trigonometri

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Trigonometri adalah bagian dari matematika yang mempelajari relasi antara sudut

dan sisi-sisi pada suatu segitiga dan juga fungsi –fungsi dasar dari relasi –relasi tersebut.

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan perbandingan –perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam

bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu

yang berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian

suatu tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu

trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti

suatuu kuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu

matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila

ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari

perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga itu harus me mpunyai tepat

satu sudutnya (90°). Artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku. Satuan sudut

selain derajat adalah radian, dimana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap

busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Penerapan trigonometri juga sangat berguna dalam kehidupan sehari. Seseorang yang

ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun sesuatu yang

memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan mengukur dari bawah

ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran. Salah satu cabang matematika

yang dapat dipakai dalam membantu pengukuran ini adalah trigonometri.

Kenyataan dalam kehidupan seharihari di berbagai bidang kehidupan

banyak membutuhkan pengetahuan tentang trigonometri, antara lain bidang keteknikan,

bidang IPA, bidang penerbangan, bidang pelayaran dan sebagainya. Oleh karena itu topic

tentang trigonometri perlu diajarkan kepada siswa oleh guru matematika.

1

1.2 Rumusan Masalah

a. Apa saja perbandingan trigonometri?

b. Bagaimana hubungan diantara perbandingan trigonometri?

c. Apa saja bentuk-bentuk identitas trigonometri?

d. Bagaimana nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dan sudut berelasi?

e. Bagaimana nilai perbandingan trigonometri diberbagai kuadrat?

f. Bagaimana bentuk perbandingan trigonometri sudut rangkap?

g. Apa saja aturan sinus dan cosinus dalam segitiga?

h. Bagaimana mencari luas daerah segitiga?

i. Bagaimana aplikasi dalam pemecahan masalah?

1.3 Tujuan

a. Mengetahui apa saja perbandingan trigonometri

b. Mengetahui bagaimana hubungan diantara perbandingan trigonometri

c. Mengetahui apa saja bentuk-bentuk identitas trigonometri

d. Mengetahui bagaimana nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dan sudut

berelasi

e. Mengetahui bagaimana nilai perbandingan trigonometri diberbagai kuadrat

f. Mengetahui bagaimana bentuk perbandingan trigonometri sudut rangkap

g. Mengetahui apa saja aturan sinus dan cosinus dalam segitiga

h. Mengetahui bagaimana mencari luas daerah segitiga

i. Mengetahui bagaimana aplikasi dalam pemecahan masalah

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Perbandingan Trigonometri

Pada gambar di atas, segitiga ABC dan segitiga A’CB’ merupakan dua segitiga yang

sebangun, menurut kesebangunan segitiga, maka berlaku hubungan antara sisi sebagai

berikut.

ABA ' B '

= ACA ' C

= BCB ' C

Dari kesebangunan tersebut, berlaku juga hubungan sebagai berikut.

ABBC

= A ' B 'B ' C

ACBC

= A ' CB' C

ABAC

= A ' B 'A ' C

Perbandingan-perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian untuk segitiga yang sebangun nilainya

selalu tetap. Begitu pula dengan segitiga siku-siku, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

selalu tetap dan bergantung pada sudut tertentu selain sudut siku-siku. Inilah yang mendasari

perbandingan trigonometri. Ada 6 perbandingan trigonometri, yaitu sin dibaca sinus, cos

dibaca cosinus, tan dibaca tangent, csc dibaca cosecan, sec dibaca secan, dan cot dibaca

cotangent.

3

Perhatikan segitiga siku-siku ABC di bawah ini

Ada tiga sisi unik dalam segitiga tersebut berdasarkan posisi sudut siku-siku dan sudut yang

diketahui. Ketiga sisi tersebut adalah

1. Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui

2. Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut yang diketahui

3. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku

Kita boleh memberi nama masing-masing sisi pada segitiga siku-siku di atas agar mudah

diingat.

1. Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui sebagai sisi depan (de)

2. Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut ysng diketahui sebagai sisi

samping (sa)

3. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku sebagai sisi miring (mi)

Berikut ini adalah perbandingan dua sisi segitiga siku-siku beserta nama perbandingannya

dalam trigonometri.

Catatan :

Pada perbandingan trigonometri tidak tergantung pada panjang sisi, tetapi bergantung

pada besar sudutnya. Berapa pun panjang sisinya tidak mempengaruhi.

Perbandingan antara panjang sisi tersebut adalah perbandingan trigonometri.

4

C

725

24

B

A

A

6

C

B

Contoh 1 :

Tentukanlah sin A, cos A, tan A, cosec A, sec A, dan cot A pada segitiga siku-siku jika

diketahui segitiga ABC dengan sudut siku-sikunya di C serta AB = 25, AC = 24, dan BC =7 .

Pembahasan

sin A =

725 csc A =

257

cos A =

2425 sec A =

2524

tan A =

724 cot A =

247

Setelah kita mempelajari dan memahami dasar-dasar perbandingan trigonometri

dalam segitiga siku-siku, maka selanjutnya kita dapat menentukan:

1. Sisi-sisi segitiga yang belum diketahui apabila salah satu nilai perbandingan

trigonometri diketahui.

2. Nilai perbandingan trigonometri yang satu jika nilai perbandingan trigonometri yang

lain diketahui.

Contoh 2:

Pada segitiga ABC yang siku-siku di A berlaku sin B =

35 . Jika AC = 6 cm, tentukanlah

panjang BC dan AB.

Pembahasan :

sin B =

ACBC =

6BC =

35 ⇔BC = 10 cm

AB = √( BC )2−( AC )2

= √(10 )2−(6 )2

= √100−36

5

= √64

= 8 cm

Panjang BC dan AB berturut-turut adalah 10 cm dan 8 cm.

2.2 Hubungan Diantara Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri satu dengan yang lainnya memiliki hubungan, diantaranya

berkebalikan dan perbandingan. Perbandingan trigonometri yang saling berkebalikan

contohnya sinus dan cosecant. Dua perbandingan trigonomerti ini nilainya saling

berkebalikan. Sedangkan contoh perbandingan trigonometri yang merupakan perbandingan

dari perbandingan trigonometri yang lain adalah tangent. Tangent merupakan perbandingan

sinus dan cosinus.

2.2.1 Perbandingan Trigonometri yang Saling Berkebalikan

2.2.2 Perbandingan Trigonometri yang Merupakan Perbandingan dari yang Lainnya

tan α= ABAC

Dengan membagi pembilang dan penyebut oleh BC, maka akan menjadi

tan α=

ABBCACBC

Diketahui dari perbandingan trigonometri sebelumnya bahwa pembilang merupakan

sinus, sedangkan penyebut merupakan cosinus. Sehingga diperoleh

tan α= sin αcos α

Begitu pun dengan cotangent, bisa dinyatakan sebagai perbandingan cosinus dan sinus.

6

A

B

C

cot α= ACAB

cot α=

ACBCABBC

cot α= cos αsin α

2.3 Identitas Trigonometri :

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai

pengganti variablenya.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Pada gambar di atas, ABC siku-siku di B. Berdasarkan teorema Pythagoras :

(AB)2+(BC)2 = AC2..................................................................................(I)

Jika persamaan I dibagi dengan AC2, didapat :

( ABAC )

2

+( BCAC )

2

=1

⇔(cosα )2+(sin α )2=1 , karena

ABAC

=cosα danBCAC

=sin α

Jika persamaan I dibagi dengan AB2, didapat :

1+( BCAB )

2

=( ACAB )

2

7

(cos α)2+(sin α)2=1

⇔1+( tan α )2=sec2α , karena

BCAB

=tan α

dan

ACAB

=secα

Jika Persamaan I dibagi dengan BC2. Didapat :

( ABBC )

2

+1=( ACBC )

2

⇔(cot α)2+1=cosec 2α , karena

ABBC =cot α

dan

ACBC =cos ecα

Dari uraian di atas dapat disimpulkan,

Untuk setiap sudut A (dalam ukuran derajat atau radian) berlaku hubungan :

a. sin2 A+cos2 A=1

sin2 A=1−cos2 Acos2 A=1−sin2 A

b. 1+ tan2 A=sec2 A

tan2 A=sec2 A−1sec2 A−tan2 A=1

c. 1+( cot A )2=cosec 2 A

cos ec2 A−cot2 A=1cot2 A=cos ec2 A−1

2.4 Nilai Perbandingan Trigonometri diberbagai Kuadran

8

1+( tan α)2=sec2α

(cot α )2+1=cos ec2 α

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang

dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat

bernilai 0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa :

OP=√ x2+ y2=r2 dan r>0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat

didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

Dengan memutar garis OP maka ∠ XOP = α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran

III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

9

Berdasarkan nilai perbandingan segitiga siku-siku diatas dapat di susun tabel tanda nilai

keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cot + - + -

2.5 Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa dan Sudut Berelasi

2.5.1 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut yang nilai perbandingan

trigonometrinya dapat ditentukan secara eksak (tepat). Beberapa sudut khusus yang

akan dipelajari dalam materi ini adalah 0o, 30o, 45o, 600, dan 90o.

a. Sudut 30o, 45o dan 600

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30o, 45o, dan 600 dihitung dengan

memperhatikan segitiga khusus yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku

sama kaki.

10

30o

a a

c

DB

b

60o

c

C

Perhatikan gambar

Gambar di atas menunjukkan ∆ ABC siku-siku di C dengan ∠BAC = 30o dan ∠

ABC = 60o. Apabila ∆ ABC dicerminkan terhadap sisi AC, maka diperoleh ∆ ACD.

Gabungan ∆ ABC dan ∆ ACD, yaitu ∆ ABD merupakan segitiga sama sisi dengan c

= 2a. Berdasarkan dalil Pythagoras, dalam ∆ ABC berlaku:

c2=a2+b2

(2 a )2=a2+b2

b2=3a2

b=a√3

Dengan demikian diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagai berikut :

sin 30Ο=ac= a

2 a=1

2

cos30Ο=bc=a√3

2 a=1

2√3

tan30Ο=ab= a

a√3=1

3√3

sin 60Ο=bc=a√3

2 a=1

2√3

csc 60Ο= 1

sin 60Ο=2

3√3

cos60Ο=ac= a

2 a=1

2 sec 60Ο= 1

cos 60Ο=2

tan60Ο=bc=a√3

a=√3

cot 60Ο= 1

tan 60Ο=1

3√3

11

A

csc 30Ο= 1

sin 30Ο=2

sec 30Ο= 1

cos30Ο=2

3√3

cot 30Ο= 1

tan 30Ο=√3

C B450

450

a

cb

A

Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri di atas, maka panjang sisi-sisi pada ∆

ABC dapat diganti menjadi a = 1, b =√3 , dan c =2.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

∆ ABC merupakan segitiga siku-siku samakaki dengan sudut siku-siku di C,

sehingga

∠BAC = ∠ABC dan a = b. berdasarkan dalil Pythagoras, dalam ∆ ABC berlaku:

c2=a2+b2

c2=a2+a2

c=a√2

Misalkan sudut lancip yang diamati adalah sudut A, maka diperoleh nilai

perbandingan trigonometri sebagai berikut:

sin 45Ο=ac= a

a√2=1

2√2 csc 45Ο= 1

sin 45Ο=√2

cos 45Ο=bc= a

a√2=1

2√2 sec 45Ο= 1

cos45Ο=√2

tan 45Ο=ab=a

a=1 cot 45Ο= 1

tan 45Ο=1

Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri di atas, maka panjang sisi-sisi segitiga

ABC dapat diganti menjadi a = 1, b = 1, dan c = √2

b. Sudut 0o dan 90o

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0o, dan 90o dihitung dengan

memperhatikan perbandingan trigonometri dalam koordinat Cartesius.

12

Y

XP (a,0)O

Y

O X

P (0,b)

Perhatikan gambar berikut!

Agar ∠XOP = 00, maka titik P terletak pada sumbu X positif. Misalkan koordinat

titik P adalah (a, 0).

P(a, 0) maka x = a dan y = 0, r=√a2+02=a

sin 0Ο= yr=0

a=0

cos 0Ο= xr=a

a=1

tan 0Ο= yx=0

a=0

Sekarang perhatikan gambar berikut

Agar ∠XOP = 900, maka titik P terletak di sumbu Y positif. Misalkan koordinat

titik P adalah (0,b) maka x = 0, y = b, dan r = b

sin 90Ο= yr=b

b=1

cos 90Ο= xr=0

b=0

tan 90Ο= yx=b

0=tak terdefinisi

13

2.5.2 Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Suatu sudut yang besarnyaα dengan sudut (90-α

) dikatakan sudut-sudut

berelasi.. Begitu pula, sudut ao

dengan sudut-sudut

(90+a)o ,(180±a)o ,(270±a )o ,(360±a )o,dan−ao

merupakan sudut-sudut berelasi.

Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus. Misalnya sudutao

dengan

(90-α)

disebut berpenyiku sesamanya dan sudut ao

dengan (180−a)o disebut

berpelurus sesamanya.

Perbandingan trigonometri yang menghubungkan sudut yang dibentuk sisi OP

dengan sumbu Y terdekat adalah sebagai berikut :

Sudut 900 - α dan α

sin (900 - α ) = cos α

cos (900 - α ) = sin α

tan (900 - α ) = cot α

Sudut 900 + α dan α

sin (900 + α ) = cos α

cos (900 + α ) = - sin α

tan (900 + α ) = -cot α

Sudut (2700 - α ) dan α

sin (2700 - α ) = - cos α

cos (2700 - α ) = - sin α

tan (2700 - α ) = cot α

Sudut (2700 + α ) dan α

sin (2700 + α ) = - cos α

cos (2700 + α ) = sin α

tan (2700 + α ) = - cot α

Perbandingan trigonometri yang menghubungkan sudut yang dibentuk sisi OP

dengan sumbu X terdekat adalah sebagai berikut :

Sudut 1800 - α dan α

sin (1800 - α ) = sin α

cos (1800 - α ) = - cos α

tan (1800 - α ) = - tan α

Sudut 1800 + α dan α

sin (1800 + α ) = - sin α

cos (1800 + α ) = - cos α

tan (1800 + α ) = tan α

14

Y

r

r


sin (3600 - α ) = - sin α

cos (3600 - α ) = cos α

tan (3600 - α ) = - tan α


sin (3600 + α ) = sin α

cos (3600 + α ) = cos α

tan (3600 + α ) = tan α

Sudut (-α ) dan α

sin ( -α ) = - sin α

cos (-α ) = cos α

tan ( -α ) = - tan α

Rumus diatas mudah untuk diingat karena perbandingan trigonometri di ruas kiri

sama dengan ruas kanan dan tanda perbandingan sesuai untuk sudut θ . Misal sudut

θ = 1800 + α berada di kuadran III sehingga nilai tangen saja yang bernilai positif.

Bukti :

Sudut –α dan α

Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba

Perbandingan trigonometri koordinat Cartesius

sin (-α) =

−br = - sin α

cos (-α) =

ar = cos α

15

O X

P (a, b)

P' (a, -b)

-αα

Q

tan (-α) =

−ba

= - tan α

Sudut (90° - α) dan α

Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba


sin (90° - α) =

ar = cos α

cos (90° - α) =

br = sin α

tan (90° - α) =

ab

= cot α


Bukti bagian ini dapat menggunakan hasil dari pembuktian sebelumnya.

sin (90° + α) = sin (90° - (-α))

= cos (-α)

16

O

Y

XP (a, b)

P' (b, a)y = x

α

(90 – α)

Q

= cos α

cos (90° + α)= cos (90° - (-α))

= sin (-α)

= - sin α

tan (90° + α) = tan (90° - (-α))

= cot (-α)

= 1

tan (−α)

= 1

−tan (α)

= - cot α


Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba

17

O

Y

Xα

(180° -α)

P(a,b)P'(-a,b)

Q


sin (180° - α) =

br = sin α

cos (180° - α) =

−ar = - cos α

tan (180° - α) =

b−a

= - tan α


Y

O X

r

P'(-a ,-b)

Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba

perbandingan trigonometri koordinat Cartesius

sin (1800 + α ) =

−br = - sin α

cos (1800 + α ) =

−ar

= - cos α

tan (1800 + α

) =

−b−a

= tan α



sin (270° - α) = sin (180° + (90° -α))

18

1800 + α α

P(a,b)

Q

= - sin (90°-α)

= - cos α

cos (270° - α)= cos (180° + (90° -α))

= - cos (90°-α)

= - sin α

tan (270° - α) = tan (180° + (90° -α))

= tan (90°-α)

= cot α



sin (270° + α) = sin (180° + (90° + α))

= - sin (90°+ α)

= - cos α

cos (270° + α)= cos (180° + (90° + α))

= - cos (90°+α)

= sin α

tan (270° + α) = tan (180° + (90° + α))

= tan (90°+ α)

= - cot α


Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba

19

O X

P (a, b)

P' (a, -b)

α

r

r

Q

Y

(360° - α)

α

a

OX

b

Y


sin (360°-α) =

−br = - sin α

cos (360°-α) =

ar = cos α

tan (360°-α) =

−ba

= - tan α


P(a,b)

r

ti

Perhatikan Δ OQP

sin α =

br , cos α =

ar , tan α =

ba


sin (3600 + α ) =

yr=b

r = sin α

cos (3600 + α ) =

xr=a

r=

cos α

tan (3600 + α ) =

yx=b

a = tan α

karena besar sudut satu putaran penuh 3600, maka sudut yang besarnya melebihi satu

putaran, misalnya (3600 + α ) atau melebihi dua putaran misalnya (7200 + α ) dan

seterusnya, akan sama dengan α . Dengan demikian rumus sudut (3600 + α ) dapat

diperluas menjadi sebagai berikut :

20

Q

a b

a - b

a

b a + b

sin (k.3600 + α ) = sin α

cos (k.3600 + α ) = cos α

tan (k.3600 + α ) = tan α , dengan k adalah bilangan bulat.

Catatan :

1) Ko-perbandingan trigonometri untuk sin αo

adalah cos αo

, dan sebaliknya

2) Ko-perbandingan trigonometri untuk tan αo

adalah cot αo

, dan sebaliknya

3) Ko-perbandingan trigonometri untuk sec αo

adalah cosec αo

, dan sebaliknya

2.6 Perbandingan Trigonometri Sudut Rangkap

2.6.1 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Misalkan a dan b adalah sudut-sudut sebarang dalam satuan radian, dengan a>b

maka jumlah dua sudut (a + b) dan selisih dua sudut (a - b) dapat dilukis sebagai

berikut:

21

Adapun Kesimpulan dari Trigonometri Sudut Berelasi adalah :

1. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (n x 90 ±α )o, sama dengan

a) Perbandingan trigonometri untuk αo

, jika n merupakan bilangan bulat genap.

b) Ko-Perbandingan trigonometri yang bersesuaian untuk sudut αo

, jika n merupakan

bilangan bulat ganjil

2. Jika αo

sudut lancip, maka tanda aljabarnya (positif atau negatif) bersesuaian dengan

tanda aljabar dari perbandingan trigonometri yang diketahui untuk kuadran tempat sudut

(n x 90 ±α ) itu berada.

-b

a

b

O

C (r cos (a+b), r sin (a+b))

B (r cos a, r sin a)

D (r cos (-b), r sin (-b))

A (r,0)x

y

a. Rumus untuk cos (a ± b)

Gambar di atas adalah lingkaran berpusat di O (0,0) dengan jari-jari r, sehingga

koordinat A adalah (r,0).

Misalkan:

∠ AOB= a radian

∠BOC= b radian

∠ AOD= -b radian

Terlihat bahwa ∠ AOC=∠ AOB+∠BOC= a + b, sedangkan

∠DOB=∠DOA +∠ AOB= b + a, sehingga ∠ AOC=∠DOB .

Koordinat titik A adalah (r,0), B(r cos a, r sin a), C(r cos (a + b), r sin (a + b)) dan

D(r cos (-b), r sin (-b)). Karena ∠ AOC=∠DOB , akibatnya AC = BD. Oleh karena

itu, AC2 = BD2.

⇔ (r cos (a + b) – r)2 + (r sin (a + b) - 0)2 = (r cos b – r cos a)2 + (- r sin b – r sin a)2

⇔ r2 cos2 (a + b) – 2r2 cos (a + b) + r2 + r2 sin2 (a + b) = r2 cos2 b - 2r2 cos a cos b + r2

cos2 a + r2 sin2 b + 2r2 sin a sin b + r2 sin2 a

⇔ r2 (cos2 (a + b) - 2 cos (a + b) + 1 + sin2 (a + b)) = r2 (cos2 b – 2 cos a cos b + cos 2

a + sin2 b + 2 sin a sin b + sin2 a)

22

⇔ r2 (cos2 (a + b) + sin2 (a + b) + 1 - 2 cos (a + b)) = r2 (sin2 a + cos2 a + sin2 b + cos2

b – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b)

⇔ r2 (1 + 1 – 2 cos (a + b)) = r2 (1 + 1 – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b)

⇔ r2 (2 – 2 cos (a + b)) = r2 (2 – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b)

Jika kedua ruas persamaan tersebut sama-sama dibagi r2, maka diperoleh :

2 – 2 cos (a + b) = 2 – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b

⇔– 2 cos (a + b) = – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b

Selanjutnya jika dikalikan -

12 , maka diperoleh :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Jadi kita dapatkan rumus untuk cos (a + b), yaitu

Dalam bentuk kalimat, rumus: cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, dapat

dinyatakan sebagai berikut :

Cosinus dari jumlah dua sudut sama dengan hasil kali cosinus sudut pertama dan

cosinus sudut kedua dikurangi hasil kali sinus sudut pertama dan sinus sudut kedua.

Untuk menentukan rumus cos (a – b), kita ingat lagi rumus cos (a + b). Jika

sudut b diganti dengan (-b), maka rumus diatas menjadi :

cos (a + (-b)) = cos a cos (-b) - sin a sin (-b)

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Jadi kita dapatkan rumus untuk cos (a – b), yaitu :

Dalam bentuk kalimat, rumus: cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b, dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Cosinus dari selisih dua sudut sama dengan hasil kali cosinus sudut pertama dan

cosinus sudut kedua ditambahkan hasil kali sinus sudut pertama dan sinus sudut

kedua.

b. Rumus untuk Sin (a ± b)

23

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Untuk dapat menentukan rumus sin (a + b), kita perlu mengingat kembali rumus-

rumus sebagai berikut :

a. sin ( π

2−a)

= cos a

b. cos ( π

2−a)

= sin a

c. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Oleh karena itu, rumus sin (a + b) dapat ditentukan sebagai berikut.

sin (a + b) = cos ( π

2−(a+b ))

= cos (( π

2−a)−b)

= cos ( π

2−a)

cos b + sin ( π

2−a)

sin b

= sin a cos b + cos a sin b

Jadi, diperoleh rumus:

Dalam bentuk kalimat, rumus: sin (a + b) = sin a cos b+ cos a sin b, dapat


Sinus dari jumlah dua sudut sama dengan hasil kali sinus sudut pertama dan cosinus

sudut kedua ditambahkan hasil kali cosinus sudut pertama dan sinus sudut kedua.

Dari rumus sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, jika sudut b diganti dengan

(-b), diperoleh rumus:

sin (a - b) = sin (a + (-b))

= sin a cos (-b) + cos a sin (-b)

= sin a cos b - cos a sin b


24

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Dalam bentuk kalimat, rumus: sin (a- b)= sin a cos b - cos a sin b, dapat


Sinus dari selisih dua sudut sama dengan hasil kali sinus sudut pertama dan cosinus

sudut kedua dikurangi hasil kali cosinus sudut pertama dan sinus sudut kedua.

c. Rumus untuk Tan (a ± b)

Untuk mendapatkan rumus tan (a + b) kita perlu mengingat kembali rumus-

rumus berikut:

a. tan a =

sin acos a

b. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

c. cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

Dari rumus-rumus tersebut tersebut diperoleh hubungan:

tan (a + b) =

sin (a + b )cos (a +b )

=

sin a cos b + cos a sin bcos a cos b − sin a sin b

Jika pembilang dan penyebut pada ruas kanan dibagi cos a cos b diperoleh:

tan (a + b) =

sin a cos b+ cos a sin bcos a cos bcos a cos b - sin a sin bcos a cos b

=

sin a cos bcos a cos b

+cos a sin bcos a cos b

cos a cos bcos a cos b

−sin a sin bcos a cos b

=

sin acos a

+sin bcos b

1−sin acos a

.sin bcos b

=

tan a+ tanb1−tan a tan b


25tan (a + b) =


Dalam bentuk kalimat, rumus: tan (a + b) =

tan a+ tanb1− tan a tan b , dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Tangen dari jumlah dua sudut sama dengan jumlah tangen sudut pertama dan tangen

sudut kedua bagi satu dikurangi hasil kali tangen kedua sudut.

Dari rumus tan (a + b) =

tan a+ tanb1−tan a tan b , jika b diganti dengan(-b) maka:

tan (a - b) = tan (a + (-b)) =

tan a+ tan(−b)1−tan a tan(−b ) =

tan a− tan b1+ tan a tan b


Dalam bentuk kalimat, rumus: tan (a - b) =

tan a− tan b1+ tan a tan b , dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Tangen dari selisih dua sudut sama dengan selisih tangen sudut pertama dan tangen

sudut kedua bagi satu ditambahkan hasil kali tangen kedua sudut.

2.6.2 Rumus untuk Sin 2a, cos 2a, dan tan 2a

Dari rumus−rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi

rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1. Dari rumus sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, jika diambil a = b maka diperoleh:

sin 2α=sin (α+α )=sin α cos α+cos α sin α=2 sin α cos α

Jadi sin 2α=2sin α cosα

2. Dari rumus cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, jika diambil a = b maka

diperoleh:

cos2α=cos (α+α )=cosα cos α+sin α sin α=cos2 α−sin2α

Jadi cos2α=cos2 α−sin2 α

26

tan (a - b) =

tan a− tan b1+ tan a tan b

Rumus-rumus variasi bentuk lain yang memuat cos2α dapat diturunkan dengan

mengingat rumus dasar cos2 α+sin2 α=1.

cos2α=cos2 α−sin2 α cos2α=cos2 α−sin2 α

¿c os2α−(1−cos¿¿2α )¿ ¿(1−sin¿¿2 α )−sin2 α ¿

¿2 cos2 α−1 ¿1−2sin2 α

Sehingga:

3. Dari rumus tan (a + b) =


, jika diambil a = b maka diperoleh:

tan2 α= tan (α+α )= tan α+ tan α1−tan α tan α

= 2 tan α

1− tan2 α

Jadi tan 2a =

2 tan a

1−tan2 a

Catatan :

Jika a adalah sudut tunggal maka 2a adalah sudut ganda.

Jika

12 a adalah sudut tunggal maka a adalah sudut ganda.

Jika 2a adalah sudut tunggal maka 4a adalah sudut ganda.

2.6.3 Rumus Trigonometri untuk Setengah Sudut

Untuk R berlaku:

1. sin cos1

2

1

2

1

Bukti :

2 sin2 = 1 – cos 2

27

cos2α=cos2 α−sin2 α

cos2α=2cos2α−1

cos2α=1−2sin2α

sin2 = 2

2cos1

sin = 2

2cos1

Substitusikan

2

1

ke persamaan tersebut, diperoleh :

sin

12

α=±√ 1−cos2( 12

α)2

sin cos1

2

1

2

1

(terbukti)

2. cos1

2

1

2

1cos

Bukti :

2 cos2 = cos 2 + 1

cos2 = 2

12cos

cos = 2

12cos

Substitusikan

2

1

ke persamaan tersebut, diperoleh :

cos12

α=±√ cos2( 12

α)+1

2

cos12

1

2

1cos

(terbukti)

3.

cos1

cos1

2

1tan

, dengan cos -1

28

Bukti :

tan12

α=sin

12

α

cos12

α

tan

12

α=±√ 1−cosα

2

±√ 1+cos α2

tan2 12

α=1−cosα1+cosα

tan12

α=±√ 1−cos α1+cos α

(terbukti)

4.

cos1

sin

2

1tan

, dengan cos -1

Bukti :

tan2 12

α=1−cosα1+cosα

tan2 12

α=(1−cosα ) (1+cosα )

(1+cosα )2

tan2 12

α= 1−cos2 α(1+cosα )2

tan2 12

α=sin2 α(1+cosα )2

tan12

α=±sin α1+cos α

(terbukti)

5.

sin

cos1

2

1tan

, dengan sin 0

Bukti :

29

tan2 12

α=1−cosα1+cosα

tan2 12

α=(1−cosα ) (1−cos α )

(1−cos2α )

tan2 12

α=(1−cosα )2

sin2 α

tan12

α=±(1−cosα )sin α

(terbukti)

Rumus Trigonometri Setengah Sudut

sin

12 α = ± √ 1−cosα

2 ……………………………….(1)

cos

12 α = ± √ 1+cosα

2 ……………………………….(2)

tan

12 α = ±√ 1−cosα

1+cosα ………………………….….….(3)

tan

12 α =

sin α1+cosα ……………………...……. …..(4)

tan

12 α =

1−cos αsin α ………………………...……....(5)

Catatan :

Pada persamaan (1) dan persamaan (2),(3),(4),(5), tanda yang digunakan (+) atau (-)

bergantung pada letak kuadran dari setengah sudut,

12 α.

sin

12 α positif untuk

12 α dalam kuadran I dan kuadran II.

cos

12 α positif untuk

12 α dalam kuadran I dan kuadran IV.

tan

12 α positif untuk

12 α dalam kuadran I dan kuadran III.

30

A c R B

C

QP

ab

Pada persamaan (4) dan (5), tanda dari tan

12

α sama dengan tanda dari sin α.

2.7 Aturan Sinus dan Cosinus dalam Segitiga

2.7.1 Aturan Sinus

Untuk menentukan nilai sisi pada segitiga sembarang, dapat ditentukan dengan cara

yang lebih mudah dengan memakai aturan Sinus.

Perhatikan ABC sembarang, berikut ini :

Pada ACR Sin A =

CRb CR = b Sin A ……….(1)

Pada BCR Sin B =

CRa CR = a Sin B …… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh b Sin A = a Sin B

aSin A

= bSin B

Pada APC dab APB didapat

aSin A

= cSin C

Kesimpulan :

aSin A

= bSin B

= cSin C Disebut Aturan Sinus

31

2.7.2 Aturan Kosinus

Bila pada sebuah segitiga unsur-unsur yang diketahui, tidak memuat pasangan sisi dan

sudut yang sehadap, maka unsur segitiga yang lain tidak bisa dihitung dengan aturan

sinus. Oleh karena itu perlu ada aturan yang baru. Aturan itu disebut Aturan Kosinus.

Lihat gambar pada DBC

Sin B =

ha

→ h = a Sin B

Cos B =

DBa

→ DB = a Cos B

C AD = AB – DB

AD = C – a Cos B

b a Lihat ADC siku-siku di D

b2 = AD2 + C D2

h b2 = (C – a Cos B)2 + 6 Sin B)2

b2 = C2 – 2ac Cos B + a2 Cos2 B + a2 Sin2 B

A c D B b2 = C2 – 2ac Cos B + a2 (Cos2 B + Sin2 B)

b2 = c2 + a2 – 2ca Cos B Disebut Aturan Cosinus

Untuk menentukan sisi a dan sisi c berlaku rumus

Dari aturan Kosinus di atas bisa diturunkan rumus untuk menghitung besarnya sudut.

32

a2 = b2 + c2 – 2bc Coa A

c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

Cos A =

b2 + c2 − a2

2bc

Cos B =

c2 + a2 − b2

2ca

Cos C =

a2 + b2 − c2

2ab

E

A F

C

D

Bc

b

a

2.8 Luas Daerah Segitiga

2.8.1 Luas Segitiga dengan Besar Sudut dan Dua Sisi yang Mengapit Sudut itu

diketahui

Menghitung luas segitiga bila diketahui dua sisi dan satu sudut apitnya

L = ½ AB . CF = ½ . BC. AD = ½ .AC . BE

L = ½ .c .b SinA = ½ . a.c Sin B = ½ . b .a SinC

Dari ACF, Sin A =

CFAC CF = AC Sin A

CF = b Sin A

Dari DBA, Sin B =

ADAB AD = AB Sin B

AD = C Sin B

Dari BCE, Sin C =

BEBC BE = BC Sin C

BE = a Sin C

Kesimpulan

2.8.2 Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara

Kedua Sudut Diketahui

L = ½ .b . c. Sin A , b = dicari dulu

33

L = ½ .b .c Sin A

L = ½ .a .c Sin B

ASin

CSinBSina

2

.2

BSin

CSinASinb

2

.2

C Dipakai aturan Sinus

bSin B

= cSin C

⇒ b = C Sin BSin C

b = ? a = ? L = ½ .b. c Sin A

= ½ . C

Sin BSin C

. c Sin A

A c D B

Atau

bSin B

= cSin C

⇒ b = C Sin BSin C

L = ½ .b. a Sin C

= ½ .

a Sin BSin A

. a Sin C

2.8.3 Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

Rumus Heron

Jika S = ½ ( a + b + c) = setengah keliling segitiga

Maka L = √S (s−a ) ( s−b ) ( s−c )

2S = a + b + c 2S – 2c = a + b + c -2c

2 (S – c) = a + b - c

2S = a + b + c 2S – 2b = a + c + b -2b

2 (S – b) = a + c - b

34

L =

C2 Sin A . Sin B2 Sin C

CD = b sin A

2S = a + b + c 2S – 2a = b + c + a -2a

2 (S – a) = b + c - a

Sin2 A = 1 – Cos2 A

= (1 – Cos A)(1 + Cos A)

= (1 − b2 + c2 − a2

2 bc )(1 + b2 + c2 − a2

2bc ), karen Cos A =

b2 + c2 − a2

2bc

Sin2 A= ( 2bc − b2 − c2 + a2

2bc )( 2bc + b2 +c2− a2

2 bc )

Sin2 A =

a2 − (b − c )2

2bc.

(b + c )2 − a2

2 bc

=

(a+b−c ) (a−b+c ) (b+c−a ) (b+c+a )(2 bc )2

=

2 ( S−c ) . 2 (S−b ) . 2 (S−a ) . 2 S

4 b2c2

Sin A = √ 4 S (S−a ) (S−b ) ( S−c )b2c2

Sin A =

2bc

√S ( S−a ) ( S−b ) (S−c )

L = ½ .bc . Sin A

L = ½ .b. c .

2bc

√S ( S−a ) ( S−b ) (S−c )

L = √S (S−a ) ( S−b ) ( S−c )

2.9 Aplikasi dalam Pemecahan Masalah

1. Sebuah perahu akan menyeberang sungai yang mengalir (lihatgambar) sehingga arah

perahu membentuk sudut 600 dari sisis ungai. Karena arus perahu terbawa arus sejauh

12m sehingga sampai di sisi seberang sungai. Tentukan lebar sungai dan jarak yang

ditempuh perahu tersebut.

35

Misalkan titik awal perahu adalah A dan titik akhirnya B, dan panjang yang ditempuh

AC=12 m. Maka lebar sungai adalah CB. Perhatikan segitiga siku-siku ABC yang siku-siku

di C. Perbandingan trigonometri yang kita gunakan untuk menhitung lebar sungai adalah:

tan60o= CBAC

=CB12

sehingga CB12

=√3 maka CB=12√3

Jadi lebar sungai adalahCB=12√3

Untuk mencari jarak tempuh perahu kitamenggunakan perbandingan trigonometri:

sin 60o=CBAB

=12√3AB

Sehingga 12√3

AB=1

2√3 diperoleh AB=2 x 12√3

√3=24.

Jadi jarak tempuh perahu adalah 24 m.

2. Sebuah paku ulir ganda seperti gambar di samping memiliki diameter (D) =2811

√3mm dan

kisar (P) = 8 mm. Tentukan besar sudut α .

Jawab :

Menghitung besarsudut α ekuivalen dengan menghitung kemiringan ulir. Kemiringan ulir

dapat digambarkan sebagai berikut.

tan α=πDP

=

227

.2811

√3

8=√3

⇔α = arc tan√3⇔α=60o

Jadi kemiringan ulir sebesar60o

36

3. Suatu beban ditahan oleh seutas tali seperti pada gambar di samping. Tentukan panjang

tali QR.

Panjang tali QR dapat dihitung dengan menggunakan aturan sinus sebagai berikut.

QRsin P

= PQsin R

⇔QR= PQ. sin Psin R

=50. sin 30o

sin 105o = 50.0,50,9659

=25,9

Jadi , panjang tali QR adalah 25,9 cm.

4. Diberikan posisi tiga buah bangunan seperti gambar di samping. Setelah dilakukan

pengukuran diperoleh bahwa jarak rumah sakit dengan apoteka dalah 1 Km dan jarak

rumah sakit dengan bank adalah 2 km. Pada bangunan rumah sakit dipasang pesawat

theodolit yang diarahkan kerumah sakit dan bank. Sudut yang dibentuk oleh theodolit

adalah120°. Tentukan jarak bank dengan apotek.

Jawab :

Dimisalkan: rumah sakit = A, apotek = B, bank = C

Dengan menggunakan rumus aturan cosines diperoleh:

BC2=AB2+AC 2−2. AB❑ . AC . cos120o

⇔BC2=12+22−2. 1.2.cos (180¿¿o¿−60o)¿¿⇔BC2=1+4−2.1. 2.(−cos 60o)

37

⇔BC2=5−2.1. 2.(−12

)

⇔BC2=5+2⇔BC2=7⇔BC=√7=2,6458

Jadi, jarak apotek dengan bank adalah 2,6458 km ≈ 2,7 km.

5. Pada suatu titik tumpuan bekerja dua buah gaya yaitu P1sebesar 5N dengan arah α1 =

220° dan P2 sebesar 7N dengan arah α2 = 340°. Tentukan tiap-tiap gaya apabila

diuraikan sesuai sumbu koordinat.

Jawab :

Gaya P1dan P2 apabila digambarkan dalam bidang koordinat akan diperoleh:

Untuk gaya P1:

Diuraikan pada sumbu X:

P1 x = P1⋅cos α1

=5 ⋅cos 220°

=5 ⋅cos (180° + 40°)

=5 ⋅ (cos 180° ⋅cos 40° – sin 180° ⋅ sin 40°)

=5 ⋅ (–1 ⋅ 0,766 – 0 ⋅ 0,642)

=5 ⋅ (–0,766)

= –5,766

Diuraikan pada sumbu Y:

P1 y = P1 ⋅ sin α1

38

=5 ⋅ sin 220°

=5 ⋅ sin (180° + 40°)

=5 ⋅ (sin 180° ⋅cos 40° – cos 180° ⋅ sin 40°)

=5 ⋅ (0 ⋅ 0,766 + (–1) ⋅ 0,642)

=5 ⋅ (–0,642)

= –3,214

Untuk gaya P2:

Diuraikan pada sumbu X:

P2 x = P2⋅cos α2

=7 ⋅cos 340°

=7 ⋅cos (270° + 70°)

=7 ⋅ (cos 270° ⋅cos 70° – sin 270° ⋅ sin 70°)

=7 ⋅ (0 ⋅ 0,342 + 1 ⋅ 0,939)

=7 ⋅ (0,939)

= 6,5779

Diuraikan pada sumbu Y:

P2 y = P2 ⋅ sin α2

=7 ⋅ sin 340°

=7 ⋅ sin (270° + 70°)

=7 ⋅ (sin 270° ⋅cos 70° – cos 270° ⋅ sin 70°)

=7 ⋅ (–1 ⋅ 0,342 + 0 ⋅ 0,939)

=7 ⋅ (–0,342)

= –2,394

6. Sebuah tegangan geser diberikan dengan rumus σ = γh⋅cos α ⋅ sin α. Jik adiketahui σ = 5

N/m2, h = 10 m, dan γ = 2 N/m2, tentukan besar sudut yang dibentuk (α).

Jawab :

Rumus yang diketahui adalah:

39

σ = γh⋅cos α ⋅ sin α⇔ 5= 2 ⋅ 10 ⋅cos α ⋅ sin α⇔ 5 = 10 ⋅ 2 cos α ⋅ sin α⇔ 5 = 10 ⋅ sin 2α

⇔12

= sin 2α

⇔sin 30° = sin 2α⇔ 30° = 2α⇔ α = 15°

Jadi, besar sudut yang dibentuk 15°.

7. Diketahui e = εmax sin ωt dan i = Imax sin ωt. Tentukan nilai e ⋅ i.Jawab:

Rumus yang diketahui sebagai berikut.

e⋅ i = εmax sin ωt⋅Imaxsinωt

= εmax⋅Imax⋅ sin ωt⋅ sin ωt

= εmax⋅Imax⋅ sin 2ωt

= εmax⋅Imax⋅¿)

Jadi, nilai e ⋅ i adalah εmax⋅ Imax⋅¿)

8. Pada sebuah batang silinder diketahui besar nilai e = εmsin ω dan i = Im sin (ω + θ)

dengan εm adalah modulus elastisitas dan Im adalah momeninersia. Tentukan nilai e ⋅ i.Jawab :

e⋅ i = (εm⋅ sin ω)(Im⋅ sin( ω + θ))

= εm⋅Im⋅ sin ω (sin ω + θ)

= εm⋅Im(−12

)(cos (ω + w + θ) – cos (ω – (ω + θ )))

= −12

εm⋅Im⋅ (cos (2ω + θ) – cos θ)

40

60o

= −12

εm⋅Im⋅ (cos θ – cos(2ω + θ))

Jadi, nilai e ⋅ i adalah −12

εm⋅Im(cos θ – cos(2ω + θ)).

9. Sepasang roda gigi memiliki kecepatan putar masing- masing e1 =

110 √2 sin (ωt + π2

) dan e2

= 110√2 sin ωt. Tentukan e1 + e2.

Jawab:

e1 + e2= 110√2 sin (ωt + π2

) + 110 √2 sin ωt

= 110√2 (sin (ωt + π2

) + sin ωt)

= 110√2 [2 ⋅ sin 12

(ωt + π2

+ ωt) ⋅cos12

(ωt + π2

– ωt)]

= 220 √2 [sin 12

(2ωt+ π2

) ⋅cos12⋅π2

]

= 220 ⋅ sin (ωt+ π4

)

Jadi, jumlah kecepatan putar sepasang roda gigi tersebut adalah

220 ⋅sin (ωt + π4

).

10. Seorang anggota Pramuka berdiri 15m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh tegak

lurus, seperti ditunjukkan pada gambar. Jika sudut elevasi kepuncak pohon adalah 60o,

berapakah tinggi pohon tersebut?

Jawab:

Tinggi pohon y dapat Anda hitung dengan menggunakan perbandingan tangen

Tan 60o = yx

y=x × tan 60°

Sehinggay=15 ×√3=15√3

Jadi, tinggi pohon itu15√3 m.

41

T

?

E

T

A1 B1

1,6m

30o 60o

? 20 m ?

11. Seseorang berjalan lurus dijalan yang datar kearah cerobong asap. Dari lokasi A, ujung

cerobong itu terlihat dengan sudut elevasi 30o. kemudian, ia berjalan lurus lagi sejauh 20

m ke lokasi B. Dari lokasi B, cerobong asap terliha tdengan sudut elevasi 60o. Jika tinggi

orang itu 1,6 m, tentukan tinggi cerobong asaptersebut?

Jawab:

i) Sebelumnya, Anda harus dapat menjelaskan karakteristik masalah tersebut.

Karena data yang diketahui adalah sisi di depan dan sisi di dekat sudut sehingga

masalah yang dihadapi berkaitan dengan tangent tersebut.

ii) Selanjutnya, tentukan besaran-besaran yang akan dirancang sebagai variabel. Dapat

ditentukan variabel-variabel antara lain sudut A1, sudut B1, jarak TE, jarak A1E,

jarak B1E, danjarak ED.

iii) Rumuskan lah model matematika untuk masalahtersebut.

Perhatikan∆B1ET (siku-siku di E)

tan60 °= TEB1 E

→ TE=B1 E tan 60 °

TE=B1 E (√3 )⋯(*)

Perhatikan∆ A1 ET !

tan30 °= TEA1 E

→ TE=A1 E tan 30°

TE=(20+B1 E ) . 1

√3⋯(**)

Langkah selanjutnya adalah menentukan penyelesaiandari model matematika

tersebut.

Samakan TE pada (*) dan (**) sehingga diperoleh

42

danau

125,4o

42,5o

d135

CB

B1 E (√3 )=(20+B1 E ) 1

√3

3 B1 E=20+B1 E

2 B1 E=20 → B1 E=10

SubstitusikanB1 E=10 ke dalam (**) sehingga diperoleh

TE=(20+10 ) 1

√3=30 (√3 )=10√3

iv) Tafsirkan solusi yang anda peroleh. Tinggi cerobong adalah jarak TE ditambah

jarak ED, yang merupakan tinggi orang tersebut. Sehingga, tinggi cerobong

TD = TE

TD = 10√3 + 1,6

TD = 17,3 + 1,6 = 18,9 m

12. Sebuah bidang miring dengan panjang 1,6 m digunakan untukmemasukkan barang ke

dalam pesawa tterbang. Jika bidang miringnya membentuk sudut 23o terhadap tanah,

berapa panjang dasar bidang miring?

Jawab:

i. Diketahui sudutA, hipotenusa, dan sisi di dekat A. Oleh Karena itu, Anda dapat

menggunakan perbandingan kosinus.

ii. A = 23o, hipotenusa = 1,6 m dan x.

iii. cos A= sisi didekat Ahipotenusa

iv. cos23 °= x1,6

⟹0,9205= x1,6

⟹0,9205 (1,6 )=x⟹1,4728=x

v. Jadi, panjang dasar bidang miring adalah

1,4728 m.

13.

43

utara

128 km

96 kmAA

C

BA

Sebuah danau akan diukur panjangnya (lihatgambar).

Untuk itu, ditetapkan suatu garis acuan AB yang

sebidang dengan permukaan danau dan panjangnya

135m. diperoleh besar sudut A dan B adalah 42,5odan

125,4o. Berapa panjang danau tersebut?

Jawab:

Terlebih dahulu dicari besar sudut C dalam∆ ABC sebagai berikut.

A+B+C=180 °⟺C=180 °− ( A+B )=180 °−( 42,5°+125,4 ° )=121°

Selanjutnya, panjang danau d dapat dihitung dengan menggunakan aturan sinus.

dsin 42,5 °

= 135sin C

⟺d=135 sin Csin 12,1°

=435,10

Jadi, panjang danau itu adalah 435,1 meter.

BAB III

PENUTUP

2.7 SIMPULAN

2.8 SARAN

a. Hendaknya mahasiswa sebagai calon guru dapat memahami konsep-konsep dasar

trigonometri sehingga nantinya dalam pembelajaran matematika mengenai trigonometri

tidak terjadi kesalahan konsep matematika.

b. Mahasiswa diharapkan mampu mengaplikasikan apa yang telah ia pelajari dalam

perkuliahan ini pada masyarakat sehingga diharapkan mampu meningkatkan kualitas

pendidikan di daerah maupun pendidikan nasional.

44

trigonometri

Documents