teori metode simplex

MATA KULIAH

MANAJEMEN KUANTITATIF

MODUL 3

PEOGRAM LINEAR DENGAN METODE

SIMPLEX

TATAP MUKA : 4 (EMPAT)

PENYUSUN : NURMATIAS, MM

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA

PEOGRAM LINEAR DENGAN METODE

SIMPLEX

PENDAHULUAN

Metode Simpleks merupakan sebuah metode lanjutan dari metode grafik.

Metode Grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan manajemen yang memiliki

variable keputusan cukup besar, sehingga untuk menyelesaikannya dibutuhkan

sebuah metode yang lebih kompleks yaitu dengan menggunakan program komputer

QSB (Quantitative System For Business) atau menggunakan metode simpleks. Dalam

kenyataannya penggunaan komputer lebih efisien, akan tetapi metode dasar yang

digunakan dalam pengoperasian komputer tetap metode simpleks.

Penyelesaian secara manual linear program dengan metode simpleks tetap

menghendaki kesungguhan kita dalam pengembangan keahlian formulasi Linear

Programing (LP). Dengan mempelajari mekanisme dari metode simpleks, informasi

yang diperoleh tidak hanya solusi optimal saja, melainkan juga interpretasi ekonomi

dan informasi untuk mengadakan analisa sensitivitas.

Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya

menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya

menggambarkan masalah linear program dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien

fungsi tujuan maupun koefisien setiap kendala.

PENGERTIAN

Metode Simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

persoalan manajerial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan

matematika program linear yang mempunyai Variabel Keputusan mulai dari lebih

besar atau sama dengan 2 (dua) sampai multivariabel.

Sebagai pembanding, Metode Grafik hanya dapat kita gunakan apabila jumlah

variable keputusan maksimal 2 (dua) buah. Sehingga dapat juga kita katakan bahwa

apabila suatu persoalan Linear programming dapat kita selesaikan dengan Metode

simpleks. Sebaliknya suatu persoalan yang hanya bisa diselesaikan dengan Metode

Simpleks tidak dapat kita selesaikan dengan Metode Grafik.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB NURMATIAS,SE,MMMANAJEMEN KUANTITATIF

Ada beberapa langkah penting yang harus kita pahami dalam menggunakan Metode

Simpleks, yaitu :

1. pembuatan Motode Program Linear biasa

2. Merubah formulasi LP Biasa menjadi Formulasi standar

3. Menyiapkan table Simpleks Awal (Initial Tableau)

4. Memasukkan nilai-nilai dan variable dalam formulasi standar ke dalam tabel

awal.

5. Melakukan Proses Iterasi

6. Menentukan apakah Penyelesaian Optimal sudah tercapai

7. Membuat kesimpulan jawaban.

Merubah Formulasi Biasa ke dalam Formulasi standar

Merubah formulasi biasa ke dalam formulasi standar harus mengikuti kaidah dasar

yang berlaku yaitu :

Introduksikan variable baru sebagai variable dummy dengan singkatan huruf

SL sebagai singkatan dari Slack (Kekurangan)

Variabel Slack kita introduksikan apabila kita mempunyai bentuk tanda

pembatas lebih kecil dari atau sama dengan (≤)

Introduksikan variable baru sebagai variable dummy dengan singkatan SP

sebagai singkatan dari Surplus (kelebihan)

Variabel Surplus kita introduksikan apabila kita mempunyai bentuk tanda

pembatas lebih besar dari atau sama dengan (≥)

Contoh Max Z = 40 X1 + 30 X2

Batasan 1. 2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20

2. 1/5 X2 ≤ 5

3. 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21

4. X1, X2 ≥ 0 Non Negativity

(FORMULA BIASA)

Max Z = 40 X1 + 30 X2 + OS1 + OS2 + OS3


Batasan

1. 2/5 X1 + ½ X2 + 1 S1 = 20

2. 1/5 X2 + 1 S1 = 5

3. 3/5 X1 + 3/10 X2 + 1 S1 = 21

X1, X2, S1, S2, S3 ≤ 0

(FORMULASI STANDAR)

Barangkali ada yang masih ragu atau kurang mengerti mengapa kita tambahkan

atau introduksikan variable baru sewaktu kita merubah bentuk biasa ke bentuk

standar. Perhatikan lagi dengan seksama.

Ambil contoh : 2/5 X1 + ½ X2 ≤20

Disini kita lihat bahwa nilai ruas kiri lebih kecil atau sama dengan (≤) 20. Padahal

dalam pengoperasikan Tabel simpleks kita harus merubah tanda ≤ menjadi tanda =

artinya nilai ruas kiri betul-betul sama dengan nilai ruas kanan. Variabel yang kita

tambahkan tersebut kita namakan Slack Variable dengan tanda SL dan bertanda

postitf.

2/5 X1 + ½ X2 +…………………≤ 20

2/5 X1 + ½ X2 + SL…………….≤ 20 atau

2/5 X1 + ½ X2 + 1 SL…… = 20

Sementara jika tanda pembatas kita adalah Lebih Besar atau Sama Dengan (≥) maka

kita introduksikan varibel Surplus.

Ambil contoh : 4 X 1 + 3 X ≥ 25

Disini kita lihat bahwa nilai ruas kiri lebih besar atau sama dengan (≥) nilai ruas kanan,

oleh karena itu agar nilainya sama besar maka kita introduksikan variable baru yang

kita sebut Surplus Variabel dengan tanda SP pada ruas kanan, dengan tujuan untuk

mengurangi nilai ruas kanan tersebut agar sama besar dengan nilai ruas kiri.

4 X 1 + 3 X 2 25 +


4 X 1 + 3 X 2 25 + SP atau

4 X 1 + 3 X 2 - 1P = 25

Dapat juga disimpulkan bahwa setiap Slack Variabel tandanya Positif dan setiap

Surplus Variabel tandanya Negatif.

BENTUK TABEL SIMPLEKS

Cj

BASIS X1 X2 X3 ….. Xn NRK

Zj

Cj - Zj

Penjelasan penggunaan Tabel Simpleks di atas

Untuk Table Simpleks seperti ini yang perlu kita ingat adalah ketentuan seperti

berikut :

1. Kolom Baris

Kolom Baris selalu ada dan ditempatkan di kolom paling kiri.

Untuk tabel awal variable yang pertama kali kita tulis pada kolom ini adalah

- Variabel tambahan yang bertanda positif seperti Slack Variabel (SL)

- Artifisial Variabel

Oleh karena itu Surplus Variabel (-SP) tidak pernah kita masukkan ke dalam

kolom basis pada tabel awal.

2. Kolom Cj

Kolom Coefesien Fungsi Tujuan (Cj) selalu kita tuliskan pada urutan kedua

setelah kolom Basis. Angka Koefesien setiap kita lihat pada Fungsi Tujuan

Formulasi Standar dari persoalan yang dihadapi.

3. Kolom di antara Kolom Cj dan Kolom paling kanan atau Kolom Nilai Ruas

Kanan (NRK)

Jumlah kolom ini bervariasi tergantung berapa jumlah variable yang ada di

dalam Fungsi Tujuan Formulasi Standar. Oleh karena itu apabila terjadi


kesalahan dalam membuat Formulasi Standar maka penyelesaian persoalan

dengan metode simple simpleks juga akan salah.

4. Kolom Nilai Ruas Kanan (NRK)

Pada kolom ini kita menuliskan Nilai Ruas Kanan dari setiap batasan yang ada

di dalam setiap persoalan yang dihadapi.

5. Jumlah Baris

Jumlah baris di antara baris Basis dengan baris Zj tergantung dari berapa

buah Batasan yang kita hadapi di dalam setiap persoalan.

6. Baris Zj

Baris Zj ini kita gunakan untuk mendapat nilai Shadow Price atau Nilai

Marginal Value Product dari setiap variable yang kita hadapi.

Angka yang akan kita tuliskan pada Baris Zj ini adalah angka Hasil

Penjumlahan Perkalian setiap Koefesien dari variable yang tertera dalam

Kolom basis dengan angka-angka di dalam Matrik A.

7. Baris Cj – Zj

Baris ini sangat bermanfaat bagi kita untuk melihat kapan kita berhenti

melakukan Iterasi atau baris yang dapat membantu kita untuk menentukan

apakah penyelesaian optimal telah kita capai.

Batasan

1. 2/5 X 1 + ½ X 2 + 1 SL 1 = 20

2. 1/5 X2 + 1 SL 2 = 5

3. 3/5 X 1 + 3/10 X2 + 1 SL 3 = 2

BENTUK 2

Cj ----

Product Mix

Quantity

X1

X2

X3

……….

Xn

Zj


Cj - Zj

Penjelasan Penggunaan Tabel Model di atas :

1. Kolom Cj atau Kolom Fungsi Tujuan ditempatkan pada urutan paling kiri.

Kegunaannya sama dengan bentuk 1.

2. Kolom Product Mix

Kolom ini sama fungsinya dengan Kolom Basis

3. Kolom Quantity

Kolom ini sama fungsinya dengan Kolom Nilai Ruas kanan Persoalan

Maksimisasi

Contoh penyelesaian persoalan Maksimisasi menggunakan Metode

Simpleks dengan menggunakan bentuk tabel. 1

Misalkan

Fungsi tujuan: Max Z = 40 X 1 + 30 X2

Batasan 1. 2/5 X1 + ½ X2 ≤20

2. 1/5 X2 ≤ 5

3. 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤21

4. X1, X2 ≥ 0 Non-Negativity

(FORMULASI BIASA)

Max Z = 40 X1 + 30 X2 + OSL1 + OSL2 + OSL3

Batasan 1. 2/5 X1 + ½ X2 + 1 SL1 = 20

2. 1/5X2 + 1 SL2 = 5

3. 3/5 X1 + 3/10X2 + 1 SL3 = 21

X1, X2, S1, SL2, SL3 ≥ 0

(FORMULASI STANDAR)


Tabel Awal

Cj 40 30 0 0 0

BASIS X1 X2 SL1 SL2 SL3 NRK

SL1 0 2/5 ½ 1 0 0 20

SL2 0 0 1/5 0 1 0 5

SL3 0 3/5 3/10 0 0 1 21

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 40 30 0 0 0

PROSES ITERASI

1. Tentukan Kunci Kolom (Pivot Colum)

Caranya adalah memilih nilai Cj – Zj yang terbesar dan positif

Pada tabel di atas kita pilih kolom X1 sebagai kunci Kolom (nilai 40)

2. Tentukan Kunci Baris (Pivot Row atau Replaced Row)

Caranya adalah memilih hasil bagi anatara NRK dengan angka=angka yang

ada dalam kunci kolom. Kemudia kita pilih hasil bagi yang terkecil dan

positif. Ingat hasil bagi dengan nilai negative; nol dan tak terhingga tidak

dapat dijadikan sebagai kunci baris. Pada tabel di atas kita lihat cara

mendapatkan kunci baris.

Langkah-langkah penggunaan Metode Simpleks ;

1. Ubah masalah linear program ke dalam bentuk standar

2. Periksa apakah setiap kendala memiliki “variabel basis” . Jika tidak tambahkan

satu variabel buatan (semu) yang bertindak sebagai variabel basis, misalnya

Q1 atau Q2 yang jumlahnya sesuai dengan kebutuhan.


Variabel basis adalah :

Variabel yang memiliki koefisien sat, sedangkan pada kendala yang lain

nilainya nol.

3. Masukkan semua nilai fungsi kendala ke dalam tabel simpleks

4. Masukkan niali koefisien fungsi tujuan pada baris Zj – Cj dengan rumus :

Zj – Cj = Cbyj – Cj

Rumus ini hanya digunakan pada awal tabel simpleks

5. Tentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai negatif terbesar pada

baris Zj – Cj. Jika terdapat dua nilai terbesar sama, dapat dipilih salah satu.

6. Tentukan baris kunci, yaitu nilai yang memiliki angka indeks terkecil dan bukan

negatif, dengan menggunakan rumus :

Min, Nilai pada kolom bi atau Min, Xbi, Yik ≥ 0

Nilai pada kolom kunci Yik

7. Cari angka baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua

angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka kunci. Angka kunci

adalah angka yang terdapat pada persilangan baris kunci dengan kolom kunci.

8. Mencari angka baru pada baris yang lain dengan rumus :

Angka baru = Nilai pada baris lama – (perkalian koefisien pada kolom

kunci dengan angka baru baris kunci)

9. Apabila sosialisasi optimal belum ditemukan, kembali ke langkah kelima di

atas, sehingga nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj ≥ 0.


Gambar Langkah – langkah penggunaan Metode Simpleks

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


MULAI

Konversikan semua kendala ke dalam persamaan atau dalam bentuk standar dengan menambahkan

slack variable atau mengurangkannya dengan surplus variable (1)

Periksa apakah semua kendala memiliki variable basis layak. Jika tidak tambahkan satu variable

buatan atau semu ke dalam kendala (2)

Lakukan penyempurnaan penyelesaian kelayakan dengan cara

iterasi (3)

Penyelesaian perlu diteruskan? (4)

Cari penyelesaian yang lebih baik

(6)

Apakah penyelesaian sudah layak dan

optimal? (5)

Penyelesaian optimal

(7)

Tidak ada penyelesaian optimal (8)

Contoh Kasus Produk Mix

PT. Yummy Food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk

yaitu Vanilla dan Violette. Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan

bahan baku A, bahan Baku B dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan

baku A adalah 60 kg per hari, bahan baku B 30 kg per hari, dan tenaga kerja 40 jam

per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja, dapat

dilihat dalam Tabel berikut ini.

Jenis bahan baku

dan tenaga kerja

Kg bahan baku dan jam tenaga kerja Maksimum

penyediaanVanilla Violette

Bahan baku A

Bahan baku B

Tenaga kerja

2

-

2

3

2

1

60 kg

30 kg

40 jam

Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 40,00 untuk

vanilla dan Rp. 30,00 untuk Violette. Masalahnya adalah bagaimana menentukan

jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi dalam setiap hari.

Penyelesaian

Z = rupaih keuntungan per hari

X1 = jumlah vanilla yang diproduksi/hari

X2 = jumlah violette yang diproduksi/hari

Zmax = 40X1 + 30X2 ≤ 60 (rupiah/hari)

Langkah 1


SELESAI

Formulasi Linear Program (LP)

Kendala : 2X1 + 3X2 ≤ 60 (bahan baku A)

2x2 ≤ 30 (bahan baku B)

2X1 + 1X2 ≤ 40 (Tenaga kerja)

X1 ≤ 0

X2 ≤ 0 (kendala tambahan)

Bentuk standar :

2X1 + 3X2 + S1 + 0S2 + 0S3 = 60

2X2 + 0S1 + S2 + 0S3 = 30

2X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + S3 = 40

Diubah menjadi :

40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

C1 = 40, C2 = 30, C3 = 0, C4 = 0, C5 = 0

Langkah 2

Tabel Simplex Awal Masalah PT. Yummy Food

CB

Variabel

dlm

basis

Cj

bj

40 30 0 0 0

IndeksX1 X2 S1 S2 S3

0 S1 60 2 3 1 0 0 60/2 = 30

0 S2 30 0 2 0 1 0 30/0 = ∞

0 S3 40 2 1 0 0 1 40/2 = 20

Zj - Cj 0 -40 -30 0 0 0

Cara pengisian kolom Zj – Cj :

60 1

Z = (0,0,0) = 30 - 0 = 0 Z3 = (0,0,0) = 0 - 0 = 0

40 0

2 0


Z1 =(0,0,0) = 0 - 40 = - 40 Z4 = (0,0,0) = 1 - 0 = 0

2 0

3 0

Z2 =(0,0,0) = 2 - 30 = - 30 Z5 =(0,0,0)= 0 - 0 = 0

1 1

Nilai Z = 0, menunjukkan bahwa pada tabel awal nilai X1 dan X2 = 0 (belum

berproduksi). Jika dimasukkan dalam fungsi tujuan Z = 40(0) + 30(0) + 0(60) + 0(30) +

0(40) = 0

Langkah 3

Apakah tabel tersebut sudah optimal? Belum, karena tabel optimal bila nilai yang

terdapat pada baris Zj – Cj ≥ 0

Langkah 4

Penyelesaian dengan cara iterasi

1. menentukan kolom kunsi, yaitu kolom yang memiliki nilai Zj –Cj negatif

terbesar, dalam hal ini kolom X1. Dengan demikian X1 akan masuk dalam

basis

2. Menentukan baris kunci, yaitu baris yang memiliki angka indeks yang terkecil

dan bukan negatif, dalam hal ini baris S3. Dengan demikian S3 akan keluar

dari basis dan tempatnya akan digantikan oleh variabel X1

3. Menentukan angka kunci. Angka kunci adalah angka yang terdapat pada

persilangan kolom kunci dengan baris kunci, dalam hal ini angka kunci = 2

4. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci, dengan cara membagi

semua angka yang terdapat pada baris kunci dengan angka kunci.

Angka baru = 40/2, 2/2, ½, 0/2, 0/2, ½.

Atau = 20, 1, ½, 0, 0, ½.

5. Mencari angka baru pada baris yang lain, yaitu :

Baris S1

Angka lama = [ 60 2 3 1 0 0 ]

Angka baru baris kunci = [ 20 1 ½ 0 0 ½ ] (2)


Angka baru = [ 20 0 2 0 0 -1 ]

Baris S2

Angka lama = [ 30 0 2 0 1 0 ]

Angka baru baris kunci = [ 20 1 ½ 0 0 ½ ] (0)

Angka baru = [ 30 0 2 0 1 0 ]

Baris Zj - Cj

Angka lama = [ 0 -40 -30 0 0 0]

Angka baru baris kunci = [ 20 1 ½ 0 0 ½ ] (-40)

Angka baru = [800 0 -10 0 0 20]

Hasil perhitungan diatas, akan nampak pada tabel baru simplex yaitu tabel yang

merupakan hasil iterasi pertama.

Tabel Iterasi 1

CB

Variabel

dlm

basis

Cj

bj

40 30 0 0 0

IndexX1 X2 S1 S2 S3

0 S1 20 0 2 1 0 -1 20/2=10

0 S2 30 0 2 0 1 0 30/2=15

40 X1 20 1 1/5 0 0 1/5 20/0, 5=40

Zj - Cj 800 0 -10 0 0 20

Tabel Iterasi 1 belum optimal sehingga harus diulang langkah-langkah di atas,

sehingga akan didapat tabel Iterasi 2

Tabel Iterasi 2

CB Variabel Cj 40 30 0 0 0 Index


dlm

basis bjX1 X2 S1 S2 S3

30 X1 10 0 1 ½ 0 -1/2

0 S2 10 0 0 -1 1 1

40 X1 15 1 0 -1/4 0 ¾

Zj - Cj 900 0 0 5 0 15

Solusi optimum Tabel Iterasi 2 menunjukkan bahwa total nilai Z = 900 dengan masing-

masing variabel keputusan X1 = 15 dan X2 = 10. Pada tabel di bawah ini (S1 = S3 = 0

merupakan variabel nonbasis).

Variabel basis Koefisien fungsi tujuan x Nilai variabel basis

X2 30 x 10 = 300

S2 0 x 10 = 0

X1 40 x 15 = 600

Jumlah = 900

Kesimpulan :

1. Pada tabel Iterasi 2 merupakan tabel akhir simplex, dengan solusi optimal

adalah :

X1 (Vanilla) = 15 unit

X2 (Violette) = 10 unit

Z (keuntungan) = Rp. 900,00

2. Kendala kedua (bahan baku B) masih tersisa sebanyak 10 kg yang ditunjukkan

oleh nilai S2 = 10, pada tabel optimal.

3. Kendala 1 dan 3 tidak ada sisa (full capasity), yang ditunjukkan oleh niali S1 =

S3 = 0 (variabel nonbasis). Hal ini dapat juga dibuktikan dengan memasukkan

nilai X1 dan X2 ke dalam kendala 1 dan 3.

Kendala 1 : 2X1 + 3X2 = 60

2(15) + 3 (10) = 60


60 = 60

Bahan baku yang digunakan = yang tersedia

Kendala 3 : 2X1 + 1 X2 = 40

2(15) + 1(10) = 40

40 = 40

Jam kerja yang digunakan = yang tersedia


teori metode simplex

Documents