Peserta pelatihan dapat:

1.Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut

2.Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub

3.Menerapkan aturan sinus dan cosinus

4.Menentukan luas suatu segitiga

5.Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

6.Menyelesaikan persamaan trigonometri

O

AB

Suatu sudut dapat dibangkitkan/ digenerasikan/dibentuk dari suatu sinargaris diputar mengelilingi titik O menuju suatu sinargaris yang lain.

Sudut diperoleh dari sinargaris OA diputar berlawanan arah dengan arah jarum jam mengelilingi titik O hingga sampai di sinargaris OB. Sudut dikatakan sudut positif.

Sudut diperoleh dari sinargaris OA diputar searah dengan arah jarum jam mengelilingi titik O hingga sampai di sinargaris OB. Sudut dikatakan sudut negatif

Sinargaris OA disebut sisi/kaki awal, sinargaris OB disebut sisi/kaki tujuan, dan titik O disebut titik-sudut.

Ditulis = AOB

Sudut dan sudut dikatakan coterminal (kaki-awal dan kaki-tujuannya sama).

’’’

Dalam trigonometri, banyak putaran dan arah putaran tidak dibatasi.

Sudut yang diperhatikan, yaitu sudut-sudut yang sisi/kaki awal-nya membuat beberapa revolusi terhadap titik O, searah atau berlawanan arah dengan arah jarum jam, sebelum terhenti pada sisi/kaki tujuan/terminal-nya.

Sudut dan sudut ’, keduanya positif, coterminal, tetapi berbeda.

Sisi/kaki awal l1 sudut a’ membuat suatu revolusi-lengkap terhadap titik O sebelum berimpit dengan sisi/kaki terminal l2

l1

l2

O

Dalam suatu sistem koordinat kartesius (rectangular), suatu sudut dikatakan dalam posisi standar, apabila titik sudutnya berimpit dengan pusat koordinat dan sisi/kaki awalnya berimpit dengan sumbu x positif.

Apabila sisi/kaki tujuan/terminal dari suatu sudut dalam posisi standar terletak pada kuadran pertama, maka sudut tersebut disebut sudut kuadrant-pertama. Analogis terhadap prinsip ini, untuk sudut-sudut kuadrant-kedua, kuadran-ketiga, dan kuadran-keempat.

O x

y

O x

y

Ox

y

O x

y

O

A

B

Sudut pusat: = AOB

Apabila suatu lingkaran dibagi dalam 360 bagian yang sama, maka setiap sudut pusat yang berkaitan dengan satu bagian tersebut dikatakan mempunyai ukuran satu derajat, dinyatakan dengan 1o.Dalam posisi standar, suatu sudut satu derajat diperoleh dengan memutar sumbu-x positif berlawanan arah dengan arah jarum jam sebesar dari suatu revolusi lengkap.

Derajat-derajat dibagi-bagi dalam menit-menit dan detik-detik.

1o = 60’ dan 1’ = 60”

1360

O O

O

x x

x

y

y

y

Sudut lancip

0o < < 90o

Sudut siku-siku

= 90o

Sudut tumpul

90o < < 180o

O x

y

O x

y

O x

y

Sudut positif yang coterminal dengan

sudut 45o

Sudut negatif yang coterminal dengan

sudut 45o

Sudut yang coterminal dengan sudut yang berukuran 780o, sehingga 0o < < 360o.

60o

780oO O O O780 2 360 60 60

Sudut positif dan sudut negatif yang coterminal dengan sudut 30o, dalam posisi standar.

30o

750o 30o-690o

O O O750 30 2 360 O O O690 30 2 360

x

x

x

yy

y

1

1Satu radian didefinisikan sebagai besaran yang ditunjukkan dari suatu ruasgaris sepanjang 1 diputar berpangkal dari ujung pertama, sehingga perjalanan putaran ujung kedua berupa suatu busur lingkaran sepanjang 1.

O A

B

Ruasgaris OA sepanjang 1 diputar dengan titik O sebagai pusat putaran, sehingga tempat kedudukan putaran titik A berupa suatu busur lingkaran sepanjang 1; titik B merupakan tempat terakhir hasil putaran titik A.

AOB = 1 radian

Keliling suatu lingkaran yang berjari-jari 1 adalah 2.

2 radian = 360o dan radian = 180o

Rumus Conversi

derajat radian180

sr

; s panjang busur, r jari-jari lingkaran

Sudut dengan satuan radian

O O1801 radian 57,29578

O1 radians 0,0174533 radians180

8

25

25 3,125 radians8

5 12

12 2,4 radians5

Conversi 45o ke radians45 radian radians180 4

Conversi ke derajat

6

6derajat 180derajat 30180 6

x

y

x

y

x

y

x

y

2 2

34

6

A. Dalam posisi standar, carilah sudut positif dan sudut negatif yang coterminal dengan sudut-sudut berikut:

O O O 5 7 91. 150 2. 210 3. 60 4. 5. 6.6 3 4

B. Sketsalah sudut-sudut berikut dalam posisi standar:O O O 3 5 41. 156 2. 105 3. 318 4. 5. 6.

5 4 3

C. Conversilah sudut-sudut berikut dalam satuan radians:O O O O O O1. 150 2. 210 3. 240 4. 45 5. 120 6. 300

D. Conversilah sudut-sudut dalam radians berikut dalam satuan derajat:5 7 3 3 91. 2. 3. 4. 5. 6.

6 6 4 2 4 3

E. Sudut pusat tertentu oleh suatu busur sepanjang s dan jari-jari lingkaran sepanjang r. Carilah besar sudut pusat yang diketahui panjang busur dan jari-jari lingkarannya berikut:

1. s 20cm, r 4cm 2. s 38cm, r 8cm 3. s 6m, r 24cm

Nilai Perbandingan Trigonometri suatu Sudut

BC asinAB c

AC bcosAB c

BC atanAC b

A

BC

AC bsinAB c

BC acosAB c

AC btanBC a

c

a

b

cABcscBC a

cABsecAC b

AC bcotBC a

cABcscAC b

cABsecBC a

BC acotAC b

BC asinAB c 1csc

sincABcscBC a

A

BC

c

a

b

AC bcosAB c 1sec

coscABsecAC b

BC atanAB b 1cot

tanAC bcotBC a

8

15

Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut

1.

21

2.

Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut . 1

2

Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut .

3.

4. Misalkan suatu sudut lancip sedemikian, sehingga . Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri yang lain dari .

12sin

5. Misalkan suatu sudut lancip sedemikian, sehingga . Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri yang lain dari .

34cos

6. ABC siku-siku di A sebangun dengan DEF siku-siku di D. AB = 2, AC = 3, dan DF = 8. Carilah

nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut lancip pada masing-masing segitiga tersebut.

BC asinAB c BCsin cos sin cos (90 )

ABBC acosAB c

AC bcosAB c ACcos sin cos sin (90 )

ABAC bsinAB c

BC atanAC b BCtan cot tan cot (90 )

ACBC acotAC b

A

BC

c

a

b

1. Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut 45o, 30o, dan 60o

2. Lengkapilah gambar segitiga berikut dengan ukuran-ukuran yang sesuai. (Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri)

26o

354

……..

……..

….

45

….

….….

O

P(x,y)

Qx

y1

ysin y

1 P(x, y) P(cos ,sin )xcos x1

Fungsi-fungsi sinus dan cosinus didefinisikan untuk semua sudut (positif, negatif, dan nol), dan memperhatikan letak titik P pada lingkaran berpusat di O dan berjari-jari 1, maka

-1 < sin < 1 dan -1 < cos < 1

O Qx

y1

OQ x

y 1

P(cos , sin )

P(cos , sin ) di Kuadran I

di Kuadran II

y sin 0

x cos 0

y sin 0

x cos 0

OQ x

y1

O

P(cos , sin )

Qx

y1

P(cos , sin )

di Kuadran III

di Kuadran IV

y sin 0

x cos 0

y sin 0

x cos 0

sin( 2 ) sin dan cos( 2 ) cos

sin( ) sin dan cos( ) cos

sintan , k , k bilangan bulatcos 2coscot , k , k bilangan bulatsin

tan tan( ) dan cot cot( )

tan( ) tan dan cot( ) cot

1sec , k , k bilangan bulatcos 21csc , k , k bilangan bulat

sin

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

tan 1 sec

cot 1 csc

cos( ) cos .cos sin .sin

cos( ) cos .cos sin .sin

sin( ) sin .cos cos .sin

cos( ) sin .cos cos .sin

tan tantan( )

1 tan .tan

tan tantan( )

1 tan .tan

sin( ) sin( ) 2.sin .cos

s

in( ) sin( ) 2.cos .sin

cos( ) cos( ) 2.cos .cos

cos( ) cos( ) 2.sin .sin

2 2

2

2

2

sin 2 2.sin .cos

cos 2 cos sin

cos 2 1 2.sin

cos 2 2.cos 1

2.tantan 21 tan

1 cossin2 2

1 coscos2 2

A

BC

c

a

b

a b c 2rsin sin sin

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc.cos

b a c 2ac.cos

c a b 2ab.cos

O

QOB = r

1 1 1ABC 2 2 2

2ABC

L .absin .acsin .bcsin

L r .sin .sin .sin

O X

T

r

Titik O disebut khutub

Garis OX disebut sumbu khutub

Panjang OT = r, disebut vektor radius dari T

Sudut antara OX dan OT = , disebut argumen dari T atau sudut khutub dari T

Bilangan r dan disebut koordinat-koordinat khutub dari T dan ditulis T(r,)Pada umumnya r diambil positif dan 0 < < 2

Jadi setiap titik pada bidang datar letaknya ditunjukkan oleh r dan . Sebaliknya setiap pasang r dan menunjukkan letak suatu titik dalam bidang datar tersebut.

O X

T(r,)

r + 180O

T’(r,+180O)Atau T’(r,+)

O X

r '

r

P(r,)Q(r’,)

O X

Y

T(x,y) atau T(r,)

Sx

yr

2 2

x r cos dan y r sin

yr x y dan arctan

x

2 2

2 2

2 2

xr x y , arccosx y

yarcsin

x y

O X

Y

1

r

2 2

O

O3

r 1 ( 3) 2

1arccos 602 3

T 1, 3 dalam koordinat kartesius

T 2,60 T 2, dalam koordinat khutub

3 T 1, 3

XO

3

2

3T 2,

XO6

3

6P 3,

3 3 36 2 2

316 2 2

6

3 3 32 2

x 3cos 3.

y 3sin 3.

P 3, dalam koordinat khutub

P , dalam koordinat kartesius

O X

Y

3 32

3 3 32 2P ,3

2

O X

Y

3 32 P

32

OX

4

o105

Q

OX

3

o105

S

O X

Y

3 3T

3