IDENTITAS TRIGONOMETRI

Indikator : Siswa dapat menggunakan Identitas Trigonometri dalam penyelesaian soal Siswa dapat membuktikan beberapa Identitas Trigonometri yang sederhana

Materi : 1. Hubungan Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut ( LENGKAPILAH ISIAN BERIKUT )

Identitas Trigonometri dasar yang menghubungkan satu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lain, pernah kita bahas... sehinggakita mendapatkan rumus-rumus dari keterangan di atas antara lain :

o

P1

P(x,y)

r

OX

Y

x

y

Lihat Gambar : OPP1 siku-siku di P1

Sin o = Berlaku Rumus Pythagoras : X2 + y2 = .......... ) Cos o = ) Jika kedua ruas dibagi r2 :Tan o =

(Cos o)2 + (Sin o)2 = ....

Cos2 o + Sin2 o = .........

) Jika kedua ruas dibagi y2 : ) Jika kedua ruas dibagi x2 :

(Cot o)2 + 1 = ....... o 1+ (tan o)2 = ....... o

Cot 2 o + 1 = ......... 1 + Tan 2 o = .........

Dengan cara sama :

Tan2 =

Cot2 =

a. Cos 2 + Sin 2 = 1

b. Tan 2 + 1 = Sec 2 Cot 2 + 1 = Csc 2

1. Rumus Phytagoras :

Cos 2 = 1 – Sin 2 Sin 2 = . . . .

Tan 2 = Sec 2 – 1Cot 2 = . . . .

2. Rumus Perbandingan :

Untuk Setiap sudut berlaku hubungan :

Tan =

Cot =

2. Rumus Kebalikan :

Sec =

Cosec =

Cot =

Sec2 =

Cosec2 =

Cot2 =

Contoh :Gunakan Identitas Trigonometri tersebut untuk menyelesaiakan soal berikut :

1. Nyatakan bentuk trigonometri berikut ke bentuk sinus :

a. tan x cos x b. 4 cos2 x – 4

Jawab :

a. tan x cos x = . Cos x

= sin x

b. 4 cos2 x – 4 = 4 (1 – Sin 2 x ) – 4

= 4 – 4 sin2 x – 4

= – 4 sin2 x

2. Tentukan hasil bentuk trigonometri : tan2 x cos2 x + cos2 x

Jawab :

tan2 x cos2 x + cos2 x

= . cos2 x + cos2 x

= sin2 x + cos2 x

= 1

Materi : 2. Membuktikan Identitas Trigonometri yang Sederhana.Identitas trigonometri adalah Identitas yang memuat perbandingan trigonometri.Untuk meunjukkan kebenaran suatu identitas dapat dilakukan dengan

Mengubah ruas kiri supaya menjadi sama dengan ruas kanan. Mengubah ruas kanan supaya menjadi sama dengan ruas kiri. Mengubah kedua ruas persamaan, shg menjadi bentuk yg sama.

Contoh :1. Buktikan Kebenaran Identitas Trigonometri berikut :

a. ( cos + sin )2 – 2 sin cos = 1b. 3 + 5 sin2x = 8 – 5 cos2x

2. Buktikan Identitas Trigonometri berikut :a. ( 1 + cos ) ( 1 – cos ) = sin cos tan

Dalam Aljabar berlaku Identitas-identitas (rumus-rumus) sbb: ( x + y )2 = .......... ............ x2 – y2 = .......... ............ x3 + y3 = ( x + y )( x2 + xy + x2 ) x3y2 + x2y = .......... ............dan berlaku dalam Trigonometri, seperti yg telah kita bahas di atas....

Pilih yang mana ??

b. Tan =

Penyelesaian :

1a. Ruas kiri :( cos + sin )2 – 2 sin cos

= (cos2 + 2cos .sin + sin2 ) – 2 sin cos

= (cos2 + sin2 + 2cos .sin ) – 2 sin cos

= (1 + 2cos .sin ) – 2 sin cos

= 1 = ruas kanan ( terbukti )

b. Ruas kiri :

3 + 5 sin2x = 3 + 5 ( 1 – cos2 x )

= 3 + 5 – 5 cos2 x

= 8 – 5 cos2 x

= Ruas kanan ( terbukti )

Penyelesaian :2a. ( 1 + cos ) ( 1 – cos ) = sin cos tan

Ruas kiri :( 1 + cos ) ( 1 – cos )

= 1– cos2

= sin2

Ruas kanan : sin cos tan

= sin cos

= sin2

Jadi Ruas kiri = Ruas kanan

atau : Ruas kanan8 – 5 cos2 x

= 8 – 5 ( 1 – sin2 x )

= 8 – 5 + 5 sin2 x

= 3 + 5 sin2 x

= Ruas kiri ( terbukti )

2b. Tan =

Ruas kanan :

=

=

=

=

=

=

= tan = ruas kiri ( terbukti )

SELAMAT MENGERJAKAN

Soal lain …. Buktikan Identitas berikut !

1. tan + cot = csc .sec 2. tan β sin β = sec β – cos β

3. sec x + tan x =

4. sin A + = 1

5. = 2 sec θ