1. Trigonometri Oleh: Kelompok 7 1. Anggit Metha M.Y.S. (01)2. Fadhel Akhmad Hizham (05)X Akselerasi

2. Daftar Isi1. Pengertian Trigonometri2. Perbandingan Trigonometri3. Identitas Trigonometri4. Persamaan Trigonometri5. Grafik Fungsi Trigonometri6. Aturan Sinus7. Aturan Cosinus8. Luas Segitiga 3. 1. Pengertian Trigonometri 4. Trigonometri terdiri atas 2 kata bahasa Yunani, yaitutrigonos dan metros. Trigonos berarti segitigadan metros berarti ukuran. Dengan demikian, trigonometri berarti menentukanukuran-ukuran segitiga yakni menentukan panjangsisi, besar sudut, garis tinggi, garis bagi, garis berat,luas, dan perbandingan sisi. Konsep trigonometri dipakai dalam menyelesaikanmasalah matematika maupun dalam kehidupansehari-hari, seperti dalam menentukan tinggi gedungatau menara, lebar sungai dan arah sebuah pesawat. 5. 2. Perbandingan Trigonometria. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.b. Perbandingan trigonometri dalam semua kuadran.c. Perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus.d. Perbandingan trigonometri sudut berelasi. 6. a. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku 7. B a desin A = =c a c mib sacos A = =A b C c mia detan A = =b sa 8. B1bcot A = =c a tan A a 1csec A = =A b C cos A b 1ccsc A = =sin A a 9. Kedudukan Trigonometri Kebalikan:sin dengan csccos dengan sectan dengan cot Berpenyiku:sin dengan costan dengan cotsec dengan csc 10. b. Perbandingan Trigonometri dalamSemua Kuadran 11. Perbandingan trigonometri di semua kuadran biasadisebut dengan trigonometri dalam koordinatCartesius, yakni perluasan dari perbandingantrigonometri dalam segitiga siku-siku. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-sikuhanya menggunakan sudut lancip, tetapiperbandingan trigonometri dalam koordinatCartesius berlaku untuk sembarang sudut. 12. Kuadran IYP(x,y)r yO Xx 13. Kuadran IIYP(x,y)r XO 14. Kuadran III Y OX rP(x,y) 15. Kuadran IVYO XrP(x,y) 16. Tanda-tanda Perbandingan TrigonometriKuadran II Kuadran Isin = y (+) : r (+) = + sin = y (+) : r (+) = +cos = x (-) : r (+) = - cos = x (+) : r (+) = +tan = x (-) : y (+) = - tan = x (+) : y (+) = + Kuadran IIIKuadran IVsin = y (-) : r (+) = - sin = y (-) : r (+) = -cos = x (-) : r (+) = - cos = x (+) : r (+) = +tan = x (-) : y (-) = + tan = x (+) : y (-) = - 17. c. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Khusus 18. Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus 030 (1/6 ) 45 (1/4 ) 60 (1/3 ) 90 (1/2 )sin 0 2 31cos 1 3 20taktan 0 31 3terdefinisitakcot terdefinisi 3 1 30taksec 1 322terdefinisitakcsc terdefinisi2 2 31 19. d. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 20. Kuadran II Kuadran I(180 ) dan (90 ) dan (90 + ) dan (360 + ) dan Kuadran IIIKuadran IV(270 ) dan (360 ) dan (180 + ) dan (270 + ) dan () dan 21. Rumus Perbandingan Trigonometri(Kuadran I)1.Sudut (90 ) dan sin (90 ) = cos cos (90 ) = sin tan (90 ) = cot cot (90 ) = tan sec (90 ) = csc csc (90 ) = sec 22. 2.Sudut (360 + ) dan sin (360 + ) = sin cos (360 + ) = cos tan (360 + ) = tan cot (360 + ) = cot sec (360 + ) = sec csc (360 + ) = csc 23. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran II)1.Sudut (180 ) dan sin (180 ) = sin cos (180 ) = - cos tan (180 ) = - tan cot (180 ) = - cot sec (180 ) = - sec csc (180 ) = csc 24. 2.Sudut (90 + ) dan sin (90 + ) = cos cos (90 + ) = - sin tan (90 + ) = - cot cot (90 + ) = - tan sec (90 + ) = - csc csc (90 + ) = sec 25. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran III)1.Sudut (270 ) dan sin (270 ) = - cos cos (270 ) = - sin tan (270 ) = cot cot (270 ) = tan sec (270 ) = - csc csc (270 ) = - sec 26. 2.Sudut (180 + ) dan sin (180 + ) = - sin cos (180 + ) = - cos tan (180 + ) = tan cot (180 + ) = cot sec (180 + ) = - sec csc (180 + ) = - csc 27. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran IV)1.Sudut (360 ) dan sin (360 ) = - sin cos (360 ) = cos tan (360 ) = - tan cot (360 ) = - cot sec (360 ) = sec csc (360 ) = - csc 28. 2.Sudut (270 + ) dan sin (270 + ) = - cos cos (270 + ) = sin tan (270 + ) = - cot cot (270 + ) = - tan sec (270 + ) = csc csc (270 + ) = - sec 29. 3.Sudut () dan sudut negatif sin () = - sin cos () = cos tan () = - tan cot () = - cot sec () = sec csc () = - csc 30. Kesimpulan 1 (menentukan kedudukantrigonometri):Untuk sudut (90 ) = kebalikanUntuk sudut (180 ) = tetapUntuk sudut (270 ) = kebalikanUntuk sudut (360 ) = tetap Kesimpulan 2 (menentukan positif atau negatif):Ditentukan dengan letak sudut berada pada kuadranI (semua positif), II (sin positif), III (tan positif), danIV (cos positif). 31. Untuk Sudut > 360 Gunakan K . 90 + 1.K genap untuk kedudukan trigonometri tetap dan Kganjil untuk kedudukan trigonometri berlawanan.2.Menentukan sisa dari K : 43.Sisa dari K : 4 adalah penentu letak sudut padakuadran akhir.4. (untuk 0 90) 32. Contoh Soal 11.sin 135 = sin (180 45) = sin 45 = 2 atau= sin (90 + 45) = cos 45 = 2 33. 2.csc 330 = csc (360 30)= - csc 30=-2 atau = csc (270 + 60)= - sec 60=-2 34. 3.tan 1500 = tan (16 . 90 + 60) 16 : 4 = sisa 0= tan 60= 34.csc 34530= csc (383 . 90 + 60) 383 : 4 = sisa 3= - sec 60=-2 35. 5.cos (-1530) = cos 1530 = cos (17 . 90 + 0) = sin 0 = 06.csc (-14610)= - csc 14610 = - csc (162 . 90 + 30) = - (- cosec 30) = cosec 30 = 2 36. 3. Identitas Trigonometri 37. Hubungan perbandingan trigonometri dapat dibagimenjadi 3 kelompok, yaitu:A)Identitas kebalikanB)Identitas perbandinganC)Identitas Pythagoras 38. A. Identitas Kebalikan1b cot = = tan a1c sec = = cos b1c csc = = sin a 39. B. Identitas Perbandingan sin tan = cos cos cot = sin 40. C. Identitas Pythagoras221.sin + cos = 12.tan2 + 1 = sec222sin = 1 cos 1 = sec2 tan2 2 2cos = 1 sin tan2 = 1 sec22 2 3.cot + 1 = csc 1 = csc2 cot2 cot2 = 1 csc2 41. Contoh Soal 2 221.Buktikan bahwa 14 sin + 22 = 36 14 cos 14 sin2 + 22 = 14 (1 cos2) + 222 = 14 14 cos + 222 = 36 - 14 cos (terbukti) 42. 2.Buktikan bahwa 17 sin2 + 8 cos2 = 9 sin2 + 8 17 sin2 + 8 cos2 = 17 sin2 + 8 (1 sin2)= 17 sin2 + 8 - 8 sin2 2= 9 sin + 8 (terbukti) 43. 3.Buktikan bahwa cos4 - sin4 + 1 = 2 cos2 cos4 + sin4 + 1 = (cos4 + sin4) + 1 = {(cos2 - sin2) (cos2 + sin2)} + 1 2 2 = (cos sin ) . 1 + 1 = cos2 sin2 + cos2 + sin2 = 2 cos2 (terbukti) 44. 4. Persamaan TrigonometriA)Persamaan Trigonometri SederhanaB)Penyelesaian Umum 45. A. Persamaan Trigonometri Sederhana 46. Persamaan trigonometri sederhana adalahpersamaan yang nilai sin x, cos x, atau tan x sudahdiketahui. Unuk mendapatkan semua sudut yangmemenuhi persamaan trigonometri sederhana, makakita harus mengingat nilai perbandingantrigonometri sudut-sudut khusus dan pasangansudut-sudut di berbagai kuadran. Misalnya sudutdi kuadran I, maka pasangan sudut di kuadranlainnya adalah:II = 180 III = 180 + IV = 360 47. b. Penyelesaina Umum 48. Berikut rumus umum penyelesaian persamaantrigonometri:sin x = sin , makax1 = + k.360atau x2 = (180 ) + k.360cos x = cos ,maka x1 = + k.360atau x2 = ( ) + k.360tan x = tan , maka x = a + k.180 (k = 0, 1, 2, ...) 49. Contoh Soal 31.Tentukan nilai x dari sin x = (0 x 360)sin x = sin x = sin 30Karena sin x bernilai positif, maka x berada padaposisi di kuadran I atau IIMaka, nilai x yang memenuhi adalah 30 atau 180-30 = 150x = {30, 150} atau {1/6 , 5/12 } 50. 2.Tentukan nilai x dari tan x = - 3 (0 x 360)tan x = - 3 tan x = - tan 60Karena tan x bernilai negatif, maka x berada padaposisi di kuadran II atau IVMaka, nilai x yang memenuhi adalah 180- 60 =120 atau 360- 60 = 300x = {120, 300} atau {2/3 , 5/3 } 51. 3.Tentukan nilai x dari sin 3x = 3 (0 x 360) sin 3x = 3 sin 3x = sin 60 3x1 = 60 + k.360 x1 = 20 + k.120 Nilai x1 yang memenuhi adalah 20, 140, 260 3x2 = (180 - 60) + k.360 x2 = 40 + k.120 Nilai x2 yang memenuhi adalah 40, 160, 280 x = {20, 40, 140, 160, 260, 280} atau {1/9 , 2/9 , 7/9 , 8/9 , 13/9 , 14/9 } 52. 4.Tentukan nilai x dari cos 5x = - 2 (0 x 180) cos 5x = - 2 cos 5x = cos 135 5x1 = 135 + k.360 x1 = 27 + k.72 Nilai x1 yang memenuhi adalah 27, 99, 171 5x2 = -135 + k.360 x2 = -27 + k.120 Nilai x2 yang memenuhi adalah 45, 117 x = {27, 45, 99, 117, 171} atau {3/20 , 1/4 , 11/20 , 13/20 , 19/20 } 53. 5. Grafik Fungsi Trgonometri 54. Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri: y = a sin bxy = sumbu ya = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)b = jumlah gelombang sepanjang 360x = sumbu x 55. Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri:y = a sin b (x c)y = sumbu ya = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)b = jumlah gelombang sepanjang 360c = pergeseran (apabila - maka bergeser ke kanansebanyak c, dan apabila + maka bergeser ke kirisebanyak c)x = sumbu x 56. Langkah-langkah Menggambar Grafik1.Menentukan titik potong sumbu x, maka y = 02.Menentukan titik potong sumbu y, maka x = 03.Menentukan titik maksimum untuk menentukan titikpuncak atas pada grafik.4.Menentukan titik minimum untuk menentukan titikpuncak bawah pada grafik.5.Menggambar grafik. 57. Contoh soal 41.Gambarlah grafik untuk persamaan y = sin 3x, untuk0 x 360.2.Gambarlah grafik untuk persamaan y = 2 cos (x 30), untuk 0 x 360. 58. 1.y = sin 3x (0 x 360) Langkah 1: Menentukan tipot sumbu x y = 0 y = sin 3x 0 = sin 3x sin 3x = sin 0 3x1 = 0 + k.360 x1 = 0 + k.120 Nilai x1 yang memenuhi adalah 0, 120, 240, 360 3x2 = (180 - 0) + k.360 x2 = 60 + k.120 Nilai x2 yang memenuhi adalah 60, 180, 300 Tipot sumbu x = {(0,0) ; (60,0) ; (120,0) ; (180,0) ; (240,0) ; (300,0) ; (360,0)} 59. Langkah 2:Menentukan titik potong sumbu y x = 0y = sin 3xy = sin 0y=0Tipot sumbu y = {0,0} 60. Langkah 3:Menentukan titik maksimumuntuk y = sin 3x adalah 1y = sin 3x 1 = sin 3x sin 3x = sin 903x = 90 + k.360 x = 30 + k.120Nilai x yang memenuhi adalah 30, 150, 270Titik maksimum = {(30,1) ; (150,1) ; (270,1)} 61. Langkah 4:Menentukan titik minimumuntuk y = sin 3x adalah -1y = sin 3x -1 = sin 3x sin 3x = sin 2703x = 270 + k.360 x = 90 + k.120Nilai x yang memenuhi adalah 90, 210, 330Titik maksimum = {(90,-1) ; (210,-1) ; (330,-1)} 62. Langkah 5: Gambar grafiknyay1030 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x-1 63. 2.y = 2 cos (x - 30) (0 x 360)Langkah 1:Menentukan tipot sumbu x y = 0y = 2 cos (x - 30) 0 = 2 cos (x - 30) cos (x -30) = 0 cos (x - 30) = cos 90x1 30 = 90 + k.360 x1 = 120 + k.360Nilai x1 yang memenuhi adalah 120x2 30 = - 90 + k.360 x2 = - 60 + k.120Nilai x2 yang memenuhi adalah 300Tipot sumbu x = {(120,0) ; (300,0)} 64. Langkah 2:Menentukan titik potong sumbu y x = 0y = 2 cos (x 30)y = 2 cos ( 30)y = 2 cos 30 = 2 . 3 = 3Tipot sumbu y = {0,3} 65. Langkah 3:Menentukan titik maksimumuntuk y = 2 cos (x 30) adalah 1y = 2 cos (x 30) y = 2 . 1 = 2 2 = 2 cos (x30) cos (x 30) = 1 cos (x 30) = cos 0x - 30 = 0 + k.360 x = 30 + k.360Nilai x yang memenuhi adalah 30Titik maksimum = {(30,1)} 66. Langkah 4:Menentukan titik maksimumuntuk y = 2 cos (x 30) adalah -1y = 2 cos (x 30) y = 2 . -1 = 2 -2 = 2 cos (x30) cos (x 30) = -1 cos (x 30) = cos 180x - 30 = 180 + k.360 x = 210 + k.360Nilai x yang memenuhi adalah 210Titik maksimum = {(210,1)} 67. Langkah 5: Gambar grafiknyay23030 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x-2 68. 6. Aturan Sinus 69. C ba Ac BPada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturansinus, yakni:ab c= =sin A sin B sin C 70. 7. Aturan Cosinus 71. C b a A cBPada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturansinus, yakni:22 2 a = b + c 2bc cos A 2 2 2 b = a + c 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C 72. 8. Luas Segitiga 73. Rumus 1: Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut C baAc BLuas = 1/2 . a . b . sin C= 1/2 . a . c . sin B= 1/2 . b . c . sin A 74. Rumus 2: Jika diketahui 3 sisi (masih dengangambar segitiga yang sama seperti slidesebelumnya)Luas = s . (s a) . (s b) . (s c)s = 1/2 . keliling segitiga= 1/2 . (a + b + c) 75. Rumus 3: Jika diketahui 1 sisi dan 2 sudut (masih dengangambar segitiga yang sama seperti slide sebelumnya)a2 . sin B . sin CLuas =2 . sin Ab2 . sin A . sin C=2 . sin Bc2 . sin A . sin B=2 . sin C 76. Sekian dan terima kasihSampai jumpa lagidi lain kesempatan