TUGAS GEOMETRI DATAR

OLEH

I MADE PURWA( 2008.v.1.0084)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

IKIP PGRI BALIDENPASAR

2009

1

Geometri datarGeometri dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu ukur) yang ada. Perkembangan Geometri Fase I Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda alam yang berada di sekeliling kita ini). Contoh: batu,batako,kayu,besi,dll. Mengamati benda-benda yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd objek yang ada). Setelah menggunakan metode impiris, diproleh rumus dengan menggunakan metode induksi.

Fase II Perkembangan geometri pada fase II, objek tidak lagi benda-benda konkrit(benda-benda alam yang ada). Melainkan benda-benda yang ada dalam pikiran manusia. Contoh : garis lurus mempunyai panjang namun tidak memiliki lebar (di alam pikiran manusia), kertas dilipat-lipat dapat menjadi banggun geometri.

2

Membawa benda konkrit ke dalam pikiran manusia,melalui proses : Proses idealisasi

Proses menyempurnakan dari pada benda-benda konkrit ke benda-benda alam pikiran. Contoh: benag yang penampangnya sangat kecil sehingga penampangnya tidak ada. Proses abstraksi

Dari benda/objek yang diamati ini hanya sebagai yang diamati. Dalam proses perkembanggan geometri pada fase II pada awalnya belum di temukan hubungan dalil yang satu ke dalil yang lainnya juga teorema, asioma,lema. Dengan perkembanggan IPTEK yang begitu cepat sehingga perkembanggan matematikapun menggikuti akhirnya para ahli matematika mencoba menghubungkan dalil,teorema,aksioma dan lema yang satu dengan yang lainnya. Hypokraktus

Phitagoras

3

Lr=L l+L nV+III+IV=I+III+II+IVV=I+II

Fase III Perkembanggan geometri pada fase III ini, objeknya tidak lagi berbicara benda-benda alam, melainkan benda-benda yang ada di alam pikiran manusia. Jadi metode pendekatan induktif tidak diperkenankan digunakan pada fase III melainkan dalam proses pendekatan ini, kita coba gunakan metode deduktif umum khusus.

Fase IV Perkembanggan geometri pada fase IV setelah proses perkembanggan I,II, dan III pada fase IV objeknya tidak hanya bangun-bangun geometri saja melainkan keseluruhan dari pada materi matematika yang ada asalkan tidak bertentangan dengan aksioma, teorema, dalil dan lema tidak bertentangan dengan aksioma yang lain. Misalnya kita tidak hanya membicarakan tentang garis lurus, lingkaran melainkan berbicara aljabar, kalkulus dan materi yang lainnya.

Pengertian pokok dalam Geometri: 1. Pengertian Titik

Tidak didefinisikan tidak mempunyai panjang dan lebar tetapi ia sangat menentukan letaknya. Titik bisa digambarkan sebagai naktah “ . “ / ujung pensil yang di beri nama dengan hurup kapital besar “A”.

2. Pengertian Garis ( garis lurus ) Tidak didefinisikan, garis itu memrupakan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai lebar garis di gambarkan dengan

3. Pengertian Bidang ( Bidang datar ) Tidak didefinisikan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan lebar. Yang digambarkan permukaan halus dan tipis. Misal:

4. Pengertian RuangTidak didefinisikan. Kumpulan titik, garis merupakan kumpulan bidang-bidang dan bidang merupakan bagian ruang.

Misal :

4

5. Pengertian Diantara Tidak didefinisikan.

B diantara A dan C. Tiap 3 titik itu segaris dan mempunyai urutan A,B,C atau C,B,A.6. Ruas garis “AB” adalah kumpulan titik dari garis yang terdiri dari titik A dan B dan titik

diantaranya.

A dan B disebut titik ujung ruas garis “ ”.” ” tanda panah menunjukan garis dapat ditarik sepanjangnya.

7. Sinar merupakan titik yang union dari titik tertentu dari suatu ruas garis dan semua titik dari garis itu terletak.

8. Pengertian sepihak dan berlainan pihak.

Jika A suatu titik pada suatu garis ,B,C juga titik dari garis itu dikatakan B dan C letaknya sepihak terhadap A. Jika B diantara A dan C atau C diantara B dan A .B dan C letaknya berlainan pihak terhadap A jika A diantara B dan C. Sinar –sinar berlawanan adalah dua sinar yang mempunyai titik pangkal yang sama dan pada garis yang sama.

dan berlawanan . dan bukan berlawanan .

9. Sudut adalah kumpulan titik-titik yang merupakan union atau gabungan dari dua sinar yang merupakan titik pangkal berserikat , masing-masing sinar disebut sisi sudut dan titik pangkal sinar di sebut titik sudut.

,dsb

10. Ukuran Ruas GarisAda korespondensi satu-satu antara titik pada suatu garis dengan bilangan nyata, kalau salah satu titik di kawankan dengan nol (0). Maka setiap titik yang lain berkawanan dengan

5

bilangan nyata tertentu dan sebaliknya jika titik p dikawankan dengan bilangan s maka P berkoordinat S.

Untuk AB = 2 atau AB = 2 11. Ukuran Sudut

Untuk menyatakan ukuran sudut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Pada bidang APB ada setengah lingkaran yang pusatnya di P. salah satu ujungnya A dan yang lainnya C adalah sinar lawan dari pada titik pada setengah lingkaran itu berkorespodensi dengan bilangan kecil .Titik dengan kata lain A berkorespodensi 0Titik dengan kata lain C berkorespodensi 180 Jika B berkoordinat x, bilangan x inilah merupakan ukuran sudut dari .

Definisi a. Sudut siku-siku adalah sudut yang ukurannya b. Sudut lurus adalah sudut yang ukurannya c. Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari dan lebih kecil dari (

)d. Sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari dan lebih kecil dari (

)e. Dua sudut yang saling berkomplement adalah jika jumlah dua sudut itu f. Dua sudut yang saling bersuplement adalah jika jumlah dua sudut itu g. Dua garis tegak lurus adalah jika dua garis itu saling berpotongan dan membentuk sudut siku-

siku h. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang titik pangkalnya titik sudut itu dan kedua sudut yang

dibentuk oleh sinar itu dengan kaki-kaki sudut itu mempunyai ukuran yang sama

Kongruensi dari suatu ruas Garis sudutDefinisi : Ruas- ruas garis kongruen jika mempunyai ukuran yang sama yang simbulnya .

Jika = tentu

dan ruas garis yang sama, hanya membedakan namanya .

6

Sedangkan dalam hal yang ke dua terjadi dua ruas garis yang berlainan tetapi ukurannya sama.Demikian pula jika

Maka Aksioma –Aksioma

1. Suatu garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya kedua arah2. Untuk setiap 2 titik pada suatu ruas garis ada titik yang ke-3 yang terletak diantaranya 3. ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik

Kongruensi Segitiga♣ Segitiga : bangun geometri yang banyak dibicarakan dalam geometri. Untuk

mendefinisikan apakah itu segitiga . Diulai dengan bangun geometri yang lebih umum : segi banyak ( poligon).Definisi: Poligon adalah union dari kumpulan titik , dengan ruas garis , ,

,… .Ruas garis itu berpotongan, titik potongnya adalah salah satu dari titik-titik,

, dan tidak ada titik-titik potong yang lain.

titik , disebut titik sudut poligon .

, , , disebut sisi poligon disebut sudut poligon. Cara memberi nama poligion

Disamping ini adalah gamgar poligon A,B,C,D,E dapat diberi nama DCBAE,BCDEA dsb.Definisi:

7

Segitiga adalah poligon yang mempunyai 3 sisi

Titik ABC disebut titik sudut segitiga, , , disebut sisi segitiga, disebut sudut segitiga.

Untuk mengetahui aksioma di ukur sisi,sudut sisi.

jika , dan Dua segitiga adalah kongruen jika korespondensi antara titik sudutnya demikian hingga dua sudut dan sisi apitnya dari segitiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi dari segitiga yang lain. Untuk menyatakan aksioma ini disebutkan dengan sudut, sisi, sudut .

jika .♣ Pembagian jenis-jenis segitiga didefinisiksn berdasarkan pada sisinya :1. Segitiga sama sisi jika ke-3 sisinya kongruen 2. Segitiga sama kaki jika ke-2 sisinya kongruen♣ Bedasarkan pada sudutnya:1. Segitiga sama sudut jika ke-3 sudutnya kongruen 2. Segitiga siku-siku jika satu sudutnya siku-siku 3. Segitiga tumpul jika satu sudutnya tumpul4. Segitiga lancip sudut jika ke-3 sudutnya lancip Definisi :

Sinar diantara sinar yang dimaksud adalah jika U

8

Daerah dalam ( interior ) suatu sudut adalah kumpulan titik demikian hinga jika suatu suatu sinsr titik pangkalnya titik sudut itu dan melalui salah 1 titik dari kumpulan itu akan terletak diantara kaki-kaki sudut itu.

Daerah dalam ( interior ) suatu segitiga adalah kumpulan titik persekutuan dari daerah dalam dari sudut segitiga itu. Aksioma Dua segitiga adalah kongruen jika ada korespondensi antara titik- titik sudutnya sedemikian hingga 2 sisi dan sudut apitnya dari segi tiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi

Segi empat

Definisi: 1.

Segiempat adalah poligon yang mempunyai 4 sisi, sisi AB,BC,AD dan CD2.

Jajaran genjang adalah segi 4 yang sisi berhadapan adalah sejajar. AB//CD dan AD//BC

9

3.

Persegi panjang adalah jajaran genjang yang mempunyai 1 sudut siki-siku : , AB,BC,CD,AD sisi persegi panjang

4.

Bujur sangkar adalah persegi panjang yang mempunyai 2 sisi yang bersisian kongruen. AD AB5.

Belah ketupat adalah jajaran genjang yang mempunyai 2 sisi yang bersisian kongruen. Sisi AD BC 6.

Trapesium adalah segi empat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi yang sejajar. Sisi AB // CB7.

Trapesium sama kaki adalah trapesium yang sepasang sisi yang berhadapan tidak sejajar adalah kongruen. Sisi AD BC Iktisar

Sifat-sifat yang ada pada jajaran genjang: Cara untuk membuktikan bahwasegi empat adalah jajaran genjang

1. Jika 2 sisi yang berhadapan adalah sejajar 2. Jika sisi- sisi yang berhadapan adalah kongruen3. Jika diagonal- diagonal saling membagi 2 4. Jika sepasang sisi yang berhadapan kongruen dan sejajar

Kesimpulan yang dapat diambil jika segi empat adalah jajaran genjang: 1. Sisi- sisi berhadapan adalah sejajar2. Sisi- sisi berhadapan adalah kongruen

10

3. Diagonal-diagonal saling membagi 2 4. Dua sudut yang berhadapan kongruen Dalil. 1. Sudut yang berhadapan dari jajaran genjang adalah kongruen2. Diagonal-diagonal jajaran genjang berpotongan saling membagi 23. Semua sisi bujur sangkar kongruen4. Semua sisi belah ketupat kongruen 5. Diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus 6. Sudut-sudut alas trapesium sama kaki kongruen 7. Jika sisi yang behadapan suatu segi 4 kongruen maka segi empat itu dapat di katakan jajaran

genjang8. Jika diagonal-diagonal segi empat saling membagi 2 maka segi empat itu dikatakan jajaran

genjang9. Jika segi empat mempunyai sepasang sisi kongruendan sejajar maka segi empat itu adalah

jajaran genjang

Lingkaran Definisi

lingkaran adalah kumpulan titik sedemikian hingga ruas garis yang ditentukan oleh tiap dari kumpulan itu dengan suatu titik tertentu adalah kongruen. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang di tentukan oleh sembarang titik di lingkaran itu

dengan titik porosnya. ♣ Unsur- unsur Lingkaran

Gambar di samping merupakan suatu lingkaran .O adalah suatu pusat lingkaran , OP,OQ dan OR adalah jari-jari lingkaran biasa dilambangkan dengan r (radius) dan PQ dilambangkan dengan d. Panjang panjang garis tengah adalah dua kali panjang jari-jari. Jadi d = 2r sedangkan garis lingkaran QR,RP,PQ disebut busur lingkaran, panjang garis lingkaran, lengkung dari P ke titik P lagi disebut keliling lingkaran. Rumus dari keliling lingkaran adalah K = . d K = keliling lingkaran = 2 .r d = diameter d = 2 r r = jari-jari

= 3,14Rumus luas lingkaran Luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran tersebut

11

Kalau jari-jari lingkaran adalah r maka keliling lingkaran adalah 2 r dengan memperhatikan bangun persegi panjang diatas yang terjadi lebarnya = r sedangkan panjangnya = ½ keliling lingkaran yaitu r sehingga luas lingkaran adalah r x r L = L = luas lingkaran L= ¼ d = diameterd = 2 r r = jari-jari

TETRA HIDRON (Piramid bidang empat)

PR = ½ PQ2PR = PQ 2p-2r = p – q2p – p = 2r – q p = 2r – q p + q = 2r r = ½ ( p + q )

S = ½ ( a + b )

1.

q =

f = ½ (b + c )

q =

=

q =1/3 (a +b + c)

12

2.

l = ½ (a + b )

h= =

h = = 1/3 ( a + b + c )

3.

k =½ (a + b )

l = =

l = =1/3 (a + b + c)

Kesimpulan: Faktor posisi yang sama akan berhimpit. q , h , l akan berhimpit. 1.

A

B

C

Dl

1g

g = 1/3 (a + b + c )

l = = 3.1/3(a + b + c ) + d

l = = ¼ (a + b + c +d)

13

2.

= 1/3 (b + c +d )

h = =

h = ¼ (a + b + c + d )3.

= 1/3 (b + c + d )

k = =

k = ¼ (a + b+ c + d )4.

= 1/3 ( a + b + d )

m = =

m = ¼ (a + b+ d + c )

Kubus

14

Volume = 1x1x1=1 = m x m x m =

Volume = 2m x 3m x 6m = 36 mDapat di tarik kesimpulan Volume kubus = V = p x l x t V= volume p = panjang l = lebar t = tinggi

V =

V ½ kubus = luas alas x tVolume limas

Volume limas T. ABCD = 1/6 V kubus = 1/6 = 1/3 . ½ a = 1/3 . L alas bujur sangkar . t

15

Volume limas. T .ABC = ½ . 1/3 luas alas . t = ½ . 1/3 .t = 1/3. ½ .t = 1/3 luas alas .t

Pisma tegak ABCDEF

I Luas FABCII Luas BDEF III Luas FABD Volume Prisma = luas alas .tV. FABC = 1/3 luas ABC. t V = FABC . Volume BDEF

Kerucut tegak

V. Kerucut = 1/3 luas alas .tV. TABM = 1/3 luas alas∆ .t

= 1/3 ∆ luas alas .t = 1/3 L .t = 1/3 luas alas .t

16

y = m .x y = m . x + c y =

V = = = = =

= =

= =

V kerucut = 1/3 luas alas .t

17