1. GEOMETRI NON EUCLIDFitri Apriani (06122502002)Idul Adha (06122502012)M. Irsadi Farista (06122502007)

2. Latar Belakang Geometri yang pertama-tama muncul sebagaisuatu sistem deduktif adalah Geometri dariEuclides. Kira-kira tahun 330 SM, Euclidesmenulis buku sebanyak 13 buah. Dalambukunya yang pertama Euclid menjelaskanmengenai definisi, postulat, aksioma dan dalil. Namun Geomerti Euclid ini memilikikelemahan, salah satu kelemahanya ada padapostulat kelima dari Euclid 2 yang terkenaldengan Postulat Parallel atau PostulatKesejajaran yang terlalu panjang sehinggamerisaukan para matematikawan. Sehinggabeberapa matematikawan menganggapbahwa postulat kelima Euclid bukan postulatdan dapat dibuktikan dengan keempatpostulat yang lain. 3. Lanjutan.... Postulat kesejajaran kelima Euclid adalahsebagai berikut: Jika suatu garis lurusmemotong dua garis lurus dan membuatsudut-sudut dalam sepihak kurang dari duasudut siku-siku, kedua garis itu jikadiperpanjang tak terbatas, akan bertemudipihak tempat kedua sudut dalam sepihakkurang dari sudut siku-siku 4. Lanjutan.... Geometri Non Euclid timbul karena paramatematikawan berusaha untuk membuktikanpostulat kelima dari Euclides. Sehingga GeometriNon Euclid masih berdasarkan empat postulatpertama dari Euclides dan hanya berbeda pada 4postulat kelimanya. Ada dua macam Geometri NonEuclid yang pertama adalah ditemukan hampirbersamaan oleh 3 tokoh berlainan dan masing-masing bekerja sendiri-sendiri. Tokoh-tokohtersebut adalah Karl Friedrich Gauss dari Jerman,Yonos Bolyai dari Hongaria, dan Nicolai IvanovitchLobachevsky dari Rusia, Geometri ini disebutGeometri Hiperbolik atau GeometriLobachevsky. Geometri Non Euclid yang keduaadalah Geometri yang diketemukan oleh G.F.B.Bernhard Riemann dari Jerman, Geometri inidisebut Geometri Eliptik atau Geometri Riemann. 5. Geometri HiperbolikGeometriRepresentasi Pada kajian Geometri Hiperbolik iniHiperbolikGeometri Euclid objek-objek kajianya yang berupa titik, garis, bidang dan segmen tidakTitik Titik: Titik dalam sama dengan titik, garis, bidang dan segmen pada Geometri Parabolik.lingkaranPada Geometri Hiperbolik Ini bidang direpresentasikan oleh sebuahGaris Penghubung lingkaran O.terbuka lingkaran Berikut ini adalah tabel representasi untuk Geometri Hiperbolik. Bidang Bagian dalam Postulat kesejajaran Hiperboliklingkaran Untuk suatu titik dan suatu garisSegmenSegmen: Segmen yang tidak melalui titik tersebutpenghubung dua terdapat dua garis yang melalui titik tersebut yang sejajar dengan garistitik pertama. 6. Lanjutan....Teorema 2.1 (Teorema sudut luar)Sudut luar segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam)yang tidak bersisian dengan sudut tersebut. 7. Lemma 2.1Jumlah besar dua sudut suatu segitiga adalah kurangdari atau sama dengan sudut luarnya. 8. Lemma 2.2Terdapat garis l, sebuah titik P yang tidak beradadigaris l, dan titik Q berada digaris l. Misal diberikangaris . sebagai sisinya, maka ada suatu titik R di l,pada sisi yang diberikan, sedemikian sehinggaPRQ lebih kecil atau kurang dari sudut yang telahditentukan,Sudut sudut kecil pada segitiga 9. Teorema 2.2 (Prenowitz, 1965: 59)Pada segitiga jumlah besar sudut-sudutnya kurangdari 180. 10. Segiempat pada Geometri HiperbolikDari teorema 2.2 di atas mengakibatkan adanya duacorollary untuk segiempat sebagai berikut. Corollary 2.2Jumlah besar sudut-sudut dari segiempat kurang dari360. 11. Geometri Eliptik Geometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclidhanya pada postulat kesejajarannya saja, Postulatkesejajaran dari Riemann adalah sebagai berikut: Tidak ada garis-garis sejajar dengan garis lain Berdasarkan pada Postulat diatas, pada GeometriEliptik ini dua garis selalu berpotongan dan tidak adadua garis sejajar. Pada Geometri Eliptik terdapat duamacam pengkhususan yang pertama Geometri singleelliptic dan yang kedua Geometri double elliptic. Kata Eliptik didasarkan atas klasifikasi GeometriProyektif, karena tidak ada dua garis yang dapat dibuatsejajar garis tersebut. Untuk dapat memudahkan dalil-dalil berikut, maka sebagai model dari Geometridouble elliptic ialah bola dan untuk Geometri singleelliptic adalah setengah bola. 12. Model Geometri Eliptik tunggal Model Geometri Eliptik tunggal Sebarang dua garis yang berpotongan tepat pada satu titik, tetapitidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Model Geometri Eliptik tunggal 13. Model Geometri Eliptik gandaDua garis berpotongan tepat pada dua titik, dan setiap garismemisahkan bidang. Model Geometri Eliptik Ganda 14. Representai bola EuclidGeometri Eliptik Ganda Representasi EuclidTitikTitik pada bolaGarisLingkaran besar bolaBidang BolaSegmen Busur dari suatu lingkaran bolaJarak antara dua titik Panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik ituSudut yang dibentuk oleh dua Sudut pada bola yang dibentukgarisoleh dua lingkaran besar 15. Lanjutan.... Dalam Geometri Eliptik melalui satu titik pada suatugaris hanya dapat dilukis satu garis yang tegak lurusgaris tersebut. Untuk setiap garis l ada kutup Ksedemikian sehingga semua garis melalui K tegaklurus pada l (gambarnya seperti semua meridianmelalui kutub tegak lurus melalui ekuator ataukatulistiwa). Sifat kutub misalnya l suatu garis, makaada suatu titik K, yang disebut kutub dari l sedemikiansehigga : 1. Setiap segmen yang menghubungkan K dengansuatu titik l tegaklurus pada l. 2. K berjarak sama dari setiap titik pada l. Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarakpolar. Jarak polar suatu kutub sampai garisnyaadalah konstan, demikian juga panjang suatu garisadalah konstan. Berikut ini adalah dalil-dalil yang berlaku padaGeometri Elliptik ini: 16. Dalil 3.1 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemupada suatu titik ujungnya. Keabsahan dalil 3.1 diatasdapat ditunjukan oleh gambar 39 , garis a dan garis bsama-sama tegaklurus pada garis l, dan bertemu padasatu titik yaitu titik C. Kemudian untuk beberapa garisyang saling tegaklurus berlaku dalil 3.3 berikut ini. Dalil 3.2 Semua garis tegak lurus pada suatu garis berpotonganpada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknyasetiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus padagaris itu. Bukti Dalil 3.2 Pada dalil 3.1 dua garis yang tegaklurus pada suatugaris bertemu pada satu titik sudah terbukti, titik itulahyang disebut titik kutub, disini akan berlaku untuk setiapgaris yang tegak lurus pada garis l, begitu sebaliknya jikapada titik C ditarik garis yang tegak lurus terhadap garis lmaka semua garis akan tegaklurus ke l. 17. Sudut-sudut segitiga dalamGeometri Eliptik Dalil 3.3 Dalam sebarang ABC dengan C = 90,sudut A kurang dari, sama dengan ataulebih besar dari 90, tergantung darisegmen kurang dari, sama denganatau lebih besar dari jarak polar q. 18. A < 90, karena < jarakpolar 19. A = 90, karena = jarakpolar 20. A > 90, karena > jarakpolar 21. Dalil 3.4 Jumlah besar sudut-sudut segitiga lebihbesar dari 180. Keabsahan dalil 3.4 diatas dapatditunjukan dengan menggunakan gambar30, dan gambar 31: Pada gambar 30: A = 90,C = 90, Bpositif Sehingga mA + mB + mC = > 180 Pada gambar 31: C = 90,A tumpul Sehingga mA + mB + mC > 180. 22. Gambar..... 23. Lanjutan... Dalil 3.5 (Moeharti, 1986: 5.21) Jumlah besar sudut-sudut segiempat lebih besar dari 360. Gambar.... 24. Terima kasih......