Kelompok 1 :

Fargil Prasetia 200713500214

Elvianthy Suzana Tangka 201013500026

Aprilia Sofiane Tangka 201013500027

Lusyana Dani P.S 201013500048

Veronika Heni 201013500044

Tia hasanah 201013500040

Pendahuluan

Segi empat

Relasi titik dan garis

Kongruensi

Lukisan

Perbanyakan bangunan

Luas bangun datar

Perbandingan seharga sekmen garis

Pengertian kurva

Dalam matematika, sebuah kurva adalahsuatu objek geometri yang merukanan satu-dimensi dan kontinu. Kurva adalah garis dan ruasgaris yang membentuk kurva – kurva sederhana.Kurva dapat digambarkan dengan bermacam –macam bentuk, bentuknya bisa teratur bisa jugatidak teratur. Kurva adalah sesuatu yang memilikipanjang, tetapi tidak memiliki lebar maupuntebal. Kurva tidak dapat dilihat dalam pengertian

yang abstrak.

Macam-macam kurva

Kurva dapat dibedakan :

1. kurva lurus dan tidak lurus

kurva lurus yaitu berupa ruas garis lurus

kurva tidak lurus dapat berupa kurva lengkung,

parabola atau dapat pula garis lurus berangkal.

2. kurva sederhana dan tidak sederhana

kurva sederhana yaitu kurva yang tidak memuat titikpotong

Kurva tidak sederhana yaitu kurva yang memuat titik potong

3. Kurva tertutup dan kurva terbuka

Contoh : kurva tertutup

kurva terbuka

Dalam kehidupan sehari-hari, segitiga banyakmanfaatnya. Contohnya pada jembatan atau tianglistrik untuk transmisi tegangan tinggi dibuatdengan kontruksi bentuk segitiga. Dipilih bentuksegitiga agar kontruksinya kokoh.

Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi olehtiga garis lurus dan membentuk tiga sudut.

1. Segitiga sama kakiSegitiga sama kaki adalah

dapat dibentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen

Dapat menempati bingkainya dengan tepatmenurut dua cara

Mempunyai dua sisi yang sama panjang dan duasudut yang sama besar yang berhadapan dengansisi-sisi yang sama panjang

Mempunyai satu sumbu simetri

2. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah :

Mempunyai ketiga sisi yang sama panjang dansudut yang sama besar yaitu 600

Mempunyai simetri putar tingkat tiga

Mempunyai 3 sumbu simetri

Dapat menempati bingkainya semula dengantapat menurut 6 cara

Segitiga sama sisi merupakan segitiga samakaki yang istimewa

1). Persegi Panjang : adalah segi empat dengan sisi-

sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang,

serta keempat sudutnya siku-siku.

Sifat-sifat persegi panjang :

a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan

sejajar.

c

p

l l

p

b. Setiap sudutnya siku-siku (900).

c. Mempunyai dua buah diagonal yang samapanjang dan saling berpotongan di titik pusatpersegi panjang.Titik tersebut membagi diagonal menjadi dua bagian sama panjang.

d. Mempunyai sumbu simetri yaitu

sumbu vertical dan horizontal.

c

c

2). Persegi/bujur sangkar : persegi panjang yang

keempat sisinya sama panjang.

Sifat-sifat persegi :

a. Semua sisinya sama panjang dan sisi-sisi yang

berhadapan sejajar.

b. Setiap sudutnya siku-siku (900).

c. Mempunyai dua buah diagonal yang samapanjang, berpotongan ditengah-tengah,danmembentuk sudut siku-siku.

d. Setiap sudutnya dibagi dua sama besar olehdiagonal-diagonalnya.

e. Memiliki empat sumbu simetri

450

450

3). Jajargenjang : adalah segi empat dengankekhususan yaitu sisi yang berhadapan sejajar dansama panjang.

Sifat-sifat jajargenjang :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

3. Mempunyai dua buah diagonal yang berpotongan di satu titik dan saling membagidua sama panjang.

4. Mempunyai simetri putar tingkat dua dantidak memiliki simetri lipat.

4). Belah ketupat : adalah segi empat yangdibentuk dari segitiga sama kaki danbayangannya, dengan alas sebagai sumbucermin.

Sifat-sifat belah ketupat :

1). Semua sisinya sama panjang.

D B

A

C

Bukti :

Belah ketupat ABCD dibentuk dari dua buahsegitiga sama kaki yang kongruen ,yaitusegitiga ABD dan segitiga CBD.

Karena segitiga ABD dan Segitiga CBD kongruen ,maka AB=CB dan AD=CD.

Karena segitiga ABD dan segitiga CBD samakaki,maka AB=AD dan BC=CD.

Dari kedua hal di atas diperoleh AB = BC = CD = AD. Jadi belahketupat ABCD mempunyai panjang sisi yang sama

2). Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dandibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Bukti :

Karena segitiga ABD dan segitiga CBD kongruenmaka sudut A = sudut C

Karena segitiga yang membentuk belah ketupatABCD merupakan segitiga sama kaki,maka dalamsegitiga ABD,sudut ABD=sudut ADB dan dalamsegitiga CBD,sudut CBD = sudut CDB.

Hal ini berarti,sudut ABD + sudut CBD = sudutADB + sudut CDB atau sudut ABC = sudut ADC.

Jadi,dalam belahketupat ABCD terdapat

sudut A = sudut C dan sudut B = sudut D.

Sudut-sudut yang saling berhadapan

dalam belah ketupat sama besar.

3). Kedua diagonalnya saling membagi dua samapanjang dan saling tegak lurus.

Bukti : Misalkan O adalah titik tengah diagonal BD. Segitiga

sama kaki ABD dibentuk dari dua segitiga siku-sikuyang kongruen, yaitu segitiga AOB dan segitiga AOD dengan AO sebagai sumbu simetri segitigaABD,BO=DO, sudut OAB=sudut OAD, dan sudutAOB=sudut AOD = 900.

Serupa dengan cara di atas, CO adalah sumbusimetri dari segitiga CBD, sudut OCB = sudut OCD, dan sudut COB = sudut COD = 900. hal iniberarti sudut AOB + sudut COB = 2*900

= 1800. Jadi,AC merupakan diagonal belah ketupat.

4). Kedua diagonal belah ketupat merupakan sumbusimetri.

Bukti :

Belah ketupat ABCD terbentuk oleh :

Segitga ABD dan segitiga CBD kongruen dan samakaki dengan AB = AD. Maka BD merupakan sumbusimetri .

Segitiga ABC dan Segitiga ADC kongruen dan samakaki , maka AC merupakan sumbu simetri.

Jadi ,belah ketupat ABCD mempunyai dua sumbusimetri yaitu BD dan AC.

5). layang-layang : adalah segi empat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnyasama panjang dan berhimpit.

Sifat-sifat layang-layang :

Pada layang-layang terdapat dua pasang sisi yang samapanjang.

Pada layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapanyang sama besar.

Pada layang-layang terdapat satu sumbu simetri yang merupakan diagonal terpanjang.

Pada layang-layang ,salah satu diagonalnya

membagi dua sama panjang diagonal

lainnya secara tegak lurus.

6). Trapesium adalah segi empat yang memilikisepasang sisi berhadapan sejajar.

Jenis-jenis trapesium :

Trapesium sembarangan ; Trapesium yang tidakmemiliki suatu kekhususan .

Trapesium Siku-siku : trapezium yang memilikisudut siku-siku .

Trapesium sama kaki : trapezium yang kaki-kakinya sama panjang.

Hubungan antarbangun :

1. Jajargenjang dan trapezium

Jajargenjang merupakan segi empatyang memiliki dua pasang sisi berhadapanyang sama panjang dan sejajar. Trapesiummerupakan segi empat yang memiliki setupasang sisi yang berhadapan dan salingsejajar. Hal ini menunjukkan bahwajajargenjang adalah bentuk khusus

dari trapezium, tetapi tidak

berlaku sebaliknya.

2. Layang-layang dan belah ketupat

Layang-layang adalah segi empat yangmemiliki dua pasang sisi berdekatan samapanjang. Belah ketupat merupakan segi empatyang keempat sisinya sama panjang. Hal inimenunjukan bahwa belah ketupat adalahbentuk khusus dari layang-layang yang keduadiagonalnya sama panjang. Secara notasihimpunan dapat dituliskan sebagai berikut :

{ belah ketupat } ⊂ { layang-layang }

⊂ { segi empat }

3. Jajargenjang dan belah ketupat

Belah ketupat merupakan segiempat yang keempat sisinya samapanjang dan terdapat dua pasang sisiyang saling sejajar. Hal inimenunjukkan bahwa belah ketupatadalah bentuk khusus darijajargenjang. Secara notasi himpunandapat dituliskan sebagai berikut :{ belah ketupat } ⊂ {jajargenjang}⊂ { segi empat }

Kesejajaran Dua Garis

Pengertian Garis Sejajar

Definisi :

Dua garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak sebidang dan tidak memiliki titik persekutuan (walaupun diperpanjang).

Dari definisi di atas jelas bahwa jarak antara kedua garis tersebut tetap.

Aksioma 1 :

Melalui dua titik yang berbeda dapat di buat tepat satu garis lurus.

Aksioma 2 :

Melalui sebuah titik diluar garis yang diketahui dapat dibuat tepat satu garis sejajar dengan garis yang diketahui.

Aksioma-aksioma tersebut kita gunakan untuk membutikan kebenaran beberapa sifat atau teorema-teorema tentang garis.

Teorema 1 :

Jika suatu garis memotong salah satu dari dua garis sejajar maka garis tersebut juga memotong garis yang kedua.

Bukti :

Misal kedua garis a // b dan garis m memotong garis a di P.

Kita akan buktikan bahwa garis m juga memotong garis b.

Andaikan garis m tidak memotong garis b, berarti garis m // b, ini berarti melalui titik P di luar garis b ada dua garis sejajar b, yaitu garis m dan a, hal ini bertentangan dengan aksioma 2. Jadi, garis m tidak mungkin tidak memotong garis b atau dengan kata lain garis mmemotong b (terbukti).

a

m

b

P

Teorema 2 :

Jika suatu garis sejajar dengan salah satu dari dua garis sejajar maka garis tersebut juga sejajar dengan garis yang kedua.

Bukti :

Misal diketahui garis a // b dan garis m // a.

Kita akan buktikan bahwa garis m // b. Andaikan garism tidak sejajar garis b, berarti garis m memotong garis b.Karena a // b dan m memotong b, berdasarkan toerema 1 maka garis m harus memotong a. Padahal diketahui garis msejajar a, hal ini berarti garis m tidak mungkin memotong garis b atau dengan kata lain garis m // b (terbukti).

b

a

m

Teorema 3 :

jika sebuah garis sejajar dengan dua buah garis maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.

Bukti :

Misal diketahui garis m, sedangkan garis m // a dan m // b.

Kita akan buktikan bahwa garis a // b, telah diketahui bahwa a // m (sebab m// a) dan m // b, ini berarti garis a sejajar dengan salah satu dari dua garis sejajar m dan b. Karena a// m, sesuai teorema 2 maka a juga sejajar dengan garis yang kedua, yaitu b, berarti a // b (terbukti).

b

a

m

Sudut-sudut yang terjadi Jika Dua Garis SejajarDipotong Garis Ketiga

Perhatikan gambar di bawah ! terdapat duabuah garis sejajar k dan m yang dipotong olehgaris l.

A

3

4

2

1

3

4

2

1

kB

m

l

Dari gambar diatasmaka yang dimaksuddengan :

Pasangan sudutsehadap

< A1 dengan < B1

< A2dengan < B2

< A3dengan < B3

< A4dengan < B4

Pasangan sudut dalamberseberangan

< A1 dengan < B3

< A2 dengan <B4

Pasangan sudut luarberseberangan

< A3 dengan < B1

< A4 dengan < B2

Pasangan sudut dalamsepihak

< A1 dengan < B4

< A4 dengan < B1

Pasangan sudut luarsepihak

< A3 dengan < B2

< A4 dengan < B1

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk pasangan sudutsehadap, sudut dalam berseberangan, sudut luarberseberangan, sudut dalam sepihak, dan sudutluar sepihak.

m

d14

23 b

a

c

l

<4 = 180 0- <1

<d = 180 0- <a = 180 0 - <1 Jadi, <4 = <d

<3 = 180 0- <4

<c = 180 0 - <d = 180 0 - <4 Jadi, <3 = <c

<2 = 180 0- <1

<b = 180 0- <a = 180 0- <1 Jadi, <2 = <b

Karena :

<1 sehadap <a

<2 sehadap <b

<3 sehadap <c

<4 sehadap<d

Berarti sudut sehadap besarnya sama.

Kesimpulan 1 : Jika dua buah garis sejajar dipotong olehgaris lain maka besar sudut sehadap adalahsama.

Perhatikan gambar yang tadi, maka diperoleh : <1 = <a (sehadap) <c = <a (bertolak belakang) <2 = <b (sehadap) <d = <b (bertolak belakang)

Karena,

<1 adalah sudut dalam berseberangan <c

<2 adalah sudut dalam bersebarangan <d

Berarti sudut dalam berseberangan besarnya sama.

Kesimpulan 2 :

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut dalam berseberangan adalahsama.

Dari gambar juga diperoleh pula :

<4 = <2 (bertolak belakang)

<b = <2 (sehadap)

<3 = <1 (bertolak belakang)

<a = <1 (sehadap)

Karena,

<3 adalah sudut luar berseberangan <a

<4 adalah sudut luar berseberangan <b

Berarti sudut luar berseberangan besarnya sama.

Kesimpulan 3 :Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut luar berseberangan juga sama.

Perhatikan gambar dibawah ini :

Dari gambar di atas diperoleh :

< A1= < B1 sebab merupakan pasangan

sudut sehadap.

< B1+ < B2= 1800(saling berpelurus)

11

4

2

3

2

4

l

3

m

Jadi,

< A1+ < B2 = 1800

Demikian pula < A4= < B4 sebab merupakanpasangan sudut sehadap <B4+ < 3= 1800 (salingberpelurus).

Jadi, < A4+ < B3 = 1800

Karena sudut-sudut tersebut merupakan pasangansudut luar sepihak maka jumlah papsangan sudut-sudut luar sepihak adalah 1800

Kesimpulan 4 : Jika dua buah garis sejajar dipotong garis lain makajumlah pasangan sudut luar sepihak sebesar 1800.

Perhatikan lagi gambar yang diatas, maka diperoleh :

< A2= < B2 sebab merupakan pasangan

sudut sehadap

< B2+ < B1 = 1800 (saling berpelurus)

Jadi, < A2+ < B1 = 1800

Demikian pula :

< A3 = < B3 sebab merupakan pasangan sudutsehadap

< B3 + < B4 = 1800 (saling berpelurus)

Jadi, < A3 + < B4 = 1800

Karena sudut-sudut tersebut merupakanpasangan sudut dalam sepihak maka jumlahpasangan sudut-sudut dalam sepihak adalah1800

Kesimpulan 5 :

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garislian maka jumlah pasangan sudut dalamsepihak besarnya 1800.

Teorema 1.2 : Jika sebuah garis tegak luruspada dua buah garis berpotongan yangterletak pada sebuah bidang, maka garis ituakan tegak lurus pada setiap garis yangterletak pada bidang tersebut.

Definisi 1.4 :

Sebuah garis dikatakan tegak lurus padasetiap garis pada bidang jika garis itutegaklurus pada setiap bidang tersebut.

Menurut teorema 1.2, jika akan memastikanapakah sebuah garis g tegak lurus padasebuah bidang α, maka tidak perlumenunjukkan bahwa garis g tegak luruspada dua garis berpotongan yang terletakpada bidang α.

Teorema 1.3 : Proyeksi sebuah gairs padasebuah bidang pada umumnya merupakansebuah garis lagi.

Definisi 1.5 :

Jika sebuah garis tidak tegak lurus padasebuah bidang, maka sudut anatara garis itudan bidang tersebut adalah sudut lancipantara garis itu dengan proyeksi garis itupada bidang tersebut.

Pengertian Kongruensi.

Kongruen artinya sama dan sebangun.

Bangun - bangun yang Kongruensi.

Dua bangun datar bersisi lurus dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat berikut :

Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.

Sisi – sisi yang bersesuaian sebanding.

Sifat – Sifat Dua Segitiga yang Kongruen.

Dua segitiga dikatakan kongruen jika memiliki sifat –sifat berikut ini :

Sisi yang bersesuaian sama panjang.

Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat Dua Segitiga yang Kongruen.

Ketiga Panjang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang ( Sisi , Sisi , Sisi ).

Dua Pasang Sisi Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk oleh Sisi – Sisi Itu Sama Besar ( Sisi , Sudut , Sisi ).

Sepasang Sisi dan Dua Pasang Sudut yang Bersesuaian pada Sisi – Sisi Itu Sama ( Sudut , Sisi , Sudut ).

Dari uraian pada bagian 1 , 2 , 3 dapat disimpulkan sebagai berikut :

Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang ( sisi , sisi , sisi ).

Dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi itu sama besar ( sisi , sudut , sisi ).

Sepasang sisi dan dua pasang sudut yang bersesuaian pada sisi – sisi itu sama ( sudut , sisi , sudut ).

Jenis – Jenis Segitiga.

1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya.

Segitiga sama kaki.

Segitiga sama kaki terbentuk dari dua segitiga siku – siku kongruen yang diletakkan bersisian dan berhimpit pada sisi siku – siku yang panjang.

Segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

Segitiga sembarang.

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang.

2. Jenis segitiga ditinjau dari susdut – sudutnya.

Segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga lancip.

Segitiga yang salah satu sudutnya siku – siku disebut segitiga siku – siku.

Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut segitiga tumpul.

3. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi – sisi dan besar sudutnya.

Segitiga sama kaki.

Segitiga sama sisi.

Segitiga sembarang.

NAMA BANGUN SEGITIGA SAMA KAKI

SEGITIGA SAMA SISI

SEGITIGA SIKU SIKU

GAMBAR

SIFAT 1. Mempunyai dua sisi yang sama panjang yang sering disebut kaki segitiga.2. Mempunyai dua sudut yang sama besar , yaitu sudut yang berhadapan dengan sisi yang panjangnya sama.3. Mempunyai satu sumbu simetri

1. Mempunyai tiga sisi yang sama panjang.2. Mempunyai tiga sudut yang sama besar.3. Mempunyai tiga sumbu simetri.

Segitiga siku –siku mempunyai dua sisi siku – siku yang mengapit sudut siku – sikunya dan satu sisi miring (hypotenusa ).

A. Melukis segitiga siku siku denganmenggunakan busur dan penggaris

Langkah-langkah :

Tetapkan suatu garis, misalkan garis AB.

Buat sudut siku-siku di A, caranya letakkan busurderajat pada garis AB dan pusatnya dititikA, kemudian cari titik yang menunjukkan sudut 900

Tarik garis dari titik A ke atas melalui titik yang menunjuk sudut 900, kemudian pada garis ituukurlah panjang AC sesuai yang dikehendaki.

Tarik garis B dan C

GAMBAR

A

C

B

90 0

B. Melukis segitiga sama kaki dengan jangka

dan penggaris

Langkah-langkahnya :

Tetapkan garis, misalkan garis AB

Buat lingkaran yang berpusat dititik A dengan jari-jaripanjangnya kurang dari panjang AB atau yang dikehendaki.

Buat lingkaran yang berpusat dititik B dengan jari-jariyang panjangnya sama dengan lingkaran, dengan pusatA maka kedua lingkaran akan berpotongan dititik C. kemudian tarik garis AC dan BC maka hasilnya tampakpada gambar

GAMBAR

GAMBAR

A B

C

C. Melukis segitiga sama sisi dengan jangka danpenggaris

Langkah-langkahnya :

Tetapkan garis yang dikehendaki, misalkan garis AB

Buat lingkaran yang berpusat dititik A dengan jari-jariyang panjangnya sama dengan panjang AB.

Buat lingkaran yang berpusat dititik B dengan jari-jariyang panjangnya sama dengan panjang AB maka akanmemotong lingkaran dengan pusat A dititik C. kemudian tarik garis AC dan BC.

GAMBAR

GAMBAR

C

BA

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita temukan bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama, misalnya permukaan meja di kelas, bentuk keramik lantai, permukaan CD, kaca pada jendela rumah, tampak depan rumah-rumah di perumahan, bentuk bangun pada sarang lebah, dan sebagainya.

Syarat dua bangun yang sama dan sebangun

Ukuran sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

Dalil-dalil yang berhubungan dengan dasar segitiga yang sebangun

Jika 2 sudut siku-siku maka kedua sudut itu kongruen

Jika 2 sudut adalah sudut lurus maka kedua sudut itu kongruen

Jika 2 sudut bersuplemen pada sudut yang sama maka kedua sudut itu kongruen

Jika 2 sudut komplemen pada sudut yang sama maka kedua sudut itu kongruen

Jika 2 sudut suplemen pada 2 sudut yang kongruen maka kedua sudut itu kongruen

Jika 2 sudut berkomplemen pada 2 sudut yang kongruen maka kedua sudut itu kongruen

a. Jika 2 sudut saling sehadap maka kedua sudut

itu kongruen

b. Jika 2 sudut saling bertolak belakang maka

kedua sudut itu kongruen

c. Jika 2 sudut itu bersebrangan maka kedua

sudut itu kongruen

2 sifat segitiga kongruen :

Sisi-sisi yang bersesuaian / seletak sama panjang

Sudut-sudut yang bersesuain sama besar

Syarat 2 segitiga yang kongruen

Sisi-sisi yang bersesuaian / seletak sama panjang

2 sisi yang bersesuaian sama panjang dan 1 sudut yang bersesuaian sama besar

2 sisi yang bersesuaian sama panjang dan 1 sudut yang menghadap salah satu sisi tersebut sama besar

Satu sisi sama panjang dan 2 sudut yang terletak pada sisi tersebut sama besar

2 sudut yang bersesuaian sama besar dan 1 sisi yang menghadap salah satu sudut tersebut sama panjang

Beberapa sifat dari 2 bangun yang sebangun

Syarat 2 bangun yang sama dan sebangun (kongruen)

Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen

Sifat-sifat dua segitiga sama dan sebangun

Dua buah bangun yang sama bentuk maupunukurannya dikatakan dua bangun yang sama dansebangun. Jadi, jika dua buah bangun yang sama dansebangun diimpitkan maka kedua bangun tersebutakan tepat saling menutupiatau bagian-bagian yangbersesuaian akan saling menempati dengan tepat.

Demikiannya dengan hal segitiga. Dua buahsegitiga dikatakan sama dan sebangun ,apabila kedua segitiga itu diimpitkan makakeduanya akan tepat saling menutupi ataubagian-bagian yang bersesuaian saling

menempati dengan tepat.

Untuk menentukan dua segitiga yang sama dan sebangun,dapat dilakukan berdasarkan unsur-unsur pada segitiga, yaitupanjang sisi dan besar sudut. Dengan demikian, berdasarkanpada panjang sisi dan besar sudutlah kita dapat menyelidikiapakah dua segitiga sama dan sebangun atau tidak sepertiberikut ini :

1. Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang ( sisi, sisi, sisi )

Jika dua buah segitiga memiliki sisi yang bersesuaian yangsama panjang maka kedua segitiga itu sama dan sebangun.

2. Ketiga sudut yang bersesuaian sama besar (sd,sd, sd )

Jika dua buah segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaiansama besar maka kedua segitiga itu belum tentu sama dansebangun

3. Dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi,sudut,sisi )

Membedakan segitiga sebangun dengan segitiga sama dan sebangun

Antara dua buah segitiga terdapat salah satu hubungan yang mungkin berikut ini

Dua segitiga sama dan sebangun atau kongruen

Dua segitiga sebangun

Dua segitiga tidak sama dan tidak sebangun atau juga tidak sebangun

Selanjutnya, dari ketiga hubungan tersebut di atas hanya akan dibahas perbedaan anatara dua segitiga sama dan sebangun ( kongruen ) dengan dua segitiga sebangun.

PERSAMAAN :

PERBEDAAN :

Dua segitiga sama dan sebangun

Dua segitiga sebangun

1. Sisi yang bersesuaian sama panjang

1. Sisi yang bersesuaian sebanding

2. Besar bangunnya sama 2. Besar bangunnya berbeda

Dua segitiga sama dan sebangun

Dua segitiga sebangun

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Dua buah segitiga yang sama dan sebangun (kongruen ) memiliki sudut-sudut bersesuaian yang sama besar dan sisi-sisi bersesuaian yang sama panjang . Dua buah segitiga yang sebangun memiliki sudut-sudut yang bersesuaian yang sama besar, tetapi sisi-sisi yang bersesuaiannya tidak sama panjang ( hanya sebanding )

Luas segitiga dapat di hitung dengan menggunakan rumus berikut :

Luas segitiga ABC =

=

A

CB

Persegi panjang adalah bangun datar yangmemiliki empat sisi dengan sepasang sisi yangberhadapan sama panjang dan keempatsudutnya merupakan sudut siku-siku.

Luas = Panjang (P) x Lebar (L)

= AB x BC

Luas persegi panjang sama dengan hasil kalipanjang dan lebarnya

BA

D C

Persegi adalah bangun datar yang memilikiempat sisi yang sama panjang dan empat udutyang sama besar, yaitu sudut siku-siku .

Persegi dapat juga diartikan sebagai persegipanjang yang sisi-sisinya panjang. Jadi, semuasifat-sifat pada persegi panjang juga berlakuuntuk persegi.

Luas Persegi = Sisi x Sisi

= S x S

Luas persegi sama dengan

kuadrat panjang sisinya

A B

CD

Jajar genjang adalah bangun datar yangmemiliki empat sisi dengan sisi-sisi yangberhadapan sejajar dan sama panjang sertasudut-sudut yang berhadapan sama besar.Selain itu, sisi yang bersebelahan tidak salingtegak lurus.

Luas Jajar Genjang

= Alas x Tinggi

= AB x DO

Salah satu cara untuk menghitung luasjajargenjang adalah mengubahnya menjadipersegi panjang. Pengubahan ini dilakukandengan cara memotong bangun jajargenjangtersebut sehingga didapat bangun segitiga danbangun lainnya.

Belah ketupat adalah bangun datar yangmemiliki empat sisi yang sama panjang dengansisi-sisi yang berhadapan saling sejajar. Selainitu, sisi yang bersebelahan tidak saling tegaklurus.

Luas : ½ x d1 x d2

Layang-layang adalah bangun datar yangmemiliki empat sisi dan dibentuk oleh duasegitiga sama kaki yang alasnya sama panjangdan berimpit.

Luas : ½ x d1 x d2

Trapesium adalah bangun datar yangmempunyai empat sisi dengan sepasang sisiberhadapan saling sejajar.

Luas : ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi

Segmen garis adalah ruas garis yang dibatasioleh dua titik, dan dua titik ini merupakannama dari segmen garis tersebut.

Contoh :

Gambar tersebut menunjukkan suatu ruasgaris yang panjangnya dibatasi oleh titik A dan B. ruas garis AB ini disebut segmengaris AB.

BA

Kurva dan Segi n

beraturan

Segi empat

Relasi titik dan garis

kongruensi

lukisan

Perbanyakan bangunan

Luas bangun datar

Perbandingan seharga

segmen garis

1.

Denganmemperhatikangambartersebut, tentukanpanjang sisi BC !

Jawab :

Karena sudut ABC = sudut BAC = 50 0

maka segitigatersebut adalahsegitiga samakaki, sehinggaberlaku : BC = AC = 3 cm

80 0

50 050 0

A

C

B4 cm

3 cm

2.

Dari gambar diatas menunjukkan gambar ..

Jawab :segitiga sama sisi karena memiliki sudut yang sama besar yaitu 600dan sisi yang sama panjang

C

A B

60 060 0

60 0

1.Perhatikan persegipanjang KLMN padagambar di samping!

Sebutkan :

a. pasangan sudut yang saling berhadapan .

b. Pasangan garis yang sejajar dan samapanjang.

c. Pasangan garis diagonal.

k l

n m

Jawab :

a. Pasangan sudut yang saling berhadapanadalah :

<KLM dan <KNM

<NKL dan <LMN

2. Nyatakan benar (B) atausalah (S) pernyataanberikut ini. PERSEGI PANJANG

Persegi panjangmempunyai sifat keempatsisinya sama panjang.

Apabila terdapat dua sudutsiku-siku dari suatu segiempat, maka segi empatitu adalah persegi panjang.

Diagonal-diagonal persegipanjang mempunyaipanjang yang sama.

Keempat sudut persegipanjang adalah siku-siku.

Pada sudut persegipanjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjangtetapi tidak sejajar.

Jawab :

(S)

(S)

(B)

(B)

(S)

1. Dari gambar berikut yang manakah yang merupakan

garis yang sejajar dan garis yang tegak lurus ?

Jawab :garis – garis sejajar : A dan C

garis-garis tegak lurus : D dan E

A B C D E

2.

Tentukan besar sudut-sudutberikut !a. sudut ABC

b. sudut ACD

c. sudut ACB

d. sudut DCE

Jawab :

a. Sudut ABC = 300 (sudutdalam berseberangandengan sudut BCD)

b. Sudut ACD = 1800 – 700 = 1100 (sudut dalam sepihakdengan sudut BAC)

c. Sudut ACB = sudut ACD -sudut BCD = 1100 – 300 = 800

d. Sudut DCE = 700 (sudutsehadap dengan sudutCAB)

AB

DC

E

300

700

Tunjukkan bahwa kedua gambar tersebut kongruen1.

2.

A

O B

DC O

A

B

1. < A = sudut siku – siku

< A = 900

< B = sudut siku – siku

< B = 900

Maka < A kongruendengan < B

2. < AOB = sudut lurus

< A = 1800

< COD = sudut lurus

< B = 1800

Maka < AOB kongruen dengan < COD

1. Lukislah segitiga sama sisi ABC dengan

AB = BC = AC = 4 cm

Jawab :

4 cm

C

BA

4 cm 4 cm

2. Lukislah segitiga sama kaki ABC dengan

AC = BC = 3 cm dan AB = 4 cm

Jawab :

3 cm

C

3 cm

BA4 cm

1. Dua buah persegi panjang masing-masingberukuran 16 cm x 10 cm dan 8cm x 5 cm.Apakahkedua persegi panjang itu sebangun ?

Jawab :

Ukuran PersegiPanjang 1

PersegiPanjang 2

Panjang 16 cm 8 cm

Lebar 10 cm 5 cm

Kedua persegi panjang memiliki sudut-sudut yangbersesuaian sama besar atau sama sudut karenasetiap sudutnya adalah sudut siku-siku.

Perbandingan panjang =16 cm : 8 cm = 2 : 1

Perbandingan lebar = 10 cm : 5 cm = 2 : 1

Karena setiap sudut-sudut yang bersesuaian samabesar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding,yaitu 2 : 1, maka kedua persegi panjang sebangun.

16 cm

5 cm10 cm

8 cm

2. Suatu segitiga ABC dan segitiga PQR mempunyaipanjang AB=12 cm, AC=10 cm, BC=8 cm,QR=15 cm, PQ=18 cm, PR=12 cm. Jelaskan bahwa keduasegitiga tersebut sebangun dan tentukan sudut-sudutyang sama besar

Jawab :

10 cm

C

8 cm

A B12 cm

QP 18 cm

12 cm 15 cm

R

= =

= = Sebanding

= =

Sudut A = sudut Q

Sudut B = sudut P Sama besar

Sudut C = sudut R

Jadi kedua segitiga sebangun

1. Hitunglah keliling dan luas persegi panjang dalam satuan dm, dengan panjang dan lebar berturut-turut 10 dm dan 20cm.

Jawab :

Diketahui : p = 10 dm

l = 20 cm = 2 dm (satuan disamakan)

Maka : K = 2 ( p x l ) = 2 ( 10 dm + 2 dm ) = 24 dm

L = p x l = 10 dm x 2 dm

= 20 dm2

2 Apabila keliling persegi panjang adalah 60 m dan lebarnya 12 m, tentukan panjang dan luas persegi panjang tersebut.

Jawab :

Diketahui : K = 60 m dan l = 12 m

Maka : K = 2 ( p + l )

60 m= 2 ( p + 12 m )

60 m= 2p + 24 m

60 m – 24 m = 2p

36 m = 2p

P = 36/2

P = 18 m

L = p x l = 18 m x 12 m

= 216 m2

3. Keliling sebuah persegi adalah 60 cm. Tentukan panjang sisi dan luasnya.

Jawab :

Diketahui : K = 60 cm

Maka : K = 4s

60 = 4s

s = 60/4 cm

s = 15 cm

L = s2

= (15 cm)2

= 225 cm2

4. Panjang sisi suatu persegi adalah ( 10 – z ) cm. Keliling persegi tersebut 28 cm. Tentukan nilai z dan panjang sisi persegi tersebut.

Jawab :

Persegi ABCD = 4s = 28

4 ( 10 – z ) = 28

40 – 4z = 28

4z = 40 – 28

Z = 3

Panjang sisi = ( 10 – 3 ) cm = 7 cm

Jadi, panjang AD = AB = BC

= DC = 7 cm

5. Panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat adalah 6 cm dan 8 cm.

Hitunglah :

a. Keliling belah ketupat itu

b. Luas belah ketupat

Jawab :

Misalkan belah ketupat ABCD.

AC = 6 cm dan BD = 8 cm.

AO = OC = 1/2 AC= 3 cm dan BO = OD = 1/2 BD = 4 cm.

Keliling = 4 x AD

= 4 x 5

= 20 cm

Luas =

Luas = 24 cm2

1. Jika panjang AB = 12 cm, titik P di antara A dan B sedemikian sehingga AP : PB = 1 : 3. Tentukan panjangAP dan PB !

Jawab :

Pada gambar tersebut tampak AP : PB = 1 : 3.

PA B

31

AP = 1 AP = 1 (AB)

AB 4 4

AP = 1 (12)

4

AP = 3 cm

PB = 3 AP = 3 (AB)

AB 4 4

AP = 3 (12)

4

AP = 9 cm

Jadi, panjang AP = 3 cm dan PB = 9 cm

2. Titik P terletak pada garis AB. Jika AB = 25 cm dan AP = 10 cm, tentukan perbandingan garis AP : PB !

Jawab :

diperoleh PB = AB – AP = 25 cm – 10 cm =15 cm

jadi, AP : PB = 10 : 15 = 10 = 2 = 2 : 3

15 3

B

P

A

10 cm

25 cm