trigonometri

-1-

Matematika kelas 10 semester 2 - SMANSTARS LAKOSTA TP. 2013/2014

TRIGONOMETRI xxB( (Bahan Ajar Kelas X Semester 2)

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKU-SIKU

Y

P(x,y) x disebut absis y disebut ordinat

r y r jari-jari

sudut positif diukur dari sumbu X berlawanan

arah putaran jarum jam.

0 x X

22 yxr

Definisi :

r

ysin

r

xcos

x

ytg

y

rec cos

x

rsec

y

xctg

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena rx dan ry maka berlaku

1cos1 dan 1sin1 . Khusus untuk tg dan ctg dapat bernilai setiap harga

positif dan negatif.

Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :

sisi miring sisi di depan sudut (opposite)

(hipotenusa)

sisi di samping sudut (adjacent)

Jadi :

miring

depansin

miring

sampingcos

samping

depantg

cos

1cos ec

sin

1sec

tg

ctg1

Contoh 1: Tentukan nilai cos,sin dan tg dari gambar berikut :

a. b.

c b

a

Jawab : a. ...

...sin

...

...cos

...

...tg

b. ...

...sin

...

...cos

...

...tg

q

p

r

-2-


Contoh 2: Diketahui 3

4tg . Tentukan sin dan cos !

Jawab : 3

4tg =

...

... ....r

sin = .......

... cos = ....

...

...

2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK 900

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa 900 kita

pergunakan gambar sebagai berikut :

Y

45

2 1 60 P(0,r)

2 1

45

30 X

1 3

P(r,0) Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :

cos sin tg ctg sec eccos 0 … … … … … …

30 … … … … … …

45 … … … … … …

60 … … … … … …

90 … … … … … …

C

Contoh 3: Tentukan AC dan AB !

5

60

A B

Jawab : tg 60 =

.....

..... ....AC

cos .........

.....60 AB

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai cos,sin dan tg dari gambar berikut : c

a) b)

p b a

q

r

2. Tentukan nilai cos,sin dan tg dari gambar berikut :

-3-


a) B b) P 26

8

6 6 R

A C Q

3. A 60 B Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB

45

D C

4. Jika 10

3sin maka tentukan cos dan tg

5. Jika tg 2 maka tentukan sin dan cos

6. Tentukan nilainya :

a. 303630cos330sin2 tg

b.

30cos645sin2

60sin6603

tg

C

7. 30 Tentukan AB dan BC

B

12

A

3. SUDUT-SUDUT BERELASI

3.1 RELASI DAN 180

Y ........

....180sin

P’(-x,y) 180 P(x,y) ........

....180cos

X ........

....180 tg

3.2 RELASI DAN 180

Y

P(x,y) ........

....180sin

180 X ........

....180cos

........

....180 tg

P’(-x,-y)

-4-


3.3 RELASI DAN 360 ATAU Y

P(x,y) ....sin360sin

....cos360cos

....360 tgtg

X

P’(x,-y)

3.4 RELASI DAN 90 Y

P’(y,x) ........

....90sin

90 P(x,y) ........

....90cos

........

....90 tg

X

3.5 RELASI DAN 90 Y

P’(-y,-x) ........

....90sin

90 P(x,y) ........

....90cos

........

....90 tg

X

3.6 RELASI DAN 270

Y ........

....270sin

P(x,y) ........

....270cos

270 X ........

....270 tg

P’(-y,-x)

3.7 RELASI DAN 270

Y

P(x,y) ........

....270sin

X ........

....270cos

270 ........

....270 tg

P’(y,-x)

-5-


Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. 150sin b.

225cos c. 330tg

Jawab : a. 150sin = sin( … - … ) = sin … = ….

b. 225cos = ….

c. 330tg = ….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilainya dari :

a. 120sin b.

135sin c. 240cos d.

300tg

e. 330cos f.

150tg g. 240sin h.

120cos

i. 135cos j.

210tg k. 180sin l.

270tg

m. 150sin n. 300cos o. 210tg

2. Jika 5

3sin dan

18090 maka tentukan cos dan tg

3. Jika 3tg dan 360270 maka tentukan sin dan cos

4. Tentukan untuk 3600 dari :

a. 2

1sin b. 2

2

1cos c. 3tg

5. Sederhanakan !

a. 315cos2315sin2300cos2225sin4

b. 33033315sin2210sin22403 tgtg

4. KOORDINAT KUTUB Y P(x,y) Koordinat Cartesius P(x,y)

Koordinat Kutub P(r, )

r

X Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub :

1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub

P(x,y) = P(r, ) 22 yxr

x

yarctg

x

ytg

2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius

P(r, ),() yxP cosrx

sinry

Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10, )45

-6-


Jawab : x = … = … y = … = …

Jadi koordinat Cartesius P(….,….)

Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4)

Jawab : r = … = …

Arctg .... = … .... Jadi koordinat kutub Q(……,……)

LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat Cartesius dari :

a. 60,8A b. 120,10B c. 210,6C d. 300,4D

e. 325,23E f. 300,3F g. 60,4G h. 225,2H

i. 0,12I j. 90,6J

2. Tentukan koordinat Kutub dari :

a. A(5,5) b. B(-4,4) c. C(2, )32 d. D(0,5)

e. E(-8,0) f. F(-10,-10) g. )5,35(G h. )3,1(H

i. )1,3( I j. J(1,-1)

5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

Y P(x,y) 222 ryx …(1)

r

sin

cos

ry

rx …(2)

0. X

Dari (1) dan (2) didapat hubungan :

222 ryx …

......sincos 22

....sin

....cos2

2

................

................

x

y

.......

.......tg

Contoh 1: Jika 10

8cos , maka tentukan sin dan tg

Jawab : .....sin2

sin ........

tg .......

....... = ….

Contoh 2: Buktikan tgtg )1(cossin 2

Jawab : ....)1(cossin 2 tg

= ….

= ….

-7-


LATIHAN SOAL

1. Diketahui A lancip dan 17

8sin A . Hitung cos A dan tg A !

2. Jika 15

9cos B dan

18090 B , maka tentukan sin B dan tg B !

3. Tunjukkan bahwa :

a. 1120sin120cos 22

b. 1270cos270sin 22

4. Buktikan identitas berikut :

a. 22 sin211cos2

b.

2

2

2

sin1

tg

tg

c.

cos

2

cos1

sin

sin

cos1

d. PPPPP 2sin21sincoscossin

e. sinsec1cos1 ctg

f. 22 sincos1 22 tgtg

6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN

1 putaran =

360 atau 360

11

putaran

'601 (menit) dan 1’ = 60’’ (detik)

Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya. Q

r 1 rad = POQ jika busur PQ = r

Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan O r P panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling 2

1 lingkaran = r

Q O P Jadi POQ = 180 =

r

r rad

Jadi 180 rad atau cukup ditulis dengan 180

1 rad = ''45'1757296,5714,3

180180

Contoh 1: Nyatakan 120 dengan ukuran radian !

Jawab : 120 = ….

Contoh 2: Nyatakan 3

4 dengan ukuran derajat !

Jawab : 3

4 = ….

-8-


LATIHAN SOAL

1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :

a. 45 b.

90 c. 135 d.

210 e. 240

f. 330 g.

270 h. 360 i.

420 j. 540

2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari :

a. 3

b.

3

2 c.

3

5 d.

6

11

e. 12

5 f.

18

5 g. 2 h. 30

3. Berapa radian ukuran ?1

4. Tentukan nilai dari :

a. 2

3sin

b.

6

11sin

c.

3

4cos

d.

4

5tg e. 30sin

B. FUNGSI TRIGONOMETRI

Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real. Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu

akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah 360 atau 2 . Sedangkan periode tg adalah

180 atau .

Jadi sin x = sin (x + k. 2 )

cos x = cos (x + k. 2 )

tg x = tg (x + k. )

dimana Bk

Contoh 1: Tentukan nilai dari :

a. 480sin b.

960cos c. 1290tg

Jawab : a. 480sin = …

b. 960cos = …

c. 1290tg = …

1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada 3600 x

Y = sin x

Y

1

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = cos x

-9-


Y 1

X 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1

y = tg x

Y

X

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

LATIHAN SOAL

Lukislah grafik di bawah ini untuk 3600 x !

13sin2.8

2cos3.7

12sin.6

2sin.5

2cos3.4

1sin2.3

cos5.2

sin2.1

xy

xy

xy

xy

xy

y

xy

y

trigonometri

Education