatan

adalah

=

=n

i

ix

nx

1

11

1

Untuk menghitung rata#rata variabel kedua dengan n pengamatan

adalah

=

=n

i

ixn

x1

21

1

&adi! se*ara umum untuk men*ari rata#rata keseluruhan dari tiap variabelsebanyak n pengamatan adalah :

=

=n

i

ijj xn

x1

1

,j - 1! 2! 3! p $1.2%

2. (ariansi sampel

(ariansi sampel yang terkait dengan npengamatan untuk variabel pertama

adalah

s1

2=1

ni=1

n

(xi 1x1 )2

Dimanax

1 merupakan rata#rata sampel darix i1 $variabel pertama%.

Dengan demikian se*ara umum variansi untukpvariabel dapat dihitung

dengan rumus

( ) pjxxn

sn

i

jijj!...!2!1,

12

1

2==

=

$1.3%

Untuk diketahui yang pertama bah/a kebanyakan penulis mendeinisikan

variansi dengan pembagian n1 . Dan yang kedua n"tasi s2

merupakan simb"l dari variansi sampel yang dikenal. Untuk hal tersebut

data multivariat yang disusun dalam bentuk matriks bah/a diag"nalnya

sjj


3/9

( ) pjxxn

ssn

i

jijjjj!...!2!1,

12

1

2===

=

$1.%

uadrat variansi kita per"leh standar deviasi yaitu

( ) pjxxn

sn

i

jijj !...!2!1,1

2

1

== =

$1.%

4. (ariansi dan "relasi (ariabel )*ak 5ivariat

1. "variansi ampel

5entuk umum dari k"variansi sampel adalah

sij=1

ni=1

n

(xijx i ) (xijx j) $1.6%

2. "relasi ampel

Ukuran yang menelaskan keterkaitan se*ara linear antara dua variabel

tidak bergantung pada unit pengukuran. 'umusnya dituliskan sebagai

berikut

rij=sij

sii sjj=

i=1

n

(x ijx i ) (xijx j )

i=1

n

(xijxi)2

i=1

n

(x ijxj )2

$1.7%

+erhatikan matriks pengamatan pada persamaan $1.1% dapat disusun ulang

dalam bentuk vekt"r dari variabelpsebagai berikut:

X=[x11 x12 x1j x1px21 x22 x2j x2p

xi1 xi 2 x ij x ip

xn 1 xn2 xnj xnp ]=[x1

'

x2

'

xj'

xp' ] atau [

y 1'

y2

'

y j'

yp' ]

ehingga nila statistik deskritinya dapat dituliskan sebagai berikut

1. 'ata#rata ampel


4/9

x=

[x1

'

x2'

xj'

xp' ]

2. (ariansi#"variansi ampel

sn=

[s11

s12

s1p

s21

s22

s2p

sp1 sp2 spp]3. "relasi ampel

R=

1 r12

r1p

r21

1 r2p

rp1 rp2 1

D. )labar (ekt"r dan Matriks untuk tatistik

1. )labar (ekt"r

Deinisi 1.1

m pasangan bilangan realx

1, x

2, , xn yang disusun dalam bentuk

k"l"m ataupun baris disebut vekt"r dan penulisannya dinyatakan dengan

huru ke*il

Perkalian Skalar Vektor

Deinisi 1.2

Diberikan suatu vekt"r xdan diketahui pula suatu bilangan real k"nstan *!perkalian antara bilangan k"nstan * dengan x adalah perkalian antara *

dengan setiap elemen#elemen dari vekt"r xdiberikan "leh

cx=c [x

1

x2

xn]=[

cx1

c x2

cxn]

Penjumlahan Vektor

Deinisi 1.3


5/9

Diberikan dua buah vekt"r yang berukuran sama! x dan y! penumlahan

antara keduanya dinyatakan sebagai penumlahan antara setiap elemen ke#

ipada matriks xdengan elemen ke#ipada matriks y! ditulis

x+y=[x

1

x2

xn]+[

y1

y2

y n]=[

x1+y

1

x2+y

2

xn+yn]

Panjang Vektor

Deinisi 1.

Diberikan vekt"r x'=[x1 , x2 , , xn] panang vekt"r x dapat dihitung

dengan rumus berikut:

Lx=x12+x

2

2++xn

2

Perkalian Vektor

Deinisi 1.

Diberikan dua buah vekt"r yang berukuran sama xdan y! hasil kali dalam

antara keduanya dinyatakan sebagai perkalian antara setiap elemen ke# i

pada matriks x dengan elemen ke#i pada matriks y lalu diumlahkan

seluruhnya ditulis

x y=[x

1

x2

xn] [

y1

y2

yn]=x1 y1+x2 y2++xnyn

Deinisi 1.6

+asangan vekt"rx

1, x

2, , xn dikatakan bergantung se*ara linear! ika

terdapat bilangan k"nstan tidak n"l c1 , c2 , , cn sedemikian sehingga

c1x

1+c

2x

2++cnxn=0

2. )labar Matriks

Kesamaan Matriks

Deinisi 2.1

Dua buah matriksXdan Ydikatakan sama ika ukuran dari kedua dimensi

matriks tersebut sam dan elemen#elemen yang saling bersesuaian dari

kedua matriks tersebut sama


6/9

Transpose Matriks

Deinisis 2.2

Diberikan matriks A dengan aij sebagai elemen matriks ke#i dsri

k"l"m ke#i A'

dengan elemenaji sebagai elemen baris ke#j dan

k"l"m ke#i dinyatakan sebagai berikut:

A=[a

11 a

12 a

1n

a21

a22

a2n

an1 an2 anp] dan transp"senya A '=[

a11

a21

an1a

12 a

22 an2

a1n a2n apn

]Perkalian Skalar

Deinisi 2.3

Diberikan matriksA

(n p ) dan sebuah bilangan real k"nstanc

!cA

merupakan sebuah matriks hasil perkalian antara bilangan k"nstanc

ditulis

c A( n p )

=c

[a

11 a

12 a

1p

a21 a22 a2p

a1n a2n anp]Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Deinisi 2.

Misalkan diberikan matriksA

(np ) danB

(np ) keduanya merupakan

matriks dengan ukuran yang sama denganaij dan

bij se*ara

berurutan umlah antara kedua matriks tersebut adalah umlah elemen#

elemen yang saling bersesuaianaij+bij dinyatakan dengan

A+B=[a

11 a

12 a

1p

a21

a22

a2p

a1n a2n anp

]+[b

11 b

12 b

1p

b21

b22

b2p

b1n b2n bnp

]


7/9

a11+b

11 a

12+b

12 a

1p+b1pa

21+b

21 a

22+b

22 a

2

p

+b2

p

a1n+b1n a2n+b2n anp+bnp

Perkalian Matriks

Deinisi 2.

MisalkanA

(np ) dengan elemenaij dan

B(np ) dengan elemen

bjk

perkalian antara keduanya dinyatakan dengan

ai

1+a

i2

b2

j

++aik

bkj

=i=1

k

ail

bij

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Deinisi 2.6

MisalkanA

sebuah matriks buur sangkar berukurann n

dan

I merupakan matriks identitas berukuran nn selanutnya

1,

2,,n memenuhi kesamaan p"lin"mial det (AI)=0

merupakan nilai eigen dari matriks A . +ersamaan det (AI)=0

$sebagai ungsi % disebut persamaan karakteristik

Deinisi 2.7

MisalkanA

matriks buur sangkar berukurann n

dan misalkan

adalah salah satu nilai eigen dari matriks A . &ikax

n 1

merupakan vekt"r tidak n"l sedemikian sehinggaAx=x maka

xn1

dikatakan sebagai suatu vekt"r eigen $vekt"r karakteristik% dari matriks

A yang berkaitan dengan nilai eigen

8. (ekt"r rata#rata dan Matriks "variansi

'ata#rata dan variansi dari vekt"r a*ak xberdimensip 1 dapat

dituliskan dalam bantuk matriks


8/9

E (X)=

[E (x1 )

E (x2 )E (xp)]

=

[

1

2

p]= $1.9%

dan

=E (X ) (X )'

E

([

E (X11 )E (X22 )

E (Xpp)

])[X1 1X22 Xpp]

E[(X11 ) (X11 ) (X11 ) (Xpp )(X22 ) (X11) (X22 ) (Xpp )

(Xpp ) (X11 ) (Xpp ) (Xpp )]

[E (X11 )

2

E (X11 ) (Xpp )

E (Xpp ) (X11 ) E (Xpp ) (Xpp )])tau

=cov (X)=[

11

12

1p

21

22

2p

p1 p2 pp] $1.%

;. Matriks "relasi

Ukuran as"siasi antara variabel dikenal dengan k"eisien k"relasi

p"pulasi!pij terdeinisikan dalam k"variansi

ij dan variansiii dan

jj sebagai berikut:

!ij=ij

iijj


9/9

"eisien k"relasi mengukur besaran as"sias linear antara variabelXi dan

Xj . Misalkan matriks k"eisien k"relasi p"pulasi berdimensi p p

!=

[

11

1111

12

1122

1p

11pp

21

2211

11

2222

2p

22pp

p1

pp

11

11

pp

22

pp

pp

pp

]

$1.10%

!=[ 1 !

12 !

1p

!21

1 !2p

!p1 !p2 1]

Dan misalkan matriks deviasi berukuran p p adalah

"

1

2=[

11 0 0

0 22 0

0 0 pp]$1.11%

Matriks variansi#k"variansi dapat dihitung dengan menggunakan

matriks k"relasi dengan rumus berkut

"

1

2

!

1

2

=

$1.12%

Demikian halnya dengan matriks k"relasi! uga dapat dihitung dengan

menggunakan matriks variansi#k"variansi dengan rumus berikut

!=("1

2)1

("1

2 )1

$1.13%

tugas muh. hasrul

Documents