“Trigonometri”

By : Asrifida Juwita Tanjung

TRIGONOMETRI•Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon yang berarti tiga sudut dan metro yang berarti mengukur.

•Trigonemetri terdiri dari cosinus(cos),sinus(sin),tangen(tan),cotangen(cot),secan(sec),dan cosecan(cosec)

•Trigonometri merupakan hasil nilai perbandingan yang dapat didefenisikan pada koordinat certesius segitiga siku-siku.

Kegunaan Aturan Sinus

• Rumus aturan sinus digunakan untuk menghitung salah satu unsur sebuah segitiga yang belum diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan unsur-unsur yang telah diketahui adalah :

- Sisi, sudut, sudut - Sudut, sisi, sudut - Sisi, sisi, sudut

Pembuktian Aturan Sinus

Dapat diamati bahwa:

Maka :

=

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut B dan sisi b akan menghasilkan:

=

Maka :

= =

Contoh Soal Aturan Sinus

Penyelesaian :

Pada diketahui A = 45 B = 30 dan panjangAC = 5 cm,maka panjang sisi BC adalah ....

A. 2

B. 4

C.

D. 5

E. 57 7

Penyelesaian : C 5 cm

A B

Kita dapat menggunakan aturanSinus :

45

30

D

Pada diketahui B = 45 A = 60 danpanjang b = 10 cm. Tentukan panjang C !

Penyelesaian : C 10 cm a

A B

7 7

60 45

x

Kegunaan Aturan Cosinus

• Aturan cosinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan:

1.Panjang sisi pada sebuah segitiga yang belum diketahui, apabila dua sisi lainnya dan sebuah sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut (ss,sd,ss)

2.Besar sudut sebuah segitiga jika panjang ketiga buah sisinya telah diketahui (ss,ss,ss)

Pembuktian Aturan Cosinus C • Yang pertama,kita harus mengetahui dulu

rumus d.

Cos A = d = b . Cos A

b a • Setelah kita mengetahui d,maka kita dapat menentukan rumus e. c = d + e e = c - d e = c – b . Cos A

• Setelah itu,kita harus mencari rumus T.

A c B Sin A = T = b . Sin A

I . Kita Harus Membuktik-kan bahwa := + - 2.b.c.Cos A

T

d e

Maka dari gambar tersebut dapat kita buktikan rumus tersebut,dengan cara : = + = + = . + - 2.b.c.Cos A + .

= . + . + - 2.b.c.Cos A = ( + ) + - 2.b.c.Cos A

Seperti yang telah di ketahui bahwa + = 1

Maka,

= + - 2.b.c.Cos A

c • Yang pertama,kita harus menentukan rumus e.

Cos B = e = . Cos B

• Setelah kita mengetahui rumus e, maka kita

b a dapat menentukan rumus d.

c = d + e

d = c – e d = c – .Cos B A c B

• Setelah itu,kita dapat menentukan rumus T

II. Kita harus membuktikan Sin B = T = . Sin B

bahwa: = + - 2.a.c.Cos B

T

d e

Maka dari gambar tersebut,kita dapat menentukan bahwa rumus itu benar,dengan cara :

= + = +

= . + - 2.a.c.Cos B + . = . + . + - 2.a.c.Cos B = + - 2.a.c.Cos B

Seperti yang telah di ketahui bahwa + = 1

Maka,

= + - 2.a.c.Cos B

C • Yang pertama,kita harus menentukan rumus d

Cos C = d = . Cos C

b a • Setelah kita mengetahui rumus d,maka kita

dapat menentukan rumus e.

b = d + e

A c B e = b – d e = b – . . Cos C

III.Kita Harus Membuktikan • Setelah itu, kita dapat menentukan rumus T

bahwa: Sin C = T = . Sin C

= + - 2.a.b.Cos C

T

e

d

Maka dari gambar tersebut,kita dapat menentukan bahwa rumus itu benar,dengan cara :

= + = + = . + - 2.a.b.Cos C + . = . + . + - 2.a.b.Cos C = + - 2.a.b.Cos C

Maka,

= + - 2.a.b.Cos C

Seperti yang telah di ketahui bahwa + = 1

Maka,sudah terbukti bahwa rumus Aturan Cosinus adalah :

= + - 2.b.c.Cos A

= + - 2.a.c.Cos B

= + - 2.a.b.Cos C

• Dari rumus a2 = b2 + c2 – 2bc cos A diperoleh : 2bc cos A = b2 + c2 – a2

Cos A =

• Dari rumus b2 = a2 + c2 – 2ac cos B diperoleh : 2ac cos B = a2 + c2 – b2

Cos B =

• Dari rumus c2 = a2 + b2 – 2ab cos C diperoleh : 2ab cos C = a2 + b2 – c2

Cos C =

Contoh Soal Aturan CosinusPada segitiga ABC diketahui A = 60 ∠, b = 5 cm dan c= 6 cm. Tentukan panjang a !

Penyelesaian:

= + - 2.b.c.cos A = + - 2.5.6.cos 60 = 25 + 36 - 60. = 61 - 30 = 31 = 31 cm

C. Luas Segitiga• Rumus luas segitiga jika yang

diketahui :Sisi – Sudut – Sisi

• Rumus luas segitiga jika yang diketahui :Sudut – Sisi – Sudut

• Rumus Luas Segitiga Jika Yang Diketahui :Sisi – Sisi - Sisi

Luas segitiga ABC jika diketahui panjang ketigasisinya (sisi a, sisi b, sisi c) dapat ditentukandengan rumus :

Dengan s = (a+b+c) = setengah keliling segitiga ABC

Contoh Soal Luas Segitiga

Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4cm, b =6 cm dan C = 30∠

Jawab :L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30 = 12. ½ = 6Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2

Contoh Soal Luas Segitiga

Pada segitiga ABC, panjang a=8, <B=45 , dan <C=105. Panjang sisi b ̊adalah..

Jawab : Aturan sinus = a = b sin A sin B = 8 = b sin 30 sin 45 ̊ ̊ = 8 = b ½ ½√2 b = 8√2 ( B )