ppt geometri analit ruang

Geometri Analit Ruang

Bagaimanakah cara menentukanpersamaan bidang kerucut lingkarantegak dengan puncak T(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏),arah poros [ a, b, c] dansetengah sudut puncak 𝜶

Lihat gambar di samping. Pilih titik P(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) pada kerucut arah TP =𝒙𝒐-𝒙𝟏, 𝒚𝒐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝒐-𝒛𝟏

sedangkan cos 𝜶 =𝑻𝑷 [ 𝒂,𝒃,𝒄]

𝑻𝑷 [ 𝒂,𝒃,𝒄]

Dengan menjalankan V ( 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 )diperoleh :

{(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟏)

𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟏)𝟐 }

{a² + b² + c²} cos² 𝜶 = {a(x- 𝒙𝟏) +(b(y-𝒚𝟏) + c(z-𝒛𝟏)}², merupakan persamaanyang diminta

T (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 )

Lingkaran

𝜶


Dalam hal khusus :

1). Jika puncak kerucut T (0, 0, 0), persamaan

menjadi :

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 2 − (𝒂2 + 𝒃2 + 𝒄2)(𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2)

2). Jika puncak kerucut T(0, 0, 0) dan porosnya

sumbu Z (arah 0, 0, 1), persamaan menjadi :

𝒛2 = 𝒛 𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2 𝒄𝒐𝒔 𝜶 atau 𝐱² + 𝒚² = 𝒛² 𝒕𝒈²𝜶


**Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang

puncaknya T(0, 0, 0), poros sumbu y dan setengah sudut

puncak adalah 45°

Jawab :

Puncak T (0, 0, 0) dan poros sumbu y ( arah [0,1,0] persamaan

kerucut :

{a( x-𝒙𝟏) + 𝒃(𝒚 − 𝒚𝟏) + c(z-𝒛𝟏)}²=(a²+b²+c²)

{(x-𝒙𝟏)²+(y-𝒚𝟏)²+(z-𝒛𝟏)²}cos²𝜶


y²=y(x²+y²+z²)cos²𝜶

y²=1(x²+y²+z²)cos² 45°

y²=(x²+y²+z²).(𝟏

𝟐𝟐)²

y²=(x²+y²+z²)𝟏

𝟐

y²=𝟏

𝟐x²+

𝟏

𝟐y²+

𝟏

𝟐z²

𝟏

𝟐x² +

𝟏

𝟐y² - y² +

𝟏

𝟐z²= 0

𝟏

𝟐x² -

𝟏

𝟐y² +

𝟏

𝟐z² = 0

x² - y² + z² = 0

Dikali 2


Lingkaran

Garis Pelukis

M

R

Q

H

P

g

Cara menentukan persamaan silinder lingkaran tegak adalah

.....


Jika diketahui silinder lingkaran tegak merupakan :1. TK titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu garis tertentu.2. TK garis-garis yang sejajar dengan jarak yang sama terhadap suatu garis

tertentu.

Apabila jari-jari = RPoros garis : [x, y, z] = [x1,y1,z1] +

𝜆 𝑎, 𝑏, 𝑐Perhatikan Gambar !

MR

QH

P

g

P[x0,y0,z0] pada silinder, berarti persamaan bidang H yang melalui P adalah.....

a ( x-x0 ) + b ( y-y0 ) +c ( z-z0 ) = 0Q(x1,y1,z1) ke H adalah

Q𝑀 =a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0)

𝑎2+𝑏2+𝑐²

QP = (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)²


M

R

Q

H

P

g

R

Perhatikan segitiga PQR…

Segitiga PQR merupakan segitigasiku – siku dengan

QP² = QM² + R²Atau

QP² - QM² = R²

QP² - QM² = R²

Untuk mencari persamaan silinder maka dapat digunakan rumus diatas dengan Memasukansemua nilai qp, qm dan r


QP² - QM² = R²

(x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² ² -a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0)

𝑎2+𝑏2+𝑐²² = R²

𝑎2+𝑏2+𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)²𝑎2+𝑏2+𝑐²

-a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²

𝑎2+𝑏2+𝑐²= R²

Dengan menjalankan (X0,Y0,Z0) makadiperoleh…

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² - a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²= R² 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²


SoalTentukan persamaansilinderlingkarantegakdenganjari – jari = 3 danporosnya : [x,y,z] =

[0,1,2] + 𝜆 2, −4, 5

a = 2 b = -4 c=5

R = 3

x1 = 0y1 = 1z1 = 2

Dengan memasukkan nilai nilai diatas ke persamaan didepan tadi maka didapat


(4 +16 + 25) { (x²) +(y-1)² + (z-2)² } – {2(x) + (-4)(y-1) + 5(z-2)}² = (4 +16 + 25) R²

45 (X2 + y2 – 2y + 1 + z2 – 4z + 4) – ( 2x – 4y +4 +5z -10)2 = 45 × 9

(45X2 +45 y2 – 90y + 45 + 45z2 – 180z + 180) – ( 4x2 + 16y2 + 16 + 25z2 + 100) = 405

45X2 - 4x2 + 45 y2 - 16y2 + 45z2 - 25z2 -90y – 180z + 180 – 16 – 100 – 405 = 0

41 x2 + 29 y2 + 20 z2 – 90y – 180z – 96 = 0

Jadi, Persamaan silinder lingkaran tegaknya adalah41 x2 + 29 y2 + 20 z2 – 90y – 180z – 96 = 0

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐² (x1 – x0)² + (y1 – y0)² + (z1 – z0)² - a(x1 – x0) + b(y1 – y0) + c(z1 – z0) ²= R² 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²


KOORDINAT HOMOGEN

koordinat homogen adalah koordinat yang memiliki satu dimensi lebih tinggi dari koordinat yang ditinjau.

Misalkan titik P berkoordinat (X,Y,Z)(koordinat kartesius). Tentukan 4 bilangan x,y,z dan w (w≠0) sedemikian sehingga

Maka (x,y,z,w) merupakan koordinat homogen dari (X,Y,Z)


P (𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜷 , 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜸)

P (𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜸, 𝟏)

P (𝒄𝒐𝒔𝜶 , 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒄𝒐𝒔𝜸,1

𝑟)

.

.

.

Jika 𝑟 ⟶ ~ maka titik P dititik tak berhingga, dengan koordinat (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾) ,atau (𝑎, 𝑏, 𝑐, 0). Jadi letak titik tak berhingga tergantung dari bilangan arah garis itu.


Jika x,y,z tidak semuanya nol, maka jika w=0,

paling kurang satu dari 𝑥

𝑤,𝑦

𝑤, 𝑧

𝑤mendekati tak

berhingga.Perhatikan gambar

ᵝα

𝜸

z

x

y

P(X,Y,Z)Bila X =𝑥

𝑤, Y =

𝑦

𝑤, Z =

𝑧

𝑤

Maka dalam koordinat homogen P(x, y, z, w)

𝑥1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛾


Contoh soal :

Tentukan beberapa koordinat homogen titik P (4 , 3, -6).

Jawab :

Jika w = 1 → (4, 3, -6, 1)

Jika w = 2 → (8, 6, -12, 2)

Jika w = -3 → ( -12, -9, 18, -3) dan lain-lain


CONTOH SOAL :

• Ubahlah persamaan Bidang 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0menjadi bentuk koordinat homogenJawab :

3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6 = 0

3𝑥

𝑤+ 4

𝑦

𝑤+ 5

𝑧

𝑤+ 6 = 0 ⟶ 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑤

3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6𝑤 = 0

Jadi persamaan bidang dalam bentuk koordinat homogen 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 6𝑤 = 0


Soal :

• Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya T (0, 0, 0), poros sumbu x dan setengah sudut puncak 60°

• Tentukan persamaan silinder lingkaran tegak yang jari-jarinya = 4, dan porosnya melalui titik P[1, 1, 1] dengan arah [2, -3, 6]

ppt geometri analit ruang

Education