MENUTIM

REDAKSI

MENU

MENU

PENDAHULUAN

TEHNIK PENGINTEGRALAN

FUNGSI TRANSENDEN

DAFTAR PUSTAKA

INTEGRAL TAK TENTU SEBAGAI ANTI TURUNAN

INTEGRAL TERTENTU

TEOREMA DASAR KALKULUS

TEKHNIK INTEGRAL PARSIAL

RUMUS REDUKSI

Matematika mempunyai beberapaoperasi balikan: penambahan danpengurangan, perkalian dan pembagian,pemangkatan dan penarikan akar, sertapenarikan logaritma dan perhitunganlogaritma. Lalu bagaimana denganturunan/ diferensial? Pasangan turunan/diferensial adalah integral/ anti diferensial.

v

PENDAHULUAN

MENU

Integral dapat dibedakan menjadi dua, yaitu:

1. Integral tak tentu, integral yang tidak ditentukan batasnya.

2. Integral tertentu, integral yang ditentukan batasnya.

MENU

INTEGRAL TAK TENTU SEBAGAI ANTI TURUNAN

F merupakan suatu anti turunan dari f pada selang I,

jika DF = f pada I- yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x

dalam I.

contoh:

Carilah anti turunan dari f(x) = 4x!

Penyelesaian:

F(x) =x2 turunan nya adalah 2x. Untuk F(x) = 2 x2

turunannya adalah 2.2x = 4x. Maka anti turunan dari

f(x) = 4x adalah 2x2.

MENU

Notasi Anti Turunan

Differensial biasa ditulis dengan notasi Dx. Sementara anti turunan dapat dinotasikan Ax atau ʃ (dibaca integral).

ʃ f(x)= F(x) + C

Teorema 1 (aturan pangkat)

jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1 maka

MENU

Contoh

MENU

Teorema 2 (trigonometri)

Teorema 3 (kelinearan integral)

(i) ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx

(ii) ʃ [ f(x) + g(x) ] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx

(iii) ʃ [ f(x) - g(x) ] dx = ʃ f(x) dx - ʃ g(x) dx

Untuk Melihat Contoh Klik Di Sini

MENU

Contoh:

Carilah integral dari: (a) ʃ 2 (x3) dx

(b) ʃ (4x5 + 2x) dx

(c) ʃ (3x2 - 10x) dx

Penyelesaian:

(a) ʃ 2 (x3) dx = 2 ʃ (x3) dx = 2 . ¼ x4 = ½ x4 + C

(b) ʃ (4x5 + 2x) dx = ʃ 4x5 dx + ʃ 2x dx = 4/6 x6 + 2/2 x2

= 2/3 x6 + x2 + C

(c) ʃ (3x2 - 10x) dx = ʃ 3x2 dx - ʃ 10x dx = 3/3 x3 - 10/2 x2 = x3 - 5x2 + C

MENU

Teorema 4

Contoh

Cari ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx!

Penyelesaian

Misalnya g(x) = x2 + 6x; maka g’(x) = 2x + 6. jadi menurut teori 4

ʃ (x2 + 6x)6 (2x + 6) dx =

MENU

PERSAMAAN DIFERENSIAL SEDERHANA

Contoh turunan sederhana:

MENU

Jika s(t), v(t), dan a(t) menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan , pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka

MENU

Contoh

Percepatan sebuah benda adalah

a(t) = t + 6 dalam m/s2. Jika kecepatan pada t=0 s

adalah 5 m/s, cari kecepatan 3 detik kemudian!

Penyelesaian = t+ 6

V = ʃ t+6 dx = t2 + 6t + C

karena v=5 pada saat t=0

5= 0+C → C = 5

v= t2 + 6t + 5

Pada saat t=3

V= .32 + 6.3 +5 = 27,5 m/s

MENU

JUMLAH DAN SIGMAPerhatikan bilangan dibawah ini

a1 +a2+a3+a4+...........+an

Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita dapat menuliskan dalam bentuk

Jadi, Sigma (Σ) merupakan suatu simbol untuk menjumlahkan semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i menjelajahi bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan dibawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada di atas tanda tersebut.

MENU

Contoh

Jika dan . Hitung !

Penyelesaian

= 3 (32) + 3(40) – 10(50) = -284

MENU

Integral Tertentu Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan

interval antara [a, b] pada garis real, integraltertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayahpada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ,sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

MENU

Pendefinisian formal integral tertentu palingumumnya digunakan adalah definisi integralRiemann.

Integral Rieman didefinisikan sebagai limit daripenjumlahan Riemann. Yaitu:

semakin kecil subinterval partisi yangkita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akansemakin mendekati nilai luas daerah yang kitainginkan. Apabila kita mengambil limit dari normapartisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkanluas daerah tersebut.

MENU

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah nsubinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n,sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulissebagai:

MENU

Teorema Dasar Kalkulus Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval

[a,b] dan jika F adalah fungsi yang manaturunannya adalah f pada interval (a,b), maka

MENU

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu

adalah :

MENU

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawahkurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan

dapatkan:

MENU

Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value

Theorem)

Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada interval tertutup [a,b] dan terturun (differentiable) pada interval terbuka (a,b) maka terdapat paling tidak satu c pada (a,b) sedemikian hingga

MENU

Maksud dari antiseden TNR adalah jika fungsi f(x) digambarkan grafiknya dari a sampai b maka grafik tersebut akan mulus tidak putus-putus. Sedangkan maksud konsekuennya adalahnilai f ’(x) sama dengan gradien (kemiringan) garisyang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) .

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

MENU

MENU

Dalam kacamata fisika, turunan adalah kecepatan. TNR bisa kita ilustrasikan sebagai berikut: Ada sebuah mobilyang berjalan sejauh 100km selama 1 jam. Itu berartimobil tersebut mempunyai kecepatan rata-rata 100km/jam. Tentu saja selama perjalanan mobil itu bisamelaju kurang atau lebih dari 100km/jam. BerdasarkanTNR kita tahu satu hal ada titik (tidak harus tunggal) didalam perjalanan dimana mobil itu melaju tepat100km/jam.

MENU

Jika f(a) = f(b) maka TNR menjadi Teorema Rolle. Ituberarti TNR merupakan generalisasi dari teoremaRolle. Nah sekarang kita buktikan TNR.

Diberikan fungsi f(x) yang kontinyu pada [a,b] danterturun pada (a,b). Didefinisikan fungsi h(x) sebagaiberikut:

MENU

Jelas, h(x) kontinyu pada [a,b] dan terturun pada(a,b) dan dengan mudah dihitung h(a) = h(b) . Ituberarti h(x) memenuhi kondisi dari teorema Rolle. Berdasarkan teorema Rolle terdapat c Є(a,b) sedemikian hingga h’(c) = 0.

Jika diturunkan, diperoleh

Karena h’(c) = 0, maka:

MENU

MENU

TEKHNIK INTEGRAL PARSIALApabila teknik pengintegralan dengan teknik substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, atau yang lebih dikenal dengan teknik integral parsial dapat memberikan hasil.

MENU

Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

MENU

Untuk menyelesaikan integral parsial, yang perlu diperhatikan adalah pemilihan U dan dV. Fungsi yang dimisalkan U adalah fungsi yang jika diturunkan terus menerus menghasilakn 0 (nol). Sedangkan fungsi yang dimisalkan dengan dV adalah fungsi yang dapat diintegralkan.

MENU

Contoh soal:

Atau dengan cara tabel (metode tanzalin):

MENU

Contoh soal:

MENU

RUMUS REDUKSIBentuk dasar integral reduksi adalah:

di mana k < n. Sehingga pangkat dari integran ( f ) semakin menurun atau reduksi.

MENU

Contoh:

MENU

FUNGSI TRANSENDEN

MENU

Fungsi TransendenFungsi logaritma turunan dan integral

Fungsi eksponen turunan dan integral

Penggunaan fungsi logaritma

MENU

Definisi Fungsi Logaritma Asli

Logaritma Asli merupakan fungsi akumulasikarenamengakumulasikan luas dibawah kurva y = 1/t.

Fungsi Logaritme Asli, dinyatakan oleh In, didefinisikansebagai

y

2 y = In x = dt, x > 0

1

1 x 2 t

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.

MENU

Turunan Fungsi Logaritma Asliy

2 y =

1

x 1

1 2 T

contoh: carilah dx

Penyelesaian : misal u = 2x + 7, du = 2 dx

= 2 dx = du

= In |u| + C

= In |2x + 7| + C

D x = dt = Dx In x = , x > 0

MENU

Sifat-sifat Logaritma Asli

Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka

(i) In 1 = 0;

(ii) In ab = In a – In b ;

(iii)In = In a – In b ;

(iv) In = r In a

MENU

Fungsi Eksponen Asli

Balikan In disebut fungsi eksponen asli dandinyatakan oleh exp, Jadi.

x = exp y y = In x

Dari definisi dapat diambil bahwa

(i) = exp ( In x) = x, x > 0(ii) = In (exp y) = y, untuk semua y

MENU

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada subbab ini berbentuk:

(i) = , > 0

(ii) In ( ) = y, untuk semua y

DefinisiHuruf e menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupasehingga In e = 1

MENU

eksponen Turunan

Andaikan , y = maka dapat dituliskan χ= In y

sehingga

y = y =

Jadi, adalah turunannya sendiri

Contoh

Tentukan:

Penyelesaian: u =

= =

= .

=

=

MENU

Eksponen Integral

Rumus turunan = akan menghasilkan integral

d = + C

Contoh

tentukan : d

Penyelesaian: u = , maka du = d

d = ( d )= du = + C

= + C

) MENU

Sifat – sifat EksponenJika a > 0, b > 0, x dan y adalah bilangan – bilangan real, maka

=

( =

( = (

=

=

MENU

Fungsi log Definisi

Fungsi log asli melibatkan integral tertentu.

Fungsi Pada bagian ini kita akan membangun fungsilogaritma berbasis bilangan positif a≠1, logax. Fungsi inididefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial .

Definisi

Andaikan a adalah bilangan positif bukan 1, maka

y = x x =

MENU

FUNGSI HIPERBOLIK

Definisi :

Fungsi Hiperbolik yang lain dapat diturunkan dari sini.

Beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik:

Turunan fungsi Hiperbolik :

48

2coshdan

2sinh

xxxx eex

eex

1sinhcosh.1 22 xx

xhx 22 sectanh1.2xhx 22 csc1coth.3

Cxdxxxyxy coshsinhsinh'cosh.2

Cxdxxxyxy sinhcoshcosh'sinh.1

Cxdxxhxhyxy tanhsecsec'tanh.3 22

MENU

Contoh : Jika

Contoh :

Grafik fungsi hiperbolik

49

y

xxxxymakayxx

2

coshsinh2',8sinh

222

Cedxee xxx )cosh()sinh(

2cosh)(

xx eexxfy

naikmonoton0untuk,0)('

turunmonoton0untuk,0)('

2)('

fxxf

fxxfeexf

xx

ataskecekung02

)('' fDxee

xf f

xx

f(0)=1MENU

Grafik y= cosh x :

Dengan cara yang sama, didapat grafik y= sinh x :

50

y=cosh x

y=sinh x

MENU

DAFTAR PUSTAKAhttp://apiqquantum.com/2012/07/31/berhitung-cepat-

integral-substitusi-atau-integral-parsial-lanjut/

http://anwardz12.blogspot.com/2012/09/pembahasan-soal-integral-parsial.html

http://khairul-anas.blogspot.com/2012/04/integral-parsial-teknik-tanzalin.html

http://matemakita.com/437/teknik-pengintegralan-integral-parsial/

http://corojowo.blogspot.com/2012/04/integral-parsial-teknik-tanzalin.html

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001;

Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.