Kelompok 2

Anggota:

Devi trirosdianty 201013500721

Muhammad Ardiansyah 201013500756

Deby kusuma wardani 201013500757

Desy Natalia S 201013500758

• Turunan Fungsi Parameter

• Turunan Tingkat TinggiFungsi

• Bentuk tak tentu

• Dalil L’Hopital

• Penyelesaian limit dengan dalil L’HopitalLimit

• Titik ekstrim(maksimum)

• Titik belok

• Menggambar grafik Fungsi

Analisis Fungsi

• Garis Singgung

• Garis Normal

Aplikasi Turunan

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu hubungan/aturan dimana domainnya tepat memiliki 1 pasangan terhadap kodomainnya.

Turunan fungsi ƒ adalah fungsi ƒ’ yang nilainya diadalah

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

423)( 2 xxxfContohJika , maka turunan di f di x=2 adalah

Pengertian Fungsi

142

2312lim2

2312lim2

2312lim2

4412424443lim2

4222342223lim2

22lim2

0

0

2

0

2

0

22

0

0

)f'(

)h()f'(

h

)hh)()f'(

h

hhh)f'(

h

)(h)hh()f'(

h

)..(h)(h)()f'(

h

)f(h)f()f'(

h

h

h

h

h

h

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Turunan Fungsi Parameter

Apabila disajikan persamaan berbentuk :x=f(t) atau x=g(t)

Maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dany, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapatdicari dy/dx dengan cara sebagai berikut.Dari x=f(t) dibentuk t=h(x) dengan h fungsi invers dari f.Nampak bahwa y=g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y= g(t) = g(h(x))

dtdx

dtdy

dx

dy

dt

dxdt

dy

dx

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

/

/ sehingga

1atau Diperoleh

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Turunan Tingkat Tinggi

f(x)Df''(x)dx

yd

dx

dy

dx

d

xfy

f

ff

ff

f

f

2atau 2

2

)(

''

'.')''(

'

'

sebagai dari

kedua turunan tuliskan kita Leibniz notasi Dengan

. dari turunan merupakan dia karena

dari kedua turunan disebut ini baru yang Fungsi

oleh dinyatakan yang tersendiri turunan

mempunyaibolehjadi sehingga fungsi berupa juga

yaitu ,turunannya maka diturunkan fungsi Jika

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Turunan Tingkat Tinggi

Contoh 2

2

3

3

4

36

)712

712

,873

x

x(dx

d f'(x)

f'(x):f''(x)

xf'(x)

f''(x)xxf(x)

turunkan kita mencari untuk

tentukan Jika

Jawab

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Pengertian Limit

Untuk menentukan bahwa limit berarti jika x dekat tapi berlainan dari c , maka f(x) dekat ke L.

Kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat di c. Fungsi fbahkan tidak perlu terdefinisi di c. Pemikiran tentanglimit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekatc, bukan di c.

Lxfcx

)(lim

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Pengertian Limit

523)2(lim3

6lim

3

)2)(3(lim

3

6lim

:an penyelesai

3

6lim Cari 2.Contoh

7)5)3(4()54(lim :anP enyelesai

)54(lim Cari 1.Contoh

3x

2

3x

3x

2

3x

2

3x

3x

3x

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarangmisalnya :

1,,,00

Bentuk Tak TentuFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)(

)(limlimlim

aQ

aP

xQ

xP

axxQax

xPax

axxg

xf

ax

Bentuk00

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkanpembilang dan penyebutnya, kemudian“mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikannilai x = a.

Bentuk Tak Tentu

61

3323

32

3)3)(3(

)2)(3(

39

65

3limlimlim 2

2

xx

xxx

xx

xx

xx

x

Contoh :

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Bentuk Tak Tentu

limx

ax

0

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagipembilang dan penyebut dengan variabel pangkattertinggi, kemuadian digunakan rumus :

.

2

1

12

6

0012

006

12

6lim

lim8712

526lim

2

2

33

2

3

3

33

2

3

3

87

52

8712

526

23

23

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx xxx

xxx

Contoh :

Bentuk

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

)x(g)x(flimx

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Bentuk

Bentuk Tak Tentu

b q

a21) jika a = p2) jika a > p3) - jika a < p

Cara Penyelesaiannya :

21

42

42

)5(322 254134lim xxxxx

Contoh :

rqxpxcbxaxlim 22

x

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Bentuk Tak Tentu

Bentuk 1

asli bilangan n

.....718281,2e1limn

n1

n

e1lim1lim1limx

x1

x

x

x1

x

x

x1

x

ex1limx1lim x1

0xx1

0x

Definisi :

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

1.

x bilangan real

Contoh :

33

0

3

00

3

1

3

11

31lim31lim31lim exxx xxx

xxx

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Dalil L’ Hopital

Dalil L’ Hopital adalah suatu cara untuk menyelesaikanlimit bentuk tak tentu dengan turunan.

Rumusnya :

1.

Contoh :

2.

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Titik Extrim

Dapat dipergunakan suatu cara yang disebut tes turunankedua :

1. Hitung titik kritis x=x₀ dari persamaan f’(x)

2. Hitung titik kritis x=x₀f(x)= mempunyai harga maksimum bila f’’(x)<0f(x)= mempunyai harga minimum f’’(x)>0

Misal diberikan kurva f(x) dan titik (a,b) merupakan titik puncak(titik maksimum atau minimum). Maka garis singgung kurva dititik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0 [ f '( a) = 0] .

Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a disebutnilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Titik ExtrimFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Contoh :

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi

Jawab :x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua,

Untuk x = -1, f "(-1) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilaiminimum f ( -1 ) = -5.

Untuk x = - ½ , f "(2)dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum

Untuk x = 0, f "(0) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5

16

154

2

1f

21212)('' 2 xxxf

52)( 234 xxxxf

•Busur f(x) pada gambar α disebut cembung (cekung keatas) dan pada gambar b disebut cekung (cekung ke bawah).•Bususr dari f(x) disebut cembung apabila ditarik garis singgungpada suatu titik pada busur, maka semuat titik lain pada busurtersebut terletak diatas garis singgung.•Dikatakan cekung apabila semua titik lain terletak dibawahgaris singgung tersebut

Dapat ditulis juga :f(x) disekitar x=x₀adalahcembung bila f’(x₀) > 0cekung bila f’(x₀) < 0

(a)

y

x₀ (b)x₀

y

Cembung dan CekungFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Titik Belok

Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titikbelok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x = b,yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi lain cekung kebawah atau sebaliknya.

Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bilaberlaku f "(b) = 0 atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b.

b

( b,f(b) )

f(b)

Apabila pada x=x₀, busur dari f(x) berubah cembung ke cekung atausebaliknya, dikatakan bahwa f(x) mempunyai titik belok pada x₀

p(x₀,f(x₀)) adalah titik belok darif(x) bila f’’(x₀)=0 dan f’’(x₀)≠0

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

71212103 234 xxxxy

Contoh :

Maka

246036''

12243012'

2

23

xxy

xxxy

Untuk mencari titik belok y’’=0

)2,3

1(

0246036

2,1

2

x

xx

Bila:x < -1/3 maka y’’ = (+) berarticembung-1/3 < x < 2 maka y’’=(-) berarticekungx>2 maka y’’=(+) berarti cembung

(2,-63)

y

x

(-1/3,-326/27)

Titik Belok :(-1/3 , -326/27) dan (2 , -63)

Titik BelokFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Naik dan Turun

Suatu fungsi f(x) dikaakan naik pada titik x= x₀ bila untuk h>0 yang cukup kecil, berlaku f(x₀-h) < f(x₀) < f(x₀+h). Dikatakanturun pada titik x= x₀ bila untuk h>0, yang cukup kecil berlakuf(x₀-h) < f(x₀) < f(x₀+h).

Catatan:Telah diketahui bahwa turunan pertama pada titik x=x₀ menyataan koefisien arah garis singgung pada titik x=x₀, makadefinisi diatas dapat kita tulis :

f(x) naik pada titik x=x₀, bila f’(x₀) > 0f(x) naik pada titik x=x₀, bila f’(x₀) < 0Apabila f1(x)=0 dikatakan f(x) mempunyai suatu titik kritis padax=x0

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik (naik monoton) pada suatuinterval bila f1(x) ≤0 untuk setiap x pada interval tersebut.

Contoh: Perhatikan gambar

ya

r b g c u

f(x) naik pada interval a < x< r dan t < x < u, turunpada interval r< x < t. titik kritis f(x) tersebutadalah R,S, dan T dimana garis singgung pada titiktersebut horisontal.

Naik dan TurunFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

f(x) naik pada interval a < x< r dan t < x < u, turun pada interval r< x <t. titik kritis f(x) tersebut adalah R,S, dan T dimana garissinggung pada titik tersebut horisontal.

y

0x

2

Gambar Grafik !

Grafiky=x² pada -1 ≤ x ≤2

y

0x

2

Grafiky=4 bila x ≤ 0y=4-x² bila x ≥ 0

y

x0

Grafiky=-1 bila x < 0y=x bila 0 ≤ x ≤ 1y=1 bila x ≥ 0

Naik dan TurunFUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Garis Singgung dan Garis NormalJika fungsi f(x) mempunyai turunan pertama f’(x₀) pada x= x₀ yang hingga maka grafik y=f(x) mempunyai garis singgung di(x₀,y₀) dengan koefisien arah :

)(' 0xftgmKalau m=0 maka garis singgung sejajar sumbu x, persamaan : y= y₀.Garis singgung tersebut mempunyai grafik :

x

y

0E

D

C

B

A

Bila f(x) kontiny pada x= x₀ tetapi f’(x)= ∞ maka grafikmempunyai garis fungsi yang sejajar sumbuy, persamaannya x= x₀. Contoh titik B dan D pada grafik.

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Garis Singgung dan Garis Normal

Garis normal dari grafik pada salah satu titik (pada grafiktersebut) adalah garis yang tegak lurus garis singgung pada titiktersebut.

( x₀ ,y₀) f(x)

GarisSinggung

GarisNormal

x

y

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN

Garis Singgung dan Garis Normal

Persamaan garis normal di (x₀,y₀) : )()('

100 xx

xfyy

Serta bila- Garis Singgung // sumbu y maka garis normal // sumbu x- Garis singgung // sumbu x maka garis normal // sumbu y

Contoh :Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal padaDi titik (2,4), maka

42 23 xxy

4)2('

43')(' 2

f

xxyxf JadiGaris singgung : y-4=4(x-2) atauy=4x-4Garis Normal : y-4=-(x-2)/4 atau4y=x+14

FUNGSI

LIMIT

ANALISIS

FUNGSI

APLIKASI

TURUNAN